1.
R´gression polynomiale sur une vari´t´ riemannienne
e
ee
Florent Renucci et Albert Thomas
Dans cet article, les auteurs d´veloppent une m´thodologie qui g´n´ralise aux vari´t´s riemane
e
e e
ee
niennes les m´thodes classiques de r´gression polynomiale param´trique dans un espace euclidien.
e
e
e
1
Introduction
D’un point de vue g´n´ral, la m´thode statistique de r´gression consiste ` estimer la relation
e e
e
e
a
math´matique entre un ensemble de variables, appel´es variables explicatives ou descriptives ou
e
e
ind´pendantes, et une variable observ´e ou mesur´e. On cherche donc ` d´terminer, parmi une
e
e
e
a e
certaine classe de fonctions, la fonction qui d´crive de fa¸on optimale (en un certain sens) cette
e
c
relation. La r´gression polynomiale consiste ` estimer la relation entre variables explicatives et
e
a
donn´es observ´es ` l’aide d’une fonction polynomiale de degr´ fix´ k. Le nombre de param`tres
e
e a
e e
e
inconnus est alors k + 1 et ils sont le plus souvent estim´s en minimisant un crit`re des moindres
e
e
carr´s, qui est le carr´ de la distance euclidienne entre les valeurs observ´es et les valeurs pr´dites
e
e
e
e
par le mod`le polynomial. L’un des probl`mes ` r´soudre dans ce contexte est ´videmment le choix
e
e
a e
e
du degr´ du polynˆme.
e
o
Dans cet article, les auteurs se limitent ` une seule variable explicative, qui est une variable de
a
temps t ∈ [0, T ].
2
Polynˆmes riemanniens
o
2.1
D´finition
e
Afin de d´finir des fonctions polynomiales dont les valeurs appartiennent ` une vari´t´ riemae
a
ee
nienne (M, g) donn´e, les auteurs partent de la constatation qu’une fonction polynomiale euclie
dienne f : [0, T ] → Rn , de degr´ k, est enti`rement d´termin´e par
e
e
e
e
k+1
1. La condition f˙ (t) = 0.
2. La donn´e de (k + 1) conditions initiales : f (0), f˙(0), . . . , f˙k (0),
e
˙(t), . . . , f˙k (t) ∈ Rn d´signent les d´riv´es successives de f par rapport ` t. Par analogie, une
o` f
u
e
e e
a
fonction polynomiale riemannienne γ de degr´ k est d´finie comme suit. Une fonction γ : [0, T ] → M
e
e
de classe C k est une courbe de classe C k . On sait donc d´finir pour tout t le vecteur tangent γ(t),
e
˙
qui est un ´l´ment de l’espace tangent Tγ(t) M . L’application t → (γ(t), γ(t)) d´finit un champ de
ee
˙
e
vecteurs C k−1 sur M , le long de la courbe γ. Puisque M est une vari´t´ riemannienne, on la munit
ee
de l’unique connexion compatible avec la m´trique g et de torsion nulle, ce qui permet de d´finir
e
e
les d´riv´es covariantes successives du champ de vecteurs γ le long de γ. Le polynˆme riemannien
e e
˙
o
γ sera ainsi d´fini par
e
1. La condition (
γ)
˙
(k)
γ(t) = 0
˙
2. La donn´e de (k + 1) conditions initiales : γ(0), γ(0),
e
˙
o` (
u
(i)
˙
γ ) γ(t)
˙
γ γ(0), . . . , (
˙ ˙
(k−1)
γ(0),
˙
γ)
˙
∈ Tγ(t) M d´signe la ie d´riv´e covariante du champ γ(t) par rapport ` γ.
e
e e
˙
a ˙
1

2.
2.2
Calcul : la m´thode d’Euler
e
En g´n´ral le polynˆme riemannien ainsi d´fini n’a pas d’expression explicite et doit ˆtre
e e
o
e
e
calcul´ num´riquement. Les auteurs font appel ` la m´thode d’int´gration d’Euler en l’adaptant
e
e
a
e
e
au contexte riemannien.
Pour utiliser la m´thode d’Euler dans le cas euclidien, on commence par se ramener ` un
e
a
syst`me diff´rentiel d’ordre 1 en introduisant des fonctions auxiliaires uj : [0, T ] → Rn (i =
e
e
1, . . . , k), et en ´crivant l’´quation f˙k+1 (t) = 0 sous la forme
e
e

 f˙(t) = u1 (t)



 u1 (t) = u2 (t)

˙

.
(1)
.
.


u

 ˙ k−1 (t) = uk (t)


uk (t) = 0
˙
avec les conditions initiales f (0), u1 (0), . . . , uk (0). On choisit ensuite un pas de temps τ = T /n et on
˜
calcule de proche en proche une approximation f de f aux points du maillage {0, τ, . . . , (n−1)τ, T },
˜(0) = f (0), u1 (0) = u1 (0), . . . , uk−1 (0) = uk−1 (0), uk (0). A la le
en partant des valeurs initiales f
˜
˜
´tape (l = 1, . . . , n), on effectue les calculs suivants
e

˜
˜
˜
 f (lτ ) = f ((l − 1)τ ) + τ u1 ((l − 1)τ )



 u1 (lτ ) = u1 ((l − 1)τ ) + τ u2 ((l − 1)τ )
˜
˜
˜



.
(2)
.
.


u

˜
˜
 ˜k−1 (lτ ) = uk−1 ((l − 1)τ ) + τ uk ((l − 1)τ )


uk (lτ ) = uk ((l − 1)τ ).
Interpr´tons ce sch´ma d’int´gration d’un point de vue riemannien, en distinguant la vari´t´
e
e
e
ee
Rn et les espaces tangents Tp Rn en chaque point p ∈ Rn . On consid`re f (t) comme un point de
e ˜
la vari´t´ Rn , et les vecteurs uj (t) comme des vecteurs de l’espace tangent Tf (t) Rn ` la vari´t´
ee
˜
a
ee
˜
n
˜(t). La le ´tape de la m´thode d’Euler s’interpr`te alors de la mani`re suivante :
R au point f
e
e
e
e
pour j = 1, . . . , k − 1, le vecteur uj ((l − 1)τ ) est incr´ment´ de τ uj+1 ((l − 1)τ ) (ces 2 vecteurs
˜
e
e
˜
appartiennent au mˆme espace tangent Tf ((l−1)τ ) Rn ) puis ”transport´” par translation au point
e
e
˜
˜
˜
f (jτ ) de Rn ; le vecteur uk est constant, et donc ”transport´” sans incr´mentation. Le point f (lτ )
e
e
est obtenu en parcourant la distance τ u1 ((l − 1)τ ) le long de la demi-droite issue du point
˜
f ((l − 1)τ ) et de vecteur directeur u1 ((l − 1)τ ), et en remarquant que cette droite est l’unique
˜
˜
g´od´sique issue de f ((l − 1)τ ) et de vecteur tangent u1 ((l − 1)τ ) en ce point. On peut encore
e e
˜
˜
exprimer ce point de vue en disant que f (lτ ) est l’image par l’application exponentielle au point
˜
f ((l − 1)τ ) du vecteur τ u1 ((l − 1)τ )).
˜
La m´thode d’Euler pour int´grer l’´quation diff´rentielle covariante ( γ )(k) γ(t) = 0 se d´duire
e
e
e
e
˙
e
˙
par analogie du cas euclidien. Pour se ramener ` un syst`me diff´rentiel d’ordre 1, on introduit
a
e
e
˙
k champs de vecteurs auxiliaires v1 (t), . . . , vk (t) ∈ Tγ(t) et on exprime l’´quation ( γ )(k) γ(t) = 0
e
˙
sous la forme

 γ(t) = v1 (t)
˙


 γ v1 (t) = v2 (t)

 ˙

.
.
(3)
.


 γ vk−1 (t) = vk (t)

 ˙


γ vk (t) = 0
˙
avec les conditions initiales γ(0), v1 (0), . . . , vk (0).
2

3.
L’utilisation de la d´rivation covariante par rapport ` γ garantit que les vecteurs vj (t) ape
a ˙
partiennent au mˆme espace tangent Tγ(t) M ` la vari´t´ M au point γ(t), et que les champs
e
a
ee
t → (γ(t), vj (t)) sont des champs de vecteurs le long de la courbe γ. En notant γ (t) et vj (t)
˜
˜
les approximations respectives de γ et vj (t) fournies par le sch´ma d’int´gration, l’analogue du
e
e
transport par translation des vecteurs uj ((l − 1)τ ) du point γ ((l − 1)τ ) au point γ (lτ ) sera le
˜
˜
˜
transport parall`le des vecteurs vj ((l − 1)τ ) du point γ ((l − 1)τ ) au point γ (lτ ) le long de la
e
˜
˜
˜
g´od´sique joignant ces deux points. Le point γ (lτ ) sera obtenu comme l’image par l’application
e e
˜
exponentielle au point γ ((l − 1)τ ) du vecteur τ v1 ((l − 1)τ ). La le ´tape (l = 1, . . . , n) de la m´thode
˜
e
e
d’Euler adapt´e au cadre riemannien comporte donc les calculs suivants, en partant des valeurs
e
γ (0) = γ(0), v1 (0) = v1 (0), . . . , vk−1 (0) = vk−1 (0), vk (0),
˜
˜
˜

˜
 γ (lτ ) = expγ ((l−1)τ ) (τ v1 ((l − 1)τ ))
˜
˜


˜
 v1 (lτ ) = TransportParall`leγ ((l−1)τ )→˜ (lτ ) [˜1 ((l − 1)τ ) + τ v2 ((l − 1)τ )]
e ˜
v
˜

γ


.
.
(4)
.


 vk−1 (lτ ) = TransportParall`le
˜
e γ ((l−1)τ )→˜ (lτ ) [˜k−1 ((l − 1)τ ) + τ vk ((l − 1)τ )]
v
˜
˜
γ



 v (lτ ) = TransportParall`le
e γ ((l−1)τ )→˜ (lτ ) [vk ((l − 1)τ )].
k
˜
γ
2.3
Exemple : int´gration sur S n
e
Consid´rons comme exemple de vari´t´ riemannienne la sph`re S n ⊂ Rn+1 de rayon 1, munie de
e
ee
e
la m´trique g induite par la m´trique euclidienne de Rn+1 . On a vu dans le paragraphe ci-dessus
e
e
que les deux ingr´dients n´cessaires pour calculer un polynˆme riemannien sont : l’application
e
e
o
exponentielle et le transport parall`le le long des g´od´siques.
e
e e
Pour trouver l’´quation de la g´od´sique t → c(t) issue du point x et de vecteur tangent `
e
e e
a
l’origine v = 0, on peut partir de la caract´risation c c = 0, avec les conditions initiales c(0) = x
e
˙˙
et c(0) = v. S n ´tant une sous-vari´t´ de Rn+1 munie de la m´trique induite par la m´trique
˙
e
ee
e
e
euclidienne, la d´riv´e covariante sur la sph`re est ´gale ` la d´riv´e (usuelle) dans Rn+1 projet´e
e e
e
e
a
e e
e
sur l’espace tangent ` la sph`re, qui est l’hyperplan orthogonal au rayon. L’´quation c c = 0 est
a
e
e
˙˙
donc ´quivalente `
e
a
c − c, c c = 0
¨
¨
(5)
avec c(0) = x et c(0) = v. On v´rifie que la fonction d´finit par
˙
e
e
c(t) = cos(t v )x + sin(t v )
v
v
(6)
est la solution de cette ´quation, et donc la g´od´sique cherch´e.
e
e e
e
D´terminons ` pr´sent les ´quations du transport parall`le le long de la g´od´sique c(t).
e
a e
e
e
e e
L’´quation de la g´od´sique montre que, pour tout t, les vecteurs c(t) et c(t) restent dans le
e
e e
˙
plan vectoriel engendr´ par les vecteurs x et v. De plus, c(t) est de norme 1 et c(t) est de
e
˙
norme constante ´gale ` v . On peut donc choisir une base orthonorm´e de Rn+1 de la forme
e
a
e
˙
u
{c(t), |c(t) , e3 , . . . , en+1 } o` les vecteurs e3 , . . . , en+1 sont constants. Soit t → (c(t), X(t)) un champ
v
de vecteurs le long de c(t). L’´quation du transport parall`le le long de c(t) est c X(t) = 0. Sur
e
e
˙
la base choisie, on a au temps t
X(t) = a2 (t)
c(t)
˙
+
v
n+1
ak (t)ek ,
(7)
k=3
la composante sur c(t) ´tant nulle puisque X(t) est dans l’espace tangent ` la sph`re, donc orthoe
a
e
gonal ` c(t). La d´riv´e en t est
a
e e
3

4.
c(t)
˙
c(t)
¨
˙
X(t) = a2 (t)
˙
+ a2 (t)
+
v
v
= a2 (t)
˙
n+1
ak (t)ek
˙
k=3
c(t)
˙
− a2 (t) v c(t) +
v
n+1
ak (t)ek ,
˙
k=3
et sa projection sur l’espace tangent est donc
c(t)
˙
+
˙
c X(t) = a2 (t)
˙
v
n+1
ak (t)ek
˙
(8)
k=3
L’´quation du transport parall`le le long de c(t) est donc ´quivalente ` a1 (t) = 0 et ak (t) =
e
e
e
a
˙
ak (0) pour k = 2, . . . , n + 1. Si l’on d´compose X(t) sous la forme X(t) = X c (t) + X ⊥ (t) avec
e
n+1
c(t)
˙
⊥
⊥
c
˙
e
X (t) = a2 (0) v et X (t) = k=3 ak (0)ek , on voit donc que X (t) est inchang´ par transport
˙
parall`le, et que X c (t) est transform´ comme c(t).
e
e
˙
Par d´finition de l’application exponentielle et compte tenu de l’´quation de la g´od´sique issue
e
e
e e
du point x et de vecteur tangent ` l’origine v, on a
a
expx (v) = c(1) = cos( v )x + sin( v )
3
3.1
v
.
v
Estimation des param`tres de la r´gression polynomiale
e
e
Th´orie
e
Supposons que l’on dispose de N observations y1 , . . . , yN ∈ M effectu´es au temps respectifs
e
t1 , . . . , tN , et que l’on veuille ajuster ` ces donn´es un polynˆme (riemannien) γ de degr´ k.
a
e
o
e
Cela revient ` d´terminer les (k + 1) conditions initiales γ(0), γ(0), γ γ(0), . . . , ( γ )k−1 γ(0) pour
a e
˙
˙
˙ ˙
˙
minimiser le crit`re des moindres carr´s riemannien :
e
e
1
N
N
dM (γ(ti ), yi )2
(9)
i=1
o` dM est la distance riemannienne sur M induite par la m´trique g. On peut ´crire ce probl`me
u
e
e
e
sous la forme : minimiser la fonction
E0 (γ(0), v1 (0), . . . , vk (0)) =
sous les contraintes
1
N
N
dM (γ(ti ), yi )2
(10)
i=1

 γ(t) = v1 (t)
˙


 γ v1 (t) = v2 (t)
 ˙


.
.
.


 γ vk−1 (t) = vk (t)
 ˙



γ vk (t) = 0.
˙
(11)
Pour se ramener ` un probl`me d’optimisation sans contrainte, les auteurs utilisent la m´thode
a
e
e
des multiplicateurs de Lagrange en introduisant des champs de vecteurs λj ∈ T M j = 1, . . . , k et
en minimisant le Lagrangien ` l’aide de la m´thode des variations.
a
e
4

5.
3.2
Coefficient de d´termination pour les r´gressions dans les espaces
e
e
m´triques
e
Pour ´valuer la qualit´ de l’ajustement du mod`le aux observations, les auteurs proposent de
e
e
e
calculer un coefficient R2 , d´fini par analogie avec la r´gression dans un espace euclidien.
e
e
La variance totale correspond ` l’´cart quadratique des observations par rapport ` la moyenne
a e
a
de Fr´chet, c’est-`-dire ` la valeur pr´dite par un polynˆme constant (de degr´ 0) :
e
a
a
e
o
e
V ar({yi }) =
1
min
¯
N y∈M
N
dM (yi , y )2 .
¯
i=1
Pour un polynˆme γ, la somme des carr´s des ´carts (SSE) est
o
e
e
SSE =
1
N
N
dM (yi , γ(ti ))2 .
i=1
Le coefficient R2 est alors d´fini par
e
R2 = 1 −
SSE
.
V ar({yi })
Ce coefficient est compris entre 0 et 1. Il est d’autant plus grand que l’ajustement par γ est
meilleur que l’ajustement par la moyenne de Fr´chet.
e
4
Exemples
Les auteurs pr´sentent plusieurs applications.
e
1. La sph`re S n , pour laquelle les ´quations sont simplifi´es du fait que S n est une sous-vari´t´
e
e
e
ee
de l’espace euclidien Rn+1 .
2. Le groupe de Lie SO(3) (ensemble des matrices (3, 3) orthogonales). Dans ce cas, la structure
de groupe et le choix d’une m´trique invariante ` gauche permettent d’identifier l’espace tane
a
gent en un point ` l’alg`bre de Lie du groupe (l’ensemble des matrices (3, 3) antisym´triques).
a
e
e
3. Deux applications dans l’espace des formes de Kendall, l’une au d´veloppement du crˆne
e
a
chez le rat, l’autre au processus de vieillissement du corps calleux dans l’esp`ce humaine.
e
5
Discussion
La m´thodologie d´velopp´e dans cet article apporte une grande flexibilit´ dans le choix des
e
e
e
e
fonctions de r´gressions sur des vari´t´s riemannienne. Les deux applications aux donn´es de la
e
ee
e
croissance du crˆne chez le rat et du vieillissement du corps calleux illustrent bien l’int´rˆt de cette
a
ee
flexibilit´ accrue.
e
Du point de vue num´rique, les auteurs n’abordent pas la question des performances de la
e
m´thode d’int´gration d’Euler, en particulier ils ne donnent pas d’indication sur le choix du pas
e
e
de temps. On sait d’autre part que l’algorithme du gradient, utilis´ pour estimer les param`tres,
e
e
ne pr´sente pas de bonnes performances pr`s du minimum. On peut aussi s’interroger sur le
e
e
conditionnement num´rique du probl`me lorsque le degr´ du polynˆme augmente. En effet, dans
e
e
e
o
le cadre euclidien, on sait que l’utilisation de la base {1, X, . . . , X k } dans l’espace des polynˆmes
o
de degr´ k conduit, lorsque k augmente, ` des difficult´s num´riques.
e
a
e
e
Du point de vue statistique, le probl`me du choix du degr´ optimal du polynˆme est peu
e
e
o
envisag´. En effet, les auteurs traitent le coefficient R2 comme une quantit´ d´terministe et ne
e
e e
discutent pas le caract`re significatif de l’augmentation de ce coefficient lorsqu’on augmente le
e
degr´ du polynˆme γ. Une m´thode de validation-crois´e aurait aussi pu ˆtre envisag´e.
e
o
e
e
e
e
5