1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA Matemática V Prof. Dr. Amado Méndez Cruz

2. APLICACIÓN DE LAS APLICACIONES CONFORMES AL FLUJO DE FLUIDOS

4. El método de la aplicación es utilizado en la solución de problemas de la ciencia y la tecnología.

5. Es de fundamental importancia que uno pueda ser capaz de encontrar soluciones a los problemas, es mas, de encontrar una única solución.

7. III.DEFINICIONES BÁSICAS: Flujo bidimensional Flujo estacionario o uniforme Circulación del fluido Flujo incomprensible Flujo viscoso Flujo no viscoso Flujo rotacional Punto de estancamiento

8. 1.FLUJO BIDIMENSIONAL el movimiento del fluido se supone idéntico en todos los planos paralelos al plano x-y (plano Z).

9. 2.FLUJO ESTACIONARIO, PERMANENTE O UNIFORME Cuando la velocidad del fluido depende de la posición(x,y) y no del tiempo; es decir la velocidad en cada punto es la misma para cualquier instante de tiempo.

10. 3. CIRCULACION DEL FLUIDO La circulación del fluido a lo largo de una curva suave C se define como el valor de la integral, con respecto a la longitud de arco s, de la componente tangencial VT(x,y) del vector velocidad a lo largo de C: Donde VT es la componente de la velocidad que es tangente a C.

11. 4. FLUJO INCOMPRESIBLE: Cuando la densidad o masa por unidad de volumen del fluido es contante. Ejemplos de este tipo de fluidos son el agua y el aceite en tanto que el aire es comprensible. Más adelante la definiremos matemáticamente.

12. 5. FLUJO VISCOSO: Un movimiento de un fluido viscoso tiene a adherirse a la superficie de un obstáculo colocado en un camino.

13. 6. FLUJO NO VISCOSO: Cuando no hay viscosidad, las fuerzas de presión sobre la superficie son perpendiculares a la superficie. Un fluido que es no viscoso e incomprensible, se llama frecuentemente un fluido ideal. Se debe observar que tal fluido es solamente un modelo matemático de un fluido real, en el cual seguramente, tales efectos se supone, son insignificantes.

14. 7. FLUJO ROTACIONAL: la rotación del fluido W(x,y), representa la velocidad angular límite de un elemento circular del fluido, cuando su circunferencia se contrae hacia su centro (x,y), que es el punto donde w es evaluada

15. 8. PUNTO DE ESTANCAMIENTO Son todos los puntos de la curva C donde la velocidad del fluido es cero.

16. IV. NUESTRAS HIPÓTESIS El flujo de fluido es bidimensional, uniforme, irrotacional, incomprensible, no viscoso. Y que el dominio de la curva C es simplemente conexo.

17. Vector representante de la velocidad de una partícula en cualquier punto: V=p+iq La circulación del fluido:

18. También: Por el teorema de Green: Entonces:

19. Sea una circunferencia de radio “r” centrada en w0(x0,y0), entonces W(x0,y0)m= Esta es también la expresión del valor medio de la función: se conoce como rotación del fluido. =0 (por hipótesis), entonces

20. esta relación implica que: Entre dos puntos y es independiente del camino. La nueva función: Tomando derivadas parciales en ambos lados de esta ecuación resulta: De la ultima ecuación es fácil darse cuenta que el vector velocidad V es el gradiente de

21. Por hipótesis es constante, un caso particular del teorema de Bernoulli:

22. Tenemos que la velocidad de un infinitesimal de fluido en un punto (x,y) es: Utilizamos una de las suposiciones: Con lo que se tiene que: V. EL POTENCIAL COMPLEJO.

23. Y podemos decir que existe un función que es la conjugada armónica denotada por: de esta función y además también tenemos una función tal que cumple con lo siguiente: La cual se denomina: “ LA FUNCIÓN POTENCIAL COMPLEJO”

24. Al derivar la función tenemos que: De tal manera que la velocidad se puede escribir como Y su magnitud es: Los puntos donde: son puntos estacionarios.

25. Vi. LÍNEAS Y TRAYECTORIAS EQUIPOTENCIALES. Se le llama función corriente y representa las trayectorias que puede tomar un infinitesimal de fluido que va moviéndose a través de un campo potencial dado Ω(z) Se le llama función velocidad potencial y representa las curvas por las que el infinitesimal de fluido cruza y va adquiriendo una determinada velocidad para cada punto.

26. Hasta ahora solo se ha tratado a las funciones que modelan al flujo de un fluido como funciones analíticas sobre la región donde se analizaba el flujo. Pero si ahora consideramos hechos como la existencia de puntos en el plano Z en donde el fluido aparezca o desaparezca, ¿qué sucedería?. Para estudiar esto observamos que las ecuaciones anteriores si valen para regiones que excluyan estos puntos. VII. FUENTES Y SUMIDEROS.

27. FUENTES: Fuente en z=a Como su nombre lo indica estos son puntos donde el fluido aparece desde el punto z=a y se tiene que la función potencial complejo es:

28. SUMIDEROS: Sumidero en z=a Como su nombre también lo indica estos son puntos donde el fluido desaparece en el punto z=a y se tiene que la función potencial complejo es:

29. ALGUNOS FLUJOS ESPECIALES FLUJO UNIFORME: Consideramos un fluido con velocidad constante en una dirección que hace un ángulo con la dirección x positiva. Su función potencial compleja viene dada por:

30. FLUJO CON CIRCULACIÓN: Si se tiene el siguiente potencial complejo: en el que la magnitud de la velocidad del flujo en un punto es inversamente proporcional a la distancia de a: El punto Z=a se llama “Vórtice ” y K se llama fuerza. También es importante observar que si se cambia por el movimiento será en la dirección de las manecillas del reloj.

31. Ademas: Esto se logra al reemplazar y e integrar de 0 a 2π . Representación de un flujo con circulación:

32. SUPERPOSICIÓN DE FLUJOS: Para el estudio de fluidos mas complejos que se pueden considerar la combinación de dos flujos y se puede sumar las potenciales obteniendo la superposición de flujos como por ejemplo al considerar el flujo debido a una fuente en Z=-a y un sumidero de igual fuerza en Z=a se tiene que el potencial complejo se da por

33. IX. FLUJO ALREDEDOR DE OBSTACULOS: Un principio general que interviene en este problema, es diseñar un potencial complejo que tenga la forma: (esto si el flujo esta en el plano z) donde G(Z) es tal que

34. Ejemplo.

35. X. FLUJO EN TORNO A UNA ESQUINA Y A UN CILINDRO Entonces, si es un potencial y una función de corriente Dw del plano uv es la imagen de un dominio Dz bajo una transformación Donde f es analítica.

36. Sí: Entonces la función compuestasera:

37. XI. TEOREMA DE BERNOULLI Si P denota la presión de un fluido y Ves la velocidad del fluido, entonces el teorema de Bernoulli dice que: donde es la densidad del fluido y K es una constante a lo largo de la trayectoria.

38. XII. TEOREMA DE BLASIUS Sean X y Y las fuerzas netas, en las direcciones x y y positivas respectivamente, debidas a la presión de un fluido sobre la superficie de un obstáculo acotado por una curva simple cerrada C. Entonces, si Ω es el potencial complejo para el flujo, Si M es el momento con respecto al origen de la presión sobre el obstáculo, entonces

39. XIII. EJEMPLO: Encontrar el potencial complejo debido a una fuente en y un sumidero en de iguales fuerzas . Determinar las líneas equipotenciales y trayectorias y representarlas gráficamente. Hallar la velocidad del fluido en cualquier punto.

42. XV. CONCLUSIONES: El dominio de este tema es de suma importancia ya que tiene muchas aplicaciones a la ingeniería, y su entendimiento nos ayudara a entender muchos fenómenos físicos. Este trabajo nos sirvió de base para tener nociones de los cursos que llevaremos más adelante, como es el caso de MECÁNICA DE FLUIDOS. Lo más importante es que nos dimos cuenta de la necesidad que tenemos de aprender matemática, para poder ser excelentes ingenieros.

43. XVI. EXPOSITORES: JUSTO ALBERTO GUERRA INCA LUIS MANTILLA VITON CARLOS LEON CHACON OSCAR ROJAS FLORES ORLANDO CARRILLO ACOSTA RONY ROBLES RODRIGUEZ

44. GRACIAS