O documento apresenta várias propriedades dos determinantes de matrizes quadradas. Entre elas: (1) o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta; (2) se uma linha ou coluna for constituída apenas de zeros, o determinante será igual a zero; (3) se duas linhas ou colunas forem trocadas, o novo determinante terá valor simétrico do original.

1. PROF. NILO

2. A definição de Determinante e o Teorema de
Laplace tornam possível o cálculo de qualquer
determinante, porém pode-se simplificar as
operações utilizando-se certas propriedades.
Dada uma matriz quadrada M e sua transposta M t ,
temos det M = det Mt.
Exemplo :
 1 4 1 2 1 4 1 2
M=  ; Mt =  ⇒ = = −3
 2 5
  4 5 
  2 5 4 5

3. Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada
M for constituída apenas por zeros, teremos que
seu determinante será igual a zero.
Exemplo :
 0 0 0 0
a) M =  ⇒ =0 Linha 1 inteira igual a zero.
 2 5
  2 5
 6 0 6 0
b) M =  ⇒ =0 Coluna 2 inteira igual a zero.
 2 0
  2 0

4. Se duas linhas ou duas colunas, numa matriz
quadrada M, forem trocadas de posição, o novo
determinante obtido terá valor simétrico do original.
Exemplo :
 2 3 2 3 1 5 1 5
a) M =  ⇒ = 7; M' =  ⇒ = −7
1 5
  1 5  2 3
  2 3
Troca das linhas 1 e 2.
 2 3 2 3  3 2 3 2
b) M =  ⇒ = 7; M ' =  ⇒ = −7
1 5
  1 5 5 1
  5 1
Troca das colunas 1 e 2.

5. Se multiplicarmos uma linha ou coluna de uma
matriz quadrada M por um escalar k, o
determinante da nova matriz obtida M’, será o
produto de k pelo determinante de M.
det M ' = k.det M
Exemplo : Linha 1 foi multiplicada por 3.
 1 4  3 12  1 4 3 12
a) M =   ; M' =  ⇒ = −3 e = −9
 2 5
  2 5 
  2 5 2 5
Coluna 1 foi multiplicada por 6.
1 4  6 4 1 4 6 4
b) M =   ; M' =  ⇒ = −3 e = −18
 2 5
  12 5 
  2 5 12 5

6. Se duas linhas ou duas colunas, numa matriz
quadrada M, forem iguais, o valor do determinante
obtido será igual a zero.
Exemplo :
 2 3 2 3
a) M =  ⇒ =0 Linhas 1 e 2 são iguais.
 2 3
  2 3
 2 2 2 2
b) M =  ⇒ =0 Colunas 1 e 2 são iguais.
1 1
  1 1

7. A soma dos produtos dos elementos
de uma fila qualquer de uma matriz
quadrada M, pelos cofatores dos
elementos de uma fila paralela é
igual a zero. Augustin-Louis
Exemplo : Cauchy (1789-1857)
3 4 2 3 4 2 Peguemos as Linhas 1 e 3
  como exemplo.
M = 1 3 5 ⇒ 1 3 5 Linha 3 com
  Linha 1 : cofatores :
 
5 6 7 5 6 7 3 4 2 5 6 7
4 2 3 2 3 4
3.( −1)3+1 . + 4.( −1)3+2 . + 2.( −1)3+3 . =
3 5 1 5 1 3
= 3.(14) + 4.( −1).13 + 2.(5) = 0

8. Se uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a
dois, tem duas linhas ou colunas proporcionais,
então det M = 0. Acabamos por recair na
propriedade de filas paralelas iguais.
Exemplo : As Linhas 1 e 3 são proporcionais
 3 4 2 3 4 2 3 4 2
 
a)M =  1 3 5  ⇒ 1 3 5 = 2. 1 3 5 = 0
 
 
6 8 4 6 8 4 3 4 2
 6 4 2 6 4 2 2 4 2
 
b)M = 15 3 5  ⇒ 15 3 5 = 3. 5 3 5 = 0
 
 
12 8 4  12 8 4 4 8 4

9. Seja M uma matriz quadrada de ordem n em que
os elementos da coluna j são tais que, podem ser
transformadas na soma de dois números, podemos
escrever:
Exemplo : x a+b m x a m x b m
y c+d n = y c n +y d n
z e+f p z e p z f p
Essa propriedade também é válida para linhas.
Exemplo : 3 4 2 3 4 2 3 4 2
x+y a+b m+p = x a m + y b p
0 3 4 0 3 4 0 3 4

10. Vamos construir uma Combinação Linear da 1ª com
a 2ª e com a 3ª colunas da matriz abaixo.
Exemplo :
Utilizando os multiplicadores 1, 3 e 4, nessas
colunas teríamos:
Coluna 1 = 1. Coluna 1 + 3. Coluna 2 + 4. Coluna 3
C1 = 1. C1 + 3. C2 + 4. C3
1 7 1 1.1+3.7+4.1=26  26 7 1 
   
M=  2 8 5  1.2+3.8+4.5=46 M'=  46 8 5 
   
   
 3 1 6 1.3+3.1+4.6=30  30 1 6 

11. Adicionando a uma fila de uma matriz
M, de ordem n, uma outra fila
paralela, previamente multiplicada por
uma constante, obteremos uma nova
matriz M’ tal que det M’ = det M.
Exemplo :
Carl Jacobi
Faremos uma nova Coluna 2 = Coluna 2 −3. Coluna 1. (1804-1851)
Faremos uma nova Coluna 3 = Coluna 3 −5. Coluna 1.
1 3 5  1 0 5 1 0 0 Abre caminho
  para aplicar
o Teorema de
M=  4 2 7  ⇒ 4 -10 7 = 4 -10 -13 Laplace com
  menos
 
 4 1 -6  4 -11 -6 4 -11 -26 trabalho.

12. Numa Matriz Triangular Superior ou Inferior, o
determinante dessa matriz pode ser obtido
multiplicando os termos da Diagonal Principal.
Exemplo :
 3 2 4 3 2 4
 
a)M=  0 5 3  ⇒ 0 5 3 = 3.5.1 = 15
 
 
0 0 1 0 0 1
3 0 0 0 3 0 0 0
 
2 1 0 0 2 1 0 0
b)M=  ⇒ = 3.1.2.6 = 36
 
3 4 2 0 3 4 2 0
 
5
 7 2 6
 5 7 2 6

13. Dadas duas matrizes quadradas de
mesma ordem n, temos :
det(A.B) = (det A).(det B) Jacques Binet
(1786-1856)
Exemplo :  2 3  1 2 11 16 
A=  e B=  ⇒ A.B =  
 0 5
   3 4
 1 2 15 20 
 
2 3
det A = = 2.5 − 0.3 = 10; det B = = 1.4 − 3.2 = − 2
0 5 3 4
11 16
det(A.B) = = 11.20 − 16.15 = −20
15 20

14. Uma consequência do Teorema de Binet é que o
determinante de uma matriz pelo determinante de
sua inversa é igual a 1.
det(A.A −1 ) = (det A).(det A −1 ) ⇒ (det A).(det A −1 ) = det I n
−1
(det A).(det A )=1 Que foi bem ?
Isso é muito
fácil mas é
preciso ter
atenção !

15. É consequência do Exemplo :
Teorema de Jacobi e é
aplicável sempre que 1 2 4 2
 
a11 = 1. Se no determinante 3 7 5 6
isso não ocorrer, podemos
A= 
provocar essa ocorrência  
através das propriedades  1 10 − 4 5
já conhecidas.  
3 8 2
 3

1 2 4 2
7−6 5 − 12 6 − 6 1 −7 0
3 7 5 6
= 10 − 2 − 4 − 4 5 − 2 = 8 −8 3 =
1 10 − 4 5
8−6 2 − 12 3 − 6 2 − 10 −3
3 8 2 3

16. 1 2 4 2
7−6 5 − 12 6 − 6 1 −7 0
3 7 5 6
= 10 − 2 − 4 − 4 5 − 2 = 8 −8 3 =
1 10 − 4 5
8−6 2 − 12 3 − 6 2 − 10 −3
3 8 2 3
1 −7 0
− 8 + 56 3−0 48 3
= 8 −8 3 = = = 48.( − 3) − 3.4 = − 156
− 10 + 14 − 3 − 0 4 −3
2 − 10 − 3