Una relación es una asociación entre elementos de dos conjuntos definida como un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos. Una relación especifica los pares ordenados cuyo primer elemento pertenece al dominio y el segundo al rango. La relación inversa intercambia los elementos de cada par ordenado.

1. Unidad 2.- Relaciones 2.1.-Introducción.

2. 2.1. Introducción Las relaciones son muy importantes en matemáticas y sobretodo en computación, pues vienen a ser una herramienta fundamental en Bases de Datos, Programación, etc.; casi en cualquier tópico de una u otra forma se utiliza el concepto de relación. El término relación es muy amplio y se puede conceptualizar en términos muy generales, pero la idea central es muy simple y entendiendo el concepto se puede aplicar en cualquier situación por diversa que sea.

3. 2.1. Introducción Una relación es una asociación entre elementos u objetos, generalmente de dos conjuntos arbitrarios. Una manera de formalizar el concepto y al mismo tiempo hacerlo práctico para usarse en computación es considerar una relación como un conjunto de pares ordenados. Esto se puede extender posteriormente a tuplos para definir relaciones de varios elementos.

4. René Descartes Fue un filósofo, matemático y científico Francés. Es considerado como el Pionero de la Filosofía Moderna. Creador del Producto Cartesiano.

5. Primeramente empezaremos por el concepto de producto cartesiano entre conjuntos. A diferencia de un conjunto en un par ordenado (a,b), ver Par Ordenado, importa el orden de los elementos. Si se consideran los conjuntos A y B y formamos parejas o pares ordenados con los elementos de A como primeros elementos y los de B como segundos, se obtiene un conjunto llamado producto cartesiano. Esto es: Definición. A x B = {(a,b) : a ∈ A, b ∈ B } Ejemplo: A= {1,2,5}, B = {2,3} A x B = (1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(5,2),(5,3) Con el producto cartesiano podemos establecer la definición formal de relación.

6. 2.1. Introducción Definición. Una relación R de A a B es un subconjunto de A x B. Los elementos de A que aparecen en la relación forman el dominio y los de B forman el rango. Notación: R ⊆ A X B DOM( R ) = {x : (x,y) ∈ R } RAN( R ) = {y : (x,y) ∈ R } O sea que una relación de A a B es un conjunto de pares ordenado, donde los primeros elementos pertenecen al conjunto A y los segundos a B.

7. 2.1. Introducción Definición. La relación inversa {$ R^{−1} $} de una relación R de A a B es la que se obtiene si invertimos el orden en las parejas. {$ R^{−1}$} = { (y,x) : (x,y) ∈ R } Observamos que la relació inversa es una relación de B a A.

8. Ejemplos Si A = {a,b,c,x,y,z}, B = {1,2,3,4,5} {$ R_1 $} = (a,2),(c,2),(x,1),(y,5),(z,5) {$ R_2 $} = (a,1),(a,5),(c,3),(x,2),(x,4) {$ R_3 $} = (a,4),(b,2),(c,5),(x,1) {$ R_4 $} = (a,3),b,1),(b,5),(c,3),c,5),(x,1),(y,4) {$ DOM(R_1)$} = {a,c,x,y,z} {$ RAN(R_1) $} = {1,2,5} {$ DOM(R_2) $}= {a,c,x} {$ RAN(R_2) $}= {1,2,3,4,5} {$ DOM(R_3) $} = {a,b,c,x} {$ RAN(R_3) $} = {1,2,4,5} {$ DOM(R_4) $}= {a,c,x,y} {$ RAN(R_4) $} = {1,3,4,5} {$ R^{−1}_1 $} = (2,a),(2,c),(1,x),(5,y),(5,z) {$ R^{−1}_2 $} = (1,a),(5,a),(3,c),(2,x),(4,x) {$ R^{−1}_3 $} = (4,a),(2,b),(5,c),(1,x) {$ R^{−1}_4 $} = (3,a),(1,b),(5,b),(3,c),(5,c),(1,x),(4,y)