Interpolación polinómica de Hermite de primer orden

Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas

Programación y Métodos Numéricos
Programación y Métodos Numéricos
Interpolación polinómica de Hermite:
Interpolación polinómica de Hermite:
PLANTEAMIENTO Y CASO DE PRIMER
PLANTEAMIENTO Y CASO DE PRIMER
ORDEN
ORDEN
Alfredo López Benito
Carlos Conde Lázaro
Arturo Hidalgo López
Marzo, 2007

120
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos


OBJETIVOS
OBJETIVOS

1º. Conocer el problema de interpolación de Hermite.

2º. Calcular el polinomio interpolador de Hermite que ajuste
sobre un soporte dado el valor de una función y el de sus
primeras derivadas.

121


Problema general de interpolación de Hermite

Dados (n+1) puntos distintos {xo, x1, ..., xn} y
(n+1) números enteros no negativos {α0, α1, ..., αn}
n
denotando por m al valor:m = n + ∑ αi
i= 0

y siendo f(x) una función de la que se conoce, en cada
punto xi , su valor y el de sus αi primeras derivadas,

ENCONTRAR un polinomio pm(x) de grado menor o igual
que m verificando las (m+1) igualdades siguientes:

pm ( j (xi ) = f ( j ( xi ) = f ( j (j = 0, ..., αi); (i = 0, ..., n)
i

122



Teorema
Existe un único polinomio pm(x) que es solución del
problema general de interpolación polinómica de Hermite

Demostración:
(j = 0, ..., αi); (i = 0, ..., n)
∃ !pm ∈ Pm / pm (xi ) = fi( j
(j

El sistema pm ( xi ) = fi (j = 0, ..., αi); (i = 0, ..., n) admite solución única
(j (j

El sistema pm (xi ) = 0 (j = 0, ..., αi); (i = 0, ..., n) sólo tiene soluc. trivial
(j

123



Si pm (xi ) = 0 (j = 0, ..., αi); (i = 0, ..., n)
(j

xi es raíz con multiplicidad (αi +1) de pm(x) (i = 0, ..., n)

n
pm (x ) = q(x )·∏ (x − xi )αi +1 q≡0 pm ≡ 0
i= 0

∈Pm ∈Pm+1 c.q.d.

124


Ejemplo
Ejemplo

Determinar el polinomio interpolador de Hermite de la
función f(x) = cos(x) en el soporte {0, π /2, p} para los
enteros {2, 0, 1}
x0 x1 x2
α0 α1 α2
Solución
n
Grado del polinomio interpolador: m = n + ∑ αi = 2 + 2 + 0 + 1 = 5
i= 0

p5(x) = a0 + a1·x + a2·x2 + a3·x3 + a4·x4 + a5·x5

125


Ejemplo
Ejemplo
{0, π /2, π} , {2, 0, 1} p5(x) = a0 + a1·x + a2·x2 + a3·x3 + a4·x4 + a5·x5
p5(0) = cos(0) a0 =1
p5’(0) = -sen(0) a1 =0

p5”(0) = -cos(0) 2·a2 = -1
a0 +a1·(π/2) + a2·(π/2)2 + a3·(π/2)3 + a4·(π/2)4 + a5·(π/2)5= 0
p5(π/2) = cos(π/2)
p5(π) = cos(π) + a2·(π)2 + a3·(π)3 + a4·(π)4 + a5·(π)5 =- 1
a0 +a1·(π)
p’5(π) =-sen(π) +2·a2·(π) +3·a3·(π)2 + 4·a4·(π)3 +5·a5·(π)4 = 0
a1
⎡1 0⎤
0 0 0 0
⎧1⎫
⎧ a0 ⎫
⎢0 0⎥ ⎪0⎪
⎪a ⎪
1 0 0 0
⎢ ⎥
⎪⎪
⎪ 1⎪
⎢0 0⎥
0 2 0 0
⎪− 1⎪
⎪ a2 ⎪
⎢ 5⎥
⎨ ⎬ =⎨ ⎬
2 3 4
π ⎛π⎞ ⎛π⎞ ⎛π⎞ π⎞ ⎥
⎛
⎢1
⎪0⎪
⎪ a3 ⎪
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎥
⎢ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠
2 ⎪ − 1⎪
⎪a4 ⎪
⎢ ⎥
⎪⎪
⎪⎪
π π2 π3 π4 π5 ⎥
⎢1 ⎩0⎭
⎩ a5 ⎭
⎢0 5·π 4 ⎥
2·π 3·π 2 4·π 3
⎣ ⎦
1
126


Ejemplo
Ejemplo
⎧ ⎫
a0 1 p5
⎪ ⎪
a1 0
⎪ ⎪ cos(x)
⎪ −1/ 2 ⎪
a2
⎪ ⎪
⎪ 2· π − 10 ⎪
2

a3 =⎨ π3 ⎬
⎪ ⎪
5 12 − π 2 ⎪
⎪·
a4
⎪ 2 π4 ⎪ π 2 − 12
5 12 − π 2
⎪ π 2 − 12 ⎪ · π5
⎪ ⎪ 2 π4
a5
⎪ ⎪
π
⎩ ⎭
5

p5(x) = 1 – (½)·x2 + a3·x3 + a4·x4 + a5·x5

π 2 − 10
2·
π3
127


Problema de interpolación polinómica de
Problema de interpolación polinómica de
Hermite de primer orden
Hermite de primer orden
Dados (n+1) puntos distintos {xo, x1, ..., xn},
denotando por m al valor: m = 2·n+1 ,
y siendo f(x) una función de la que se conoce en cada punto
xi del soporte su valor f(0i y el de su primera derivada f(1i,

ENCONTRAR un polinomio pm(x) de grado menor o igual
que m verificando las (m+1) igualdades siguientes:

pm (xi ) = fi(0
(i = 0, ..., n)
p 'm (xi ) = f (1
i

128


Teorema
Existe un único polinomio pm(x) que es solución del proble-
ma de interpolación polinómica de Hermite de primer orden.
Además
n n
(Fórmula de inter-
pm (x ) = ∑ fi(0 ·Hi,0 (x) + ∑ fi(1·Hi,1(x ) polación de Hermite)
i= 0 i= 0
donde:
Hi,0 (x ) = [1 − 2·(x − xi )·L 'i (xi )]·(Li (x ))2
(i = 0, ..., n)
Hi,1 (x ) = (x − xi )·(Li (x ))2

siendo Li(x) el i-ésimo polinomio de base de Lagrange:
n x−x
Li ( x ) = ∏
j

j= 0 x i − x j
j≠ i

(Polinomios de base de Hermite)
129


Ejemplo
Ejemplo
Calcular el polinomio interpolador de Hermite de una función
de la que se conocen los siguientes valores:
f(0) = 0 f(1) = 1 f(2) = (8)1/2
f’(0) = 0 f’(1) = 3/2 f’(2) = 3 / (2)1/2
Solución:
Soporte: {0 , 1, 2}
1 1
L1(x ) = − x 2 + 2·x
L0 (x ) = ·(x 2 − 3·x + 2) L2 (x ) = ·(x 2 − x)
2 2
1 3
3 3 L '2 ( x ) = x − → L '2 (2) =
L '0 ( x ) = x − → L '0 (0) = − 2 2
2 2

L '1 (x ) = −2·x + 2 → L '1(1) = 0
130


Ejemplo
Ejemplo
Soporte: {0 , 1, 2}
1 1
L1(x ) = − x 2 + 2·x
L0 (x ) = ·(x 2 − 3·x + 2) L2 (x ) = ·(x 2 − x)
2 2
3 3
L '1 (1) = 0
L '0 (0) = − L '2 (2) =
2 2
⎡ −3 ⎞ ⎤ ⎛ 1 2
2
⎛ ⎞
H0,0 (x ) = [1 − 2·(x − x 0 )·L '0 (x 0 )]·( L0 (x) ) = ⎢1 − 2·x·⎜
2
·⎜ ·(x − 3·x + 2) ⎟ =
⎟⎥
⎝ 2 ⎠⎦ ⎝ 2 ⎠
⎣
3·x 5 − 17·x 4 + 33·x 3 − 23·x 2 + 4
=
4
H1,0 ( x ) = [1 − 2·(x − x1 )·L '1 (x1 )]·( L1(x) ) = ⎡1 − 2·(x − 1)·( 0 ) ⎤·( − x + 2·x )
2
2 2
=
⎣ ⎦

= x 4 − 4·x 3 + 4·x 2
⎡ ⎛ 3 ⎞⎤ ⎛ 1 2
2
⎞
H2,0 (x ) = [1 − 2·(x − x 2 )·L '2 (x 2 )]·( L2 (x) )
2
= ⎢1 − 2·(x − 2)·⎜ ⎟ ⎥·⎜ ·(x − x) ⎟ =
⎝ 2 ⎠⎦ ⎝ 2 ⎠
⎣
−3·x 5 + 13·x 4 − 17·x 3 + 7·x 2
=
4
131


Ejemplo
Ejemplo
H0,0(x)
H1,0(x)

H2,0(x)

132


Ejemplo
Ejemplo
Soporte: {0 , 1, 2}
1 1
L0 (x ) = ·(x 2 − 3·x + 2) L1(x ) = − x 2 + 2·x
L2 (x ) = ·(x 2 − x)
2 2
2
⎛1 2 ⎞ x − 6·x + 13·x 3 − 12·x 2 + 4·x
5 4
H0,1(x ) = (x − x 0 )·( L0 (x ) ) = x·⎜ ·(x − 3·x + 2) ⎟ =
2

⎝2 ⎠ 4
= (x − 1)·( − x + x ) = x 5 − 5·x 4 + 8·x 3 − 4·x 2
H1,1(x ) = (x − x1 )·( L1(x ) )
2
2 2

2
⎛1 ⎞ x 5 − 4·x 4 + 5·x 3 − 2·x 2
H2,1(x ) = (x − x 2 )·( L2 (x ) ) = (x − 2)·⎜ ·(x 2 − x) ⎟
2
=
⎝2 ⎠ 4

H0,1(x)
H1,1(x)

H2,1(x)

133


Ejemplo
Ejemplo
2 2

∑ f ·Hi,0 (x) + ∑ fi(1 ·Hi,1 (x )
p5 (x ) = (0
i
i= 0 i= 0
3 3
= 0·H0,0 (x ) + 1·H1,0 (x ) + 8 ·H2,0 (x ) + 0·H0,1(x ) + ·H1,1 (x ) + ·H2,1 (x )
2 2
⎛3 9⎞5⎛ 13 ⎞ 4 ⎛ 53 ⎞ 3 ⎛ 11 ⎞
=⎜ − ·x + ⎜ 5· 2 − ·x + ⎜ 8 − ·x + ⎜ − 2 ⎟·x 2
⎟
⎟ ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2 4· 2 ⎠ ⎝ 4· 2 ⎠ ⎝ 2· 2 ⎠

f(x)

p5(x)

Función de error
134


135

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