Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.

15

Partager

Matrix3

Livres associés

Gratuit avec un essai de 30 jours de Scribd

Tout voir

Matrix3

  1. 1. หน้าที่ 37 2 1 1 2 1 28. กาหนด A =   , B=   , C=   จงหาค่าต่อไปนี้ 3 4 3 4 0 2 ( 1 ) det ( A ) = …………………………………………………………………. det ( B ) = ………………………………………………………………… det ( A )  det ( B ) = ………………………………………………………………… ( 2 ) AB = ( 3 ) det ( AB ) = ………………………………………………………………… ( 4 ) BA = ( 5 ) det ( BA ) = ………………………………………………………………… ( 6 ) ( AB ) C = ( 7 ) A- 1 = det (A- 1 ) = ………………………………………………………………… ( 8 ) det ( A )  det ( A- 1 ) = ………………………………………………………………… ( 9) At = det ( At ) = ………………………………………………………………… ( 12 ) ( - A ) = det ( - A ) = ………………………………………………………………… ข้ อสั งเกต ( 1 ) AB และ BA เป็ นเมตริ กซ์ที่เท่ากันหรื อไม่ ………………………………. ( 2 ) det ( AB ) และ det ( BA ) มีค่าเท่ากันหรื อไม่ ………………………….. ( 3 ) มีผลลัพธ์ในข้อใดบ้างที่มีค่าเท่ากัน ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  2. 2. หน้าที่ 38คุณสมบัติของดีเทอร์ มนันต์ ิ1. ถ้า A เป็ น n  n เมตริ กซ์ ซึ่งมีแถวใดแถวหนึ่ง ( หรื อหลักใดหลักหนึ่ง ) เป็ น 0 ทั้งแถว ่ ( หรื อทั้งหลัก ) จะได้วา det ( A ) = 0 ตัวอย่าง 0 0 = 0 0 1 = 0 3 5 0 2 ่2. ถ้า A เป็ น n  n เมตริ กซ์ ซึ่งมีสองแถว ( หรื อสองหลัก ) ใด ๆ เท่ากัน จะได้วา det ( A ) = 0 1 2 3 1 1 5 ตัวอย่าง 1 5 1 = 0 2 2 3 = 0 1 2 3 3 3 43. ถ้าเมตริ กซ์ B เกิดจาก n  n เมตริ กซ์ A โดยการสลับแถวคู่ใดคู่หนึ่ง(หรื อสลับหลักคู่ใดคู่หนึ่ง ) จะได้ det ( B ) = - det ( A ) 2 3 1 1 2 3 ตัวอย่าง 1 2 3 = - 20 แต่ 2 3 1 = 20 2 1 1 2 1 1 2 3 1 0 = -3 แต่ 1 2 = 3 0 34. ถ้าเมตริ กซ์ B เกิดจาก n  n เมตริ กซ์ A โดยการคูณแถวใดแถวหนึ่ง ( หรื อหลักใดหลักหนึ่ง ) ด้วยค่าคงตัว k จะได้ det ( B ) = k det ( A ) 1 2 3 2(1) 2( 2) 2 ( 3) ตัวอย่าง 4 5 6 = -3 แต่ 4 5 6 = -6 1 1 2 1 1 2 2 3 1 2 = 1 แต่ 5( 2) 5 ( 3) 1 2 = 55. ถ้าเมตริ กซ์ B เกิดจาก n  n เมตริ กซ์ A โดยการคูณแถวใดแถวหนึ่ง ( หรื อหลักใดหลักหนึ่ง ) ่ ด้วยค่าคงตัวแล้วนาไปบวกกับแถวหนึ่ง ( หลักหนึ่ง ) จะได้วา det ( B ) = det ( A ) 1 2 3 1 2 3 วิธีทา 4 5 6 = -3 แต่ 4 5 6 = -3 1 1 2 2(1)  1 2( 2)  1 2 ( 3)  2 5( 2)  1 2 3 1 2 = 1 แต่ 2 1 5 ( 3)  2 = 2 3 11 12 = 16. ถ้า A เป็ น n  n เมตริ กซ์ ซึ่งแถวที่ i ( หลักที่ i ) ของ A เท่ากับ ผลคูณของค่าคงตัว ่ กับแถวที่ j ( หลักที่ j ) จะได้วา det ( A ) = 0 1 2 3 ตัวอย่าง 3(1) 3( 2 ) 3( 3) = 0 และ 4 5 2( 4 ) 2(5) = 0 1 0 2 โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  3. 3. หน้าที่ 39 7. ถ้า A เป็ นเมตริ กซ์สามเหลี่ยม จะได้ det ( A ) เท่ากับผลคูณของสมาชิกเส้นทแยงมุมหลัก 2 0 0 1 4 6 ตัวอย่าง 1 3 0 = 30 และ 0 2 0 = 6 4 6 5 0 0 3 ่ 8. ถ้า A และ B เป็ น n  n เมตริ กซ์ จะได้วา det ( AB ) = ( det ( A ) ) ( det ( B ) ) 9. เมตริ กซ์ A ซึ่งเป็ น n  n เมตริ กซ์ จะมีอินเวอร์ การคูณก็เมื่อ det ( A )  0 det ( A- 1 ) = 1 det ( A ) 10. det (At ) = det ( A ) 11. det ( 0 ) = 0  12. det ( In ) = 1 13. ถ้า A เป็ น n  n เมตริ กซ์ แล้ว det ( kA ) = kn det ( A ) เมื่อ k เป็ นจานวนจริ ง  2 1 ตัวอย่าง A =   det ( A ) = 5  3 4  8 4 4A =   det ( 4 A ) = 80 = 42  5  12 16 3.9 การหาอินเวอร์ สการคูณของเมตริกซ์ จากสมบัติการคูณเมตริ กซ์และอินเวอร์สของ 2  2 เมตริ กซ์ จะมีสมบัติท่ีเกี่ยวกับการคูณดังนี้ 1. เมตริ กซ์ A มิติ n  n เป็ นอินเวอร์สของการคูณเมตริ กซ์ B มิติ n  n ก็ต่อเมื่อ AB = BA = In 2. เมตริ กซ์ A มิติ n  n เป็ นอินเวอร์ สการคูณก็ต่อเมื่อ det ( A )  0 เรี ยกเมตริ กซ์ A ที่มีอินเวอร์ สการคูณว่า นอนซิงกูลาร์ เมตริกซ์ เรี ยกเมตริ กซ์ A ที่ไม่มีอินเวอร์ สการคูณว่า ซิงกูลาร์ เมตริกซ์( เมตริ กซ์เอกฐาน ) 3. ถ้าเมตริ กซ์ A มิติ n  n มีอินเวอร์ ส จะมีได้เพียงเมตริ กซ์เดียวเท่านั้น a b 4. ถ้า A =   โดยที่ det ( A )  0 c d 1  d  b A- 1 = ad  bc  c a    ในการหาอินเวอร์สการคูณของ n  n เมตริ กซ์ จะอาศัยบทนิยามที่เกียวข้องดังนี้ บทนิยามโคแฟกเตอร์ เมตริกซ์ บทนิยาม กาหนด A = [ a ij ] n  n โดยที่ n  2 และ C i j แทนโคแฟกเตอร์ของ a ij โคแฟกเตอร์เมตริ กซ์ ( Cofactor matorix ) ของ A คือ n  n เมตริ กซ์ ซึ่งสมาชิกในแถว ที่ i และหลักที่ j คือ C i j โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  4. 4. หน้าที่ 40 เขียนแทนโคแฟกเตอร์ของเมตริ กซ์ A ด้วยสัญลักษณ์ cof . A ดังนี้  C11 C12 ... C1n     C 21 C 22 ... C 2n  .  cof . A =   .  .     Cn 1  Cn 2 ... C nn    1 1 0ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ A =  2   3  2 จงหา cof . A 3  0 4 วิธีทา C11 = ( - 1 ) 1 + 1 3 42 0 = ( 1 ) ( 12 – 0 ) = 12 2 C12 = ( - 1 ) 1 + 2 2 3 4 = (-1)(8–6) = -2 C13 = ( - 1 ) 1 + 3 2 3 3 0 = ( 1 ) (0 +9 ) = 9 1 C21 = ( - 1 ) 2 + 1 0 0 4 = ( -1 ) ( - 4 – 0 ) = 4 C22 = ( - 1 ) 2 + 2 1 3 0 4 = (1)(4–0) = 4 1 C23 = ( - 1 ) 2 + 3 1 3 0 = (-1)(0–3) = 3 1 C31 = ( - 1 ) 3 + 1 3 0 2 = (1)(2–0) = 2 C32 = ( - 1 ) 3 + 2 1 2 0 2 = (-1)(-2–0) = 2 1 C33 = ( - 1 ) 3+ 3 1 2 3 = ( 1 ) ( 3 + 2) = 5 โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  5. 5. หน้าที่ 41 บทนิยามของแอดจอยต์ เมตริกซ์ ( Adjoint matrix ) บทนิยาม กาหนด A = [ a ij ] n  n โดยที่ n  2 แอดจอยต์เมตริ กซ์ของเมตริ กซ์ A คือ ทรานสโพสของ cof . A เขียนแทนแอดจอยต์เมตริ กซ์ของ A ด้วยสัญลักษณ์ adj . A t  C11 C12 ... C1n   C11 C12 ... C1n       C 21 C 22 ... C 2n   C21 C22 ... C2n   .  .  จาก cof . A =   ่ จะได้วา adj . A =    .  .   .  .     Cn 1  Cn 2 ... C nn      Cn1  Cn 2 ... Cnn    1 1 0  ตัวอย่างที่ 2 กาหนด A =  2 3  2 จงหา adj . A 3  0 4  ่วิธีทา จากตัวอย่างที่ 1 จะได้วา  12 2 2   adj . A =  4 4 3  2  2 5  t  12  2 2  12 4 2  ดังนั้น adj . A = ( cof . A )t =  4 4 3 =   2 4 2      2  2 5    2 3 5   จากบทนิยามของโคแฟกเตอร์เมตริ กซ์และแอดจอยต์เมตริ กซ์ขางต้น นามาใช้ในการหาอินเวอร์สเมต ้ริ กซ์ได้ดงนี้ ั บทนิยาม กาหนด A = [ a ij ] n  n โดยที่ n  2 ถ้า det ( A )  0 จะได้วา A – 1 = ่ 1 det( A) . adj . A  1 1 0  ตัวอย่างที่ 3 กาหนด A =  2 3  2 จงหา A – 1 3  0 4  1 1 0วิธีทา det ( A ) = 2 3 2 3 0 4 ่ จะได้วา det ( A ) = โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  6. 6. หน้าที่ 42 = 12 + ( - 6 ) + 0 – 0 – 0 – ( - 8 ) = 14 12 4 2 จากตัวอย่างที่ 2 ; adj . A = 2 4 2 2 3 5 จากบทนิยาม ; A- 1 = 1 . adj . A det( A)  12 4 2 ดังนั้น -1 A = 1 2 4  2  14   2 3 5 โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  7. 7. หน้าที่ 37 แบบฝึ กหัดที่ 101. เมตริ กซ์ต่อไปนี้มีอินเวอร์ สการคูณหรื อไม่ ถ้ามีจงหาอินเวอร์ สการคูณ 3 2 1   (1) A = 5 6 2 1  0  3 …………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………  1 3 2   (2) B = 4 2 0  1  3 2 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  8. 8. หน้าที่ 383.10 การแก้ระบบสมการเชิงเส้ นโดยใช้ เมตริกซ์ และดีเทอร์ มินันต์ พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นที่มีจานวนตัวแปรเท่ากับจานวนสมการ เช่น 3x + 2y = 5 5x + 3y = 8 สามารถเขียนแทนระบบนี้ดวยเมตริ กซ์ โดยอาศัยบทนิยามการเท่ากันของเมตริ กซ์ ้  3x  2y  5    =    5x  3y  8  3x  2y   3 2  x  แต่    3y  =      5x  5 3  y  ดังนั้น เขียนแทนระบบสมการด้วยเมตริ กซ์ ดังนี้ 3 2  x  5      =   5 3  y  8 สาหรับระบบสมการเชิงเส้นโดยทัวไป ซึ่ งมี n ตัวแปร และ n สมการ ่ a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 . . am1x1 + an2x2 + … + an2xn = bn ่ เปลี่ยนให้อยูในรู ปเมตริ กซ์ได้ดงนี้ ั การหาคาตอบของระบบสมการโดยใช้เมตริ กซ์มีวธีดาเนินการได้หลายวิธี ดังนี้ ิ3.10.1 การหาคาตอบโดยใช้ เมตริกซ์ ผกผันของเมตริกซ์ สัมประสิ ทธิ์ ให้ A, B, X เป็ นเมตริ กซ์ โดยที่ A เป็ นนอนซิงกูลาร์เมตริ กซ์ กาหนดโดย AX = B A- 1 ( AB ) = A- 1 B ( A- 1 A ) X = A - 1 B I X = A- 1 B ดังนั้น X = A- 1 B นันคือ ถ้า A X = B แล้ว X = A- 1 B เมื่อ A เป็ นนอนซิงกูลาร์เมตริ กซ์ ่ โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  9. 9. หน้าที่ 39ตัวอย่างที่ 1 จงแก้ระบบสมการ 3x + 2y = 5 5x + 3y = 8วิธีทา เขียนสมการเมตริ กซ์แทนระบบสมการได้ดงนี้ ั 3 2  x  5      =   5 3  y  8 1 x 3 2 5  ดังนั้น   =     y 5 3 8 x  3  2  5    = 1    y 9  10   5 3  8  x   1  1   = (-1)   =   y   1  1 ดังนั้น x = 1 และ y = 1 โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  10. 10. หน้าที่ 37 แบบฝึ กหัดที่ 11จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้เมตริ กซ์ผกผันของเมตริ กซ์สัมประสิ ทธิ์ ( 1 ) 4x + 3y = 1 2x + 5y = 11………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………( 2) x + y +z = 6 2x - y - z = - 3 x – 3y + 2z = 1……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  11. 11. หน้าที่ 38 ่ ในหัวข้อ 3.10.1 จะเห็นว่าระบบสมการที่มี 3 ตัวแปร วิธีแก้ระบบสมการจะมีความยุงยากเกี่ยวกับการหาอินเวอร์ สการคูณเมตริ กซ์ ดังนั้นอาจจะหลีกเลี่ยงไปใช้วธีอื่นดังนี้ ิ3.10.2 การแก้ระบบสมการโดยใช้ กฎของคราเมอร์ ( Cramer , s rule ) ทฤษฎีบทที่ 4 ( กฎของคราเมอร์ ) ถ้า A เป็ นเมตริ กซ์มิติ n  n โดยที่ det ( A )  0 แล้วระบบสมการที่เขียนในรู ปสมการเมตริ กซ์ A X = B เมื่อตัวไม่ทราบค่าคือ x1, x2 , … xn และ b1, b2, … bn เป็ นค่าคงตัว  x1   b1       x2   b2  .  .  โดยที่ x=   , B=   .  .  .  .       xn     bn    มีคาตอบคือ x1 = det ( A1 ) det ( A ) , x2 = det ( A2 ) det ( A ) , … , xn = det ( An ) det ( A ) เมื่อ A i คือ เมตริ กซ์ที่ได้จากการแทนหลักที่ i ของ A ด้วยหลักของเมตริ กซ์ Bตัวอย่างที่ 2 จงหาคาตอบของระบบสมการที่กาหนดโดยใช้กฎของคราเมอร์ x+y+z = 6 2x - y - z = - 3 x - 3y + 2z = 1วิธีทา เขียนสมการเมตริ กซ์ได้ดงนี้ ั 1 1 1 x  6       2 1  1 y =   3 1  3 2 z    1   1 1 1   ให้ A = 2 1  1 จะได้ det ( A ) = - 15 ่ โดยกฎของคราเมอร์ จะได้วา 1  3 2  6 1 1     15 A1 =   3  1  1  det ( A 1 ) = - 15 ดังนั้น x = det ( A1 ) det ( A ) =  15 =1  1 3  2 1 6 1     30 A2 =  2  3  1  det ( A 2 ) = - 30 ดังนั้น y = det ( A2 ) det ( A ) =  15 =2 1  1 2 โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  12. 12. หน้าที่ 39  1 1 6    45 A3 = 2 1  3  det ( A 3 ) = - 45 ดังนั้น z = det ( A3 ) = =3  1 det ( A )  15  3 1  คาตอบของระบบสมการ คือ x1 = 1 , y = 2 , และ z = 3โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  13. 13. หน้าที่ 37 แบบฝึ กหัดที่ 12 จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้กฎของคราเมอร์( 1 ) x - 2y – 3z = 3 x+y-z = 2 2x - 3y = 5z + 5………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………( 2 ) x1 + x2 + x3 = 0 x2 - x3 + x4 = 5 x2 + x3 - x4 = - 7 2x 2 - x 3 + 2x 4 = 6……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  14. 14. หน้าที่ 38จากแบบฝึ กหัด 12 จะเห็นว่า เมื่อระบบสมการมีตวแปรมากกว่า 3 ตัวแปร การหาค่า ั ั ุ่ดีเทอร์ มินนต์เพื่อใช้กฎของคราเมอร์ เป็ นวิธีการที่ยงยาก ดังนั้นอาจจะใช้วธีการอื่น เช่น การแปลงเมตริ กซ์ ิโดยใช้วธีการดาเนินการตามแถว ( row operation ) ิ3.10.3 การแก้ระบบสมการโดยใช้ การแปลงเมตริกซ์ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีพีชคณิ ตธรรมดานั้น มีวธีการสร้างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้ ิเครื่ องมือ 3 วิธีการ ซึ่ งทาให้คาตอบของระบบสมการไม่เปลี่ยนแปลง เครื่องมือ 3 วิธีการดังกล่าว คือ 1. การสลับที่ระหว่างสมการสองสมการใด ๆ ในระบบ 2. การใช้ค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ คูณทุก ๆ พจน์ของจานวนทั้งสองข้างของเครื่ องหมายเท่ากับของสมการ ่ 3. การเปลี่ยนสมการใดสมการหนึ่งในระบบ โดยใช้คาคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์คูณทุก ๆ พจน์ของจานวนทั้งสองข้างของเครื่ องหมายเท่ากับ ในสมการที่ตองการเปลี่ยนแปลงสมการอื่นอีกสมการหนึ่งในระบบ ( ใช้ค่าคง ้ตัวคนละจานวน ) เเล้วนามาบวกหรื อลบกัน เป็ นสมการใหม่ที่ใช้เเทนสมการเดิม ตัวอย่างเช่ น ระบบสมการ x - 2y = 3 ………… ( 1 ) x + 3y = 8 ………… ( 2 ) ระบบสมการ ( 1 ), ( 2 ) จะมีคาตอบเหมือนกับระบบสมการ x - 2y = 3 ………… ( 3 ) 5y = 5 ………… ( 4 ) ระบบสมการ ( 3 ), ( 4 ) จะมีคาตอบเหมือนกับระบบสมการ x - 2y = 3 ………… ( 5 ) y =1 ………… ( 6 )ในทานองเดียวกัน ระบบสมการ ( 5 ), ( 6 ) จะมีคาตอบเหมือนกับระบบสมการ x = 5 ………… ( 7 ) y = 1 ………… ( 8 ) เราสามารถนาวิธีการข้างต้นนี้มาใช้แก้ระบบสมการ โดยจัดให้อยู๋ในรู ปของเมตริ กซ์ แล้วปรับให้เมตริ กซ์ของสัมประสิ ทธิ์ ที่ได้จากระบบสมการเป็ นเมตริ กซ์ของเอกลักษณ์การคูณได้ ซึ่ งมีข้ นตอนการ ัดาเนินงานดังนี้ โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  15. 15. หน้าที่ 39 (1) ่ จัดระบบสมการให้อยูในรู ป a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a22x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 . . . an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn ่ แล้วจัดให้อยูในรู ปสมการเมตริ กซ์ AX = B ดังนี้ ( 2 ) เขียนเมตริ กซ์ใหม่ในรู ปเมตริ กซ์ [ A :B ] ซึ่ งเรี ยกว่า เมตริ กซ์แต่งเติม ( augmented matrix ) ( 3 ) ใช้การดาเนินการตามแถว ( row operation ) เพื่อเปลี่ยนรู ปเมตริ กซ์แต่งเติมชุดเดิม [ A : B ]ให้เป็ นเมตริ กซ์แต่งเติมชุดใหม่ในรู ปของ [ I : D ] ดังนี้ 1. สลับทีระหว่างสองแถวใด ๆ ในเมตริกซ์ แต่ งเติม ่ ใช้ สัญลักษณ์ รหัส R ij หมายถึง การสลับที่แถวที่ i และแถวที่ j โดยแถวอื่น ๆ คงเดิม 2. คูณสมาชิ กทุกตัวในแถวใดแถวหนึ่งด้ วยค่ าคงตัวทีไม่ ใช่ ศูนย์ ่ ใช้ สัญลักษณ์ รหัส cR i หมายถึง การคูณสมาชิกแถวที่ i ด้วย c  0 2. เปลียนแปลงแถวใดแถวหนึ่งด้ วยการคูณสมาชิ กทุกตัวในแถวอืน ( แถวเดียว ) ด้ วยค่ าคงตัว ่ ่ c แล้วนาผลคูณที่ได้มาบวกกับสมาชิกทุกตัวในลาดับเดียวกันของแถวที่ตองการเปลี่น ้ ใช้ สัญลักษณ์ R i + c Rการใช้การดาเนินการตามแถวบนเมตริ กซ์ [ A : B ] ให้อยูในรู ปเมตริ กซ์ [ I : D ] จะได้ค่า [ A : B ] สมมูล ่แบบแถว [ I : D ] และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [ A : B ] ~ [ I : D ] 1 0 .. . 0 d1 0 1… 0 d2 โดยที่ [ I : D ] = . . . . . 0 0 1 dn โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  16. 16. หน้าที่ 40 ่ ซึ่ งเมื่อเปลี่ยนรู ปให้อยูในรู ปของสมการ จะได้รูปแบบระบบสมการเป็ น x 1 = d1 x2 = d2 . xn = dn นั้นคือ คาตอบของระบบสมการคือ x 1 = d 1, x 2 = d 2, … , x n = d nตัวอย่างที่ 3 จงแก้ระบบสมการ x - 2y - 3z = 3 x+y-z = 2 2x - 3y = 5z + 5วิธีทา จงเขียนเมตริ กซ์แต่งเติมจากระบบสมการได้ดงนี้ ั 1  2  3 3   [ A : B] = 1 1 1 2 2  3  5  5  ใช้การดาเนินการตามแถว ( row operation ) ได้ดงนี้ ั 1  2  3 3  [A:B] ~   2 1  R2-R1 0 3 0  5  3 1    R3-2R2  5 7 1 0  3 3 R1 + (2/3)R2    1 ~ 0 1 2 3   3 (1/3)R2   0 0 1  2   3 3 R3 + (5/3)R2 1 0 0  1 R1 + 5R3   ~ 0 1 0 1  R2 – 2R3 0 0 1   2  3R3 โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  17. 17. หน้าที่ 41 จะได้ระบบสมการที่มีคาตอบเท่ากับระบบสมการเดิม ดังนี้ x + 0y + 0z = - 1 0x + y + 0z = 1 0x + 0y + z = - 2 ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ x = - 1, y = 1 และ z = - 23.10.4 การหาเมตริกซ์ ผกผันของการคูณเมตริกซ์ โดยใช้ การดาเนินการตามแถว ์ การดาเนินการตามแถวของเมตริ กสามารถนาไปใช้หาเมตริ กซ์ผกผันสาหรับการคูณของเมตริ กซ์นอนซิ งกูลาร์ ได้ดงนี้ ั กาหนด A = [ a ij ] n  n ซึ่งเป็ นนอนซิงกูลาร์เมตริ กซ์ จะหา A- 1 โดยใช้วธีดาเนินการตามแถว ิ ( row operation ) ดังนี้ ่ 1. เขียนเมตริ กซ์ให้อยูในรู ป [ A I n ] ซึ่งเป็ นเมตริ กซ์ n  2n โดยการเขียนเมตริ กซ์ A ต่อด้วย เมตริ กซ์ I n 2. ใช้การดาเนินการตามแถวบน [ A I n ] สร้างเมตริ กซ์ใหม่ จนกระทังเมตริ กซ์ใหม่อยู๋ในรู ป I n B | ่ ซึ่งมี I n เป็ นส่ วนแรก และตามด้วยเมตริ กซ์ B โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  18. 18. หน้าที่ 37วิธีการนี้ใช้ได้เฉพาะกับเมตริ กซ์ A ซึ่ งเป็ นนอนซิ งกูลาร์ เมตริ กซ์เท่านั้นข้อสอบ O-NET 25491. ถ้า x, y ,z สอดคล้องกับระบบสมการ x + 2y – 2z = -2 2x + y + 2z = 5 x – 3y – 2z = 3 2 1 3 แล้ว ดีเทอร์มิแนนต์ 2 2 2 มีค่าเท่ากับข้อใด x  2 y 2x  y x  3 y 1.. 60 2. 75 3. 90 4. 105 ตอบ 602. 3 x 3  กาหนดให้ A = 2 0 9 เมื่อ   x เป็ นจานวนจริ ง 1 1 2    3 x 3 : 1 0 0  1 0 0 : 9 5  36 ถ้า  2 0 9 : 0 1 0 ~ 0 1 0 :  5  3 21  แล้ว x มีค่าเท่ากับเท่าใด     1 1 2 : 0 0 1   0 0 1 :  2  1 8    ตอบ x = 4 โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32
  • RaMKhuMHanG

    Jan. 13, 2017
  • yingmathzasa

    Oct. 27, 2015
  • nititathchaikuad

    Feb. 12, 2015
  • nootja31

    Nov. 24, 2014
  • songkransupwijit

    Nov. 19, 2014
  • nirunsrikot7

    Nov. 4, 2014
  • tiktok23

    Nov. 3, 2014
  • mathavin09

    Oct. 10, 2014
  • oranuchkanghae

    Nov. 26, 2013
  • krulakmath

    Nov. 6, 2013
  • aiedchutinan

    Oct. 8, 2013
  • happyhut1

    Sep. 5, 2013
  • arayamaisok

    Sep. 25, 2012
  • OlangPhengchinda

    Jul. 4, 2012
  • supachaitakchaleng

    May. 29, 2012

Vues

Nombre de vues

9 298

Sur Slideshare

0

À partir des intégrations

0

Nombre d'intégrations

900

Actions

Téléchargements

0

Partages

0

Commentaires

0

Mentions J'aime

15

×