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Física i unidade 1 a 4

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Física i

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Física i unidade 1 a 4

  1. 1. Guia de Estudo – FÍSICA I 1 SABE – Sistema Aberto de Educação Av. Cel. José Alves, 256 - Vila Pinto Varginha - MG - 37010-540 Tele: (35) 3219-5204 - Fax - (35) 3219-5223 Instituição Credenciada pelo MEC – Portaria 4.385/05 Centro Universitário do Sul de Minas - UNIS/MG Unidade de Gestão da Educação a Distância – GEaD Mantida pela Fundação de Ensino e Pesquisa do Sul de Minas - FEPESMIG Varginha/MG
  2. 2. Guia de Estudo – FÍSICA I 2 531 S237g SANTOS, Jander Pereira dos. Guia de Estudo – FÍSICA I. – Unid. 1 a 4 – Jander Pereira dos Santos. Varginha: GEaD- UNIS/MG, 2007. 92p. 1. Mecânica. 2. Vetores. 3. Energia. I. Título.
  3. 3. Guia de Estudo – FÍSICA I 3 REITOR Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola GESTOR Prof. Ms. Tomás Dias Sant’ Ana Supervisor Técnico Prof. Ms. Wanderson Gomes de Souza Coord. do Núcleo de Recursos Tecnológicos Profª. Simone de Paula Teodoro Moreira Coord. do Núcleo de Desenvolvimento Pedagógico Profª. Vera Lúcia Oliveira Pereira Revisão ortográfica / gramatical Profª. Maria José Dias Lopes Grandchamp Design/diagramação Prof. César dos Santos Pereira Equipe de Tecnologia Educacional Profª. Débora Cristina Francisco Barbosa Jacqueline Aparecida da Silva Prof. Lázaro Eduardo da Silva Autor JANDER PEREIRA DOS SANTOS Graduação de Licenciatura em Matemática pelo UNIS-MG, Especialista (Pós-Graduação) em Matemática e Ensino pelo UNIS-MG e Mestre em Estatística pela Universidade Vale do Rio Verde - UNINCOR-MG.
  4. 4. Guia de Estudo – FÍSICA I 4 TABELA DE ÍCONES REALIZE. Determina a existência de atividade a ser realizada. Este ícone indica que há um exercício, uma tarefa ou uma prática para ser realizada. Fique atento a ele. PESQUISE. Indica a exigência de pesquisa a ser realizada na busca por mais informação. PENSE. Indica que você deve refletir sobre o assunto abordado para responder a um questionamento. CONCLUSÃO. Todas as conclusões, sejam de idéias, partes ou unidades do curso virão precedidas desse ícone. IMPORTANTE. Aponta uma observação significativa. Pode ser encarado como um sinal de alerta que o orienta para prestar atenção à informação indicada. HIPERLINK. Indica um link (ligação), seja ele para outra página do módulo impresso ou endereço de Internet. EXEMPLO. Esse ícone será usado sempre que houver necessidade de exemplificar um caso, uma situação ou conceito que está sendo descrito ou estudado. SUGESTÃO DE LEITURA. Indica textos de referência utilizados no curso e também faz sugestões para leitura complementar. APLICAÇÃO PROFISSIONAL. Indica uma aplicação prática de uso profissional ligada ao que está sendo estudado. CHECKLIST ou PROCEDIMENTO. Indica um conjunto de ações para fins de verificação de uma rotina ou um procedimento (passo a passo) para a realização de uma tarefa. SAIBA MAIS. Apresenta informações adicionais sobre o tema abordado de forma a possibilitar a obtenção de novas informações ao que já foi referenciado. REVENDO. Indica a necessidade de rever conceitos estudados anteriormente.
  5. 5. Guia de Estudo – FÍSICA I 5 SUMÁRIO CARTA DE APRESENTAÇÃO ................................................................................ 7 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 8 A DISCIPLINA FÍSICA I........................................................................................... 8 EMENTA.................................................................................................................. 9 OBJETIVOS............................................................................................................. 9 AVALIAÇÃO .......................................................................................................... 10 UNIDADE 1 - CONCEITOS DE MEDIDAS E INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA .... 11 O Sistema Internacional de Unidades (SI)............................................................. 12 INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA ............................................................................ 13 Movimento ............................................................................................................. 13 Ponto Material........................................................................................................ 14 Referencial............................................................................................................. 14 TRAJETÓRIA ........................................................................................................ 14 Espaço (S)............................................................................................................. 15 Deslocamento Escalar........................................................................................... 16 Velocidades ........................................................................................................... 19 Velocidade Média .................................................................................................. 19 Exercícios .............................................................................................................. 20 UNIDADE 2 - MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO............................................... 25 1º Caso – Movimento Uniforme. ............................................................................ 25 2º Caso - Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.) ....................................... 28 2.2 - Movimento Uniformemente Variado (M.U.V) ................................................. 29 3º Caso - Movimento Variado (M.V.) ..................................................................... 30 3.1 Determinação das funções da velocidade e da aceleração partindo da função da posição: ............................................................................................................ 30 3.2 Determinação das funções da Velocidade e da Posição partindo da função de Aceleração............................................................................................................. 34 Retornando ao 2º Caso (M.U.V.): .......................................................................... 37 Equação de Torricelli ............................................................................................. 38 Lançamento Vertical e Queda Livre....................................................................... 40
  6. 6. Guia de Estudo – FÍSICA I 6 Exercícios de M.U. e M.U.V................................................................................. 44 Exercícios de Lançamento vertical e queda livre................................................... 48 Lista de Exercícios de movimento variado............................................................. 51 UNIDADE 3 - VETORES ....................................................................................... 54 Operações com Vetores: ....................................................................................... 55 1 - Adição de Vetores ............................................................................................ 55 - Regra do polígono: .............................................................................................. 55 Cálculo para soma e subtração de dois vetores .................................................... 55 Decomposição de Vetores..................................................................................... 59 Vetor Unitário......................................................................................................... 61 MULTIPLICAÇÃO.................................................................................................. 64 1º Número Real X Vetor ( n.V)............................................................................... 64 2º O Produto Escalar ou Interno de Dois Vetores V E W (V.W)............................ 64 3º Produto Vetorial................................................................................................ 67 UNIDADE 4 - MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES............................. 73 Posição.................................................................................................................. 73 Deslocamento........................................................................................................ 74 Velocidade Média .................................................................................................. 74 Velocidade Instantânea ......................................................................................... 75 Aceleração Média .................................................................................................. 76 Aceleração Instantânea ......................................................................................... 77 Velocidade instantânea a partir da aceleração e posição a partir da velocidade instantânea. ........................................................................................................... 78 Movimento de Projéteis ......................................................................................... 80 REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 73
  7. 7. Guia de Estudo – FÍSICA I 7 CARTA DE APRESENTAÇÃO Bem-vindo! A disciplina de Física I, oferecida através da modalidade EaD – Educação a Distância, é uma excelente oportunidade para esclarecermos dúvidas as quais nos deparamos no curso, nas disciplinas que achamos abstratas. Conseguimos este envolvimento entre as disciplinas sem preocuparmos com horários e com auxílio de outras pessoas. Neste modo de aprendizado, você é o agente principal do processo. No entanto, para que seja bem sucedido, orientaremos e mediremos suas atividades de aprendizagem de forma que nossas expectativas sejam cumpridas. O Guia de estudos é uma das ferramentas que usaremos para esta orientação e medição. Composto de textos, atividades, instrumentos de avaliação, cartas e guias de orientação de aprendizagem, o Guia de Estudos é um material auto-instrutivo, ou seja, foi especialmente elaborado para sua auto-aprendizagem. Sem abrir mão da complexidade dos temas propostos, o conteúdo foi cuidadosamente selecionado e apresentado de modo a permitir que sua aprendizagem aconteça de forma simples e agradável. Sugerimos que leia a parte introdutória do Guia e depois realize cada uma das atividades propostas, publicando-as no Ambiente Virtual de Aprendizagem. Bons estudos! Um abraço, Prof. Ms Jander Pereira dos Santos e Equipe GEaD - Unidade de Gestão em Educação a Distância
  8. 8. Guia de Estudo – FÍSICA I 8 INTRODUÇÃO Iniciar em uma vida acadêmica é como nascer novamente em um mundo diferente do que conhecemos. Este novo mundo parece tão diferente pela quantidade de oportunidades que aparecem, porém, não podemos nos iludir com as fantasias que estão sempre tentando nos enganar. Geralmente estas fantasias são as pessoas, que não cumpriram bem seu papel acadêmico, e estão sempre tentando convencer outras pessoas de que ocorrerá o mesmo com elas. O papel da disciplina de Física é o de promover o desenvolvimento intelectual do aluno, através do conhecimento, bem solidificado, dos conceitos físicos, com o objetivo de compreender as leis da natureza e saber utilizar esses recursos na demonstração da utilidade das equações matemáticas no dia-a-dia. A disciplina de Física apresenta-se como uma disciplina fundamental em um curso de Licenciatura. Neste primeiro momento, serão apresentados conceitos básicos da Ciência que possibilitam um melhor desempenho em outros conteúdos, além de contribuir para a formação de uma nova maneira de pensar e de agir diante de situações problemas. Desejamos que você aproveite ao máximo esta nova oportunidade que está sendo inserida em sua vida, e em especial, que a Física possa ser bem mais que uma disciplina, uma nova oportunidade em sua vida profissional. A DISCIPLINA FÍSICA I Dentro do curso de Licenciatura a Física contribui para a interpretação de conceitos matemáticos que parecem abstratos aos alunos. Através dos conceitos teóricos de Física, os alunos conseguem aplicar a matemática na realidade que nos rodeia isso, faz com que o aluno perceba que, por trás da abstração matemática, há uma infinidade de aplicações concretas. Na Física I, estudaremos os conceitos que envolvem toda a mecânica e será desenvolvida de acordo com a ementa comentada abaixo:
  9. 9. Guia de Estudo – FÍSICA I 9 EMENTA 1- Medidas em Física Sistema de Unidades – Notação Científica – Ordem de Grandeza. 2- Movimento em uma dimensão Deslocamento – Velocidade – Aceleração – Movimento com aceleração constante. 3- Movimento em duas e três dimensões Vetor deslocamento, Velocidade e Aceleração – Lançamento oblíquo. 4- Leis de Newton As três Leis de Newton – Força – Massa – Peso – Força de atrito e de arraste – Forças no movimento circular. 5- Trabalho de uma força Trabalho em uma dimensão – Trabalho e energia cinética – Trabalho e energia em três dimensões – Potência. 6- Conservação de Energia Forças conservativas e não-conservativas – A conservação de energia. 7- Rotação Variáveis rotacionais – Energia Cinética de rotação – Torque – Momento angular – Conservação do movimento angular. 8- Equilíbrio Requerimentos para o equilíbrio, Centro de gravidade, Equilíbrio estático, Elasticidade OBJETIVOS Os objetivos de uma disciplina correspondem à projeção de competências, habilidades e atitudes que se espera desenvolver no aluno. Assim, o que pretendemos é que, ao final de nossa trajetória, você seja capaz de:  demonstrar domínio dos princípios gerais e fundamentais de Física;  descrever e explicar fenômenos naturais;  saber diagnosticar, formular e encaminhar soluções de problemas físicos;  utilizar a linguagem científica na expressão de conceitos físicos, na descrição de procedimentos de trabalhos e na divulgação de seus resultados;  reconhecer as relações do desenvolvimento da Física com outras áreas do saber.
  10. 10. Guia de Estudo – FÍSICA I 10 AVALIAÇÃO Você será avaliado:  de acordo com sua participação nas atividades propostas;  através de provas, a serem realizadas presencialmente conforme calendário divulgado;  através de sua auto-avaliação;  de acordo com sua participação no fórum. Como as atividades possuem data limite para conclusão, existe uma tabela de valorização para as entregas das atividades. Dias de atraso Valor das atividades 0 Até 100 % Até 3 dias Até 90 % Entre 4 e 7 dias Até 80 % Após 7 dias Não serão mais aceitas a atividades Observações:  Os trabalhos deverão ser desenvolvidos pelo aluno, não podendo este copiar de outros alunos ou Internet.  Como mencionado anteriormente, o guia é auto-instrutivo e tem a finalidade de dar suporte aos alunos, no entanto, durante o estudo e desenvolvimento das tarefas, estarei a disposição para esclarecer quaisquer dúvidas.  No Guia de Estudos, há vários exercícios, porém não serão todos avaliados. Alguns deles servirão, apenas, de suporte aos estudos, ficando a cargo do aluno resolvê-los ou não.
  11. 11. Guia de Estudo – FÍSICA I 11 UNIDADE 1 - CONCEITOS DE MEDIDAS E INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA Ao longo das atividades que se seguirão, você notará que a Física, ciência fundamental da natureza, procura como característica a medição. Observe ao seu redor, onde quer que você se encontre, há uma variedade de coisas que podem ser medidas e, por isto, denominadas de grandezas. Estas grandezas podem pertencer a diferentes espécies, isto é, comprimento, massa, tempo, velocidade, etc.; cada uma delas possuindo sua unidade de medida (m, kg, s, m/s...), observe a tabela 1.1: TABELA 1.1 – Tabela de medidas TIPO DE UNIDADE GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO BASE COMPRIMENTO MASSA TEMPO CORRENTE ELÉTRICA TEMPERATURA QUANTIDADE DE MATÉRIA INTENSIDADE LUMINOSA METRO QUILOGRAMA SEGUNDO AMPÈRE KELVIN MOL CANDELA m kg s A K mol cd SUPLEMENTARES ÂNGULO PLANO ÂNGULO SÓLIDO RADIANO ESTERRADIANO rad sr DERIVADAS ÁREA VOLUME VELOCIDADE ACELERAÇÃO FORÇA ENERGIA IMPULSO MOMENTO LINEAR POTÊNCIA ... NEWTON JOULE WATT ... m 2 m 3 m/s m/s2 N (kg.m/s2 ) J (kg.m2 /s2 ) N.s Kg.m/s W (kg.m2 /s3 ) ...
  12. 12. Guia de Estudo – FÍSICA I 12 Os Prefixos listados na tabela 1.2 são também convenientes de serem usados ao lidarmos com medidas muito grandes ou muito pequenas. Como se pode ver, cada prefixo representa uma certa potência de 10 como um fator. TABELA 1.2 – Tabela de Prefixos NOME SÍMBOLO POTÊNCIA DE DEZ Exa E 1018 Peta P 1015 Tera T 1012 Giga G 109 Mega M 106 Quilo K 103 Hecto H 102 Deca Da 101 Deci D 10-1 Centi C 10-2 Mili M 10-3 Micro  10-6 Nano N 10-9 Pico P 10-12 Fentro F 10-15 Atto A 10-18 O Sistema Internacional de Unidades (SI) Em 1971, a 14ª Conferência Geral sobre Pesos e Medidas escolheu sete grandezas como fundamentais, formando, desta maneira, a base do Sistema Internacional de Unidades, abreviado como SI por seu nome francês, sendo popularmente conhecido como sistema métrico. A Tabela 1.3 mostra as unidades para as três grandezas fundamentais – COMPRIMENTO, MASSA E TEMPO – que nós usaremos nessa apostila. TABELA 1.3 – Algumas Unidades Fundamentais (SI), também conhecidas como (MKS). Grandeza Nome da Unidade Símbolo da Unidade Comprimento Metro M Massa Segundo S Tempo Quilograma kg As mudanças de unidades de medidas serão feitas nos exemplos.
  13. 13. Guia de Estudo – FÍSICA I 13 INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA O mundo, e tudo o que está nele, se move. Mesmo aquilo que, aparentemente, está em repouso, como uma estrada, se move com a rotação da Terra, com a órbita da terra em torno do sol, com a órbita do sol ao redor do centro da galáxia (Via Láctea), etc. Nosso primeiro estudo da Física, dentro da Mecânica, será a classificação e a comparação de movimentos, chamados de Cinemática. A Mecânica tem por finalidade o estudo dos movimentos e das condições de equilíbrio dos corpos. Ela interessa-se pelos movimentos de sólidos, líquidos e gases. Nesta etapa do curso, daremos atenção especial à Cinemática. A Cinemática é a parte da Mecânica que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com suas causas. Vamos agora apresentar alguns conceitos básicos de Cinemática: Movimento Vamos iniciar a abordagem de um dos primeiros e mais importantes temas da Física: o MOVIMENTO. Observando os corpos a nossa volta, podemos ter intuitivamente uma idéia do que é movimento e repouso. Mas esses dois conceitos (movimento e repouso) são relativos: ao dormir você pode estar em repouso em relação às paredes de seu quarto, entretanto em relação ao sol você está em movimento. Resumidamente podemos dizer que um corpo está em movimento, em relação a um dado referencial, se a distância entre o corpo e o referencial aumenta ou diminui com o passar do tempo. De um modo geral, dá-se o nome de móvel a qualquer corpo em movimento. Quando um corpo se aproxima ou se afasta de um dado referencial, dizemos que os dois estão em movimento, um em relação ao outro. Um professor caminhando em direção à porta da sala de aula, podemos dizer que o professor está em movimento em relação à porta, a porta está em movimento em relação ao professor ou os dois estão em movimento, um em relação ao outro.
  14. 14. Guia de Estudo – FÍSICA I 14 Ponto Material É qualquer corpo cujas dimensões geométricas sejam desprezíveis em face da sua trajetória, isto é, da linha que ela descreve no espaço. Em problemas de Física, esse corpo, muitas vezes, é chamado de PARTÍCULA, por exemplo, em seu movimento em torno do Sol, a Terra é uma partícula. Referencial Para definir a posição de uma partícula, precisamos de um sistema de referência, ou, como também se diz de maneira mais cômoda, de um referencial. O referencial pode ser a Terra, o Sol, um corpo, um sistema de eixos, etc. Se a posição da partícula permanecer invariável em relação ao referencial usado, dizemos que ela está em repouso. Se variar com o tempo, dizemos que ela está em movimento. É claro que o repouso e o movimento citados são relativos ao referencial usado. Quando você viaja de ônibus, a sua posição em relação à estrada varia com o tempo. Então você está em movimento em relação à estrada. Mas sua posição em relação ao motorista não se modifica, nesse caso, você está em repouso em relação ao motorista. TRAJETÓRIA Trajetória é a linha determinada pelas diversas posições que um corpo ocupa no decorrer do tempo, ou seja, é o desenho descrito pelo móvel durante o percurso. A trajetória de um móvel depende do referencial adotado e pode ter uma infinidade de formas. 1: Sobre o chão de um elevador coloca-se um trenzinho de brinquedo, em movimento circular. O elevador sobe com velocidade constante. a) Em relação a uma pessoa parada dentro do elevador podemos afirmar que a trajetória é um circulo.
  15. 15. Guia de Estudo – FÍSICA I 15 b) Em relação a uma pessoa fixa, porém fora do elevador, podemos afirmar que a trajetória tem o formato de uma mola. 2: Um avião em vôo horizontal abandona um objeto. Desenhe a trajetória que o objeto descreve nos seguintes casos: a) Tomando como referencial uma casa fixa na Terra. Trajetória parabólica b) Tomando como referencial o piloto do avião. Trajetória retilínea Espaço (S) Na cinemática escalar, a palavra espaço sempre está associada a um número. Por exemplo, numa estrada de rodagem, cada marco quilométrico pode ser denominado espaço. Então, espaço (S) é um número real que permite a localização do móvel em sua trajetória. Esse número é colocado em uma reta representada pelos números reais, mais comumente os naturais. Desse modo, podemos dizer que espaço é a medida algébrica do segmento que vai da origem da trajetória até o ponto em que se encontra o móvel.
  16. 16. Guia de Estudo – FÍSICA I 16 ORIGEM DOS ESPAÇOS -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 s (m) SA = - 4 m SB = 5 m Estes números (-4 m e 5 m) são chamados ESPAÇOS - note que o sinal do espaço não depende do sentido do movimento do corpo. Ele está relacionado com o sentido da trajetória e, evidentemente, com a posição que o corpo ocupa na trajetória. Deslocamento Escalar  O deslocamento escalar (S) mede a variação de espaço efetuado pelo móvel em um determinado intervalo de tempo (t).  O deslocamento escalar depende apenas das posições final (Sf) e Inicial (S0) do móvel.  O deslocamento escalar é uma grandeza algébrica que pode ser positiva, negativa ou nula, e não deve ser confundida com distância percorrida. S0 Sf S = Sf – S0
  17. 17. Guia de Estudo – FÍSICA I 17 S (m) As cidades A, B e C estão situadas na mesma rodovia. Um automóvel sai de A, desloca até C, depois vai até B, em seguida, retorna em A. Determinar: 0 15 45 90 S (km) A B C a) o deslocamento entre A e C; b) o deslocamento entre C e B; c) o deslocamento total; d) a distância percorrida em todo o percurso. Resolução: a) S = SC – SA  S = 90 – 15  b) S = SB – SC  S = 45 – 90  c) S = SA – SA  S = 15 – 15  d) A distância percorrida é a soma de todas as posições ocupadas, no exemplo é: 75 km de ida e 75 km de volta. Existe uma diferença entre deslocamento e deslocamento escalar. O deslocamento é a distância entre a posição final e a posição inicial, mas, em linha reta, também chamado de DESLOCAMENTO VETORIAL ou somente DESLOCAMENTO. Já no deslocamento escalar, esta distância é medida sobre a trajetória. Vejamos um exemplo de deslocamento vetorial: S > 0 Deslocamento positivo S < 0 Deslocamento negativo S = 75 km S = - 45 km S = 0 d = 150 km
  18. 18. Guia de Estudo – FÍSICA I 18 Um móvel sai da posição A, desloca-se até B e, em seguida, desloca até C. Determine: A B 4 m C a) o deslocamento escalar entre A e C; b) o deslocamento vetorial entre A e C; c) A distância percorrida entre A e C. Resolução: a) s = sAB + sBC b) sAC = 22 )()( BCAB  (teorema de Pitágoras) s = 4m + 3m sAC = c) Ainda no exemplo anterior, suponha que o móvel prossegue o movimento e retorne depois de C para B. Neste caso, teremos: a) o deslocamento escalar será s = 3m; b) o deslocamento ou deslocamento vetorial será : s = 3m c) a soma total será (3 + 4 + 4 = 11m) de distância efetivamente percorrida ou espaços percorridos. Importante: Tanto o deslocamento escalar como o deslocamento podem ser negativos, já a distância efetivamente percorrida será sempre positiva. 916  s = 7 m s = 5 m 3 m d = 7 m
  19. 19. Guia de Estudo – FÍSICA I 19 Velocidades É a grandeza vetorial que indica como varia a posição de um corpo com o tempo. Em outras palavras, está relacionada com quão rápido um corpo se movimenta. Velocidade Média Existem 2 tipos de velocidade média, a velocidade escalar média e a velocidade vetorial média ou simplesmente velocidade média: a) Escalar: É a razão entre o deslocamento escalar de um móvel e o tempo TOTAL gasto neste deslocamento. t s V gastotempo escalartodeslocamen V mm    b) Vetorial: É a razão entre o deslocamento do móvel e o tempo total gasto para deslocá-lo. t s V gastotempo todeslocamen V mm     Obtemos a unidade de velocidade, dividindo a unidade de distância pela unidade de tempo. A unidade mais comum é o quilômetro por hora (Km/h), indicada nos velocímetros dos carros, utilizados para medir velocidade instantânea. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a velocidade é expressa por metro por segundo (m/s). A relação entre Km/h e m/s é: sm s m hkm / 6,3 1 3600 1000 /1  Portanto as transformações ficam da seguinte forma:
  20. 20. Guia de Estudo – FÍSICA I 20  3.6  3,6 Exercícios 01) Analise as afirmativas abaixo e marque com V de verdadeiro ou F de falso: ( ) Uma partícula em movimento em relação a um referencial pode estar em repouso em relação a outro. ( ) A forma da trajetória de uma partícula independe do referencial usado. ( ) Dois ônibus se deslocam por uma estrada retilínea com velocidade constante, sendo assim um está em repouso em relação ao outro. 02) Uma formiga A caminha radialmente sobre um disco de vitrola, do eixo para a periferia, quando o disco gira. a) Qual a trajetória da formiga A para um observador, em repouso, situado fora do disco? b) Qual a trajetória da formiga A para uma outra formiga B, situada sobre o disco, em repouso em relação a ele? 03) Um motorista levou 2 h para ir de Niterói a Friburgo (distância aproximada de 120 km), tendo parado 30 minutos para fazer um lanche. Marque com x a opção correta. a) Durante todo o percurso o velocímetro marcou 80 Km/h. b) Durante todo o percurso o velocímetro marcou 60 Km/h. c) A velocidade escalar média foi de 60 Km/h. d) A velocidade escalar média foi 80 Km/h, pois é preciso descontar o tempo que o motorista parou para lanchar. e) Há duas respostas corretas. Km/h m/s
  21. 21. Guia de Estudo – FÍSICA I 21 04) Marque com V de verdadeiro ou F de falso: ( ) A terra em seu movimento ao redor do Sol, pode ser considerada como ponto material. ( ) A terra em seu movimento em torno de seu eixo, pode ser considerada como ponto material. ( ) Quando um corpo se encontra em movimento, em relação a um dado referencial, podemos concluir que estará sempre em movimento em relação a qualquer referencial. ( ) O movimento da Lua em relação à Terra é diferente do movimento daquele satélite em relação ao Sol. 05) A velocidade escalar média de certo ponto material, num dado intervalo de tempo, é de 180 Km/h. Exprima essa velocidade em m/s. 06) Marque com V de verdadeiro ou F de falso: ( ) Denominamos ponto material aos corpos de pequenas dimensões. ( ) Um ponto material tem massa desprezível em relação às massas dos outros corpos considerados no movimento. ( ) Só tem significado falarmos de movimento e repouso de uma partícula se levarmos em consideração um referencial. ( ) A forma da trajetória depende do referencial adotado. ( ) A coordenada de posição de um ponto material num determinado instante indica quanto o ponto material percorreu até este instante. ( ) O fato de a coordenada de posição ser negativa indica que o ponto material se desloca contra a orientação da trajetória. ( ) Deslocamento positivo indica que o ponto material movimentou-se unicamente no sentido positivo da trajetória. ( ) Velocidade média positiva indica que o ponto material deslocou-se unicamente no sentido positivo. 07) Um homem ao inclinar-se sobre a janela do vagão de um trem que se move com velocidade constante, deixa cair seu relógio. A trajetória do relógio vista pelo homem do trem é (despreze a resistência do ar): a) uma reta b) uma parábola c) um quarto de circunferência d) uma hipérbole e) n.r.a.
  22. 22. Guia de Estudo – FÍSICA I 22 08) A velocidade de um avião é de 360 Km/h. Qual das seguintes alternativas expressa esta mesma velocidade em m/s? a) 100 m/s b) 600 m/s c) 1.000 m/s d) 6.000 m/s e) 360.000 m/s 09) Um automóvel percorre um trecho retilíneo de estrada, indo da cidade A até a cidade B distante 150 km da primeira. Saindo às 10 h de A, pára às 11 h em um restaurante situado no ponto médio do trecho AB, onde gasta exatamente 1h para almoçar. A seguir prossegue a viagem e gasta mais uma hora para chegar à cidade B. Sua velocidade média no trecho AB foi: a) 75 Km/h b) 50 Km/h c) 150 Km/h d) 69 Km/h e) 70 Km/h 10) Numa avenida longa, os sinais são sincronizados de tal forma que os carros, trafegando a uma determinada velocidade, encontram sempre os sinais abertos (onda verde). Sabendo-se que a distância entre sinais sucessivos (cruzamento) é 200 m e que o intervalo de tempo entre a abertura do sinal seguinte é 12 s, qual a velocidade em que devem trafegar os carros para encontrarem os sinais abertos? a) 30 Km/h b) 40 Km/h c) 60 Km/h d) 80 Km/h e) 100 Km/h 11) Um ponto material move-se em linha reta percorrendo dois trechos MN e NP. O trecho MN é percorrido com uma velocidade igual a 20 Km/h e o trecho NP com velocidade igual a 60 Km/h. O trecho NP é o dobro do trecho MN. Pode-se afirmar que a velocidade média no trecho MP foi de: a) 36 Km/h b) 40 Km/h c) 37,3 Km/h d) 42 Km/h e) n.r.a.
  23. 23. Guia de Estudo – FÍSICA I 23 12) Mostre que se a metade de um percurso for feito com uma velocidade V1 e a outra metade com velocidade V2, então a velocidade média no percurso total será de: 2 V1 V2 / (V1 + V2). 13) Um automóvel e um trem saem de São Paulo com destino ao Rio de Janeiro e realizam o trajeto com velocidades médias respectivamente iguais a 80 Km/h e 100 Km/h. O trem percorre uma distância de 500 km e o automóvel de 400 km até atingir o Rio. Pode-se afirmar que: a) a duração da viagem para o trem é maior porque a distância a ser percorrida é maior. b) a duração da viagem para o automóvel é maior porque a velocidade do automóvel é menor. c) a duração da viagem para ambos é a mesma. d) o tempo que o trem gasta no percurso é de 7 horas. e) o tempo que o automóvel gasta no percurso é de 8 horas. 14) Um elétron é emitido por um canhão de um tubo de televisão e choca-se contra a tela após 2 x 10-4 s. Determine a velocidade escalar média deste elétron, sabendo- se que a distância que separa o canhão da tela é 30 cm. 15) A luz demora 10 minutos para vir do Sol à Terra. Sua velocidade é de 3 . 105 Km/s. Qual a distância entre o Sol e a Terra?
  24. 24. Guia de Estudo – FÍSICA I 24 16) De duas cidadezinhas, ligadas por uma estrada reta de 10 km de comprimento, partem, simultaneamente, uma em direção à outra, duas carroças, puxadas cada uma por um cavalo e andando à velocidade de 5 km/h. No instante de partida, uma mosca, que estava pousada na testa do primeiro cavalo, parte voando em linha reta, com a velocidade de 15 km/h e vai pousar na testa do segundo cavalo. Após um intervalo de tempo desprezível, parte novamente e volta, com a mesma velocidade de antes, em direção ao primeiro cavalo até pousar em sua testa. E assim prossegue nesse vaivém, até que os dois cavalos se encontram e a mosca morre esmagada entre as duas testas. Quantos quilômetros percorreu a mosca? 17) Um projétil é disparado com velocidade constante de 680 m/s em direção a um alvo fixo. Decorrem 3 segundos desde o instante em que o atirador puxa o gatilho até ouvir o som provocado pelo impacto do projétil contra o alvo. Sabendo-se que as ondas sonoras propagam-se com velocidade de 340 m/s, determine a distância entre o atirador e o alvo:
  25. 25. Guia de Estudo – FÍSICA I 25 UNIDADE 2 - MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 1º Caso – Movimento Uniforme. O movimento de uma partícula é uniforme quando ela percorre, ao longo de sua trajetória, espaços iguais em intervalos de tempos iguais. Resumindo o que foi dito, Movimento Uniforme é o que se processa com velocidade escalar constante. 1.1- Função Horária do M.U.: O movimento uniforme pode ser escrito matematicamente por uma equação que relaciona os espaços do móvel com os instantes de tempo. Para se chegar a essa equação, considere que, no M.U., a velocidade escalar instantânea “v” é igual à velocidade escalar média “vm”: t S vv m    Considere o intervalo de tempo t desde o instante inicial 0 (zero), em que se observa o movimento, até um instante de tempo t qualquer: t = t - 0. Nesse intervalo de tempo, a variação de espaço s será s = s - s0, em que s é o espaço correspondente ao instante t e s0 é o espaço no instante inicial zero. Substituindo S e t em (1) teremos: 0 0    t ss v  vtss  0  Conhecida como equação horária do movimento uniforme (MU). Um movimento uniforme é descrito por S = 20 + 5 t (SI). Determine: a) o espaço inicial e a velocidade; b) a posição do móvel no instante 5 s. vtss  0
  26. 26. Guia de Estudo – FÍSICA I 26 Resolução: A equação horária do M.U. é: S = S0 + v t Compare com a do exemplo: S = 20 + 5 t a) note que S0 = 20 m e v = 5 m/s b) Queremos saber a posição S = ? no instante t = 5s  Como S = 20 + 5t S = 20 + 5 . 5 S = 20 + 25  S = 45 m Um móvel passa pela posição + 50m no instante inicial e caminha contra a orientação da trajetória. Sua velocidade escalar é constante e igual a 25 m/s em valor absoluto. Determine: a) A sua função horária; b) o instante em que o móvel passa pela origem das posições. Resolução: No início, é fácil concluir que S0 = 50 m. A velocidade móvel é v = - 25 m/s. O sinal (- ) é porque o móvel caminha contra a orientação da trajetória. a) S = S0 + v t, logo S = 50 + (-25) t, sendo assim a função horária será: S = 50 - 25 t b) A origem das posições é ( S = 0 ). Queremos o instante t que isso ocorre: t = ? como S = 50 - 25 t, 0 = 50 - 25 t, 25t = 50 , t = 50/25  t = 2 s Dois móveis A e B descrevem movimentos sobre a mesma trajetória e as funções horárias dos movimentos são: SA = 60 - 10 t e SB = 15 + 5 t, no (SI) . Determine: a) o instante do encontro; b) a posição do encontro.
  27. 27. Guia de Estudo – FÍSICA I 27 Resolução: a) No encontro, os dois móveis deverão ocupar a mesma posição, logo teremos: Sa = Sb como Sa = 60 - 10 t e Sb = 15 + 5 t , teremos que 60 - 10t = 15 + 5t  5t + 10t = -15 + 60  15t = 45  t = 3 s d) Para achar a posição de encontro basta substituir t = 3s em qualquer uma das equações horárias: Sa = 60 - 10 .3  Sa = 30 m Uma composição ferroviária com 19 vagões e uma locomotiva desloca-se a 20 m/s. Sendo o comprimento de cada composição igual a 10 m. Qual o tempo que o trem gasta para ultrapassar: a) um sinaleiro? b) uma ponte de 100 metros de comprimento? Resolução: Observe que o trem tem, ao todo, 20 composições. Se cada composição tem 10 metros, o trem tem, ao todo, 200 metros. Mas como será a equação horária desse trem, uma vez que a equação horária é para um ponto material? A resposta é muito simples, basta você imaginar, por exemplo, um ponto material bem na frente do trem. Você fará a função horária deste ponto tendo em mente, sempre, que existe um trem atrás do ponto. Vamos agora à solução do problema. 0 S (m) 200 m
  28. 28. Guia de Estudo – FÍSICA I 28 a) O trem começará ultrapassar o sinaleiro, quando o ponto passar pelo sinaleiro, logo S0 = 0 ( considere o sinaleiro como origem das posições). Logo a eq. horária ficará sendo : S = S0 + v t  S = 0 + 20t  S = 20t . Para que o trem todo ultrapasse o sinaleiro, o ponto deverá estar a 200 metros à frente do sinaleiro (S = 200 m). Vamos determinar o tempo para que isto ocorra: S = 20 t  200 = 20 t  t = 200/20  t = 10 s b) Considere, agora, o início da ponte como sendo a origem das posições. Quando o ponto passar por aquele local, teremos S0 = 0, ou seja, a eq. horária será a mesma: S = 20 t . Porém, para o trem todo ultrapassar a ponte, o ponto deverá percorrer os 100 metros da ponte mais 200 metros, que é o equivalente para que todo o trem saia da ponte. Sendo assim a partir do instante em que o ponto entra na ponte, ela deverá percorrer 300 metros para que todo o trem saia da ponte. Sendo assim vamos calcular o tempo em que ela alcança a posição de 300 m: 0 S(m) S = 20 t  300 = 20 t  t = 300 / 20  t = 15 s 2º Caso - Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.) 2.1- Aceleração Escalar (a): Em movimentos nos quais as velocidades dos móveis variam com o decurso do tempo, introduz-se o conceito de uma grandeza cinemática denominada aceleração. ACELERAÇÃO ESCALAR (a) = taxa de variação da velocidade escalar numa unidade de tempo. 200 m 100 m
  29. 29. Guia de Estudo – FÍSICA I 29 Num intervalo de tempo (t = tf - ti ), com uma variação de velocidade escalar (v = vf - vi ), define-se a aceleração escalar média (am) pela relação: t v am    Quando o intervalo de tempo é infinitamente pequeno, a aceleração escalar média passa a ser chamada de aceleração escalar instantânea ( a ). Qual é a aceleração média de um móvel que, em 5s, altera a sua velocidade escalar de 3 m/s para 13 m/s? Resolução: 0 0 tt vv am     05 313   ma  am = 2 m/s2 am = 2 m/s2  Esse resultado indica que a cada segundo que passa, a velocidade escalar aumenta em 2m/s em MÉDIA. As unidades mais utilizadas de aceleração são: No SI No CGS Outras m/s2 cm/s2 km/h2 , km/s2 etc. 2.2 - Movimento Uniformemente Variado (M.U.V) Um movimento no qual o móvel mantém sua aceleração escalar constante, não nula, é denominado movimento uniformemente variado. Em conseqüência, a aceleração escalar instantânea (a) e a aceleração escalar média (am) são iguais.
  30. 30. Guia de Estudo – FÍSICA I 30 2.2.1 - Equação da velocidade: Como no MUV a aceleração é constante, teremos a = am , ou seja: tavvtav t v a     0 Como t = t – t0, chamaremos de t0 o exato momento em que se dispara um cronômetro para registrar o tempo t0 = 0. v – v0 = a . t  tavv .0  Esta expressão é chamada de equação horária da velocidade de um MUV. Um móvel tem velocidade de 20 m/s quando a ele é aplicada uma aceleração constante e igual a - 2 m/s2 . Determine o instante em que o móvel pára; Resolução: Dados: v0 = 20 m/s t = ? v = 0 instante em que o móvel pára a = - 2 m/s2 v = v0 + a.t  0 = 20 - 2.t  2t = 20  t = 10 s 3º Caso - Movimento Variado (M.V.) Nós vimos, até o momento, duas maneira de descrever movimento, ambas medidas em um intervalo t. Entretanto, à medida que t diminui, a velocidade média, que é mesma em todo o percurso no caso do M.U., passa a ser a velocidade instantânea, ou seja, quando t é muito pequeno S também é e podemos dizer que a velocidade foi calculada em um ponto. 3.1 Determinação das funções da velocidade e da aceleração partindo da função da posição: O estudo dos movimentos, quando t é muito pequeno, necessita de aplicações de C.D.I., ou seja, podemos dizer que a velocidade é a taxa de variação do espaço e a aceleração é a taxa de variação de velocidade, em outras palavras: A VELOCIDADE INSTANTÂNEA É A DERIVADA DO ESPAÇO E A ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA É A DERIVADA DA VELOCIDADE.
  31. 31. Guia de Estudo – FÍSICA I 31 Observe o gráfico que ilustra esta aplicação: S Ampliação do ponto tangente dS  dt 0 t Observe na ampliação que podemos definir a velocidade média no instante dt como dt dS vm  , porém, na Matemática, quando temos um intervalo muito pequeno de variação (d), a taxa de variação se aproxima de um valor limite, que em nosso caso é a velocidade instantânea: dt dS t S v t      0 lim Pense: v é a taxa com que a posição S está variando com o tempo em um dado instante, ou seja, v é a derivada de S em relação à t. Pense: v em qualquer instante é a declividade da curva (ou coeficiente angular da reta tangente à curva), posição X tempo da partícula no ponto que representa aquele instante. É fácil de perceber a segunda afirmação, pois a dt dS AC OC  .. .. tan . O conceito de aceleração instantânea é análogo à velocidade instantânea, o qual podemos resumir em: dt Sd dt dv t v a t 2 0 lim     
  32. 32. Guia de Estudo – FÍSICA I 32 Então a aceleração instantânea é a derivada da velocidade ou derivada segunda do espaço em função do tempo. A posição de uma partícula no eixo S é dada por 3 274 ttS  , com S em metros e t em segundos. Determine: a) a função da velocidade x tempo; b) a função da aceleração x tempo; c) as posições nos instantes 1 e 2 segundos; d) as velocidades nos instantes 1 e 2 segundos; e) as acelerações nos instantes 1 e 2 segundos; f) a velocidade média entre 1 e 2 segundos; g) o instante e a posição máxima e/ou mínima em que a partícula alcança; h) esboce em uma trajetória o móvel em estudo. Resolução: a) Vimos que a velocidade é a derivada do espaço, logo temos: 2 327 tv  b) Vimos que a aceleração é derivada da velocidade, logo temos: ta 6 c) Para encontrar as posições nos instantes 1 e 2, basta substituir os tempos na equação do espaço, portanto: mS 2211.274 3 )1(  mS 4222.274 3 )2(  d) Para encontrar as velocidades nos instantes 1 e 2, basta substituir os tempos na equação da velocidade, portanto: smv /241.327 2 )1(  smv /152.327 2 )2(  e) Para encontrar as acelerações nos instantes 1 e 2, basta substituir os tempos na equação da aceleração, portanto: 2 )1( /61.6 sma  2 )2( /122.6 sma 
  33. 33. Guia de Estudo – FÍSICA I 33 f) Cuidado, velocidade média é apenas uma média das velocidades e não uma velocidade real. Para determinar a velocidade média, basta aplicar os valores na fórmula: sm t S vm /20 12 )22(42        g) Vamos lembrar o que aprendemos em C.D.I.: quando queremos os valores máximos e/ou mínimos de uma equação, devemos derivar a equação que estamos estudando e igualar esta equação a zero, portanto temos que: 0 dt dS , obtemos os instantes em que a posição é máxima. 0327 2  t dt dS  3t segundos Assim o instante em que o móvel ocupa a posição máxima e/ou mínima é em 3 segundos, pois não estudamos os tempos negativos, e a posição é dada por: mS 5033.274 3 )3(  Vimos na letra c que, nos instantes 1 e 2, o móvel ocupa valores maiores que – 50 m, portanto podemos definir que -50m é a posição mínima à qual o móvel ocupa, e este instante foi em três segundos após o início. h) t = 3 s t = 2 s t = 1 s t = 0 s v = 0 v = - 15 m/s v = - 24 m/s v0 = - 27 m/s S(m) - 50 - 42 - 22 4
  34. 34. Guia de Estudo – FÍSICA I 34 Observe que, em t = 4 s, temos S = - 40 m e v = + 21 m/s, ou seja, no instante t = 3 s, o móvel pára e inverte seu sentido retornado no sentido positivo da trajetória. Observe um esboço para a trajetória: Para o infinito O gráfico da função horária dos espaços desta partícula é dado por: 3.2 Determinação das funções da Velocidade e da Posição partindo da função de Aceleração. Vimos que as funções da velocidade e da aceleração podem ser determinadas a partir da equação da posição. Agora, vamos estudar as operações inversas, ou seja, partindo da equação da aceleração, retornar à equação da velocidade e partindo desta equação, retornar à equação do espaço. Este procedimento é conhecido como antiderivada ( ou integral ). Portanto, reescrevendo a definição da aceleração como: dt dv a   adtdv  Tempo Espaço S
  35. 35. Guia de Estudo – FÍSICA I 35 Escrevendo a integral dos dois lados temos: adtdv   ou Cadtv   , em que C é a velocidade inicial do móvel. Portanto, podemos definir a função da velocidade de uma partícula pela integral da função aceleração. Para determinação da função dos espaços, partimos da definição da velocidade como: dt dS v   vdtdS  Escrevendo a integral dos dois lados temos: vdtdS   ou CtvdS   , em que C é a posição inicial do móvel. Portanto, podemos definir a função dos espaços de uma partícula pela integral da função da velocidade. A aceleração de uma partícula é dada por 12  ta , no SI. Supondo que a partícula partiu da posição 2 m com velocidade inicial de 3 m/s, determine: a) a função da velocidade x tempo; b) a função do espaço x tempo; c) as acelerações nos instantes 1 e 2 segundos; d) as velocidades nos instantes 1 e 2 segundos; e) as posições ocupadas nos instantes 1 e 2 segundos; f) a velocidade média entre 1 e 2 segundos; g) esboce em uma trajetória o móvel em estudo.
  36. 36. Guia de Estudo – FÍSICA I 36 a) A velocidade é dada por: Cadtv    Cdttv   )12(  Cttv  2 Portanto: b) A posição é dada por: CtvdS    CdtttS   )3( 2  Ct tt S  3 23 23 Portanto: c) 2 )1( /311.2 sma  2 )2( /512.2 sma  d) smv /53112 )1(  smv /93222 )2(  e) mS 83,521.3 2 1 3 1 23 )1(  mS 67,1222.3 2 2 3 2 23 )2(  f) sm t S vm /84,6 12 83,567,12        23 23 23  t tt S 32  ttv
  37. 37. Guia de Estudo – FÍSICA I 37 g) t0 = 0 s t = 1 s t = 2 s v0 = 3 m/s v = 5 m/s v0 = 9 m/s 0 2 5,83 12,67 S(m) O gráfico da função horária dos espaços desta partícula é dado por: Retornando ao 2º Caso (M.U.V.): Com o conhecimento de movimento variado, podemos encontrar as equações do M.U.V. da seguinte forma: Sabemos que Cadtv   , e como a aceleração é constante no M.U.V., ela pode ser colocada fora da integral. Então obtemos: Cdtav   ou Catv   0vatv   Espaço S Tempo atvv  0
  38. 38. Guia de Estudo – FÍSICA I 38 Equação horária da velocidade do MUV. Com a equação da velocidade, podemos obter a equação dos espaços da seguinte maneira: Sabemos que CtvdS   , porém, neste caso, a velocidade não é constante, mas é dada por atvv  0 , então temos que: CtdatvS   )( 0 ou C at tvS  2 2 0  0 2 0 2 S at tvS   2 2 00 at tvSS  Equação horária dos espaços do M.U.V. Equação de Torricelli Temos, até agora, duas funções que nos permitem saber a posição do móvel e a sua velocidade em relação ao tempo. Torna-se útil encontrar uma equação que possibilite conhecer a velocidade de um móvel sem saber o tempo. A equação de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo móvel. É obtida eliminando o tempo entre as funções horárias da posição e da velocidade. I II Isolando o tempo t, na segunda equação, e substituindo na primeira, vem: atvv  0 2 2 00 at tvSS 
  39. 39. Guia de Estudo – FÍSICA I 39 De (2) : a vv t 0  Substituindo em (1) 2 00 00 2 1                a vv a a vv vss           a vvvv a vvv ss 2 00 22 00 0 2 2 1 Reduzindo ao mesmo denominador: 2a(S - S0) = 2 v0v - 2v0 2 + v2 - 2vv0 + v0 2 2a(S - S0) = - v0 2 + v2 v2 = v0 2 + 2 a (S - S0) mas S = S - S0 Sendo assim, temos: Equação de Torricelli Um móvel desloca-se sobre uma reta segundo a função horária S = -15 - 2t + t2 (no SI) . Pede-se: a) o tipo de movimento; b) a posição inicial; c) a velocidade inicial; d) a aceleração; e) a função v = f(t); f) o instante em que o móvel passa pela origem das posições. Resolução: a) A função horária S = -15 - 2t + t2 é do 2º grau, portanto o móvel está em M.U.V.. b) Por comparação: S = S0 + v0 t + a/2 . t2  S0 = -15 m (o móvel está a 15 metros da origem). c) Também, por comparação, temos que V0 = -2 m/s. Savv  ..22 0 2
  40. 40. Guia de Estudo – FÍSICA I 40 d) Por comparação, temos: (1/2) a = 1 então a = 2 m/s2 e) V = V0 + a.t  Substituindo os valores encontrados anteriormente temos que: V = -2 + 2.t ou derivando S, temos V = -2 + 2.t. f) A origem das posições temos quando S = 0 : S = -15 - 2t + t2 0 = -15 - 2t + t2 Resolvendo a equação temos s a b t 5 2 82 2      só é considerado o tempo positivo. Um carro parte do repouso e, ao final de 50m, ele atinge uma velocidade de 144 km/h. Determine a aceleração desse carro. Resolução: São dados - v = 144 Km/h = 40 m/s S = 50 m v0 = 0 v2 = v0 2 + 2.a. S 402 = 02 + 2.a.50  1600 = 100 a  a = 16 m/s2 Lançamento Vertical e Queda Livre Quando um corpo é lançado nas proximidades da superfície da Terra, fica sujeito a uma aceleração constante, orientada sempre para baixo, na direção vertical. Tal aceleração será estudada na Gravitação Universal. Ela existe devido ao campo gravitacional terrestre.
  41. 41. Guia de Estudo – FÍSICA I 41 A aceleração da gravidade não é a mesma em todos os lugares da Terra. Ela varia com a latitude e com a altitude. Ela aumenta quando se passa do equador (g = 9,78039 m/s2 ) para o pólo (g = 9,83217 m/s2 ) . Ela diminui quando se vai da base de uma montanha para o seu cume. O valor de g, num lugar situado ao nível do mar e à latitude de 45º, chama-se aceleração normal da gravidade. gnormal = 9,80665 m/s2 Se trabalharmos com dois algarismos, podemos considerar o valor de g como o mesmo para todos os lugares da Terra: g = 9,8 m/s2 Para facilitar os cálculos, normalmente usa-se g = 10 m/s2 . A expressão queda livre, utilizada com freqüência, refere-se a um movimento de descida, livre dos efeitos do ar; é, portanto, um M.U.V. acelerado sob a ação da aceleração da gravidade, assim como no lançamento vertical. Porém, no lançamento vertical, quando o corpo sobe o movimento é retardado e quando desce é acelerado. 1) Como a aceleração da gravidade, nas proximidades da Terra, é constante, nosso movimento será uniformemente variado. (MUV) 2) Em um mesmo lugar da Terra, todos os corpos caem livremente com a mesma aceleração, independentemente do seu peso, forma ou tamanho. Isto é, naquele lugar da Terra o valor de g é o mesmo para qualquer corpo em queda livre. 3) Quando lançamos um corpo verticalmente para cima, quando este alcançar a altura máxima, sua velocidade será nula (V = 0). 4) Quando o corpo é lançado do solo verticalmente para cima (desprezando a resistência do ar), o tempo que ele gasta para atingir a altura máxima é igual ao tempo que ele leva para retornar ao solo. Neste caso, a velocidade com que ele é lançado também será a mesma, em módulo, que ele retorna ao solo. 5) As equações, no movimento vertical, são as mesmas do M.U.V. nas quais: S = H (altura) a = g (gravidade)
  42. 42. Guia de Estudo – FÍSICA I 42 então temos: atvv  0  gtvv  0 2 2 00 at tvSS   2 2 00 gt tvHH  em queda livre : 2 2 gt H  Savv  ..22 0 2  Hgvv ..22 0 2  CUIDADO COM A ORIENTAÇÃO DA TRAJETÓRIA. Um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial de 20 m/s. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10 m/s2 , pede-se: a) a função horária das alturas; b) a função horária das velocidades; c) o tempo gasto para o corpo atingir a altura máxima; d) a altura máxima atingida em relação ao solo; e) o tempo gasto pelo corpo para retornar ao solo; f) a velocidade do corpo ao tocar o solo. Resolução: Adotaremos, como positiva, a trajetória para cima: o movimento em questão é um MUV. a) 2 2 00 gt tvHH  , como V0 = 20 m/s H0 = 0 e g = -10 m/s2 substituindo na eq. teremos: 2 520 ttH 
  43. 43. Guia de Estudo – FÍSICA I 43 b) gtvv  0 Substituindo os valores já conhecidos teremos: tv 1020  c) Na altura máxima ( V = 0 ) V = 20 – 10. t então: 0 = 20 - 10 t  10 t = 20  t = 20 / 10 logo t = 2 s d) Substituindo t = 2s em S = 20 t - 5 t2 , temos: H = 20 . 2 - 5 . 22 então H = 40 - 20, ou seja: H = 20m e) No solo (S = 0), pois retorna a origem. H = 20 t - 5 t2 , substituindo H = 0 na eq. teremos: 0 = 20 t - 5 t2  0 = 5t (4 - t)  t = 4s f) Substituindo t = 4s em v = 20 - 10 t, temos: v = 20 - 10 . 4  v = 20 - 40  v = -20 m/s (negativa porque é contrária ao sentido positivo adotado). Observe no exemplo anterior que: - Tempo de subida = tempo de descida. - Velocidade de saída = velocidade de chegada (em módulo). Esta observação é válida para qualquer corpo lançado verticalmente para cima, mas sempre em relação ao mesmo plano de referência, e desprezando as resistências do ar.
  44. 44. Guia de Estudo – FÍSICA I 44 EXERCÍCIOS Exercícios de M.U. e M.U.V. 1) Marque com V de verdadeiro ou F de falso: ( ) No MRU o móvel percorre espaços iguais em intervalos de tempo iguais. ( ) Um MRU é sempre progressivo. ( ) Um corpo pode estar simultaneamente em MRU em relação a um dado referencial e em repouso em relação a outro referencial. ( ) Um movimento é uniforme quando sua trajetória em relação a um dado referencial é retilínea. 2) Uma pessoa lhe informa que um corpo está em movimento retilíneo uniforme. a) O que está indicado pelo termo “retilíneo”? b) E pelo termo “uniforme” ? c) Qual é a expressão matemática que nos permite calcular a distância que este corpo percorre após decorrido um tempo t ? 3) Um set de uma partida de voleibol tem início às 19h25 min e 30s e termina às 20h 5min 15s. O intervalo de tempo de duração dessa etapa do jogo é de: a) 1h 39 min 46s. b) 1h 20 min 15s. c) 39min 45s. d) 30min 45s. e) 20 min 15s.
  45. 45. Guia de Estudo – FÍSICA I 45 4) Dentre as velocidades citadas nas seguintes alternativas, qual é a maior? a) 190 m/s b) 25 m/min c) 105 mm/s d) 900 Km/h e) 7,9 Km/s 5) Um automóvel mantém uma velocidade constante de 72 Km/h. Em 1h e 10min ele percorre, em Km, uma distância de: a) 79,2 b) 80 c) 82,4 d) 84 e) 90 6) Dois móveis partem das posições -30m e 10m respectivamente, ambos em MU. Sabendo-se que a velocidade de A é 18m/s e de B é 6 m/s, qual o instante em que eles vão se encontrar? Em que posição isto ocorre? 7) A distância de dois automóveis é de 225 Km. Se eles andam um ao encontro do outro com 60 Km/h e 90 Km/h, ao fim de quantas horas se encontrarão? a) 1 hora b) 1h 15 min c) 1h 30 min d) 1h 50 min e) 2h 30 min 8) Dois móveis A e B partem simultaneamente do mesmo ponto, com velocidades constantes iguais a 6 m/s e 8 m/s. Qual a distância entre eles em metros, depois de 5s, se eles se movem na mesma direção e no mesmo sentido? a)10 b) 30 c) 50 d) 70 e) 90
  46. 46. Guia de Estudo – FÍSICA I 46 10) Um trem de comprimento 130 metros e um automóvel de comprimento desprezível caminham paralelamente num mesmo sentido em um trecho retilíneo. Seus movimentos são uniformes e a velocidade do automóvel é o dobro da velocidade do trem. Pergunta-se: Qual a distância percorrida pelo automóvel desde o instante em que alcança o trem até o instante em que o ultrapassa? 11) Duas locomotivas, uma de 80m e outra de 120m de comprimento, movem-se paralelamente uma à outra. Quando elas caminham no mesmo sentido, são necessários 20 s para a ultrapassagem e quando caminham em sentidos opostos, 10 s são suficientes para a ultrapassagem. Calcule a velocidade das locomotivas sabendo que a maior é a mais veloz. 12) Um trem de 150 metros de comprimento, com velocidade de 90 Km/h, leva 0,5 minuto para atravessar um túnel. Determine o comprimento do túnel. 13) Uma partícula passa pelo ponto A da trajetória esquematizada abaixo, no instante t = 0, com velocidade escalar de 8,0 m/s. No instante t = 3,0 s, a partícula passa pelo ponto B com velocidade escalar de 20,0 m/s. A B 0 1 2 3 4 S(m) Sabendo-se que o seu movimento é uniformemente variado, a posição do ponto B, em metros, vale: a) 25,0 b) 30,0 c) 45,0 d) 50,0 e) 55,0
  47. 47. Guia de Estudo – FÍSICA I 47 14) Dois móveis, A e B, estão numa trajetória retilínea, sendo a função horária das posições, respectivamente, SA = 8 + 3t e SB = 4t2 . Se as unidades estão no SI (Sistema Internacional), pode-se concluir que: a) o móvel A apresenta aceleração de 3 m/s2 . b) o móvel B apresenta aceleração de 8 m/s2 . c) o móvel A apresenta movimento uniformemente acelerado. d) o móvel B apresenta movimento uniforme. e) os móveis A e B encontrar-se-ão no instante 5 s. 15) A velocidade de um automóvel que viaja para leste é reduzida uniformemente de 72 km/h para 36 km/h em uma distância de 60 m. O tempo necessário, em segundos, para percorrer essa distância é: a) 1,8 b) 2,5 c) 3,5 d) 4,0 e) 5,8 16) Ao iniciar a travessia de um túnel retilíneo de 200 metros de comprimento, um automóvel de dimensões desprezíveis movimenta-se com velocidade de 25 m/s. Durante a travessia desacelera uniformemente, saindo do túnel com velocidade de 5 m/s. O módulo de sua aceleração escalar, nesse percurso, foi de: a) 0,5 m/s2 b) 1,0 m/s2 c) 1,5 m/s2 d) 2,0 m/s2 e) 2,5 m/s2 17) Um carro está viajando numa estrada retilínea com a velocidade de 72 km/h. Vendo adiante um congestionamento no trânsito, o motorista aplica os freios durante 2,5 s e reduz a velocidade para 54 km/h. Supondo que a aceleração é constante durante o período de aplicação dos freios, calcule o seu módulo, em m/s2 . a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0 18) Dois carros deslocam-se em pista retilínea, no mesmo sentido, com velocidades constantes. O carro que está na frente desenvolve 20 m/s e o que está atrás, 35 m/s. Num certo instante, a distância entre eles é de 225 m. A partir desse instante, quanto tempo o carro de trás levará para alcançar o da frente? a) 15 s b) 10 s c) 5 s d) 20 s e) 25 s
  48. 48. Guia de Estudo – FÍSICA I 48 Exercícios de Lançamento vertical e queda livre 01) Do terraço de um edifício, você solta, sucessivamente, com velocidade inicial nula, três bolinhas de aço, a 0,50 s de intervalo. No instante em que você solta a terceira, as duas primeiras se encontram nas posições indicadas na opção: 2. Para calcular a altura de uma ponte sobre o leito de um rio, um garoto abandonou uma pedra da ponte, a partir do repouso, e mediu o tempo transcorrido até que ela atingisse a superfície da água. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m / s2 e sabendo que o tempo de queda da pedra foi de 2,2 segundos, pode-se afirmar que a altura da ponte, em metros, é um valor mais próximo de: a) 16. b) 20. c) 22. d) 24. e) 48. 3. Atira-se em um poço, uma pedra verticalmente para baixo, com uma velocidade inicial v0 = 10 m/s. Sendo a aceleração local da gravidade igual a 10 m / s2 e sabendo-se que a pedra gasta 2 s para chegar ao fundo do poço, podemos concluir que a profundidade deste é, em metros: a) 30. b) 40. c) 50. d) 20. e) Nenhuma das respostas anteriores.
  49. 49. Guia de Estudo – FÍSICA I 49 4. Um vaso de flores cai livremente do alto de um edifício. Após ter percorrido 320 cm, ele passa por um andar que mede 2,85 m. Quanto tempo ele gasta para passar por esse andar? Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m / s2 . a) 1,0 s. b) 0,80 s. c) 0,30 s. d) 1,2 s. e) 1,5 s. 5. Um elevador está descendo com velocidade constante. Durante este movimento, uma lâmpada, que o iluminava, desprende-se do teto e cai. Considere g = 9,8 m / s2 . Sabendo-se que o teto está a 3,0 m de altura acima do piso do elevador, o tempo que a lâmpada demora para atingir o piso é: a) 0,61 s. b) 0,78 s. c) 1,54 s. d) Infinito, pois a lâmpada só atingirá o piso se o elevador sofrer uma desaceleração. e) Indeterminado, pois não se conhece a velocidade do elevador. 6. Um jogador de basquetebol consegue dar um grande impulso ao saltar e seus pés atingem a altura de 1,25 m. A aceleração da gravidade no local tem o valor de 10 m / s2 . O tempo que o jogador fica no ar, aproximadamente, é: a) 1 s. b) 2 s. c) 3 s. d) 4 s. e) 5 s. 7. Um objeto é lançado verticalmente para cima e retorna ao ponto de partida em 2,0 s. Desprezando-se a resistência do ar e considerando g = 10 m / s2 , a altura atingida pelo objeto é, em metros: a) 2,5. b) 5,0. c) 10. d) 20. e) 40.
  50. 50. Guia de Estudo – FÍSICA I 50 8. Uma pedra é lançada verticalmente para cima com velocidade de 3,0 m/s de uma posição a 2,0 m acima do solo. Quanto tempo decorrerá desde o instante do lançamento até o instante de a pedra chegar ao solo? Considere g = 10 m / s2 . a) 0,4 s. b) 1,0 s. c) 1,5 s. d) 2,0 s. e) 3,0 s. 9. Um objeto é lançado do solo verticalmente para cima. Quando sua altura é 2 m, o objeto está com uma velocidade de 3 m/s. Admitindo-se que a aceleração gravitacional vale 10 m / s2 , pode-se afirmar que a velocidade com que esse objeto foi lançado, em m/s, é de: a) 4,7. b) 7. c) 8,5. d) 9. e) 9,5. 10. Um elevador sobe e, no instante em que se encontra a 30 m do solo, sua velocidade escalar é 5,0 m/s. Nesse mesmo instante, rompe-se o cabo de sustentação e o elevador fica livre de qualquer resistência. Adotando g = 10 m / s2 , o tempo que ele gasta para atingir o solo é: a) 30 s. b) 6,0 s. c) 3,0 s. d) 2,9 s. e) s. 11. A altura alcançada por um corpo lançado verticalmente para cima, no vácuo, com velocidade inicial v0, até sua velocidade se reduzir à metade é dada, em função da altura máxima H, pela expressão: a) . b) . c) . d) .
  51. 51. Guia de Estudo – FÍSICA I 51 12. Uma pedra cai de uma altura H, a partir do repouso. No mesmo instante, uma segunda pedra é lançada, do chão, verticalmente para cima com velocidade v0. Desprezando a resistência do ar e supondo constante a aceleração da gravidade no local da experiência, o valor de v0, para que uma pedra passe pela outra a uma altura , é igual a: a) . b) . c) . d) . 13. Em um local onde a aceleração da gravidade vale 10 m / s2 , deixa-se cair uma pedra de uma altura de 125 m, em direção ao solo. Dois segundos depois, uma segunda pedra é atirada da mesma altura. Sabendo-se que essas duas pedras atingiram o solo no mesmo instante, a velocidade com que a segunda pedra foi atirada tem intensidade aproximadamente igual a: a) 12 m/s. b) 27 m/s. c) 32 m/s. d) 41 m/s. e) 57 m/s. Lista de Exercícios de movimento variado 1) Um móvel parte da posição 1 m com velocidade 2 m/s. Sendo a aceleração desse móvel a(t) = t2 + 2t – 1 . Determine no instante 2s: (a) a velocidade (b) a posição.
  52. 52. Guia de Estudo – FÍSICA I 52 2) Determine a posição, a velocidade e a aceleração de dois móveis, no instante 1s, que se deslocam segundo as funções horárias: (a) x(t) = t3 + 2t – 1; (b) x (t) = ln t. 3) A aceleração de certo móvel é dada por ta .2 , no SI. Determine: a) a aceleração após 3 segundos; b) a velocidade após 3 segundos, sendo a velocidade inicial 3 m/s; c) a posição após 3 segundos, sendo a posição inicial 2 m; d) a velocidade média entre 2 e 4 segundos. 4) A posição de certo móvel é dada por ttx  ln , t  0, no SI. Determine: a) a posição após 1 segundo; b) a velocidade após 1 segundo; c) a aceleração após 1 segundo. 5) Um móvel tem sua velocidade variável de acordo com a equação v(t) = cos (t), t em radianos, determine: a) A velocidade média entre π e π/2 segundos.
  53. 53. Guia de Estudo – FÍSICA I 53 b) A aceleração média entre π e π/2 segundos. 6) Determine, se existir, a máxima ou a mínima velocidade dada pela função v = 2t2 - 2t – 5, no SI. 7) Determine, se existir, a máxima ou a mínima aceleração sendo dado a função da posição x = -t4 + 2t3 – 3t +2, no SI. 8) Um móvel sai da posição 2 m e têm sua velocidade dada por v = 2t – 1, no SI. Determine, se existir, a máxima ou a mínima posição do móvel.
  54. 54. Guia de Estudo – FÍSICA I 54 UNIDADE 3 - VETORES Grandezas físicas que não ficam totalmente determinadas com um valor e uma unidade são chamadas de GRANDEZAS VETORIAIS. As grandezas que ficam totalmente expressas por um valor e uma unidade são chamadas de GRANDEZAS ESCALARES. Como exemplos de grandezas escalares, temos a massa, o tempo, a energia, etc. Já as grandezas vetoriais, para que fiquem totalmente definidas necessitam de: Uma intensidade (módulo), uma direção e um sentido. Como exemplos de grandeza vetorial, temos: Velocidade, força, aceleração, etc. Um vetor, por sua vez, tem três características: MÓDULO, DIREÇÃO E SENTIDO. Para representar graficamente um vetor, usamos um segmento de reta orientado. O módulo do vetor representa numericamente o comprimento de sua seta. No caso anterior, o módulo do vetor é igual à distância entre os pontos A e B, que por sua vez vale 3 u. Para indicar vetores usamos as seguintes notações:  OPABv  v O módulo de um vetor é indicado utilizando-se duas barras verticais. |A| (Lê-se: módulo de A)
  55. 55. Guia de Estudo – FÍSICA I 55 Operações com Vetores: 1 - Adição de Vetores Podemos somar dois ou mais vetores para obter um vetor soma. Vamos ver algumas representações geométricas. - Regra do polígono: Ligam-se os vetores origem com extremidade. O vetor soma é o que tem origem na origem do 1º vetor e extremidade na extremidade do último vetor. S = A + B + C - Regra do polígono para subtração de vetores: Para subtrair dois vetores adicionamos um deles ao oposto do outro. D = A – B Cálculo para soma e subtração de dois vetores a) Soma de dois vetores: v1 vs vs = v1 + v2 v2
  56. 56. Guia de Estudo – FÍSICA I 56 É aconselhável utilizar esta lei somente quando se sabe o ângulo entre os vetores e somente o módulo dos vetores nos interessa, pois quando desejamos encontrar módulo, direção e sentido do vetor, existem outros caminhos mais simples. 1 º Caso particular:  = 90º v1 vs v2 cos 90º = 0 2 2 s 1 2v v v  Teorema de Pitágoras Para o cálculo do valor do vetor soma vs, aplicaremos conhecimentos de trigonometria. vs 2 = h2 + (v2 + m)2 lembrar que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e que h = v1 sen  vs 2 = v1 2 sen2  + (v2 2 + 2 v2 m + m2 ) lembrar que m = v1 cos vs 2 = v1 2 sen2  + v2 2 + 2 v2v1 cos  + v1 2 cos2  vs 2 = v1 2 (sen2  + cos2 ) + v2 2 + 2v1 v2 cos  lembrar que sen2  + cos2  = 1 vs 2 = v1 2 + v2 2 + 2 v1v2 cos  cos...2 21 2 2 2 1 vvvvvs  Lei dos Co-senos para soma de dois vetores
  57. 57. Guia de Estudo – FÍSICA I 57 b) Regra do paralelogramo para dois vetores: - Vetor soma v1 vs v1 vs = v1 + v2 v2 v2 c) Diferença de dois vetores D = v2 - v1: -v1 v2 D = v2 - v1 D A subtração de vetores é um caso particular da ADIÇÃO. Quando se desejar o valor do vetor diferença, aplicaremos a Lei dos Co-senos: 2 2 1 2 1 2v v 2.v .v .cosD    Lei dos Co-senos para diferença entre dois vetores. 2º Caso particular:  = 0º Quando dois vetores tiverem a mesma direção e o mesmo sentido ( = 0º) , o vetor resultante será a soma direta dos módulos de cada vetor: a b Intensidade: R = a + b Direção: mesma de a e b a b Sentido: mesmo de a e b R
  58. 58. Guia de Estudo – FÍSICA I 58 3º Caso particular:  = 180º Quando dois vetores tiverem a mesma direção e os sentidos opostos ( = 180º) , o vetor resultante será a subtração direta entre os módulos dos vetores: a Intensidade: R = a - b Direção: mesma de a e b b Sentido: mesmo sentido do vetor de maior intensidade. a b R Sejam os vetores força F1 e F2 de valores iguais a 10 N e 5 N, respectivamente, cuja representação vetorial se encontra abaixo. Trace a resultante R e dê o seu valor. F1 Resolução R2 = F1 2 + F2 2 R2 = 100 + 25 F1 R R2 = 125 F2 R = 55 N F2 Dado o diagrama vetorial, trace o vetor resultante e dê o seu valor: a  = 60º a = 4uv θ b = 3 uv b
  59. 59. Guia de Estudo – FÍSICA I 59 Resolução: a R b uvR R R 082,6 37 60cos.3.4.234 22    Decomposição de Vetores A decomposição de vetores é usada para facilitar o cálculo do vetor resultante. vy v  vx e 22 yx vvv  O objetivo de decompor vetores nos eixos é que teremos vetores nas mesmas direções em que podemos somar ou subtrair seus módulos e sempre sobrarão vetores nos eixos em que a resultante é um Teorema de Pitágoras. * O ângulo  define a direção e o sentido de um vetor no plano ortogonal. * Quando informamos uma resposta vetorial com seu módulo, é obrigatório definirmos a direção e o sentido do vetor para que a resposta esteja completa. * Para determinarmos o valor de  em um plano cartesiano, podemos utilizar uma relação trigonométrica. No entanto, só teremos as componentes vx e vy , devemos, então, utilizar a relação trigonométrica Tangente, pois: x y v v CA CO tan   x y v v arctan (direção e sentido de um vetor no plano) Onde: v v H CA x cos  cos.vvx  v v H CO sen y   senvvy .
  60. 60. Guia de Estudo – FÍSICA I 60 Determine a resultante ( vw   ) dos vetores representados no plano abaixo: Nv 12  Nw 9  320 780 Resolução: Temos para v  : Nsenv Nv y x 74,1178.12 50,278cos.12 0 0   Temos para w  : Nsenw Nw y x 77,432.9 63,732cos.9 0 0   A resultante no eixo x é : 2,50 – 7,63 = -5,13 N A resultante no eixo y é : 11,74 + 4,77 = 16,51 N vw   16,51 N -5,13 Resumindo, temos como resposta vw   = 17,29 N e direção θ = 162,740 . O módulo da resultante é: 29,1751,16)13,5( 22  vw  N A direção e sentido é: 0 74,162)311,0arctan( 51,16 13,5 arctanarctan    x y v v
  61. 61. Guia de Estudo – FÍSICA I 61 Observação: Sempre que a resposta da direção estiver somente representada pelo ângulo, este ângulo é com relação ao eixo x positivo, sentido anti- horário. Caso você queira dar a resposta adotando um outro referencial não está errado, mas tem que ser claro. Exemplo: no caso acima, poderíamos dar como resposta da direção  = 17,260 em relação ao eixo x negativo, sentido horário ou  = 72,740 em relação ao eixo y positivo, sentido anti-horário, etc. Vetor Unitário Os vetores canônicos ou vetores unitários i  , j  e k  : i  = (1; 0; 0); j  = (0; 1; 0) e k  = (0; 0; 1) são vetores unitários (de módulo igual a um) paralelos aos eixos coordenados. Todo vetor v = (vx; vy; vz) pode ser escrito em termos de uma soma de múltiplos escalares de i  , j  e k  (combinação linear), pois v = (vx; vy; vz) = (vx; 0; 0) + (0; vy; 0) + (0; 0; vz) = vx(1; 0; 0) + vy(0; 1; 0) + vz(0; 0; 1) = vx i  + vy j  + vz k  Observe que os vetores vx , vy e vz são as componentes do vetor v nos eixos cartesianos. Sejam os pontos no espaço de duas dimensões A(-4; 3) e B(2; -2): a) representar os vetores no plano cartesiano; b) associar cada ponto a dois vetores w  e v  , de origem C(0; 0), em forma unitária; c) determinar a soma vw   ; d) determinar a diferença vw   ; e) determinar os módulos de w  ; v  e vw   ; f) determinar as direções de w  ; v  e vw   .
  62. 62. Guia de Estudo – FÍSICA I 62 Resolução: a) A 3 w  2 -4 v  -2 B b) w  = - 4 i  + 3 j  v  = 2 i  - 2 j  c) vw   = (-4 + 2)i  + (3-2) j  vw   = - 2 i  + j  d) vw   = (-4 - 2)i  + [3-(-2)] j  vw   = -6 i  + 5 j  e) w  = 3+4)(- 22 = 5 u v  = (-2)+2 22 = 8 u vw   = 1+(-2) 22 = 5 u w  f) para w  : 0 13,143)75,0arctan( 4 3 arctanarctan    x y v v 143,130 para v  : 0 45)1arctan( 2 2 arctanarctan    x y v v -450 v  para vw   : 0 43,153)5,0arctan( 2 1 arctanarctan    x y v v vw   0 43,153
  63. 63. Guia de Estudo – FÍSICA I 63 Sejam os pontos no espaço de três dimensões A(-1; 3; 6) e B(2; -6; 5): a) associar cada ponto a dois vetores w  e v  , de origem C(0; 0; 0), em forma unitária; b) determinar a soma vw   ; c) determinar a diferença vw   ; d) determinar os módulos de w  ; v  e vw   ; a) w  = -1 i  + 3 j  + 6 k  v  = 2 i  - 6 j  + 5 k  b) vw   = (-1+2) i  +(3 – 6) j  + (6 + 5)k  vw   = 1 i  - 3 j  + 11 k  c) vw   = (-1-2) i  +[3 –(- 6)] j  + (6 - 5)k  vw   = -3 i  + 9 j  + 1 k  d) w  = 222 63)1(  = 6,78 u v  = 222 5)6(2  = 8,06 u vw   = 222 11)3(1  = 11,44 u Quando trabalhamos com três dimensões, sempre devemos trabalhar com vetores unitários, pois é complicado encontrar os ângulos que definem as direções dos vetores. Observe um exemplo geométrico de um vetor em três dimensões: z y x
  64. 64. Guia de Estudo – FÍSICA I 64 MULTIPLICAÇÃO Iremos estudar três tipos de multiplicação: Multiplicação de um número real por um vetor, multiplicação entre dois vetores (PRODUTO ESCALAR) que gera um número real e a multiplicação entre dois vetores (PRODUTO VETORIAL) que gera um vetor. 1º Número Real X Vetor ( n.V) O produto de um número real n por um vetor A, resulta em um vetor R com sentido igual ao de A se n for positivo ou sentido oposto ao de A se n for negativo. O módulo do vetor R é igual a n x |A|. 2º O Produto Escalar ou Interno de Dois Vetores V E W (V.W). O produto escalar ou interno de dois vetores V e W é definido por: cos... WVWV  , em que θ é o ângulo entre eles. Quando os vetores são dados em termos das suas componentes, não sabemos diretamente o ângulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que não necessite do ângulo entre os vetores.
  65. 65. Guia de Estudo – FÍSICA I 65 Se V e W são dois vetores não nulos e θ é o ângulo entre eles, então pela lei dos cossenos, COSWVWVWV 2 222  Assim: )( 2 1 . 222 WVWVCOSWVWV   Já temos então uma fórmula para calcular o produto escalar que não depende diretamente do ângulo entre eles. Substituindo-se as coordenadas dos vetores, na expressão acima, obtemos uma expressão mais simples para o cálculo do produto interno. Por exemplo, se V = (v1; v2; v3) e W = (w1; w2; w3) são vetores no espaço, então, substituindo-se 2 33 2 22 2 11 22 3 2 2 2 1 22 3 2 2 2 2 )()()(..,.. wvwvwvWVewwwWvvvV a  em )( 2 1 . 222 WVWVCOSWVWV   os termos 22 1 ... iwev são cancelados e obtemos 332211. wvwvwvWV  Então o PRODUTO ESCALAR OU INTERNO, V.W, entre dois vetores é dado por 332211. wvwvwvWV  Sejam V = (0; 1; 0) e W = (2; 2; 3). O produto escalar de V por W é dado por: V . W = v1w1 + v2w2 + v3w3 = 0 . 2 + 1 . 2 + 0 . 3 = 2
  66. 66. Guia de Estudo – FÍSICA I 66 Podemos usar este conceito para determinar o ângulo entre dois vetores não nulos, V e W. O cosseno do ângulo entre V e W é, então, dado por WV WV . . cos  Se V e W são vetores não nulos e θ é o ângulo entre eles, então: (a) θ é agudo (0< θ < 90o ) se, e somente se, V.W > 0, (b) θ é reto (θ = 90o ) se, e somente se, V .W = 0 e (c) θ é e obtuso (90o < θ  180o ) se, e somente se, V .W < 0. Vamos determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas. Sejam V1 = (1; 0; 0); V2 = (0; 1; 0) e V3 = (0; 0; 1). Uma diagonal do cubo é representada pelo vetor D dado por D = V1 + V2 + V3 = (1; 1; 1):
  67. 67. Guia de Estudo – FÍSICA I 67 Então, o ângulo entre D e V1 satisfaz ou seja, 3º Produto Vetorial Vamos, agora, definir um produto entre dois vetores, cujo resultado é um vetor. Por isso, ele é chamado produto vetorial. Este produto tem aplicação, por exemplo, em Física: a força exercida sobre uma partícula carregada, mergulhada num campo magnético é o produto vetorial do vetor velocidade da partícula pelo vetor campo magnético, desde que o campo seja constante e a carga seja unitária. w w v v Onde v e w são os módulos ou normas dos vetores v e w, h é a altura do paralelogramo em relação ao vetor v e  é o ângulo entre os vetores v e w. Sejam V e W dois vetores no espaço. Definimos o produto vetorial, WV  , como sendo o vetor com as seguintes características: (a) tem comprimento dado por senWVWV .. ou seja, a norma de WV  é igual à área do paralelogramo determinado por V e W. senwh . 
  68. 68. Guia de Estudo – FÍSICA I 68 (b) tem direção perpendicular a V e a W. (c) tem o sentido dado pela regra da mão direita: se o ângulo entre V e W é θ, giramos o vetor V de um ângulo θ até que coincida com W e acompanhamos este movimento com os dedos da mão direita, então o polegar vai apontar no sentido de WV  . Da forma como definimos o produto vetorial, é difícil o seu cálculo, mas as propriedades que apresentaremos a seguir possibilitarão obter uma fórmula para o produto vetorial em termos das componentes dos vetores. WV  = det           321 321 www vvv kji 
  69. 69. Guia de Estudo – FÍSICA I 69 Determine o produto vetorial (v   w  ) e ( w   v  ) entre os vetores: w  = -1 i  + 3 j  + 6 k  e v  = 2 i  - 6 j  + 5 k  v   w  = det           321 321 www vvv kji  = det             631 562 kji  = -51 i  -17 j  v   w  = -51 i  -17 j  w   v  = det           321 321 vvv www kji  = det             562 631 kji  = 51 i  + 17 j  w   v  = 51 i  + 17 j  Observe que o vetor w   v  é oposto ao vetor v   w  . EXERCÍCIOS 1) Os vetores ao lado têm: a) mesmo módulo. b) mesmo sentido. c) mesma direção. d) direções diferentes e paralelas. e) simetria.
  70. 70. Guia de Estudo – FÍSICA I 70 2) São dados os vetores a e b. Assinale o vetor que melhor representa a diferença (b - a) . a b a) b) c) d) 3) Dois vetores têm módulos 4 m/s e 5 m/s e formam entre si um ângulo de 60º. A razão entre o módulo do vetor soma e o módulo do vetor diferença é aproximadamente: a) 2,3 b) 1,7 c) 3 d) 4,2 4) Dois vetores têm módulos iguais a v e formam entre si um ângulo de 120º. A resultante entre eles tem módulo: a) v b) 2v c) 3v d) d/2 5) Um barco alcança a velocidade de 18 Km/h, em relação às margens de um rio, quando se desloca no sentido da correnteza e de 12 Km/h quando se desloca em sentido contrário ao da correnteza. Determine o módulo da velocidade do barco em relação às margens e o módulo da velocidade das águas em relação às margens. 6) Um homem nadando em um rio paralelamente às suas margens, vai de um marco P a outro Q em 30 minutos e volta para P em 15 minutos. Se a velocidade da correnteza é de 1Km/h, qual a distância entre P e Q?
  71. 71. Guia de Estudo – FÍSICA I 71 07) Um pescador rema perpendicularmente às margens de um rio, com uma velocidade de 3 m/s em relação às águas. As águas possuem velocidade de 4 m/s em relação às margens. Determine a velocidade do pescador em relação às margens. 08) Observe a figura: z s s s0 - 15 km - 10 km 0 20 km y 8 km x No ponto 0, existe um radar que detecta um objeto que se move de acordo com a figura acima. O objeto gasta 1 minuto e 31 segundos para percorrer x. a) Esboce na figura acima o vetor posição inicial e final. b) Determine a posição inicial e final com vetores unitários. c) Determine o módulo de x e seu vetor unitário. d) Determine o módulo da velocidade do móvel em km/h e seu vetor unitário. e) Determine o deslocamento angular do móvel em relação ao radar. 09) Um míssil sai da posição xo = (3 i + 2j) km com velocidade v = (6i + 4j) km/h em linha reta. Supondo que o radar de um submarino, que detectou estes vetores, pretende acertar o míssil na posição x = ( -1 ; 4 ) onde irá passar. Qual deverá ser a velocidade de lançamento do projétil, sendo que irá lançar no mesmo instante em que detectou o míssil? 2 km 1 km
  72. 72. Guia de Estudo – FÍSICA I 72 10) Um radar detecta um móvel na superfície da terra na seguinte situação: I) em t = 0, x = ( -1;-4) ; II) em t = 4 min, x = (2;5); III)em t = 7 min, x = (-2; 3). a) Esboce em um plano as três posições. b) Determine o vetor das três posições. c) Determine o deslocamento de I p/ II, de II p/ III e de I p/ III. d) Determine a velocidade do móvel de I p/ II, de II p/ III e de I p/ III. e) Determine o deslocamento angular de I p/ II, de II p/ III e de I p/ III.
  73. 73. Guia de Estudo – FÍSICA I 73 UNIDADE 4 - MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES Neste capítulo, iremos rever todos os conceitos dos capítulos anteriores em duas e três dimensões. Os conceitos de posição, velocidade e aceleração, são usados aqui, porém com aplicação do capítulo anterior de vetores. Posição Uma partícula pode ser localizada de uma forma geral por meio de um VETOR POSIÇÃO ( r  ), que é um vetor que se estende de um ponto de referência (geralmente a origem do sistema de coordenadas) até a partícula. A forma mais utilizada é a forma de vetores unitários: r  = x i  + y j  + z k  Observação: O módulo da posição desta partícula é a distância que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto onde se encontra a partícula, e é definido por: r  = 222 zyx  z (m) 2 2 y (m) x (m) r  = (3 i  + 2 j  + 2 k  ) m representa a posição em que a partícula se encontra. P = ( 3; 2; 2) m representa o ponto em que a partícula se encontra. As duas notações têm os mesmos significados. r  3
  74. 74. Guia de Estudo – FÍSICA I 74 Deslocamento Se a posição de uma partícula mudar durante em certo intervalo de tempo, ocorreu um deslocamento que será definido por: 12 rrr   ou usando a notação de vetores unitário temos: kzzjyyixxr  )()()( 121212  Velocidade Média Quando uma partícula se desloca em determinado meio com um deslocamento 1r   durante um intervalo de tempo t, sua velocidade média será definida como: t r vm      Um móvel parte do ponto A(-1; 2; -3) metros e desloca até o ponto B (-3; -2; 3) metros em 2 segundos. Determine: a) os vetores posições final e inicial do móvel; b) os módulos destes vetores; c) o deslocamento deste móvel no intervalo de 2 segundos; d) a velocidade média no intervalo de 2 segundos. Resolução: a) Ar  = (-1i  + 2 j  - 3 k  ) m Br  = (-3i  - 2 j  + 3 k  ) m b) 74,3321 222 Ar  m 69,4323 222 Br  m
  75. 75. Guia de Estudo – FÍSICA I 75 c) kjir  ))3(3()22())1(3(  )m642( kjir   d) )321( 2 642 kji kji vm       m/s Velocidade Instantânea No capítulo 2, vimos que a velocidade instantânea é definida como sendo a derivada da posição de uma partícula em função do tempo. Estendendo este conceito para mais de uma dimensão temos: . dt rd v    ou k dt dz j dt dy i dt dx v   Onde o módulo da velocidade v  é a velocidade da partícula em um certo instante, e sempre tangente à trajetória . z v  v  v  y x A posição de um móvel é dada por kjtitr ˆ2ˆ6ˆ3 3   , com t em segundos e r  em metros. Determine: a) o módulo do vetor posição no instante 2 segundos; b) o módulo do vetor velocidade no instante 2 segundos.
  76. 76. Guia de Estudo – FÍSICA I 76 Resolução: a) no instante se 2 s temos: mkjikjir )ˆ2ˆ12ˆ24(ˆ2ˆ2.6ˆ2.3 3   mr 0,2721224 222   b) A equação da velocidade é a derivada da posição, logo temos que a equação de v  é: jitv ˆ6ˆ9 2   no instante 2 s temos que a velocidade é: smjijiv /)636(ˆ6ˆ2.9 2   e o módulo: 5,36636 22 v  m/s Aceleração Média Quando uma partícula sofre variação em sua velocidade v   , durante um intervalo de tempo t, sua aceleração média será definida como: t v am      Um móvel parte com velocidade )112( kjiv   m/s e após 3 segundos sua velocidade é )452( kjiv   m/s . Determine a aceleração média desta partícula. Resolução: 3 )14())1(5()22( kji t v am        )12( kjam   m/s2
  77. 77. Guia de Estudo – FÍSICA I 77 Aceleração Instantânea Assim como a velocidade instantânea, no capítulo 2, vimos que a aceleração instantânea é definida como sendo a derivada da velocidade de uma partícula em função do tempo. Também definida como sendo a derivada segunda da posição. Estendendo este conceito para mais de uma dimensão temos: 2 2 dt rd dt vd a    ou k dt dv j dt dv i dt dv a zyx   A velocidade de um móvel é dada por ktjitv ˆ2ˆ5ˆ2 2   , no SI. Determine: a) o módulo do vetor velocidade no instante 3 segundos; b) o módulo do vetor aceleração no instante 3 segundos. Resolução: a) no instante se 3 s temos: smkjikjiv /)ˆ18ˆ5ˆ6(ˆ3.2ˆ5ˆ3.2 2   smv /62,191856 222   b) A equação da aceleração é a derivada da velocidade, logo temos que a equação de a  é: ktia ˆ4ˆ2   no instante 3 s temos que a velocidade é: 2 /)122(3.4ˆ2 smkikia   e o módulo: 16,12122 22 a  m/s2
  78. 78. Guia de Estudo – FÍSICA I 78 Velocidade instantânea a partir da aceleração e posição a partir da velocidade instantânea. Até agora, usamos a derivada de posição para determinar a velocidade instantânea e a derivada da velocidade instantânea para determinar a aceleração instantânea. Para efetuar as operações inversas, vimos, no capítulo 2, que é só aplicar o conceito de integral utilizando os valores iniciais da equação procurada. Lembre–se de que, neste capítulo, estamos trabalhando com mais de uma dimensão, porém, nos casos que iremos trabalhar basta aplicar as integrais nas equações separadamente em cada eixo coordenado. Um móvel parte da posição kjir  3120  , com velocidade kjiv  2210  e possui aceleração ktjita  3 3.2  , com unidades no SI. Determine: a) as acelerações nos instantes 1 e 2 segundos; b) a equação de velocidade; c) as velocidades nos instantes 1 e 2 segundos; d) a equação da posição; e) as posições nos instantes 1 e 2 segundos; f) a aceleração média entre 1 e 2 segundos; g) a velocidade média entre 1 e 2 segundos. Resolução: a) 23 )1( /)132(131.2 smkjikjia   23 )2( /)834(232.2 smkjikjia   b)      kdtajdtaidtav zyx          kv t jvtivtkdttjdtitdtv zyx          0 4 00 23 4 )3()(32 k t jtitv         2 4 )23()1( 4 2
  79. 79. Guia de Estudo – FÍSICA I 79 c) smkjikjiv /)75,112(2 4 1 )21.3()11( 4 2 )1(         smkjikjiv /)245(2 4 2 )22.3()12( 4 2 )2(         d)     kdt t jdttidttr          )2 4 ()23()1( 4 2 kzt t jyt t ixt t r                     0 5 0 2 0 3 2 5.4 2 2 3 3 kt t jt t it t r                     32 5.4 12 2 3 2 3 523 kt t jt t it t r                     32 20 12 2 3 2 3 523 e) mkjikjir )95,05,033,3(31.2 20 1 11.2 2 1.3 21 3 1 523 )1(                     mkjikjir )6,0367,6(32.2 20 2 12.2 2 2.3 22 3 2 523 )2(                     f) 12 ))2(75,1())41()25(12       kji t vv am   2 /)75,333( smkjiam   g) 12 ))95,0(6,0()05,3()33,367,6(12       kji t rr vm   smkjivm /)35,05,234,3(  
  80. 80. Guia de Estudo – FÍSICA I 80 Movimento de Projéteis A figura abaixo mostra um canhão lançando uma bala obliquamente, próximo à superfície da Terra, com uma velocidade inicial v0 e um ângulo de lançamento com a horizontal igual a  . Supondo desprezível a resistência do ar, após o lançamento, o projétil sofrerá apenas com a ação da gravidade, que o trará de volta ao solo. O projétil descreverá a trajetória parabólica mostrada na figura. Como a única força que atua no projétil é o seu peso, concluímos que o movimento é acelerado e a sua aceleração será a aceleração da gravidade g. Se fôssemos estudar a trajetória do projétil sobre a parábola, tendo como dados iniciais apenas a velocidade inicial do projétil e o ângulo que este faz com a horizontal, nosso estudo ficaria muito complicado. Se você observar bem um movimento deste tipo, notará que este movimento poderá ser decomposto em dois movimentos que nós já estudamos e que já estamos habituados com suas equações: NA VERTICAL: teremos um lançamento vertical para cima, onde a velocidade inicial será v0y, que é a velocidade de lançamento projetada no eixo-y. Sendo assim, teremos no eixo-y um lançamento vertical para cima com M.U.V., onde a velocidade inicial senvv y .00  , e cujas equações horárias ficarão: 2 . 2 00 gt tvyy y  ou 2 . 2 00 gt tvHH y  Equação horária dos espaços. tgvv yy .0  Equação horária da velocidade. e ygvv yy  ..22 0 2 ou Hgvv yy  ..22 0 2 Equação de Torricelli NA HORIZONTAL: teremos um movimento retilíneo e uniforme, pois a única força que atua no projétil é a gravitacional e esta força é vertical, não atrapalhando o movimento na horizontal. Sendo assim, teremos no eixo-x um M.U., cuja velocidade será dada pela projeção da velocidade de lançamento sobre o eixo-x: cos.00 vvv xx 
  81. 81. Guia de Estudo – FÍSICA I 81 A equação horária da posição x será dada por: tvxx x .0  ou tvA x . Normalmente usa-se x0 = 0 vy = 0 y xv vy vx vx Altura = H vy v0 vy vx vx x Alcance = A vy Vamos fazer agora uma análise do movimento do projétil lançado pelo canhão da figura. O projétil é lançado com uma velocidade inicial v0 que pode ser decomposta em duas velocidades v0y e vx . Quando ele estiver a uma altura H’, ele já terá deslocado na horizontal até A’ e terá uma velocidade v’ que poderá ser decomposta na vertical como vy’ e na horizontal como vx . Só que, normalmente, no problema você não conhecerá v’ que poderá ser calculada através da soma vetorial de vx e vy’ , pois vx e vy’ é fácil de achar através das equações já estudadas. Logo v’ = vx + vy , ou seja 22 '' yx vvv  Quando o projétil alcançar a altura H’’ e esta for a altura máxima teremos vy = 0 e neste ponto o projétil terá apenas uma velocidade horizontal igual à vx. Note agora que, quando o projétil estiver na posição A’’, ele iniciará a descida com uma velocidade na vertical vy < 0 . Você poderá calcular a velocidade v’’ da mesma forma que foi calculada na subida. Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima, segundo um ângulo de 60º com a horizontal, com velocidade de 400 m/s. Admitindo g = 10 m/s2 e 3 = 1,7 ; pede-se:
  82. 82. Guia de Estudo – FÍSICA I 82 a) o tempo que o corpo leva para atingir a altura máxima em relação ao solo; b) a altura máxima atingida; c) o tempo gasto para atingir o solo; d) o alcance máximo do corpo; e) a velocidade do corpo no instante 8 segundos; f) a equação da trajetória do corpo. Resolução: Como foi visto o movimento do corpo pode ser decomposto em dois eixos, x e y perpendiculares entre si. Segundo x, o movimento é uniforme (M.U.) e segundo y, o movimento é uniformemente variado (M.U.V.). Inicialmente vamos determinar as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial. Componente segundo x: Componente segundo y: v0x = v0 . cos 60º v0y = v0 . sen 60º v0x = 400 . ½ = 200 m/s (constante) v0y = 400 . 3 2 = 200 . 1,7 = 340 m/s As funções que regem os movimentos são: segundo x segundo y A = v0x t H = H0 + v0y t + ½ gt2 vy = v0y + gt A = 200 t H = 0 + 340 t + ½ (-10) t2 vy = 340 - 10.t H = 340 t - 5t2 a) Na altura máxima vy = 0 vy = 340 - 10.t 0 = 340 - 10.t  t = 34 s tempo de subida b) Substituindo t = 34 s em: H = 340 t - 5t2 H = 340 . 34 - 5 . 342 H = 11 560 - 5 780 H = 5780 m c) Quando o corpo toca o solo H = 0 H = 340 t - 5t2 0 = 340 t - 5t2 0 = 5t ( 68 - t )  t = 0 instante de lançamento t = 68 s
  83. 83. Guia de Estudo – FÍSICA I 83 d) Substituindo t = 68 s em: A = 200 t A= 200 . 68 A = 13 600 m e) A velocidade v é a resultante de duas velocidades v0x e v0y . No instante 8s, o corpo está subindo, pois: Cálculo de vy no instante 8s: mas: v2 = vy 2 + vx 2 vy = 340 - 10 t 22 200260 v vy = 340 - 10 . 8 v = 328 m/s vy = + 260 m/s Sinal + para vy projétil subindo f) A equação da trajetória é a que relaciona x com y : Temos A = 200 t ( I ) H = 340 t - 5t2 ( II ) De ( I ) teremos que t = A / 200 Substituindo em ( II ) , vem: H = 340 . ( A / 200 ) - 5 . (A / 200 )2  H = (17/10) A - (5H2 / 40 000) 2 8000 1 7,1 AAH  o que mostra que a trajetória é uma parábola. a) O módulo da velocidade vertical vy diminui durante a subida e aumenta na descida. b) No ponto de altura máxima (Hmáx ), o módulo da velocidade no movimento vertical é zero (vy= 0). c) A distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto de queda do corpo é denominada alcance (Amáx ). Neste ponto H = 0. d) A posição do corpo, em um dado instante, é determinada pelas coordenadas x e y . Por exemplo, P1 (A1 , H1). e) A velocidade, num dado instante, é obtida através da soma vetorial das velocidades vertical e horizontal, isto é, v = vx + vy . O vetor v é tangente à trajetória em cada instante. f) Para um lançamento horizontal, teremos as mesmas equações, porém com  = 0º e v0y = 0 e a velocidade do projétil, segundo o eixo-x, será igual à velocidade de lançamento. Veja o exemplo.
  84. 84. Guia de Estudo – FÍSICA I 84 Um avião bombardeiro está voando a 2 000 m de altura quando solta uma bomba. Se a bomba cai a 1 000 m da vertical em que foi lançada, qual o módulo da velocidade do avião? Adote g = 10 m/s2 . Resolução: y v0 H= 2000m A = 1 000 m Como o avião está voando horizontalmente, a velocidade da bomba é igual à do próprio avião. Chegaremos a esta velocidade pela equação: Amáx. = v0.t , onde t será o tempo de queda da bomba que deveremos calcular agora. H = H0 + v0y . t - gt2 /2 onde H = 0 (solo) H0= 2000 m (altura inicial) e v0y = 0, pois o avião voa horizontalmente. Sendo assim, a equação horária do movimento vertical se resume em 2 . 2 0 tg H  2000 = 5t2 5t2 = 2000 t = 20 s (tempo de queda) Substituindo o tempo de queda na equação do alcance máximo, teremos: Amáx = v0 . 20 como xmáx = 1000 m 1000 = v0 . 20  v0 = 1000 / 20  v0 = 50 m/s O movimento circular será estudado no capítulo de rotações.
  85. 85. Guia de Estudo – FÍSICA I 85 EXERCÍCIOS 01) Um móvel parte do ponto A(2; 2; 1) metros e desloca até o ponto B (-2; 1; -3) metros em 2 segundos. Determine: a) os vetores posições final e inicial do móvel; b) o deslocamento deste móvel no intervalo de 2 segundos; c) a velocidade média no intervalo de 2 segundos. 02) A posição de um móvel é dada por ktjtitr ˆ23.2 2   , com t em segundos e r  em metros. Determine: a) o módulo do vetor posição no instante 2 segundos; b) o módulo do vetor velocidade no instante 2 segundos; c) o módulo da aceleração no instante 2 segundos. 03) Um móvel parte da posição kir  210  , com velocidade kjv  310  e possui aceleração ktjia  2 .212  , com unidades no SI. Determine: a) as acelerações nos instantes 2 e 3 segundos; b) a equação de velocidade; c) as velocidades nos instantes 2 e 3 segundos; d) a equação da posição; e) as posições nos instantes 2 e 3 segundos; f) a aceleração média entre 2 e 3 segundos; g) a velocidade média entre 2 e 3 segundos. 04) O vetor posição de um jato é inicialmente kjir ˆ0,2ˆ0,6ˆ0,5   , e, 10 segundos mais tarde, é kjir ˆ0,2ˆ0,8ˆ0,2   , todos em quilômetros. Determine a velocidade média do jato durante os 10 segundos. 05) A posição de um móvel é dada por kjtitr ˆ2ˆ6ˆ3 3   , com t em segundos e r  em metros. Determine, se existir, as máximas e/ou mínimas: a) velocidades; b) acelerações. 06) Uma partícula parte da posição mjir )ˆ2ˆ3(   com uma velocidade inicial smjiv /)ˆ1ˆ2(   e uma aceleração dada por 2 /)ˆ4ˆ2( smjita   . Determine o módulo e a direção do vetor posição no instante de 2 segundos.

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