Introdução à Processamento Digital de Imagens

Introdução ao
Processamento Digital de
Imagens

Prof. Leonardo Vidal Batista
DI/PPGI/PPGEM
leonardo@di.ufpb.br
leovidal@terra.com.br
http://www.di.ufpb.br/leonardo

Imagens

Modelagem matemática, análise, projeto
e implementação (S&H) de sistemas
voltados ao tratamento de informação
pictórica, com fins estéticos, para torná-la
mais adequada à interpretação ou
aumentar eficiência de armazenamento e
transmissão.

PDI e áreas correlatas
Dados
Visão Computação
Computacional Gráfica
Imagens

Processamento
Digital de Imagens
(sinais 2D)

Processamento
Digital de Sinais

Imagens digitais
TV digital
Câmeras digitais, celulares, scanners
DVDs
Sistemas de teleconferência
Transmissões via fax
Editoração eletrônica
Impressoras
Monitoramento da superfície terrestre e previsão
climática por imagens de satélites
Detecção de movimento

Imagens Digitais
Diagnóstico médico: ultrassonografia,
angiografia, tomografia, ressonância
magnética, contagem de células, etc
Identificação biométrica: reconhecimento de
face, íris ou impressões digitais
Ciências forenses
Realce e restauração de imagens por
computador
Instrumentação
Controle de qualidade
Granulometria de minérios

Outros Sinais Digitais
Diagnóstico médico: eletrocardiograma,
eletroencefalograma, eletromiograma,
eletroretinograma, polisonograma, etc
Identificação biométrica por reconhecimento
de voz
Síntese de voz
Áudio Digital
Telefonia
Suspensão ativa em automóveis
Mercado acionário

Sinais Contínuos e Discretos
Sinal analógico

Sinal digital
...
Amplitude

2q
q
0
-q
-2q
...
Erros
de
quantização 0 Ta 2Ta 3Ta ...
Tempo, espaço etc.

Processamento Analógico
de Sinais

Processador
Sinal analógico analógico Sinal analógico
de entrada de saída

Sinais
Sinal Sinal
analógico Conversor Processador digital
A/D Digital

Sinal Sinal
analógico Conversor Processador Conversor analógico
A/D Digital D/A

Sinais
Alguns sinais são inerentemente digitais ou
puramente matemáticos
Ex: Número de gols por rodada do
campeonato brasileiro de futebol
Neste caso, não há necessidade de
Conversão A/D
Ainda assim, pode haver necessidade de
conversão D/A
Ex: texto -> voz sintetizada

Sinais
Hardware, software, ou ambos
Maior flexibilidade
Menor custo
Menor tempo de desenvolvimento
Maior facilidade de distribuição
Sinais digitais podem ser armazenados e
reproduzidos sem perda de qualidade
Mas alguns sistemas exigem uma etapa
analógica!

Sinais – Robustez a Ruído
Sinal analógico original

Sinal analógico corrompido – em geral, recuperação
impossível mesmo para pequenas distorções

Sinais – Robustez a Ruído
Sinal digital corrompido – recuperação possível
Sinal digital original mesmo com distorções substanciais, principalmente
com uso de códigos corretores.
‘1’ ‘1’

‘0’ ‘0’

Sinal digital
recuperado com erro
‘1’

‘0’

Você confia em seu sistema
visual?

Você confia em seu sistema
visual?

http://www.echalk.co.uk/
amusements/OpticalIllusi
ons/illusions.htm

A Faixa Visível do Espectro
Eletromagnético
Luz: radiação eletromagnética
Freqüência f, comprimento de onda
L
Faixa visível do espectro
eletromagnético: 380 nm < L < 780
nm
Na faixa visível, o sistema visual
humano (SVH) percebe
comprimentos de onda diferentes
como cores diferentes

Eletromagnético

Radiação monocromática: radiação
em um único comprimento de onda
Cor espectral pura: radiação
monocromática na faixa visível

Eletromagnético

Eletromagnético

Denominação Usual da Cor Faixa do Espectro (nm)
Violeta 380 – 440
Azul 440 – 490
Verde 490 – 565
Amarelo 565 – 590
Laranja 590 – 630
Vermelho 630 – 780

A Estrutura do Olho Humano
Olho humano: aproximadamente esférico,
diâmetro médio em torno de dois
centímetros
A luz penetra no olho passando pela
pupila e pelo cristalino e atingindo a
retina
Imagem invertida do cenário externo
sobre a retina
Cones e bastonetes convertem energia
luminosa em impulsos elétricos que são
transmitidos ao cérebro.

Bastonetes
75 a 150 milhões/olho, sobre toda a
retina
Não são sensíveis às cores
Baixa resolução (conectados em grupos
aos terminais nervosos)
Sensíveis à radiação de baixa intensidade
na faixa visível
Visão geral e de baixa luminosidade
Objetos acinzentados sob baixa
luminosidade

Cones
6 a 7 milhões/olho, concentrados na fóvea
Sensíveis às cores
Alta resolução (um cone por terminal
nervoso)
Pouco sensíveis a radiação de baixa
intensidade na faixa visível
Visão específica, de alta luminosidade
Movimentamos os olhos para que a
imagem do objeto de interesse recaia
sobre a fóvea.

Cones
Há três tipos de cones:
Cone sensível ao vermelho
Cone sensível ao verde
Cone sensível ao azul
Cores diversas obtidas por combinações
destas cores primárias

Cones
Cone “Verde”
Resposta

Cone “Azul” Cone “Vermelho”

400 500 600 700

Comprimento de onda (nm)

Sistema de Cores RGB
A cor de uma fonte de radiação na
faixa visível é definida pela adição
das cores espectrais emitidas –
sistema aditivo
Combinação de radiações
monocromáticas vermelho (R), verde
(G) e azul (B)
Cores primárias da luz
Sistema de cores RGB

Sistema RGB

Padronização da Comissão
Internacional de Iluminação (CIE):
Azul: 435,8 nm
Verde: 546,1 nm
Vermelho: 700 nm

Sistema RGB - Combinação de
Cores Primárias

Cores secundárias da luz: magenta
(M), cíano (C) e amarelo (Y):
M=R+B
C=B+G
Y=G+R
Cor branca (W):
W=R+G+B

Espaço de Cores RGB

Cor no sistema RGB é um vetor em
um espaço tridimensional:
G

R

B

Espaço de Cores RGB
Reta (i, i, i): reta acromática
Pontos na reta acromática:
tonalidades de cinza ou níveis de
cinza
Preto: (0, 0, 0) (ausência de luz)
Branco: (M, M, M), (M é a intensidade
máxima de uma componente de cor)
Monitor de vídeo: Sistema RGB

Sistema de Cores CMY

Cor de um objeto que não emite
radiação própria depende dos
pigmentos que absorvem radiação
em determinadas faixas de
freqüência e refletem outras
Absorção em proporções variáveis
das componentes R, G e B da
radiação incidente: sistema
subtrativo

CMY - Cores Primárias

Cores primárias dos pigmentos:
absorvem uma cor primária da luz e
refletem as outras duas
C=W–R=G+B
M=W–G=R+B
Y=W–B=G+R

CMY – Combinação de Cores
Primárias
Cores secundárias:
R=M+Y
G=C+Y
B=M+C
Preto (K):
K=C+M+Y=W–R–G–B
Impressoras coloridas: CMY ou CMYK

Processos Aditivo e Subtrativo

Sistema de Cores YIQ

Transmissão de TV em cores:
compatibilidade com TV P & B
Y: luminância (intensidade percebida,
ou brilho)
I e Q: crominâncias

Conversão YIQ-RGB
Conversão de RGB para YIQ:
Y = 0.299R + 0.587G + 0.114B
I = 0.596R – 0.274G –0.322B
Q = 0.211R – 0.523G + 0.312B
Conversão de YIQ para RGB :
R = 1.000 Y + 0.956 I + 0.621 Q
G = 1.000 Y – 0.272 I – 0.647 Q
B = 1.000 Y – 1.106 I + 1.703 Q

Sistema de Cores HSI
Fisiologicamente, a retina humana
opera no sistema RGB
A percepção subjetiva de cor é
diferente
Atributos perceptivos das cores:
Matiz (hue) ou tonalidade
Saturação
Intensidade

Sistema de Cores HSI
Matiz (H): determinada pelo comprimento
de onda dominante; cor espectral mais
próxima; denominação usual das cores
H é um ângulo: 0o = R; 120o = G; 240o =
B
Saturação: pureza da cor quanto à adição
de branco
S = 0: cor insaturada (nível de cinza)
S = 1: cor completamente saturada
Cores espectrais puras tem S = 1

Conversão HSI-RGB
Algoritmos nas Notas de Aula

Imagem monocromática
y

x

Imagem monocromática
Função Ia(x,y)
(x, y): coordenadas espaciais
Ia(x,y): intensidade ou brilho da
imagem em (x,y)

Amostragem e Quantização
Digitalização: discretização espacial
(amostragem) e de intensidade
(quantização)

Sinal analógico
Sinal digital
...
Amplitude

2q
q
0
-q
-2q
...
Erros
de
quantização 0 T 2T 3T ...
Tempo ou espaço

- Parâmetros
T: período de amostragem (unidade de
espaço ou tempo)
f = 1/T: freqüência de amostragem
(amostras/unidade de espaço ou tempo)
q: passo de quantização
Sinal analógico: s(t), s(x)
Sinal digitalizado: s[nT], n inteiro não
negativo, s[nT] ∈{-Mq, ..., -2q, -q, 0, q,
2q, ..., Mq,}

– Exemplo 1
Sinal analógico s(t): voltagem de
saída de um sistema elétrico em
função do tempo
40

20
Sinal analógico
Volts

0

-20

-40
0 1 2 3 4 5 6 7
segundos

– Exemplo 1
T = 0.5s, q = 0.5V, M = 80: s[0.5.n], n =
0, 1, 2, ...
s[0.5n] ∈ {-40, -39.5..., -0.5, 0, 0.5
1,...,39.5, 40}
s[0]=9.5,s[0.5]=8,s[1]=-2, s[1.5]= -10.5,
...
Sinal digital pode ser representado como
s[n] ∈ {-M,..., -2, -1, 0, 1, 2,..., M}
s[0]=19, s[1]=16, s[2]=-4, s[3]=-21,...
s[n] = {19, 16, -4, -20, ...}

– Exemplo 2
Em um processo de digitalização foram colhidas
N=10 amostras de um sinal de temperatura
(graus Celsius) igualmente espaçadas ao longo de
um segmento de reta unindo duas cidades A e B.
A primeira amostra foi colhida na cidade A e a
última na cidade B. O sinal digital resultante é
s[n] = {12 12 13 13 14 13 14 14 14 15}
Perguntas:
(a) Distância entre as cidades?
(b) Valores de temperatura registrados?
(c) Limites de temperatura registrável?
(d) Qual o valor de s[5km]?

– Solução do Exemplo 2

Precisamos conhecer f, q e M!
Dados:
f = 0.1 amostra/km
q = 2o Celsius
M = 15;

– Solução do Exemplo 2

T = 10 km/amostra
(a) Distância entre as cidades =
(10-1)x10 = 90km
(b) Temperaturas em graus Celsius:
{24 24 26 26 28 26 28 28 28 30}
(c) Limites de temperatura em graus
Celsius: [-30, 30]
(d) s[5km]: no sinal digital s[nT] não há
nT = 5km!

Conversores Analógico-
Digitais (ADC)
Conversor Analógico/Digital (Analog to
Digital Converter - ADC): amostra,
quantiza em L níveis e codifica em binário.
Um transdutor deve converter o sinal de
entrada para tensão elétrica (V)
Códigos de b bits: L = 2b níveis de
quantização
Exemplo: b = 8, L = 256
ADC de b bits

Digitais (ADC)
ADC unipolar: voltagem de entrada de 0 a Vref
ADC bipolar: voltagem de entrada de -Vref a
Vref
Exemplo: ADC unipolar de 3 bits, Vref = 10 V
L = 23 = 8, Resolução de voltagem: 10/8 = 1,25V
Exemplo: ADC bipolar de 3 bits, Vref = 5 V
L = 23 = 8, Resolução de voltagem: 10/8 = 1,25V

ADC

Unipolar Bipolar

Voltagem Código Voltagem Código

[0,00, 1,25) 000 [-5,0, -3,75) 000
[1,25, 2,50) 001 [-3,75, -2,5) 001
[2,50, 3,75) 010 [-2,5, -1,25) 010
[3,75, 5,00) 011 [-1,25, 0,0) 011
[5,00, 6,25) 100 [0,00, 1,25) 100
[6,25, 7,50) 101 [1,25, 2,50) 101
[7,50, 8,75) 110 [2,50, 3,75) 110
[8,75, 10,0) 111 [3,75, 5,00) 111

Digitais (ADC)

O bit menos significativo (LSB) do código
se altera em incrementos de 1,25V.
Resolução de voltagem: “valor” do LSB
Alguns parâmetros: fa, Vref, b, ...

– Qualidade do Sinal
40

20
Sinal analógico
Volts

0

-20

-40
0 1 2 3 4 5 6 7
segundos

40 40
f = 2 amostras/s Sinal analógico
20 (T = 0,5s), q = 1 20 reconstruído

0 0

-20 -20

-40 -40
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

40

20
Sinal analógico
Volts

0

-20

-40
0 1 2 3 4 5 6 7
segundos

40 40
f = 5 amostras/s
Sinal analógico
(T = 0,2s), q = 1
20 20 reconstruído

0 0

-20 -20

-40 -40
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

40

20
Sinal analógico
Volts

0

-20

-40
0 1 2 3 4 5 6 7
segundos

40 40

0 0

-20 -20

-40 -40
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

Imagem digital
monocromática
250

200

150

100

50

0
0 100 200 300 400 500

i=0
250

200

⎡161 161 ... 142⎤ 150

⎢161 161 ... 142⎥ 100

⎢ ⎥ 50
⎢ ... ... ... ... ⎥
⎢ ⎥
0
0 50 100 150 200 250 300 350

⎣163 163 ... 95 ⎦ j = 266

Resolução Espacial e de
Contraste

256x256 / 256 níveis 256x256 / 64 níveis 256x256 / 2 níveis

32x32 / 256 níveis

Imagens RGB

Banda R Banda G Banda B

Imagem RGB

Imagens Digitais
Uma imagem é uma matriz bidimensional
observada de forma pictórica.
Imagens de densidade demográfica, de
raios x, de infravermelho, de
temperaturas de uma área, etc.

Scanners

Monocromáticos: fila de diodos
fotossensíveis em um suporte que se
desloca
Coloridos: fila de diodos fotossensíveis,
recobertos por filtros R, G e B, em um
suporte que se desloca

Lâmpada fluorescente branca
ilumina o objeto
Diodos produzem carga elétrica
proporcional à intensidade da
luz refletida pelo objeto

Scanners

Th: distância entre diodos no suporte
Tv: tamanho do passo do suporte
Th e Tv definem a resolução espacial
L: profundidade de cor ou resolução de
contraste
Resolução espacial: pontos por polegada
(dot per inch, dpi) (1 ponto = 1 sensor em
scanner monocromático, 3 sensores em
scanners RGB)
1 pol = 2,54 cm.

Scanners

Ex: 300 x 300 dpi, digitalização de formato
carta(8,5 x 11’’), no máximo:
8,5x300=2550 diodos (mono) ou
3x2550=7650 diodos (cor)
Aumentar resolução vertical sem aumentar
o número de sensores

Scanners

N pontos/polegada

Movimento do braço:
... M passos/polegada

Câmeras Digitais
Sensor de imagem:
matriz de diodos
fotosensíveis cobertos
por filtros R, G e B
Diodos produzem carga
elétrica proporcional à
intensidade da luz
refletida pelo objeto
Resolução espacial de câmeras: número de
pontos (ou pixels), RxC (1 ponto = 3 sensores)

Câmeras Digitais

Exemplo: Sony DSC V1: 1944 x 2592 pixels =
5Mpixels. Digitalizar papel em formato carta com
imagem da folha ocupando todo o sensor.
Resolução (em dpi)? Comparar com scanner de
300 x 300 dpi, em qualidade, número de
sensores e preço. Comparar com scanner de
2400 x 2400 dpi.

Câmeras Digitais
Solução:
1944 / 8,5 pol x 2592/11 pol = 228,7 dpi x =
235,6 dpi
Resolução espacial pior que scanner de 300 x
300 dpi, com 1944 x 2592 x 3 / 7650 = 1976
vezes mais sensores, 10 a 20 vezes mais caro,
aberrações geométricas e de cor, etc.
Câmeras digitais têm escopo de aplicação
maior e são mais rápidas
Scanner de 2400 x 2400 dpi = câmera de 500
Mpixels!

Dispositivos Gráficos
Exemplo: câmera digital, 3000 x 2000
pontos (6 Mpixels), impressa em formato
15x10 cm, com o mesmo no. de pontos.
Qual a resolução (dpi) no papel?


Exemplo: câmera digital, 3000 x 2000
pontos (6 Mpixels). Imprimir em formato
15x10 cm, com o mesmo no. de pontos.
Qual a resolução (dpi) no papel?
3,94 x 5,91 pol.
Resolução (dpi): 3000/5,91 = 2000/3,94 =
507x507 dpi

Ex: foto 10x15cm, scanneada a 1200x1200
dpi, 24 bits/pixel. Tamanho em bytes?
Dimensões impressa em 1440x1440 dpi?
Dimensões impressa em 720 x 720 dpi?
Dimensões em tela de 14 pol., resolução
1024x768? Resolução em dpi da tela?
Dimensões em tela de 17 pol., resolução
1024x768? Resolução em dpi da tela?

Solução:
Foto 10x15cm = 3,94 x 5,91 pol.
Tamanho em bytes: 3,94x1200 x
5,91x1200 pixels x 3 bytes/pixel = 4728 x
7092 x 3 = 100 milhões de bytes (96 MB)
Dimensões (pol) em impressora de
1440x1440 dpi: 4728/1440 x 7092/1440 =
3,3 x 4,9 pol.
Dimensões (pol.) em impressora de 720 x
720 dpi = 6,6 x 9,9 pol

Solução:
Dimensões em tela de 14 pol., em resolução de
1024x768 pontos? Resolução em dpi da tela?
x2 + y2 = 142
x/y = 3/4
x = 8,4 pol; y = 11,2 pol.
Res. = 1024/11,2 x 768/8,4 = 91,4 x 91,4 dpi.
Dimensões = 4728 / 91,4 x 7092 / 91,4 =51,73 x
77,59 pol = 131,39 x 197,09cm (apenas parte da
imagem será visível)


Solução:
Dimensões em tela de 17 pol., em resolução de
1024x768 pontos? Resolução em dpi da tela?
y = 13,6 pol; x = 10,2 pol
Res. = 1024/13,6 x 768/10,2 = 75,3 x 75, 3 dpi
(pior que no monitor de 14 pol)
Dimensões = 4728 / 75,3,4 x 7092 / 75,3 =62,79
x 94,18 pol = 159,49 x 239,22cm (apenas parte da
imagem será visível)

Câmeras Digitais

...

...

Monitor CRT

A e C: Placas aceleradoras e defletoras
D: tela com pontos de fósforos RGB
F: Máscara de sombra ou grade de abertura

Monitor RGB

Linha 0

Linha 1

Linha R-1

Operações com Imagens
Espaço / freqüência
Locais / pontuais
Unárias / binárias / ... / n-árias

Operações n-árias
Operação T sobre n imagens, f1, f2, ..., fn,
produzindo imagem de saída g
g = T[f1, f2, ..., fn]

Operações binárias: n = 2
Operações unárias ou filtros: n = 1
g = T[f]

Operações Pontuais
g(i, j) depende do valor do pixel em (i’, j’)
das imagens de entrada
Se (i, j) = (i’, j’) e operação unária:s = T(r)
r, s: nível de cinza de f e g em (i, j)
s s

(0,0) m r (0,0) m r

Operações Pontuais
s s
L-1 L-1
(r2, s2)

(r1, s1)

(0,0) L-1 r
(0,0) L-1 r

Operações Locais
g(i, j) depende dos valores dos pixels das
imagens de entrada em uma vizinhança
de (i’, j’)
f g

j j

i i

Vizinhança de (i, j)

Operações Locais
Exemplo: Filtro “Média”
1
g (i, j ) = [ f (i − 1, j − 1) + f (i − 1, j ) + f (i − 1, j + 1) +
9
+ f (i, j − 1) + f (i, j ) + f (i, j + 1) +
+ f (i + 1, j − 1) + f (i + 1, j ) + f (i + 1, j + 1)]
Operação sobre pixels da imagem
original: resultado do filtro em um dado
pixel não altera o resultado em outros
pixels.
Primeira e última coluna/linha?

Filtros de suavização

Média, Moda, Mediana, Gaussiano...
Vizinhança m x n

Filtros de aguçamento e
detecção de bordas
Efeito contrário ao de suavização: acentuam
variações de intensidade entre pixels
adjacentes.
Baseados no gradiente de funções
bidimensionais.
Gradiente de f(x, y):
⎡ ∂f ⎤
⎢ ∂x ⎥ ⎡ ∂f2 2 ⎤1 / 2
⎛ ∂f ⎞
G[f(x, y)] = ⎢ ⎥ ⎢⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎥
G[ f ( x, y )] = ⎜ ⎟ ⎜ ∂y ⎟
⎢ ⎥ ⎢⎝ ∂x ⎠ ⎝ ⎠ ⎥
⎢ ∂f ⎥ ⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎣ ∂y ⎦

Filtros de detecção de bordas
g(i, j): aproximação discreta do módulo do
vetor gradiente em f(i, j).
Aproximações usuais:

g(i, j) = {[f(i,j)-f(i+1,j)]2 + [f(i,j)-f(i,j+1)]2}1/2
g(i, j) = |f(i,j)-f(i+1,j)| + |f(i,j)-f(i,j+1)|

Gradiente de Roberts:
g(i,j) = {[f(i,j)-f(i+1,j+1)]2+[f(i+1,j)-f(i,j+1)]2}1/2
g(i, j) = |f(i,j)-f(i+1,j+1)| + |f(i+1,j)-f(i,j+1)|

Filtros de detecção de bordas
Gradiente de Prewitt:
g(i, j) = |f(i+1,j-1) + f(i+1, j) + f(i+1, j+1)
- f(i-1, j-1) - f(i-1, j) - f(i-1, j+1)|
+|f(i-1, j+1) + f(i, j+1) + f(i+1, j+1)
- f(i-1, j-1) - f(i, j-1) - f(i+1, j-1)|
Gradiente de Sobel:
g(i, j) = |f(i+1, j-1) + 2f(i+1, j) + f(i+1, j+1)
- f(i-1, j-1) - 2f(i-1, j) - f(i-1, j+1)|
+ |f(i-1, j+1) + f(i, j+1) + f(i+1, j+1)
- f(i-1, j-1) - 2f(i, j-1) - f(i+1, j-1)|

Gradiente de Roberts

Limiares 15, 30 e 60

Processamento de
Histograma
Se o nível de cinza l ocorre nl vezes em
imagem com n pixels, então
nl
P (l ) =
n

Histograma da imagem é uma
representação gráfica de nl ou P(l)

Histograma
Histograma
nl

Imagem 7
6
1 0 0 3 3 5
4
0 0 3 3 3
3
1 1 1 3 3 2
1
0
0 1 2 3 l
Imagem 3 x 5 (L = 4) e seu histograma

Histograma
O histograma representa a distribuição
estatística de níveis de cinza de uma imagem
nl nl nl

0 255 l 0 255 l 0 255 l

Histograma

10000

8000

6000

4000

2000

0
0 50 100 150 200 250

Histograma

1500

1000

500

0

0 50 100 150 200 250

Expansão de Histograma
Quando uma faixa reduzida de níveis de
cinza é utilizada, a expansão de
histograma pode produzir uma imagem
mais rica.
nl nl nl
A B C

l l l
m0=0 m1 L-1 0 m0 m1 L-1 0 m0 m1=L-1

Quando uma faixa reduzida de níveis de
cinza é utilizada, a expansão de
histograma pode produzir uma imagem
mais rica:

⎛ r − rmin ⎞
s = T ( r ) = round ⎜
⎜r ( L − 1) ⎟
⎟
⎝ max − rmin ⎠

1500

1000

500

0

0 50 100 150 200 250

1500

1000

500

0
0 50 100 150 200 250

Expansão é ineficaz nos seguintes casos:

nl A nl B nl C

0 L-1 L-1 l 0 m0 m1 L-1 l 0 L-1 l

Equalização de Histograma
Se a imagem apresenta pixels de valor 0
e L-1 (ou próximos a esses extremos) a
expansão de histograma é ineficaz.
Nestas situações a equalização de
histograma pode produzir bons
resultados.
O objetivo da equalização de histograma
é gerar uma imagem com uma
distribuição de níveis de cinza uniforme.

⎛ L −1 r ⎞
s = T (r ) = round ⎜ ∑ nl ⎟
⎝ RC l =0 ⎠
1500

1000

500

0

0 50 100 150 200 250

1500

1000

500

0
0 50 100 150 200 250

Exemplo: imagem 64 x 64, L = 8
nl
l nl
0 790 1200
1 1023 1000
2 850 800
3 656 600
4 329
400
5 245
200
6 122 0
7 81 0 1 2 3 4 5 6 7 l

Exemplo (cont.):
r=0 s = round(790 x 7 / 4096) =1
r=1 s = round(1813 x 7 / 4096) =3
r=2 s = round(2663 x 7 / 4096) =5
r=3 s = round(3319 x 7 / 4096) =6
r=4 s = round(3648 x 7 / 4096) =6
r=5 s = round(3893 x 7 / 4096) =7
r=6 s = round(4015 x 7 / 4096) =7
r=7 s = round(4096 x 7 / 4096) =7

Exemplo: imagem 64 x 64, L = 8
l nl nk
0 0
1200
1 790
1000
2 0
800
3 1023
600
4 0
400
5 850
200
6 985
0
7 448 0 1 2 3 4 5 6 7 k

nl Hist. Original nl Hist. Equal. (Ideal) nl Hist. Equal. (Real)

0 L-1 L-1 l 0 m0 m1 L-1 l 0 L-1 l

Expansão de histograma é pontual ou
local? E equalização de histograma?
O que ocorre quando uma imagem com
um único nível passa pela operação de
equalização de histograma?
Melhor fazer equalização seguido por
expansão de histograma, o inverso, ou a
ordem não importa?

Local
Para cada locação (i,j) de f

• Calcular histograma na vizinhança de
(i,j)
• Calcular s = T(r) para equalização de
histograma na vizinhança
• G(i,j) = s

Controle de contraste
adaptativo

⎧ c
⎪μ (i, j ) + [ f (i, j ) − μ (i, j )];σ (i, j ) ≠ 0
g (i, j ) = ⎨ σ (i, j )
⎪ f (i, j );σ (i, j ) = 0
⎩

Controle de contraste
adaptativo

Filtros baseados na função
gaussiana
Função gaussiana:

Derivada:

Derivada segunda:

gaussiana
Gaussiana, derivada e derivada
segunda

gaussiana

A máscara é construída pela
amostragem de G(x), G’(x) e G’’(x)
x = -5σ, ...-2, -1, 0, 1, 2..., 5σ

Filtros gaussianos
bidimensionais

Com r = sqrt(x2 + y2)

Pseudo-cor
Nível de R G B
cinza
0 15 20 30
1 15 25 40
...
L-1 200 0 0

Outros filtros:
Curtose, máximo, mínimo etc.
Filtros de suavização + filtros de
aguçamento
Laplaciano do Gaussiano (LoG)
“Emboss”
Aumento de saturação
Correção de gama
...

Filtros Lineares e Invariantes
ao Deslocamento
Filtro linear:
T [af1 + bf2] = aT [f1] + bT [f2]
para constantes arbitrárias a e b.
Filtro invariante ao deslocamento:
Se g[i, j] = T [f[i, j]]
então g[i - a, j – b] = T [f[i - a, j – b]].
Se i e j são coordenadas espaciais: filtros
espacialmente invariantes.

Convolução
Convolução de s(t) e h(t):

∞
∫
g (t ) = s (t ) * h (t ) = s(τ )h(t − τ )dτ
−∞

Convolução
∞
g (t ) = s (t ) * h (t ) = ∫ s(τ )h(t − τ )dτ
−∞ h(τ )
s(t)

(0,0) τ
t0 t1 t 0 t2 t3

h (t − τ )
h ( −τ )

-t3 -t2 0 τ -t3+t -t2+t
τ

Convolução
Observe que g(t) = 0 para

t ∉ [t0 + t2 , t1 + t3 ]

Convolução Discreta Linear
Convolução linear entre s[n] e h[n]
∞
g[n ] = s[n ] * h[n ] = ∑ s[τ ]h[n − τ ]
τ = −∞
Se s[n] e h[n] têm N0 e N1 amostras,
respectivamente => extensão com zeros:
N −1
g[n ] = s[n ] * h[n ] = ∑ s[τ ]h[n − τ ]
τ =0

com N = N0 + N1 – 1.

6 s (τ ) 6 h(τ )

4 4

2 2

0 1 2 3 4 5 6 τ 0 1 2 3 4 5 τ

6 h(−τ ) 6 h( n − τ )

4 4

2 2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 τ τ
n

6 s (τ )

4

2

0 1 2 3 4 5 6 τ

6 h(−τ )

4
g[0] = 3
2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 τ

6 s (τ )

4

2

0 1 2 3 4 5 6 τ

6 h(1 − τ )

4
g[0] = 3
2

g[1] = 8
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 τ

6 s[n] 6 h[n]

4 4

2 2

0 1 2 3 4 5 6 n 0 1 2 3 4 5 n

30 g[n] = s[n]* h[n]

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n


s[n] Filtro g[n]
h[n]

∞
g[n ] = s[n ] * h[n ] = ∑ s[τ ]h[n − τ ]
τ = −∞

Impulso Unitário
Delta de Dirac ou δ(t)
impulso unitário 1
contínuo
Duração = 0
Área = 1 0 t

δ[n]
Delta de Kronecker
ou impulso unitário 1

discreto
0 n

Sinais = somatório de
impulsos
Delta de Kronecker Aδ[n-n0]

A

0 n0 n

s[n] = s[0]δ [n] + s[1]δ [n − 1] + .... + s[ N − 1]δ [n − ( N − 1)]

N −1
s[n] = ∑ s[τ ]δ [n − τ ]
τ =0

Resposta ao impulso
Resposta de um filtro a s[n]:
N −1 N −1
g[ n] = ∑ s[τ ]h[n − τ ] = ∑ h[τ ]s[n − τ ]
τ =0 τ =0
Resposta de um filtro ao impulso
N −1 N −1
g[ n ] = ∑δ [τ ]h[n − τ ] = ∑δ [n − τ ]h[τ ]
τ =0 τ =0
N −1
h[n] = ∑δ [n − τ ]h[τ ]
τ =0

Resposta ao impulso

h[n]:
Resposta ao impulso
Máscara convolucional
Kernel do filtro
Vetor de coeficientes do filtro

Filtros FIR

Finite Impulse Response
N −1
y[n] = ∑ ak x[n − k ]
k =0

ak = h[k ]

Filtros IIR

Infinite Impulse Response
N −1 M −1
y[n] = ∑ ak x[n − k ] − ∑ bk y[n − k ]
k =0 k =1

Filtros recursivos

Filtros IIR (exemplo)

Encontre a resposta ao impulso do
seguinte sistema recursivo. Supor que o
sistema está originalmente relaxado (y[n]
= 0 para n < 0)

y[n] = x[n] - x[n-1] – 0,5y[n-1]

Filtros IIR (exemplo)

Exemplo:
y[n] = x[n] - x[n-1] – 0,5y[n-1]
y[0] = delta[0]–delta[-1]–0,5y[-1] = 1
y[1] = delta[1]–delta[0]–0,5y[0] = -1,5
y[2] = delta[2]–delta[1]–0,5y[1] = 0,75
y[3]= delta[3]–delta[2]–0,5y[2] = -0,325
y[n] = -0,5y[n-1], n > 1

Filtros IIR (exemplo 2)

Exemplo: encontre a resposta ao impulso
do seguinte sistema recursivo. Supor que
o sistema está originalmente relaxado
(y[n] = 0 para n < 0)

y[n] - y[n-1] = x[n] - x[n-4]

Filtros IIR (exemplo 2)
Exemplo (Solução)
y[n] = y[n-1] + x[n] - x[n-4]
y[0] = y[-1] + delta[0] - delta[-4] = 1
y[1] = y[0] + delta[1] - delta[-3] = 1
y[2] = y[1] + delta[2] - delta[-2] = 1
y[3] = y[2] + delta[3] - delta[-1] = 1
y[4] = y[3] + delta[4] - delta[0] = 0
y[5] = y[4] + delta[5] - delta[1] = 0
y[6] = y[7] = ... = 0

Convolução Discreta Circular
Sinais s[n] e h[n] com N0 e N1 amostras,
respectivamente => extensão com zeros:
⎧ s[n ], 0 ≤ n < N 0 ⎧h[n ], 0 ≤ n < N 1
s e [n ] = ⎨ he [n ] = ⎨
⎩0, N 0 ≤ n < N ⎩0, N 1 ≤ n < N
Extensão periódica: considera-se que
se[n] e he[n] são períodos de sp[n] e hp[n]
Convolução circular:
N −1
g p [n] = s[n] ⊗ h[n] = ∑ s p [τ ]h p [n − τ ]
τ =0

Convolução Circular x Linear

Fazendo-se N = N0 + N1 – 1

s[n ] ⊗ h[n ] = s[n ] * h[n ]

Convolução de Imagens
f[i, j] (R0xC0) e h[i, j] (R1xC1): extensão
por zeros
R −1 C −1
g[i, j ] = f [i, j ] * h[i, j ] = ∑ ∑ f [α , β ]h[i − α , j − β ]
α =0 β =0

R −1 C −1
g p [i, j ] = f [i, j ] ⊗ h[i, j ] = ∑ ∑ f p [α , β ]h p [i − α , j − β ]
α =0 β =0
Iguais se R=R0+R1–1 e C=C0+C1–1

Máscaras Convolucionais
1 1 1 1 0 -1 -1 -1 -1
0 0 0 1 0 -1 -1 8 -1
-1 -1 -1 1 0 -1 -1 -1 -1

1/9 1/9 1/9 0.025 0.1 0.025

1/9 1/9 1/9 0.1 0.5 0.1

1/9 1/9 1/9 0.025 0.1 0.025

Operador de Bordas de
Kirsch
5 5 5 -3 5 5 -3 -3 5
-3 0 -3 -3 0 5 -3 0 5
-3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 5

-3 -3 -3 -3 -3 -3 ...
-3 0 5 -3 0 -3
-3 5 5 5 5 5
Filtragem sucessiva com cada máscara
Pixel de saída recebe o valor máximo

Máscaras Convolucionais
Em geral:
Máscaras de integração somam
para 1
Máscaras de diferenciação somam
para 0

Transformada z
Transformada z de x[n]:
∞
Z {x[n]} = X [ z ] = ∑ x[n] z − n
n =−∞

z: variável complexa

Propriedades da
Transformada z
Linearidade: Se x[n] = ax1[n] + bx2[n],
(a e b: constantes arbitrárias), então:

X [ z ] = aX 1[ z ] + bX 2 [ z ]

Propriedades da
Transformada z
Deslocamento:
Z{x[n+k]} = zkX[z], k inteiro
Prova: ∞
Z {x[n + k ]} = ∑ x[n + k ]z − n
n = −∞
Fazendo m = n+k:
∞ ∞
Z {x[n + k ]} = ∑ x[m]z − ( n − k ) = z k ∑ x[m]z − n = z k X [ z ]
m = −∞ m = −∞

Propriedades da
Transformada z
Convolução:
∞
y[n] = h[n] * x[n] = ∑ h[k ]x[n − k ] <=> Y [ z ] = H [ z ] X [ z ]
k = −∞

Se h[n] é a resposta ao impulso de
um filtro, H[z] é a função de
transferência do filtro

Propriedades da
Transformada z
Convolução (Prova)
∞ ⎡ ∞ ⎤ −n
Z {h[n] * x[n]} = ∑ ⎢ ∑ h[k ]x[n − k ]⎥ z
n = −∞ ⎢ k = −∞
⎣ ⎥
⎦
∞ ∞
= ∑ ∑ h[k ]x[n − k ]z − n
k = −∞ n = −∞
∞ ∞
−k
= ∑ h[k ]z ∑ x[n]z − n
k = −∞ n = −∞

= H [ z]X [ z]

Função de Transferência

Equação de diferenças de um filtro
N −1 M −1
y[n] = ∑ ak x[n − k ] − ∑ bk y[n − k ]
k =0 k =1
M −1 N −1
∑ bk y[n − k ] = ∑ ak x[n − k ]
k =0 k =0
b0 = 1

Transformada Z da Equação de
diferenças

⎧M −1
⎪ ⎫
⎪ ⎧ N −1
⎪ ⎫
⎪
Z ⎨ ∑ bk y[n − k ]⎬ = Z ⎨ ∑ a k x[n − k ]⎬
⎪ k =0
⎩ ⎪
⎭ ⎪k =0
⎩ ⎪
⎭
M −1 N −1
∑ bk Z{ y[n − k ]} = ∑ ak Z{ x[n − k ]}
k =0 k =0
M −1 N −1
∑ bk z − k Y [ z ] = ∑ ak z − k X [z ]
k =0 k =0

Aplicando a transformada z em
ambos os lados e simplificando:
N −1
∑ ak z − k
Y [ z] k =0
H [ z] = =
X [ z] M −1
1+ ∑ bk z − k
k =1

Pólos: raízes do denominador
Zeros: raízes do numerador
Pólos e zeros: estabilidade

BIBO: Bounded-input, bounded-
output
Sistemas BIBO-estáveis: sistemas
causais tais que:

∞
∑ | h[k ] | < ∞
k =0

Estimação da Resposta em
Freqüência
Resposta em freq. a partir de H[z]
∞
H [ z] = ∑ h[n]z − n
n = −∞
∞
H [ e jω ] = ∑ h[n]e − jnω , 0 ≤ ω ≤ 2π
n = −∞

Comparar com
N −1 j 2πun
1 −
F [u ] =
N
∑ s[n ]e N
n =0

Freqüência
Exemplo: encontre a resposta em
freqüência do filtro y[n] = (x[n] + x[n-1])/2
utilizando a transformada Z
Y[z] = (X[z] + z-1X[z] )/2 = X[z](1+z-1)/2
H[z] = (1+z-1)/2
H[ejw] = (1+e-jw)/2 = e-jw/2 (ejw/2 + e-jw/2)/2 =
e-jw/2cos(w/2)
|H[ejw]| = cos(w/2), -pi< w < pi

Freqüência
Exemplo: encontre a resposta em
freqüência do filtro y[n] = (x[n] - x[n-1])/2
utilizando a transformada Z
Y[z] = (X[z] - z-1X[z] )/2 = X[z](1-z-1)/2
H[z] = (1-z-1)/2
H[ejw] = (1-e-jw)/2 = e-jw/2 (ejw/2 - e-jw/2)/2 =
je-jw/2sen(w/2)
|H[ejw]| = |sen(w/2)|, -pi< w < pi

Correlação
Convolução: ∞
g[n ] = s[n ] * h[n ] = ∑ s[τ ]h[n − τ ]
τ = −∞
Correlação:
∞
g[n] = s[n] o h[n] = ∑ s[τ ]h[τ − n]
τ = −∞

Quando um dos sinais é par,
correlação = convolução

Correlação
Exemplo:
h[-1] = 3; h[0] = 7; h[1] = 5;
s[0..15] = {3, 2, 4, 1, 3, 8, 4, 0, 3, 8, 0,
7, 7, 7, 1, 2}

Extensão com zeros

Correlação
Exemplo:
g[−1] = s[0]h[1] = 15
1
g[0] = ∑ s[τ ]h[τ ] = s[0]h[0] + s[1]h[1] = 31
τ =0
2
g[1] = ∑ s[τ ]h[τ − 1] = s[0]h[−1] + s[1]h[0] + s[2]h[1] = 43
τ =0
3
g[2] = ∑ s[τ ]h[τ − 2] = s[1]h[−1] + s[2]h[0] + s[3]h[1] = 39
τ =1
...

Correlação
Exemplo:
g[0..15] = 31, 43, 39, 34, 64, 85, 52, 27,
61, 65, 59, 84, 105, 75, 38, 27
Observe que g[5] é elevado, pois é
obtido centrando h em s[5] e calculando
a correlação entre (3, 7, 5) e (3, 8, 4)
Mas g[12] é ainda maior, devido aos
valores elevados de s[11..13]

Correlação Normalizada
A correlação normalizada elimina a
dependência dos valores absolutos
dos sinais:
∞
∑ s[τ ]h[τ − n]
g[n] = s[n] • h[n] = τ = −∞
∞ ∞
∑ ( s[τ ]) 2 ∑ (h[τ − n]) 2
τ = −∞ τ = −∞

Correlação Normalizada
Resultado para o exemplo anterior:
g[0..15] = .??? .877 .934 .73 .81
.989 .64 .59 .78 .835 .61 .931 .95
.83 .57 .???
Valor máximo: g[5]

Detecção e estimação

Fonte:
http://www.dspguide.com/ch7/3.htm

Detecção e estimação
Gaivota, “filtro casado” (olho) e
imagem de correlação normalizada
(máximo no olho)

Fonte: http://www.dca.fee.unicamp.br/dipcourse/html-dip/c6/s5/front-page.html

Estimação Espectral
O cálculo direto do espectro de
amplitudes e fases não é fidedigno
O espectro pode variar muito em
diferentes seções de um mesmo sinal.

Variância é um indicador de qualidade

O problema pode ser causado por ruído,
escassez de dados, comportamento não
estacionário etc.

Periodograma
O quadrado do módulo do espectro de
amplitudes: densidade espectral de
potência (PSD), ou espectro de potência

Periodograma: dividir sinal em K seções
adjacentes (com ou sem intersecção) de
mesmo tamanho; obter PSD de cada
seção; obter média das PSDs
Variância se reduz por fator K1/2
Resolução espectral diminui

Janelamento (windowing)
Todo sinal discreto obtido a partir de um
sinal analógico é resultado da
multiplicação de um sinal discreto de
duração infinita por um pulso, ou janela,
retangular:

⎧1 0 ≤ n < N
wn = ⎨
⎩0 caso contrário

A janela retangular pode gerar grandes
descontinuidades na forma de onda
original

Multiplicação no tempo equivale a
convolução na freqüência (Fourier)
DFT da janela retangular: função sinc
(sine cardinal, kernel de Dirichlet, função
de amostragem):

⎧1 x=0
⎪
sinc( x) = ⎨ sen x
⎪ x caso contrário
⎩

A convolução com um sinc introduz
distorções no espectro
Janelas mais “suaves” reduzem estas
distorções, mas distorcem mais as
amostras centrais-> Compromisso
Dezenas dessas janelas tem sido
avaliadas e utilizadas em diversas
aplicações

Janela de Hamming
⎧ ⎛ 2πn ⎞
⎪0,54 − 0,46 cos⎜ ⎟ 0≤n<N
wn = ⎨ ⎝ N −1⎠
⎪0 caso contrário
⎩

Janela de Hamming
Seno multiplicado por janela retangular e
de Hamming

Janela de Hamming
DFT de seno multiplicado por janela
retangular e de Hamming

Outras Janelas
Blackman-Harris, Dolph-Chebyshev,
Kaiser-Bessel (superiores?)
Tukey, Poisson, Hanning etc

Dissolve Cruzado
ht (i, j)= (1 - t) f(i, j) + t g(i, j)
t é um escalar no intervalo [0, 1]

Dissolve Cruzado

t = 0,3 t = 0,5 t = 0,7

Dissolve Cruzado Não-
Uniforme
ht(i, j)= [1 - t(i, j)] f(i, j) + t(i, j) g(i, j)
t é uma matriz com as mesmas
dimensões de f e g cujos elementos
assumem valores no intervalo [0, 1]

Dissolve Cruzado Não-
Uniforme

t(i,j)=(i+j)/(R+C-2) t(i,j)=j/(C-1) t(i,j)=i/(R-1)

Detecção de Movimento
⎧L − 1, se | f1 − f 2 |≥ Lt
g=⎨
⎩0, caso contrario

f1 f2 g

Redução de Ruído por Média
de Imagens
f[i, j] imagem sem ruído
nk(i, j) ruído de média m
gk[i,j] = f[i,j] + nk(i,j)

M
1
g [i, j ] = ∑
M k =1
g k [i, j ]

Redução de Ruído por Média
de Imagens
M
1
g [i, j ] = ∑
M k =1
( f [i, j ] + nk (i, j ))

M
1
g [i, j ] = f [i, j ] + ∑
M k =1
nk (i, j )

Para M grande:

g [i, j ] = f [i, j ] + m

Operações Topológicas

Rígidas
Translação
Rebatimento
Rotação
Mudança de Escala
Não rígidas (Warping)

Rotação
Rotação em torno de (ic, jc)

i ' = (i − ic ) cosθ − ( j − jc ) sen θ + ic
j ' = (i − ic ) sen θ + ( j − jc ) cosθ + jc

Rotação e Rebatimento

Imagem original Rebatimento pela Rotação de 90
diagonal graus em torno
de (R/2,C/2)

Ampliação (Zoom in)
Por replicação de pixels

Original Ampliação por fator 3

10 10 10 10 10 10 10 10
20 30 10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10
20 20 20 30 30 30
20 20 20 30 30 30
20 20 20 30 30 30

Por interpolação bilinear

10 10 10 10 10 10 10 10
20 30

Interpolação nas linhas
Passos de níveis de cinza:
20 23 27 30 33 37
10 a 10: 0
20 a 30: (30-20)/3 = 3,3

Por interpolação bilinear

10 10 10 10 10 10 10 10
20 30 13 14 16 17 18 19
Interpolação nas colunas 17 19 21 23 25 28
Passos de níveis de cinza:
20 23 27 30 33 37
10 a 20: (20-10)/3 = 3,3
10 a 23: (23-10)/3 = 4,3 23 27 33 37 41 46
10 a 27: (27-10)/3 = 5,7 27 32 38 43 48 55
...

Exemplo: Ampliação por fator 10

Original Replicação Interpolação

Redução (Zoom out)
Por eliminação de pixel
Por Média
Original Redução por fator 3
10 10 10 10 10 10
14 18
13 14 16 17 18 19
28 41
17 19 21 23 25 28
20 23 27 30 33 37
23 27 33 37 41 46
27 32 38 43 48 55

Reconstrução de Imagens
Zoom por fatores não inteiros
Ex: F = 3,75432
Operações elásticas, etc.
Técnicas mais avançadas devem ser
utilizadas
Uma dessas técnicas é a reconstrução
de imagens

Reconstrução de imagens
Dados f(i,j), f(i,j+1), f(i+1,j), f(i+1,j+1)
(i, j) (i, y) (i, j+1)
Reconstrução:
Encontrar f(x,y), (x,y)
x em [i, i+1]
y em [j, j+1]

(i+1, j) (i+1, y) (i+1, j+1)

por interpolação bilinear
f(i, y) = f(i, j)+(y–j)[f(i, j+1)-f(i, j)]
f(i+1,y)=f(i+1,j)+(y–j)[f(i+1,j+1)-f(i+1, j)]
f(x, y) = f(i, y) + (x – i) [f(i+1, y) - f(i, y)]
(i, j) (i, y) (i, j+1)

(x,y)

(i+1, j) (i+1, y) (i+1, j+1)

Ex: f(10.5, 15.2)=?

f(10, 15) = 10; f(10, 16) = 20;
f(11,15) = 30; f(11, 16) = 30

Solução:
x = 10.5; y = 15.2 => i = 10; j = 15
f(i, y) = f(i, j)+(y–j)[f(i, j+1)-f(i, j)]
f(10, 15.2)=f(10,15)+(15.2-15)*[f(10,16)-f(10,15)
= 10 + 0.2*[20 – 10] = 12
f(i+1,y)=f(i+1,j)+(y–j)[f(i+1,j+1)-f(i+1, j)]
f(11, 15.2)=f(11,15)+(15.2-15)*[f(11,16)-f(11,15)
=30 + 0.2*[30 – 30] = 30
f(x, y) = f(i, y) + (x–i) [f(i+1, y) - f(i, y)]
f(10.5, 15.2)=12+(10.5-10)*[30-12] =21

Zoom por reconstrução de
imagens
Ex: Ampliação por fator 2.3
Passo para as coordenadas: 1/2.3 = 0.43
x = 0, 0.43, 0. 87, 1.30, 1.74, 2.17, 2.61, 3.04...
y = 0, 0.43, 0. 87, 1.30, 1.74, 2.17, 2.61, 3.04...
g(0,0) = f(0,0); g(0,1) = f(0, 0.43);
g(0,2) = f(0, 0.87); g(0,3) = f(0, 1.30);...

Ex: Redução por fator 2.3
x = 0, 2.3, 4.6, 6.9, 9.2, 11.5, 13.8...
y = 0, 2.3, 4.6, 6.9, 9.2, 11.5, 13.8...
g(0,0) = f(0,0); g(0,1) = f(0, 2.3);
g(0,2) = f(0, 4.6); g(0,3) = f(0,6.9);...

Operações Topológicas Não
Rígidas (warping)
Warping = distorção
Zoom por fator F(i, j)
Rotação por ângulo teta(i,j)
Translação com deslocamento d(i,j)
Warping especificado pelo usuário

Warping baseado em
Campos
Entretenimento
Efeitos especiais
Correção de distorções óticas
Alinhamento de elementos da
imagens (registro)
Morphing
Modelagem e visualização de
deformações físicas

Warping baseado em
Campos
1. Características importantes da
imagem são marcados por
segmentos de reta orientados
(vetores de referência)
2. Para cada vetor de referência, um
vetor alvo é especificado, indicando
a transformação que se pretende
realizar

Warping baseado em
Campos
3. Para cada par de vetores
referência-alvo, encontra-se o
ponto X’ para onde um ponto X da
imagem deve migrar, de forma que
as relações espaciais entre X’ e o
vetor alvo sejam idênticas àquelas
entre X e o vetor de referência
4. Parâmetros para as relações
espaciais : u e v

Warping baseado em
Campos
u: representa o
deslocamento
normalizado de P
até O no sentido
do vetor PQ
(Normalizado:
dividido pelo
módulo de PQ)
v: distância de X à
reta suporte de PQ

Warping baseado em
Campos
Se O=P, u = 0
Se O=Q, u = 1
Se O entre P e
Q, 0<u<1;
Se O após Q,
u>1
Se O antes de
P, u<0

Warping baseado em
Campos
Encontrar u e v: norma, produto interno,
vetores perpendiculares, projeção de um
vetor sobre outro.
Vetores a = (x1, y1) e b = (x2, y2)
Norma de a:

|| a || = x12 + y12

Produto interno:
a.b = x1x2 +y1y2

Warping baseado em
Campos
Norma da projeção de
a sobre b:
a
a.b
|| c || =
|| b ||
b

c

Warping baseado em
Campos
Vetores b = (x2, y2) perpendicular a a
= (x1, y1) e de norma igual à de a:
b a

Perpendicularidade: x1x2 +y1y2 = 0
Mesma norma: x22 + y22 = x12 + y12

Warping baseado em
Campos
Soluções:
x2 = y1, y2 = -x1
x2 = -y1, y2 = x1

b a

b’

Warping baseado em
Campos
Parâmetro u:
norma da projeção
de PX sobre PQ,
dividido pela norma
de PQ

PX . PQ
u= 2
|| PQ ||

Warping baseado em
Campos
P = (xp,yp), Q =
(xq, yq), X = (x,y)

PX .PQ
u= 2
|| PQ ||

u = (x - xp).(xq - xp) + (y -yp)(yq – yp)
(xq-xp)2 + (yq-yp)2

Warping baseado em
Campos
Parâmetro v:
distância de X à
reta suporte de PQ

PX . ⊥ PQ
v=
|| PQ ||
⊥v: vetor
perpendicular a v e
de mesma norma
que este.

Warping baseado em
Campos
PQ = (Xq-Xp, Yq-Yp)
⊥PQ1 = (Yq–Yp, Xp-Xq)
⊥PQ2 = (Yp–Yq, Xq-Xp)
Vamos usar ⊥PQ1

Warping baseado em
Campos
Parâmetro v:

PX . ⊥ PQ
v=
|| PQ ||

v = (x-xp)(yq-yp) + (y-yp)(xp–xq)
[(xq-xp)2 + (yq-yp)2]

Warping baseado em
Campos
Cálculo de X’:

v. ⊥ P' Q'
X ' = P '+u.P ' Q '+
|| P ' Q ' ||

Warping baseado em
Campos

PX . PQ
u=
|| PQ || 2

PX . ⊥ PQ
v=
|| PQ ||

v. ⊥ P' Q'
X ' = P '+u.P ' Q '+
|| P ' Q ' ||

Warping baseado em
Campos
Quando há mais de um par de vetores
referência-alvo, cada pixel sofre a
influência de todos os pares de vetores
Será encontrado um ponto Xi’ diferente
para cada par de vetores referência-alvo.
Os diferentes pontos para os quais o
ponto X da imagem original seria levado
por cada par de vetores referência-alvo
são combinados por intermédio de uma
média ponderada, produzindo o ponto X’
para onde X será efetivamente levado.

Warping baseado em
Campos
Peso da coordenada definida pelo i-ésimo
par de vetores de referência-alvo:

di: Distância entre X e o segmento PiQi
li: ||Pi Qi||
a, b e p : Parâmetros não negativos

Warping baseado em
Campos
Relação inversa com a distância entre a
reta e o ponto X
Parâmetro a : Aderência ao segmento
a = 0 (Peso infinito ou aderência máxima)

Warping baseado em
Campos
Parâmetro p controla a importância do
tamanho do segmento
p = 0: independe do tamanho do
segmento

Warping baseado em
Campos
Parâmetro b controla a forma como a
influência decresce em função da
distância
b = 0: peso independe da distância

Warping baseado em
Campos
Bons resultados são obtidos com:
a entre 0 e 1
b=2
p = 0 ou p = 1.

Morphing
Interpolação de formas e cores
entre duas imagens distintas
(f0 e fN-1)
Encontrar imagens f1, f2, ..., fN-2:
transição gradual de f0 a fN-1
Efeitos especiais na publicidade e na
indústria cinematográfica; realidade
virtual; compressão de vídeo; etc.

Morphing
Warping de f0

cki

f0 fN-1

ai bi
“+”
Warping de fN-1

cki

Morphing
ai c1i
c2i
c3i
c4i
c5i
c6i c7i
c8i
c9i
bi

Técnicas no Domínio da
Freqüência
Conversão ao domínio da freqüência:
transformadas
Processamento e análise no domínio da
freqüência
Fourier, Cosseno Discreta, Wavelets,
etc.

Cosseno Analógico
f: freqüência x (t ) = A cos[2πft + θ ]
T=1/f: período A

θ : fase
A: amplitude
Gráfico para
fase nula e A>0

T

Uma Família de Funções
Cosseno Analógicas
xk (t ) = Ak cos[2πf k t + θ k ], k = 0, 1, ..., N − 1

fk: freqüência do k-ésimo cosseno
Tk =1/fk: período do k-ésimo
cosseno
θ k : fase do k-ésimo cosseno
Ak: amplitude do k-ésimo cosseno

Cosseno Discretas

x k [n ] = Ak cos[2πf k n + θ k ], n = 0,1,...,N − 1

k = 0,1,...N-1

Cosseno Discretas
1/ 2
⎛2⎞
Ak = ⎜ ⎟ ck X k
⎝N⎠
⎧(1/2)1/2
⎪ para k = 0
ck =⎨
⎪1
⎩ para k = 1, 2, ... N - 1
k 2N kπ
fk = Tk = θk =
2N k 2N

1/ 2
⎛2⎞ ⎡ ( 2n + 1)kπ ⎤
x k [n ] = ⎜ ⎟ c k X k cos ⎢ ⎥, n = 0,1,...,N − 1
⎝N⎠ ⎣ 2N ⎦

Cosseno Discretas
1/ 2
⎛2⎞ ⎡ ( 2n + 1)kπ ⎤
x k [n ] = ⎜ ⎟ c k X k cos ⎢ ⎥, n = 0,1,...,N − 1
⎝N⎠ ⎣ 2N ⎦
1/ 2 1/ 2
⎧ f0 = 0 ⎛ 2 ⎞ ⎛1⎞
k =0⇒⎨ ⇒ x0 [n ] = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ X 0 , n = 0,1,...,N − 1
⎩θ 0 = 0 ⎝ N ⎠ ⎝2⎠

1
k = 1 ⇒ f1 = ⇒ T1 = 2 N (meio-período em N amostras)
2N
N −1 2N
k = N − 1 ⇒ f N −1 = ⇒ TN −1 =
2N N −1

Cosseno Discretas
xk[n] (N = 64, Xk = 10).
2

1

0

-1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

k=1
Meio-ciclo

Cosseno Discretas
2

1
k=2
0
1 ciclo -1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

2

1
k=3
0
1,5 ciclo -1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

Cosseno Discretas
2

k=32
1

16 ciclos
0

-1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

2

1

Para 0

visualização -1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

Cosseno Discretas
2

k=63 1

31,5 ciclos 0

-1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

2

1
Para
0

visualização -1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

Cosseno Discretas
Amostragem de um sinal periódico não
necessariamente produz um sinal de
mesmo período (ou mesmo periódico).

Somando Cossenos
Discretos
Criar um sinal x[n] somando-se os sinais
xk[n], k = 0...N-1, amostra a amostra:
N −1
x[n ] = ∑ x k [n ], n =0,1,...,N − 1
k =0

1 / 2 N −1
⎛2⎞ ⎡ ( 2n + 1)kπ ⎤
x[n ] = ⎜ ⎟ ∑ c k X k cos⎢ 2 N ⎥, n = 0,1,...,N − 1
⎝N⎠ k =0 ⎣ ⎦

Somando Cossenos
Discretos
Exemplo:
N = 8; X0 = 10; X1 = 5; X2 = 8,5; X3 = 2;
X4 = 1; X5 = 1,5; X6 = 0; X7 = 0,1.

5
1/ 2
1⎛1⎞
4 x 0 [n ] = ⎜ ⎟ 10
2⎝2⎠
3 =3.5355
2
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
X1 = 5
4 5 ⎡ ( 2n + 1)π ⎤
x1 [n ] = cos⎢
2
2 ⎣ 16 ⎥ ⎦
0
=2.4520; 2.0787; 1.3889;
-2
0.4877; -0.4877; -1.3889;
-4
0 2 4 6 8
-2.0787; -2.4520
6

4
x0[n]+x1[n]
2

0
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
X2 = 8,5
8.5 ⎡ ( 2n + 1)2π ⎤
x 2 [n ] =
4
cos⎢ ⎥
2 2 ⎣ 16 ⎦
0
= 3.9265; 1.6264; -1.6264;
-2
-3.9265; -3.9265; -1.626;
-4
0 2 4 6 8
1.6264; 3.9265
10

5
x0[n]+x1[n] +x2[n]
0

-5
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
X3 = 2
1 2 ⎡ ( 2n + 1)3π ⎤
x 3 [n ] = cos⎢ ⎥
0.5 2 ⎣ 16 ⎦
0
= 0.8315; -0.1951; -0.9808;
-0.5
-0.5556; 0.5556; 0.9808;
-1
0 2 4 6 8
0.1951; -0.8315
15

10

5 x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n]
0

-5
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
X4 = 1
0.4
1 ⎡ (2n + 1)4π ⎤
x 4 [n ] = cos⎢ ⎥
0.2
2 ⎣ 16 ⎦
0
= 0.3536; -0.3536; -0.3536;
-0.2
0.3536; 0.3536; -0.3536;
-0.4
0 2 4 6 8
-0.3536; 0.3536
15

10

5 x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n]
0 +x4[n]
-5
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
X5 = 1,5
1
1.5 ⎡ (2n + 1)5π ⎤
x 5 [n ] = cos⎢ ⎥
0.5
2 ⎣ 16 ⎦
0

-0.5
= 0.4167 -0.7356 0.1463
0.6236 -0.6236 -0.1463
-1
0 2 4 6 8 0.7356 -0.4167
15

10

5 x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n]
0 +x4[n]+x5[n]
-5
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
X6 = 0
0 ⎡ ( 2n + 1)6π ⎤
x 6 [n ] = cos⎢
1

0.5 2 ⎣ 16 ⎥
⎦
=0
0

-0.5

-1
0 2 4 6 8
15

10

5 x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n]
0 +x4[n]+x5[n]+x6[n]
-5
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
X7 = 0,1
0.1 ⎡ ( 2n + 1)7π ⎤
x 7 [n ] =
0.05
cos⎢ ⎥
2 ⎣ 16 ⎦
0
= 0.0098; -0.0278; 0.0416;
-0.0490’; 0.0490; -0.0416;
-0.05
0 2 4 6 8
0.0278; -0.0098
15

10

5 x[n]=x0[n]+x1[n]+x2[n]+
0 x3[n] +x4[n]+x5[n]+x6[n]
-5
+x7[n]
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
X[k] é um sinal digital: X[k]= X0, X1,...XN-1
Exemplo: X[k]=10;5;8.5;2;1;1.5;0;0.1
Dado X[k] pode-se obter x[n]
X[k]: representação alternativa para x[n]

X[k] x[n]
10 15

10

5 5

0

0 -5
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
xk[n]: cosseno componente de x[n],
de freqüência fk = k/2N; ou
xk[n]: componente de freqüência
fk = k/2N;
X[k]: Diretamente relacionado com a
amplitude da componente de
freqüência fk = k/2N
X[k] representa a importância da
componente de freqüência fk = k/2N

Transformada Cosseno
Discreta (DCT)
DCT de x[n]:
1/ 2 N −1
⎛2⎞ ⎡ (2n + 1)kπ ⎤
X [k ] = ⎜ ⎟ ck ∑ x[n ] cos⎢ ⎥, k = 0,1,...,N − 1
⎝N⎠ n =0 ⎣ 2N ⎦

Transformada DCT inversa (IDCT) de
X[k]:
1 / 2 N −1
⎛2⎞ ⎡ (2n + 1)kπ ⎤
x[n ] = ⎜ ⎟ ∑ ck X [k ] cos⎢ 2 N ⎥, n = 0,1,...,N − 1
⎝N⎠ k =0 ⎣ ⎦

Transformada Cosseno
Discreta (DCT)

X[k]: coeficientes DCT
X: representação de x no domínio da
freqüência
X[0]: coeficiente DC (Direct Current)
X[1]...X[N-1]: coeficientes AC
(Alternate Current)
Complexidade
Algoritmos eficientes: FDCT

DCT – Exemplo 1
g1

0.1

0

-0.1

-0.2
0 20 40 60 80 100 120
g3 g1 + g3
2 2

1 1

0 0

-1 -1
-2
-2
0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120

DCT – Exemplo 1 (Cont.)
g10 g 1 +g 3 +g 10
2 2

1 1

0 0

-1 -1
-2
-2
0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120
g118 g1+ g3+ g10+ g118
2
0.1
1

0 0

-0.1 -1

-2
-0.2
0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120

DCT – Exemplo 2
60 ⎛ 1 π ⎞
f1[n] = 29.99 cos⎜ 2 π n+ ⎟
40 ⎝ 2N 2N ⎠

20
0
-20
-40
-60
0 10 20 30 40 50 60
60 ⎛ 2 π ⎞ 150 f1 + f 2
f 2 [n] = 48.54 cos⎜ 2 π n+ ⎟
40 ⎝ 2N 2N ⎠
100
20
50
0
-20 0

-40 -50
-60
-
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60

60 ⎛ 3 π ⎞ 150 f1 + f 2 + f 3
f 3 [n] = 34.23 cos⎜ 2 π n+ ⎟
40 ⎝ 2N 2N ⎠
100
20
50
0
-20 0

-40 -50
-60
-
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60
60 ⎛ 4 π ⎞ 150 f1 + f 2 + ... + f 4
f 4 [n] = -35.19 cos⎜ 2 π n+ ⎟
40 ⎝ 2N 2N ⎠
100
20
50
0
-20 0

-40 -50
-60
-
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60

150
60 ⎛ 5 π ⎞ f1 + f 2 + ... + f 6
f 5 [n] = -34.55 cos⎜ 2 π n+ ⎟
40 ⎝ 2N 2N ⎠ 100

20 50

0 0
-20
-50
-40
-
-60
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60
150
60 ⎛ 6 π ⎞ f1 + f 2 + ... + f 6
f 6 [n] = -33.29 cos⎜ 2 π n+ ⎟
40 ⎝ 2N 2N ⎠ 100
20 50
0
0
-20
-50
-40
-60 -

0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60

200
60 ⎛ 7 π ⎞ f1 + f 2 + ... + f 7
f 7 [n] = -63.42 cos⎜ 2 π n+ ⎟ 150
40 ⎝ 2N 2N ⎠
100
20
50
0
0
-20
-40 -50

-60 -
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60

60 ⎛ 8 π ⎞ f1 + f 2 + ... + f 8
f 8 [n] = -42.82 cos⎜ 2 π n+ ⎟ 200
40 ⎝ 2N 2N ⎠
150
20
100
0
50
-20
0
-40
-50
-60
-
0 10 20 30 40 50 60

60 ⎛ 9 π ⎞ f1 + f 2 + ... + f 9
f 9 [n] = -10.31cos⎜ 2 π n+ ⎟ 200
40 ⎝ 2N 2N ⎠
150
20 100
0 50
-20 0
-40 -50
-60 -
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60
60 ⎛ 10 π ⎞ f1 + f 2 + ... + f10
f10 [n] = 7.18 cos⎜ 2 π n+ ⎟ 200
40 ⎝ 2N 2N ⎠
150
20 100
0 50
-20 0
-40 -50
-60 -
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60

600
60 ⎛ 20 π ⎞ f1 + f 2 + ... + f 20
f 20 [n] = -62.24 cos⎜ 2 π n+ ⎟
40 ⎝ 2N 2N ⎠
400
20
0 200

-20
0
-40
-60
-
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60

60 ⎛ 40 π ⎞ 100 f1 + f 2 + ... + f 40
f 40 [n] = 35.54 cos⎜ 2 π n+ ⎟
40 ⎝ 2N 2N ⎠
800
20 600
0 400
-20 200
-40 0
-60 -
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60

60 ⎛ 60 π ⎞ 120 f1 + f 2 + ... + f 60
f 60 [n] = -6.73 cos⎜ 2 π n+ ⎟
40 ⎝ 2N 2N ⎠ 100
800
20
600
0
400
-20 200
-40 0
-60 -
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60
60 ⎛ 63 π ⎞ 120 f1 + f 2 + ... + f 63
f 63 [n] = -1.51cos⎜ 2 π n+ ⎟
40 ⎝ 2N 2N ⎠ 100
800
20
600
0
400
-20
200
-40 0
-60 -
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60

DCT – Exemplo 3
1250
1200

Sinal 1150
1100
eletrocardiográfico, 1050

2048 amostras 1000
950
900
850
0 500 1000 1500 2000
400

DCT do sinal 200

eletrocardiográfico 0
(sem termo DC)
-200

-400
0 500 1000 1500 2000

DCT – Exemplo 4
20

Onda Quadrada 10

0

-10

-20
0 10 20 30 40 50 60
60
40

DCT da Onda 20

Quadrada 0
-20

-40
-60
0 10 20 30 40 50 60

Freqüências em Hz

Ta = 1/fa (Período de amostragem)
N amostras ---- (N-1)Ta segundos

1 1 fa
f1 = (adimensional) ↔ f1 = = Hz
2N 2( N − 1)Ta 2( N − 1)

fa fa
f N −1 = ( N − 1) = Hz
2( N − 1) 2

Freqüências em Hz

Aumentar N melhora a resolução de
freqüência.
Aumentar fa aumenta a freqüência
máxima digitalizável, em Hz.
Dualidade com o domínio do tempo

Freqüências em Hz
Sinal de ECG, N= 2048, fa=360Hz
Valores em Hz para k = 14, 70, 683 e 2047
14

70 683 2047

Freqüências em Hz

f1 = fa/[2(N-1)] Hz = 360/(2x2047) =
0,087933561
f14 = 14f1 = 1,23 Hz
f70 = 70f1 = 6,16 Hz
f683 = 683f1 = 60,06 Hz
f2047 = 2047f1 = 180 Hz

Freqüências em Hz
Observações
fa = 360 Hz <=> Ta = 0,002778 Hz
Tempo total para 2048 amostras = 5,69s
Um batimento cardíaco: aprox. 0,8 s
“Freqüência” Cardíaca: aprox. 1,25 bat./s
= 1,25 Hz, ou 75 batimentos/min.
“Freqüência” Cardíaca aprox. igual a f14

Freqüências em Hz
Onda quadrada, N = 64, fa = 1Hz
Valores em Hz para k = 7, 8, 9 e 63
60
40

20

0

-20
-40
-60
0 7 9 63

Freqüências em Hz
f1 = fa/[2(N-1)] Hz = 1/(2x63) =
0,007936507
f7 = 7f1 = 0,0556 Hz
f8 = 8f1 = 0,0625 Hz
f9 = 9f1 = 0,0714 Hz
f63 = 63f1 = 0,5 Hz
Obs:
Período do sinal = 16 s
Freqüência da onda = 0,0625

Freqüências e Conteúdo de
Freqüência

Sinal periódico
Freqüência
Freqüências componentes
Sinal não-periódico:
Freqüências componentes

Sinais analógicos senoidais

Representação em freqüência de um sinal
analógico senoidal?

Sinal analógico senoidal, de freqüência f

fa mínimo para digitalização adequada?

Se f não é múltiplo de f1?

Amostragem de Senóides
Cosseno com f=10Hz, fa=100Hz, N=26
1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

DCT do cosseno com f = 10Hz, fa=100Hz, N=26
4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Vazamento de freqüência: mais de uma
componente de freqüência para uma
senóide
Minimizar vazamento de freqüência:
aumentar N

Cosseno com f = 30Hz, fa=100Hz, N=26
1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Sinal digital obtido a partir do cosseno de
52Hz é idêntico ao obtido a partir do
cosseno de 48 Hz
1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

0 0

-0.2 -0.2

-0.4 -0.4

-0.6 -0.6

-0.8 -0.8

-1 -1
0 0.0 0.1 0.1 0.2 0.2 0 0.0 0.1 0.1 0.2 0.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Sinal digital obtido a partir do cosseno de
70Hz é idêntico ao obtido a partir do
cosseno de 30 Hz
1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

0 0

-0.2 -0.2

-0.4 -0.4

-0.6 -0.6

-0.8 -0.8

-1 -1
0 0.0 0.1 0.1 0.2 0.2 0 0.0 0.1 0.1 0.2 0.2

Aliasing

Na DCT, a maior freqüência é fa/2
Aliasing: sinais senoidais de
freqüência f > fa/2 são discretizados
como sinais senoidais de freqüência
fd < fa / 2 (fd=fa–f, para fa/2 < f < fa)

Teorema de Shannon-
Nyquist

Sinal analógico com fmax Hz
(componente)
Digitalizar com fa Hz, tal que:
fa
> f max ⇔ f a > 2 f max
2
2fmax: Freq. de Nyquist

Digitalização de áudio
Ouvido humano é sensível a freq.
entre 20Hz e 22KHz (aprox.)
Digitalizar com 44KHz?
Sons podem ter freqüências
componentes acima de 22KHz
Digitalização a 44KHz: aliasing.
Filtro passa-baixas com freqüência
de corte em 22KHz = Filtro anti-
aliasing

Eliminação de pixels
revisitada
Por que redução de imagens (ou
outros sinais) por eliminação de
pixel pode ser ruim?

Aliasing!

Usar filtro passa-baixas!

Filtros no domínio da
freqüência

Multiplicar X pela função de
transferência do filtro, H
Filtros:
Passa-baixas
Passa-altas
Passa-faixa
Corta-baixas
Corta-altas
Corta-faixa (faixa estreita: notch)

Filtros no domínio da freq.
Ideais H Passa-baixas H Passa-altas
(corta-altas) (corta-baixas)
1 1

fc N-1 fc N-1

H Passa-faixa H corta-faixa

1 1

fc1 fc2 N-1 fc1 fc2 N-1

Filtros no domínio da
freqüência

Combinação de filtros
Filtros não-ideais (corte suave,
H(fc)=1/2)

DCT 2-D

Operação separável
Complexidade elevada
N −1 N −1
1 ⎡ (2m + 1)kπ ⎤ ⎡ (2n + 1)lπ ⎤
X [k, l ] = ck cl ∑ ∑ x[m, n]cos⎢ ⎥ cos⎢ 2N ⎥
2N m=0 n=0 ⎣ 2N ⎦ ⎣ ⎦

1 N −1N −1 ⎡ (2k + 1)mπ ⎤ ⎡ (2l + 1)nπ ⎤
x[m, n] = ∑ ∑ckcl X [k, l]cos⎢ 2N ⎥ cos⎢ 2N ⎥
2N k =0 l =0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

DCT 2-D
Imagem “cosseno na vertical”, 256 x 256,
8 ciclos (k = 16) e sua DCT normalizada

DCT 2-D
Imagem “cosseno na vertical”, 256 x 256,
16 ciclos (k = 32) e sua DCT normalizada

DCT 2-D
Imagem “cosseno na horizontal x cosseno
na vertical”, 256 x 256, 16 ciclos (k = 32)
e sua DCT normalizada

DCT 2-D
Imagem “cosseno na horizontal x cosseno
na vertical”, 256 x 256, 8 x 16 ciclos e
sua DCT normalizada

DCT 2-D
Imagem “Lena” (256x256) e sua DCT
normalizada

DCT 2-D
Imagem “Lena” (256x256) e o log(DCT+1)
normalizado

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