1. y R B
m 
T
r 1 T
L2
x F จุด
m A 3 m
m m หมุน L1

R O 
2M
300 A
M
15
T1 cm F
A
B F 20 cm
T2 5 cm A
C
ตำแหน่ง
A สมดุล C R B
P
200
(kg.m/s)
100
V P
30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 60 0.4 1.0 m 0.2 m R a - 10 t(s)
m 100
1

2. บทที่ 4
เรื่อง การเคลือนทีแบบต่ าง ๆ
่ ่
1. การเคลือนที่แบบโพรเจกไทล์
่
2. การเคลือนทีแบบวงกลม
่ ่
3. การเคลือนทีแบบฮาร์ มอนิกอย่ างง่ าย
่ ่
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 2

3. พิจารณาการเคลือนทีของวัตถุ
่ ่
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 3

4. พิจารณาการเคลือนทีของวัตถุ
่ ่
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 4

5. สรุป การเคลือนทีเ่ มือปล่ อยให้ วตถุตก
่ ่ ั
ในแนวดิงเป็ นการเคลือนทีตกแบบเสรี
่ ่ ่
ในกรณีททาให้ วตถุเคลือนทีไปในแนว
ี่ ั ่ ่
ระดับนั้น ขณะเดียวกัน จะตกแบบเสรี
ด้ วย การเคลือนทีจะอยู่ในแนวโค้ ง เรียก
่ ่
วัตถุทมการเคลือนทีแบบนีว่า การเคลือน
ี่ ี ่ ่ ้ ่
ทีแบบโพรเจกไทล์ (Projectile)
่
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 5

6. พิจารณาการเคลือนทีในแนวระดับ
่ ่
sx
sy
vx
vy
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 6

7. ในแนวแกน x ความเร็วมีค่าคงทีเ่ ป็ น vx
ระยะทางในแนวแกน x เป็ น
sx = vx t
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 7

8. พิจารณาการเคลือนทีในแนวดิง
่ ่ ่
ในการพิจารณาการเคลือนที่ในแนวดิง
่ ่
จะเหมือนกับการพิจารณาการเคลือนที่่
ของวัตถุทตกแบบเสรี
ี่
โดยมีความเร่ งเป็ น g
vy = gt
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 8

9. g 2
sy = 2
sx
2 vx
y = kx 2
สมการทีได้ เป็ นสมการของเส้ นโค้ ง
่
พาราโบลา
ดังนั้นแนวการเคลือนทีจึงเป็ นไป
่ ่
ตามเส้ นโค้ งพาราโบลา
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 9

10. ตัวอย่ าง 1 ขว้ างวัตถุในแนวราบด้ วยความ
เร็ว 15 m/s จากขอบหน้ าผาสู ง 20 m ไปตก
บนพืนข้ างล่ าง ก้ อนหินจะตกห่ างขอบหน้ า
้
ผากีเ่ มตร
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 10

11. ตัวอย่ าง 2 กระสุ นปื นถูกยิงออกในแนวราบ
จากหน้ าผาสูง 160 m โดยมีความเร็วต้ น
20 m/s ความเร็วของกระสุ นปื นในแนวดิง ่
ขณะตกถึงพืนเป็ นกีเ่ มตร/วินาที
้
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 11

12. การหาการกระจัด และความเร็วลัพธ์
ของวัตถุซึ่งเคลือนทีแบบโพรเจกไทล์
่ ่

sx
sy d
sy
sx
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 12

13. 
sx
sy d
sy
sx
d = sx + s y
sy
d  s s 2 2 tan  
x y sx
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 13

14. การหาความเร็วขณะหนึ่งของการเคลือนที่ ่
แบบโพรเจกไทล์ ณ จุดใด ๆ บนแนวการ
เคลือนที่ ความเร็วลัพธ์ ของ vx และ vy จะ
่
อยู่ในแนวเส้ นสั มผัสเส้ นโค้ งของการเคลือน
่
ที่ ณ จุดนั้น b
vx
vy v
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 14

15. ตัวอย่ าง 3 ดีดเหรียญออกจากขอบโต๊ ะสู ง
จากพืน 80 cm โดยให้ เหรียญมีความเร็วต้ น
้
อยู่ในแนวระดับและมีค่า 3 m/s
จงหาการกระจัดและความเร็วของเหรียญ
ขณะกระทบพืน ้
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 15

16. 1. เด็กคนหนึ่งยืนอยู่บนหน้ าผาสู ง แล้ วขว้ าง
ลูกบอลออกไปในแนวระดับ จงหาว่ าวัตถุจะ
สู งจากพืนเท่ าไร หลังจากขว้ างลูกบอล
้
ออกไป ทีเ่ ด็กคนนีจะเห็นลูกบอลเคลือนทีใน
้ ่ ่
ทิศทามุม 45 0 กับแนวระดับ
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 16

17. 2. เครื่องบินลาหนึ่งบินไล่ เรือตอร์ ปิโด ซึ่งวิง
่
ในแนวเดียวกันเครื่องบินบินในแนวระดับ
ด้ วยความเร็ว 120 m/s สู ง 500 m เรือตอร์ ปิ
โดวิงด้ วยความเร็ว 25 m/s ถ้ านักบินต้ องการ
่
ทิงระเบิดให้ ถูกเรือ เขาจะต้ องทิงระเบิดเมือ
้ ้ ่
เครื่องบินห่ างจากเรือเป็ นระยะเท่ าใดใน
แนวราบ
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 17

18. ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 18

19. ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 19

20. vy vA B vx
A vx C vx
vC
uy u vy
 ux D
vx

vy vD
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 20

21. uy u x  u cos 
u
 ux u y  u sin 
1 2
sx  u xt s y  u y t  gt
2
sx  u cos  t 1 2
s y  u sin  t  gt
sx 2
t
u cos 
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 21

22. 2
 sx  1  sx 
s y  u sin     g 
 u cos   2  u cos  
g
s y  tan  s x  2
2
sx
2u cos 2
g
sy  2 s x  tan  s x
2
2u cos  2
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 22

23. g
sy  2 s x  tan  s x
2
2u cos 
2
y  ax  bx  c
2
u

ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 23

24. uy u sy
 ux
sx
ระยะทางทีวตถุเคลือนทีได้ ในแนวแกน x
่ั ่ ่
เมื่อเวลาผ่ านไป t
sx  u cos  t
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 24

25. เมือวัตถุตกถึงพืนการกระจัดของวัตถุใน
่ ้
แนวแกน y หรือ sy = 0
1 2
จาก s y  u sin  t  gt
2
1 2
0  u sin  t  gt
2
1 2
u sin  t   gt
2
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 25

26. 2u sin 
t
g
2u sin 
T
g
เพราะฉะนั้นเวลาทีใช้ ในการเคลือนที่
่ ่
ทั้งหมดคือ 2u sin 
T
g
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 26

27. uy u sy
 ux
sx
u sin 2 2
2u sin 
H T
2g g
u sin 2
2 H 1
 tan 
R
g R 4
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 27

28. 1. ขีปนาวุธถูกยิงขึนจากพืนดินด้ วยความเร็ว
้ ้
60 m/s ในทิศทามุม 30 0 กับแนวระดับขีปนา-
วุธนั้นลอยอยู่ในอากาศเป็ นเวลานานเท่ าไร
จึงจะตกถึงพืน และขณะทีอยู่จุดสู งสุ ดจะอยู่
้ ่
สูงจากพืนเท่ าไร
้
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 28

29. 2. ลูกบอลถูกขว้ างจากสนามหญ้ ามายังลาน
หน้ าบ้ าน ถ้ าลูกบอลลอยอยู่ในอากาศนาน
3 วินาทีโดยไม่ คดแรงต้ านอากาศ จงหาว่ าลูก
ิ
บอลขึนไปได้ สูงสุ ดเท่ าใด และความเร็วทีใช้
้ ่
ขว้ างมีค่าเท่ าใด ถ้ าลูกบอลไปได้ ไกล 45 m ใน
แนวระดับ
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 29

30. 3. ขว้ างลูกกอล์ ฟจากหน้ าต่ างบ้ านให้ เคลือน
่
ออกไปด้ วยความเร็ว 10 m/s ในทิศทามุม 60 0
กับแนวระนาบ ลูกกอล์ ฟตกถึงพืนดินในเวลา
้
10 วินาที ลูกกอล์ ฟตกได้ ระยะทางในแนวราบ
กีเ่ มตร
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 30

31. 4. ก้ อนหินถูกขว้ างจากพืนดินด้ วยความเร็ว
้
28 m/s ในแนวเอียงทามุม 30 0 กับพืนดิน
้
จงหา
1) ความเร็วของก้ อนหินและความสู งทีจุด่
สูงสุด
2) เวลาทั้งหมดทีก้อนหินอยู่ในอากาศ
่
3) ก้ อนหินตกถึงพืนได้ ระยะทางไกลเท่ าใด
้
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 31

32. การเคลือนที่แนววงกลม
่
o
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 32

33. วัตถุทเี่ คลือนทีแบบวงกลมได้ น้ัน ทิศของ
่ ่
การเคลือนทีจะเปลียนแปลงตลอดเวลา
่ ่ ่
แสดงว่ าความเร็วของวัตถุมการเปลียนแปลง
ี ่
แสดงว่ าต้ องมีแรงมากระทากับวัตถุให้ เปลียน
่
ทิศการเคลือนที่ แรงดังกล่ าวเป็ นแรงตึงเชือก
่
มิทศเข้ าหาจุดศูนย์ กลางของการเคลือนที่
ิ ่
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 33

34. แรงทีกระทาให้ วตถุซึ่งเคลือนทีในแนว
่ ั ่ ่
วงกลมและมีทศเข้ าสู่ ศูนย์ กลางการเคลือนที่
ิ ่
เรียกว่ า แรงสู่ ศูนย์ กลาง ขณะทีเ่ ชือกขาด วัตถุ
จะไม่ มแรงสู่ ศูนย์ กลางมากระทา จะทาให้ วตถุ
ี ั
เคลือนทีไปในทิศของความเร็วในแนวตรง
่ ่
ณ จุดทีเ่ ชือกขาด
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 34

35. การเคลือนทีในแนววงกลมจะมีลกษณะ
่ ่ ั
เฉพาะคือเป็ นการเคลือนทีแบบเลือนทีแต่
่ ่ ่ ่
วัตถุจะกลับมาซ้ารอยเดิม
เมื่อเคลือนทีครบรอบ ช่ วงเวลาทีใช้ ในการ
่ ่ ่
เคลือนทีครบ 1 รอบ เรียกว่ า คาบ ของการ
่ ่
เคลือนที่ ใช้ สัญลักษณ์ T
่
หน่ วยเป็ น วินาที/รอบ
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 35

36. และจานวนรอบทีวตถุเคลือนทีได้ ในหนึ่ง
่ั ่ ่
หน่ วย เวลาเรียกว่ า ความถี่ ของการเคลือนที่
่
ใช้ สัญลักษณ์ f มีหน่ วย คือ รอบ/วินาที
หรือ เฮิรตซ์ (Hz)
1
f 
T
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 36

37. พิจารณาความเร็วของวัตถุ
v
2 pr
v=
r T
Fc v = 2pr f
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 37

38. การทดลองการเคลือนที่แนววงกลม
่
1. ศึกษาความสั มพันธ์ ระหว่ างคาบและ
แรงสู่ ศูนย์ กลางของการเคลือนที่
่
2. ศึกษาความสั มพันธ์ ระหว่ างคาบและ
รัศมีการเคลือนที่
่
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 38

39. 
F sin  F
F cos 
mg 
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 39

40. 1
F  2
T
T  r
2
r 2pr
T 2
 T
F v
v2
F 
r
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 40

41. ความเร่ งสู่ ศูนย์ กลาง
vH v
G
H vF
G
F vE
o
E vD
D vC
C
A B vB
vA
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 41

42.   
v  vG  v A
vG vA

vG
OA OG AG

v
G v

v
OA AG
o AG  vt
R -vA Q
r 
 v vG


A vA P
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 42

43. v v

r vt
v
v v 2
  ac Fc
t r
v2 mv2
ac  Fc 
r r
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 43

44. สาหรับวัตถุทมอตราเร็วไม่ คงที่
ี่ ี ั
ac
a aT
a  a a 2
c
2
T
Fc  mac
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 44

45. อัตราเร็วของวัตถุ
s
 s
r v
t
อัตราเร็วเชิงเส้ น คือระยะทางทีวตถุเคลือนที่
่ั ่
ได้ ตามแนวเส้ นรอบวงในหนึ่งหน่ วยเวลา
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 45

46. s
 
r 
t
อัตราเร็วเชิงมุม คือมุมทีรัศมีการเคลือนที่
่ ่
กวาดไปได้ ในหนึ่งหน่ วยเวลา
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 46

47. s
s 
r

r 2p
  2p f
T
2pr
v  2p rf
T
v  r
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 47

48. v2
ac  ac   2 r
r
2
mv
Fc  Fc  m r 2
r
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 48

49. 2p 2pr
  2p f v  2p rf
T T
v  r
2
v
ac  ac   r 2
r
2
Fc 
mv Fc  m r 2
r
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 49

50. 1. การเคลือนทีของวัตถุผูกด้ วยเชือกแกว่ ง
่ ่
เป็ นวงกลมบนโต๊ ะเกลียง
้
T
Fc  T
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 50

51. การเคลือนทีของวัตถุผูกด้ วยเชือกแกว่ ง
่ ่
เป็ นวงกลมบนโต๊ ะฝื ด
T
f
Fc  T  f
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 51

52. ตัวอย่ าง วัตถุมวล 1 kg ผูกติดกับเชือกยาว
1 m และเชือกทนแรงได้ สูงสุ ด15 N จงหา
อัตราเร็วเชิงมุมสู งสุ ดทีจะไม่ ทาให้ เชือกขาด
่
ถ้ า 1) พืนโต๊ ะลืน
้ ่
2) พืนโต๊ ะมีสัมประสิ ทธิ์ความเสี ยดทาน
้
จลน์ 0.2
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 52

53.  T1 T2
m1 m2
ถ้ ามีมวล 2 ก้ อนผูกติดกัน จะเคลือนทีได้
่ ่
ระยะ เชิงมุมเท่ ากัน แต่ ระยะตามแนววงกลม
ไม่ เท่ ากัน
ดังนั้นอัตราเร็วเชิงมุมเท่ ากัน
แต่ อตราเร็วเชิงเส้ นไม่ เท่ ากัน
ั
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 53

54. ตัวอย่ าง วัตถุมวล 1 kg และ 0.5 kg ผูกติด
กับเชือก 2เส้ นยาวเส้ นละ 1 m วัตถุท้งสอง
ั
จะเคลือนทีเ่ ป็ นวงกลมอยู่บนโต๊ ะราบทีมี
่ ่
สั มประสิ ทธิ์ความเสี ยดทานจลน์ 0.2
และเชือกแต่ ละเส้ นทนแรงได้ สูงสุ ด15 N
จงหาอัตราเร็วเชิงมุมสู งสุ ดทีจะไม่ ทาให้
่
เชือกเส้ นใดเส้ นหนึ่งขาด
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 54

55. 2. การเคลือนที่ของดาวเทียม
่
v
mg
mg  Fc
GmE m mv 2 GmE
 v  2
r 2
r r
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 55

56. ตัวอย่ าง ดาวเทียมเคลือนทีเ่ ป็ นวงกลมรอบ
่
โลกโดยมีระยะห่ างจากผิวโลกเท่ ากับรัศมี
ของโลก จงหาอัตราเร็วของดาวเทียมมีค่า
เป็ นกีเ่ มตร/วินาที
เมื่อความเร่ งเนื่องจากแรงโน้ มถ่ วงของโลก
ที่ 2R เท่ ากับ 2.5 m/s 2
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 56

57. ตัวอย่ าง ถ้ ายานอวกาศสามารถปรับให้ โคจร
เป็ นวงกลมรอบดวงจันทร์ ทระยะรัศมี
ี่
1.8x10 6 m จงหาคาบการโคจรครบรอบของ
ยานอวกาศลานีเ้ มื่อความเร่ งเนื่องจากแรง
โน้ มถ่ วงทีบริเวณนั้นเป็ น 1/6 เท่ าของความ
่
เร่ งทีผวโลก
่ ิ
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 57

58. 3. เชือกแกว่ งเป็ นรู ปกรวย
h l

T T cos

r T sin
mg
T cos = mg 1
T sin = FC 2
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 58

59. v 2  2 r ac
tan    
rg g g
h l  T T cos r = l sin 

r T sin sin   2p  l sin 

2
 
mg cos   T  g
l cos 
T  2p
g
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 59

60. sin   l sin 
2

cos  g
g
cos   2
l
h g
 2
l  l
g
h
2
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 60

61. ตัวอย่ าง วัตถุมวล 200 g ผูกเชือกยาว 1m
แกว่ งเป็ นวงกลมในระนาบระดับ โดยเชือก
เอียง 53 0 กับแนวดิง จงหา
่
1) อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุ
2) คาบการเคลือนที่
่
3) แรงตึงเชือกขณะแกว่ ง
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 61

62. 4) แรงทีทาให้ วตถุเคลือนทีเ่ ป็ นวงกลมได้
่ ั ่
ตล อดเวลา และความเร่ งสู่ ศูนย์ กลาง
5) ถ้ าเชือกทนแรงตึงได้ 4 N เชือกจะเอียง
จากแนวดิงได้ มากทีสุดกีองศา
่ ่ ่
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 62

63. ตัวอย่ าง ทรงกลมมวล 6 kg หมุนรอบแกนดิง ่
เชือกจะขาดเมื่อความตึงเชือกเท่ ากับ 100 N
จงหาอัตราเร็วเชิงมุมของทรงกลมเมือเชือก
่
ขาด
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 63

64. ตัวอย่ าง รถจักรยายยนต์ และผู้ขบขีมมวล
ั ่ ี
รวมกัน 300 kg แล่ นบนพืนราบ ขณะเลียว
้ ้
เข้ าทางโค้ งหนึ่งต้ องเอียงรถทามุม  กับแนว
ดิงถ้ า แรงลัพธ์ ทพนถนนกระทาต่ อรถในแนว
่ ี่ ื้
ผ่ านจุดศูนย์ กลางมวลมีค่า 5000 N ให้ หามุม
 และแรงส่ ู ศูนย์ กลาง
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 64

65. ตัวอย่ าง รถเลียวโค้ งบนทางราบด้ วยรัศมี
้
100 m มีอตราเร็วคงที่ 16 m/s จงหาค่ า
ั
สั มประสิ ทธิ์ความเสี ยดทานระหว่ างล้ อรถ
กับถนนทีน้อยทีสุดทีทาให้ รถไม่ ไถลออก
่ ่ ่
นอกเส้ นทาง
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 65

66. 5. รถเอียงบนทางโค้ ง
Ncos
Nsin
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 66

67. ตัวอย่ าง รถจักรยานยนต์ คนหนึ่งแล่ นบน
ั
ทางโค้ งซึ่งเอียงทามุม 45 องศา กับแนว
ระดับจงหาว่ ารถจักรยายยนต์ จะแล่ นได้
เร็วทีสุดเท่ าโดยปลอดภัย เมือรัศมีความโค้ ง
่ ่
ของถนนเป็ น 160 m
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 67

68. 6.มอเตอร์ ไซค์ ไต่ ถง
ั
f Rg
 2
v
N
mg
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 68

69. การเคลือนที่แบบวงกลมในแนวดิ่ง
่
ac
ac aรวม  a  a
2
c
2
T
ac
aT
aT ac
อัตราเร็วแต่ ละจุดจะไม่ เท่ ากัน
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 69

70. ตัวอย่ าง ผูกวัตถุมวล 1 kg ไว้ กบเชือกซึ่งยาว
ั
1 m แล้ วนามาแกว่ งเป็ นวงกลมในแนวดิง ่
ขณะทีวตถุเคลือนทีมาอยู่ในแนวระดับ จะมี
่ั ่ ่
อัตราเร็วเป็ น 10 m/s จงหาว่ าขณะนั้นจะมี
ความเร่ งลัพธ์ เป็ นเท่ าใด
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 70

71. 7. วัตถุผูกเชือกแกว่ งเป็ นวงกลมในแนวดิง
่
C
mg T1 - mg = FC
A
T3 T
2 B B T2 = FC
T4
D C T3 + mg = FC
T1 mg
mg A D T4 - mgcos  = FC
mg
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 71

72. ตัวอย่ าง นาวัตถุมวล m ผูกติดเชือกแล้ วแกว่ ง
เป็ นวงกลมในระนาบดิง มีรัศมี r อัตราเร็วที่
่
น้ อยทีสุดในวงกลมทีวตถุจะเคลือนทีมวถี
่ ่ั ่ ่ ีิ
เป็ นวงกลมสมบูรณ์ ได้ จะมีค่าเท่ าไร
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 72

73. ตัวอย่ าง ถ้ าใช้ เชือกยาว 50 cm ซึ่งทนแรงตึง
ได้ สูงสุ ด 200 N ผูกวัตถุมวล 2 kg แกว่ งเป็ น
วงกลมในระนาบดิง จงหาว่ าจะแกว่ งให้ วตถุ
่ ั
นีเ้ คลือนทีด้วยอัตราเร็วสู งสุ ดเท่ าไรเชือกจึง
่ ่
ไม่ ขาด
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 73

74. 8. วัตถุกลิงในวงโค้ ง
้
mg
N
N + mg = FC
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 74

75. รถเคลือนทีบนสะพานโค้ ง
่ ่
N
mg - N = FC
mg
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 75

76. ตัวอย่ าง รถยนต์ มวล 200 kg เคลือนที่ด้วย
่
ความเร็ว 15 m/s ข้ ามสะพานโค้ งซึ่งมีรัศมี
33 m ขณะถึงจุดสู งสุ ดของสะพานจะมีแรง
กระทาต่ อสะพานเท่ าใด
N
v
mg
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 76

77. ตัวอย่ าง รถไฟเหาะตีลงกาเคลือนทีบนราง
ั ่ ่
โค้ งในระนาบดิงรัศมี 5 m ขณะผ่ านจุดตาสุ ด
่ ่
มีความเร็ว 20 m/s จงหาว่ าแรงทีคนกระทา
่
ต่ อทีนั่งเป็ นกีเ่ ท่ าของนาหนักคน
่ ้
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 77

78. ตัวอย่ าง มวล m กระเด็นหลุดจากจุดสู งสุ ด
ของรู ปครึ่งวงกลมลืนไม่ มแรงเสี ยดทาน
่ ี
ดังรู ป จงหาว่ ามวล m ตกถึงพืนห่ างจากผิว
้
ทรงกลมเท่ าใด
mg
R x
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 78

79. ตัวอย่ าง รถยนต์ มวล 1200 kg กาลังวิงด้ วย
่
อัตราเร็ว v m/s ข้ ามสะพานทีจุดสู งสุ ดของ
่
สะพานซึ่งมีรัศมีความโค้ งในระนาบดิง 12 m่
จงหาอัตราเร็ว v ทีพอดีทาให้ รถยนต์ เริ่มหลุด
่
จากความโค้ งของสะพาน mg
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 79

80. ตัวอย่ าง นักขับรถโลดโผนมวล 80 kg ขี่รถ
ไปตามรางวงกลม ซึ่งระนาบของรางอยู่ใน
แนวดิง ณ จุดสู งสุ ดของการเคลือนทีอตรา
่ ่ ่ั
เร็วเป็ น 360 km/hr และแรงระหว่ างตัวเขา
กับเบาะนั่งรถเป็ น 1/4 ของนาหนักตัวเขา
้
จงหารัศมีความโค้ งของราง
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 80

81. ตัวอย่ าง เครื่องบินบินเป็ นรู ปวงกลมในแนว
ดิงรัศมี 8 m ขณะผ่ านจุดสู งสุ ดแรงทีกระทา
่ ่
ต่ อคนเป็ ร 1 ใน 4 ของนาหนักตนเอง จงหา
้
อัตราเร็วขณะนั้น
N
mg
8m
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 81

82. y B
ฟิ สิ กส์
R
m 
T
r 1 T
L2
x F จุด
m A 3 m
m m หมุน L1

2M
300
M
วฟ41201 R O 
A
T1
A
B F
เรื่อง การเคลือนที่ S.H.M
่ 20 cm
15
cm F
T2 5 cm A
C
ครูผู้สอน…ชิตชัย โพธิ์ประภา ตำแหน่ง
A สมดุล C R B
P
200
(kg.m/s)
100
V P
30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 60 0.4 1.0 m 0.2 m R a - 10 t(s)
m
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 100
82

83. การเคลือนทีใด ๆ ซึ่งเคลือนทีกลับไปกลับ
่ ่ ่ ่
มาซ้าทางเดิม โดยผ่ านตาแหน่ งสมดุล และ
คาบการเคลือนทีคงตัว เรียกการเคลือนที่
่ ่ ่
ในลักษณะนีว่า การเคลือนทีแบบพีริออดิก
้ ่ ่
(Periodic motion)
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 83

84. สาหรับการเคลือนทีแบบพีริออดิกทีมี
่ ่ ่
กราฟการกระจัดกับเวลา อยู่ในรู ปของ
ฟังก์ ชันไซน์ (sine) หรือโคไซน์ (cosine)
ทีมีความถีคงที่ เรียกการเคลือนทีลกษณะ
่ ่ ่ ่ั
นีว่า การเคลือนทีแบบฮาร์ มอนิกอย่ างง่ าย
้ ่ ่
(Simple Hamonic Motion : S.H.M)
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 84

85. x x = xmsin t 

t
t
ฟังก์ ชัน sin
x x = xmcos t
t
ฟังก์ ชัน cos
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 85

86. R y
y

y
 sin   sin t
R
y  R sin t
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 86

87. กาหนดให้ ymax ,vmax, และ amax เป็ นค่ า
สู งสุ ด ของการกระจัด ความเร็ว และ
ความเร่ ง ของการเคลือนทีของวัตถุแบบ
่ ่
S.H.M. ดังนั้น
ymax= R y  ymax sin t
vmax = R v  vmax cos t
amax = 2R a  amax cos t
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 87

88. y
t
v
t
a
t
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 88

89. ระยะทางทีสันคลืน P เคลือนที่ไปได้ ใน
่ ่ ่
หนึ่งหน่ วยเวลา เรียกว่ า อัตราเร็วคลืน( v )
่
จานวนคลืนทีเ่ คลือนที่ผ่านตาแหน่ งใด ๆ
่ ่
ในหนึ่งหน่ วยเวลา เรียกว่ า ความถี่ ( f )
ช่ วงเวลาที่คลืนเคลือนที่ผ่านตาแหน่ งใด ๆ
่ ่
ครบหนึ่งรอบคลืน เรียกว่ า คาบ ( T )
่
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 89

90. 1
T
f
v  f
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 90

91. เฟสของคลืน ่
เป็ นการกาหนดตาแหน่ งของการเคลือนที่
่
ทีมีลกษณะเป็ นรอบ โดยจะมีความสั มพันธ์
่ ั
กับการกระจัดของการเคลือนที่น้ัน
่
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 91

92. b f j
a c 3p/2 e g i
0 p/2 p 2p
d h
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 92

93. y
t
v
t
a
t
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 93

94. y  R sin t
v  R cos t   A  y 2 2
a   R sin t   y
2 2
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 94

95. ตัวอย่ าง สมการ a = 10 cos t m/s 2
และ v = 4 sin t สมการของการกระจัด
x จะเป็ นอย่ างไร
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 95

96. ตัวอย่ าง อนุภาคหนึ่งเคลือนทีแบบ S.H.M
่ ่
มีการกระจัดดังสมการ
 p
x  2.0 cos 0.5t  
 4
จงหา 1. อัตราเร็วสู งสุ ด
2. ความเร่ งสู งสุ ด
3. ความเร็วของอนุภาคนีเ้ มือมี
่
การกระจัด 1 m
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 96

97. ตัวอย่ าง วัตถุอนหนึ่งเคลือนทีตามสมการ
ั ่ ่
a = 8 cos 10t การกระจัดสูงสุดของการ
เคลือนทีเ่ ป็ นกีเ่ มตร ความเร็วสูงสุดเป็ น
่
เท่ าไร
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 97

98. ตัวอย่ าง เมือวัตถุมวล 0.1 kg เคลือนที่เป็ น
่ ่
วงกลมในแนวดิงด้ วยอัตราเร็วคงที่ 20 rad/s
่
โดยรัศมีวงกลม 0.2 m ปรากฏเงาของวัตถุนีบน ้
ผนังห้ อง เคลือนที่เป็ นซิมเปิ ลฮาร์ มอนิกในแนว
่
ราบ จงหา
ก. ขณะมุมเฟส 37 องศา เงาซึ่งเคลือนที่เป็ น
่
S.H.M จะมีอตราเร็วและขนาดความเร่ งเท่ าใด
ั
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 98

99. ข. ขณะผ่ านจุดสมดุล เงาซึ่งเคลือนทีเ่ ป็ น
่
S.H.M จะมีอตราเร็ว และขนาดของความ
ั
เร่ งเท่ าไร
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 99

100. การแกว่ งของลูกตุ้มนาฬิ กา
(Simple Pendulum Motion)
L
T  2p
g
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 100

101. ตัวอย่ าง ถ้ าใช้ เชือกยาว 1.5 m ผูกวัตถุมวล 0.1
kg แกว่ งให้ เคลือนที่เป็ นวงกลมในแนวระดับ
่
ด้ วยอัตราเร็วคงที่ โดยเชือกเบนจากแนวระดับ
เป็ น มุม 37 ่0 เมือส่ องไฟวัตถุจะเกิดเงาของวัตถุ
บนกาแพงเคลือนที่แบบ S.H.M จงหา
่
ก. ความถี่ในการเคลือนที่แบบ S.H.M
่
ข. ความเร่ งและความเร็วขณะผ่ านจุดสมดุล
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 101

102. ตัวอย่ าง อนุภาคหนึ่งเคลือนทีแบบ S.H.M.
่ ่
ด้ วยความเร่ งสู งสุ ด 8p m/s 2 และอัตราเร็ว
สู งสุ ด 1.6 m/s จงหา
ก. คาบของการเคลือนที่่
ข. แอมพลิจูด
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 102

103. ตัวอย่ าง ลูกตุ้มอันหนึ่งผูกเชือกยาว 4 m
ทาให้ แกว่ งในระนาบระดับโดยมีการกระจัด
50 cm จงหา
ก. คาบการแกว่ ง
ข. ความเร็วสู งสุ ดของลูกตุ้ม
ค. ความเร่ งสู งสุ ดของลูกตุ้ม
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 103

104. การแกว่ งของวัตถุทผูกติดปลายสปริง
ี่
F  kx
m
T  2p
k
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 104

105. ตัวอย่ าง รถทดลองมวล 500 g ติดอยู่กบั
สปริง เมื่อดึงด้ วยแรง 5 N ในทิศขนานกับ
พืนจะทาให้ สปริงยืดออก 10 cm เมื่อปล่ อย
้
รถจะเคลือนทีกลับไปมาบนพืนเกลียงแบบ
่ ่ ้ ้
S.H.M. ด้ วยคาบเท่ าไร
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 105

106. ตัวอย่ าง หากผูกวัตถุมวล m ติดกับสปริงใน
แนวดิง ดึงมวลลงเล็กน้ อยแล้ วปล่ อยให้ สั่น
่
พบว่ าสปริงมีคาบการสั่ น 2 วินาที ถ้ าเพิม
่
มวลเข้ าไปอีก 2 kg สปริงจะมีคาบการสั่ น
3 วินาที จงหาขนาดของมวล m ในหน่ วย
กิโลกรัม
ครู ชิตชัย โพธิ์ประภำ 106