explicación

1. DISTRUBUCIÓN BINOMIAL
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son
posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de
ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución
binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata
de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la
binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para una distribución de probabilidad binomial, deben darse las siguientes condiciones
En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso "éxito" y
su contrario el suceso "fracaso".
El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos
anteriormente, esto es que el valor de la probabilidad de cada prueba no se afecta por
pruebas anteriores, ni afecta pruebas futuras.
Tendremos cuatro diferentes formas de obtener resultados, estas cuatro formas las vemos
en la columna "descripción" de la tabla anterior.
La probabilidad para cada resultado, se calcula multiplicando las probabilidades del
resultado de cada prueba, dado que estas son independientes.
El número de "éxitos" lo hacemos contando las "p" de cada línea.
Así podemos calcular la probabilidad desde cero hasta 2 éxitos.
Observa que para la P(1) sumamos dos veces cinco sextos que se encuentran en los
renglones verdes de la tabla anterior.

2. Así podemos calcular la probabilidad desde cero hasta 2 éxitos.
Observa que para la P(1) sumamos dos veces cinco sextos que se
encuentran en los renglones verdes de la tabla anterior.
Sustituimos con n = 2 y k = 0:
2! entre 2! es igual a uno.
Por definición 0! es igual a uno
1/6 elevado a la cero es uno.

3. Sustituimos con n = 2 y k = 1:

4. Sustituimos con n = 2 y k = 2:

6. DISTRIBUCION NORMAL
1- Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con
media de 480 y desviación estándar de 90.
a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700?
b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones?
c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En que percentil se encuentra?
d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?
µ = 480 σ = 90
A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073
B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67
El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7
C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082
Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91
D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67
Z = (520 – 480)/90 = 0.44
El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186

7. 2- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con
media de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga
resistencia mayor a 12 GPa?
b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación.
c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.
RESULTADOS
µ = 10 σ = 1.4
A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 = 0.0764
B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67
El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.
C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645
El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.
1. Determine el área bajo la curva normal
a) Ala derecha de z= -0.85.
b) Entre z = 0.40 y z = 1.30.
c) Entre z =0.30 y z = 0.90.
d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45
Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemas
A – 1 – 0.1977 = 0.8023
B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478
C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338
D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404
5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye
con media de 12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.
a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?
b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que valor
debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?

8. c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe
fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?
RESULTADOS
A) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475
B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas
C) – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
1.- el numero de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es una
variable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2 horas?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?
P(X=3)= e-8*
P(X=3)= 3.354626279x10-4 *
P(X=3)= 3.354626279x10-4 * 273.0666667
P(X=3)= 0.09160366
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?
P(X=10)= e-12*
P(X=10)= 6.144212353x10-6 *
P(X=10)= 6.144212353x10-6 * 17062.76571

9. P(X=10)= 0.104837255
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2
horas?
P(X=0)= e-12* P(X=1)= e-12*
P(X=0)= 6.144212353x10-6 * P(X=1)= 6.144212353x10-6 *
P(X=0)= 6.144212353x10-6 * 1 P(X=1)= 6.144212353x10-6 * 12
P(X=0)= 6.144212353x10-6 P(X=1)= 7.373054824x10-5
P(X=2)= e-12* P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=2)= 6.144212353x10-6 * P(X<3)=6.144212353x10-6 +
7.373054824x10-5 +
-6 -4
P(X=2)= 6.144212353x10 * 724.423832894x10 =
P(X=2)= 4.423832894x10-4P(X<3)= 5.2225805x10-4
2.- una variable aleatoria X tiene una distribucion binomial y una variable Y tiene una
distribucion de Poisson. Tanto X como Y tienen medias iguales a 3. ¿Es posible
determinar que variable aleatoria tiene la varianza mas grande? Elija una de las
siguientes respuestas:
i) Sí, X tiene la varianza mas grande.
ii) Sí, Y tiene la varianza mas grande
iii) No, se necesita conocer el numero de ensayos,n, para X.
iv) No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para X.
v) No, se necesita conocer el valor de λ para Y.
Fórmula para determinar la varianza en una distribución binomial:
σ2x= (1-p)
σ2x= (1-3)
σ2x= -2
Formula para determinar la varianza en una distribución Poisson:
σ2y= λ
σ2y= 3

10. Respuesta:
ii) Sí, Y tiene la varianza más grande
3.- La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por completo
la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el numero de partículas que
son retiradas. Determine.
a) P(X=5)
b) P(X≤2)
c)μX
d) σx
a) P(X=5)= e-6 *
P(X=5)= 2.478752177x10-3 *
P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 64.8
P(X=5)= 0.160623141
b) P(X≤2)
P(X=0)= e-6 * P(X=1)= e-6 *
P(X=0)= 2.478752177x10-3 * P(X=1)= 2.478752177x10-3 *
P(X=0)= 2.478752177x10-3 * 1 P(X=1)= 2.478752177x10-3 * 6
P(X=0)= 2.478752177x10-3 P(X=1)= 0.014872513
P(X=2)= e-6 * P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=2)= 2.478752177x10-3 * P(X≤2)= 2.478752177+0.014872513+
0.044617539
P(X=2)= 2.478752177x10-3 * 18
P(X=2)= 0.044617539 P(X≤2)= 0.061968804

11. c)μX
μX= 6
d)σx
σx=
σx= 2.449489743
4.- suponga que 0.03 % de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso tiene
pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el numero de contenedores
en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen este defecto. Determine:
a) P(X=3)
b) P(X≤2)
c) P(1≤X<4)
d)μX
e) σx
a) P(X=3)= e-3*
P(X=3)= 0.049787068*
P(X=3)= 0.049787068* 4.5
P(X=3)= 0.0224041807
b) P(X≤2)
P(X=0)= e-3 * P(X=1)= e-3 *
P(X=0)= 0.049787068* P(X=1)= 0.049787068*
P(X=0)= 0.049787068* 1 P(X=1)= 0.049787068* 3
P(X=0)= 0.049787068 P(X=1)= 0.149361205
P(X=2)= e-3* P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=2)= 0.049787068* P(X≤2)= 0.049787068+0.149361205+
0.149361205

12. P(X=2)= 0.049787068* 4.5
P(X=2)= 0.0224041807 P(X≤2)=0.42319008
c)P(X<2)
P(X=1)= e-3 * P(X=2)= e-3*
P(X=1)= 0.049787068* P(X=2)= 0.049787068*
P(X=1)= 0.049787068* 3 P(X=2)= 0.049787068* 4.5
P(X=1)= 0.149361205 P(X=2)= 0.0224041807
P(X=3)= e-3* P(X<2)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
P(X=3)= 0.049787068* P(X<2)= 0.149361205+0.224041807+
0.224041807
P(X=3)= 0.049787068* 4.5
P(X=3)= 0.0224041807 P(X<2)= 0.597444819
d)μX
μX= 3
e) σx
σx=
σx= 1.732030808
5.- Sea X ~ Poisson(4). Determine
a) P(X=1)
b) P(X=0)
c) P(X<2)
d) P(X>1)
e) μX
f) σx
a) P(X=1)= e-4*

13. P(X=1)= 0.018315638*
P(X=1)= 0.018315638* 4
P(X=1)= 0.073262555
b)P(X=0)= e-4*
P(X=0)= 0.018315638*
P(X=0)= 0.018315638* 1
P(X=0)= 0.018315638
c) P(X<2)
P(X=1)= e-4* P(X=0)= e-4*
P(X=1)= 0.018315638* P(X=0)= 0.018315638*
P(X=1)= 0.018315638* 4 P(X=0)= 0.018315638* 1
P(X=1)= 0.073262555 P(X=0)= 0.018315638
P(X<2) =P(X=1)+P(X=0)
P(X<2) =0.07326255+0.018315638
P(X<2) =0.091578193
d) P(X>1)
P(X=2)= e-4* P(X=3)= e-4*
P(X=2)= 0.018315638* P(X=3)= 0.018315638*
P(X=2)= 0.018315638* 8 P(X=3)= 0.018315638* 10.66666667
P(X=2)= 0.146525111 P(X=3)= 0.195366814

14. P(X=4)= e-4 * P(X>1)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
P(X=4)= 0.018315638* P(X>1)= 0.146525111+0.195366814+
0.195366814
P(X=4)= 0.018315638* 10.66666667
P(X=4)= 0.195366814 P(X>1)=0.537258739
e)μX
μX= 4
f) σx
σx=
σx= 2
DISTRIBUCIÓN GAMMA
Ejercicio 1
Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a
una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con
parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037

15. Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
Ejercicio 2
El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos
de una hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada
del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a p)
a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo
paciente es 0,98.
 Para poder resolver el problema lo que se tendrá que hacer será lo siguiente se
aplicara una formula la cual tendremos que desarrollar con los datos con los que
contamos.
 Tendremos que sustituir los datos
 t= x -μ
 SI n α = 1- Nc = 10%
 v = n-1 = 24
 t = 2.22
Procedimiento:se demostrara la forma en que se sustituiran los datos.

16.  VALOR DE LOS DATOS..APLICACION DE LA FORMULA
 µ=500 h t=505.36-500 t = 2.22
 n=25 12.0725
 Nc=90% v = 25 -1 = 24
 X=505.36 α = 1- 90%= 10%
 S=12.07
DISTRIBUCIÓN T- STUDENT
1. Sea T ~ Weibull(0.5,3)
a) Determinar
b) Determinar
c) Determinar P(T
P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-
2. En el articulo “ParameterEstimationwithOnlyOne Complete
FailureObservation”se modela la duracion en horas, de cierto tipo de
cojinete con la distribucion de Weibull con parámetros
a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000 horas
b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000 horas
P(T<2000)= P(T

17. c) La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en
T=2000 horas?
h(t) =
3. La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema
computacional tiene una distribución de Weibull con
a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas de 10 000
horas?
P(T>10 000 ) =1 –(1- =0.3679
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000
horas?
P(t<5000) =P(T
4. Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema
fallara cuando alguno de los componentes falle. Sea T el momento en el que el
sistema falla. Sean X1 y X2 las duraciones de los dos componentes. Suponga que
X1 y X2 son independientes y que cada uno sigue una distribución Weibull con
2
a) Determine P(
P(
b) Determine P(T 5)
P(T =0.8647
c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son sus
parametros?
Si, T~ Weibull (2,
5- Sea T ~ t(4,0.5)
a) Determinar

18. b) Determinar
c)Determinar P(T
P(T
= 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e (0.5)(1)
=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636
=0.000175
d)Determinar P(T
P(T
= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e (0.5)(3)
=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551
=0.9344