Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.

Calculus of variation ตอนที่ 3 (จบ)

บทความทางคณิตศาสตร์

  • Identifiez-vous pour voir les commentaires

Calculus of variation ตอนที่ 3 (จบ)

  1. 1. เงื่อนไขขอบเขตธรรมชาติ ( Natural Boundary Conditions ) เงื่อนไขขอบเขตที่เราพิจารณาในตอนที่ผ านมา เปนการกําหนดคาแนนอน (specified) ที่จุดขอบทั้ง 2 ดานของฟงกชัน ทําใหการแปรผันของฟงกชั่นมีคาเปนศูนย ที่จุดปลายดังกลาว เราเรียกเงื่อนไขประเภทนี้วา “ เงื่อนไขขอบเขตทางเรขาคณิต ( geometric boundary conditions ) หรือเงื่อนไขขอบเขตประเภทที่หนึ่ง ( boundary conditions of thefirst kind ) หรือเงื่อนไขขอบเขตจําเปน ( essential boundary conditions ; EBCs ) ” ในตอนนี้ สมมติใหการแปรผั นไม ได ถูกกํา หนดคาแนนอน (not specified) ที่จุด ขอบดา นใดดานหนึ่ง หรือทั้งสองดานของฟงกชั่น ทําใหการแปรผันของเสนโคง มีคาไดอยางอิสระตรงขอบดานที่ไมไดกําหนดคา โดยไมสูญเสียนัยสําคัญของกรณี ทั่วไป สมมติใหคาของทุ กฟงกชั่น ที่จุด x1 กําหนดโดย yx1   y1 และในกรณีนี้ การแปรผัน y ที่จุด x2 ไมเทากับศูนย (ดูรูปที่ 7) y y2 y  x 2  y * ( x) y1 y ( x,  )  y * ( x)   ( x) x x1 x2 รูปที่ 7 : การแปรผันของฟงกชั่น y x ,   สําหรับเงื่อนไขขอบเขตธรรมชาติ คาสุดขีดของฟงกชั่นพิจารณาจากการแปรผันปริพันธของฟงชั่นนัลแลวกําหนดใหเทากับศูน ย เมื่อเราเขียนในรูปของสัญลักษณการแปรผันจะได
  2. 2. x2  F d  F  F I    y  dx  y  y dx  y  yx   0 x1     2 ดังนั้น จะมีเงื่อนไขจําเปนสําหรับคาสุดขีดของฟงกชั่น 2 เงื่อนไขคือ 1. จากบทตั้งมูลฐานแคลคูลัสของการแปผัน F d  F      0 y dx  y    2. เนื่องจากการแปรผัน yx2  ไมจําเปนตองเทากับศูนย ดังนั้น F  0 y xx2 ในทํานองเดียวกัน ถาเราพิจารณากรณีที่ yx1   0 เงื่อนไขจําเปนสําหรับใหคาสุดขีด คือ F 0 y x  x1 ดังนั้น จึงสรุปไดวา F ถา yx1  ไมกําหนดคาแนนอน แลว 0 ที่ x  x1 y F ถา yx2  ไมกําหนดคาแนนอน แลว 0 ที่ x  x2 y เราเรียกเงื่อนไขขอบเขตที่เพิ่มเขาไปนี้วา “ เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สอง (boundary conditions of the secondkind) หรื อเงื่อนไขขอบเขตธรรมชาติ (natural boundary condition ; NBC) ” ในทางกลศาสตรมักเรียกเงื่อนไขขอบเขตของจุ ดที่ มีการเปลี่ยนแปลงนี้ว า “ เงื่อนไขขอบเขตเชิ งพลวั ต (dynamic boundary conditions) ” และในบางครั้ ง เงื่ อ นไขขอบเขตอยู ใ นรู ป ของ g  yx1 , y x1   0 และ h yx2 , y x 2   0 ซึ่ ง เราจะเรี ย กว า“ เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สาม (boundary conditions of the third kind) ”ตัวอยาง จงหาสมการเชิงอนุพันธ และเงื่อนไขคาขอบเขตสําหรับคาสุดขีดของการแปรผัน   px y    q x  y 2 dx 1 I [ y]  2 0โดยที่ p และ q เปนคาคงที่บวก และ กําหนดเงื่อนไขขอบเขตธรรมชาติ (NBC) y0  0, และ y1ไมกําหนดคา วิธีทํา จากสมการออยเลอร-ลากรอนจ
  3. 3. F F โดยพิจารณา   2q x  y และ  2 p x  y  y y  d จะได  p  x  y   q  x  y  0 , 0  x 1 ‡ dxการขยายใหอยูในรูปกรณีทั่วไป ( Generalizations ) ในปญหาการแปรผันที่กลาวมาตั้งแตตน ฟงกชั่นนัลที่กลาวถึงอยูในรูปแบบของฟงกชั่น 1 ฟง กชั่น กับอนุพันธของฟงกชั่นนั้น ซึ่งเปนรูปแบบที่งายที่สุดกลาวคือ F  F  x, y , y  สําหรับกรณีทั่วไป ฟงกชั่นนัลอาจประกอบดวยฟงกชั่น (และอนุพันธของมัน) มากกวา 1 ฟงกชั่นแตยังคงขึ้นอยูกับตัวแปรอิสระ x ตัวเดียว ฟงกชั่นนัลดังกลาว อยูในรูปแบบของ F  F  x, y , y   (15)โดยที่ y   y1 , y2 ,..., yn  และ y   y1, y ,..., y   2 n โดยอาศัยวิธีการของตัวดําเนิน การการแปรผัน เพื่ อหาเงื่อ นไขจําเปนสํ าหรับ คาสุดขี ดของฟงก ชั่น ทุกฟงก ชั่นพิจารณาปริพันธของฟงกชั่นนัล I [y ]   F  x, y , y dx x2 x1 x2 x2จะได I [y ]    Fdx  x1  x1 Fdx  x 2 F   x 2 F    dx  y1  ...    dx  yn x1 y  yn  x1  1   x 2 F   x 2 F    dx  y1  ...      dx  yn   x1 y1   x1 y  n  F x2 F  x2  F F    y1  ...  y n  dx    y1  ...   y   dx x1  y1 y n  x1   y1 y  n n 
  4. 4. x2  n  F F   1   yi yi  yi yi  dx  x  i 1    x2 x2  n  n  F x2  n  F   d  F        y yi  dx    yi       yi  dx   y      x1  i 1  i  i 1  i  x1 x1  i 1  dx  yi        Integration by part x2 n  F d  F    ดังนั้น I [y ]  1  yi  dx  yi   yi dx   (16) x  i 1       เนื่องจากฟงกชั่น yi สามารถแปรคาไดอยางอิสระ ดังนั้นสมการออยเลอร-ลากรอนจ จึงอยูในรูป F d  F      0, i  1, 2 ,..., n (17) y i dx  y i   เงื่อนไขจําเปนขางตนประกอบดวย ระบบสมการเชิงอนุพันธที่มีความเกี่ยวโยงกันอยู n สมการตัวอยาง จงแสดงใหเห็นวาเงื่อนไขจําเปน สําหรับเสนโคงในรูปของสมการอิงตัวแปรเสริม X 1  x1 t  , X 2  x2 t  ,..., X n  xn t ซึ่งทําให  F t , x , x ,..., x , x , x ,..., x dt เปนคาสุดขีดคือ t2 1 2   n  1 2 n t1 d  F  F    x  0 เมื่อ k  1, 2 ,..., n dt  xk    kวิธีทํา เชนเดียวกับกรณีที่ฟงกชั่นนัลประกอบดวยฟงกชั่นหนึ่งฟงกชั่น เงื่อนไขจําเปนสําหรับคาสุดขีดคือ t2 t2   F dt   F dt  0 t1 t1เมื่อใชกับฟงกชั่นนัลที่ประกอบดวยฟงกชั่นหลายฟงกชั่น จะได t2  F F   F F    x    x1  x1   x1   ...       x  x n  x  x n  dt  0  n n    t1  1 d  x1  d  x n โดยใชความจริงที่วา  x1   , ...,  x n   และหาปริพันธทีละสวน จะได dt dt   t2  F   F  t2 t2  d  F    n  n     dt      xk  xk  k 1  xk  x k  t1        x k  dt   0  k 1 t1         1 t  dt  x k      0  
  5. 5. เนื่องจาก  x1 , ...,  x n เปนคาไมเจาะจง F d  F ดังนั้น     0, k  1, 2 ,..., n ‡ x k dt  x k    ฟงกชั่นหลายตัวแปรอิสระ ( Several Independent Variables ) ในหลายปญหาเราจะพบวา ค าสุดขี ดที่ เราตอ งการหา เปนฟ งก ชั่นของหลายตัวแปรอิส ระ เชน การแกป ญหาสมการคลื่น หรื อการสั่ นของเยื่อบาง เปนต น ซึ่งกรณีนี้โ ดเมนของปริ พันธข องฟ งก ชั่นนัลจะถูกกํ าหนดใหอยู บ นระนาบ พิจารณากรณีปญหา 2 มิติ กําหนดโดย u  u x, y  และปริพันธของฟงกชั่นนัลอยูในรูป  u u  I   F  u , x , y , x , y  dx dy   (18) R   โดยที่ R เปนอาณาบริเวณของการหาปริพันธซึ่งครอบคลุมทุกเสนโคง C ของฟงกชั่น u x, y  และ F เปนฟงกชั่นที่สามารถหาอนุพันธไดอยางนอย 2 ครั้ง เราตองการหาเสนโคง C ซึ่งใหคาของ u * x, y  โดยการทําใหปริพันธของฟงกชั่นนัลเปนคาต่ําสุด พิจารณาการเปลี่ยนแปลงนอย ๆ ของฟงกชั่น ux, y  กําหนดโดย u  x, y   u *  x, y     x , y  (19)เมื่อ  x , y   0 บนเสนโคง C ซึ่งเปนเสนสุดขีด (stationary curve) แทนคาสมการ (19) ลงใน (18) และพิจารณา dI d  u u    u u  d  d  F  u , x , y , x , y  dxdy R        F  u , x , y , x , y  dxdy R      F u F u x F u y   F F F     u  u  u   dxdy         u u  x  u y  y  dxdy  0  R  x y  R  x โดยเทคนิคการหาปริพันธทีละสวน  F F F    u   u  x   y  dxdy u y  R  x   F   F    F       x , y  dxdy    u  x  u     y  u x   R   y   F F        x , y   0  u   x u y   C เนื่องจาก  x , y   0 สําหรับคาสุดขีดของเสนโคง C ดังนั้น
  6. 6.  F   F    F       x , y  dxdy  0   u  x  u     y  u x   R   y  จากบทตั้งแคลคูลัส ของการแปรผัน จึงสรุปเงื่อนไขจําเปนของ สมการออยเลอร-ลากรอนจในสองมิติ ( Euler–Lagrange in 2D ) ไดวา F   F    F       = 0 (20) u x  u x  y  u y      ในทํานองเดียวกัน สําหรับ u  u  x, y , z  จะได สมการออยเลอร-ลากรอนจในสามมิติ (Euler–Lagrange in3D) กําหนดโดย F   F    F  F  F         z  u   = 0 (21) u x  u x   y  u   y   z ตัวอยางเชน ในกรณีของ 2 มิติ กําหนดปริพันธของฟงกชั่นนัล u x, y  โดย  u  2  u  2  I u  x , y          2uf x , y  dxdy    x   y  R   จะได สมการออยเลอร–ลากรอนจ อยูในรูปแบบของ “ สมการปวซง (Poisson’ s equation) ” ดังนี้  2u  2u   f x , y  x 2 y 2ตัวอยาง ( Plateau’ s Problem ) กําหนดให  เปนเสนโคงปด (closed curve) ในปริภูมิสามมิติ จงหาสมการของพื้นผิว u  ux, y  ซึ่งถูกลอมรอบดวยเสนโคง  ดังกลาว โดยมีพื้นที่ผิวนอยที่สุด ในกรณีนี้กําหนดใหปริพันธของฟงกชั่นนัล ซึ่งแทนพื้นที่ผิวของฟงกชั่น ux, y  มีคา A[u ]   1  u x  u 2 dxdy 2 y Rโดยที่ R เปนอาณาบริเวณของการโปรเจคชั่นพื้นผิว u ลงบนระนาบ xy ที่ลอมรอบดวยเสนโคง Cวิธีทํา เนื่องจาก u x, y  ดังนั้น จึงพิจารณากรณีของสมการออยเลอร-ลากรอนจในสองมิติ F F ux F uyพิจารณา  0,  และ  u u x 1  ux  u y 2 2 u y 1  ux  u y 2 2แทนคาในสมการ (20) จะได  ux  uy    0 x 1  u x  u y y 1  u x  u y 2 2 2 2
  7. 7. เมื่อจัดรูปแลวจะได 1  u u 2 y xx    2u x u y u xy  1  u x u yy  0 2ซึ่งเปน สมการเชิ งอนุ พันธยอยไมเชิงเสนอันดับสอง (non-linear PDE) สํา หรั บการหาพื้นที่ผิ วนอยที่สุด เมื่อมีการกําหนดขอบเขตของเสนโคง  มาให ‡ตัวอยาง จงแสดงใหเห็นวา ปริพันธของฟงกชั่นนัล 1  u   u   u   2 2 2 I            dxdydz R 2  x   y   z      มีฟงกชั่นสุดขีดเปนสมการลาปลาซ (Laplace’ s equation)วิธีทํา เนื่องจาก u x, y , z  ดังนั้น จึงพิจารณากรณีของสมการออยเลอร-ลากรอนจในสามมิติ F F u F u F uและ  0,  ,  , และ  u u x x u y y u z zจากสมการ (21) จะได สมการลาปลาซใน 3 มิติ คือ  2u  2u  2u    0 ‡ x 2 y 2 z 2ตัวอยาง สมมติให    x , y , z  อยูในบริเวณปด R จงแสดงวาเงื่อนไขที่จําเปนสําหรับ      y2   z2 dxdydz 2 x R เปนคาสุดขีด คือ สมการลาปลาซในสามมิติ หรือ  2  0 ในโดเมน Rวิธีทํา เงื่อนไขจําเปนคือ ใหการแปรผันปริพันธของฟงกชั่นนัลมีคาเปนศูนย กลาวคือ    x2   y2   z2 dxdydz    2 x    y2   z2 dxdydz  0 (*) R Rเนื่องจาก   x2   y2   z2   2 x x  2 y  y  2 z  z   2 x    2 y     2 z    x y zให R เปนอาณาบริเวณของการหาปริพันธ กําหนดโดย R   x , y , z    3 : x1  x  x 2 , y1  y  y 2 , z1  z  z 2 
  8. 8.    dx z2 y2 x2พิจารณา  2 x dxdydz   dz  dy  2 x R z1 y1 x1 x z2 y2  x2  x   dz  dy  2 x  2 x2   dx  z1 y1  x1 x1 x  z2 y2 x2  x   2  dz  dy   dx z1 y1 x1 x  x   2   dxdydz R x  2 xจะได  x dxdydz   2 2  dxdydz (**) R R x 2โดยใชความจริงที่วา   0 บนพื้นผิวปด R และในทํานองเดียวกัน เราจะได  2 y  2 y dxdydz   2   dxdydz (***) R R y 2  2 z  z dxdydz   2 2  dxdydz (****) R R z 2แทนคาสมการ (**) , (***) และ (****) ในสมการ (*)   2  2 y  2     x2   y2   z2 dxdydz   2   2x  2  2z   dxdydz R R  x  y z    0เนื่องจาก  เปนคาไมเจาะจง โดยอาศัยบทตั้งแคลคูลัสการแปรผัน จะได  2 x   y  2 z 2     0 หรือ  2  0 ในโดเมน R ‡ x 2 y 2 z 2ปญหาของการแปรผันกับเงื่อนไขบังคับ ( Variational Problems with Constraints ) ในบางปญหาของการแปรผัน เราตองการหาฟงกชั่นซึ่งทําใหปริพันธของฟงกชั่นนัล F  x , y , y  dx (22) x2  x1มีคาสูงสุดหรือต่ําสุด ในขณะเดียวกันก็รักษาใหปริพันธของฟงกชั่นนัล G  x , y , y  dx x2 x1 (23)
  9. 9. มีคาเทากับคาคงที่บางตัวโจทยประเภทนี้เรียกวา ปญหาของการแปรผันโดยมีเงื่อนไขบังคับ (variational problem withconstraints) โดยทั่วไปเราสามารถหาผลเฉลยไดโดยใชวิธีการของตัวคูณลากรอนจ (Lagrange multiplier) จากการนําสมการ (22) บวก  เทาของสมการ (23) ในที่นี้  คือตัวคูณลากรอนจ ทําใหไดปริพันธของฟงกชั่นนัลในรูปแบบ  F   G  dx x2 x1 (24) ซึ่งตองเปนคาสุดขีด และนําไปสูสมการออยเลอร-ลากรอนจ d  H  H    0 เมื่อ H  F G (25) dx  y   y  ตัวอยาง ( The Isoperimetric Problem ) จงหารูปรางของเสนโคง C ที่มีความยาว  ซึ่งปดลอมพื้นที่ไดมากที่สุดวิธีทํา จากทฤษฎีบทของกรีน (Green’s theorem) ซึ่งกลาววา พื้นที่ที่ถูกปดลอมโดยเสนโคง C มีคา 1 1 A  2C x dy  y dx  2 C xy   y  dx ซึ่งถูกกําหนดใหความยาวของเสนโคงมีคาคงที่  1   y dx   เปนเงื่อนไขบังคับ 2 S  Cโดยอาศัยวิธีการของตัวคูณลากรอนจ H  F  G 1  xy  y    1   y2 (*) 2ฟงกชั่นนัลที่รวมเงื่อนไขบังคับ จะตองสอดคลองกับสมการออยเลอร-ลากรอนจ d  H  H    0 (**) dx  y  y  แทนคาสมการ (*) ลงใน (**) d x   y  1   0 d  y    1  0 จะได หรือ dx  2 1   y  2  2 dx  1   y2      d  y    dx  1   y  2   dx   dx    y 1   y  2   x  C1   2  2   2  y  1   y  x  C1  2
  10. 10.     x  C   y 2 1 2 2   x  C1   y  2 dy  dy   x  C1 dx dx 2   x  C1 2 x  C1   dy   dx โดยเทคนิคการหาปริพันธ จะได    x  C1 2 2  y  C2   2   x  C1  2  x  C1 2   y  C2 2  2 นี่คือ สมการวงกลมรัศมี  ‡ตัวอยาง เชือกความยาว  แขวนในแนวดิ่งอยางอิสระจากจุดตรึงสองจุดภายใตแรงโนมถวงของโลก จงแสดงใหวาเสนโคงของเชือกที่แขวนอยูมีลักษณะเปนคาเทนนารี (catenary) ซึ่งหลักการขอนี้ส อดคลองกับหลักของพลังงานศักยต่ําที่สุดในทางกลศาสตร Vวิธีทํา เมื่อระบบอยูในสภาวะสมดุล อย างสมบูรณ จะกลา ววา  0 หรือ พลังงานศักย V มีคาต่ําสุด โดยมี xเงื่อนไขบังคับ คือ ความยาวของเชื อกมีคาคงที่  และสมมติใ หเชื อกมีมวล m จะได วาฟงกชั่นนั ลซึ่ งอยูในรู ปของพลังงานศักยโนมถวงมีคา  1 P2  V  mg y CG .  mg   y ds    P1  mg x 2 x1 y 1   y  dx  F 2   x2 1   y  dx  G P2จากเงื่อนไขบังคับ   P1 ds   2 x1โดยอาศัยวิธีการของตัวคูณลากรอนจ H  F  G mg y 1   y     1   y  (*) 2 2  สําหรับกรณีที่ฟงกชั่นนัล H  H  y, y โดยอาศัยปริพันธคาแรกจากสมการ (9) (ในตอนที่ 1) Hซึ่งกําหนด H  y  C1 (**) yแทนคาสมการ (*) ลงใน (**)  mgy  2  mgy    1   y   2       1   y   y    C1        y      y   mgy    C     1   y  y 2       1   y2  1    
  11. 11. 1   y    y   2 2  mgy          C1    1   y  2    2  mgy   mgy           2        mgy       C1  C12  y  2 2 2   C1   C1   1   y  1   y  2 2     2  mgy          C1 2 2 dy    1  mgy  จะได y   2         C1 2 dx C1 C1    dy 1  C1   dx 2  mgy          C1 2    du uโดยเทคนิคการหาปริพันธในรูปแบบของ   cosh 1    C u2  a2 a   mgy       cosh 1       x C mg  C1  C1 2       mgy     C1 cosh 1      C Cดังนั้น x  x y   mg  C1  1 2       mg  x  หรือ y  y x   C1 cosh   C2     mg    C1    เมื่อคาคงที่ C1 ,C 2 พิจารณาจากเงื่อนไขขอบเขต ‡ ในบทความชุ ดนี้ซึ่ งเปนตอนสุดท ายจากทั้ งหมด 3 ตอน ผู เขี ยนมี ความตั้งใจที่จ ะนํา เสนอในลักษณะของการประยุกตใชทฤษฎีแคลคูลัสของการแปรผันในปญหาตางๆ เชน ปญหาดานกลศาสตร เรขาคณิต ฯลฯ เพื่อเปนแนวทางสําหรับผูเริ่มตนศึกษา สําหรับผูที่สนใจสามารถศึกษาเพิ่มเติมไดจากตําราในเอกสารอางอิงเอกสารอางอิง1. Daviid J. Logan , Applied Mathematics a Contemporary Approach., John Wiley, 1987.
  12. 12. 2. Donald A. McQuarrie, Mathematical Methods for Scientists and Engineers., 2003.3. Leonid P. Lebedev & Michael J. Cloud, The Calculus of Variations and Functional Analysis with OptimalControl and Applications in Mechanics., volume 12 in Series on stability, vibration and control of systems, WorldScientific Publishing, Singapore, 2003, ISBN 981-238-581-9.4. Peter V. O Neil, Advanced Engineering Mathematics (3rd editions)., Thomson Information Publishing, 1991.5. R. Weinstock, Calculus of Variations., Dover Publications, New York, 1974.6. C. Ray Wylie and Louis C. Barrett, Advanced Engineering Mathematics (6theditions)., McGraw-Hill, Inc.,New York.ขอมูลผูเขียน : นายอิทธิเดช มูลมั่งมี นักศึกษาปริญญาโท ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกลคณะวิศวกรรมศาสตร มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาธนบุรีE-mail: profittidej@gmail.comชื่อบัญชี นายอิทธิเดช มูลมั่งมี เลขที่บัญชี 029-0-06107-5 ประเภทออมทรัพย ธนาคารกรุงไทย สาขาถนนสุขสวัสดิ์ ที่อยู 53/463 หมูบานสามัคคี (นวมินทร 105) ถนนนวมินทร ตําบลคลองกุม เขตบึงกุมกทม. 10240 เบอรโทรศัพท 08-6579-4040 หรือ 02-5108103

×