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LOGICA BINARIA

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LOGICA BINARIA

  1. 1. LOGICA BINARIA Por: Salatiel Moreno Toro
  2. 2. Un sistema binario se caracteriza por tener dos valores posibles que, en términos de voltaje, se corresponden a dos valores de tensión, los que se representan numéricamente por un “1” y por un “0”. Generalmente, la “lógica positiva” hace corresponder un valor de tensión alto al “1” y un valor de tensión bajo al “0” (y viceversa para la “lógica negativa”): Introducción a los sistemas digitales Sistemas binarios PositivaLógica alto)voltaje(1 bajo)voltaje(0      H L V V
  3. 3. Números binarios La correspondencia entre los primeros 16 números decimales y binarios se muestra en la siguiente tabla: N ú m er o de ci m a l N ú m e ro bin ar io 0 00 00 1 00 01 2 00 10 3 00 11 4 01 00 5 01 01 6 01 10 7 01 11 8 10 00 9 10 01 10 10 10 11 10 11 12 11 00 13 11 01 14 11 10 15 11 11 Mientras más dígitos tiene un sistema, más compacta es su notación. Así, los dígitos bina- rios tienden a ser más largos (en un factor log210=2,3222) que su correspondiente nota-ción decimal.
  4. 4. Las principales razones por las cuales utilizar sistemas de representación binaria son: Porqué usar la representación binaria • Los sistemas de procesamiento de información se construyen en base a conmutadores; • Los procesos de toma de decisión, en un sistema digital, son binarios; y • Las señales binarias son más confiables que las que tienen más niveles de cuantificación.
  5. 5. Conmutadores Porqué usar la representación binaria Supóngase un sistema de iluminación basado en dos interruptores o con- mutadores (como el que existe en la parte inferior y superior de una escalera): S1 S21 0 1 0 Ampolleta220V S1 S21 0 1 0 A       esConclusionoAcciones A A premisasosCondicione S S S S encendida)(ampolleta1 apagada)(ampolleta0 0)posiciónen2r(conmutado0 1)posiciónen2r(conmutado1 0)posiciónen1r(conmutado0 1)posiciónen1r(conmutado1 2 2 1 1      
  6. 6. Toma de decisiones Porqué usar la representación binaria Gran parte de los procesos de decisión tienen carácter binario          .Respuestas etc INCORRECTO CORRECTO FALSO VERDADERO NO SI Un sistema puede ca- racterizarse lingüísti- camente como: Si (S1=1 y S2=0) o (S1=0 y S2=1), entonces B=1; caso contrario, B=0. Confiabilidad Las señales binarias son mucho más confiables para ser transmitidas entre dos puntos distantes. Al usar sólo dos niveles de voltaje para representar un dígito, el sistema es más inmune a la presencia de ruidos.
  7. 7. Descripciones formales Definición de modelos lógicos Una descripción abstracta de un sistema digital, expresado con enunciados lógicos formales, se denomina “DISEÑO LÓGICO”. Los símbolos más comunes son:         entonces O Y Usando estos símbolos, el circuito de encendido de la ampolleta puede representarse como:                        00011 10110 2121 2121   BSSSS ó BSSSS
  8. 8. Usando este tipo de representación, podría definirse la operatoria de un sumador binario como: o, en forma simbólica (para el caso de la “suma”), por: 0|111 1|001 1|010 0|000 |      SumaAcarreoyx X Y Acarreo Suma 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 Entradas Salidas                        00011 10110   Sumayxyx ó Sumayxyx Definición de modelos lógicos
  9. 9. En caso de sistemas multivariables (varias entradas y salidas), “x” será un vector de entradas y habrá una función asociada a cada salida. Estas funciones también suelen denominarse “funciones booleanas”, ya que responden al “álgebra de Boole”. Definición de modelos lógicos Un comportamiento de un sistema combinacional puede expresarse formalmente como z=f(x), donde “z” representa la salida del sistema y “x” la entrada (para un sistema de una entrada y una salida).
  10. 10. Para el caso del circuito de la ampolleta: ),( 21 SSfB             1)1,1( 1)0,1( 1)1,0( 0)0,0( f f f f S1 S2 B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 TABLA DE VERDAD Puede apreciarse que el comportamiento de un circuito combina- cional puede repre- sentarse también a través de una tabla conocida como “tabla de verdad”. Definición de modelos lógicos
  11. 11. Componentes lógicos Sistemas con conmutadores Los conmutadores son elementos que pueden tener dos estados posibles (son adecuados para entender dispositivos lógicos). Los tipos de conmutadores eléctricos más comunes son: C orrien te “x” C orrien te “z” C orrien te “z”Voltaje “x” + - Electro imán Transistor M O S Conmutador electromecá nico Conmutador electró nico
  12. 12. Circuitos de conmutación Circuito AND En la siguiente figura se muestra este tipo de circuito, junto con el símbolo lógico más utilizado para una compuerta AND y la tabla de verdad correspondiente. FUENTE CARGA S1 S2 Circuito AND ANAND Compuerta AND S1 S2 z z
  13. 13. Circuitos de conmutación Circuito OR En la siguiente figura se muestra este tipo de circuito, junto con el símbolo lógico más utilizado para una compuerta OR y la tabla de verdad correspondiente. FUENTE CARGA S1 S2 Circuito OR Compuerta OR S1 S2 z z
  14. 14. Circuitos de conmutación Circuito NOT En la siguiente figura se muestra este tipo de circuito, junto con el símbolo lógico más utilizado para una compuerta NOT y la tabla de verdad correspondiente. FUENTE CARGA S Circuito NOT Co mp uerta NOT S z z 1
  15. 15. Expresiones lógicas Para expresar las funciones lógicas asociadas a cada uno de los circuitos anteriores, se usan operadores lógicos. zAND(x1, x2)=1 sí y sólo sí x1=1 Y x2=1zAND(x1, x2)=1 sí y sólo sí x1=1 Y x2=1 ZOR(x1, x2)=1 sí y sólo sí x1=1 O x2=1ZOR(x1, x2)=1 sí y sólo sí x1=1 O x2=1 2121 ),( xxxxzAND  2121 ),( xxxxzOR  ZNOT (x)=1 sí y sólo sí x=0 xxzNOT )( Es importante tener en cuenta que los símbolos “.” y “+” son operadores lógicos y NO algebraicos.
  16. 16. Convenios de voltaje Para la lógica TTL (“Transistor – Transistor Logic”) se ha determinado un convenio de voltajes, para especificar cuándo una entrada o salida se considera que tiene el valor lógico correspondiente. 0,0 5,0 [V] 2,4 2,0 0,8 0,4 Invervalo VH garantizado para salidas = 1 Invervalo VH aceptado para entradas = 1 In vervalo V L acepta do pa ra entradas = 0 Invervalo V L garanti za do para salidas = 0 LÓGICA TTL
  17. 17. Álgebra de Boole Axiomas Número Enunciado del Teorema Nombre 1a Si a y b están en K , entonces a+b está en K 1b Si a y b están en K , entonces a.b está en K 2a Hay un elemento 0 en K , tal que a+0=a Axioma del cero 2b Hay un elemento 1 en K , tal que a.1=a Axioma de la unidad 3a Para todos a y b en K , a+b=b+a 3b Para todos a y b en K , a.b=b.a 4a Para todos a , b y c en K, a+b.c=(a+b).(a+c) 4b Para todos a , b y c en K , a.(b+c)=a.b+a.c Para cada a en K, hay un inverso o complemento a' en K, tal que 5a a+a´=1 5b a.a´=0 6 Hay por lo menos dos elementos distintos en K --- 7a El elemento 0 es único 7b El elemento 1 es único 8a Para cada a en K , a+a=a 8b Para cada a en K , a.a=a 9a Para cada a en K , a+1=1 Propiedad de unicidad 9b Para cada a en K , a.0=0 Propiedad de cero 10a Para todos a y b en K , a+a.b=a 10b Para todos a y b en K , a.(a+b)=a 11 Para cada a en K , el inverso a' es único Unicidad de la inversión 12a Para todos a , b y c en K , a+(b+c)=(a+b)+c 12b Para todos a , b y c en K , a.(b.c)=(a.b).c 13a Para todos a y b en K, (a+b)'=a'.b' 13b Para todos a y b en K , (a.b)'=a'+b 14 Para cada a en K , ( a' )' = a Involución Absorción Asociatividad Leyes de De Morgan Unicidad de 0 y 1 Idempotencia Conmutatividad Distributividad Axiomas de inversión ÁLGEBRA DE BOOLE Cierre Se definen a continuación:
  18. 18. Dos expresiones booleanas, E1 y E2 , se dicen que son equivalentes (es decir, E1 = E2 ) cuando, ante las mismas entradas, provocan las mismas salidas. Esto se puede comprobar a partir de la tabla de verdad, o bien, partiendo de una de ellas y aplicar álgebra de Boole, hasta llegar a la otra. Equivalencia de expresiones booleanas Ejemplo: Demostrar que E1 = E2 , donde: hgfehgfdhgfchbaE ...........1  hgfedcbaE .)...).((2  ¿es práctico usar la tabla de verdad para comprobarlo en este caso?
  19. 19. Una función lógica presenta una correspondencia “uno a uno” con un circuito lógico o con una tabla de verdad. Correspondencia de la lógica combinacional dcacbaz ).().(  a b c d ba  cba ).(  ca  d dca ).(  z c CIRCUITO LÓGICO a b c d ba  cba ).(  ca  d dca ).(  z c CIRCUITO LÓGICO a b c d ba  cba ).(  ca  d dca ).(  z c CIRCUITO LÓGICO Sea la siguiente función lógica: el circuito lógico y su tabla de verdad serán:
  20. 20. Representación de un sistema combinacional Introducción Los circuitos de Lógica Combinacional se caracterizan porque sus salidas se definen por una combinación lógica de sus entradas.
  21. 21. Minitérminos Una función combina- cional distintiva son los minitérminos de “n” variables, y se los denota como mi. Son funciones booleanas cuya tabla de verdad tiene un “1” en la i-ésima fila, y un “0” en las restantes. 43214 xxxxm  432113 xxxxm  A B C D .... m3 m4 .... 0 0 0 0 0 .... 0 0 .... 1 0 0 0 1 .... 0 0 .... 2 0 0 1 0 .... 0 0 .... 3 0 0 1 1 .... 1 0 .... 4 0 1 0 0 .... 0 1 .... 5 0 1 0 1 .... 0 0 .... 6 0 1 1 0 .... 0 0 .... 7 0 1 1 1 .... 0 0 .... 8 1 0 0 0 .... 0 0 .... 9 1 0 0 1 .... 0 0 .... 10 1 0 1 0 .... 0 0 .... 11 1 0 1 1 .... 0 0 .... 12 1 1 0 0 .... 0 0 .... 13 1 1 0 1 .... 0 0 .... 14 1 1 1 0 .... 0 0 .... 15 1 1 1 1 .... 0 0 .... MINITÉRMINOS nº Entradas
  22. 22. Forma canónica “Suma de minitérminos” Dada una función z de “n” variables, cuya tabla de verdad tiene “1” en las filas a, b, ..., k, y “0” en las demás. A partir de la definición de minitérmino, y usando la función OR, es evidente que: z = ma + mb + ... + mk Ejemplo: Sean las funciones para z1=Z1(A,B,C,D), z2=Z2(A,B,C,D) y z3=Z3(A,B,C,D), caracterizadas por la siguiente tabla de verdad, determinar las funciones booleanas correspondientes:
  23. 23. Forma canónica “Suma de minitérminos” Solución: Aplicando el concepto de minitérminos, las funciones busca- das serán: A B C D z1 z2 z3 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ENTRADA SALIDAS TABLA DE VERDAD dabcdcabdcbadcba dbcadcbadcbadcbadcbaz abcddabccdba dcbabcdadbcadcbadcbaz abcddabccdbadcbabcdadbcaz      3 2 1
  24. 24. Construcción algebraica Cualquier expresión booleana puede convertirse a su forma canónica “suma de minitérminos” empleando las propieda- des del álgebra de Boole. A esta forma canónica también suele denominarse “Suma De Productos (SDP)”. Ejemplo: Encontrar la forma canónica “suma de minitérminos” de: cbacbcaz  Solución:          ddcbaddcbaaddcbbaz  dcbadcbadcbadcbadcbadcbadcbadcbaz  o bien:
  25. 25. Maxitérminos Una segunda función son los maxitérminos de “n” variables, denotada como Mi. Son funciones booleanas cuya tabla de verdad tiene un “0” en la i- ésima fila, y un “1” en las restantes. 43213 xxxxM  43214 xxxxM  A B C D .... M3 M4 .... 0 0 0 0 0 .... 1 1 .... 1 0 0 0 1 .... 1 1 .... 2 0 0 1 0 .... 1 1 .... 3 0 0 1 1 .... 0 1 .... 4 0 1 0 0 .... 1 0 .... 5 0 1 0 1 .... 1 1 .... 6 0 1 1 0 .... 1 1 .... 7 0 1 1 1 .... 1 1 .... 8 1 0 0 0 .... 1 1 .... 9 1 0 0 1 .... 1 1 .... 10 1 0 1 0 .... 1 1 .... 11 1 0 1 1 .... 1 1 .... 12 1 1 0 0 .... 1 1 .... 13 1 1 0 1 .... 1 1 .... 14 1 1 1 0 .... 1 1 .... 15 1 1 1 1 .... 1 1 .... MAXITÉRMINOS nº Entradas
  26. 26. Forma canónica “Producto de maxitérminos” Toda función z tiene un conjunto único de maxitérminos Mi, que corresponde al conjunto de ceros que aparecen en la columna de salida de su tabla de verdad. La forma canónica de producto de maxitérminos será la función AND o producto lógico de estos maxitérminos. A esta forma canónica también suele denominarse “Producto De Sumas (PDS)”. Ejemplo: Sea la la siguiente función booleana de tres variables: cbaz  la expresión canónica de producto de maxitérminos será:    cbacbacbaMMMz  654
  27. 27. Circuitos combinacionales Las formas canónicas anteriores se representan con circuitos combinacionales de dos niveles de compuertas: S U M A P R O D U C T O S DE P R O D U C T O S U M A S DE
  28. 28. Notación decimal Las funciones boo- leanas, dadas en cualesquiera de sus formas canónicas, pueden escribirse de manera simplificada usando el símbolo  para indicar la suma de productos, y  para el producto de sumas.
  29. 29. Formas de dos niveles La profundidad de un circuito se mide por el máximo número de compuertas que una señal tiene que atravesar desde la entrada hasta la salida. Las formas canónicas vistas tienen una profundidad de dos, considerando que se dispone de las entradas necesarias complementadas. A pesar de que suelen ser los circuitos más rápidos que pueden lograrse con este tipo de implementación, esta disposición no implica ser la mejor desde el punto de vista del número de compuertas empleadas.
  30. 30. Formas de dos niveles Los tres circuitos tienen la misma tabla de verdad.

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