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R´gression polynomiale sur une vari´t´ riemannienne
e
ee
Florent Renucci et Albert Thomas
Dans cet article, les auteurs d´veloppent une m´thodologie qui g´n´ralise aux vari´t´s riemane
e
e e
ee
niennes les m´thodes classiques de r´gression polynomiale param´trique dans un espace euclidien.
e
e
e

1

Introduction

D’un point de vue g´n´ral, la m´thode statistique de r´gression consiste ` estimer la relation
e e
e
e
a
math´matique entre un ensemble de variables, appel´es variables explicatives ou descriptives ou
e
e
ind´pendantes, et une variable observ´e ou mesur´e. On cherche donc ` d´terminer, parmi une
e
e
e
a e
certaine classe de fonctions, la fonction qui d´crive de fa¸on optimale (en un certain sens) cette
e
c
relation. La r´gression polynomiale consiste ` estimer la relation entre variables explicatives et
e
a
donn´es observ´es ` l’aide d’une fonction polynomiale de degr´ fix´ k. Le nombre de param`tres
e
e a
e e
e
inconnus est alors k + 1 et ils sont le plus souvent estim´s en minimisant un crit`re des moindres
e
e
carr´s, qui est le carr´ de la distance euclidienne entre les valeurs observ´es et les valeurs pr´dites
e
e
e
e
par le mod`le polynomial. L’un des probl`mes ` r´soudre dans ce contexte est ´videmment le choix
e
e
a e
e
du degr´ du polynˆme.
e
o
Dans cet article, les auteurs se limitent ` une seule variable explicative, qui est une variable de
a
temps t ∈ [0, T ].

2

Polynˆmes riemanniens
o

2.1

D´finition
e

Afin de d´finir des fonctions polynomiales dont les valeurs appartiennent ` une vari´t´ riemae
a
ee
nienne (M, g) donn´e, les auteurs partent de la constatation qu’une fonction polynomiale euclie
dienne f : [0, T ] → Rn , de degr´ k, est enti`rement d´termin´e par
e
e
e
e
k+1
1. La condition f˙ (t) = 0.
2. La donn´e de (k + 1) conditions initiales : f (0), f˙(0), . . . , f˙k (0),
e
˙(t), . . . , f˙k (t) ∈ Rn d´signent les d´riv´es successives de f par rapport ` t. Par analogie, une
o` f
u
e
e e
a
fonction polynomiale riemannienne γ de degr´ k est d´finie comme suit. Une fonction γ : [0, T ] → M
e
e
de classe C k est une courbe de classe C k . On sait donc d´finir pour tout t le vecteur tangent γ(t),
e
˙
qui est un ´l´ment de l’espace tangent Tγ(t) M . L’application t → (γ(t), γ(t)) d´finit un champ de
ee
˙
e
vecteurs C k−1 sur M , le long de la courbe γ. Puisque M est une vari´t´ riemannienne, on la munit
ee
de l’unique connexion compatible avec la m´trique g et de torsion nulle, ce qui permet de d´finir
e
e
les d´riv´es covariantes successives du champ de vecteurs γ le long de γ. Le polynˆme riemannien
e e
˙
o
γ sera ainsi d´fini par
e
1. La condition (

γ)
˙

(k)

γ(t) = 0
˙

2. La donn´e de (k + 1) conditions initiales : γ(0), γ(0),
e
˙
o` (
u

(i)
˙
γ ) γ(t)
˙

γ γ(0), . . . , (
˙ ˙

(k−1)
γ(0),
˙
γ)
˙

∈ Tγ(t) M d´signe la ie d´riv´e covariante du champ γ(t) par rapport ` γ.
e
e e
˙
a ˙

1
2.2

Calcul : la m´thode d’Euler
e

En g´n´ral le polynˆme riemannien ainsi d´fini n’a pas d’expression explicite et doit ˆtre
e e
o
e
e
calcul´ num´riquement. Les auteurs font appel ` la m´thode d’int´gration d’Euler en l’adaptant
e
e
a
e
e
au contexte riemannien.
Pour utiliser la m´thode d’Euler dans le cas euclidien, on commence par se ramener ` un
e
a
syst`me diff´rentiel d’ordre 1 en introduisant des fonctions auxiliaires uj : [0, T ] → Rn (i =
e
e
1, . . . , k), et en ´crivant l’´quation f˙k+1 (t) = 0 sous la forme
e
e

 f˙(t) = u1 (t)



 u1 (t) = u2 (t)

˙

.
(1)
.
.


u

 ˙ k−1 (t) = uk (t)


uk (t) = 0
˙
avec les conditions initiales f (0), u1 (0), . . . , uk (0). On choisit ensuite un pas de temps τ = T /n et on
˜
calcule de proche en proche une approximation f de f aux points du maillage {0, τ, . . . , (n−1)τ, T },
˜(0) = f (0), u1 (0) = u1 (0), . . . , uk−1 (0) = uk−1 (0), uk (0). A la le
en partant des valeurs initiales f
˜
˜
´tape (l = 1, . . . , n), on effectue les calculs suivants
e

˜
˜
˜
 f (lτ ) = f ((l − 1)τ ) + τ u1 ((l − 1)τ )



 u1 (lτ ) = u1 ((l − 1)τ ) + τ u2 ((l − 1)τ )
˜
˜
˜



.
(2)
.
.


u

˜
˜
 ˜k−1 (lτ ) = uk−1 ((l − 1)τ ) + τ uk ((l − 1)τ )


uk (lτ ) = uk ((l − 1)τ ).
Interpr´tons ce sch´ma d’int´gration d’un point de vue riemannien, en distinguant la vari´t´
e
e
e
ee
Rn et les espaces tangents Tp Rn en chaque point p ∈ Rn . On consid`re f (t) comme un point de
e ˜
la vari´t´ Rn , et les vecteurs uj (t) comme des vecteurs de l’espace tangent Tf (t) Rn ` la vari´t´
ee
˜
a
ee
˜
n
˜(t). La le ´tape de la m´thode d’Euler s’interpr`te alors de la mani`re suivante :
R au point f
e
e
e
e
pour j = 1, . . . , k − 1, le vecteur uj ((l − 1)τ ) est incr´ment´ de τ uj+1 ((l − 1)τ ) (ces 2 vecteurs
˜
e
e
˜
appartiennent au mˆme espace tangent Tf ((l−1)τ ) Rn ) puis ”transport´” par translation au point
e
e
˜
˜
˜
f (jτ ) de Rn ; le vecteur uk est constant, et donc ”transport´” sans incr´mentation. Le point f (lτ )
e
e
est obtenu en parcourant la distance τ u1 ((l − 1)τ ) le long de la demi-droite issue du point
˜
f ((l − 1)τ ) et de vecteur directeur u1 ((l − 1)τ ), et en remarquant que cette droite est l’unique
˜
˜
g´od´sique issue de f ((l − 1)τ ) et de vecteur tangent u1 ((l − 1)τ ) en ce point. On peut encore
e e
˜
˜
exprimer ce point de vue en disant que f (lτ ) est l’image par l’application exponentielle au point
˜
f ((l − 1)τ ) du vecteur τ u1 ((l − 1)τ )).
˜
La m´thode d’Euler pour int´grer l’´quation diff´rentielle covariante ( γ )(k) γ(t) = 0 se d´duire
e
e
e
e
˙
e
˙
par analogie du cas euclidien. Pour se ramener ` un syst`me diff´rentiel d’ordre 1, on introduit
a
e
e
˙
k champs de vecteurs auxiliaires v1 (t), . . . , vk (t) ∈ Tγ(t) et on exprime l’´quation ( γ )(k) γ(t) = 0
e
˙
sous la forme

 γ(t) = v1 (t)
˙


 γ v1 (t) = v2 (t)

 ˙

.
.
(3)
.


 γ vk−1 (t) = vk (t)

 ˙


γ vk (t) = 0
˙
avec les conditions initiales γ(0), v1 (0), . . . , vk (0).

2
L’utilisation de la d´rivation covariante par rapport ` γ garantit que les vecteurs vj (t) ape
a ˙
partiennent au mˆme espace tangent Tγ(t) M ` la vari´t´ M au point γ(t), et que les champs
e
a
ee
t → (γ(t), vj (t)) sont des champs de vecteurs le long de la courbe γ. En notant γ (t) et vj (t)
˜
˜
les approximations respectives de γ et vj (t) fournies par le sch´ma d’int´gration, l’analogue du
e
e
transport par translation des vecteurs uj ((l − 1)τ ) du point γ ((l − 1)τ ) au point γ (lτ ) sera le
˜
˜
˜
transport parall`le des vecteurs vj ((l − 1)τ ) du point γ ((l − 1)τ ) au point γ (lτ ) le long de la
e
˜
˜
˜
g´od´sique joignant ces deux points. Le point γ (lτ ) sera obtenu comme l’image par l’application
e e
˜
exponentielle au point γ ((l − 1)τ ) du vecteur τ v1 ((l − 1)τ ). La le ´tape (l = 1, . . . , n) de la m´thode
˜
e
e
d’Euler adapt´e au cadre riemannien comporte donc les calculs suivants, en partant des valeurs
e
γ (0) = γ(0), v1 (0) = v1 (0), . . . , vk−1 (0) = vk−1 (0), vk (0),
˜
˜
˜

˜
 γ (lτ ) = expγ ((l−1)τ ) (τ v1 ((l − 1)τ ))
˜
˜


˜
 v1 (lτ ) = TransportParall`leγ ((l−1)τ )→˜ (lτ ) [˜1 ((l − 1)τ ) + τ v2 ((l − 1)τ )]
e ˜
v
˜

γ


.
.
(4)
.


 vk−1 (lτ ) = TransportParall`le
˜
e γ ((l−1)τ )→˜ (lτ ) [˜k−1 ((l − 1)τ ) + τ vk ((l − 1)τ )]
v
˜
˜
γ



 v (lτ ) = TransportParall`le
e γ ((l−1)τ )→˜ (lτ ) [vk ((l − 1)τ )].
k
˜
γ

2.3

Exemple : int´gration sur S n
e

Consid´rons comme exemple de vari´t´ riemannienne la sph`re S n ⊂ Rn+1 de rayon 1, munie de
e
ee
e
la m´trique g induite par la m´trique euclidienne de Rn+1 . On a vu dans le paragraphe ci-dessus
e
e
que les deux ingr´dients n´cessaires pour calculer un polynˆme riemannien sont : l’application
e
e
o
exponentielle et le transport parall`le le long des g´od´siques.
e
e e
Pour trouver l’´quation de la g´od´sique t → c(t) issue du point x et de vecteur tangent `
e
e e
a
l’origine v = 0, on peut partir de la caract´risation c c = 0, avec les conditions initiales c(0) = x
e
˙˙
et c(0) = v. S n ´tant une sous-vari´t´ de Rn+1 munie de la m´trique induite par la m´trique
˙
e
ee
e
e
euclidienne, la d´riv´e covariante sur la sph`re est ´gale ` la d´riv´e (usuelle) dans Rn+1 projet´e
e e
e
e
a
e e
e
sur l’espace tangent ` la sph`re, qui est l’hyperplan orthogonal au rayon. L’´quation c c = 0 est
a
e
e
˙˙
donc ´quivalente `
e
a
c − c, c c = 0
¨
¨

(5)

avec c(0) = x et c(0) = v. On v´rifie que la fonction d´finit par
˙
e
e
c(t) = cos(t v )x + sin(t v )

v
v

(6)

est la solution de cette ´quation, et donc la g´od´sique cherch´e.
e
e e
e
D´terminons ` pr´sent les ´quations du transport parall`le le long de la g´od´sique c(t).
e
a e
e
e
e e
L’´quation de la g´od´sique montre que, pour tout t, les vecteurs c(t) et c(t) restent dans le
e
e e
˙
plan vectoriel engendr´ par les vecteurs x et v. De plus, c(t) est de norme 1 et c(t) est de
e
˙
norme constante ´gale ` v . On peut donc choisir une base orthonorm´e de Rn+1 de la forme
e
a
e
˙
u
{c(t), |c(t) , e3 , . . . , en+1 } o` les vecteurs e3 , . . . , en+1 sont constants. Soit t → (c(t), X(t)) un champ
v
de vecteurs le long de c(t). L’´quation du transport parall`le le long de c(t) est c X(t) = 0. Sur
e
e
˙
la base choisie, on a au temps t
X(t) = a2 (t)

c(t)
˙
+
v

n+1

ak (t)ek ,

(7)

k=3

la composante sur c(t) ´tant nulle puisque X(t) est dans l’espace tangent ` la sph`re, donc orthoe
a
e
gonal ` c(t). La d´riv´e en t est
a
e e

3
c(t)
˙
c(t)
¨
˙
X(t) = a2 (t)
˙
+ a2 (t)
+
v
v
= a2 (t)
˙

n+1

ak (t)ek
˙
k=3

c(t)
˙
− a2 (t) v c(t) +
v

n+1

ak (t)ek ,
˙
k=3

et sa projection sur l’espace tangent est donc
c(t)
˙
+
˙
c X(t) = a2 (t)
˙
v

n+1

ak (t)ek
˙

(8)

k=3

L’´quation du transport parall`le le long de c(t) est donc ´quivalente ` a1 (t) = 0 et ak (t) =
e
e
e
a
˙
ak (0) pour k = 2, . . . , n + 1. Si l’on d´compose X(t) sous la forme X(t) = X c (t) + X ⊥ (t) avec
e
n+1
c(t)
˙
⊥
⊥
c
˙
e
X (t) = a2 (0) v et X (t) = k=3 ak (0)ek , on voit donc que X (t) est inchang´ par transport
˙
parall`le, et que X c (t) est transform´ comme c(t).
e
e
˙
Par d´finition de l’application exponentielle et compte tenu de l’´quation de la g´od´sique issue
e
e
e e
du point x et de vecteur tangent ` l’origine v, on a
a
expx (v) = c(1) = cos( v )x + sin( v )

3
3.1

v
.
v

Estimation des param`tres de la r´gression polynomiale
e
e
Th´orie
e

Supposons que l’on dispose de N observations y1 , . . . , yN ∈ M effectu´es au temps respectifs
e
t1 , . . . , tN , et que l’on veuille ajuster ` ces donn´es un polynˆme (riemannien) γ de degr´ k.
a
e
o
e
Cela revient ` d´terminer les (k + 1) conditions initiales γ(0), γ(0), γ γ(0), . . . , ( γ )k−1 γ(0) pour
a e
˙
˙
˙ ˙
˙
minimiser le crit`re des moindres carr´s riemannien :
e
e
1
N

N

dM (γ(ti ), yi )2

(9)

i=1

o` dM est la distance riemannienne sur M induite par la m´trique g. On peut ´crire ce probl`me
u
e
e
e
sous la forme : minimiser la fonction
E0 (γ(0), v1 (0), . . . , vk (0)) =
sous les contraintes

1
N

N

dM (γ(ti ), yi )2

(10)

i=1


 γ(t) = v1 (t)
˙


 γ v1 (t) = v2 (t)
 ˙


.
.
.


 γ vk−1 (t) = vk (t)
 ˙



γ vk (t) = 0.
˙

(11)

Pour se ramener ` un probl`me d’optimisation sans contrainte, les auteurs utilisent la m´thode
a
e
e
des multiplicateurs de Lagrange en introduisant des champs de vecteurs λj ∈ T M j = 1, . . . , k et
en minimisant le Lagrangien ` l’aide de la m´thode des variations.
a
e

4
3.2

Coefficient de d´termination pour les r´gressions dans les espaces
e
e
m´triques
e

Pour ´valuer la qualit´ de l’ajustement du mod`le aux observations, les auteurs proposent de
e
e
e
calculer un coefficient R2 , d´fini par analogie avec la r´gression dans un espace euclidien.
e
e
La variance totale correspond ` l’´cart quadratique des observations par rapport ` la moyenne
a e
a
de Fr´chet, c’est-`-dire ` la valeur pr´dite par un polynˆme constant (de degr´ 0) :
e
a
a
e
o
e
V ar({yi }) =

1
min
¯
N y∈M

N

dM (yi , y )2 .
¯
i=1

Pour un polynˆme γ, la somme des carr´s des ´carts (SSE) est
o
e
e
SSE =

1
N

N

dM (yi , γ(ti ))2 .
i=1

Le coefficient R2 est alors d´fini par
e
R2 = 1 −

SSE
.
V ar({yi })

Ce coefficient est compris entre 0 et 1. Il est d’autant plus grand que l’ajustement par γ est
meilleur que l’ajustement par la moyenne de Fr´chet.
e

4

Exemples
Les auteurs pr´sentent plusieurs applications.
e
1. La sph`re S n , pour laquelle les ´quations sont simplifi´es du fait que S n est une sous-vari´t´
e
e
e
ee
de l’espace euclidien Rn+1 .
2. Le groupe de Lie SO(3) (ensemble des matrices (3, 3) orthogonales). Dans ce cas, la structure
de groupe et le choix d’une m´trique invariante ` gauche permettent d’identifier l’espace tane
a
gent en un point ` l’alg`bre de Lie du groupe (l’ensemble des matrices (3, 3) antisym´triques).
a
e
e
3. Deux applications dans l’espace des formes de Kendall, l’une au d´veloppement du crˆne
e
a
chez le rat, l’autre au processus de vieillissement du corps calleux dans l’esp`ce humaine.
e

5

Discussion

La m´thodologie d´velopp´e dans cet article apporte une grande flexibilit´ dans le choix des
e
e
e
e
fonctions de r´gressions sur des vari´t´s riemannienne. Les deux applications aux donn´es de la
e
ee
e
croissance du crˆne chez le rat et du vieillissement du corps calleux illustrent bien l’int´rˆt de cette
a
ee
flexibilit´ accrue.
e
Du point de vue num´rique, les auteurs n’abordent pas la question des performances de la
e
m´thode d’int´gration d’Euler, en particulier ils ne donnent pas d’indication sur le choix du pas
e
e
de temps. On sait d’autre part que l’algorithme du gradient, utilis´ pour estimer les param`tres,
e
e
ne pr´sente pas de bonnes performances pr`s du minimum. On peut aussi s’interroger sur le
e
e
conditionnement num´rique du probl`me lorsque le degr´ du polynˆme augmente. En effet, dans
e
e
e
o
le cadre euclidien, on sait que l’utilisation de la base {1, X, . . . , X k } dans l’espace des polynˆmes
o
de degr´ k conduit, lorsque k augmente, ` des difficult´s num´riques.
e
a
e
e
Du point de vue statistique, le probl`me du choix du degr´ optimal du polynˆme est peu
e
e
o
envisag´. En effet, les auteurs traitent le coefficient R2 comme une quantit´ d´terministe et ne
e
e e
discutent pas le caract`re significatif de l’augmentation de ce coefficient lorsqu’on augmente le
e
degr´ du polynˆme γ. Une m´thode de validation-crois´e aurait aussi pu ˆtre envisag´e.
e
o
e
e
e
e

5

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  • 1. R´gression polynomiale sur une vari´t´ riemannienne e ee Florent Renucci et Albert Thomas Dans cet article, les auteurs d´veloppent une m´thodologie qui g´n´ralise aux vari´t´s riemane e e e ee niennes les m´thodes classiques de r´gression polynomiale param´trique dans un espace euclidien. e e e 1 Introduction D’un point de vue g´n´ral, la m´thode statistique de r´gression consiste ` estimer la relation e e e e a math´matique entre un ensemble de variables, appel´es variables explicatives ou descriptives ou e e ind´pendantes, et une variable observ´e ou mesur´e. On cherche donc ` d´terminer, parmi une e e e a e certaine classe de fonctions, la fonction qui d´crive de fa¸on optimale (en un certain sens) cette e c relation. La r´gression polynomiale consiste ` estimer la relation entre variables explicatives et e a donn´es observ´es ` l’aide d’une fonction polynomiale de degr´ fix´ k. Le nombre de param`tres e e a e e e inconnus est alors k + 1 et ils sont le plus souvent estim´s en minimisant un crit`re des moindres e e carr´s, qui est le carr´ de la distance euclidienne entre les valeurs observ´es et les valeurs pr´dites e e e e par le mod`le polynomial. L’un des probl`mes ` r´soudre dans ce contexte est ´videmment le choix e e a e e du degr´ du polynˆme. e o Dans cet article, les auteurs se limitent ` une seule variable explicative, qui est une variable de a temps t ∈ [0, T ]. 2 Polynˆmes riemanniens o 2.1 D´finition e Afin de d´finir des fonctions polynomiales dont les valeurs appartiennent ` une vari´t´ riemae a ee nienne (M, g) donn´e, les auteurs partent de la constatation qu’une fonction polynomiale euclie dienne f : [0, T ] → Rn , de degr´ k, est enti`rement d´termin´e par e e e e k+1 1. La condition f˙ (t) = 0. 2. La donn´e de (k + 1) conditions initiales : f (0), f˙(0), . . . , f˙k (0), e ˙(t), . . . , f˙k (t) ∈ Rn d´signent les d´riv´es successives de f par rapport ` t. Par analogie, une o` f u e e e a fonction polynomiale riemannienne γ de degr´ k est d´finie comme suit. Une fonction γ : [0, T ] → M e e de classe C k est une courbe de classe C k . On sait donc d´finir pour tout t le vecteur tangent γ(t), e ˙ qui est un ´l´ment de l’espace tangent Tγ(t) M . L’application t → (γ(t), γ(t)) d´finit un champ de ee ˙ e vecteurs C k−1 sur M , le long de la courbe γ. Puisque M est une vari´t´ riemannienne, on la munit ee de l’unique connexion compatible avec la m´trique g et de torsion nulle, ce qui permet de d´finir e e les d´riv´es covariantes successives du champ de vecteurs γ le long de γ. Le polynˆme riemannien e e ˙ o γ sera ainsi d´fini par e 1. La condition ( γ) ˙ (k) γ(t) = 0 ˙ 2. La donn´e de (k + 1) conditions initiales : γ(0), γ(0), e ˙ o` ( u (i) ˙ γ ) γ(t) ˙ γ γ(0), . . . , ( ˙ ˙ (k−1) γ(0), ˙ γ) ˙ ∈ Tγ(t) M d´signe la ie d´riv´e covariante du champ γ(t) par rapport ` γ. e e e ˙ a ˙ 1
  • 2. 2.2 Calcul : la m´thode d’Euler e En g´n´ral le polynˆme riemannien ainsi d´fini n’a pas d’expression explicite et doit ˆtre e e o e e calcul´ num´riquement. Les auteurs font appel ` la m´thode d’int´gration d’Euler en l’adaptant e e a e e au contexte riemannien. Pour utiliser la m´thode d’Euler dans le cas euclidien, on commence par se ramener ` un e a syst`me diff´rentiel d’ordre 1 en introduisant des fonctions auxiliaires uj : [0, T ] → Rn (i = e e 1, . . . , k), et en ´crivant l’´quation f˙k+1 (t) = 0 sous la forme e e   f˙(t) = u1 (t)     u1 (t) = u2 (t)  ˙  . (1) . .   u   ˙ k−1 (t) = uk (t)   uk (t) = 0 ˙ avec les conditions initiales f (0), u1 (0), . . . , uk (0). On choisit ensuite un pas de temps τ = T /n et on ˜ calcule de proche en proche une approximation f de f aux points du maillage {0, τ, . . . , (n−1)τ, T }, ˜(0) = f (0), u1 (0) = u1 (0), . . . , uk−1 (0) = uk−1 (0), uk (0). A la le en partant des valeurs initiales f ˜ ˜ ´tape (l = 1, . . . , n), on effectue les calculs suivants e  ˜ ˜ ˜  f (lτ ) = f ((l − 1)τ ) + τ u1 ((l − 1)τ )     u1 (lτ ) = u1 ((l − 1)τ ) + τ u2 ((l − 1)τ ) ˜ ˜ ˜    . (2) . .   u  ˜ ˜  ˜k−1 (lτ ) = uk−1 ((l − 1)τ ) + τ uk ((l − 1)τ )   uk (lτ ) = uk ((l − 1)τ ). Interpr´tons ce sch´ma d’int´gration d’un point de vue riemannien, en distinguant la vari´t´ e e e ee Rn et les espaces tangents Tp Rn en chaque point p ∈ Rn . On consid`re f (t) comme un point de e ˜ la vari´t´ Rn , et les vecteurs uj (t) comme des vecteurs de l’espace tangent Tf (t) Rn ` la vari´t´ ee ˜ a ee ˜ n ˜(t). La le ´tape de la m´thode d’Euler s’interpr`te alors de la mani`re suivante : R au point f e e e e pour j = 1, . . . , k − 1, le vecteur uj ((l − 1)τ ) est incr´ment´ de τ uj+1 ((l − 1)τ ) (ces 2 vecteurs ˜ e e ˜ appartiennent au mˆme espace tangent Tf ((l−1)τ ) Rn ) puis ”transport´” par translation au point e e ˜ ˜ ˜ f (jτ ) de Rn ; le vecteur uk est constant, et donc ”transport´” sans incr´mentation. Le point f (lτ ) e e est obtenu en parcourant la distance τ u1 ((l − 1)τ ) le long de la demi-droite issue du point ˜ f ((l − 1)τ ) et de vecteur directeur u1 ((l − 1)τ ), et en remarquant que cette droite est l’unique ˜ ˜ g´od´sique issue de f ((l − 1)τ ) et de vecteur tangent u1 ((l − 1)τ ) en ce point. On peut encore e e ˜ ˜ exprimer ce point de vue en disant que f (lτ ) est l’image par l’application exponentielle au point ˜ f ((l − 1)τ ) du vecteur τ u1 ((l − 1)τ )). ˜ La m´thode d’Euler pour int´grer l’´quation diff´rentielle covariante ( γ )(k) γ(t) = 0 se d´duire e e e e ˙ e ˙ par analogie du cas euclidien. Pour se ramener ` un syst`me diff´rentiel d’ordre 1, on introduit a e e ˙ k champs de vecteurs auxiliaires v1 (t), . . . , vk (t) ∈ Tγ(t) et on exprime l’´quation ( γ )(k) γ(t) = 0 e ˙ sous la forme   γ(t) = v1 (t) ˙    γ v1 (t) = v2 (t)   ˙  . . (3) .    γ vk−1 (t) = vk (t)   ˙   γ vk (t) = 0 ˙ avec les conditions initiales γ(0), v1 (0), . . . , vk (0). 2
  • 3. L’utilisation de la d´rivation covariante par rapport ` γ garantit que les vecteurs vj (t) ape a ˙ partiennent au mˆme espace tangent Tγ(t) M ` la vari´t´ M au point γ(t), et que les champs e a ee t → (γ(t), vj (t)) sont des champs de vecteurs le long de la courbe γ. En notant γ (t) et vj (t) ˜ ˜ les approximations respectives de γ et vj (t) fournies par le sch´ma d’int´gration, l’analogue du e e transport par translation des vecteurs uj ((l − 1)τ ) du point γ ((l − 1)τ ) au point γ (lτ ) sera le ˜ ˜ ˜ transport parall`le des vecteurs vj ((l − 1)τ ) du point γ ((l − 1)τ ) au point γ (lτ ) le long de la e ˜ ˜ ˜ g´od´sique joignant ces deux points. Le point γ (lτ ) sera obtenu comme l’image par l’application e e ˜ exponentielle au point γ ((l − 1)τ ) du vecteur τ v1 ((l − 1)τ ). La le ´tape (l = 1, . . . , n) de la m´thode ˜ e e d’Euler adapt´e au cadre riemannien comporte donc les calculs suivants, en partant des valeurs e γ (0) = γ(0), v1 (0) = v1 (0), . . . , vk−1 (0) = vk−1 (0), vk (0), ˜ ˜ ˜  ˜  γ (lτ ) = expγ ((l−1)τ ) (τ v1 ((l − 1)τ )) ˜ ˜   ˜  v1 (lτ ) = TransportParall`leγ ((l−1)τ )→˜ (lτ ) [˜1 ((l − 1)τ ) + τ v2 ((l − 1)τ )] e ˜ v ˜  γ   . . (4) .    vk−1 (lτ ) = TransportParall`le ˜ e γ ((l−1)τ )→˜ (lτ ) [˜k−1 ((l − 1)τ ) + τ vk ((l − 1)τ )] v ˜ ˜ γ     v (lτ ) = TransportParall`le e γ ((l−1)τ )→˜ (lτ ) [vk ((l − 1)τ )]. k ˜ γ 2.3 Exemple : int´gration sur S n e Consid´rons comme exemple de vari´t´ riemannienne la sph`re S n ⊂ Rn+1 de rayon 1, munie de e ee e la m´trique g induite par la m´trique euclidienne de Rn+1 . On a vu dans le paragraphe ci-dessus e e que les deux ingr´dients n´cessaires pour calculer un polynˆme riemannien sont : l’application e e o exponentielle et le transport parall`le le long des g´od´siques. e e e Pour trouver l’´quation de la g´od´sique t → c(t) issue du point x et de vecteur tangent ` e e e a l’origine v = 0, on peut partir de la caract´risation c c = 0, avec les conditions initiales c(0) = x e ˙˙ et c(0) = v. S n ´tant une sous-vari´t´ de Rn+1 munie de la m´trique induite par la m´trique ˙ e ee e e euclidienne, la d´riv´e covariante sur la sph`re est ´gale ` la d´riv´e (usuelle) dans Rn+1 projet´e e e e e a e e e sur l’espace tangent ` la sph`re, qui est l’hyperplan orthogonal au rayon. L’´quation c c = 0 est a e e ˙˙ donc ´quivalente ` e a c − c, c c = 0 ¨ ¨ (5) avec c(0) = x et c(0) = v. On v´rifie que la fonction d´finit par ˙ e e c(t) = cos(t v )x + sin(t v ) v v (6) est la solution de cette ´quation, et donc la g´od´sique cherch´e. e e e e D´terminons ` pr´sent les ´quations du transport parall`le le long de la g´od´sique c(t). e a e e e e e L’´quation de la g´od´sique montre que, pour tout t, les vecteurs c(t) et c(t) restent dans le e e e ˙ plan vectoriel engendr´ par les vecteurs x et v. De plus, c(t) est de norme 1 et c(t) est de e ˙ norme constante ´gale ` v . On peut donc choisir une base orthonorm´e de Rn+1 de la forme e a e ˙ u {c(t), |c(t) , e3 , . . . , en+1 } o` les vecteurs e3 , . . . , en+1 sont constants. Soit t → (c(t), X(t)) un champ v de vecteurs le long de c(t). L’´quation du transport parall`le le long de c(t) est c X(t) = 0. Sur e e ˙ la base choisie, on a au temps t X(t) = a2 (t) c(t) ˙ + v n+1 ak (t)ek , (7) k=3 la composante sur c(t) ´tant nulle puisque X(t) est dans l’espace tangent ` la sph`re, donc orthoe a e gonal ` c(t). La d´riv´e en t est a e e 3
  • 4. c(t) ˙ c(t) ¨ ˙ X(t) = a2 (t) ˙ + a2 (t) + v v = a2 (t) ˙ n+1 ak (t)ek ˙ k=3 c(t) ˙ − a2 (t) v c(t) + v n+1 ak (t)ek , ˙ k=3 et sa projection sur l’espace tangent est donc c(t) ˙ + ˙ c X(t) = a2 (t) ˙ v n+1 ak (t)ek ˙ (8) k=3 L’´quation du transport parall`le le long de c(t) est donc ´quivalente ` a1 (t) = 0 et ak (t) = e e e a ˙ ak (0) pour k = 2, . . . , n + 1. Si l’on d´compose X(t) sous la forme X(t) = X c (t) + X ⊥ (t) avec e n+1 c(t) ˙ ⊥ ⊥ c ˙ e X (t) = a2 (0) v et X (t) = k=3 ak (0)ek , on voit donc que X (t) est inchang´ par transport ˙ parall`le, et que X c (t) est transform´ comme c(t). e e ˙ Par d´finition de l’application exponentielle et compte tenu de l’´quation de la g´od´sique issue e e e e du point x et de vecteur tangent ` l’origine v, on a a expx (v) = c(1) = cos( v )x + sin( v ) 3 3.1 v . v Estimation des param`tres de la r´gression polynomiale e e Th´orie e Supposons que l’on dispose de N observations y1 , . . . , yN ∈ M effectu´es au temps respectifs e t1 , . . . , tN , et que l’on veuille ajuster ` ces donn´es un polynˆme (riemannien) γ de degr´ k. a e o e Cela revient ` d´terminer les (k + 1) conditions initiales γ(0), γ(0), γ γ(0), . . . , ( γ )k−1 γ(0) pour a e ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ minimiser le crit`re des moindres carr´s riemannien : e e 1 N N dM (γ(ti ), yi )2 (9) i=1 o` dM est la distance riemannienne sur M induite par la m´trique g. On peut ´crire ce probl`me u e e e sous la forme : minimiser la fonction E0 (γ(0), v1 (0), . . . , vk (0)) = sous les contraintes 1 N N dM (γ(ti ), yi )2 (10) i=1   γ(t) = v1 (t) ˙    γ v1 (t) = v2 (t)  ˙   . . .    γ vk−1 (t) = vk (t)  ˙    γ vk (t) = 0. ˙ (11) Pour se ramener ` un probl`me d’optimisation sans contrainte, les auteurs utilisent la m´thode a e e des multiplicateurs de Lagrange en introduisant des champs de vecteurs λj ∈ T M j = 1, . . . , k et en minimisant le Lagrangien ` l’aide de la m´thode des variations. a e 4
  • 5. 3.2 Coefficient de d´termination pour les r´gressions dans les espaces e e m´triques e Pour ´valuer la qualit´ de l’ajustement du mod`le aux observations, les auteurs proposent de e e e calculer un coefficient R2 , d´fini par analogie avec la r´gression dans un espace euclidien. e e La variance totale correspond ` l’´cart quadratique des observations par rapport ` la moyenne a e a de Fr´chet, c’est-`-dire ` la valeur pr´dite par un polynˆme constant (de degr´ 0) : e a a e o e V ar({yi }) = 1 min ¯ N y∈M N dM (yi , y )2 . ¯ i=1 Pour un polynˆme γ, la somme des carr´s des ´carts (SSE) est o e e SSE = 1 N N dM (yi , γ(ti ))2 . i=1 Le coefficient R2 est alors d´fini par e R2 = 1 − SSE . V ar({yi }) Ce coefficient est compris entre 0 et 1. Il est d’autant plus grand que l’ajustement par γ est meilleur que l’ajustement par la moyenne de Fr´chet. e 4 Exemples Les auteurs pr´sentent plusieurs applications. e 1. La sph`re S n , pour laquelle les ´quations sont simplifi´es du fait que S n est une sous-vari´t´ e e e ee de l’espace euclidien Rn+1 . 2. Le groupe de Lie SO(3) (ensemble des matrices (3, 3) orthogonales). Dans ce cas, la structure de groupe et le choix d’une m´trique invariante ` gauche permettent d’identifier l’espace tane a gent en un point ` l’alg`bre de Lie du groupe (l’ensemble des matrices (3, 3) antisym´triques). a e e 3. Deux applications dans l’espace des formes de Kendall, l’une au d´veloppement du crˆne e a chez le rat, l’autre au processus de vieillissement du corps calleux dans l’esp`ce humaine. e 5 Discussion La m´thodologie d´velopp´e dans cet article apporte une grande flexibilit´ dans le choix des e e e e fonctions de r´gressions sur des vari´t´s riemannienne. Les deux applications aux donn´es de la e ee e croissance du crˆne chez le rat et du vieillissement du corps calleux illustrent bien l’int´rˆt de cette a ee flexibilit´ accrue. e Du point de vue num´rique, les auteurs n’abordent pas la question des performances de la e m´thode d’int´gration d’Euler, en particulier ils ne donnent pas d’indication sur le choix du pas e e de temps. On sait d’autre part que l’algorithme du gradient, utilis´ pour estimer les param`tres, e e ne pr´sente pas de bonnes performances pr`s du minimum. On peut aussi s’interroger sur le e e conditionnement num´rique du probl`me lorsque le degr´ du polynˆme augmente. En effet, dans e e e o le cadre euclidien, on sait que l’utilisation de la base {1, X, . . . , X k } dans l’espace des polynˆmes o de degr´ k conduit, lorsque k augmente, ` des difficult´s num´riques. e a e e Du point de vue statistique, le probl`me du choix du degr´ optimal du polynˆme est peu e e o envisag´. En effet, les auteurs traitent le coefficient R2 comme une quantit´ d´terministe et ne e e e discutent pas le caract`re significatif de l’augmentation de ce coefficient lorsqu’on augmente le e degr´ du polynˆme γ. Une m´thode de validation-crois´e aurait aussi pu ˆtre envisag´e. e o e e e e 5