ecuación de la circunferencia

1. Circunferencia
Matemáticas III

2. Circunferencia
• Una circunferencia es el
lugar geométrico de los
puntos que equidistan
de un punto fijo llamado
centro.
• La distancia de cada
punto al centro se llama
radio.
Centro C
Radio r
Punto P

3. Si se desea conocer la ecuación de cierta circunferencia cuyo centro C se encuentra en
el origen de los ejes coordenados y el punto A (x, y) es un punto cualquiera de la
circunferencia.
Se representa de la siguiente manera
Se tiene entonces que: AC = r
Sustituyendo con la fórmula de la distancia entre dos puntos, se tiene que: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

4. EJEMPLOS
Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 4.
Sustituyendo en la ecuación de la circunferencia, se obtiene:
𝑥2
+ 𝑦2
= (4)2
𝑥2
+ 𝑦2
= 16
Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro se halle en el origen y que pase
por el punto 𝐴(3,4)
𝐶𝐴 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5
Conociendo el radio se sustituye en la ecuación de la circunferencia
𝑥2 + 𝑦2 = (5)2
𝑥2
+ 𝑦2
= 25

5. Encuentra la ecuación de la circunferencia
cuyo centro esté en el origen y que sea
tangente a la recta 3𝑥 + 4𝑦 + 15 = 0
En la circunferencia, un radio siempre es
perpendicular a la tangente en el punto de
tangencia.
En este caso el radio se calcula con la
fórmula de distancia de un punto a una
recta.

7. • Para obtener la ecuación de la circunferencia, suponemos que el
centro tiene coordenadas 𝑂 = 𝑥0, 𝑦0 y que el radio es 𝑟.
• Entonces si 𝑃 = 𝑥, 𝑦 es un punto de la circunferencia, se tiene que
𝑑 𝑂, 𝑃 = 𝑟 ⇔ 𝐶𝑃 = 𝑟 ⟺
⟺ 𝑥 − 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟 ⟺ 𝑥 − 𝑥0
2
+ 𝑦 − 𝑦0
2
= 𝑟2
⟺
⟺ 𝑥2 − 2𝑥0 𝑥 + 𝑥0
2 + 𝑦2 − 2𝑦0 𝑦 + 𝑦0
2 − 𝑟2 = 0
Si hacemos 𝐷 = −2𝑥0, 𝐸 = −2𝑦0 y 𝐹 = 𝑥0
2
+ 𝑦0
2
− 𝑟2
; se tiene
entonces:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

8. Circunferencia
Obtener la ecuación de la circunferencia de centro O = (4,1) y de
radio r = 2
𝑥 − 4 2
+ 𝑦 − 1 2
= 22
⟺
⟺ 𝑥2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 − 4 = 0 ⟺
⟺ 𝑥2
+ 𝑦2
− 8𝑥 − 2𝑦 + 13 = 0
Obtener el centro y el radio de 𝑥 − 3 2
+ 𝑦 + 2 2
= 16
El centro es 𝑂 = 3, −2
𝑟 = 16 = 4

9. Obtener el centro y el radio de 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0
Aplicamos las fórmulas de 𝐷, 𝐸 y 𝐹.
𝐷 = 4 = −2𝑥0 ⇒ 𝑥0 = −2
𝐸 = −6 = −2𝑦0 ⇒ 𝑦0 = 3
⇒ 𝑂 = −2,3
𝐹 = 𝑥0
2 + 𝑦0
2 − 𝑟2 = −3 ⇒ 4 + 9 − 𝑟2 = −3 ⟹
⟹ 𝑟2
= 3 + 4 + 9 ⟹ 𝑟2
= 16 ⟹ 𝑟 = 4
Obtener el centro y el radio de 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0
Completando cuadrados, tenemos que:
𝑥2 + 4𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 4 = 𝑥 + 2 2 − 4
𝑦2
− 6𝑦 = 𝑦2
− 6𝑦 + 9 − 9 = 𝑦 − 3 2
− 9
⟹
𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0 ⟺
⟺ 𝑥 + 2 2 − 4 + 𝑦 − 3 2 − 9 − 3 = 0 ⟺
⟺ 𝑥 + 2 2
+ 𝑦 − 3 2
= 16 ⟹ 𝑂 = −2,3 y 𝑟 = 4