mata kuliah workshop pembelajaran matematika

1. BAB 8
LINGKARAN
Reno Sutriono
PENDAHULUAN
Pernahkah kamu berekreasi ke Dunia Fantasi? Di tempat tersebut, kamu dapat
menikmati berbagai macam permainan yang unik dan menarik. Mulai dari Halilintar, Ontang-
Anting, Kora-Kora, sampai Arung Jeram. Salah satu permainan yang tidak boleh dilewatkan
adalah Bianglala. Dalam permainan ini, kamu dapat melihat suatu tempat dari ketinggian
tertentu. Jika diperhatikan secara saksama, bentuk dasar dari permainan ini adalah berupa
lingkaran. Tahukah kamu, apa yang dimaksud dengan lingkaran?
Setelah mempelajari bangun datar segitiga dan segiempat di Kelas VII, kamu akan
mempelajari bangun datar yang lain, yaitu lingkaran. Pada bab ini, kamu akan mempelajari
tentang lingkaran beserta unsurunsurnya, perhitungan luas dan keliling lingkaran, sampai
dengan pengukuran sudut pusat dan sudut keliling pada lingkaran.
Pada sejak zaman Babilonia, manusia sudah terkagum-kagum oleh bangun
matematika yang dinilai sebagai bentuk yang sempurna, yaitu lingkaran. Kita semua pasti
tidak asing lagi dengan beragam lingkaran. Lingkaran terjadi secara alami di alam semesta,
mulai dari riak air sampai lingkar cahaya bulan. Di alam, lingkaran sering kali terbentuk
apabila permukaan datar dipengaruhi oleh suatu gaya yang bekerja merata ke segala arah.
Misalnya, saat sebuah kelereng jatuh ke dalam air dan menghasilkan gelombang yang
menyebar rata ke segala arah sebagai serangkaian riak yang berbentuk lingkaran.

2. Setelah mempelajarai materi Bab 8 ini, Kalian diharapkan dapat memahami tentang
konsep lingkaran. Secara lebih terperinci, Kalian diharapkan :
1. Menentukan sudut pusat lingkaran
2. Menentukan sudut keliling lingkaran
3. Menghitung panjang busur lingkaran
4. Menghitung luas juring lingkaran
5. Mengidentifikasi hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling yang menghadap
busur sama
6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut pusat lingkaran
7. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut keliling lingkaran
8. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang busur lingkaran
9. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan luas juring lingkaran
10. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hubungan antara sudut pusat dengan
sudut keliling yang menghadap busur sama
untuk mencapai tujuan di atas, Kalian dituntut untuk membaca setiap uraian
materi dengan cermat, mencatat kata-kata kuncinya, serta mengerjakan latihan dan tes
formatif secara disiplin. Dengan mengikuti petunjuk ini, mudah-mudahan mempelajari
modul akan menjadi pekerjaan yang menyenangkan bagi Kalian dan kesuksesan Kalian
nanti.

3. Sub Unit 1
SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN
Gambar-gambar benda berbentuk lingkaran di kehidupan sehari-hari
Ban motor, kaset, jam weker, serta uang logam seperti pada gambar di atas
merupakan contoh benda-benda yang memiliki bentuk dasar lingkaran. Lingkaran adalah
himpunan semua titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu,
yang disebut titik pusat. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari. Lingkaran adalah salah
satu kurva tutup sederhana yang membagi bidang menjadi dua bagian, yaitu bagian dalam
dan bagian luar lingkaran. Nama lingkaran biasanya sesuai dengan nama titik pusatnya. Jarak
yang tetap antara titik pada lingkaran dengan pusat lingkaran dinamakan jari-jari, biasanya
disimbolkan r. Dengan pemahaman tentang istilah-istilah tersebut kalian bisa memecahkan
berbagai masalah yang terkait dengan lingkaran.
A. Memahami sudut pusat lingkaran
Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang titik sudutnya merupakan titik pusat
lingkaran.
Sudut pusat sering disimbolkan (α, β, θ).
Ciri-cirinya :
1. Terbentuk dari dua sinar garis (kaki sudut)
2. Kaki sudut berhimpit dengan jari-jari lingkaran
3. Titik sudut berimpit dengan titik pusat lingkaran

4. Dari ketiga gambar di atas dapat disimpulkan bahwa  AOB,  JPG dan  KQJ
adalah sudut pusat lingkaran.
B. Memahami Sudut Keliling Lingkaran
Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berimpit dengan tali busur, dan titik
pusatnya berimpit dengan suatu titik pada lingkaran.
Sudut Keliling ABC
Pada gambar di atas sudut keliling ABC pada lingkaran O. Kaki-kaki sudut ABC
(sinar BA dan sinar BC) memotong lingkaran di titik A dan C. Dengan kata lain sudut
keliling ABC menghadap busur AC. Dapat disimpulkan pada gambar kaki sudut AC
dan BC berimpit dengan tali busur AC dan titik pusatnya berimpit dengan titik B.
C. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Menghadap Busur yang Sama
Perhatikan gambar disamping !
∠RPQ adalah sudut keliling dan ∠ROQ adalah sudut pusat dengan menghadap busur
yang sama, yaitu RQ. OQ, OP, dan OR adalah jari-jari lingkaran, OQ = OP = OR,
sehingga ΔOPR dan ΔOPQ merupakan segitiga sama kaki, maka ∠PRO = ∠RPO, dan
∠PQO = ∠QPO. ∠ROS adalah sudut luar ΔOPR, maka ∠ROS = ∠PRO + ∠RPO, dan
∠QOS adalah sudut luar ΔOPQ, maka ∠QOS = ∠PQO + QPO.

5. Sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk berikut :
∠ROQ = ∠ROS + ∠QOS
= (∠PRO + ∠RPO) + (∠PQO + ∠QPO)
= 2 ∠RPO + 2 ∠QPO
= 2 (∠RPO + ∠QPO)
= 2 ∠RPQ
Maka dapat disimpulkan bahwa:
Jika sudut pusat dan sudut keliling suatu lingkaran
menghadap busur yang sama, maka berlaku:
Sudut pusat = 2 × sudut keliling
Sudut keliling =
1
2
× sudut pusat
Contoh Soal :
Berdasarkan gambar di bawah ini, jika ∠BOC = 60o,
a. Tunjukkanlah manakah yang merupakan sudut pusat lingkaran
b. Tunjukkanlah manakah yang merupakan sudut keliling lingkaran
c. Hitunglah besar ∠BAC!
Penyelesaian:
a. Sudut pusat lingkaran ditunjukkan oleh ∠BOC
b. Sudut keliling lingkaran ditunjukkan oleh ∠BAC
c. ∠BAC dan ∠BOC menghadap busur yang sama, yaitu busur BC, maka:
∠BAC =
1
2
× BOC
=
1
2
× 60o = 30o
Jadi, besar ∠BAC = 30o

6. PANJANG BUSUR DAN LUAS JURING LINGKARAN
A. Memahami Panjang Busur Lingkaran
Panjang busur sebanding dengan sudut pusat yang menghadapnya.
Perhatikan gambar berikut ini !
Dari ilustrasi di atas kita bisa amati panjang busur AB bersesuaian dengan sudut
pusat α.
B. Memahami Luas Juring Lingkaran
Begitupun luas juring sebanding dengan sudut pusat yang bersesuaian dengan
juring tersebut.
luas juring AOB bersesuaian dengan sudut pusat α.Ukuran sudut pusat
lingkaran adalah antara 0° hingga 360°.
C. Memahami Hubungan Sudut Pusat dengan Panjang Busur dan Luas Juring
Perhatikan gambar (i) di samping !
Dari gambar tersebut diperoleh :
Besar ∠ AOB
Besar ∠ COD
=
𝒑𝒂𝒏𝒋𝒂𝒏𝒈 𝑨𝑩
𝒑𝒂𝒏𝒋𝒂𝒏𝒈 𝑪𝑫
=
𝒍𝒖𝒂𝒔𝒋𝒖𝒓𝒊𝒏𝒈 𝑨𝑶𝑩
𝒍𝒖𝒂𝒔𝒋𝒖𝒓𝒊𝒏𝒈 𝑪𝑶𝑫
(i)

7. Sekarang, misalkan ∠ COD = satu putaran penuh = 360o maka keliling
lingkaran = 2𝜋𝑟, dan luas lingkaran = 𝜋r2 dengan r jari-jari. Seperti tampak
pada gambar (ii) di bawah ini :
∠ AOB
360 𝑜
=
𝒑𝒂𝒏𝒋𝒂𝒏𝒈 𝑨𝑩
2𝜋𝑟
=
𝒍𝒖𝒂𝒔𝒋𝒖𝒓𝒊𝒏𝒈 𝑨𝑶𝑩
𝜋𝑟2
Dengan demikian diperoleh rumus panjang AB, luas juring AB, dan luas
tembereng AB pada gambar (i) dan (ii) adalah
Panjang busur AB =
𝛼
360 𝑜
× 2𝜋𝑟
Luas juring OAB =
𝛼
360 𝑜
× 𝜋𝑟2
Luas tembereng AB = luas juring OAB – luas segitiga AOB.
Contoh soal :
Perhatikan gambar di samping diketahui panjang jari-jari
OA = 10 cm. Jika besar ∠ AOB = 60o, hitunglah
a. Panjang AB
b. Luas juring OAB
penyelesaian
a. Panjang busur AB =
∠ AOB
360 𝑜
× 2𝜋𝑟
=
60 𝑜
360 𝑜
× 2 × 3,14 × 10
=
1
6
× 62,8
= 10,47 cm2
b. Luas juring OAB =
∠ AOB
360 𝑜
× 𝜋𝑟2
=
60 𝑜
360 𝑜
× 3,14 × 102
=
1
6
× 314
= 52,33 cm2

8. LATIHAN
Untuk memantapkan pemahaman kalian terhadap materi di atas, coba kerjakan latihan di
bawah ini !
SOAL BERBENTUK URAIAN
1. Pada gambar di bawah ini sebutkan sudut pusat dan sudut keliling yang terbentuk !
2. Kedua sudut keliling serta sudut pusat menghadap busur yang sama yaitu ….
3. Menurut kalian bagaimanakah hubungan antara kedua sudut keliling tersebut? Jelaskan…
4. Suatu sudut keliling dan sudut pusat menghadap busur yang sama. Jika sudut pusat
berukuran 130O maka besar sudut keliling tersebut adalah …
5. Diketahui sudut pusat POQ dan sudut keliling PAQ. Besar sudut PAQ adalah 130o.
Tentukan besar sudut POQ !
6. Perhatikan gambar di samping !
Diketahui besar ∠MAN adalah 160o. Tentukan besar ∠MON !.
7. Tentukan luas juring lingkaran yang diketahui sudut pusatnya 70° dan jari-jarinya 10 cm !
8. Tentukan panjang busur lingkaran yang diketahui sudut pusatnya 35°dan jari-jarinya 7 cm
!
9. Perhatikan lingkaran pada gambar berikut. Jika luas juring AOB adalah 50 cm2, tentukan:
a. Luas juring BOC
b. Panjang Busur AB

9. PETUNJUK JAWABAN LATIHAN
1. Lihatlah titik sudutnya dan titik pusat apa saja yang berimpit dengan lingkaran
2. Kalian harus melihat menghadap ke busur apa semua sudut pusat dan sudut keliling pada
gambar
3. Perhatikan dengan cermat sama-sama menghadap kemanakah sudut keliling yang
terbentuk
4. Untuk soal 4 – 10 gambarlah lingkaran terlebih dahulu dari sudut yang diketahui lalu baru
jawab soal yang ditanyakan dengan menggunakan rumus atau ketentuan yang sudah
dipelajari.
RANGKUMAN
 Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang titik sudutnya merupakan titik pusat lingkaran
 Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berimpit dengan tali busur, dan titik
pusatnya berimpit dengan suatu titik pada lingkaran
 sudut pusat dan sudut keliling suatu lingkaran menghadap busur yang sama, maka
berlaku: Sudut pusat = 2 × sudut keliling dan Sudut keliling =
1
2
× sudut pusat.
 Panjang busur sebanding dengan sudut pusat yang menghadapnya
 Luas juring sebanding dengan sudut pusat yang bersesuaian dengan juring tersebut.
 Panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut
pusatnya.

10. TES FORMATIF 8
Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi ini, jawablah pertanyaan-
pertanyaan berikut.
Pilih satu jawaban yang kalian anggap paling tepat !
1. Perhatikan gambar di samping
sudut keliling yang terbentuk yaitu sebanyak….
A. 1 C. 3 E. 6
B. 2 D. 4
2. Dari gambar pada nomor 1 sudut pusat lingkaran yang terbentuk yaitu…
A. ∠ ACB C. ∠ ABE E. ∠ ACE
B. ∠ AOE D. ∠ DEC
3. Dari gambar pada nomor 1 sudut pusat dan sudut keliling menghadap ke
busur yaitu…..
A. AB C. CD E. AE
B. ED D. BC
4. Perhatikan gambar di samping titik O adalah pusat lingkaran.
∠ABC besarnya dua kali ∠ CAB. Besar ∠ ABC adalah...
A. 30° C. 50O
B. 45° D. 60°
5. Perhatikan gambar di berikut!
diketahui: ∠AOB = 65° maka besar ∠ ACB yaitu…..
A. 40,2O C. 32,5O E. 25,3O
B. 23,6O D. 22,3O

11. 6. Perhatikan gambar di samping !
Besar ∠ RQP adalah 55° maka ∠ ROP adalah.....
A. 60° D. 120°
B. 95° E. 130°
C. 110°
7. Perhatikan gambar lingkaran di samping !
Nilai x adalah....
A. 14 E. 68
B. 27
C. 54
D. 64
8. Perhatikan gambar lingkaran berikut. ∠SRP = (3x + 30)° dan ∠ SQP = 60°
Nilai x adalah....
A. 10 D. 40
B. 20 E. 50
C. 30
9. Perhatikan gambar lingkaran di samping !
1. ∠EOH = ∠ EFH
2. ∠ EOH = ∠ EGH
3. ∠ EFH = ∠ EGH
4. ∠ EFH > ∠ EGH
5. ∠EOH = ∠EFO
Pernyataan yang benar adalah....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

12. 10. Perhatikan gambar berikut. Jika panjang busur AB = 45 cm, maka panjang busur CD
adalah….
A. 125 cm D. 128 cm
B. 140 cm E. 118 cm
C. 135 cm
11. Pada gambar berikut, jika luas juring AOB adalah 40 cm2, maka luas juring BOC
yaitu….
A. 56 cm2
B. 100 cm2
C. 141 cm2
D. 153 cm2
E. 270 cm2
12. Pada gambar berikut, jika panjang busur PQ = 12 cm, panjang busur QR = 30 cm, dan
luas juring POQ = 45 cm2, maka berapakah luas juring QOR …..
A. 128, 2 cm2
B. 118, 3 cm2
C. 129, 4 cm2
D. 112, 5 cm2
E. 130, 6 cm2
13. Panjang jari-jari sebuah lingkaran dengan pusat O adalah 5 cm. Titik P dan Q terletak
pada lingkaran. Jika panjang busur PQ = 6,28 cm, maka luas juring POQ adalah …..
A. 15, 7 cm2
B. 16, 6 cm2
C. 17, 8 cm2
D. 16, 4 cm2
E. 15, 3 cm2

13. 14. Pada gambar di bawah ini, panjang jari-jari OA adalah 20 cm. Maka panjang busur
AB jika 𝜋 = 3,14 adalah…….
A. 14, 15 cm
B. 19, 14 cm
C. 22, 16 cm
D. 24, 17 cm
E. 25, 12 cm
15. Pada gambar berikut ini, luas lingkaran adalah 48 cm2 maka luas juring AOB…..
A. 14 cm2
B. 17 cm2
C. 19 cm2
D. 18 cm2
E. 15 cm2
16. Pada suatu lingkaran dengan pusat O diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling
lingkaran, sehingga ∠AOB = 35° dan ∠COD = 140°. Jika panjang busur AB = 14 cm,
maka panjang busur CD adalah….
A. 43 cm C. 92 cm E. 63 cm
B. 56 cm D. 43 cm
17. Panjang busur PQ = 50 cm, panjang busur QR = 75 cm, dan besar ∠ POQ = 45°.
Maka besar ∠ QOR adalah….
A. 67,5° C. 76,5° E. 45,5°
B. 15,5° D. 64,5°
18. Pada gambar di bawah diketahui panjang OP = 28 cm dan busur PQ = 17,6 cm. Maka
luas juring POQ adalah…
A. 223,8 cm2 D. 142,5 cm2
B. 114,9 cm2 E. 146,5 cm2
C. 246,4 cm2

14. 19. Perhatikan gambar berikut!
Pusat lingkaran berada di titik O. Jika ∠ABE + ∠ACE + ∠ADE = 96°, maka besar
sudut ∠AOE adalah....
A. 32° E. 96o
B. 48°
C. 64°
D. 84°
20. Perhatikan lingkaran berikut, pusat lingkaran di titik O.
Diketahui:
∠ABD + ∠AOD + ∠ACD = 140°
Maka Besar ∠ABD adalah…..
A. 30° E. 60o
B. 35°
C. 40°
D. 45°

15. UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT
Kalian dengan kunci jawaban tes formatif yang terdapat pada bagian akhir unit ini, Kemudian
hitunglah jumlah jawaban Kalian yang benar. Gunakan rumus berikut untuk mengetahui
tingkat penguasaan Kalian terhadap materi ini.
Rumus:
Jumlah Jawaban Kalian yang Benar
Tingkat Penguasaan = x 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan yang Kalian capai:
90% − 100% = baik sekali
80% − 89% = baik
70% − 79% = cukup
< 70% = kurang
Bila tingkat penguasaan Kalian mencapai 80% ke atas, Bagus Kalian dapat melanjutkan
dengan mempelajari materi pada unit berikutnya. Tetapi bila tingkat penguasaan Kalian
kurang dari 80%, Kalian harus membaca kembali uraian materi Sub Unit 1, terutama pada
bagian yang belum Kalian kuasai.

16. DAFTAR PUSTAKA
Agus, NA. (2007). Mudah Belajar Matematika. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen
Pendidikan Nasional.
Nuharin, D dan Wahyuni T. (2008). Matematika Konsep dan Aplikasinya. Jakarta : Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Rahayu, E. (2008). Contextual Teaching and Learning Matematika. Jakarta : Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Taufiq, I dkk. (2014). Matematika. Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang,
Kemendikbud.