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  1. 1. Chapitre 6 ´Les equations diff´ rentielles e Ce chapitre est consacr´ a l’´ tude des equations diff´ rentielles, lesquelles jouent un e` e ´ erˆ le fondamental en mod´ lisation pour la biologie, la chimie, la physique et l’ing´ nierie. o e eCes mod` les sont facilement param´ trisables (` partir de donn´ es exp´ rimentales), ce e e a e equi justifie leur popularit´ et leur large utilisation. En outre, ils fournissent en g´ n´ ral e e edes informations pr´ cieuses sur les quantit´ s observables (quantit´ s qui peuvent etre e e e ˆmesur´ es) a condition d’obtenir une bonne estimation de la solution. Nous pr´ sentons e ` eici les sch´ mas classiques permettant de fournir des solutions num´ riques suffisam- e ement pr´ cises pour des probl` mes issus de la mod´ lisation en physique, chimie ou e e ebiologie. Nous proposons egalement une etude math´ matique justifiant la pr´ cision ´ ´ e edes algorithmes.6.1 Introduction et rappels th´ oriques e ´6.1.1 Le pont de Tacoma aux Etats-Unis ´ C’est en juillet 1940 que le pont suspendu de Tacoma dans l’Etat de Washington ´(Etats-Unis) est achev´ et ouvert au trafic automobile. D` s les premiers jours, le pont e ecommence a osciller de mani` re verticale mais ceci n’est pas vraiment surprenant pour ` eun pont suspendu, les jours passent alors sans qu’aucun probl` me ne soit d´ tect´ . Ce- e e ependant, un matin de novembre 1940 la situation se complique : le pont commence a `onduler durant plusieurs heures, les cˆ bles maintenant le tablier du pont se soul` vent a ep´ riodiquement de haut en bas. Un peu plus tard, une pi` ce du pont se casse brutale- e ement, le pont continue a osciller mais dans le mˆ me temps la chauss´ e se d´ forme de ` e e emani` re inqui´ tante. Par moment, un bord de la chauss´ e domine de plusieurs m` tres e e e el’autre bord et le pont est evacu´ d’urgence : il finit par s’´ crouler. ´ e e Les ing´ nieurs se sont alors pench´ s sur les raisons qui ont conduit le pont a e e `s’´ crouler. Pour cela, il s’agit de mod´ liser les mouvements du pont en recensant les e eph´ nom` nes physiques qui agissent sur le pont. e e Par exemple, un mod` le relativement simple consiste a etudier l’´ volution au cours e `´ edu temps d’une coupe transversale du pont de Tacoma, les variables sont alors l’anglede rotation Z(t) du segment transverse par rapport a l’axe horizontal et le d´ placement ` edu centre de gravit´ y(t) par rapport a la position d’´ quilibre (voir Figure 6.1). Nous e ` esupposons que les cˆ bles r´ sistent a la force appliqu´ e lorsqu’il subit une elongation a e ` e ´ 223
  2. 2. 224 ´ ´ CHAPITRE 6. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES 5 Z(t) y(t) 4 3 2 y(t) 1 0 -1 -2 Z(t) 0 50 100 150 200 t (a) (b) ´F IG . 6.1 – Etude du mouvement d’une coupe transverse du pont a l’aide d’une equation ` ´diff´ rentielle ordinaire. (a) Nous consid´ rons les variations au cours du temps de la e ehauteur du pont par rapport a la position d’´ quilibre y(t) et de l’angle de rotation Z(t). ` e(b) R´ sultats de simulations num´ riques de la solution (y(t), Z(t)). e emais pas lorsqu’il est compress´ . En outre, la force exerc´ e par les cˆ bles agit comme e e ades ressorts d’une raideur K, proportionnelle a l’´ longation du cˆ ble. Sur la Figure 6.1, ` e anous observons que l’extension du cˆ t´ droit est donn´ e par (y − l sin(Z)) et donc la oe eforce exerc´ e par le cˆ ble de droite est e a    −K (y − l sin(Z)) lorsque y − l sin(Z) ≥ 0,  + −K (y − l sin(Z)) =   0  sinon.De la mˆ me mani` re, l’extension du cˆ ble de gauche est donn´ e par (y + l sin(Z))+ . e e a eFinalement, en prenant en compte la force du vent λ sin(ωt) d’une amplitude faibleλ > 0 et de fr´ quence ω/2π, une force d’amortissement d’amplitude δ > 0 et la egravit´ g, la loi de la m´ canique de Newton permet d’´ crire un syst` me diff´ rentiel e e e e epour y et Z :   Z (t) = 3K cos(Z(t)) (y(t) − l sin(Z(t)))+ − (y + l sin(Z(t)))+       ml          +λ sin(ω t) − δ Z (t),             K (y(t) − l sin(Z(t)))+ − (y + l sin(Z(t)))+ + g − δy (t),   y (t) = − mo` l est la longueur des cˆ bles au repos et m la masse du pont. u a
  3. 3. ´6.1. INTRODUCTION ET RAPPELS THEORIQUES 225 Cette equation n’est pas sous une forme tr` s convenable pour la discr´ tisation et ´ e epour l’´ tude th´ orique, nous pr´ f´ rons l’´ crire sous la forme : e e ee e u (t) = f (t, u(t)),o` u : R → Rd . Pour cela, il suffit de poser u = (u1 , u2 , u3, u4 ) avec u u1 = Z, u2 = Z , u3 = y, u4 = yet f : R × R4 → R4 donn´ e par e    u2             3K    cos(u1 ) (u3 − l sin(u1 ))+ − (u3 + l sin(u1 ))+ + λ sin(ωt) − δu2    ml   f (t, u) =   .       u4               K  − (u3 − l sin(u1 ))+ − (u3 + l sin(u1))+ + g − δu4 m Cette equation diff´ rentielle ne peut pas etre r´ solue exactement, c’est pourquoi il ´ e ˆ eest indispensable de recourir a la simulation num´ rique sur ordinateur pour tenter d’ap- ` eprocher la solution et recomposer ainsi les derni` res minutes correspondant aux mou- evements du pont suspendu avant son effondrement. Un exemple de solution approch´ e eest pr´ sent´ sur la Figure 6.1 : le d´ placement vertical y(t) est ici amorti tandis que e e eles variations de l’angle Z(t) ne s’amortissent pas, ce qui conduit a l’effondrement du `pont.6.1.2 Rappels th´ oriques e Avant de d´ crire des algorithmes num´ riques permettant d’approcher la solution e ed’une equation diff´ rentielle ordinaire, rappelons quelques r´ sultats th´ oriques sur les ´ e e esyst` mes d’´ quations diff´ rentielles ordinaires [11]. e e eD´ finition 6.1.1 Nous appelons equation diff´ rentielle d’ordre n une equation de la e ´ e ´forme u(n) (t) = f (t, u, u , . . . , u(n−1) ), (6.1)o` f est une application d´ finie sur I × U × U1 . . . Un−1 → E, I est un intervalle de R, u eU, U1 ,. . ., Un−1 sont des ouverts d’un espace de Banach E. Une solution de l’´ quation e ndiff´ rentielle (6.1) est une application u de classe C (I, E) v´ rifiant (6.1). e e
  4. 4. 226 ´ ´ CHAPITRE 6. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLESRemarque 6.1.1 Lorsque E = R, l’´ quation diff´ rentielle est dite scalaire tandis que e elorsque f est ind´ pendante de t, l’´ quation diff´ rentielle est dite autonome. e e e Concernant la th´ orie des equations diff´ rentielles, nous nous int´ ressons au probl` me e ´ e e ede l’existence et de l’unicit´ locale de solutions pour le probl` me de Cauchy1 (c’est- e ea-dire l’´ quation diff´ rentielle accompagn´ e d’une ¡¡ condition initiale ¿¿). Notons` e e ed’abord que dans le cas g´ n´ ral d’une equation d’ordre n, une condition initiale est la e e ´donn´ e de la fonction inconnue u et de toutes ses d´ riv´ es jusqu’` l’ordre n−1 au point e e e at = 0. En d´ finitive, nous pouvons toujours nous ramener au cas n = 1, quitte a agran- e `dir l’espace E comme dans l’exemple du pont de Tacoma et en consid´ rant commeenouvelle fonction inconnue le vecteur (u, u , . . . , u(n−1) ). C’est pourquoi d´ sormais, enous nous placons dans le cas n = 1, et consid´ rons une fonction f : I × U → E, ¸ eo` I est un intervalle ouvert de R et U un ouvert d’un espace de Banach E muni de la unorme . . Consid´ rons alors un syst` me diff´ rentiel de la forme e e e    u (t) = f (t, u(t)),  (6.2)   u(t = 0) = u ,  0o` u0 ∈ E et o` la fonction f ∈ C 0 (I × U, E) est seulement continue. Ceci permet de u ud´ montrer l’existence d’une solution lorsque E est de dimension finie mais pas l’uni- ecit´ de la solution. Pour assurer l’unicit´ , il suffit que f soit localement lipschitzienne e epar rapport a la variable x ∈ U. A ` ` titre d’exemple, nous rappelons le r´ sultat le plus eclassique pour l’existence et l’unicit´ d’une solution pour un syst` me diff´ rentiel [11]. e e eTh´ or` me 6.1.1 (Th´ or` me de Cauchy-Lipschitz) 2 Soit f ∈ C 0 (I × U, E) et sup- e e e eposons qu’il existe un voisinage de (0, u0 ) dans I × U et L > 0 tels que pour toutt ∈ I, x et y dans ce voisinage f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y .Alors – il existe T > 0 et u ∈ C 1 ([0, T ], U) solution du probl` me de Cauchy (6.2) ; e – si v est une autre solution, elle co¨ncide avec u sur l’intervalle [0, T ] ; ı – si de plus f est de classe C r (I × U, E) avec r ≥ 1, alors u est de classe C r+1 (I, U). La d´ monstration de ce th´ or` me repose sur le th´ or` me de point fixe contrac- e e e e etant que nous avons d´ montr´ au Chapitre 3 [Th´ or` me 3.2.1]. Nous proposons une e e e ed´ monstration de ce th´ or` me dans la section 6.2.2 en prouvant la convergence du e e esch´ ma d’Euler explicite par une m´ thode de compacit´ . e e e Pour l’instant int´ ressons-nous a la notion de trajectoire. e ` 1 En r´ f´ rence a Augustin Louis Cauchy, math´ maticien francais (1789-1957) qui fut l’un des plus ee ` e ¸prolifiques. Ses travaux port` rent sur l’analyse (fonctions holomorphes, crit` res de convergence sur les e es´ ries enti` res) mais aussi en optique sur la propagation d’ondes electromagn´ tiques. e e ´ e 2 En r´ f´ rence a Rudolph Otto S. Lipschitz (1832-1903), math´ maticien allemand, qui travailla sur ee ` ela th´ orie des nombres, les equations diff´ rentielles compl´ tant les travaux de Cauchy. e ´ e e
  5. 5. ´6.1. INTRODUCTION ET RAPPELS THEORIQUES 227D´ finition 6.1.2 Nous appelons trajectoire ou orbite partant de u0 l’ensemble d´ fini e epar Tu0 := {u(t) ∈ E, u solution de (6.2), t ∈ [0, T ] avec u(0) = u0 } . En appliquant le Th´ or` me 6.1.1, nous avons imm´ diatement le r´ sultat suivant : e e e eCorollaire 6.1.1 Soient u0 et v0 ∈ U deux donn´ es initiales distinctes. Alors les tra- ejectoires Tu0 et Tv0 sont disjointes.Placons-nous maintenant dans le cadre d’application du Th´ or` me 6.1.1, le r´ sultat ¸ e e esuivant donne une condition suffisante pour que T = +∞ [11].Th´ or` me 6.1.2 Soient f ∈ C 0 (I × U, Rd ), supposons de plus que f est localement e elipschitzienne en la deuxi` me variable et u la solution de (6.2) d´ finie pour 0 ≤ t < T . e eSi la solution u est uniform´ ment born´ e sur [0, T ] alors T = +∞. e e Apr` s ces quelques r´ sultats d’existence et d’unicit´ , etudions le comportement e e e ´qualitatif de la solution u. Pour simplifier, nous consid´ rons un probl` me autonome, e ec’est-` -dire que la fonction f ne d´ pend que de la variable u mais pas de t ∈ R : a e    u (t) = f (u(t)),  (6.3)   u(t = 0) = u ,  0o` la fonction f : U → E est continue. uD´ finition 6.1.3 Le point u ∈ U est un point d’´ quilibre ou stationnaire du syst` me e ¯ e ediff´ rentiel (6.3) d` s qu’il v´ rifie : e e e f (¯) = 0. uSe pose alors la question de la stabilit´ de ces points d’´ quilibre. e eD´ finition 6.1.4 Soit u ∈ U un point d’´ quilibre ou stationnaire de (6.3). Nous disons e ¯ eque u est stable d` s qu’il v´ rifie : ¯ e e ∀ε > 0, ∃ η > 0 tel que u0 ∈ B(¯, η) ⇒ u u(t) − u ≤ ε, ¯c’est-` -dire que si nous partons d’une donn´ e initiale proche de l’´ tat stationnaire u, a e e ¯ +la solution u(t) de (6.3) reste proche de l’´ tat stationnaire pour tout t ∈ R . e En outre, si la solution u v´ rifie e lim u(t) − u = 0, ¯ t→∞alors nous disons que le point d’´ quilibre est asymptotiquement stable, c’est-` -dire e aque la solution converge vers l’´ tat stationnaire. e
  6. 6. 228 ´ ´ CHAPITRE 6. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES Recherchons ensuite des conditions suffisantes de stabilit´ d’un point d’´ quilibre. e ePour cela, voyons d’abord ce qu’il se passe dans le cas d’une fonction lin´ aire. Soit eA ∈ Mn,n (R), le syst` me diff´ rentiel (6.3) s’´ crit alors e e e    u (t) = A u(t),  (6.4)   u(0) = u  0et la solution est donn´ e par u(t) = eA t u0 avec e tn n eA t = A . n∈N n!La solution de (6.4) est bien d´ finie pour tout temps et ce syst` me admet un point e ed’´ quilibre u = 0 dont la stabilit´ est li´ e au spectre de la matrice A [11]. e ¯ e eTh´ or` me 6.1.3 (Stabilit´ des syst` mes diff´ rentiels lin´ aires) Consid´ rons u la so- e e e e e e elution du syst` me diff´ rentiel (6.4). Alors le point 0 est asymptotiquement stable si et e eseulement si pour tout λ ∈ Sp(A), Re(λ) < 0.En outre, le point 0 est stable si et seulement si pour tout λ ∈ Sp(A) – soit Re(λ) < 0, – ou bien Re(λ) = 0 et λ n’est pas d´ fective, c’est-` -dire e a dim(Ker(A − λ In )) = p, o` p repr´ sente la multiplicit´ de λ. u e eDans le cas non lin´ aire la situation est bien plus complexe. Commencons, comme e ¸souvent, par transformer le probl` me pour se ramener a une situation connue. En e `lin´ arisant l’´ quation diff´ rentielle (6.3), introduisons δ = u − u, qui v´ rifie e e e ¯ e δ (t) = f (u(t)) − f (¯) = u u f (¯) δ u + o(δ),o` o(δ) signifie qu’il existe une fonction ε(δ) telle que ε(δ) / δ → 0 lorsque δ → 0. u Ainsi, lorsque δ est initialement petit, les termes en o(δ) sont n´ gligeables et la estabilit´ du point stationnaire u ∈ U ⊂ E se ram` ne a l’´ tude de stabilit´ du probl` me e ¯ e ` e e elin´ aire suivant au point 0 e δ = u f (¯) δ.uNous pourrions esp´ rer un r´ sultat analogue au cas lin´ aire mais ce n’est h´ las pas e e e etoujours le cas [11].Th´ or` me 6.1.4 (Th´ or` me de stabilit´ non lin´ aire) Soient E un espace vectoriel e e e e e enorm´ de dimension finie et consid´ rons le point stationnaire u ∈ U ⊂ E du syst` me e e ¯ ediff´ rentiel (6.3), o` f ∈ C 1 (U, E). Si pour tout λ ∈ Sp( u f (¯)) nous avons Re(λ) < e u u0, alors le point u est asymptotiquement stable. ¯ En revanche s’il existe λ ∈ Sp( u f (¯)) telle que Re(λ) > 0 alors le point u est u ¯instable.
  7. 7. ´6.1. INTRODUCTION ET RAPPELS THEORIQUES 229 Observons que lorsqu’une valeur propre est de partie r´ elle nulle, nous ne pouvons epas conclure sur la stabilit´ du point d’´ quilibre en utilisant la th´ orie lin´ aire. Il faut e e e ealors faire appel a la th´ orie de Lyapunov3. ` eD´ finition 6.1.5 Soit u ∈ U un point d’´ quilibre de (6.3). Nous appelons fonction de e ¯ eLyapunov une fonction L : U → R continue et diff´ rentiable sur U v´ rifiant e e    L(¯) < L(u), ∀ u ∈ U {¯}  u u    L(u) f (u) ≤ 0, ∀ u ∈ U.Notons que les hypoth` ses sur L permettent d’assurer que e d L(u) = L(u) u = L(u) f (u) ≤ 0. dtL’existence d’une telle fonction L permet alors de conclure sur le comportement de lasolution proche de l’´ quilibre [11]. eTh´ or` me 6.1.5 (Th´ or` me de Lyapunov) Soient E un espace de Banach de dimension finie e e e eet u ∈ U un point d’´ quilibre de (6.3). S’il existe une fonction de Lyapunov L associ´ e ¯ e ea l’´ quilibre u ∈ U, alors l’´ quilibre est stable.` e ¯ eD´ monstration : e Consid´ rons ε > 0 tel que B(¯, ε) ⊂ U et soit e u m = min L(u) u−¯ =ε ule minimum de la fonction de Lyapunov L sur le bord de B(¯, ε). Puisque u ∈ U est u ¯un minimum strict de la fonction L qui est continue, l’ensemble Uε := u ∈ B(¯, ε), u L(u) < mest un voisinage de u inclus dans U. Ainsi, en choisissant u0 ∈ Uε , comme t → L(u(t)) ¯est d´ croissante, il vient alors e L(u(t)) ≤ L(u0 ) < m,pour t ≥ 0 et donc u(t) ∈ ∂B(¯, ε). Par suite u(t) reste dans le voisinage compact / uB(¯, ε) de u pour tout t ≥ 0 et mˆ me dans le voisinage Uε , donc u est bien stable. 2 u ¯ e ¯ Dans une premi` re partie, nous pr´ sentons plusieurs sch´ mas explicites classiques e e e(sch´ mas d’Euler, de Runge et de Runge-Kutta), puis proposons une analyse de conver- egence de la solution num´ rique vers la solution exacte du syst` me diff´ rentiel en in- e e etroduisant les notions de consistance et de stabilit´ . Nous etudions ensuite un sch´ ma e ´ ed’Euler implicite pour les equations diff´ rentielles raides qui jouent un rˆ le important ´ e odans les applications a la chimie. Enfin la derni` re partie est consacr´ e aux syst` mes ` e e ehamiltoniens. 3 En r´ f´ rence a Alexander Lyapunov math´ maticien russe (1857-1918) qui travailla sur les syst` mes ee ` e edynamiques.
  8. 8. 230 ´ ´ CHAPITRE 6. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES `6.2 Sch´ mas a un pas explicites e Int´ ressons-nous maintenant a la discr´ tisation des equations diff´ rentielles ordi- e ` e ´ enaires et supposons que E = Rd avec d ≥ 1. Pour approcher la solution de (6.2)sur l’intervalle [0, T ], d´ composons cet intervalle en N sous-intervalles [tn , tn+1 ] avec etn = n ∆t, n ∈ {0, . . . , N} et ∆t = T /N. Par la suite, la solution num´ rique eest not´ e v n et d´ signe une approximation de la solution u aux points tn , pour n = e e0, . . . , N. L’objectif de l’analyse num´ rique des equations diff´ rentielles ordinaires est de e ´ econstruire des sch´ mas num´ riques en discr´ tisant l’´ quation (6.2). Ensuite, il s’agit e e e ede d´ montrer que la solution approch´ e converge, en un sens a pr´ ciser, vers la solution e e ` eexacte. Pour cela, nous cherchons a evaluer l’erreur de discr´ tisation en = u(tn ) − v n , `´ eet plus pr´ cis´ ment, a obtenir des estimations d’erreur de la forme e e ` en = u(tn ) − v n ≤ C ∆tα ,o` C ne d´ pend que de la solution exacte, du temps final T mais surtout pas du pas de u etemps ∆t tandis que α > 0 donne l’ordre de convergence de la m´ thode num´ rique. e e6.2.1 Les sch´ mas de Runge-Kutta e D´ crivons d’abord la mani` re de construire un sch´ ma num´ rique pour l’´ quation e e e e e(6.2). Puisque la fonction f est continue, elle est int´ grable sur [0, T ] et donc en eint´ grant (6.2) sur l’intervalle [tn , tn + ∆t], nous avons e tn+1 u(tn+1 ) − u(tn ) = f (s, u(s)) ds. tnLe sch´ ma num´ rique s’obtient alors en appliquant une formule de quadrature pour e eapprocher l’int´ grale du cˆ t´ droit de l’´ galit´ . e oe e e Le sch´ ma d’Euler explicite. Par exemple, en appliquant la m´ thode des rec- e e ntangles a gauche vue au Chapitre 5 [section 5.2.3] au point t , nous obtenons ` tn+1 f (s, u(s)) ds ∆t f (tn , u(tn )). tnEn remplacant u(tn ) par son approximation v n vient alors le sch´ ma d’Euler explicite ¸ e   0  v = u(0)      (6.5)      n+1 = v n + ∆t f (tn , v n ), pour n = 0, . . . , N − 1,   vqui peut aussi s’´ crire sous la forme e v n+1 = v n + ∆t φ(tn , v n , ∆t), n = 0, . . . , N − 1,
  9. 9. ´ `6.2. SCHEMAS A UN PAS EXPLICITES 231avec φ(tn , v n , ∆t) = f (tn , v n ) .Nous etudierons pr´ cis´ ment la convergence de ce sch´ ma et d´ montrerons par la ´ e e e emˆ me occasion le Th´ or` me de Cauchy-Lipschitz (Th´ or` me 6.1.1) pour l’existence e e e e ede solutions. Le sch´ ma de Runge. Une autre approximation consiste a utiliser la formule du e `point milieu etudi´ e au Chapitre 5 [section 5.4.3] ´ e tn+1 ∆t ∆t f (s, u(s)) ds ∆t f tn + , u tn + tn 2 2mais au pr´ alable il est imp´ ratif de construire une approximation de u(tn + ∆t ). Pour e e 2cela, appliquons simplement le sch´ ma d’Euler explicite pr´ sent´ pr´ c´ demment sur e e e e eun demi-pas de temps ∆t ∆t u tn + u(tn ) + f (tn , u(tn )) . 2 2En remplacant u(tn ) par sa valeur approch´ e v n , nous obtenons le sch´ ma de Runge ¸ e eexplicite qui comporte deux etapes ´    k1 = f (tn , v n ),              n ∆t n ∆t  k2 = f t + 2 , v +  2 k1 ,            n+1 = v n + ∆t k2 ,   vqui peut aussi s’´ crire sous la forme e v n+1 = v n + ∆t φ(tn , v n , ∆t), n = 0, . . . , N − 1,avec ∆t n ∆t φ(tn , v n , ∆t) = f tn + ,v + f (tn , v n ) . 2 2 Le sch´ ma de Runge-Kutta. Plus g´ n´ ralement, d´ finissons les sch´ mas de Runge- e e e e eKutta explicites de la mani` re suivante : e
  10. 10. 232 ´ ´ CHAPITRE 6. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLESD´ finition 6.2.1 Une m´ thode de Runge-Kutta a s etages est donn´ e par e e ` ´ e    k = f (tn , v n ),  1                k = f (tn + c ∆t, v n + ∆t a k ) ,  2  2 2,1 1    . . (6.6)  .      ks = f (tn + cs ∆t, v n + ∆t (as,1 k1 + . . . + as,s−1 ks−1 )) ,                n+1   v = v n + ∆t (b1 k1 + b2 k2 + . . . + bs ks ) ,o` ci , ai,j et bj sont des coefficients. Nous les repr´ sentons habituellement par le u esch´ ma e c1 0 .. c2 a2,1 . . . . . .. .. (6.7) . . . . cs as,1 . . . as,s−1 0 b1 ... bs−1 bsExemple 6.2.1 Les m´ thodes d’Euler et de Runge peuvent donc etre repr´ sent´ es par e ˆ e eles tableaux suivants : 0 0 1/2 1/2 1 0 1 Donnons en particulier le sch´ ma de Runge-Kutta d’ordre quatre. C’est une ex- ecellente m´ thode pour la plupart des probl` mes de Cauchy (6.2), c’est certainement la e epremi` re a essayer puisque nous verrons qu’elle est tr` s pr´ cise et assez stable ! Elle e ` e eest a quatre etages et est d´ finie par la fonction ` ´ e 1 φ(t, v n , ∆t) = (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4 ) , 6
  11. 11. ´ `6.2. SCHEMAS A UN PAS EXPLICITES 233avec    k = f (tn , v n ),   1               k = f tn + ∆t , v n + ∆t  2   2 2 k1 ,         k3 = f tn + ∆t , v n + ∆t k2 ,    2 2               k4 = f (tn + ∆t, v n + ∆t k3 ) .Cette m´ thode combine les formules de quadrature de Simpson et du trap` ze etudi´ es e e ´ eau Chapitre 5 [section 5.2.3] tandis que les evaluations aux temps interm´ diaires sont ´ efournies par la m´ thode d’Euler explicite. Nous v´ rifions que son ecriture matricielle e e ´est la suivante 0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1 0 0 1 1/6 1/3 1/3 1/6 Avant de se lancer dans l’analyse des sch´ mas a un pas, comparons la pr´ cision des e ` ediff´ rents sch´ mas pour un probl` me dont la solution exacte est connue e e eExemple 6.2.2 Proposons de comparer l’ordre de convergence des diff´ rents sch´ mas e enum´ riques. Pour cela, consid´ rons l’´ quation diff´ rentielle scalaire e e e e    u (t) = −u(t), t ∈ [0, 1],             u(t = 0) = 1,dont la solution exacte est connue : u(t) = u(0) e−t .
  12. 12. 234 ´ ´ CHAPITRE 6. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES Nous effectuons alors plusieurs simulations -5 num´ riques en faisant e tendre le param` tre ∆t e -10 vers z´ ro pour les sch´ mas e e log(e(dt)) d’Euler explicite, de -15 Runge et de Runge-Kutta -20 a quatre etages. Sur la ` ´ Figure 6.2, l’axe des Euler explicite -25 Runge d’ordre 2 abscisses correspond Runge-Kutta d’ordre 4 au log(∆t) et l’axe des -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 ordonn´ es e repr´ sente e log(dt) log(maxn≥0 |en (∆t)|). F IG . 6.2 – Comparaison des sch´ mas d’Eu- e Ainsi, la pente correspond ler, de Runge et Runge-Kutta 4. a l’ordre de la m´ thode. ` e Nous constatons sur cet exemple que le sch´ ma d’Euler explicite est d’ordre un, ele sch´ ma de Runge est d’ordre deux tandis que le sch´ ma de Runge-Kutta a quatre e e `etages est d’ordre quatre !´Simulation d’une solution chaotique Dans beaucoup d’applications, les solutionsd’une equation diff´ rentielle ordinaire sont chaotiques. Il n’y a pas de d´ finition for- ´ e emelle pr´ cise de la notion de chaos, mais une d´ finition convenable est que lorsque e et devient grand, une connaissance approximative de la donn´ e initiale u(0) rend le ecomportement de la solution incompr´ hensible. e Consid´ rons par exemple le mod` le de Lorentz : nous cherchons a approcher les e e `fonctions (x(t), y(t), z(t)) pour tout t ≥ 0 du syst` me suivant e    x = σ (y − x),       y = x (ρ − z) − y,       z = x y − β z,avec σ = 10, ρ = 28 et β = 8/3. En appliquant le th´ or` me de Cauchy-Lipschitz (Th´ or` me 6.1.1), nous montrons e e e eque sur tout intervalle de temps [0, T ], il existe une unique solution au syst` me de eLorentz. Cependant, la simulation num´ rique de ce syst` me pose de r´ elles difficult´ s e e e elorsque le nombre d’it´ rations devient grand. e
  13. 13. ´ `6.2. SCHEMAS A UN PAS EXPLICITES 235 Choisissons une donn´ e initiale e qui est une perturbation de l’´ quilibre (0, 0, 0) de l’ordre e trajectoire de (x,y,z) de 10−6 . Nous observons alors z 50 plusieurs choses. Tout d’abord, 45 40 35 30 en tracant sur la Figure 6.3 ¸ 25 20 15 l’´ volution des composantes e 10 5 0 (x(t), y(t), z(t)) au cours du 20 30 10 temps, la solution forme une -20 -15 -10 -5 0 -20 -10 0 y x 5 10 15 20 -30 sorte de papillon. Notons que pour diff´ rents pas de temps e ∆t = 2. 10−4 , 2. 10−5 et 2. 10−6 ´ F IG . 6.3 – Evolution de (x, y, z). le comportement qualitatif de la solution reste le mˆ me. eCependant, en tracant l’´ volution des composantes x(t) et z(t), nous observons que ¸ epour t ≥ 15, les simulations num´ riques mettent en evidence un comportement chao- e ´tique de la solution num´ rique pour diff´ rents pas de temps (voir Figure 6.4). e e 30 dt = 2.E-4 dt = 2.E-4 dt = 2.E-5 50 dt = 2.E-5 dt = 2.E-6 dt = 2.E-6 20 40 10 30 x(t) z(t) 0 20 -10 10 -20 0 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 t t ´F IG . 6.4 – Evolution des composantes xn et z n en fonction de n pour un sch´ ma ed’Euler explicite et diff´ rents pas de temps ∆t = 2. 10−4, 2. 10−5 et 2. 10−6. e C’est pourquoi, il est important d’´ tudier le plus pr´ cis´ ment possible le comporte- e e ement de la solution num´ rique lorsque le param` tre ∆t tend vers z´ ro. Par la suite, nous e e eetudierons les m´ thodes de discr´ tisation des equations diff´ rentielles dites ¡¡ sch´ ma´ e e ´ e ea un pas ¿¿.` L’ensemble de ces m´ thodes num´ riques peut etre d´ crit comme un sch´ ma a un e e ˆ e e `pas explicite, autrement dit le sch´ ma s’´ crit sous la forme e e   0  v = u(0)  (6.8)  n+1  v n n n  = v + ∆t φ(t , v , ∆t), n = 0, . . . , N − 1,
  14. 14. 236 ´ ´ CHAPITRE 6. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLESo` φ : R+ × Rd × R+ → Rd d´ finit compl` tement la m´ thode num´ rique. Bien sˆ r, u e e e e ula m´ thode est dite a un pas car v n+1 ne d´ pend que de l’´ tape pr´ c´ dente v n . e ` e e e e Ainsi l’algorithme est satisfaisant d` s lors que l’erreur en = v n −u(tn ) converge evers 0 pour tout n ∈ {0, . . . , N} lorsque le pas de temps ∆t tend vers z´ ro. e ´ Etudions d’abord le sch´ ma le plus simple, c’est-` -dire le sch´ ma d’Euler explicite, e a epour lequel nous proposons une d´ monstration de convergence qui ne repose pas sur eun r´ sultat d’existence de solutions pour (6.2) : la convergence du sch´ ma num´ rique e e econstitue donc une preuve du Th´ or` me de Cauchy-Lipschitz (Th´ or` me 6.1.1). En- e e e esuite, nous proposons une etude g´ n´ rale des sch´ mas a un pas et donnons des condi- ´ e e e `tions suffisantes sur la fonction φ pour d´ montrer la convergence et calculer l’ordre du esch´ ma. e6.2.2 Convergence du sch´ ma d’Euler explicite e Soit u(t) la solution exacte de l’´ quation diff´ rentielle (6.2) et v n la solution ap- e eproch´ e donn´ e par le sch´ ma a un pas (6.8). D´ finissons l’erreur globale au temps tn e e e ` epar la diff´ rence entre les solutions exacte et approch´ e : e e en (∆t) = u(tn ) − v n , n ∈ N.D´ finition 6.2.2 Consid´ rons l’´ quation diff´ rentielle ordinaire (6.2). Nous disons que e e e ele sch´ ma (6.8) est convergent sur l’intervalle [0, T ] lorsque pour ∆t = T /N e lim max en (∆t) = 0. ∆t→0 n=0,...,N En outre le sch´ ma est convergent d’ordre p s’il existe une constante C > 0 ne ed´ pendant que de f , T , u0 et surtout pas de ∆t telle que e max en (∆t) ≤ C ∆tp . n=0,...,N Supposons que pour T > 0, la fonction f appartient a C([0, T ]×U, E) et consid´ rons ` ele sch´ ma d’Euler explicite pour (6.2) e v n+1 = v n + f (tn , v n ).Notons alors v∆t la fonction affine par morceaux de [0, T ] a valeurs dans E, d´ finie par ` e v n+1 − v n v∆t (t) = v n + (t − tn ), t ∈ [tn , tn+1 [, n = 0, . . . , N − 1. ∆t Nous souhaitons d´ montrer que la fonction v∆t converge vers une solution de (6.2). eD’une part, puisque f est continue elle est born´ e sur tout compact. La ¡¡ d´ riv´ e ¿¿ e e ede v∆t est alors born´ e sur un intervalle inclus dans [0, T ] ind´ pendamment de ∆t. e eL’ensemble (v∆t )∆t>0 forme ainsi une famille de fonctions equicontinues dont une ´sous-suite converge uniform´ ment grˆ ce au Th´ or` me d’Arzel` -Ascoli. e a e e aTh´ or` me 6.2.1 (Th´ or` me d’Arzel` -Ascoli) Soit (vm )m∈N une suite de fonctions e e e e atelles que {vm : [0, T ] → R, m ∈ N} est equicontinue sur [0, T ] avec 0 < T < +∞, ´
  15. 15. ´ `6.2. SCHEMAS A UN PAS EXPLICITES 237c’est-` -dire que pour tout ε > 0, il existe δ > 0 ind´ pendant de m ∈ N tel que pour a etout |t − s| ≤ δ, sup vm (t) − vm (s) ≤ ε. m∈NSi la suite (vm )m∈N est born´ e, alors il existe une sous-suite qui converge uniform´ ment. e e Montrons alors le r´ sultat suivant (qui englobe une partie du Th´ or` me 6.1.1). e e eTh´ or` me 6.2.2 (Convergence du sch´ ma d’Euler explicite) Soient f ∈ C 0 ([0, T ]× e e eU, E), B(u0 , δ) ⊂ U et M = sup |f (t, u)| (t,u)∈[0,T ]×B(u0 ,δ)Alors il existe au moins une solution au probl` me de Cauchy (6.2) d´ finie sur l’in- e etervalle [0, T0 ] avec T0 = min(T, δ/M) et il existe une sous-suite de la solutionnum´ rique donn´ e par le sch´ ma d’Euler qui converge vers cette solution. e e e D´ monstration : Soient δ > 0 et T > 0 tels que B(u0 , δ) ⊂ U, alors par ed´ finition de M la solution num´ rique v∆t (t) ∈ B(u0 , δ) pour tout t ∈ [0, T0 ] avec e eT0 = min(T, δ/M) et de plus v∆t (t) − v∆t (s) ≤ M |t − s|.Ainsi, d’apr` s le Th´ or` me d’Arzel` -Ascoli, il existe une sous-suite (v1/m )m∈N∗ qui e e e aconverge uniform´ ment vers une fonction u. Il reste a d´ montrer que u est solution de e ` e(6.2), c’est-` -dire que pour tout t ∈ [0, T0 ] a t u(t) = u(0) + f (s, u(s)) ds. 0En utilisant le fait que f est uniform´ ment continue sur [0, T ] × U, il existe δ(∆t) → 0 elorsque ∆t → 0 telle que f (t, v) − f (s, w) ≤ δ(∆t), v − w ≤ M ∆t et |t − s| ≤ ∆t.C’est pourquoi, t v∆t (t) − u(0) − f (s, v∆t (s)) ds ≤ 0 N −1 tn+1 f (s, v∆t(s)) − f (tn , v n ) + f (s, v∆t (s)) − f (tn+1 , v n+1 ) ds n=0 tn N −1 ≤ 2 δ(∆t) ∆t = 2 T δ(∆t). n=0En ecrivant cette in´ galit´ pour une sous-suite convergente et en passant a la limite ∆t ´ e e `tend vers z´ ro, nous obtenons le r´ sultat. e e 2 Nous montrons facilement que lorsque la fonction f est lipschitzienne par rapporta la seconde variable, la suite d´ finie par le sch´ ma d’Euler converge uniform´ ment.` e e e
  16. 16. 238 ´ ´ CHAPITRE 6. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES e e `6.2.3 Consistance et stabilit´ des sch´ mas a un pas ´ Etablissons maintenant des crit` res g´ n´ raux sur l’ensemble des sch´ mas num´ riques e e e e ea un pas, ecrits sous la forme (6.8), ce qui permettra de d´ montrer facilement la conver-` ´ egence de la solution approch´ e vers la solution exacte. Pour cela, d´ finissons deux no- e etions importantes : la consistance qui renseigne sur la coh´ rence de la discr´ tisation et e ela stabilit´ qui signifie le contrˆ le de l’accumulation des erreurs. e o Pour n ∈ N, l’erreur de consistance du sch´ ma (6.8) au temps t, pour u une solution ede (6.2) et un pas de temps ∆t, est obtenue en appliquant le sch´ ma de discr´ tisation a e e `la solution exacte, c’est-` -dire a u(t + ∆t) − u(t) R(t, u, ∆t) = − φ(t, u(t), ∆t), (6.9) ∆tce qui permet alors de d´ finir la consistance. eD´ finition 6.2.3 Consid´ rons le sch´ ma a un pas (6.8) associ´ a l’´ quation diff´ rentielle e e e ` e` e e(6.2). Nous disons que le sch´ ma est consistant lorsque pour tout t ∈ [0, T ] et toute esolution u ∈ C([0, T ], Rd ) de (6.2) lim R(t, u, ∆t) = 0. ∆t→0 De plus, pour p ∈ N, le sch´ ma est consistant d’ordre p s’il existe une constante eC > 0 ne d´ pendant que de f , T et u0 mais surtout pas de ∆t telle que e R(t, u, ∆t) ≤ C ∆tp , pour tout t ≥ 0et toute solution u ∈ C([0, T ], Rd ) de (6.2). Ainsi, la consistance donne une indication sur la coh´ rence de l’approximation φ ede la fonction f . En effet, elle signifie que lorsque le param` tre de discr´ tisation ∆t e e ´tend vers z´ ro, la fonction φ(t, u(t), ∆t) converge vers f (t, u(t)). Etablissons alors une econdition suffisante sur φ pour que le sch´ ma (6.8) soit consistant. eProposition 6.2.1 (Condition suffisante pour la consistance) Consid´ rons le sch´ ma e ea un pas (6.8) associ´ a l’´ quation diff´ rentielle (6.2). Si la fonction φ ∈ C (R ×Rd ×` e` e e 0 +R+ , Rd ) et pour tout w ∈ Rd , t ∈ [0, T ] φ(t, w, 0) = f (t, w).Alors le sch´ ma (6.8) est consistant. e D´ monstration : Prenons u ∈ C 1 ([0, T ], Rd ) la solution exacte de (6.2), nous pou- evons ecrire pour t ∈ [0, T − ∆t] ´ t+∆t t+∆t u(t + ∆t) − u(t) = u (s) ds = f (s, u(s)) ds. t t
  17. 17. ´ `6.2. SCHEMAS A UN PAS EXPLICITES 239Nous en d´ duisons alors que e u(t + ∆t) − u(t) R(t, u, ∆t) = − φ(t, u(t), ∆t), ∆t t+∆t 1 = [f (s, u(s)) − φ(t, u(t), ∆t)] ds. ∆t tSoit ε > 0, puisque φ est une fonction continue au point (t, u(t), 0) et φ(t, u(t), 0) =f (t, u(t)), il existe η1 > 0 tel que pour tout ∆t ≤ η1 ε φ(t, u(t), ∆t) − f (t, u(t)) ≤ . 2Nous avons donc par in´ galit´ triangulaire e e t+∆t ε 1 R(t, u, ∆t) ≤ + f (s, u(s)) − f (t, u(t)) ds. 2 ∆t tD’autre part, la fonction s → f (s, u(s)) est continue sur [0, T ], elle est donc uni-form´ ment continue, il existe donc η2 > 0 tel que pour tout |t − s| ≤ ∆t ≤ η2 , e t+∆t 1 ε f (s, u(s)) − f (t, u(t)) ds ≤ . ∆t t 2Ainsi, lorsque ∆t ≤ η = min(η1 , η2 ), l’erreur de consistance satisfait R(t, u, ∆t) ≤ ε,ce qui d´ montre la proposition. e 2 Pour obtenir la consistance d’ordre p > 1, il est n´ cessaire de supposer que la efonction f ∈ C p ([0, T ] × U, Rd ), ce qui implique d’apr` s le Th´ or` me 6.1.1 que u ∈ e e e p+1 d p−mC ([0, T ], R ). D´ finissons alors f(m) ∈ C e ([0, T ] × U, R ) pour (t, w) ∈ R × Rd d    f (t, w) = f (t, w)  (0)           ∂f(m)  f(m+1) (t, w) = (t, w) + w f(m) (t, w) f (t, w), m ≥ 0. ∂tPar r´ currence, la solution de (6.2) v´ rifie pour tout m ∈ {0, . . . , p} e e u(m+1) (t) = f(m) (t, u(t)), t ∈ [0, T ]. `A partir de cette derni` re egalit´ et d’un d´ veloppement de Taylor de la solution de e ´ e e(6.2) a l’ordre p, il vient ` p ∆tm (m) ∆tp+1 (p+1) u(t + ∆t) = u(t) + u (t) + u (η), m=1 m! (p + 1)! p−1 ∆tm ∆tp+1 (p+1) = u(t) + ∆t f(m) (t, u(t)) + u (η). m=0 (m + 1)! (p + 1)!
  18. 18. 240 ´ ´ CHAPITRE 6. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLESAinsi, en choisissant la fonction φ telle que p−1 ∆tm φ(t, v, ∆t) = f(m) (t, v) , (6.10) m=0 (m + 1)!l’erreur de consistance v´ rifie naturellement e u(t + ∆t) − u(t) ∆tp R(t, u, ∆t) = − φ(t, u(t), ∆t) = u(p+1) (η) . ∆t (p + 1)!Compte tenu que u(p+1) est continue, elle est born´ e sur [0, T ] et l’erreur de consis- etance est bien d’ordre p. Nous pouvons alors facilement d´ montrer a l’aide de (6.10) la e `Proposition suivanteProposition 6.2.2 (Condition suffisante pour la consistance d’ordre p) Consid´ rons ele sch´ ma a un pas (6.8) associ´ a l’´ quation diff´ rentielle (6.2). Si la fonction φ ∈ e ` e` e eC p−1 (R+ × Rd × R+ , Rd ) et v´ rifie pour tout m = {0, . . . , p − 1} e ∂mφ f(m) (t, v) m (t, v, 0) = , t ∈ [0, T ]. ∂∆t m+1Alors le sch´ ma (6.8) est consistant d’ordre p. e C’est alors un exercice trivial que de v´ rifier que le sch´ ma de Runge est effective- e ement d’ordre deux et le sch´ ma de Runge-Kutta a quatre etages est d’ordre quatre. e ` ´ Ces crit` res donnent une information sur la pr´ cision d’une etape de discr´ tisation e e ´ emais ils n’assurent pas que l’accumulation des erreurs ne converge pas vers l’infinilorsque le nombre d’´ tapes ou d’it´ rations croˆt. Pour exprimer cela, introduisons la e e ınotion de stabilit´ . eD´ finition 6.2.4 Le sch´ ma (6.8) est stable s’il existe ∆t > 0 et R > 0 pouvant e ed´ pendre de la donn´ e initiale u0 et du temps final T = N ∆t tels que pour tout e e∆t ∈ [0, ∆t [ v n ∈ B(0, R), ∀ n = 0, , . . . , N,o` B(0, R) d´ signe la boule de centre 0 et de rayon R. Autrement dit la solution u enum´ rique v n est born´ e ind´ pendamment de n et ∆t. e e e En outre, le sch´ ma est inconditionnellement stable lorsque ∆t = ∞. e Notons que cette notion de stabilit´ a d´ j` et´ utilis´ e pour d´ montrer la conver- e ea ´e e egence du sch´ ma d’Euler explicite puisque nous avons d´ montr´ en premier lieu que la e e esolution num´ rique est born´ e. Cependant cette condition se r´ v` le bien souvent trop e e e efaible pour permettre une analyse de convergence d’un sch´ ma num´ rique a un pas. e e `C’est pourquoi, nous introduisons une notion de stabilit´ plus contraignante, c’est la estabilit´ par rapport aux erreurs. eD´ finition 6.2.5 Le sch´ ma (6.8) est stable par rapport aux erreurs s’il existe ∆t > 0 e eet C > 0 d´ pendant de u0 , f et T tels que pour 0 ≤ ∆t ≤ ∆t , e v n+1 := v n + ∆t φ(tn , v n , ∆t),
  19. 19. ´ `6.2. SCHEMAS A UN PAS EXPLICITES 241et w n+1 := w n + ∆t φ(tn , w n , ∆t) + εn ,pour n = 0, . . . , N − 1 et (εn )n∈N ⊂ Rd est donn´ e, alors e n−1 n n 0 0 v −w ≤ C v −w + εi , i=0pour tout n = 0, . . . , N − 1. Cette d´ finition signifie que pour qu’un sch´ ma soit stable il faut et il suffit que e el’accumulation des erreurs soit du mˆ me ordre que la somme des erreurs commises a e `chaque etape. Nous proposons une condition suffisante de stabilit´ pour un sch´ ma a ´ e e `un pas de la forme (6.8)Proposition 6.2.3 (Condition suffisante pour la stabilit´ ) Supposons que la fonction eφ est continue et lipschitzienne par rapport a la variable v ∈ Rd , o` Γ > 0 est la ` uconstante de Lipschitz : φ(t, u, ∆t) − φ(t, v, ∆t) ≤ Γ u − v (6.11)pour tout t ≥ 0 et ∆t > 0. Alors la solution num´ rique donn´ e par (6.8) est stable par e erapport aux erreurs. D´ monstration : Soient (v n )n et (w n )n telles que e v n+1 := v n + ∆t φ(tn , v n , ∆t),et w n+1 := w n + ∆t φ(tn , w n , ∆t) + εn .En faisant la diff´ rence et en utilisant la condition (6.11), il vient pour en = v n − w n e en+1 ≤ (1 + Γ ∆t) en + εn .Puis en proc´ dant par r´ currence, nous obtenons e e n n+1 n+1 0 e ≤ (1 + Γ ∆t) e + (1 + Γ ∆t)n−k εk . k=0En observant que 1 + Γ ∆t ≤ eΓ ∆t , nous avons alors simplement n n+1 Γ tn+1 0 e ≤ e e + εk , k=0ce qui d´ montre le r´ sultat de stabilit´ par rapport aux erreurs avec C = eΓ T > 0. 2 e e e ` A partir de la notion de consistance et de stabilit´ , nous pouvons d´ montrer la e econvergence de la solution num´ rique vers la solution exacte de (6.2). C’est un r´ sultat e eclassique en analyse num´ rique et plus g´ n´ ralement en analyse : nous verrons plus e e etard que cette notion revient lors de l’analyse de sch´ mas num´ riques pour les equations e e ´aux d´ riv´ es partielles. e e
  20. 20. 242 ´ ´ CHAPITRE 6. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLESTh´ or` me 6.2.3 (Consistance + Stabilit´ ⇒ Convergence) Nous supposons que le e e esch´ ma (6.8) est consistant d’ordre p et stable par rapport aux erreurs. Alors la solu- etion num´ rique converge vers la solution exacte de (6.2). L’erreur v´ rifie en outre e e en (∆t) ≤ C ∆tp + e0 (∆t) ,pour tout n = 0, . . . , N, o` C > 0 ne d´ pend que de T , f et u. u e D´ monstration : Puisque le sch´ ma est consistant, la solution exacte u v´ rifie e e e u(tn+1 ) = u(tn ) + ∆t φ(tn , u(tn ), ∆t) + ∆t R(tn , u, ∆t),avec la condition suivante sur R(tn , u, ∆t) : pour tout t ∈ [0, T ] et u solution exactede (6.2) lim R(t, u, ∆t) = 0, ∆t→0et puisque le sch´ ma est d’ordre p e R(t, u, ∆t) ≤ C ∆tp , ∀t ∈ [0, T ].D’autre part, la solution num´ rique est donn´ e par e e v n+1 = v n + ∆t φ(tn , v n , ∆t).En faisant la diff´ rence entre les deux egalit´ s, le terme d’erreur en (∆t) = v n − u(tn ) e ´ esatisfait la relation de r´ currence e en+1 (∆t) = en (∆t) + ∆t [ φ(tn , v n , ∆t) − φ(tn , u(tn ), ∆t)] − ∆t R(tn , u(tn ), ∆t).Ainsi, en appliquant directement la d´ finition de la stabilit´ par rapport aux erreurs e eavec w n = u(tn ), il vient n−1 n 0 e (∆t) ≤ C e (∆t) + ∆t R(ti , u, ∆t) . i=0Puisque le sch´ ma est consistant, nous avons e n−1 ∆t R(ti , u, ∆t) ≤ T max R(ti , u, ∆t) , 0≤i≤n−1 i=0le terme de droite tend bien vers z´ ro lorsque ∆t converge vers z´ ro, puisque pour tout e ei ∈ {0, . . . , n} lim R(ti , u, ∆t) = 0 ∆t→0 0et u converge vers u(0) donc le sch´ ma est convergent. e En outre, le sch´ ma etant consistant d’ordre p, l’erreur est du mˆ me ordre e ´ e n−1 n 0 e (∆t) ≤ C e (∆t) + ∆t R(ti , u(ti), ∆t) i=0 ≤ C e0 (∆t) + ∆tp . 2
  21. 21. ´ ´6.3. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES RAIDES 243 ´6.3 Les equations diff´ rentielles raides e Consid´ rons l’exemple d’une equation diff´ rentielle mod´ lisant une r´ action chi- e ´ e e emique pour un param` tre ε > 0 assez petit, e ε a −→ b lente, 1/ε2 b+b −→ c + b tr` s rapide, e 1/ε b+c −→ c + a rapide,o` a, b et c sont trois r´ actants de concentration Ca (t), Cb (t) et Cc (t). Sur un intervalle u ede temps dt, la variation de la concentration Ca diminue proportionnellement a ε pour `produire de la substance b et dans le mˆ me temps augmente proportionnellement a 1/ε e `par association des substances b et c produisant a la fois les r´ actants a et c, ce qui ` econduit a` Cb Cc dCa = −ε Ca dt + dt. 2εDe la mˆ me mani` re e e Cb Cb Cb Cb Cb Cc dCb = ε Ca dt + 2 dt − 2 dt − dt 2ε ε 2εet Cb Cb Cb Cc Cb Cc dCc = dt + dt − dt. 2ε2 2ε 2εEn passant formellement a la limite dt → 0, nous obtenons un syst` me d’´ quations ` e ediff´ rentielles raides, c’est-` -dire contenant des echelles d’ordre diff´ rent ε, 1/ε et e a ´ e1/ε2   C (t) = −ε C (t) + Cb (t) Cc (t) ,   a  a    2ε 2 Cb (t) Cb (t) Cc (t)  Cb (t) = +ε Ca(t) − 2ε2 −  2ε ,   2  Cc (t) = Cb (t) .   2ε2Cette r´ action d´ crit la production de r´ actants c a partir de la substance a tandis e e e `que b sert de catalyseur. Observons en effet que Cc = 1, Ca = Cb = 0 est unequilibre vers lequel la solution est suppos´ e converger. Pour un tel syst` me, l’utili-´ e esation d’une m´ thode de Runge-Kutta explicite est pratiquement impossible car nous eserions oblig´ s de prendre un pas de temps ∆t tr` s petit pour obtenir une approxi- e emation raisonnable, sans quoi la solution num´ rique devient instable. En effet, une ecaract´ ristique de cette equation diff´ rentielle est la pr´ sence de diff´ rentes echelles e ´ e e e ´(lente, tr` s rapide et rapide), pour que le sch´ ma explicite reste pr´ cis, il faut que le pas e e ede temps soit du mˆ me ordre que la fr´ quence la plus rapide, c’est-` -dire ici de l’ordre e e a 2de ε . Pour mieux comprendre ce ph´ nom` ne, consid´ rons un probl` me bien plus simple e e e epour lequel tous les calculs sont explicites et qui poss` de les mˆ mes caract´ ristiques e e e ε u (t) = −u(t) + cos(t), 0<ε 1. (6.12)
  22. 22. 244 ´ ´ CHAPITRE 6. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLESCette equation diff´ rentielle est lin´ aire inhomog` ne et la solution exacte est donn´ e ´ e e e epar 1 cos(t) ε sin(t) u(t) = u0 − 2 e−t/ε + 2 + . 1+ε 1+ε 1 + ε2Cette solution est la somme d’une fonction oscillant a une p´ riode de 2π et d’une ` efonction qui tend vers z´ ro a la vitesse de 1/ε. e ` Observons maintenant ce qu’il se passe lorsque nous appliquons la m´ thode d’Eu- eler explicite a une telle equation pour un pas de temps ∆t constant. La solution num´ rique ` ´ eau temps tn = n ∆t est alors donn´ e par e ∆t ∆t v n+1 = 1− vn + cos(tn ). ε εComme pour l’´ quation diff´ rentielle, recherchons une solution sous la forme e e n n ∆t v = 1− (v 0 − α) + α cos(tn ) + β sin(tn ). εEn injectant cet ¡¡ ansatz ¿¿ dans le sch´ ma num´ rique, nous obtenons deux equations e e ´lin´ aires pour α et β dont la solution est de la forme e α = 1 + O(ε ∆t), β = ε + O(ε∆t2 ),ce qui donne finalement n n ∆t v = 1− (v 0 − 1) + cos(tn ) + ε sin(tn ) + O(ε ∆t). εAinsi, la solution num´ rique v n est proche de la solution exacte seulement lorsque le epas de temps v´ rifie la condition e |1 − ∆t/ε| < 1,c’est-` -dire lorsque ∆t < ε, ce qui est trop contraignant dans la pratique lorsque aε est tr` s petit. En d´ finitive, tous les sch´ mas explicites a un pas doivent satisfaire e e e `une condition similaire pour que la solution num´ rique soit stable, ce qui les rend einutilisables pour ce type de probl` me a plusieurs echelles. Il faut donc construire des e ` ´sch´ mas diff´ rents pour les syst` mes diff´ rentiels raides. e e e e Envisageons alors l’utilisation d’une m´ thode implicite directement inspir´ e du e esch´ ma d’Euler. En reprenant la d´ marche utilis´ e pr´ c´ demment sur l’intervalle [tn , tn + e e e e e∆t], tn+1 n+1 n u(t ) − u(t ) = f (s, u(s)) ds, tnle sch´ ma d’Euler implicite consiste a appliquer la m´ thode des rectangles en utilisant e ` ela valeur a droite f (tn+1 , u(tn+1)), il vient alors ` tn+1 f (s, u(s)) ds ∆t f (tn+1 , u(tn+1 )). tn
  23. 23. ´ ´6.3. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES RAIDES 245Le sch´ ma d’Euler implicite s’obtient alors en remplacant u(tn+1 ) par son approxi- e ¸mation v n+1   0  v = u(0)  (6.13)  n+1  v n n+1 n+1  = v + ∆t f (t , v ), pour n = 0, . . . , N − 1. Remarquons que pour le sch´ ma d’Euler implicite, l’existence et a fortiori le cal- ecul de v n+1 n’est pas evident, il est donn´ de mani` re implicite et un probl` me non ´ e e elin´ aire doit en g´ n´ ral etre r´ solu, ce qui n’est pas toujours facile. Avant d’aborder ces e e e ˆ eprobl` mes, v´ rifions que ce type de sch´ ma convient bien a la r´ solution d’´ quations e e e ` e ediff´ rentielles raides. Pour cela, revenons au probl` me d’une equation diff´ rentielle e e ´ elin´ aire raide (6.12). Un calcul analogue a celui effectu´ pour le sch´ ma d’Euler expli- e ` e ecite donne ici ∆t ∆t 1+ v n+1 = v n + cos(tn+1 ), ε εdont la solution peut etre ecrite sous la forme ˆ ´ −n n ∆t v = 1+ (v 0 − 1) + cos(tn ) + ε sin(tn ) + O(∆t ε). εCette fois-ci nous n’avons pas de restriction sur la longueur du pas, car 1 < 1, 1 + ε ∆tpour tout ∆t > 0. Dans ce cas, le sch´ ma implicite donne une bonne approximation emˆ me si ∆t est tr` s grand. Il y a donc bon espoir que des sch´ mas implicites soient e e emieux adapt´ s a la r´ solution num´ rique de probl` mes raides. e ` e e e 1.5 Solution d’Euler explicite Solution d’Euler implicite 4 Solution exacte Solution exacte 1 2 0.5 0 0 -2 -0.5 -4 -1 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 (a) (b) ´F IG . 6.5 – Evolution de la solution num´ rique obtenue par un sch´ ma d’Euler (a) e e −1explicite et (b) implicite pour l’´ quation (6.12) avec ε = 10 et ∆t = 0, 2. e Par la suite, nous etudions la convergence du sch´ ma d’Euler implicite a l’aide ´ e `de la m´ thodologie d´ velopp´ e pour les sch´ mas a un pas. Puis, nous introduisons e e e e `une nouvelle notion de stabilit´ pour la compr´ hension des ph´ nom` nes a plusieurs e e e e `echelles (A-stabilit´ ) et proposons d’autres sch´ mas implicites d’ordre plus elev´ .´ e e ´ e

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