1.  Procesos Industriales Área Manufactura
 Temas: Eventos aleatorios, Espacio Muestra, Técnicas de
conteo, Variables en técnicas de conteo, poisson y T Student
 Oscar Rolando de Santiago Gaytán 2”A”

2. EVENTOS
ALEATORIOS

3. Un evento se entiende como el acontecimiento de un hecho
en proceso o por venir. Se dice que es aleatorio, si no es
posible determinarlo con exactitud. En todo caso, será posible
predecirlo con un nivel dado de confianza. Al evento también
se le denomina un suceso o un fenómeno.
Generalmente, se simula el evento por un conjunto de
variables relacionadas entre si. Por lo tanto, un evento está
representado con una o más variables vinculadas entre ellas.
Si las variables (una o varias de éstas) no son predecibles
con exactitud se dice que el evento es aleatorio.
Generalmente las variables representan atributos y
propiedades de los entes que intervienen en el evento, y que
pueden ser medidos. De esta manera se dice que las
variables tienen una magnitud.

4. EJEMPLOS
 E Se lanza una moneda de un peso mexicano. Se observa si el
resultado es águila o sol.
r
cara superior.
c De una baraja americana normal, se reparte una mano de poker de
cinco cartas y se cuenta el número de Ases entregados.
I Se coloca un foco a la corriente y se mide el tiempo que éste tarda
en fundirse.
e En una urna con bolas de igual forma pero donde hay 20 de color
negro y 30 de color blanco. Se extraen tres bolas y se cuenta el número
de bolas blancas extraídas.
È
tienen 50 artículos no defectuosos, se anota el número total de
artículos producidos.
a Una persona se dirige de su casa al trabajo. Anotar el tiempo que le
tomó.
t
y 5 choferes. Durante cualquier día, es posible que alguna unidad esté
fuera de servicio por mantenimiento o reparación y también es posible
que alguno de los choferes no se presente a trabajar. Se registran
ambos números.

5. ESPACIO MUESTRA
 se refiere a todo lo que nos rodea y a diferentes
conceptos en distintas disciplinas.

6.  Muestral, por su parte, es lo perteneciente o
relativo a una muestra (la porción extraída de
un conjunto por algún método que permite
considerarla como representativa de él). Una
muestra también es una demostración, prueba o
señal de algo

7.  Un espacio muestral o espacio de muestreo
es el conjunto de todos los resultados
posibles de un experimento aleatorio. A cada
uno de sus elementos se los denomina como
punto muestral o, simplemente, muestra.

8. • Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar
dos monedas, el espacio de muestreo es el
conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y
(cruz, cruz)}. Un evento suceso es cualquier
subconjunto del espacio muestral, llamándose a
los sucesos que contengan un único elemento
sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso
"sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara,
cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los
sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

9. • En algunos casos, los experimentos pueden tener
dos o más espacios muéstrales posibles. El
experimento de tomar un naipe de una baraja
española, por ejemplo, tiene un espacio de
muestreo compuesto por los números y otro
espacio muestral formado por los palos. La
descripción más completa, pues, debería incluir
ambos valores (número y palo) en un eje
cartesiano.
• Los espacios muéstrales pueden ser discretos
(cuando el número de sucesos elementales es
finito o numerable) o continuos (en los casos en
que el número de sucesos elementales es infinito
incontable).

10. TÉCNICAS DE CONTEO
 El principio fundamental en el proceso de
contar ofrece un método general para contar
el número de posibles arreglos de objetos
dentro de un solo conjunto o entre varios
conjuntos. Las técnicas de conteo son
aquellas que son usadas para enumerar
eventos difíciles de cuantificar.

11. TÉCNICAS DE CONTEO
 Es un fenómeno fundado en la experiencia, el cual al
repetirlo y observarlo en las mismas condiciones en
que se desarrolla sus resultados no son siempre los
mismos, sino que los datos o mediciones son solo
aproximaciones al verdadero valor de la probabilidad
del evento.

12. EJEMPLO 1:
 Un juego de dados consiste en adivinar el número de puntos
que caerán al lanzar un dado. Dos jugadores hacen su
apuesta por un número de puntos antes de lanzarlo. El que
adivina gana la apuesta. Si nadie adivina, lo apostado se
gana para el próximo juego. Los jugadores se turnan para
elegir primero un número por el cual apostar.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer jugador que
seleccione un número de puntos que caerán adivine?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los
jugadores adivine el número de puntos que caerán?

13.  Al reflexionar, se concluye que los resultados posibles son 6 (1, 2,
3, 4, 5, 6), pero ninguna jugador sabe antes de lanzar el dado
cuantos puntos caerán.
La regularidad estadística indica que al practicar repetidamente el
experimento asociado a determinado fenómeno aleatorio se
obtiene una frecuencia relativa, la cual se aproximara al verdadero
valor de la probabilidad del evento si el número de observaciones
n es grande.
Algunos eventos posibles al desarrollarse el experimento de lanzar
el dado son:
a) Caen 4 puntos, A = 4
b) Caen mas de 4 puntos, B = 5,6
c) Caen un numero par de puntos, C = 2, 4, 6.

14. EJEMPLO 2:
 Un vendedor de autos quiere presentar a sus
clientes todas las diferentes opciones con que
cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto
de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines
deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes
arreglos de autos y rines puede ofrecer el
vendedor?
 Para solucionar el problema podemos emplear la
técnica de la multiplicación, (donde m es número
de modelos y n es el número de tipos de rin).
 Número total de arreglos = 3 x 2

15.  No fue difícil de listar y contar todos los posibles
arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo.
Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para
ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines.
Sería tedioso hacer un dibujo con todas las
posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación
fácilmente realizamos el cálculo:
 Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

16. VARIABLES EN TÉCNICAS DE
CONTEO
 Las variaciones son técnicas de conteo que
respetan el orden, es decir AB BA.
 En realidad cuando hemos resuelto el problema
de ¿ cuántas palabras de tres letras se pueden
escribir con las letras A B C D hemos resuelto
un problema de variaciones, porque
respetamos el orden: ABC CAB CBA etc.

17.  Además las variaciones pueden ser con repetición o sin
repetición.
 Conocemos como variaciones sin repetición…
 Variaciones sin repetición:
 Con las letras A, B, C, D se pueden escribir 24 palabras
de 3 letras diferentes, esto mismo matemáticamente se
dice: hay 24 variaciones de 4 elementos tomados de 3
en 3.
 Y se escribe 4v3 =24
 Y se calcula así: 4v3= 4 * 3 * 2 =24

18. EJEMPLO DE POISSON
Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin
Ejemplo 1.-
fondo por día, ¿ Cuales son las probabilidades reciba,
b)Cuatro cheque sin fondo en un día dado,
c)B)reciba 10 cheques sin fondo en cualquiera de dos días
consecutivos
Variable discreta= cantidad de personas
Intervalo continuo= una hora
Formula

19.  P(x): Probabilidad de que ocurran x éxitos
 : Número medio de sucesos esperados por
unidad de tiempo.
 e: es la base de logaritmo natural cuyo valor es
2.718
 X: es la variable que nos denota el número de
éxitos que se desea que ocurran

20.  A) x= Variable que nos define el número de cheques sin fondo
que llega al banco en un día cualquiera;
 El primer paso es extraer los datos
 Tenemos que o el promedio es igual a 6 cheques sin
fondo por día
 e= 2.718
 x= 4 por que se pide la probabilidad de que lleguen cuatro
cheques al día

21. REEMPLAZAR VALORES EN LAS FORMULAS
 =6
 e= 2.718
 X= 4
 P(x=4, = 6) =(6)^4(2.718)^-6
 4!
 =(1296)(0,00248)
 24
 =o,13192
 Es la probabilidad que representa de que lleguen cuatro
cheques sin fondo al día

22.  B)
 X= es la variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan en dos
días consecutivos
 =6x2= 12 Cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días
consecutivos
 Lambda por t comprende
 al promedio del cheque a los dos días
 DATOS
 = 12 Cheques sin fondo por día
 e= 2.718
 X=10
 P(x=10, =12 )= (129^10(2.718)^-12
 10!
 =(6,191736*10^10)(0,000006151)
 3628800
 =0,104953 es la es la probalidad de que lleguen 10 cheques sin fondo en dos
días consecutivos

23. EJEMPLO:
 fabricante de focos afirma que su producto
durará un promedio de 500 horas de trabajo.
Para conservar este promedio esta persona
verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado
cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra
satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión
deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya
duración fue?:

24. AQUÍ SE ENCUENTRAN LAS MUESTRAS QUE SE
TOMARON PARA RESOLLVER EL PROBLEMA.
520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07

25. SOLUCIÓN
 Para poder resolver el problema lo que se tendrá que hacer será lo
siguiente se aplicara una formula la cual tendremos que
desarrollar con los datos con los que contamos.
 Tendremos que sustituir los datos

t= x -μ
 SI n α = 1- Nc = 10%
 v = n-1 = 24
 t = 2.22

26. PROCEDIMIENTO:SE DEMOSTRARA LA
FORMA EN QUE SE SUSTITUIRAN LOS
DATOS.
 VALOR DE LOS DATOS.. APLICACION DE LA
FORMULA
 µ=500 h t=505.36-500 t = 2.22
 n=25 12.07 25
 Nc=90% v = 25 -1 = 24
 X=505.36 α = 1- 90% = 10%
 S=12.07

27. ENSEGUIDA SE MUESTRA LA
DISTRIBUCIÓN DEL PROBLEMA SEGÚN EL
GRAFICO SIG.