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Conception de structures 
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Introduction 2 
La figure ci-contre illustre schématiquement une 
passerelle piétonne construite en montagne pour 
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Calcul des charges externes 3 
La passerelle est soutenue par deux 
rangée parallèles de câbles. Nous 
allons analysé l’un...
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Calcul de la charge uniformément répartie sur le tablier de la passerelle 
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On trace le diagramme de forme à l’échelle en indiquant les charges 
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Réactions d’appui 6 
Normalement la première étape de l’analyse consisterait à calculer les 
réactions d’appui. 
On peut, ...
Polygone de forces 7 
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Espace tridimensionnel 23 
En utilisant la méthode graphique, nous avons calculé 
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Dimensionnement des poteaux 24 
Charge maximale pondérée : Pf = 230 kN 
Longueur équivalente de flambement : Le = k L = 1 ...
Dimensionnement des câbles 25 
Câble entre le sommet des poteaux et la falaise : 
Pf = 2 x 150 kN = 300 kN (câble reliant ...
Dimensionnement des poutres 26 
Les poutres qui supportent le tablier sont 
sollicitées en compression et en flexion. 
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Structure initiale Structure optimisée 
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14- passerelle haubannée

  1. 1. Analyse d’une structure en éventail une passerelle piétonne haubannée Conception de structures Automne 2012 R. Pleau École d’architecture, Université Laval
  2. 2. Introduction 2 La figure ci-contre illustre schématiquement une passerelle piétonne construite en montagne pour franchir un obstacle. Elle fait 3 m de largeur, 14 m de longueur et est supportée par des câbles en acier. Le pontage, qui est constitué de planches de bois de 89 mm d’épaisseur, repose sur deux poutres en bois accrochées à des câbles d’acier eux-même supportés par deux poteaux en bois. À l’aide de la méthode graphique, nous allons analyser cette structure et voir si on peut modifier sa géométrie pour la rendre plus efficace.
  3. 3. Calcul des charges externes 3 La passerelle est soutenue par deux rangée parallèles de câbles. Nous allons analysé l’une de ces rangées. Nous considérons que la passerelle supporte une charge uniformément répartie sur toute la surface de son tablier. Mais, puisque la méthode graphique nous oblige à faire l’hypothèse que les charges sont concentrées aux noeuds, nous supposerons que la structure supporte trois charges externes P qui sont appliquées aux points d’intersection entre les câbles et les poutres. échelle : 1 carreau = 1 m P P P
  4. 4. Calcul des charges externes 4 Calcul de la charge uniformément répartie sur le tablier de la passerelle Sachant que le masse volumique du bois est égale à 5,5 kN/m3 et que le pontage fait 89 mm d’épaisseur, il est facile ce calculer la charge morte (wD) sur le tablier de la passerelle (on estime que le poids de poutres et du garde-corps sont négligeables) wD = 5,5 kN/m3 x 0,089 m = 0,5 kN/m2 Sachant également que le C.N.B. impose une charge vive de 4,8 kN/m2 pour les passerelles, la charge totale majorée wF est donc égale à : wF = 1,25 wD + 1,5 wL = (1,25 x 0,5) + (1,5 x 4,8) = 7,8 kN/m2 Calcul des charges concentrées P La charge totale majorée appliquée à chacun des noeuds de la structure est obtenue en multipliant la valeur de wF par l’aire tributaire : PF = 7,8 kN/m2 x 1,5 m x 4 m = 47 kN
  5. 5. Diagramme de forme 5 On trace le diagramme de forme à l’échelle en indiquant les charges externes appliquées ainsi que les trois réactions d’appui. On y ajoute la numérotation par intervalles (A à F et 1 à 3) A 1 2 3 47 kN 47 kN 47 kN B E D C F T H V
  6. 6. Réactions d’appui 6 Normalement la première étape de l’analyse consisterait à calculer les réactions d’appui. On peut, bien sûr, calculer ces réactions d’appui en appliquant les trois conditions d’équilibre statique (Σ Fv = 0 ; Σ Fh = 0 ; Σ M = 0) mais ce calcul est fastidieux parce que les membrures de la structure sont inclinées selon divers angles. Puisque les réactions d’appui sont trois forces non parallèles, on peut les trouver directement, et plus facilement, en traçant le polygone de forces.
  7. 7. Polygone de forces 7 A 1 2 3 diagramme de forme polygone de forces Tout d’abord, rapportons les trois charges externes de 47 kN sur notre polygone de forces. Cela nous permet d’y placer les point d, e, f et a. d e 47 kN f a 47 kN 47 kN 47 kN B E D C F
  8. 8. Polygone de forces 8 A 1 2 3 E D C F 47 kN 47 kN 47 kN diagramme de forme d e f a 1 polygone de forces 2 3 B Plaçons ensuite les points 1, 2 et 3 en traçant les forces dans chacun des câbles et chacune des membrures du tablier.
  9. 9. Polygone de forces 9 A 1 2 3 diagramme de forme d e f a 1 polygone de forces 2 3 Traçons maintenant une ligne parallèle à B3 Puis une ligne parallèle à AB Les deux lignes se croisent au point B b 47 kN 47 kN 47 kN B E D C F
  10. 10. Polygone de forces 10 A 1 2 3 diagramme de forme Complétons le polygone de force en traçant une ligne horizontale parallèle à BC Puis une ligne parallèle à CD Les deux lignes se croisent au point C d e f a 1 polygone de forces 2 3 c b 47 kN 47 kN 47 kN B E D C F
  11. 11. Polygone de forces 11 A 1 2 3 47 kN 47 kN 47 kN B E D C F diagramme de forme On peut maintenant trouver facilement les trois réactions d’appui à partir du polygone de forces d e f a 1 320 kN polygone de forces 2 3 c b 320 kN 170 kN 170 kN 415 kN 415 kN Si on y ajoute la résultante des forces externes (une force verticale de 141 kN (3 x 47 kN) orientée vers le bas), on constate que polygone des forces est fermé ce qui confirme l’équilibre statique de la structure. 141 kN
  12. 12. Polygone de forces 12 d e 141 kN A B 1 2 3 E D C F 80 kN Pour tracer le polygone de forces nous avons choisi de décom-poser la réaction d’appui à la base du poteau selon deux axes a 1 430 kN f 2 3 320 kN orthogonaux, l’un horizontal (BC) et l’autre vertical (CD). Il pourrait être plus pratique de décomposer cette réaction d’appui selon deux axes non-orthogonaux parallèles au poteau (B3) et au tablier (D3). 80 kN c b diagramme de forme 320 kN 47 kN 47 kN 47 kN 430 kN
  13. 13. Optimisation de la structure 13 A 1 2 3 E D C F diagramme de forme 320 kN B 80 kN 47 kN 47 kN 47 kN 430 kN d e f a 1 2 3 c b En regardant la polygone de force, on constate aisément que les plus grands efforts se retrouvent dans le poteau et le câble AB b On constate également que l’on peut réduire considérablement ces efforts en modifiant l’angle du câble AB
  14. 14. Optimisation de la structure 14 A B 1 2 3 E D C F diagramme de forme 1 2 145 kN 80 kN 225 kN d e 141 kN f a Après avoir modifié l’angle du câble, on obtient donc une structure beaucoup plus efficace que notre structure initiale. 3 b c 47 kN 47 kN 47 kN 145 kN 80 kN 225 kN
  15. 15. Optimisation de la structure 15 A B 1 2 3 E D C F 47 kN 47 kN 47 kN diagramme de forme 80 kN 230 kN d e f a Peut-on encore améliorer la performance de la structure ? 3 1 2 3 b c 150 kN En examinant le polygone de forces, on constate que l’on peut réduire les efforts dans le tablier (membrures F-1, E-2 et D-3) et dans les câbles qui le soutiennent (A-1, 1-2 et 2-3) en modifiant l’angle du poteau.
  16. 16. Optimisation de la structure 16 résultante des forces externes 1 2 3 diagramme de forme A B E D C F 47 kN 47 kN 47 kN 0 En plaçant le sommet du poteau dans l’axe vertical passant par la résultante des forces externes, on élimine la réaction d’appui BC puisque la résultante des forces externes et les réactions aux deux appuis forment un ensemble de trois forces non parallèles qui convergent obligatoirement vers un même point (en l’occurrence, le sommet du poteau)
  17. 17. Optimisation de la structure 17 1 2 3 diagramme de forme 150 kN 230 kN d e f a 2 1 3 b,c A B E D C F 47 kN 47 kN 47 kN 0 kN polygone de forces On obtient finalement notre structure optimisée. On remarque que les efforts internes dans le poteau et dans le câble AB demeurent les mêmes mais que les efforts dans toutes les autres membrures sont diminués substantiellement.
  18. 18. 18 d e f a 1 2 3 b c d e f a 2 1 3 b,c polygone de forces avant optimisation polygone de forces après optimisation
  19. 19. 19 structure initiale structure optimisée
  20. 20. 20 d e f a 1 2 3 c b d e f a 2 1 3 b,c polygone de forces initial polygone de forces optimisé force externe force externe
  21. 21. Stabilité latérale 21 Si la base des poteaux est rotulée, la structure est instable puisque rien n’empêche le déplacement latéral des poteaux à leur sommet. déplacement latéral On pourrait encastrer les poteaux à leur base mais, d’une part cette opération est difficile et, d’autre part, la longueur effective de flambement est alors doublée (k = 2) ce qui réduit considé-rablement la résistance à la compression du poteau. La solution la plus efficace pour assurer la stabilité de la structure consiste simplement à incliner les deux poteaux de façon à créer un triangle très stable.
  22. 22. Géométrie optimisée 22 On obtient finalement la géométrie optimisée de la passerelle. Toujours dans un souci de simplification, nous avons décidé de n’utiliser qu’un seul câble pour lier le sommet du poteau à la falaise (on limite ainsi le nombre d’ancrages à construire sur un site peu accessible).
  23. 23. Espace tridimensionnel 23 En utilisant la méthode graphique, nous avons calculé les efforts internes dans chacune des membrures en considérant que toutes ces membrures étaient situées dans un même plan vertical. Cela n’est plus vrai puisque nous avons choisi d’incliner les poteaux selon un axe perpendiculaire au plan vertical initial. 230 kN 27 kN 232 kN Pour calculer les forces réelles dans chacune des membrures, il faudrait donc décomposer les forces dans un espace tridimensionnel. La figure ci-contre montre la décomposition des forces dans le poteau. On constate aisément que lorsque l’angle entre la membrure inclinée et le plan vertical est faible, l’influence de l’inclinaison sur l’effort interne dans la membrure est négligeable. Par exemple un angle de 10° modifie de moins de 4% l’effort dans une membrure.
  24. 24. Dimensionnement des poteaux 24 Charge maximale pondérée : Pf = 230 kN Longueur équivalente de flambement : Le = k L = 1 x 12,2 m = 12 200 mm Choix : 315 x 304 mm Pr = 260 kN > 230 kN
  25. 25. Dimensionnement des câbles 25 Câble entre le sommet des poteaux et la falaise : Pf = 2 x 150 kN = 300 kN (câble reliant le sommet du poteau à la falaise) propriétés de l’ac i e r : ! a d m = 3 5 0 M P a e t ! = 0, 9 −−−−−−− ! 4Pf !"#adm −−−−−−−−−−−−−−−− 4 × 300000N ! d ! = ≃ 15mm % × 0, 9 × 350 N mm2
  26. 26. Dimensionnement des poutres 26 Les poutres qui supportent le tablier sont sollicitées en compression et en flexion. L’effort de compression maximal est obtenu directement à partir du polygone de forces (force f-2 ou e-1, page 17): = Pf 19kN L’effort de flexion est égal à : wf × L2 (7, 8 kN × ) × m2 3m 2 (4m)2 8 Mf = = = 23, 4kN − m 8 Choix : 130 x 228 mm Pf + Mf = + = 0, 11 + 0, 90 = 1, 01 ! 1 Pr Mr 19kN 166kN 23, 4kN − m 26kN − m
  27. 27. 27 Structure initiale Structure optimisée La qualité esthétique des structures est une notion subjective. On sait cependant que les formes que l’on retrouve dans la nature ont généralement été optimisées au cours du long processus de l’évolution et que ces formes dites «naturelles» influencent grandement notre perception esthétique des choses. Il en résulte que, indépendamment des aspects purement techniques et fonctionnels, les structures optimisées produisent des géométries qui sont généralement perçues comme étant plus harmonieuses par la majorité des personnes.

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