Analyse d’une 
structure 
en triangle 
méthode 
point par point 
Conception de structures 
Automne 2012 
R. Pleau 
École d...
Problème 2 
La figure suivante montre la vue en élévation d’une structure en 
treillis qui est appuyée sur un mur et qui s...
Hypothèse 3 
On fait l’hypothèse que chacun des noeuds de la structure est 
rotulé (i.e. les membrures peuvent pivoter lib...
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Étape 1 
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La première étape consiste à dessiner 
la structure à l’échelle et à identifier 
chacun des noeuds (à l’aide d...
Étape 1 
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La première étape consiste à dessiner 
la structure à l’échelle et à identifier 
chacun des noeuds (à l’aide d...
Étape 1 
La première étape consiste à dessiner 
la structure à l’échelle et à identifier 
chacun des noeuds (à l’aide de c...
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Étape 2 
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La deuxième étape consiste à identifier 
un noeud qui est sollicité par au moins 
une charge connue et qui uni...
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Étape 2 
La deuxième étape consiste à identifier 
un noeud qui est sollicité par au moins 
une charge connue et qui uni...
Étape 2 
N.B.: Pour la plupart des structures, il est nécessaire de calculer 
les réactions d’appui pour trouver un noeud ...
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Étape 3 
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On trace le diagramme de corps libre 
pour le noeud identifié (le noeud 5 en ce 
qui nous concerne). 
Diagramme de 
corps ...
On trace le diagramme de corps libre 
pour le noeud identifié (le noeud 5 en ce 
qui nous concerne). 
Le diagramme de corp...
On trace le diagramme de corps libre 
pour le noeud identifié (le noeud 5 en ce 
qui nous concerne). 
Le diagramme de corp...
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Diagramme de 
corps libre (DCL) 
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À partir du DCL, on trace un polygone 
de forces qui est la représentation 
graphique de l’addition vectorielle des 
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À partir du DCL, on trace un polygone 
de forces qui est la représentation 
graphique de l’addition vectorielle des 
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À partir du DCL, on trace un polygone 
de forces qui est la représentation 
graphique de l’addition vectorielle des 
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Diagramme de 
corps libre (DCL) 
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On place d’abord la force externe 
connue de 50 kN en la dessinant à 
l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN) 
Diagramme d...
On place d’abord la force externe 
connue de 50 kN en la dessinant à 
l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN) 
Polygone de fo...
On place d’abord la force externe 
connue de 50 kN en la dessinant à 
l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN) 
Polygone de fo...
On place d’abord la force externe 
connue de 50 kN en la dessinant à 
l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN) 
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On place d’abord la force externe 
connue de 50 kN en la dessinant à 
l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN) 
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Étape 4b 
Polygone de forces 
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On y ajoute la force F dont on connaît 
la direction mais pas encore l’intensité 
Polygone de forces 
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On y ajoute la force F dont on connaît 
la direction mais pas encore l’intensité 
Polygone de forces 
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On y ajoute la force E dont on connaît 
aussi la direction mais toujours pas 
l’intensité. Pour assurer l’équilibre 
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On y ajoute la force E dont on connaît 
aussi la direction mais toujours pas 
l’intensité. Pour assurer l’équilibre 
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Le point d’interception entre les 
vecteurs E et F nous permet de 
tracer le polygone de forces qui 
assure l’équilibre st...
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Diagramme de 
corps libre (DCL) 
Étape 4e 
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En mesurant la longueur des vecteurs 
E et F, on obtient l’intensité de ces 
forces. 
Diagramme de 
corps libre (DCL) ...
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En mesurant la longueur des vecteurs 
E et F, on obtient l’intensité de ces 
forces. 
Polygone de forces 
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Étape 4f 
On connaît maintenant l’intensité des efforts 
internes dans les membrures E et F. Il nous 
reste à détermin...
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On connaît maintenant l’intensité des efforts 
internes dans les membrures E et F. Il nous 
reste à détermin...
Note importante 14 
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Note importante 14 
Dans l’exemple précédent, après avoir 
placé la force externe de 50 kN, nous y 
avons ajouté, dans l’o...
Note importante 14 
Dans l’exemple précédent, après avoir 
placé la force externe de 50 kN, nous y 
avons ajouté, dans l’o...
Note importante 14 
Dans l’exemple précédent, après avoir 
placé la force externe de 50 kN, nous y 
avons ajouté, dans l’o...
Autre note importante 15 
Dans l’exemple précédent, lorsque nous avons tracé le diagramme de 
corps libre du noeud 5, les ...
Autre note importante (suite) 16 
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1º) On place d’abord la force externe de 50 kN 
Diagramme de 
corps libre (DCL) 
Polygon...
Autre note importante (suite) 16 
1º) On place d’abord la force externe de 50 kN 
Diagramme de 
corps libre (DCL) 
Polygon...
Autre note importante (suite) 16 
1º) On place d’abord la force externe de 50 kN 
2º) On ajoute la force F dont on connaît...
Autre note importante (suite) 16 
1º) On place d’abord la force externe de 50 kN 
2º) On ajoute la force F dont on connaît...
Autre note importante (suite) 16 
1º) On place d’abord la force externe de 50 kN 
2º) On ajoute la force F dont on connaît...
Autre note importante (suite) 16 
1º) On place d’abord la force externe de 50 kN 
2º) On ajoute la force F dont on connaît...
Autre note importante (suite) 16 
1º) On place d’abord la force externe de 50 kN 
2º) On ajoute la force F dont on connaît...
Autre note importante (suite) 17 
F 
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Autre note importante (suite) 17 
4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de 
la force externe de 50 kN ...
Autre note importante (suite) 17 
4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de 
la force externe de 50 kN ...
Autre note importante (suite) 17 
4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de 
la force externe de 50 kN ...
Autre note importante (suite) 17 
4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de 
la force externe de 50 kN ...
Autre note importante (suite) 18 
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Autre note importante (suite) 18 
6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on 
modifie l’orientation...
Autre note importante (suite) 18 
6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on 
modifie l’orientation...
Autre note importante (suite) 18 
6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on 
modifie l’orientation...
Autre note importante (suite) 18 
6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on 
modifie l’orientation...
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Étape 5 
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La cinquième étape consiste à identifier 
un noeud adjacent au noeud 5 qui unit 
pas plus de deux membrures d...
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La cinquième étape consiste à identifier 
un noeud adjacent au noeud 5 qui unit 
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un noeud adjacent au noeud 5 qui unit 
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On trace le diagramme de corps 
libre pour le noeud identifié (le noeud 
4 en ce qui nous concerne). 
N.B. : ...
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libre pour le noeud identifié (le noeud 
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On trace le polygone de forces à 
partir du DCL. 
Polygone des forces 
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C 
ven...
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On trace le polygone de forces à 
partir du DCL. 
1º) On place la force connue de 
100 kN 
Polygone des forces 
Diagra...
On trace le polygone de forces à 
partir du DCL. 
2°) On y ajoute la force C dont on 
connaît la direction mais non 
l’int...
On trace le polygone de forces à 
partir du DCL. 
2°) On y ajoute la force C dont on 
connaît la direction mais non 
l’int...
On trace le polygone de forces à 
partir du DCL. 
2°) On y ajoute la force C dont on 
connaît la direction mais non 
l’int...
Diagramme de corps libre (DCL) 
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Étape 7 
4º) En examinant le DCL, on en 
déduit la nature des efforts 
internes (tensi...
Note importante 23 
L’analyse du polygone de forces du noeud 4 nous fournit l’occasion 
d’énoncer une règle générale: 
Si ...
Exemple 24 
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Exemple 24 
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Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez 
les membrures qui ne subissent aucun e...
Exemple 24 
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez 
les membrures qui ne subissent aucun e...
Exemple 24 
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez 
les membrures qui ne subissent aucun e...
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Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez 
les membrures qui ne subissent aucun e...
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Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez 
les membrures qui ne subissent aucun e...
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Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez 
les membrures qui ne subissent aucun e...
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les membrures qui ne subissent aucun e...
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Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez 
les membrures qui ne subissent aucun e...
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les membrures qui ne subissent aucun e...
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Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez 
les membrures qui ne subissent aucun e...
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Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez 
les membrures qui ne subissent aucun e...
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noeud qui respecte les deux critères 
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noeud qui respecte les deux critères 
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du DCL et on mesure l’intensité des 
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du noeud 2 ainsi que ...
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La réaction d’appui du mur (R2) 
correspond à la force qui est 
nécessaire pour fermer le polygone 
de force...
La réaction d’appui du mur (R2) 
correspond à la force qui est 
nécessaire pour fermer le polygone 
de force au noeud 2. 
...
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On trace le diagramme de corps libre 
du noeud 1 ainsi que le polygone de 
forces qui y est associé. Sur le ...
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forces qui y est associé. Sur le DCL, la 
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On trace le diagramme de corps libre 
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On peut s’assurer que notre structure est bien en équilibre statique en traçant le 
diagramme de corps...
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On peut s’assurer que notre structure est bien en équilibre statique en traçant le 
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On peut s’assurer que notre structure est bien en équilibre statique en traçant le 
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On trace le diagramme d’efforts 
internes de la structure qui indique 
simplement les efforts internes en 
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On trace le diagramme d’efforts 
internes de la structure qui indique 
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Calcul de l'équilibre statique à chacun des noeuds d'une structure

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3 méthode point par point

  1. 1. Analyse d’une structure en triangle méthode point par point Conception de structures Automne 2012 R. Pleau École d’architecture, Université Laval vendredi 7 septembre 12
  2. 2. Problème 2 La figure suivante montre la vue en élévation d’une structure en treillis qui est appuyée sur un mur et qui supporte une charge verticale de 50 kN suspendue à son extrémité ainsi qu’une charge de 100 kN inclinée de 45º p/r à l’horizontale. On veut calculer les efforts axiaux dans chacune des membrures. vendredi 7 septembre 12
  3. 3. Hypothèse 3 On fait l’hypothèse que chacun des noeuds de la structure est rotulé (i.e. les membrures peuvent pivoter librement autour de ces noeuds) et que, par conséquent, chaque membrure ne peut transmettre que des efforts normaux (i.e. parallèles à l’axe de la membrure) de tension ou de compression. vendredi 7 septembre 12
  4. 4. 4 vendredi 7 septembre 12
  5. 5. Étape 1 4 vendredi 7 septembre 12
  6. 6. Étape 1 4 La première étape consiste à dessiner la structure à l’échelle et à identifier chacun des noeuds (à l’aide de chiffres) et des membrures (à l’aide de lettres). On représente aussi les charges qui sont appliquées à la structure. vendredi 7 septembre 12
  7. 7. Étape 1 4 La première étape consiste à dessiner la structure à l’échelle et à identifier chacun des noeuds (à l’aide de chiffres) et des membrures (à l’aide de lettres). On représente aussi les charges qui sont appliquées à la structure. Pour cet exemple, nous avons numéroté les noeuds de 1 à 5 et les membrures de A à F. vendredi 7 septembre 12
  8. 8. Étape 1 La première étape consiste à dessiner la structure à l’échelle et à identifier chacun des noeuds (à l’aide de chiffres) et des membrures (à l’aide de lettres). On représente aussi les charges qui sont appliquées à la structure. N.B.: L’ordre de numérotation n’a aucune importance 4 Pour cet exemple, nous avons numéroté les noeuds de 1 à 5 et les membrures de A à F. vendredi 7 septembre 12
  9. 9. 5 vendredi 7 septembre 12
  10. 10. 5 Étape 2 vendredi 7 septembre 12
  11. 11. 5 Étape 2 La deuxième étape consiste à identifier un noeud qui est sollicité par au moins une charge connue et qui unit pas plus de deux membrures pour lesquelles les efforts internes sont inconnus. vendredi 7 septembre 12
  12. 12. 5 Étape 2 La deuxième étape consiste à identifier un noeud qui est sollicité par au moins une charge connue et qui unit pas plus de deux membrures pour lesquelles les efforts internes sont inconnus. Pour cet exemple, le noeud 5 est le seul qui répond à ces deux critères. vendredi 7 septembre 12
  13. 13. Étape 2 N.B.: Pour la plupart des structures, il est nécessaire de calculer les réactions d’appui pour trouver un noeud qui satisfait ces deux critères: • au moins une charge connue • pas plus de deux membrures dont les efforts internes sont inconnus 5 La deuxième étape consiste à identifier un noeud qui est sollicité par au moins une charge connue et qui unit pas plus de deux membrures pour lesquelles les efforts internes sont inconnus. Pour cet exemple, le noeud 5 est le seul qui répond à ces deux critères. vendredi 7 septembre 12
  14. 14. 6 vendredi 7 septembre 12
  15. 15. 6 Étape 3 vendredi 7 septembre 12
  16. 16. On trace le diagramme de corps libre pour le noeud identifié (le noeud 5 en ce qui nous concerne). Diagramme de corps libre (DCL) 6 Étape 3 vendredi 7 septembre 12
  17. 17. On trace le diagramme de corps libre pour le noeud identifié (le noeud 5 en ce qui nous concerne). Le diagramme de corps libre indique toutes les forces qui sollicitent ce noeud. Diagramme de corps libre (DCL) 6 Étape 3 vendredi 7 septembre 12
  18. 18. On trace le diagramme de corps libre pour le noeud identifié (le noeud 5 en ce qui nous concerne). Le diagramme de corps libre indique toutes les forces qui sollicitent ce noeud. Sur le diagramme de corps libre reproduit ci-contre, le vecteur E représente la force axiale dans la membrure E et le vecteur F représente la force axiale dans la membrure F. Diagramme de corps libre (DCL) 6 Étape 3 vendredi 7 septembre 12
  19. 19. 7 vendredi 7 septembre 12
  20. 20. 7 Diagramme de corps libre (DCL) Étape 4 vendredi 7 septembre 12
  21. 21. 7 À partir du DCL, on trace un polygone de forces qui est la représentation graphique de l’addition vectorielle des trois forces. Diagramme de corps libre (DCL) Étape 4 vendredi 7 septembre 12
  22. 22. 7 À partir du DCL, on trace un polygone de forces qui est la représentation graphique de l’addition vectorielle des trois forces. Diagramme de corps libre (DCL) Étape 4 Ce polygone de forces consiste simplement à placer les trois vecteurs de forces bout-à-bout. vendredi 7 septembre 12
  23. 23. 7 À partir du DCL, on trace un polygone de forces qui est la représentation graphique de l’addition vectorielle des trois forces. L’équilibre statique du noeud exige que la force résultante soit nulle. Cela signifie que, lorsqu’elles sont mises bout-à-bout, le point d’arrivée des forces doit coïncider avec leur point de départ. Diagramme de corps libre (DCL) Étape 4 Ce polygone de forces consiste simplement à placer les trois vecteurs de forces bout-à-bout. vendredi 7 septembre 12
  24. 24. 8 vendredi 7 septembre 12
  25. 25. 8 Diagramme de corps libre (DCL) Étape 4a vendredi 7 septembre 12
  26. 26. 8 On place d’abord la force externe connue de 50 kN en la dessinant à l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN) Diagramme de corps libre (DCL) Étape 4a vendredi 7 septembre 12
  27. 27. On place d’abord la force externe connue de 50 kN en la dessinant à l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN) Polygone de forces 8 Diagramme de corps libre (DCL) Étape 4a vendredi 7 septembre 12
  28. 28. On place d’abord la force externe connue de 50 kN en la dessinant à l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN) Polygone de forces 8 Diagramme de corps libre (DCL) Étape 4a vendredi 7 septembre 12
  29. 29. On place d’abord la force externe connue de 50 kN en la dessinant à l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN) Polygone de forces 8 Diagramme de corps libre (DCL) Étape 4a 2,5 cm vendredi 7 septembre 12
  30. 30. On place d’abord la force externe connue de 50 kN en la dessinant à l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN) Polygone de forces 8 Diagramme de corps libre (DCL) Étape 4a vendredi 7 septembre 12
  31. 31. 9 vendredi 7 septembre 12
  32. 32. 9 Étape 4b Polygone de forces Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  33. 33. 9 Étape 4b On y ajoute la force F dont on connaît la direction mais pas encore l’intensité Polygone de forces Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  34. 34. 9 Étape 4b On y ajoute la force F dont on connaît la direction mais pas encore l’intensité Polygone de forces Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  35. 35. 10 vendredi 7 septembre 12
  36. 36. 10 On y ajoute la force E dont on connaît aussi la direction mais toujours pas l’intensité. Pour assurer l’équilibre statique, on trace la force E de manière à ce que son point d’arrivée corres-ponde au point de départ du polygone de force. Étape 4c Polygone de forces Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  37. 37. 10 On y ajoute la force E dont on connaît aussi la direction mais toujours pas l’intensité. Pour assurer l’équilibre statique, on trace la force E de manière à ce que son point d’arrivée corres-ponde au point de départ du polygone de force. Étape 4c Polygone de forces Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  38. 38. Le point d’interception entre les vecteurs E et F nous permet de tracer le polygone de forces qui assure l’équilibre statique. 11 Polygone de forces Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  39. 39. 12 vendredi 7 septembre 12
  40. 40. 12 Diagramme de corps libre (DCL) Étape 4e vendredi 7 septembre 12
  41. 41. 12 En mesurant la longueur des vecteurs E et F, on obtient l’intensité de ces forces. Diagramme de corps libre (DCL) Étape 4e vendredi 7 septembre 12
  42. 42. 12 En mesurant la longueur des vecteurs E et F, on obtient l’intensité de ces forces. Polygone de forces Diagramme de corps libre (DCL) Étape 4e vendredi 7 septembre 12
  43. 43. 13 vendredi 7 septembre 12
  44. 44. 13 Étape 4f On connaît maintenant l’intensité des efforts internes dans les membrures E et F. Il nous reste à déterminer s’il s’agit d’efforts de tension ou de compression. Pour y parvenir, on se réfère au DCL. Si le vecteur force pointe vers le noeud, c’est un effort de compression. S’il pointe dans la direction opposée, c’est un effort de tension. En ce qui nous concerne, on en conclut que la membrure E est tendue et que la membrure F en est comprimée. Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  45. 45. 13 Étape 4f On connaît maintenant l’intensité des efforts internes dans les membrures E et F. Il nous reste à déterminer s’il s’agit d’efforts de tension ou de compression. Pour y parvenir, on se réfère au DCL. Si le vecteur force pointe vers le noeud, c’est un effort de compression. S’il pointe dans la direction opposée, c’est un effort de tension. En ce qui nous concerne, on en conclut que la membrure E est tendue et que la membrure F en est comprimée. Polygone de forces Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  46. 46. Note importante 14 vendredi 7 septembre 12
  47. 47. Note importante 14 Dans l’exemple précédent, après avoir placé la force externe de 50 kN, nous y avons ajouté, dans l’ordre, les forces F et E. Cet ordre est arbitraire et l’on obtien-drait le même résultat final quel que soit l’ordre selon lequel on additionne les forces comme on peux le constater aux figures ci-contre: Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  48. 48. Note importante 14 Dans l’exemple précédent, après avoir placé la force externe de 50 kN, nous y avons ajouté, dans l’ordre, les forces F et E. Cet ordre est arbitraire et l’on obtien-drait le même résultat final quel que soit l’ordre selon lequel on additionne les forces comme on peux le constater aux figures ci-contre: Diagramme de corps libre (DCL) Polygone de forces vendredi 7 septembre 12
  49. 49. Note importante 14 Dans l’exemple précédent, après avoir placé la force externe de 50 kN, nous y avons ajouté, dans l’ordre, les forces F et E. Cet ordre est arbitraire et l’on obtien-drait le même résultat final quel que soit l’ordre selon lequel on additionne les forces comme on peux le constater aux figures ci-contre: Diagramme de corps libre (DCL) Polygone de forces vendredi 7 septembre 12
  50. 50. Autre note importante 15 Dans l’exemple précédent, lorsque nous avons tracé le diagramme de corps libre du noeud 5, les vecteurs E et F étaient placés dans la bonne direction (i.e. tension dans la membrure E et compression dans la membrure F). Qu’arrive-t-il si les vecteurs sont mal orientés ? Essayons pour voir. Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  51. 51. Autre note importante (suite) 16 vendredi 7 septembre 12
  52. 52. Autre note importante (suite) 16 Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  53. 53. Autre note importante (suite) 16 Diagramme de corps libre (DCL) Polygone de forces vendredi 7 septembre 12
  54. 54. Autre note importante (suite) 16 1º) On place d’abord la force externe de 50 kN Diagramme de corps libre (DCL) Polygone de forces vendredi 7 septembre 12
  55. 55. Autre note importante (suite) 16 1º) On place d’abord la force externe de 50 kN Diagramme de corps libre (DCL) Polygone de forces vendredi 7 septembre 12
  56. 56. Autre note importante (suite) 16 1º) On place d’abord la force externe de 50 kN 2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation mais pas l’intensité Diagramme de corps libre (DCL) Polygone de forces vendredi 7 septembre 12
  57. 57. Autre note importante (suite) 16 1º) On place d’abord la force externe de 50 kN 2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation mais pas l’intensité Diagramme de corps libre (DCL) F Polygone de forces vendredi 7 septembre 12
  58. 58. Autre note importante (suite) 16 1º) On place d’abord la force externe de 50 kN 2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation mais pas l’intensité 3°) On ajoute la force E dont on connaît aussi l’orientation Diagramme de corps libre (DCL) Polygone de forces mais pas l’intensité. F vendredi 7 septembre 12
  59. 59. Autre note importante (suite) 16 1º) On place d’abord la force externe de 50 kN 2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation mais pas l’intensité 3°) On ajoute la force E dont on connaît aussi l’orientation Diagramme de corps libre (DCL) Polygone de forces mais pas l’intensité. F E vendredi 7 septembre 12
  60. 60. Autre note importante (suite) 16 1º) On place d’abord la force externe de 50 kN 2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation mais pas l’intensité 3°) On ajoute la force E dont on connaît aussi l’orientation Diagramme de corps libre (DCL) Polygone de forces mais pas l’intensité. on remarque qu’il est impossible de fermer le polygone de forces ! F E vendredi 7 septembre 12
  61. 61. Autre note importante (suite) 17 F vendredi 7 septembre 12
  62. 62. Autre note importante (suite) 17 4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de la force externe de 50 kN afin de fermer le polygone de forces puisque c’est obligatoire ! Polygone de forces Diagramme de corps libre (DCL) F vendredi 7 septembre 12
  63. 63. Autre note importante (suite) 17 4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de la force externe de 50 kN afin de fermer le polygone de forces puisque c’est obligatoire ! Polygone de forces Diagramme de corps libre (DCL) E F vendredi 7 septembre 12
  64. 64. Autre note importante (suite) 17 4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de la force externe de 50 kN afin de fermer le polygone de forces puisque c’est obligatoire ! 5º) On prolonge les axes des deux forces jusqu’à ce qu’ils Polygone de forces se croisent. Diagramme de corps libre (DCL) E F vendredi 7 septembre 12
  65. 65. Autre note importante (suite) 17 4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de la force externe de 50 kN afin de fermer le polygone de forces puisque c’est obligatoire ! 5º) On prolonge les axes des deux forces jusqu’à ce qu’ils Polygone de forces se croisent. Diagramme de corps libre (DCL) E F vendredi 7 septembre 12
  66. 66. Autre note importante (suite) 18 vendredi 7 septembre 12
  67. 67. Autre note importante (suite) 18 6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on modifie l’orientation initiale des forces E et F afin d’obtenir un polygone de forces fermé et on mesure la longueur des vecteurs E et F pour connaître l’intensité de ces forces. vendredi 7 septembre 12
  68. 68. Autre note importante (suite) 18 6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on modifie l’orientation initiale des forces E et F afin d’obtenir un polygone de forces fermé et on mesure la longueur des vecteurs E et F pour connaître l’intensité de ces forces. Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  69. 69. Autre note importante (suite) 18 6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on modifie l’orientation initiale des forces E et F afin d’obtenir un polygone de forces fermé et on mesure la longueur des vecteurs E et F pour connaître l’intensité de ces forces. Polygone de forces Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  70. 70. Autre note importante (suite) 18 6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on modifie l’orientation initiale des forces E et F afin d’obtenir un polygone de forces fermé et on mesure la longueur des vecteurs E et F pour connaître l’intensité de ces forces. 7º) À partir de polygone de forces, on corrige l’orientation des forces sur le diagramme de corps libre Polygone de forces Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  71. 71. Autre note importante (suite) 18 6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on modifie l’orientation initiale des forces E et F afin d’obtenir un polygone de forces fermé et on mesure la longueur des vecteurs E et F pour connaître l’intensité de ces forces. 7º) À partir de polygone de forces, on corrige l’orientation des forces sur le diagramme de corps libre Polygone de forces vendredi 7 septembre 12
  72. 72. 19 vendredi 7 septembre 12
  73. 73. 19 Étape 5 vendredi 7 septembre 12
  74. 74. 19 Étape 5 La cinquième étape consiste à identifier un noeud adjacent au noeud 5 qui unit pas plus de deux membrures dont les efforts internes sont inconnus. vendredi 7 septembre 12
  75. 75. 19 Étape 5 La cinquième étape consiste à identifier un noeud adjacent au noeud 5 qui unit pas plus de deux membrures dont les efforts internes sont inconnus. Le noeud 3 ne respecte pas ce critère car il unit trois membrures (A, B et D) dont les efforts internes sont inconnus (par contre, on connaît maintenant l’effort interne dans la membrure E qui correspond à une force de tension de 112 kN) vendredi 7 septembre 12
  76. 76. 19 Étape 5 La cinquième étape consiste à identifier un noeud adjacent au noeud 5 qui unit pas plus de deux membrures dont les efforts internes sont inconnus. Le noeud 3 ne respecte pas ce critère car il unit trois membrures (A, B et D) dont les efforts internes sont inconnus (par contre, on connaît maintenant l’effort interne dans la membrure E qui correspond à une force de tension de 112 kN) Le noeud 4 est le seul noeud qui respecte ce critère car il unit seulement deux membrures (C et D) dont les efforts internes sont inconnus. vendredi 7 septembre 12
  77. 77. 20 vendredi 7 septembre 12
  78. 78. 20 Étape 6 vendredi 7 septembre 12
  79. 79. 20 Étape 6 On trace le diagramme de corps libre pour le noeud identifié (le noeud 4 en ce qui nous concerne). N.B. : On connaît maintenant l’effort interne dans la membrure F (compression de 100 kN) vendredi 7 septembre 12
  80. 80. 20 Étape 6 On trace le diagramme de corps libre pour le noeud identifié (le noeud 4 en ce qui nous concerne). N.B. : On connaît maintenant l’effort interne dans la membrure F (compression de 100 kN) C Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  81. 81. 21 vendredi 7 septembre 12
  82. 82. 21 On trace le polygone de forces à partir du DCL. Polygone des forces Diagramme de corps libre (DCL) Étape 7 C vendredi 7 septembre 12
  83. 83. 21 On trace le polygone de forces à partir du DCL. 1º) On place la force connue de 100 kN Polygone des forces Diagramme de corps libre (DCL) Étape 7 C vendredi 7 septembre 12
  84. 84. On trace le polygone de forces à partir du DCL. 2°) On y ajoute la force C dont on connaît la direction mais non l’intensité. 21 1º) On place la force connue de 100 kN Polygone des forces Diagramme de corps libre (DCL) Étape 7 C vendredi 7 septembre 12
  85. 85. On trace le polygone de forces à partir du DCL. 2°) On y ajoute la force C dont on connaît la direction mais non l’intensité. 21 1º) On place la force connue de 100 kN 3º) On y ajoute la force D et on se rend compte que, pour fermer le polygone de force, la force D doit être nulle. Polygone des forces Diagramme de corps libre (DCL) Étape 7 C vendredi 7 septembre 12
  86. 86. On trace le polygone de forces à partir du DCL. 2°) On y ajoute la force C dont on connaît la direction mais non l’intensité. 21 1º) On place la force connue de 100 kN 3º) On y ajoute la force D et on se rend compte que, pour fermer le polygone de force, la force D doit être nulle. C 100 kN Polygone des forces Diagramme de corps libre (DCL) Étape 7 C vendredi 7 septembre 12
  87. 87. Diagramme de corps libre (DCL) 22 Étape 7 4º) En examinant le DCL, on en déduit la nature des efforts internes (tension ou compression). 100 kN (compression) 100 kN (compression) Polygone des forces 100 kN 0 kN vendredi 7 septembre 12
  88. 88. Note importante 23 L’analyse du polygone de forces du noeud 4 nous fournit l’occasion d’énoncer une règle générale: Si un noeud unit trois membrures et que les deux critères suivants sont satisfaits: 1º) l’une des membrures est perpendiculaire aux deux autres 2º) aucune force externe n’est appliquée au noeud Alors l’effort interne est toujours nul dans la membrure perpendiculaire est les deux autres membrures sont soumises au même effort interne vendredi 7 septembre 12
  89. 89. Exemple 24 vendredi 7 septembre 12
  90. 90. Exemple 24 vendredi 7 septembre 12
  91. 91. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  92. 92. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  93. 93. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  94. 94. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  95. 95. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  96. 96. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  97. 97. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  98. 98. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  99. 99. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  100. 100. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  101. 101. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  102. 102. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  103. 103. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  104. 104. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  105. 105. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  106. 106. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  107. 107. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  108. 108. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  109. 109. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  110. 110. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  111. 111. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  112. 112. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  113. 113. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  114. 114. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  115. 115. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  116. 116. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  117. 117. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  118. 118. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  119. 119. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  120. 120. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  121. 121. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  122. 122. Exemple 24 Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne vendredi 7 septembre 12
  123. 123. 25 vendredi 7 septembre 12
  124. 124. 25 Étape 8 vendredi 7 septembre 12
  125. 125. 25 Étape 8 L’étape suivante consiste à choisir un noeud qui respecte les deux critères suivants: vendredi 7 septembre 12
  126. 126. 25 Étape 8 L’étape suivante consiste à choisir un noeud qui respecte les deux critères suivants: 1º) Ce noeud est adjacent à un noeud pour lequel on a déjà tracé le polygone de forces (i.e. les noeuds 4 et 5 en ce qui nous concerne). vendredi 7 septembre 12
  127. 127. 25 Étape 8 L’étape suivante consiste à choisir un noeud qui respecte les deux critères suivants: 1º) Ce noeud est adjacent à un noeud pour lequel on a déjà tracé le polygone de forces (i.e. les noeuds 4 et 5 en ce qui nous concerne). 2º) Ce noeud n’unit pas plus de deux membrures dont les efforts internes sont inconnus. vendredi 7 septembre 12
  128. 128. 25 Étape 8 L’étape suivante consiste à choisir un noeud qui respecte les deux critères suivants: 1º) Ce noeud est adjacent à un noeud pour lequel on a déjà tracé le polygone de forces (i.e. les noeuds 4 et 5 en ce qui nous concerne). 2º) Ce noeud n’unit pas plus de deux membrures dont les efforts internes sont inconnus. Les noeuds 2 et 3 respectent ces deux critères. Nous choisirons arbitrairement le noeud 3. vendredi 7 septembre 12
  129. 129. 26 vendredi 7 septembre 12
  130. 130. 26 Étape 9 vendredi 7 septembre 12
  131. 131. 26 Étape 9 On trace le diagramme de corps libre pour le noeud 3 en indiquant tous les efforts internes connus. vendredi 7 septembre 12
  132. 132. 26 Étape 9 On trace le diagramme de corps libre pour le noeud 3 en indiquant tous les efforts internes connus. A B 3 Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  133. 133. 26 Étape 9 On trace le diagramme de corps libre pour le noeud 3 en indiquant tous les efforts internes connus. A B 3 Diagramme de corps libre (DCL) N.B. : Sur le DCL, nous n’avons pas indiqué l’effort interne dans la membrure D car il est nul vendredi 7 septembre 12
  134. 134. 27 Étape 10 vendredi 7 septembre 12
  135. 135. 27 Étape 10 A B 3 Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  136. 136. 27 Étape 10 On trace le polygone de forces à partir du DCL et on mesure l’intensité des efforts internes dans les membrures A et B. A B 3 Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  137. 137. 27 Étape 10 On trace le polygone de forces à partir du DCL et on mesure l’intensité des efforts internes dans les membrures A et B. A B 3 Diagramme de corps libre (DCL) Polygone de forces vendredi 7 septembre 12
  138. 138. 28 vendredi 7 septembre 12
  139. 139. 28 Étape 11 vendredi 7 septembre 12
  140. 140. 28 Étape 11 On trace le diagramme de corps libre du noeud 2 ainsi que le polygone de forces qui y est associé. Sur le DCL, la force R2 représente la réaction d’appui du mur sur la structure. vendredi 7 septembre 12
  141. 141. 28 Étape 11 2 2 R2 100 kN Diagramme de corps libre (DCL) On trace le diagramme de corps libre du noeud 2 ainsi que le polygone de forces qui y est associé. Sur le DCL, la force R2 représente la réaction d’appui du mur sur la structure. vendredi 7 septembre 12
  142. 142. 28 Étape 11 La réaction d’appui du mur (R2) correspond à la force qui est nécessaire pour fermer le polygone de force au noeud 2. 2 2 R2 100 kN Diagramme de corps libre (DCL) On trace le diagramme de corps libre du noeud 2 ainsi que le polygone de forces qui y est associé. Sur le DCL, la force R2 représente la réaction d’appui du mur sur la structure. vendredi 7 septembre 12
  143. 143. La réaction d’appui du mur (R2) correspond à la force qui est nécessaire pour fermer le polygone de force au noeud 2. 100 kN 2 2 R2 100 kN Polygone de forces 28 Étape 11 Diagramme de corps libre (DCL) On trace le diagramme de corps libre du noeud 2 ainsi que le polygone de forces qui y est associé. Sur le DCL, la force R2 représente la réaction d’appui du mur sur la structure. vendredi 7 septembre 12
  144. 144. La réaction d’appui du mur (R2) correspond à la force qui est nécessaire pour fermer le polygone de force au noeud 2. 100 kN 2 2 R2 100 kN Polygone de forces 28 Étape 11 Diagramme de corps libre (DCL) On trace le diagramme de corps libre du noeud 2 ainsi que le polygone de forces qui y est associé. Sur le DCL, la force R2 représente la réaction d’appui du mur sur la structure. Graphiquement, on trouve que cette force est égale à 212 kN, qu’elle est inclinée à 15º p/r à l’horizontale et qu’elle est sollicite le mur en compression. vendredi 7 septembre 12
  145. 145. 29 vendredi 7 septembre 12
  146. 146. 29 Étape 12 vendredi 7 septembre 12
  147. 147. 29 Étape 12 On trace le diagramme de corps libre du noeud 1 ainsi que le polygone de forces qui y est associé. Sur le DCL, la force R1 représente la réaction d’appui du mur sur la structure. vendredi 7 septembre 12
  148. 148. 29 Étape 12 On trace le diagramme de corps libre du noeud 1 ainsi que le polygone de forces qui y est associé. Sur le DCL, la force R1 représente la réaction d’appui du mur sur la structure. 1 R1 1 Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  149. 149. On trace le diagramme de corps libre du noeud 1 ainsi que le polygone de forces qui y est associé. Sur le DCL, la force R1 représente la réaction d’appui du mur sur la structure. 1 R1 1 Polygone de forces 29 Étape 12 Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  150. 150. On trace le diagramme de corps libre du noeud 1 ainsi que le polygone de forces qui y est associé. Sur le DCL, la force R1 représente la réaction d’appui du mur sur la structure. 1 R1 1 Polygone de forces 29 Étape 12 On constate que, évidemment, la réaction d’appui du mur est égale à l’effort interne dans la membrure A puisqu’il n’existe aucune autre membrure reliée au point A. Diagramme de corps libre (DCL) vendredi 7 septembre 12
  151. 151. Note importante 30 vendredi 7 septembre 12
  152. 152. Note importante 30 On peut s’assurer que notre structure est bien en équilibre statique en traçant le diagramme de corps libre de la structure tout entière et en vérifiant que le polygone de forces est bien fermé. vendredi 7 septembre 12
  153. 153. Note importante 30 On peut s’assurer que notre structure est bien en équilibre statique en traçant le diagramme de corps libre de la structure tout entière et en vérifiant que le polygone de forces est bien fermé. 50 kN 45º Diagramme de corps libre de la structure vendredi 7 septembre 12
  154. 154. Note importante 30 On peut s’assurer que notre structure est bien en équilibre statique en traçant le diagramme de corps libre de la structure tout entière et en vérifiant que le polygone de forces est bien fermé. 50 kN 50 kN 45º Diagramme de corps libre de la structure Polygone de forces vendredi 7 septembre 12
  155. 155. Note importante 30 On peut s’assurer que notre structure est bien en équilibre statique en traçant le diagramme de corps libre de la structure tout entière et en vérifiant que le polygone de forces est bien fermé. 50 kN 50 kN 45º Diagramme de corps libre de la structure Polygone de forces On constate effectivement que les 4 forces qui sollicitent notre structure (2 forces externes et 2 réactions d’appui) sont en équilibre statique puisqu’elles forment un polygone de forces fermé vendredi 7 septembre 12
  156. 156. 31 vendredi 7 septembre 12
  157. 157. 31 Étape 13 vendredi 7 septembre 12
  158. 158. 31 Étape 13 On trace le diagramme d’efforts internes de la structure qui indique simplement les efforts internes en indiquant s’il s’agit de tension ou de compression. vendredi 7 septembre 12
  159. 159. On trace le diagramme d’efforts internes de la structure qui indique simplement les efforts internes en indiquant s’il s’agit de tension ou de compression. 0 100 100 Efforts de compression Efforts de tension Diagramme des efforts internes (kN) 31 Étape 13 vendredi 7 septembre 12
  160. 160. On trace le diagramme d’efforts internes de la structure qui indique simplement les efforts internes en indiquant s’il s’agit de tension ou de compression. 0 100 100 Efforts de compression Efforts de tension Diagramme des efforts internes (kN) 31 Étape 13 Par commodité, on présente en rouge les efforts de tension, en bleu les efforts de compression et en pointillé les membrures où l’effort est nul. vendredi 7 septembre 12

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