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1  sur  17
A Matem´tica da F´
       a         ısica


 Rotas Matem´ticas da UTL 2012
            a



      Jorge Drumond Silva

   Departamento de Matem´tica
                        a
     Instituto Superior T´cnico
                         e
         jsilva@math.ist.utl.pt




                   1
”Como ´ poss´ que a matem´tica, sendo afinal de contas um produto da
         e     ıvel             a
    mente humana independente da experiˆncia, seja t˜o admiravelmente
                                          e            a
     apropriada ` descri¸˜o dos objectos da realidade.” - Albert Einstein
                a       ca


  ”O milagre da matem´tica ser a linguagem apropriada para a formula¸˜o das
                          a                                           ca
 leis da f´
          ısica, ´ uma d´diva maravilhosa que n˜o entendemos nem merecemos.
                 e       a                     a
Devemos estar gratos por ele e esperar que se mantenha v´lido na investiga¸˜o
                                                           a                ca
futura, e que se extenda para nosso prazer, apesar talvez da nossa admira¸˜o, a
                                                                         ca
                 outros ramos do conhecimento.” - Eugene Wigner




                                       2
Matem´tica Avan¸ada Pr´-hist´rica
     a         c      e     o




                3
E Mais Matem´tica Avan¸ada ...
            a         c




              4
Caracter´
        ısticas da Matem´tica/F´
                        a      ısica Pr´-Hist´rica
                                       e     o




                   Quantitativa

                  Deterministica

                    Abstracta

                      ⇓ (Racioc´ L´gico Dedutivo)
                               ınio o

                  Previsibilidade



                         5
Geometria


Etimologia: geo-metri = medi¸˜o da terra
                            ca




                   6
Gr´cia Antiga
                    e




Rafael, A Escola de Atenas (Causarum Cognitio), 1510
                         7
Per´
   ımetro = Constante       a2 + b2 = c2
Diˆmetro
  a




                        8
Euclides e os Elementos




Euclides de Alexandria, aprox. 300 A.C.       Papiro dos Elementos, aprox. 100 D.C.




                                          9
10
Galileo Galilei




Galileo Galilei, 1564-1642



            11
M´todo Cient´
                              e          ıfico


”A Filosofia est´ escrita neste grandioso livro - isto ´, o universo - o qual est´
               a                                      e                         a
     permanentemente aberto ` nossa observa¸˜o, mas que n˜o pode ser
                               a                ca               a
 compreendido sem que primeiro se aprenda a linguagem e se interpretem os
s´
 ımbolos em que est´ escrito. Ele est´ escrito na linguagem da matem´tica, e
                     a                a                                  a
 os seus s´
          ımbolos s˜o triˆngulos, circunferˆncias e outras figuras geom´tricas,
                   a     a                 e                             e
sem as quais ´ humanamente imposs´ perceber uma unica palavra que seja
             e                        ıvel                ´
                                     dele.”
                                                        Galileo Galilei
 • Observa¸˜es e medi¸˜es
          co         co
 • Formula¸˜o de hip´tese e constru¸˜o de teoria ou modelo matem´tico
          ca        o              ca                           a
 • Dedu¸˜o l´gica e previs˜o de consequˆncias da teoria
       ca o               a            e
 • Teste experimental das previs˜es
                                o

                                       12
Isaac Newton




Isaac Newton, 1643-1727   C´pia da primeira edi¸˜o de Principia Mathematica do
                           o                   ca
                              pr´prio Newton
                                o

                                     13
C´lculo Infinitesimal
                         a




                                            df              f (x+h)−f (x)
G. Leibniz, 1646-1716             f (x) =   dx   = limh→0         h




                                 14
Integral




                    b
          S=            f (x)dx
                a


O Teorema Fundamental do C´lculo:
                          a
                              b
     f (b) = f (a) +              f (t)dt
                          a



                 15
Equa¸˜es Diferenciais
                            co


                              Problema

Descobrir a traject´ria no tempo x(t), da part´
                   o                          ıcula de massa m, tal que:


                  
                  m d22 = F (t, x(t), x (t))
                   dtx
                  
                  
                  
                  
                  x(0) = posi¸˜o inicial
                              ca
                  
                  
                  
                  x (0) = velocidade inicial



                                   16
Matem´tica e F´
                                 a        ısica




”As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as
     far as they are certain, they do not refer to reality.” - Albert Einstein

                                       17

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À Descoberta das Rotas Matemáticas da UTL - A Matemática da Física

  • 1. A Matem´tica da F´ a ısica Rotas Matem´ticas da UTL 2012 a Jorge Drumond Silva Departamento de Matem´tica a Instituto Superior T´cnico e jsilva@math.ist.utl.pt 1
  • 2. ”Como ´ poss´ que a matem´tica, sendo afinal de contas um produto da e ıvel a mente humana independente da experiˆncia, seja t˜o admiravelmente e a apropriada ` descri¸˜o dos objectos da realidade.” - Albert Einstein a ca ”O milagre da matem´tica ser a linguagem apropriada para a formula¸˜o das a ca leis da f´ ısica, ´ uma d´diva maravilhosa que n˜o entendemos nem merecemos. e a a Devemos estar gratos por ele e esperar que se mantenha v´lido na investiga¸˜o a ca futura, e que se extenda para nosso prazer, apesar talvez da nossa admira¸˜o, a ca outros ramos do conhecimento.” - Eugene Wigner 2
  • 4. E Mais Matem´tica Avan¸ada ... a c 4
  • 5. Caracter´ ısticas da Matem´tica/F´ a ısica Pr´-Hist´rica e o Quantitativa Deterministica Abstracta ⇓ (Racioc´ L´gico Dedutivo) ınio o Previsibilidade 5
  • 6. Geometria Etimologia: geo-metri = medi¸˜o da terra ca 6
  • 7. Gr´cia Antiga e Rafael, A Escola de Atenas (Causarum Cognitio), 1510 7
  • 8. Per´ ımetro = Constante a2 + b2 = c2 Diˆmetro a 8
  • 9. Euclides e os Elementos Euclides de Alexandria, aprox. 300 A.C. Papiro dos Elementos, aprox. 100 D.C. 9
  • 10. 10
  • 12. M´todo Cient´ e ıfico ”A Filosofia est´ escrita neste grandioso livro - isto ´, o universo - o qual est´ a e a permanentemente aberto ` nossa observa¸˜o, mas que n˜o pode ser a ca a compreendido sem que primeiro se aprenda a linguagem e se interpretem os s´ ımbolos em que est´ escrito. Ele est´ escrito na linguagem da matem´tica, e a a a os seus s´ ımbolos s˜o triˆngulos, circunferˆncias e outras figuras geom´tricas, a a e e sem as quais ´ humanamente imposs´ perceber uma unica palavra que seja e ıvel ´ dele.” Galileo Galilei • Observa¸˜es e medi¸˜es co co • Formula¸˜o de hip´tese e constru¸˜o de teoria ou modelo matem´tico ca o ca a • Dedu¸˜o l´gica e previs˜o de consequˆncias da teoria ca o a e • Teste experimental das previs˜es o 12
  • 13. Isaac Newton Isaac Newton, 1643-1727 C´pia da primeira edi¸˜o de Principia Mathematica do o ca pr´prio Newton o 13
  • 14. C´lculo Infinitesimal a df f (x+h)−f (x) G. Leibniz, 1646-1716 f (x) = dx = limh→0 h 14
  • 15. Integral b S= f (x)dx a O Teorema Fundamental do C´lculo: a b f (b) = f (a) + f (t)dt a 15
  • 16. Equa¸˜es Diferenciais co Problema Descobrir a traject´ria no tempo x(t), da part´ o ıcula de massa m, tal que:  m d22 = F (t, x(t), x (t))  dtx     x(0) = posi¸˜o inicial  ca    x (0) = velocidade inicial 16
  • 17. Matem´tica e F´ a ısica ”As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality.” - Albert Einstein 17