Busness Management

1. ‫21/مه/91‬ ‫دکتر سلیمی فرد ::‬
‫‪http://faculty.pgu.ac.ir/salimifard‬‬
‫آضٌبیی بب برًبهِریسی عذد صحیح‬
‫‪ ‬هسئلِ ثشًبهِسیضی خغی ػذد صحیح، کِ دس آى ثشخی یب‬
‫ّوِ هتغیشّبی تصوین، ػذد صحیح ًبهٌفی است. چشا؟‬
‫‪ ‬غیشٍاقؼی ثَدى هقذاس اػطبسی دس ثسیبسی اص هسبئل ٍاقؼی‬
‫‪ ‬گبّی ًیبص ثِ تصوینگیشی ثب هتغیشّبی دٍ ٍضؼیتی‬
‫دکتر سلیوی فرد‬
‫‪ ‬هذلسبصی ٍاقؼیتش هسبئل دًیبی ٍاقؼی‬
‫گشٍُ هذیشیت صٌؼتی، داًطگبُ خلیح فبسس، ثَضْش‬
‫‪ ‬اهب، دضَاسی دس حل!!‬
‫‪http://www.pgu.ac.ir/web/salimifard‬‬
‫)‪Integer Linear Programming (ILP‬‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫4‬
‫هذل برًبهِریسی خطی )‪(LP‬‬ ‫گًَِّبی هسئلِ ‪ILP‬‬
‫} ‪max{c1x 1  c 2 x 2  ...  c n x n‬‬ ‫تبثغ ّذف‬
‫:‪subject to‬‬ ‫• هذل ‪LP‬‬ ‫• ثشًبهِسیضی ػذد صحیح خبلص‬
‫1‪a11x 1  a12 x 2  ...  a1n x n  b‬‬ ‫– ّوِ هتغیشّبی تصوین ػذد صحیح‬
‫2 ‪a21x 1  a22 x 2  ...  a2 n x n  b‬‬ ‫هحذٍدیتْب‬
‫• ثشًبهِسیضی ػذد صحیح آهیختِ‬
‫‪am 1x 1  am 2 x 2  ...  amn x n  b m‬‬ ‫– ثشخی هتغیشّبی تصوین ػذد صحیح‬
‫,1 ‪x j  0 ( j ‬‬ ‫)‪,n‬‬ ‫هحذٍدیت هتغیشّب‬ ‫• ثشًبهِسیضی صفش ٍ یک (دٍدٍیی)‬
‫‪max c T x‬‬ ‫:‪where‬‬ ‫– ّوِ هتغیشّبی تصوین دٍ ٍضؼیتی‬
‫‪x, c: n-vector‬‬
‫‪Ax  b‬‬ ‫:‪A‬‬ ‫‪m,n-matrix‬‬
‫• ضکل هبتشیسی‬
‫0‪x ‬‬ ‫:‪b‬‬ ‫‪m-vector‬‬ ‫)‪0-1 Integer Programming (BIP‬‬
‫)‪Mixed Integer Programming (MIP‬‬
‫)‪Pure Integer Programming (PIP‬‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫6‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫5‬
‫حل هسئلِ برًبهِریسی خطی : ترسیوی‬ ‫هثبل برًبهِریسی خطی‬
‫} 2 ‪max {x 1  x‬‬ ‫} 2 ‪max {x 1  x‬‬
‫‪T‬‬
‫‪1  x ‬‬
‫‪max    1 ‬‬
‫‪1  x 2 ‬‬
‫:‪subject to‬‬ ‫6‬ ‫4 ‪2 x1  x 2 ‬‬
‫2‪x‬‬ ‫:‪subject to‬‬
‫4 ‪2x 1  x 2 ‬‬ ‫5‬ ‫21 ‪3x1  4 x 2 ‬‬
‫4 ‪2x 1  x 2 ‬‬ ‫: ‪subject to‬‬
‫21 ‪3x 1  4x 2 ‬‬ ‫4‬
‫6 ‪x1  x 2 ‬‬
‫21 ‪3x 1  4x 2 ‬‬
‫یا‬ ‫‪2 1   x1   4 ‬‬
‫)2 ,1 ‪x j  0 ( j ‬‬ ‫‪3 4   x   12‬‬
‫3‬ ‫)‪(objective‬‬
‫2‬
‫)2 ,1 ‪x j  0 ( j ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2   ‬‬
‫هٌغقِ هَخِ‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1  0 ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ x 2  0 ‬‬
‫1‪x‬‬
‫0‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫8‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫7‬
‫1‬ ‫پژوهش عملیاتی :: برنامهریزی پویا‬

2. ‫21/مه/91‬ ‫دکتر سلیمی فرد ::‬
‫‪http://faculty.pgu.ac.ir/salimifard‬‬
‫هذل برًبهِریسی عذد صحیح : حل ترسیوی‬ ‫حل هسئلِ برًبهِریسی خطی‬
‫} 2 ‪max {x 1  x‬‬ ‫+‪x1,x2  Z‬‬
‫• ضیَُ ّبی حل‬
‫:‪subject to‬‬ ‫2‪x‬‬
‫6‬ ‫– سٍش سیوپلکس (دٍگبى)‬
‫4 ‪2x 1  x 2 ‬‬ ‫5‬ ‫– سٍضْبی کبسآ (هبًٌذ الگَسیتن کبسهبسکبس)‬
‫4‬ ‫• ثستِ ّبی ًشم افضاسی‬
‫21 ‪3x 1  4x 2 ‬‬
‫3‬ ‫‪www.lindo.com LINDO‬‬ ‫–‬
‫)2 ,1 ‪x j  Z  ( j ‬‬ ‫2‬
‫‪LINGO‬‬ ‫–‬
‫‪CPLEX‬‬ ‫–‬
‫1‬ ‫‪XPRESS-MP‬‬ ‫–‬
‫2 پبسخ ثْیٌِ‬ ‫1‪x‬‬ ‫• ًشم افضاسّبی هذلسبصی‬
‫0‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬
‫– ‪AIMMS‬‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫01‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫– ‪AMPL‬‬ ‫9‬
‫2‪max Z  3 x1  2 x‬‬
‫حل ‪ :ILP‬گرد کردى حل ‪LP‬‬ ‫حل ‪ :ILP‬گرد کردى حل ‪LP‬‬
‫3‬
‫‪ x1  x2 ‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫• پیطگیشی اص ّشصسفت ٍقت‬
‫2‬ ‫81=‪Z‬‬
‫3‬ ‫)5.4 ,3(‬ ‫• گشد کشدى پبسخ کسشی ‪LP‬‬
‫‪2 x1  x2 ‬‬
‫2‬ ‫– ثب ضوبس صیبد هتغیش، ضبیذ ثذ ًجبضذ‬
‫‪x1 , x2  0  int‬‬ ‫– گبّی پبسخ ًبضذًی است!‬
‫‪x‬‬
‫)0,0( ,)1,0( ,)1,1( ,)2,1( ,)3,2(‬
‫• پٌح1 پبسخ صحیح‬
‫• پبسخ ثب گشد کشدى )5,3( ,)4,3(‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫21‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫11‬
‫الگَریتوْبی حل ‪ILP‬‬
‫• دس ًگبُ ًخست، حل ‪ ILP‬سبدُ تش اص ‪ LP‬است‬
‫– چَى؛ ثِ خبی ثیٌْبیت ًقغِ، ضوبسی ًقغِ صحیح‬
‫• اهب، دس ‪ LP‬خستدَی هشصی‬
‫– فقظ ًقبط فشیي (گَضِ ای)‬
‫• ٍلی دس ‪ ILP‬خستدَی دسًٍی‬
‫– ّوِ ًقبط صحیح‬
‫• ًجَد سٍضی کبسآ ّوبًٌذ سیوپلکس ثشای ‪ILP‬‬
‫• دٍ الگَسیتن‬
‫– ضبخِ ٍ کشاى‬
‫– صفحِ ثشضی‬
‫41‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫31‬
‫2‬ ‫پژوهش عملیاتی :: برنامهریزی پویا‬

3. ‫21/مه/91‬ ‫دکتر سلیمی فرد ::‬
‫‪http://faculty.pgu.ac.ir/salimifard‬‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى‬ ‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى‬
‫• یک سٍیِ خستدَی پی دس پی‬ ‫• یک سٍیکشد تقسین کي، پیشٍص ضَ ! )‪(divide-and-conquer‬‬
‫– تقسین هٌغقِ هَخِ ثِ هٌغقِّبی کَچکتش‬ ‫• ثِ ٍسیلِ ‪ Doing ٍ Land‬دس 0691‬
‫– ثشسسی اهکبى پبسخ دس هٌغقِّبی کَچکتش‬ ‫• سٍیِ هحبسجبتی ثِ ٍسیلِ ‪ Dakin‬دس 5691‬
‫– هٌغقِ هَخِ کَچکتش ثیبًگش یک هسئلِ فشػی‬
‫• ّش ‪ ILP‬دس ٍاقغ یک ‪ LP‬است‬
‫• حل یک ‪ILP‬‬ ‫– ثب هحذٍیتْبیی افضٍدًی ثشای صحیح ثَدى هتغیشّب‬
‫– حل پی دس پی ضوبسی هسئلِ فشػی‬ ‫– هٌغقِ هَخِ ‪ ILP‬ثخطی اص هٌغقِ هَخِ ‪ LP‬است‬
‫– ثٌبثشایي ّوَاسُ ‪Z*ILP ≤ Z*LP‬‬
‫‪Branch and Bound Algorithm‬‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫61‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫51‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬ ‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬
‫• ثب اًتخبة ‪ xj‬ثشای ضبخِ صًی‬ ‫‪ZLP‬‬ ‫• حل هسئلِ ثذٍى تَخِ ثِ ضشط صحیح ثَدى‬
‫– یبفتي پبسخ ثْیٌِ هذل ‪RLP‬‬
‫– یک هسئلِ فشػی ثب افضٍدى هحذٍدیت ‪xj < Lj‬‬
‫‪ZILP‬‬
‫• اگش پبسخ ‪ ،RLP‬ػذد صحیح است، آًگبُ پبیبى.‬
‫– یک هسئلِ فشػی ثب افضٍدى هحذٍدیت 1 + ‪xj ≥ Lj‬‬ ‫– اگش ًِ، ‪ -‬ثذتشیي هقذاس تبثغ ّذف ‪ ILP‬است‬
‫‪ZL=-‬‬ ‫– ایي حذ پبییي است، ‪ZL‬‬
‫• هقذاس ثبثت ‪ : Lj‬ثضسگتشیي ػذد صحیحی کِ اص هقذاس ثْیٌِ‬ ‫– ثْتشیي هقذاس تبثغ ّذف ‪ّ ، ILP‬وبى ‪ZLP‬‬
‫*‪ xj‬کَچکتش است.‬ ‫• ّش گبُ دس فشایٌذ حل، پبسخ هَخِ صحیح ثْتش یبفت ضذ، خبیگضیي‬
‫هقذاس ‪ ZL‬هی ضَد‬
‫• *‪ xj‬اص پبسخ ثْیٌِ هسئلِ ‪ LP‬اٍلیِ ثِ دست هیآیذ.‬ ‫• دس ّش گبم، تقسین هٌغقِ هَخِ ثب افضٍدى یک هحذٍدیت خذیذ‬
‫– ثب کوک هتغیش ضبخِ صًی )‪(branching variable‬‬
‫)‪Relaxed Linear Programming (RLP‬‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫81‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫71‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬ ‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬
‫• هسئلِ صیش دادُ ضذُ است:‬
‫52.14=‪Z‬‬
‫52.2=1‪X‬‬ ‫• چٌذ ًکتِ‬ ‫2‪max Z  5 x1  8 x‬‬
‫57.3=2‪X‬‬ ‫– پبسخ ‪ RLP‬هَخِ ًیست‬ ‫6 ‪x1  x2 ‬‬
‫• حل ‪ RLP‬آى ثِ صَست صیش است‬
‫• ّش چٌذ کِ ثْیٌِ است !‬ ‫54 ‪5 x1  9 x2 ‬‬
‫– فقظ 52 ًقغِ صحیح هَخِ‬
‫است‬ ‫‪Z*ILP‬‬ ‫– هقذاس ‪ ، Z*LP‬ثیطیٌِ هقذاس‬
‫‪x1 , x2  0  int‬‬
‫• اًتخبة یکی اص دٍ هتغیش ثشای ضبخِ صًی‬
‫– اگش 57.3=2‪ x‬اًتخبة ضَد‬ ‫52.14=‪Z‬‬
‫• توبهی ًقبط ثب 2‪ x‬ثیي 3 ٍ 4 ًبپزیشفتٌی ثشای 2‪ x‬است‬ ‫52.2=1‪X‬‬
‫57.3=2‪X‬‬
‫• حزف ایي داهٌِ، ّیچ هقذاس صحیحی اص 2‪ x‬سا اصثیي ًوی ثشد‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫02‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫91‬
‫3‬ ‫پژوهش عملیاتی :: برنامهریزی پویا‬

4. ‫21/مه/91‬ ‫دکتر سلیمی فرد ::‬
‫‪http://faculty.pgu.ac.ir/salimifard‬‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬ ‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬
‫57.3 = 2‪X‬‬ ‫• تؼشیف دٍ هحذٍدیت خذیذ‬
‫14=‪ZLP‬‬ ‫93=‪ZLP‬‬ ‫3 ≤ 2‪x‬‬
‫)4,8.1(‬ ‫)3,3(‬ ‫4 ≥ 2‪x2 ≥ 3+1 x‬‬
‫• تقسین هٌغقِ هَخِ ثِ دٍ قسوت )3=‪(L‬‬
‫• دٍ هسئلِ فشػی 1‪ P2 ٍ P‬خَاّین داضت‬
‫2‪max Z  5 x1  8 x‬‬
‫2‪max Z  5 x1  8 x‬‬
‫6 ‪x1  x2 ‬‬ ‫6 ‪x1  x2 ‬‬
‫54 ‪5 x1  9 x2 ‬‬ ‫54 ‪5 x1  9 x2 ‬‬
‫3 ‪x2 ‬‬ ‫4 ‪x2 ‬‬
‫‪x1 , x2  0  int‬‬ ‫‪x1 , x2  0  int‬‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫22‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫12‬
‫گبهْبی الگَریتن ضبخِ ٍ کراى‬ ‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬
‫93 ‪ZL = -‬‬
‫1. حل هسئلِ ثذٍى تَخِ ثِ هحذٍدیت صحیح ثَدى هتغیشّب )‪(RLP‬‬ ‫0‪P‬‬ ‫52.14=‪Z‬‬
‫57.3=2‪x1=2.25, x‬‬
‫اگش پبسخ ‪ RLP‬ػذد صحیح ثبضذ ایست کٌیذ، ٍ گشًِ ثِ گبم 2 ثشٍ.‬ ‫–‬ ‫4 ≥ 2‪x‬‬ ‫3 ≤ 2‪x‬‬
‫2. اگش تبثغ ّذف ‪ Max‬ثبضذ، تخصیص ‪ –‬ثِ ‪ZL‬‬
‫3. ضبخِ صًی‬ ‫1‪P‬‬ ‫14=‪Z‬‬ ‫2‪P‬‬ ‫93=‪Z‬‬
‫4=2‪x1=1.8, x‬‬ ‫3=2‪x1=3, x‬‬
‫اًتخبة یک هتغیش غیش صحیح ثشای ضبخِ صًی (دٍ هحذٍدیت خذیذ)‬ ‫–‬
‫||‪xj ≥ ||xj||+1 , xj ≤ ||xj‬‬
‫4. کشاى یبثی‬
‫حل هسئلِّبی فشػی گبم 3‬ ‫–‬
‫تؼییي ثْتشیي هقذاس تبثغ ّذف دٍ هسئلِ فشػی ثِ ػٌَاى ‪ ZL‬خذیذ‬ ‫–‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫42‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫32‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬ ‫گبهْبی الگَریتن ضبخِ ٍ کراى‬
‫93 ‪ZL = -‬‬
‫0‪P‬‬ ‫52.14=‪Z‬‬ ‫5. طسفب یبثی )‪(fathomed‬‬
‫57.3=2‪x1=2.25, x‬‬
‫4 ≥ 2‪x‬‬ ‫3 ≤ 2‪x‬‬ ‫– الف) ّوِ هتغیشّب صحیح ضًَذ (پبسخ ضذًی صحیح)‬
‫– ة) ًجَد پبسخ ضذًی ثشای هسئلِ فشػی ضبخِ‬
‫1‪P‬‬ ‫14=‪Z‬‬ ‫2‪P‬‬ ‫93=‪Z‬‬ ‫– ح) هقذاس ‪ Z‬ضبخِ ثذتش اص ‪ ZL‬ثبضذ.‬
‫4=2‪x1=1.8, x‬‬ ‫3=2‪x1=3, x‬‬ ‫6. آصهَى ایست‬
‫2 ≥ 1‪x‬‬ ‫اگش ّوِ ضبخِّب ثِ طسفب ثشسٌذ، ایست کٌیذ‬ ‫–‬
‫1 ≤ 1 ًبصحیح‬
‫•پبسخ ‪x‬‬ ‫پبیبى ضبخِ صًی‬ ‫اًتخبة هسئلِای کِ تبثغ ّذف آى ثب ثْتشیي ‪ ZL‬ثشاثش است‬ ‫–‬
‫•ًشسیذى ثِ طسفب‬ ‫پبسخ ایي هسئلِ فشػی، پبسخ ثْیٌِ هسئلِ اصلی است‬ ‫–‬
‫•اداهِ الگَسیتن ٍ ضبخِ صًی ثش سٍی 1‪x‬‬ ‫دس غیش ایٌصَست ثِ گبم 3 ثشٍ‬ ‫–‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫62‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫52‬
‫4‬ ‫پژوهش عملیاتی :: برنامهریزی پویا‬

5. ‫21/مه/91‬ ‫دکتر سلیمی فرد ::‬
‫‪http://faculty.pgu.ac.ir/salimifard‬‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬ ‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬
‫2‪max Z  5 x1  8 x‬‬
‫3‪P‬‬ ‫4‪P‬‬ ‫55.04=‪ZLP‬‬ ‫• دٍ هسئلِ فشػی خذیذ‬
‫نبود منطقه موجه‬ ‫)44.4,1(‬
‫6 ‪x1  x2 ‬‬
‫54 ‪5 x1  9 x2 ‬‬ ‫3‪P‬‬ ‫•‬
‫2‪max Z  5 x1  8 x‬‬
‫4 ‪x2 ‬‬
‫6 ‪x1  x2 ‬‬
‫2 ‪x1 ‬‬ ‫• 4‪P‬‬
‫54 ‪5 x1  9 x2 ‬‬
‫‪x1 , x2  0  int‬‬
‫4 ‪x2 ‬‬
‫1 ‪x1 ‬‬
‫‪x1 , x2  0  int‬‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫82‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫72‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬ ‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬
‫93 ‪ZL = -‬‬
‫0‪P‬‬ ‫52.14=‪Z‬‬
‫57.3=2‪x1=2.25, x‬‬
‫• تفسیش ضبخِ صًی پیص‬
‫4 ≥ 2‪x‬‬ ‫3 ≤ 2‪x‬‬
‫– سسیذى ثِ طسفب دس 3‪P‬‬
‫1‪P‬‬ ‫14=‪Z‬‬ ‫2‪P‬‬ ‫93=‪Z‬‬ ‫– پبسخ 4‪ P‬غیش صحیح، پس ‪ ZL‬تغییش ًویکٌذ‬
‫4=2‪x1=1.8, x‬‬
‫1 ≤ 1‪x‬‬
‫3=2‪x1=3, x‬‬ ‫– ضبخِ صًی ثش سٍی 2‪ x‬دس 4‪P‬‬
‫2 ≥ 1‪x‬‬
‫3‪P‬‬ ‫4‪P‬‬ ‫55.04=‪Z‬‬ ‫پبیبى ضبخِ صًی‬
‫ثذٍى هٌغقِ هَخِ‬ ‫44.4=2‪x1=1, x‬‬
‫سسیذى ثِ طسفب‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫03‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫92‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬ ‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : هسئلِ دٍ هتغیرُ‬
‫2‪max Z  5 x1  8 x‬‬
‫5‪P‬‬ ‫6‪P‬‬ ‫73=‪ZLP‬‬ ‫6 ‪x1  x2 ‬‬ ‫• دٍ هسئلِ فشػی خذیذ‬
‫04 =‪ZLP‬‬ ‫)4,1(‬ ‫54 ‪5 x1  9 x2 ‬‬ ‫5‪P‬‬ ‫•‬
‫)5,0(‬ ‫2‪max Z  5 x1  8 x‬‬
‫4 ‪x2 ‬‬
‫6 ‪x1  x2 ‬‬
‫1 ‪x1 ‬‬
‫54 ‪5 x1  9 x2 ‬‬ ‫• 6‪P‬‬
‫5 ‪x2 ‬‬
‫4 ‪x2 ‬‬
‫‪x1 , x2  0  int‬‬
‫1 ‪x1 ‬‬
‫4 ‪x2 ‬‬
‫‪x1 , x2  0  int‬‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫23‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫13‬
‫5‬ ‫پژوهش عملیاتی :: برنامهریزی پویا‬

6. ‫21/مه/91‬ ‫دکتر سلیمی فرد ::‬
‫‪http://faculty.pgu.ac.ir/salimifard‬‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى‬ ‫الگَریتن ضبخِ ٍ 93 ‪ = -‬هسئلِ دٍ هتغیرُ‬
‫‪Z‬‬
‫کراى :‬
‫‪L‬‬ ‫04‬
‫0‪P‬‬ ‫52.14=‪Z‬‬
‫• سٍش حل سیوپلکس‬ ‫57.3=2‪x1=2.25, x‬‬
‫– ّش ضبخِ صًی ثِ هؼٌی یک هحذٍدیت خذیذ‬ ‫4 ≥ 2‪x‬‬ ‫3 ≤ 2‪x‬‬
‫– ثکبسگیشی سیوپلکس دس حل 0‪ ٍ P‬هسئلِ ّبی فشػی‬
‫– ثسیبس صهبًجش‬ ‫1‪P‬‬ ‫14=‪Z‬‬ ‫2‪P‬‬ ‫93=‪Z‬‬
‫4=2‪x1=1.8, x‬‬ ‫3=2‪x1=3, x‬‬
‫• سٍش حل تحلیل حسبسیت‬ ‫1 ≤ 1‪x‬‬
‫2 ≥ 1‪x‬‬
‫– ثکبسگیشی سیوپلکس دس حل 0‪P‬‬
‫سسیذى ثِ طسفب‬
‫3‪P‬‬ ‫4‪P‬‬ ‫55.04=‪Z‬‬ ‫پبیبى ضبخِ صًی‬
‫– افضٍدى هحذیت اضبفی ثِ هذل‬ ‫ثذٍى هٌغقِ هَخِ‬ ‫44.4=2‪x1=1, x‬‬
‫– ثکبسگیشی سٍش تحلیل حسبسیت )‪ (RS‬ثشای حل هسئلِ فشػی‬ ‫5 ≥ 2‪x‬‬ ‫4 ≤ 2‪x‬‬
‫– کبّص ضگشف صهبى حل، ّوچٌبى صهبًجش دس هسبئل ٍاقؼی‬ ‫سسیذى ثِ طسفب‬ ‫5‪P‬‬ ‫04=‪Z‬‬ ‫6‪P‬‬ ‫73=‪Z‬‬
‫5=2‪x1=0, x‬‬ ‫4=2‪x1=1, x‬‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫53‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫33‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى‬
‫• سٍش تغییش هتغیش‬
‫– ّش هحذٍدیت ضبخِ صًی یک هحذٍدیت کشاى داس است‬
‫– ثب تغییش هتغیش ٍ ثذٍى ًیبص ثِ حل هسبئل فشػی خذیذ، ٍ ثب ثبثت هبًذى ضوبس‬
‫هحذٍدیتْب قبثل حل است‬
‫• ثشای هحذٍدیتْبیی ثِ ضکل ‪ xj ≤ uj‬دس خذٍل ًْبیی هسئلِ پیص ثِ‬
‫صَست صیش تغییش هتغیش هی دّین:‬
‫‪xj =uj –yj‬‬
‫• ثشای هحذٍدیتْبیی ثِ ضکل ‪ xj ≥ lj‬تغییش هتغیش دس خذٍل ًْبیی‬
‫هسئلِ پیص ثِ صَست صیش است:‬
‫‪xj = lj + yj‬‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫73‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : رٍش تغییر هتغیر :‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : رٍش تغییر هتغیر‬
‫‪max Z  5 x  8 x‬‬
‫هثبل‬
‫1‬ ‫2‬
‫6 ‪x1  x2 ‬‬ ‫• چگًَگی اًتخبة ضبخِ صًی‬
‫54 ‪5 x1  9 x2 ‬‬ ‫– قبػذُ ثْتشیي کشاى )‪(the best bound rule‬‬
‫‪x1 , x2  0  int‬‬ ‫• اًتخبة هسئلِای ثب ثْتشیي کشاى (ثْتشیي هقذاس تبثغ ّذف)‬
‫‪P0 : ZL = - ‬‬ ‫• ضبیذ ضبًس ثیطتشی ثشای دستیبثی ثِ پبسخ ثْیي‬
‫‪BV‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫‪RHS‬‬ ‫• ضبیذ کبّص ضوبس تکشاسّبی هَسد ًیبص‬
‫‪Z‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫4/5‬ ‫¾‬ ‫52.14‬ ‫– قبػذُ خذیذتشیي کشاى )‪(the newest bound rule‬‬
‫1‪x‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫4/9‬ ‫4/1-‬ ‫52.2‬ ‫• اًتخبة آخشیي هسئلِ فشػی‬
‫2‪x‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4/5-‬ ‫¼‬ ‫57.3‬ ‫• ثِ ضشط ایٌکِ ثِ طسفب ًشسیذُ ثبضذ‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫93‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫83‬
‫6‬ ‫پژوهش عملیاتی :: برنامهریزی پویا‬

7. ‫21/مه/91‬ ‫دکتر سلیمی فرد ::‬
‫‪http://faculty.pgu.ac.ir/salimifard‬‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : رٍش تغییر هتغیر :‬ ‫‪B‬‬
‫‪V‬‬
‫1‪x‬‬ ‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : رٍش تغییر هتغیر :‬
‫2‪x‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫‪RHS‬‬
‫‪P‬‬ ‫‪Z =-‬‬
‫هثبل‬ ‫‪Z‬‬
‫1‪x‬‬
‫0‬
‫1‬
‫0‬
‫0‬
‫4/5‬
‫4/9‬
‫¾‬
‫4/1-‬
‫هثبل‬
‫52.14‬
‫52.2‬
‫0‬ ‫‪L‬‬
‫57.3=2‪Z= 41.25 x1=2.25, x‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4/5-‬ ‫¼‬ ‫57.3‬
‫• پبسخ ثْیٌِ ٍلی ًب هَخِ‬
‫2‪x2 ≥ 4 : x2 = 4 + y‬‬ ‫2‪x2 ≤ 3 : x2 = 3 - y‬‬ ‫• ضبخِ صًی ثش سٍی 2‪x‬‬
‫4 ≥ 2‪x‬‬ ‫3 ≤ 2‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪V‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫‪RHS‬‬ ‫‪B‬‬
‫‪V‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫‪RHS‬‬ ‫• تغییش هتغیش‬
‫2.14‬
‫‪Z‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫4/5‬ ‫¾‬
‫5‬ ‫‪Z‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫4/5‬ ‫¾‬ ‫52.14‬ ‫2‪x2 = 4 + y2 x2 = 3 – y‬‬
‫1‪x‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫4/9‬
‫-‬
‫4/1‬
‫4/9‬ ‫1‪x‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫4/1- 4/9‬ ‫4/9‬ ‫• اػوبل تغییش هتغیش دس خذٍل 0‪ ٍ P‬حل دٍ هسئلِ فشػی ثب‬
‫2‪y‬‬ ‫0‬ ‫1‬
‫-‬
‫¼‬ ‫4/1-‬ ‫2‪y‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4/3- 4/1- 4/5‬
‫سیوپلکس دٍگبى (ثبًَیِ)‬
‫4/5‬
‫• اداهِ کبس تب دستیبثی ثِ پبسخ ثْیٌِ صحیح‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫14‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫04‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : رٍش تغییر هتغیر :‬ ‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : رٍش تغییر هتغیر :‬
‫3‪P‬‬ ‫1‪ً : P‬شسیذى ثِ طسفب‬ ‫2‪ : P‬سسیذى ثِ طسفب‬
‫‪B‬‬
‫هثبل‬ ‫هثبل‬
‫‪V‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫‪RHS‬‬ ‫1‪P3: x1 ≥ 2  x1 = 2 + y‬‬ ‫ضبخِ صًی‬ ‫تغییش هقذاس ‪ Z‬ثِ 93‬ ‫‪L‬‬
‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬
‫‪V‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫‪RHS‬‬ ‫‪V‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫‪RHS‬‬
‫‪Z‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫14‬
‫‪Z‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫14‬ ‫‪Z‬‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫93‬
‫1‪x‬‬ ‫1‬ ‫5/9‬ ‫0‬ ‫5/1‬ ‫5/9‬
‫1‪s‬‬ ‫0‬ ‫5/4-‬ ‫1‬ ‫5/1-‬ ‫5/1‬ ‫1‪x‬‬ ‫1‬ ‫5/9‬ ‫0‬ ‫5/1‬ ‫5/9‬ ‫1‪x‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫3‬
‫1‪s‬‬ ‫0‬ ‫5/4-‬ ‫1‬ ‫5/1-‬ ‫5/1‬ ‫2‪s‬‬ ‫0‬ ‫4-‬ ‫5-‬ ‫1‬ ‫3‬
‫‪B‬‬
‫‪V‬‬ ‫1‪y‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫‪RHS‬‬ ‫0=2‪P1: Z=41, x1 = 9/5, y‬‬ ‫0=2‪P2: Z=39, x1 = 3, y‬‬
‫‪Z‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫14‬
‫•ًجَد هتغیش ٍسٍدی‬ ‫4=2‪x2 = 4 + y‬‬ ‫3=2‪x2 = 3 - y‬‬
‫•ًجَد پبسخ هَخِ‬
‫1‪y‬‬ ‫1‬ ‫5/9‬ ‫0‬ ‫5/1‬ ‫5/1-‬ ‫•دستیبثی ثِ طسفب‬ ‫1‪P3: x1 ≥ 2  x1 = 2 + y‬‬ ‫1‪P4: x1 ≤ 1  x1 = 1 - y‬‬
‫1‪s‬‬ ‫0‬ ‫5/4-‬ ‫1‬ ‫5/1-‬ ‫5/1‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫34‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫24‬
‫54‬
‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : رٍش تغییر هتغیر :‬ ‫الگَریتن ضبخِ ٍ کراى : رٍش تغییر هتغیر :‬
‫4‪P‬‬
‫‪P‬‬ ‫‪Z =-‬‬
‫هثبل‬ ‫‪B‬‬
‫هثبل‬
‫0‬ ‫‪L‬‬ ‫‪V‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫‪RHS‬‬ ‫1‪P4: x1 ≤ 1  x1 = 1 - y‬‬
‫57.3=2‪Z= 41.25 x1=2.25, x‬‬
‫‪Z‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫14‬
‫4 ≥ 2‪x‬‬ ‫3 ≤ 2‪x‬‬
‫1‪x‬‬ ‫1‬ ‫5/9‬ ‫0‬ ‫5/1‬ ‫5/9‬
‫1‪P‬‬ ‫‪ZL= - ‬‬ ‫2‪P‬‬ ‫14 =‪ZL‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫0‬ ‫5/4-‬ ‫1‬ ‫5/1-‬ ‫5/1‬
‫4=2‪Z= 41 x1=9/5, x‬‬ ‫3=2‪Z= 41 x1=3, x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪V‬‬ ‫1‪y‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫‪RHS‬‬
‫2 ≥ 1‪x‬‬ ‫1 ≤ 1‪x‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫14‬ ‫اداهِ حل بب ضوب‬
‫3‪P‬‬ ‫14 =‪ZL‬‬ ‫4‪P‬‬
‫ًجَد پبسخ ضذًی (هَخِ)‬ ‫?‬ ‫1‪y‬‬ ‫1‬ ‫5/9-‬ ‫0‬ ‫5/4- 5/1-‬
‫1‪s‬‬ ‫0‬ ‫5/4-‬ ‫1‬ ‫5/1-‬ ‫5/1‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫دكتر سليمي فرد :: پژوهش عملياتي 3:: برنامهریزی عدد صحيح‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫44‬
‫7‬ ‫پژوهش عملیاتی :: برنامهریزی پویا‬

8. 19/‫21/مه‬ :: ‫دکتر سلیمی فرد‬
http://faculty.pgu.ac.ir/salimifard
.‫توریي : بب رٍش ضبخِ ٍ کراى حل کٌیذ‬ ‫چگًَگی عولکرد بْتر الگَریتن‬
‫1. سایبًِ سشیؼتش‬
Max {4x 1  2x 2 }
Max {4x 1  2x 2  5x 3 }
‫2. ثْیٌِیبثی سشیؼتش ثشًبهِسیضی خغی‬
s .to :
s .to : 3x 1  2x 3  45 ‫ کَچکتش‬ZLP .3
x 1  4x 3  30 4x 1  5x 2  25 ‫ ثضسگتش‬ZIP .4
3x 1  x 2  2x 3  45 3x 2  30

ِ‫5. ضبخِصًی ثْجَد یبفت‬
x1  , x 2,x 3  x 1, x 2  
‫6. ثشًبهِ خغی کَچکتش‬
1 2
2012/05/19 ،‫شنبه‬ 51 2012/05/19 ،‫شنبه‬
53 52
LINDO ‫حل توریي بب‬ LINDO ‫حل توریي بب‬
NEW INTEGER SOLUTION OF 24.0000038 AT BRANCH 0 PIVOT 4 NEW INTEGER SOLUTION OF 97.0000000 AT BRANCH 0 PIVOT 4
BOUND ON OPTIMUM: 24.00000
ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 4
2 BOUND ON OPTIMUM: 97.00000
ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 4
1
LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND
RE-INSTALLING BEST SOLUTION... RE-INSTALLING BEST SOLUTION...
OBJECTIVE FUNCTION VALUE OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 24.00000 1) 97.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 6.000000 -4.000000 MAX 4x1+2x2 X1 0.000000 -4.000000
X2 31.000000 -2.000000
X2 0.000000 -2.000000
SUBJECT TO X3 7.000000 -5.000000
MAX 4x1+2x2+5x3
3x1 +2x2<45 SUBJECT TO
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 27.000000 0.000000 4x1 +5x2<25 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES x1 + 4x3 <30
3) 1.000000 0.000000 2) 2.000000 0.000000
4) 30.000000 0.000000
3x2<30 3) 0.000000 0.000000 3x1+ x2+ 2x3 <45
END NO. ITERATIONS= 4
END
NO. ITERATIONS= 4
BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 GIN 2 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 GIN 3
2012/05/19 ،‫شنبه‬ 2012/05/19 ،‫شنبه‬
‫الگَریتن صفحِ برضی‬
1958 ‫• هؼشفی ثِ ٍسیلِ گَهَسی دس‬
)‫• ثش پبیِ حل سیوپلکس (دٍگبى‬
‫• افضٍدى هحذٍدیت ثشش‬
ِ‫– ثشش ثخطی اص هٌغقِ هَخ‬
ُ‫– ًجَد حل صحیح دس هٌغقِ ثشش خَسد‬
‫– صحیح ضذى یک هتغیش ثب اًدبم ثشش‬
‫• ّیچ هقذاس ػذد صحیح ٍ هَخِ اص هٌغقِ ثشیذُ ًویضَد‬
‫• کبّص پی دس پی تبثغ ّذف ثب پبسخ صحیح ّش ثشش‬
2012/05/19 ،‫شنبه‬ 55 54
8 ‫پژوهش عملیاتی :: برنامهریزی پویا‬

9. ‫21/مه/91‬ ‫دکتر سلیمی فرد ::‬
‫‪http://faculty.pgu.ac.ir/salimifard‬‬
‫65‬
‫الگَریتن صفحِ برضی‬ ‫هٌطق حل‬
‫متغیرهای پایه‬ ‫• دس پبسخ ثْیٌِ ‪: LP‬‬
‫• حل یک ثشًبهِسیضی خغی آسَدُ ضذُ )‪ (RLP‬اص یک ‪ILP‬‬
‫‪BV‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫1‪w‬‬ ‫…‬ ‫‪wj‬‬ ‫‪… wn‬‬ ‫1‪v‬‬ ‫…‬ ‫‪vi‬‬ ‫…‬ ‫‪vm‬‬ ‫‪RHS‬‬
‫‪Z‬‬ ‫1‬ ‫1‪z1-c‬‬ ‫…‬ ‫1‪z1-c‬‬ ‫1‪… z1-c‬‬ ‫0‬ ‫…‬ ‫0‬ ‫…‬ ‫0‬ ‫0‪Y‬‬ ‫• ثشسسی ػذد صحیح ثَدى حل ثْیٌِ ‪RLP‬‬
‫1‪v‬‬ ‫0‬ ‫11‪a‬‬ ‫…‬ ‫‪a1j‬‬ ‫‪… a1m‬‬ ‫1‬ ‫…‬ ‫0‬ ‫…‬ ‫0‬ ‫1‪b‬‬ ‫• اگش ًیست، تضویي هی ضَد کِ یک ًبهؼبدلِ خغی ٍخَد داسد کِ‬
‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫حل ثْیٌِ ‪ ILP‬سا اص پَستِ هحذة (هدوَػِ ضذًی) خذا هیکٌذ.‬
‫‪vi‬‬ ‫0‬ ‫1‪ai‬‬ ‫…‬ ‫‪aij‬‬ ‫‪… ain‬‬ ‫0‬ ‫…‬ ‫1‬ ‫…‬ ‫0‬ ‫‪bi‬‬ ‫)‪(separation problem‬‬ ‫– یبفتي چٌیي ًبهؼبدلِای، یک هسئلِ خذاسبصی‬
‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫است‬
‫‪vm‬‬ ‫0‬ ‫1‪am‬‬ ‫…‬ ‫‪amj‬‬ ‫‪… amn‬‬ ‫0‬ ‫…‬ ‫0‬ ‫…‬ ‫1‬ ‫‪bm‬‬ ‫– چٌیي ًبهؼبدلِای ثشش )‪ً (cut‬بهیذُ هیضَد‬
‫متغیرهای غیرپایه‬ ‫هؼبدلِ ‪i‬ام خذٍل:‬ ‫• افضٍدى ثشش ثِ ‪ RLP‬ثشای خذاسبصی حل کًٌَی ًبصحیح‬
‫‪n‬‬
‫‪ai1w1+…+aijwj+…+ainwn+vi=bi‬‬ ‫‪ aijw j v i  bi‬‬ ‫• تکشاس فشایٌذ تب یبفتي حل ثْیٌِ ‪ILP‬‬
‫1‪j ‬‬ ‫1‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫دكتر سليمي فرد :: پژوهش عملياتي 3:: برنامهریزی عدد صحيح‬ ‫75‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫دكتر سليمي فرد :: پژوهش عملياتي 3:: برنامهریزی عدد صحيح‬
‫الگَریتن صفحِ برضی‬ ‫الگَریتن صفحِ برضی‬
‫• ّش ػذد ‪ bi ٍ aij‬حبصل خوغ دٍ ػذد صحیح ٍ کسشی است:‬
‫‪n‬‬ ‫• ثشای اًتخبة هحذٍدیت ثشش گَهَسی سغشی ثب ثضسگتشیي هقذاس‬
‫‪a w‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪j  v i  bi‬‬
‫کسشی سوت ساست‬ ‫‪bi   bi  bi‬‬
‫‪ ‬‬ ‫‪bi  bi  bi  , aij  aij  aij ‬‬
‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬
‫1‪j ‬‬ ‫• ثبصًَیسی سغش هٌجغ : سغش اًتخبثی ثشای ثشش گَهَسی‬
‫– تدضیِ ‪ bi ٍ aij‬ثِ ثخصّبی صحیح ٍ کسشی‬ ‫• هثبل:‬
‫‪ a‬‬ ‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪bi‬‬ ‫||‪||bi‬‬ ‫‪bi‬‬
‫‪ij‬‬ ‫‪ aij  w j  v i  bi  bi ‬‬
‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ثخص کسشی ّوَاسُ‬
‫1‪j ‬‬
‫4/1 5‬ ‫5‬ ‫4/1 = 5 - ¼ 5‬ ‫ًبهٌفی‬
‫‪n‬‬ ‫4/3 3-‬ ‫4-‬ ‫4/1 = )4-( - ¾ 3-‬
‫‪ aij  w j  sg i   bi ‬‬
‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫• تؼشیف ثشش گَهَسی‬
‫2-‬ ‫2-‬ ‫0 = )2-( – 2-‬
‫1 ‪0  bi  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫1‪j ‬‬ ‫– ّش ًقغِ ضذًی هسئلِ ‪ ILP‬سا ثشآٍسدُ هیکٌذ‬
‫5/3-‬ ‫1-‬ ‫5/2 = )1-( – 5/3-‬
‫– پبسخ ثْیي ‪ RLP‬کًٌَی سا ثشآٍسدُ ًویکٌذ !‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫دكتر سليمي فرد :: پژوهش عملياتي 3:: برنامهریزی عدد صحيح‬ ‫26‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫دكتر سليمي فرد :: پژوهش عملياتي 3:: برنامهریزی عدد صحيح‬ ‫85‬
‫الگَریتن صفحِ برضی : هثبل‬ ‫الگَریتن صفحِ برضی : گبهْب‬
‫• ثشای هسئلِ ٍ خذٍل ًْبیی صیش، هقذاس صحیح هتغیشّب سا تؼییي کٌیذ.‬
‫آغبص ثب یک هسئلِ ‪PIP‬‬ ‫1.‬
‫2 ‪min Z  x 1  2x‬‬ ‫تجذیل ضشایت ٍ هقذاس سوت ساست هحذٍدیتْب ثِ ػذد صحیح‬ ‫–‬
‫5 ‪2x 1  x 2 ‬‬ ‫ضشة کشدى هحذٍدیت دس کَچکتشیي هضشة هطتشک هخشج کسشّب‬ ‫–‬
‫حل ثب سٍش سیوپلکس دس حبلت ‪RLP‬‬ ‫2.‬
‫5 ‪4x 1  4x 2 ‬‬
‫‪ 1  1‬‬ ‫اگش پبسخ ثْیٌِ ػذد صحیح : ایست‬ ‫–‬
‫‪x 1 , x 2  0  int‬‬ ‫‪ 2 2   1 4 ‬‬
‫‪   ‬‬
‫اگش پبسخ ًبهَخِ : هسئلِ ثذٍى پبسخ‬ ‫–‬
‫دس غیشایٌصَست ثِ گبم 3‬ ‫–‬
‫‪BV‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫‪RHS‬‬ ‫‪n‬‬ ‫اًتخبة هتغیش پبیِ ثب هقذاس غیشصحیح ٍ تؼشیف هحذٍدیت ثشش‬ ‫3.‬
‫سغشی ثب هقذاس اػطبس سوت ساست ًضدیکتش ثِ 0/5 ‪ aij  w j  sg i   bi ‬‬
‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫–‬
‫‪Z‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫3/1‬ ‫4/51 21/5‬ ‫1‪j ‬‬
‫افضٍدى هحذٍدیت ثشش ثِ خذٍل ًْبیی هسئلِ اصلی‬ ‫4.‬
‫1‪x‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫3/1‬ ‫¼ 1 21/1-‬ ‫حل ثب سٍش سیوپلکس ثبًَیِ‬ ‫–‬
‫2‪x‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫3/1‬ ‫½ 2 6/1‬ ‫منبع‬ ‫ثشٍ ثِ گبم 3‬ ‫–‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫دكتر سليمي فرد :: پژوهش عملياتي 3:: برنامهریزی عدد صحيح‬ ‫46‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫دكتر سليمي فرد :: پژوهش عملياتي 3:: برنامهریزی عدد صحيح‬ ‫36‬
‫9‬ ‫پژوهش عملیاتی :: برنامهریزی پویا‬

10. ‫21/مه/91‬ ‫دکتر سلیمی فرد ::‬
‫‪http://faculty.pgu.ac.ir/salimifard‬‬
‫‪BV‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫‪RHS‬‬
‫‪Z‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫3/1‬ ‫21/5‬ ‫4/51‬
‫الگَریتن صفحِ برضی : هثبل‬ ‫1‪x‬‬
‫2‪x‬‬
‫0‬
‫0‬
‫1‬
‫0‬
‫0‬
‫1‬
‫3/1‬
‫3/1‬
‫الگَریتن صفحِ برضی : هثبل‬
‫21/1-‬
‫6/1‬
‫¼1‬
‫½2‬
‫‪BV‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫1‪sg‬‬ ‫‪RHS‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫• سغش هٌجغ‬
‫2 ‪x 2  s1  s 2 ‬‬
‫‪Z‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫21/5 3/1‬ ‫0‬ ‫4/51‬ ‫3‬ ‫6‬ ‫2‬
‫1‪x‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫21/1- 3/1‬ ‫0‬ ‫¼1‬ ‫• هحذٍدیت ثشش‬
‫2‪V‬‬ ‫1‪W‬‬ ‫2‪W‬‬
‫2‪x‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫3/1‬ ‫6/1‬ ‫0‬ ‫½2‬ ‫– ‪ V‬دس هحذٍدیت ثشش ٍخَد ًذاسد‬
‫1‪sg‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫6/1- 3/1-‬ ‫1‬ ‫2/1-‬
‫1‬ ‫1‬ ‫1‬
‫‪ s1  s 2  sg 1  ‬‬
‫• خذٍل غیش هَخِ است‬ ‫3‬ ‫6‬ ‫2‬
‫• ثکبسگیشی سیوپلکس ثبًَیِ‬
‫• افضٍدى هحذٍدیت ثشش ثِ خذٍل ًْبیی‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫دكتر سليمي فرد :: پژوهش عملياتي 3:: برنامهریزی عدد صحيح‬ ‫66‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫دكتر سليمي فرد :: پژوهش عملياتي 3:: برنامهریزی عدد صحيح‬ ‫56‬
‫الگَریتن صفحِ برضی : هثبل‬ ‫الگَریتن صفحِ برضی : هثبل‬
‫• افضٍدى ثشش دٍم ثِ خذٍل ًْبیی پیطیي‬ ‫• خذٍل پس اص ًخستیي ثشش‬
‫‪BV‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫1‪sg‬‬ ‫‪RHS‬‬
‫‪BV‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫1‪sg‬‬ ‫2‪sg‬‬ ‫‪RHS‬‬
‫‪Z‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫4/1‬ ‫1‬ ‫4/31‬
‫‪Z‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫4/1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫4/31‬
‫1‪x‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫4/1-‬ ‫1‬ ‫منبع ¾‬
‫1‪x‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫4/1-‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫¾‬
‫2‪x‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫2‬
‫2‪x‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2‬
‫1‪s‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫2/1‬ ‫3-‬ ‫2/3‬
‫1‪s‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫2/1‬ ‫3-‬ ‫0‬ ‫2/3‬
‫1‬ ‫3‬ ‫• پبسخ ّوچٌبى ًبصحیح‬
‫2‪sg‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫4/3-‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4/3-‬ ‫‪x 1  s 2  sg 1 ‬‬ ‫– ثشش ثش سٍی 1‪x‬‬
‫• خذٍل ًبهَخِ‬ ‫4‬ ‫4‬
‫– هحذٍدیت ثشش‬
‫3‬ ‫3‬
‫– ثکبسگیشی سیوپلکس ثبًَیِ‬ ‫• 1‪ x‬پبیِ، 1‪ sg1 ٍ s‬غیشپبیِ، پس هحذٍدیت ثشش: ‪ s 2  sg 2  ‬‬
‫4‬ ‫4‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫دكتر سليمي فرد :: پژوهش عملياتي 3:: برنامهریزی عدد صحيح‬ ‫86‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫دكتر سليمي فرد :: پژوهش عملياتي 3:: برنامهریزی عدد صحيح‬ ‫76‬
‫الگَریتن برش : ًوبیص ترسیوی‬ ‫الگَریتن صفحِ برضی : هثبل‬
‫• خذٍل پس اص ثشش دٍم‬
‫2‪x‬‬
‫‪BV‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫1‪s‬‬ ‫2‪s‬‬ ‫1‪sg‬‬ ‫‪sg2 RHS‬‬
‫4/5 = 1‪x‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫3/1‬ ‫3‬
‫تببع ّذف‬ ‫2/5 = 2‪x‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫3/1-‬ ‫1‬
‫4/51 = ‪Z‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2‬
‫1‪s‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫3-‬ ‫3/2‬ ‫1‬
‫2‪s‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫3/4-‬ ‫1‬
‫1‪x‬‬
‫• خذٍل ثْیٌِ ٍ هَخِ صحیح‬
‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫دكتر سليمي فرد :: پژوهش عملياتي 3:: برنامهریزی عدد صحيح‬ ‫17‬ ‫شنبه، 91/50/2102‬ ‫دكتر سليمي فرد :: پژوهش عملياتي 3:: برنامهریزی عدد صحيح‬ ‫96‬
‫01‬ ‫پژوهش عملیاتی :: برنامهریزی پویا‬