Càlcul financer

Más manuales en: http://www.exabyteinformatica.com/manuales-y-apuntes-freeware/
© Roger Casadejús Pérez | www.exatienda.com Pàgina: 1
1. INTERÈS SIMPLE.
Podem definir l’interès com el rendiment (benefici o pèrdua) que produeix un capital
determinat durant un cert període de temps.
Si ens fan un préstec de diners ens cobraran un preu al qual denominarem interès.
Aquest preu és directament proporcional a l’import que ens deixen (capital), al tant per
cada euro (tipus d’interès) i al temps en que els diners estan al nostre poder (temps),
és a dir, que un augment o disminució d’aquests factors afecta directament en un
augment o disminució de l’interès final.
La fórmula és:
(1.1) niCI **=
En la que:
I = Import dels interessos
C = Capital
i = Tipus d’interès (en tant per ú)
n = Temps
El temps s’expressa en aquesta fórmula en tant per ú. A la pràctica el tipus d’interès
s’expressa en tant per cent motiu pel qual la fórmula anterior serà:
(1.2)
100
** niC
I =
I des d’aquesta fórmula podrem calcular el valor de cada un dels seus factors:
Per saber el tipus d’interès:
nC
I
i
*
*100
=
Per saber el capital:
ni
I
C
*
*100
=
Per saber el temps:
iC
I
n
*
*100
=
El temps s’ha expressat en anys. Quan es presenta un càlcul en que el temps
s’expressa en mesos per exemple, substituirem el valor n (que per un any és 1) per
12/12 a fi de poder indicar en cada cas el nombre exacte de mesos que no és altre que
una part d’un any:

100
12
**
n
iC
I = ,
operant:
12
*
100
*
ni
CI =
i finalment:
200.1
** niC
I =
De la mateixa manera, si el temps s’expressa en dies la fórmula a aplicar seria:
500.36
** niC
I =
La suma d’un capital més els seus interessos és:
(1.3) 





+=+=+=
100
*
1
100
** ni
o
C
ni
o
C
o
CI
o
C
n
C
Es a dir, un capital inicial Co junt amb els seus interessos I dóna com a resultat un
capital final Cn superior al capital inicial.
Per més facilitat la fórmula (1.3) també es podria expressar amb el tipus d’interès en
tant per u.
( )ni
o
C
n
C *1 +=
Si l’expressem en mesos:






+=
200.1
*
1
ni
o
C
n
C
i en dies:






+=
500.36
*
1
ni
o
C
n
C

De la fórmula anterior podem aïllar el capital inicial Co :
ni
n
Cnin
C
ni
n
C
ni
n
C
o
C
*100
*100
100
*100
:
1
100
*100
100
*
1
+
=
+
=
+
=
+
=
el tipus d’interès i:
n
o
C
o
C
n
C
i
*
)(100 −
=
i el temps:
i
o
C
o
C
n
C
n
*
)(100 −
=
Amb l’interès simple, al final de cada període, s’aparten els interessos produïts i es pot
tornar a reinvertir una altra vegada el capital inicial.

2. INTERÈS COMPOST.
Capitalització
La capitalització dels diners consisteix en fer augmentar un capital inicial afegint-li uns
interessos.
En el punt anterior hem vist el resultat final d’un capital més els seus interessos
mitjançant l’interès simple amb el qual els interessos no s’afegeixen al capital inicial
per a una nova reinversió i el capital que es reinverteix en successius períodes és
sempre el mateix.
Ara bé, si en lloc de retirar els interessos produïts en el període anterior els acumulem
al capital inicial perquè l’augmenti i ens rendeixin nous interessos (que seran superiors
als del període anterior) ens trobem davant el sistema de capitalització d’interès
compost.
En l’interès compost els interessos que es van produint en cada període s’afegeixen al
capital anterior per generar nous interessos
Imaginem un capital inicial Co capitalitzat durant n períodes a un tipus d’interès anual i
0 1 2 3 n
oC 1C 2C 3C nC
El capital final el primer any serà: )1()*(01 iCiCCC oo +=+=
Al final del segon any serà: 2
001112 )1()1(*)1()1()*( iCiiCiCiCCC +=++=+=+=
I al final del tercer any: 3
0
2
02223 )1()1(*)1()1()*( iCiiCiCiCCC +=++=+=+=
I al cap de n anys: (2.1)
n
n iCC )1(*0 +=
Considerant el tipus d’interès en tant per u. Si es fa amb tant per cent. La fórmula és:
n
n
i
CC )
100
1(*0 +=
Pel càlcul del capital inicial aplicarem la fórmula:
(2.2)
( )n
n
i
C
Co
+
=
1

Veiem com calcular el tipus d’interès;
Partim de la fórmula : (2.1)
n
n iCC )1(*0 +=
Operant:
n
o
n
i
C
C
)1( += , de on: i
C
C
n
o
n
+=1
Finalment: (2.3) 1n
o
n
C
C
i −=
Pel que fa al temps, partim també de la fórmula (2.1):
Operant:
n
o
n
i
C
C
)1( += , de on caldrà operar amb logaritmes per aïllar la n:
( )nn
i
C
C
+=





1loglog
0
i: (2.4)
( )i1l
o
g
l
o
g
C
l
o
g
C
n 0n
+
−
=

3. DESCOMPTE
Imaginem una operació de compra venda en la que el comprador i el venedor han
pactat uns ajornament del pagament en un o varis terminis i que aquests pagaments
que farà el comprador a cada venciment s’instrumenten amb una lletra de canvi (o
pagaré).
El venedor necessita disposar d’immediat d’aquests diners sense haver d’esperar els
venciments futurs, motiu pel qual demana a un banc que li anticipi aquests
cobraments.
L’operativa serà la següent:
El venedor negociarà la lletra amb el seu banc.
La negociació o descompte consisteix en la cessió, per part del venedor, del document
al banc abans del venciment i que el banc li aboni l’import de la lletra (que haurà de
pagar el comprador) que se’n diu valor nominal Vn , menys un import que se’n diu
descompte D. El tipus d’interès aplicat per calcular el descompte s’expressa en tant
per u i és el tipus de descompte i l’import net que s’abona al venedor és el valor efectiu
Ve.
(3.1) niVD n **=
El descompte és doncs una operació contraria a la capitalització i el seu import són els
interessos que es resten del valor nominal calculats aplicant les fórmules d’interès.
en VVD −=
(3.2) DVV Ne −=
Substituint D: niVVV nne **−=
(3.3) )*1( niVV ne −=
En principi se sol aplicar el càlcul d’interès basat en l’any comercial de 360 dies i el
cedent paga els interessos des de l’inici. Aquest descompte rep el nom de descompte
comercial.
El sistema que s’utilitza normalment és el descompte comercial que no és el més
correcte, ja que en teoria es podria donar el cas que el cedent descompti un efecte i no
solament no rebi diners sinó que a més hagi de pagar. Tot i que a la pràctica no és
habitual, això es donaria quan l’import dels interessos, en funció del temps i del tipus
d’interès, fos superior al valor nominal. A títol de comprensió del concepte de
descompte comercial veiem un exemple:

Exemple: Una lletra de 1.000 euros descomptada al 7% i amb un venciment de 15
anys.
Apliquem la fórmula 3.3 anterior: )*1( niVV ne −=
50)005,0(*1000)15*07,01(1000 −=−=−=eV
Es a dir, hauria de pagar 50 euros i no cal dir que al venciment no cobraria el valor
nominal de l’efecte.
Lògicament i a la pràctica aquest valor no pot sortir mai negatiu.
Posem un altre exemple. Que el descompte dels 1.000 euros es fa al 7% i durant un
any:
El valor efectiu és: 93093,0*1000)1*07,01(*1000 ==−=eV
Si invertim aquest mateix valor efectiu durant un any és evident que l’import que
obtindrem serà sempre inferior a 1.000 euros:
10,995)1*07,0*930(930 =+=Cn
Per aconseguir que el resultat d’aquesta inversió (valor efectiu més els interessos)
sigui igual al valor nominal de l’efecte, utilitzarem el descompte racional o matemàtic:
'
'
DVV ne −=
En aquest cas el descompte seria no sobre el valor nominal sinó sobre el valor efectiu:
(3.4) niVD e **'
=
Com que desconeixem encara el valor efectiu Ve treballarem amb el valor nominal.
D’acord amb la fórmula del capital final:
)*1(0 niCCn +=
Substituint el capital final Cn pel valor nominal Vn i el capital actual Co pel valor efectiu
Ve:
)*1( niVV en += , obtenim que e
n
V
ni
V
=
+ )*1(
Finalment substituirem el valor efectiu de la fórmula del descompte:
ni
ni
V
niVD n
e **
*1(
**'
+
== i finalment, (3.5)
)*1(
**'
ni
niV
D n
+
=

Tipus d’interès nominal i efectiu
Partint de la fórmula del descompte comercial:
(3.1) niVD n **=
Podem aïllar el tipus d’interès nominal fórmula 3.6 que es calcula sobre el capital futur:
( 3.6)
nV
D
i
n *
=
De la mateixa manera, partint de la fórmula del descompte racional que es calcula
sobre el capital actual:
(3.4) niVD e **'
=
Podem aïllar el tipus d’interès efectiu fórmula 3.7:
( 3.7)
nV
D
i
e *
'
=
Venciment comú i Venciment mig
Amb el venciment comú i el venciment mig es porta a terme la substitució de varis
efectes per un de nou, modificant el valor nominal o el venciment, de tal manera que ni
el deutor ni el creditor no tinguin cap pèrdua o benefici com a conseqüència d’aquesta
substitució.
La substitució serà correcta quan el valor efectiu del nou efecte sigui igual al total del
valor efectiu dels efectes substituïts. La fórmula d’equivalència de nominals és:
(3.9) eeee VVVV =+++ ...321
Amb el venciment comú s’efectua la substitució de varis efectes per un de nou. Caldrà
calcular en aquest cas, el nominal del nou efecte o bé el nou venciment.
Per calcular el nou valor efectiu, partirem de la fórmula 3.3 del descompte comercial
)*1( niVV ne −=
i substituirem cada un dels valors efectius anteriors per la seva fórmula corresponent:
)*1(...*1()*1( 2211
niVniVniV nnn −=+−+−

Operant: (3.10)
ni
nVnViVV
V nnnn
n
∗−
∗+∗−+
= +
1
...).()( 2211...21
On Vn és el Valor nominal del nou efecte que substitueix els demés i que caldrà
calcular.
Normalment, en el descompte s’opera amb dies:
(3.11)
ni
nVnViVV
V nnnn
n
∗−
∗+∗−+
= +
360
...).()(360 2211...21
Si s’ha pactat un nou valor nominal caldrà calcular el nou venciment.
Exemple: Tenim 2 efectes de 50.000 euros venciment a 30 dies i 100.000 venciment a
60 dies respectivament. El tipus d’interès és el 10%. Volem substituir aquests dos
efectes per un altre amb venciment a 15 dies:
Es tracta d’un venciment comú en el que hem de calcular el nominal del nou efecte.
Aplicarem la fórmula 3.11
)15*1,0(360
)60*000.10030*000.50(1,0)000.100000.50(360
−
+−+
=nV
50,358
000.750000.000.54
5,1360
)000.000.6000.500.1(1,0)000.150(360 −
=
−
+−
=nV
536.148
50,358
000.250.53
==nV
El venciment mig és un cas particular del venciment comú. Amb el venciment mig el
nominal del nou efecte és la suma de nominals dels efectes que substitueix. Caldrà
calcular el venciment n (nombre de dies) d’aquest efecte.
De la igualtat: (3.12) nnnn VVVV =+++ .....321
Substituïm el primer terme de la igualtat per Vn la fórmula (3.11) i quedaria:
Fórmula 3.11
ni
nVnViVV
V nnnn
n
∗−
∗+∗−+
= +
360
...).()(360 2211...21
En el numerador recordem la igualtat nnnn VVVV =+++ .....321 , per tant, substituïm
aquests valors per Vn:
ni
nVnViV
V nnn
n
∗−
∗+∗−
=
360
...).(360 2211

Aïllarem el valor n:
...(360)360( 2211 +∗+∗−∗=∗− nVnViVniV nnnn
...(360)360 2211 +∗+∗−∗=∗− nVnViVniVV nnnnn
...)( 2211 +∗+∗−=∗− nVnViVniVV nnnnn
...)( 2211 +∗+∗=∗ nVnViniV nnn
...)(* 2211 +∗+∗= nVnVnV nnn
n
nnnnn
V
nVnVnV
n
*...2211 ++∗+∗
=
Substituïm Vn de la igualtat (3.12) nnnnnn VVVVV =++++ .....321 i tenim:
(3.13)
nnnn
nnnnn
VVV
nVnVnV
n
+++
++∗+∗
=
...
*...
21
2211

4. PRÉSTECS.
Préstecs amortitzables mitjançant pagament únic de capital i d’interessos
Amb aquest sistema els interessos s’acumulen al capital fins a la data de venciment
del préstec.
S’aplica la fórmula (2.1) de la capitalització a interès compost:
( )ni
o
CCn += 1
En la que:
Cn = Capital final
Co = Capital inicial
i= Tipus d’interès (en tant per ú)
n= Temps
Préstecs amortitzables mitjançant pagament únic de capital i periòdic
d’interessos
Es igual que el cas anterior però els interessos es paguen periòdicament. En el darrer
venciment es pagarà el capital més els interessos acreditats en el darrer període.
Aquest sistema s’utilitza molt en els emprèstits (préstec de molt import que s’obtenen a
través de l’emissió de títols com obligacions, bons, etc.)
Donat que no hi ha amortització de capital fins al final el capital nominal pendent serà
sempre el mateix, per tant, per al càlcul dels interessos farem servir la fórmula de
l’interès simple.
Suposem, el préstec següent:
Import del préstec: 500.000 €
Tipus d’interès: 7%
Durada: 2 anys
Pagament d’interessos: trimestral
Devolució de capital: única en el darrer venciment
niCI **=
750.8
1200
3*7*500000
==I

Venciments
Trimestrals
Prestatari
REP
Prestatari
TORNA
Inici 500.000,00
1T 8.750,00
2T 8.750,00
3T 8.750,00
4T 8.750,00
5T 8.750,00
6T 8.750,00
7T 8.750,00
Venciment 508.750,00
Total Venciment 570.000,00
Préstecs amortitzables mitjançant pagaments periòdics de capital i periòdic
d’interessos
Són els casos més habituals i en general solen ser a més llarg termini (hipotecaris,
consum, inversions en immobilitzat, etc.)
Podem trobar diferents modalitats
a) Amb pagament constant:
Coneguts també per sistema francès o progressiu, consisteix en que tots els
pagaments (amortització de capital + pagament d’interessos) tenen el mateix import.
La periodicitat dels pagaments pot ser mensual, trimestral, anual...i en cada un d’ells la
quota conté els interessos del préstec, calculats aplicant el tipus d’interès que
correspon al capital pendent d’amortitzar en la data del càlcul.
En cada quota (pagament) es rebaixa una part del capital pendent d’amortitzar, motiu
pel qual l’import dels interessos a pagar també va disminuint i a la vegada la quota
d’amortització de capital va augmentant, sense que en cap moment variï la quota total.
La suma final del capital i dels interessos prestats s’obtindria aplicant la fórmula de
l’interès compost.
( )ni
o
CCn += 1
En qualsevol operació de préstec s’ha de produir una equivalència entre l’import del
préstec i la suma dels reembossaments que es portaran a terme. Es a dir, quin ha de
ser el capital inicial del préstec que sigui igual a aquest capital inicial més la seva
capitalització a interès compost. Per això, aïllarem Co (capital inicial) de la fórmula
anterior:
( )n
n
i
C
Co
+
=
1

La suma dels imports de les quotes periòdiques (QP) actualitzades a l’instant de
l’obtenció del préstec aplicant el tipus d’interès fixat, ha de ser igual a l’import del
préstec
Obtenint l’equació d’equivalència de capitals:
( ) ( )n
i
QP
i
QP
i
QP
prestec
+
++
+
+
+
=
1(
...
2
11
)1.4(
Exemple 1:
Durada: 3 anys
Pagament d’interessos: anuals
D’acord amb la fórmula anterior:
( ) ( )32
06,01)06,0106,01
000.100
+
+
+
+
+
=
QPQPQP
( ) ( ) QPQPQP ++++=+ )06,01(06.0106.01000.100
23
( ) ( )[ ]1)06,01(06.0106.01000.100
23
++++=+ QP
119101,60= QP(1,1236+1.06+1)
€98,410.37
1836.3
60,101.119
==QP cada quota
L’import total final de devolució serà:
37.410,98 + 3 quotes = 112.232,94€, dels quals:
100.000,00€ corresponen a devolució de capital i
12.232,94€ són els interessos acreditats.
Per una millor comprensió, si substituïm QP pel seu valor en l’equació d’equivalència
de capital tenim:
( ) ( )32
06,01
98,410.37
)06,01
98,410.37
06,01
98,410.37
000.100
+
+
+
+
+
=
100.000=35.293,38+33.295,64+31.410,98

Venciment Quota periòdica Amortització capital Interessos
1 37.410,98 31.410,98 6.000,00
2 37.410,98 33.295,64 4.115,34
3 37.410,98 35.293,38 2.114,60
Fórmula general del càlcul de la quota:
1)1(
)1(
*
−+
+
= n
n
i
ii
CQP
n
i
i
CQP
)1(
1
1
*
+
−
= i (4.2)
i
i
C
QPQuota n−
+−
=
)1(1
)(
Recordar que:
QP= Es la quota de pagament periòdica
C= Es el capital del préstec
i= Es el tipus d’interès
n= Es el nombre de períodes (anys, mesos, etc.)
Les fórmules anteriors s’utilitzen per pagaments amb anualitats. Quan aquests
pagaments es fan vàries vegades a l’any haurem de modificar el tipus d’interès de la
fórmula (4.2) expressant-lo en mesos (k/12), trimestres (k/4), etc.
(4.3)
1)1(
)1(
*
·
·
−+
+
=
kn
kn
k
i
k
i
k
i
CQP
k= Nombre de venciments a l’any
Per a la confecció d’un quadre d’amortització caldrà:
a. Calcular l’import de la Quota de pagament
b. Calcular les quotes dels interessos
c. Calcular les quotes de les amortitzacions de capital
d. Obtenir les seqüències successives del capital total amortitzat
e. Obtenir el capital pendent d’amortitzar

Exemple 2:
Durada: 3 anys
Amortització de capital i pagament d’interessos: anual
98.410.37
6730166.2
000.100
06.0
160381.0
000.100
06.0
)839619.0(1
000.100
06.0
)06.01(1
000.100
3
===
−
=
+−
= −
QP
El quadre d’amortització contindrà la informació següent:
Venciment
Quota total
Pagament
Quota
d’interès
Quota
Amortització
de capital
Capital total
amortitzat
Capital
Pendent
d’amortitzar
Inici - - - - 100.000,00
1 37.410,98 6.000,00 31.410,98 31.410,98 68.589,02
2 37.410,98 4.115,34 33.295,64 64.706,62 35.293,38
3 37.410,98 2.114,60 ..35.293,38 100.000,00 0
Totals 37.410,98 12.229,94 100.000,00
Préstecs amortitzables mitjançant pagaments periòdics i variables de capital i
d’interessos
Amb aquesta modalitat l’amortització del préstec es porta a terme amb pagaments
periòdics que engloben el capital i els interessos però que són d’import cada vegada
diferent.
Es poden utilitzar diferents sistemes, el regressius o decreixents que tenen
amortització constant de capital i els progressius o creixents en progressió geomètrica.
a) Sistema de pagaments decreixents:
L’import d’amortització periòdic del capital és sempre el mateix i varia l’import dels
interessos, sent cada vegada menor ja que el capital pendent també va disminuint en
cada amortització.
La quota d’amortització del capital s’obtindrà dividint aquest capital inicial pel nombre
de períodes d’amortització i les quotes d’interès aplicant la fórmula d’obtenció d’interès
simple calculat pel capital que hi ha pendent en cada moment.
b) Sistema de pagaments progressius o creixents:
Amb aquest sistema l’import d’amortització periòdic del capital s’obté multiplicant
l’import anterior per una quantitat que anomenen r (raó) i que farà que l’import creixi en
progressió geomètrica.

5. T.A.E. (Tipus Anual Equivalent).
El T.A.E. (Tipus Anual Equivalent) o també anomenat Taxa Anual Equivalent, és un
indicador de preu que expressa el cost o el rendiment efectiu d’un producte financer.
Per al càlcul del TAE es tenen en compte (sempre que calgui) el tipus d’interès
nominal, el termini de l’operació i totes les despeses i comissiones que hi recauen.
En definitiva, el TAE indica de manera molt més fidel el rendiment o cost d’una
operació que si consideréssim només el tipus d’interès, tot i que en determinats casos
com en els préstecs hipotecaris, per exemple, hi ha algunes despeses que no
s’inclouen en el TAE.
Per a una millor comprensió d’aquest concepte només tindrem en compte els tipus
d’interès (sense considerar cap comissió ni despeses addicionals).
Per al càlcul del TAE és parteix de l’interès compost tot considerant que els interessos
obtinguts es reinverteixen aplicant el mateix tipus, és a dir, que es tenen en compte les
periodicitats.
Amb capitalització anual (no hi ha períodes intermitjos):
Co Interessos durant 1 any C1
5.000 (capital inicial) Al 8% : 400 Capital final: 5.400
Aplicació de la fórmula (1) de
de l’interès simple I = C * n * i
Aplicació de la fórmula (5)
n
n iCC )1(*0 +=
Amb Capitalització semestral (Interès Efectiu) 1
Co Co,5 C1
5.000 Int. 6 mesos : 200 5.200 Int. 6 mesos : 208 5.408
Aplicant la fórmula (5) n
n iCC )1(*0 +=
Interès compost pel 1er semestre:
5.000 (1+0,04) = 5.200
Aplicant la fórmula (5) n
n iCC )1(*0 +=
Interès compost pel 2n. semestre:
5.000 (1+0,04)
2
= 5.408
Amb la capitalització semestral hem portat a terme el que s’anomena capitalització
composta i, com es pot observar, el resultat final ofereix un rendiment superior que
amb una única capitalització anual. Queda clar, per tant, que en aquest cas l’interès
“efectiu” final (TAE) no es correspon amb el “nocional” o nominal (8%).
En aquestes fórmules:
k= Períodes no anuals (trimestrals, mensuals, etc
i (k) = Interès efectiu d’un període (mensual, trimestral...)
j (k) = Interès nominal (anual)
i = TAE (tipus d’interès efectiu anual)
1
El tipus d’interès efectiu és aquell en que la capitalització és diferent a l’any. Per exemple, per a un tipus
nominal del 12% anual el seu tipus d’interès efectiu mensual serà el 1%

Per calcular el TAE aplicarem la fórmula:
( 5.1) ( ) 1-+1= k
)k(iTAE
A partir de la fórmula anterior podem obtenir el tipus d’interès efectiu del subperíode
i(k), també anomenat del període fraccionat:
(5.2) 1k i1)k(i -+=
Recordem que en aquesta fórmula “i” és el TAE en tant per u.
Sabent l’interès efectiu del període podem calcular el tipus nominal anual.:
(5.3) )k(i*k)k(j =
On, recordem que j(k) és l’interès nominal i ‘k’ és el nombre de períodes i “i(k)” és
l’interès efectiu.
Exemple: Calcular l’interès nominal sabent que l’interès efectiu és el 5% semestral:
j (k) = 2 * 0,05 = 0,1 (en tant per u), o sigui: 10% anual
I a l’inrevés, sabent l’interès nominal anual podem calcular l’interès efectiu d’un
període
(5.4)
k
)k(j
)k(i =
Exemple: Amb un TAE del 9%, calcular el tipus d’interès efectiu trimestral:
Apliquem la fórmula (5.2): 0,0217781-1,02177814 0,091
(k)
i ==+= -
Per calcular l’interès nominal anual aplicaríem la fórmula (5.3):
j (k) = 4 * 0,021778 = 0,087112 (en tant per u), o sigui: 8,7112%
I efectivament, amb aquest tant nominal també podríem obtenir el TAE:
Fórmula (5.4): 8,7112 / 4 = 0,021778 i després:
Fórmula (5.1): ( ) u)per(tant0,091-TAE =0217781= 4
,
0 i (k) = 0,021778 3 i (k) = 0,021778 6 i (k) = 0,021778 9 i (k) = 0,021778 12
Representació de l’interès efectiu d’un període
0 j (k) = 0,087112 12
Representació de l’interès nominal

Càlcul financer

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Càlcul financer

Similar to Càlcul financer (16)

More from Roger Casadejús Pérez

More from Roger Casadejús Pérez (20)

Càlcul financer