1. UTT Universidad Tecnológica de Torreón
ESTADÍSTICA
PROCESOS INDUSTRIALES
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
EJERCICIOS Y SOLUCIONES
GRUPO 2 ´´A´´
ROSALVA GUERRERO HERNANDEZ
18 DE MARZO DEL 2012

2. EJERCICIOS Y SOLUCIONES
Distribuciones comúnmente usadas
1. 1 Distribución de Bernoulli
Para cualquier ensayo de Bernoulli se define a la variable aleatoria X así:
Si el experimento “éxito”, entonces X =1. De lo contrario, X=0. De ahí que
X sea una variable aleatoria discreta, con función de masa de
probabilidad p(x) definida por
P (0)=P(X=0) = 1-p FRACASO
P (1)= P(X=1)=p ÉXITO
Media y varianza de una variable aleatoria de Bernoulli
Es fácil calcular la media y la varianza de una variable aleatoria de
Bernoulli.
Resumen
Si X Bernoulli (p), entonces
Media = (0) (1-p) + (1) (p)= P Media = p
Varianza = (0 -p)2 (1 – p) + (1 – p)2(p) = P (1-p) Varianza = p (1 – p)
Ejercicio 1.1 Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte
superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.
a) Sea X = 1. Si anota el tiro, si no lo hace, X = 0. Determine la media y la
varianza de X.
Solución
M = (0) (1 - 0.55) + (1) (0.55)
= .55
V = (0 - 55)2 (1-.55) + (1 -0.55)2(0.55) =0.2575

3. A continuación otra forma de interpretarlo:
X P (X)(p)
1 0.55 1(0.55) = 0.55
0 0.45 0(0.45) =0
M = 0.55
Media
(X – M)2 (P)
(1- 0.55)2 (0.55) = 0.111375
(0-0.55)2 (0.45) = 0.136125
V = 0.2475
b) Si anota el tiro su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe
puntos. Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de
Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito si no explique por qué.
Solución: no es una distribución de Bernoulli, ya que una distribución
de Bernoulli sus resultados siempre son X = 1, X = 0
C) Determine la media y la varianza de Y
Solución:
y p (y)(P) Media
2 .55 1.1 (Y-M) (P)
0 .45 0 (2-1.1)2(0.55) =0.4455
M= 1.1 (0-1.1)2(0.45) =0.5445
Y=0.99 Varianza

4. Ejercicio 1.2 En un restaurante de comida rápida, 25% de las
órdenes para beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40% una
grande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida
pequeña y X=0 en cualquier otro caso Sea Y=1 si la orden es una bebida
mediana y Y= 0 en cualquier otro caso. Sea Z=0 si la orden es una bebida
pequeña o mediana y Z=0 para cualquier otro caso.
a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px
b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. Determine Py.
c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. Determine Pz.
d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?
e) ¿Es Pz = Px + Py?
f) ¿Es Z =X + Y? Explique.
SOLUCION:
a) X-( y + z) Y=35%=0.35 Z=40%=0.40
1-(0.35+0.40)
1-(0.75)=0.25 por lo tanto Px=25
b) Y- ( X + Z ) X=25%=.25 Z=40%=.40
1-(0.25+.40)
1-(0.65)=0.35 Py=35%
c) Z – (X+ Y) X=25%=0.25 Y=35%=0.35
1 – (0.25+.35)
1- ( 0.6)= 0.4 Pz= 40%
d) No porque la suma de sus porcentajes es menor a 1
e) No porque Pz= 40% y Py = 35%
f) No.
Ejercicio 1.3 Se lanza una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X =
1 si sale cara en la moneda de 1 centavo y X=0 en cualquier otro caso.
Sea Y=1 si sale cara en la moneda de 5 centavos y Y=0 en cualquier
otro caso. Sea Z =1 si sale cara en ambas monedas y Z=0 en cualquier
otro caso.
a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px.
c) Sea Py la probabilidad de éxito de X. Determine Px.

5. d) Sea Pz la probabilidad de éxito de X. Determine Pz.
e) ¿Es Pz= PxPy?
f) ¿Es Z= XY? Explique.
SOLUCION:
a) X=0.5
X P (x)(P)
1 .5 1(0.5) =0.5
0 .5 0(0.5) =0
.5 0.5
b) Y=0
c) Z=.33
Z P (Z)(P)
1 0.33 1(.33) =0.33
0 0.66 0(.66) =0
d) Si porque aun teniendo el mismo resultado no depende uno del
otro.
e) No, porque los tres resultados son independientes.
f) Si porque Z=1, X=1, Y=1, por lo tanto 1=1 x1 =1=1
Ejercicio 1.4 Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z =
XY.
a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.
b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz= PxPy.
SOLUCION:
a) Si. X y Y son variables de Bernoulli ya que X = 1 y Y = 1
Sea Z= XY = Z = (1) (1)=1
b) X=1, Y=1, Z=1
Pz = 1= Px =1=Py=1
Pz=Pxpy
1= (1) (1) = 1=1

6. Ejercicio 1.5 Sean X y Y aleatorias de Bernoulli. Sea Z=X+Y
a) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Z es
variable aleatoria de Bernoulli.
b) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1 , entonces Pz= Px
+Py
c) Demuestre que si X y Y pueden ser iguales a 1, entonces Z no es
una variable aleatoria de Bernoulli.
SOLUCION.
a) X=1 X=0
Y=1 Y=0 Z=0+0 Z=0 no es una variable de Bernoulli.
b) Px=Px+Py
1=0+0 1=0 no son iguales
c) X=1, Y=1 Z=X+ Y Z=2 no es una variable de Bernoulli.
2.0 Distribución Binomial
Ejercicios
2 . 1 La úl ti ma nove l a de un a utor ha te ni do un gran
é x i to, ha s ta e l punto de que e l 8 0% de l os l e c tore s ya l a
ha n l e í do . Un grupo de 4 a mi gos s on a fi c i ona dos a l a
l e c tura:
1 . ¿Cuá l e s l a proba bi l i da d de que e n e l grupo
ha ya n l e í do l a nove l a 2 pe rs ona s ?
B (4 , 0. 8 ) p = 0 . 8 q = 0 . 2

7. 2 . ¿Y có mo m á xim o 2 ?
2 . 2 Un a ge nte de s e guros ve nde pól i za s a c i nc o pers ona s
de l a mi sma e dad y que di s fruta n de bue na s al ud. S e gún
l a s ta bl as a c tua les , l a pr oba bi l i da d de que una pe rsona e n
e s ta s c ondi ci ones vi va 3 0 a ños o má s e s 2 /3 . Háll e s e l a
pr oba bi l i da d de que , tra nsc urri dos 3 0 a ños , vi va n:
1 . La s cin co p e rson a s.
B (5 , 2/ 3 ) p = 2 / 3 q = 1 / 3
2 . A l m en o s t re s pe rso n a s.
3 . E xa ct am en t e d os p e rso na s.

8. 2 . 3 S i de s ei s a si e te de l a ta rde se a dmi te que un núme ro
de te l é fono de ca da ci nc o e s tá comuni c a ndo, ¿c uá l es la
pr oba bi l i da d de que , c ua ndo s e ma rque n 10 núme ros de
te l é fono e l e gi dos a l a za r, s ól o c omuni que n dos ?
B (1 0 , 1 / 5 ) p = 1 /5q = 4 / 5
2 . 4 La proba bi l i da d de que un ho mbre a c i erte e n el bl a nc o
e s 1 /4 . Si di s pa ra 1 0 ve c e s ¿c uál es l a proba bil i da d de que
a c i e r te e xa c ta me nte en tre s oc a s i one s ? ¿Cuá l es la
pr oba bi l i da d de que a c ie rte por l o me nos e n una oca s i ón?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
2 . 5 E n una s prueba s de a lc ohol e mi a s e ha obse rva do que
e l 5 % de l os c onduc tore s c ontrola dos da n pos i ti vo e n l a
pr ue ba y q ue e l 1 0 % de l os c onduc tore s c ontrol ados no
l l e va n a pro ve c ha do e l c i nturón de s e guri da d. Ta mbi é n s e
ha obs e rva do que las dos i nfra c c i one s s on
i nde pe ndi e nte s. Un gua rdi a de trá fi c o pa ra c i nc o
c onduc tore s a l aza r. S i te ne mos en c ue nta que e l núme ro
de c onduc tore s es s ufi c ie nte me nte i mporta nte c omo pa ra
e s ti m a r que l a proporc i ón de i nfrac tore s no va rí a al ha c e r
l a se l ec c i ón.

9. 1 . De te rm ina r la p ro b ab ilid a d a d e qu e e xa ct am en t e
t re s co n du ct o re s h a ya n co me t ido a lgu n a de la s dos
in f ra ccio n e s .
2 . De t e rm in e la p ro b ab ilid a d de qu e a l m e no s u no d e
lo s co n du ct o re s co n t ro lad o s ha ya co m et id o a lgu na de la s
d o s inf ra ccio n e s .
3.0 Distribución Poisson
Ejercicios
3.1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad son
muy inteligentes ¿Calcular la probabilidad de que si tomamos 100
alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes.
n = 100
P = 0.03
Lambda = 100 * 0.03 = 3
x=5
e = 2.718281828

10. 3.2 La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una
probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85
televisores, obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con
defectos.
n = 85
P = 0.02
X=4
Lambda = 1.7
3.3 En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso.
n = 20
p = 0.15
X=3
Lambda =3
3.4 Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de
la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿ Calcular la
probabilidad de que 10 de ellos tengan defecto en la vista.
n = 50
p = 0.2
Lambda =10

11. 3.5 El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún
problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular
probabilidad de que existan 5 registros con problemas?
n = 40
p = 0.08
Lambda =3.2
X=5
4.0 Distribución Normal
Ejercicios
4 . 1 La me dia y l os que de l os pe s os de 5 00
e s tudi a nte s de un c ol e gi o e s 70 k g y l a de s vi a c i ón
tí pi c a 3 k g. S uponi e ndo que l os pe s os s e di s tribu ye n
nor ma l me nte , ha ll a r c uá ntos e s tudi a nte s pes a n:
1 . E nt re 60 kg y 6 5 kg.
2 . Má s de 90 kg.
3 . Me no s de 64 kg.
4 . 64 kg.
5 . 6 4 kg o me no s.

12. 4 . 2 E n una c i uda d s e e s ti ma que l a te mpe ra tura
m á x i ma e n e l mes de juni o s i una di s tri buc i ón norma l ,
c on me di a 2 3 ° y d e s vi a c i ón tí pi c a 5°. Ca l c ul ar e l núme ro
de dí a s de l mes en l os que se e s pe ra al c a nza r máx ima s
e ntre 2 1 ° y 2 7 °.
4 . 3 Se s upone que l os re s ul ta dos de un e x a me n
s i gue n una di stri buc i ón normal c on me di a 78 y
de s vi a c i ón tí pi c a 3 6 . Se pi de:
1 . ¿Cu á l e s la p ro b a b ilid ad d e qu e un a p e rson a qu e se
p re se n ta e l e xa m en o bt e n ga u n a ca lif ica ció n sup e rio r a 7 2 ?
2 . Ca lcu la r la p ropo rció n de e stu d ia n t e s qu e t ien en
p u n tu a cion e s qu e e xce d e n p o r lo men o s e n cin co p u nto s
d e la p un t ua ció n qu e ma rca la f ro n tera e n t re e l A p to y e l
No -A p t o (son decla ra d o s No -Ap t os el 25% de lo s
e st u d ia n t e s qu e ob t u vie ro n la s p u ntu a cio ne s m á s b a jas).

13. 3 . S i se sa be qu e la ca lif ica ción d e u n e st u d ia n t e e s m a yo r
qu e 7 2 ¿cu á l e s la p rio rid a d de qu e su ca lif ica ció n sea ,
d e he ch o, sup e rio r a 84 ?
4 . 4 Va ri os te s t de i nte l i ge nc i a die ron una
puntua c i ón que si gue una l e y nor ma l c on me di a 10 0 y
de s vi a c i ón tí pi c a 1 5 .
1. De te rm in a r el p o rce n ta je de p o b la ció n qu e
o b t en d ría u n co ef icie n t e e n t re 9 5 y 1 1 0 .

14. 2 . ¿Q u é int e rva lo ce n t ra do e n 1 00 co n t ien e a l 50 % de
la p ob la ció n?
3 . E n u na po b la ción d e 2 50 0 ind ivid u o s ¿cu án t o s in d ivid u o s
se e spe ra n que t en ga n u n co ef icie n te su pe rio r a 12 5?
4 . 5 E n un ex a me n ti po te s t de 2 0 0 pre gunta s de e le c c i ón
m úl ti pl e , c a da pre gunta ti e ne una re s pue s ta c orre c ta y una
i nc or r e c ta. S e aprue ba si se conte s ta a más de 110
r e s pue s tas c orrec ta s . S uponi e ndo que s e c onte s ta a l a za r,
c a l c ula r la probabi l i da d de a probar e l ex a me n .

15. 5.0 Distribución gamma