Definición de conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades,valor absoluto, plano numérico, representación gráfica de las cónicas

1. REPUBLICA BOLIARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL ANDRES ELOY BLANCO
BARQUISIMETO, EDO-LARA.
Integrantes:
Rogers Cañizalez C.I. V-16.770.807
Sección: 0401
PNF CONTADURIA PÚBLICA.

2. Definición de Conjuntos
Un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen una propiedad
común. Un conjunto está formado por una cantidad finita o infinita de
elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos matemáticos pueden
definirse por extensión (enumerando uno a uno todos sus elementos) o
por comprensión (se menciona sólo una característica común a todos los
elementos).
Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí.
Los objetos de la colección pueden ser cualquier
cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los
objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo,
el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus
elementos comparten. Por ejemplo, para los números naturales, si
consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los
números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más.
En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además,
cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no
puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:

3. S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes,
Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo,
Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta, Naranja}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número
naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es
finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse
mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
Operaciones con conjuntos.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de
conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para
obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las
siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro
conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin
que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los
conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A,
con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se
usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos
diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los
conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la
operación de unión.

4. Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos
conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
‒ Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B,
la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos
de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A
y B, será excluido. El símbolo que se usa para indicar la operación de
intersección es el siguiente: ∩.

5. Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
‒ Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que
pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y
B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los
elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta
operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el
siguiente: -.
Ejemplo

6. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
‒ Diferencia de simétrica de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no
sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a
los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de
diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica
de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn

7. se tendría lo siguiente:
‒ Complemento de un conjunto.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos
del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir
dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el
conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos
del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan
al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota
con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde
el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de
complemento.
Ejemplo
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el
conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}.

8. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Números Reales
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales,
enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.
Los números reales son los que pueden ser expresados por un número
entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir
que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el
cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números
irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de
números enteros con denominador diferente a cero).
Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números
algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo
de número irracional).
Por ejemplo,

9. a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b)½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2es un número real ya que 2=1,4142135623730950488016887242097….
e) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f) 1,01001000100001000001000000100000001….
g) π también es real.
Conjunto de los números Reales
El conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de
números, a saber; los números racionales, los números irracionales. A su
vez, los números racionales se clasifican en
a) Números Naturales (N), los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3,
4, 5,6, 7, 8, 9, 10, 11, …
b) Números Enteros (Z), son los números naturales, sus negativos y el cero.
Por ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
c) Números Fraccionarios, son aquellos números que se pueden expresar
como cociente de dos es decir, son números de la forma a/b con a, b enteros
y b ≠ 0. Números enteros,
d) Números Algebraicos, son aquellos que provienen de la solución de
alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de
radicales libres o anidados. Por ejemplo, √3

10. e) Números Trascendentales, no pueden representarse mediante un
número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas
funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
El número π y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden
expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también
surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón
que no lleva periodo definido. Para terminar es recomendable observar con
atención el siguiente mapa conceptual, para reafirmar todo lo anteriormente
expuesto a cerca de los números reales. A partir de ahora, cuando se diga
número sin adjetivo calificativo, estaremos hablando de número real. Puedes
estar seguro de eso.
La recta real
Es la recta donde cada punto que la conforma es un número real. Como
cada punto de ella está identificado con un número racional o irracional esta
recta es una recta compacta donde no queda ningún “espacio libre” entre dos
puntos de ella. Para tener una idea de esta propiedad imagine que dados
dos números racionales siempre es posible encontrar uno entre ellos. Esto
es simple considerando que la semisuma de dos números cualquiera
siempre está entre ellos dos. En la recta real representamos todos los
números (recuerde que todo punto de la recta esta etiquetado con un número
real) y en ella podemos visualizar el orden en que se ubican.
Propiedades de los números reales
1. La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces
a+b ∈ ℜ.

11. 2. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
3. La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
4. La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
5. Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es
igual a 0: a+(-a)=0
6. La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a
. b ∈ ℜ.
7. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
8. El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
9. En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
10.Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el
inverso multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
11.Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)
Desigualdades
Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de
desigualdad. Los signos de desigualdad son:
≠ no es igual
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números
algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:
1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:

12. 5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5
2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:
–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9
3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor
absoluto;
Ejemplo:
–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20
Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.
Por ejemplo:
X + 3 < 7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ejemplos:
3 < 4, 4 > 3
Propiedades de las desigualdades
1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a
ambos lados:
a < b / ± c (sumamos o restamos c a ambos lados)
a ± c < b ± c
Ejemplo:

13. 2 + x > 16 / – 2 (restamos 2 a ambos lados)
2 + x − 2 > 16 − 2
x > 14
2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un
número positivo:
a < b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
a • c < b • c
a > b / • c (c > 0) ( c es positivo, mayor que cero)
a • c > b • c
Ejemplo
3 ≤ 5 • x / :5
3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5
3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un
número negativo:
a < b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
a • c > b • c
a > b / • c (c < 0) ( c es negativo, menor que cero)
a • c < b • c
Ejemplo:
15 – 3 • x ≥ 39 / −15
− 3 • x ≥ 39 – 15 /: −3
x ≤ 24: (−3)
x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

14. De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben
invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad,
ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.
Valor absoluto
El valor absoluto de un número real x, denotado por IxI, es el valor no
negativo de x, sin importar el signo, sea este positivo o negativo, así 3 es el
valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto de un número a, representado como |a|, es su valor
numérico (con signo positivo).
Por ejemplo,
Notemos que:
 si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;

15.  si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con
signo opuesto, es decir, con signo positivo);
 si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni
negativo.
Matemáticamente, el valor absoluto es una función (de una variable) de los
reales en los reales:
y se define como una función a trozos:
Esta función es continua en los reales y derivable en
La gráfica de la función es:
Notemos que en los reales negativos la gráfica es la de y = - x y en los
positivos es la de y = x.

16. Propiedades del Valor Absoluto
*El valor absoluto siempre es mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando su
argumento es 0:
*El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de
los factores:
*Valor absoluto de la suma:
*Propiedad importante: si tenemos la desigualdad (menor o igual)
podemos escribir
que es lo mismo que decir
(tienen que cumplirse ambas relaciones).

17. Dicho en forma de intervalos:
Si la desigualdad es (mayor o igual)
Podemos escribir
(es una unión: tiene que cumplirse una de las dos).
Dicho en forma de intervalos:
Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo
de valor absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .

18. Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualquier número real a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
Plano Numérico (Distancia, Punto medio)
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un
punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la
elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.

19. El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés
René Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el primero
en utilizar este sistema de coordenadas.
Partes del plano cartesiano
Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los
ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas
Ejes coordenados

20. Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se
interconectan en un punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de
abscisa y ordenada.
 Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y se
identifica con la letra “x”.
 Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado verticalmente y se
representa con la letra “y”.
Origen o punto 0

21. Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” y “y”, punto al
cual se le asigna el valor de cero (0). Por ese motivo, también se conoce
como punto cero (punto 0). Cada eje representa una escala numérica que
será positiva o negativa de acuerdo a su dirección respecto del origen.
Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x” es
positivo, mientras que el izquierdo es negativo. Consecuentemente, el
segmento ascendente del eje “y” es positivo, mientras que el segmento
descendente es negativo.

22. Cuadrantes del plano cartesiano
Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las dos
rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de estos
cuadrantes.
Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I, II, III
y IV.
 Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas.
 Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva.

23.  Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas.
 Cuadrante IV: la abscisa es positiva y el ordenada negativa.
Coordenadas del plano cartesiano
Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el
plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje “x”
y otro valor al eje “y”. Esto se representa de la siguiente manera:
P (x, y), donde:
 P = punto en el plano;
 x = eje de la abscisa (horizontal);
 y = eje de la ordenada (vertical).
Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una
línea perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la
llamaremos proyección (ortogonal) del punto P sobre el eje “x”.
Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es
decir, una proyección del punto P sobre el eje “y”.
En cada uno de los cruces de las proyecciones con ambos ejes, se refleja un
número (positivo o negativo). Esos números son las coordenadas.
Ejemplo,

24. las coordenadas de los puntos en cada cuadrante son:
 cuadrante I, P (2, 3);
 cuadrante II, P (-3, 1);
 cuadrante III, P (-3, -1) y
 cuadrante IV, P (3, -2).
Si lo que queremos es saber la ubicación de un punto a partir de unas
coordenadas previamente asignadas, entonces trazamos una línea
perpendicular desde el número indicado de la abscisa, y otra desde el

25. número de la ordenada. La intersección o cruce de ambas proyecciones nos
da la ubicación espacial del punto.
Por ejemplo,
En este ejemplo, P (3,4) nos da la ubicación precisa del punto en el
cuadrante I del plano. El 3 pertenece al eje de las abscisas y el 4 (segmento
derecho) al eje de las ordenadas (segmento ascendente).
P (-3,-4) nos da la ubicación específica del punto en el cuadrante III del
plano. El -3 pertenece al eje de las abscisas (segmento izquierdo) y el -4 al
eje de las ordenadas (segmento descendente).
Funciones en un plano cartesiano
Una función representada como: f(x)=y es una operación para obtener de un
variable independiente (dominio) las variables dependientes (contra dominio).
Por ejemplo: f(x)=3x

26. Función de x Dominio Contra dominio
f(2)=3x 2 6
f(3)=3x 3 9
f(4)=3x 4 12
La relación del dominio y el contra dominio es biunívoca, lo que significa que
tiene solo dos puntos correctos.
Para encontrar la función en un plano cartesiano se debe primero tabular, o
sea, ordenar los puntos en una tabla las parejas encontradas para
posicionarlas o ubicarlas después en el plano cartesiano.
X Y Coordenada
2 3 (2,3)
-4 2 (-4,2)
6 -1 (6,-1)
Distancia
Es simplemente la distancia mínima que hay entre ambas posiciones, las
cuales vienen determinadas por las sus coordenadas en el eje de las X y en
el eje de las Y.
La distancia mínima es sinónimo del camino más corto que separa a ambas
singularidades.

27. Ejemplo
La distancia en el plano entre dos puntos cuyas coordenadas cartesianas
son P1(3,2) y P2(5,1)
Punto medio
Es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.
En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias
ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x,
y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).

28. El punto medio del segmento AB, que llamaremos M, es un punto del segmento
que dista lo mismo de A que de B. Esto quiere decir que: Si es
un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales.
En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento.
Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
El modo de obtener geométricamente el punto medio de un segmento, mediante
regla y compás, consiste en trazar dos arcos de circunferencia de igual radio,
con centro en los extremos, y unir sus intersecciones para obtener la recta
mediatriz. Esta «corta» al segmento en su punto medio.
Teorema Sea AB un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(xA; yA) ;
B(xB; yB) entonces las coordenadas del punto medio M(xM ; yM) de AB
son:
Representación gráfica de las cónicas (circunferencia, parábola, elipse,
hipérbola
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta , que
llamamos generatriz, alrededor de otra recta , eje, con el cual se corta en un
punto , vértice.
 = la generatriz
 = el eje
 = el vértice

29. Elementos de las cónicas
 Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la
rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta
de modo oblicuo.
 Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
 Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
 Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie
cónica de revolución.
 Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con
un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre
el ángulo de conicidad y la inclinación del plano respecto del eje del
cono , pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

30. Elipse
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por
un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el
mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
La elipse es una curva cerrada.

31. Circunferencia
La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
La circunferencia es un caso particular de elipse.
Parábola

32. La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución
por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.
Hipérbola
La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución
por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman
eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta
de dos ramas separadas.

33. EJERCICIOS
-DESIGUALDADES LINEALES
3 (2X-1) > 4+5 (X-1)
6X- 3 > 4 + 5X -5
6X- 3 > -1+5X
6X- 5X > -1+3
X > 2
-VALOR ABSOLUTO
I 5 -7 I = I -2 I = 2
-INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
I X+5 I ≥ 3
X + 5 ≤ - 3 U X + 5 ≥ 3
X ≤ -3 -5 U X ≥ 3 - 5
X ≤ -8 U X ≥ -2