1. 1. Definición y elementos
2. Clasificación de los ángulos
3. Propiedades
4. Posiciones relativas de dos rectas en el plano
5. Ángulos formados por dos rectas al ser cortadas por
una recta secante.

2.  los ángulos son aquellas figuras constituidas por la conjunción de
dos líneas en un punto común o vértice. Para que un ángulo se
forme, las líneas que forman parte del proceso no pueden ser
paralelas entre sí ya que eso implica que no hay contacto entre
ambas y por tanto no se forma ninguna superficie común entre ellas.
 Como es bien conocido, hay diferentes tipos de ángulos y el grado
de inclinación o el tamaño del mismo dependerán de la distancia
que separe a las dos o más líneas intervinientes en la figura.
 Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:
 Forma geométrica: Se denomina "ángulo" a la amplitud entre dos
líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común
llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por
dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el
ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de
intersección.
 Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que
describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos
tomado como vértice desde una posición inicial hasta una
posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las
manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación
es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el
ángulo se considera negativo.

3.  Medida de un Ángulo:
• Los ángulos se miden en grados sexagesimales (º), la
medida de un ángulo se encuentra usando un
instrumento llamado transportador.
• Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos
semirrectas con origen común. A las semirrectas se las
llama lados y al origen común vértice.
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del
plano son:
Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de
Unidades)
Grado centesimal
Grado sexagesimal
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como
el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina,
el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

4. En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen
los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están
relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los
relaciona: una transformación que es combinación de
translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras
son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su
posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de
las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.
Símbolo Nombre
α Alfa
β Beta
γ Gamma
θ Theta
π Pi

5. Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos
congruentes. Las diagonales de un paralelogramo configuran
ángulos opuestos por el vértice congruentes.
 Bisectriz de un Ángulo:
La bisectriz de un ángulo formado por dos rectas r y s que se cortan
en el punto V se define como el lugar geométrico de los puntos del
plano que están a la misma distancia de la recta r que de la recta s.
La bisectriz de un ángulo es otra recta concurrente con las dos que
forman el ángulo, es decir, que pasa también por el vértice V del
ángulo.

6. Evidentemente, dos rectas r y s que se cortan dividen al plano en
cuatro regiones y forman igualmente cuatro ángulos distintos con
el mismo vértice. De estos cuatro ángulos los que son opuestos por
el vértice son iguales entre sí y los adyacentes son
complementarios. Los ángulos opuestos por el vértice comparten
la misma bisectriz, mientras que las bisectrices de dos ángulos
complementarios adyacentes son ortogonales (perpendiculares).

7. Para determinar la bisectriz del ángulo determinado por dos
semirectas r y s con origen en un vértice común V habrá que
determinar primero un punto P que equidiste de las dos semirectas.
Una vez determinado éste, la semirecta con origen en V que pasa
por el punto P será la bisectriz buscada.
Una posibilidad es trazar una recta paralela a r a una distancia d de
la misma, y otra recta paralela a s que esté a la misma distancia d de
ella. Ambas paralelas se cortarán en un punto P, que equidista de r y
s, siendo por lo tanto la recta VP la bisectriz del ángulo formado por r
y s.

8. Dados un punto M sobre la recta r y otro punto N sobre la recta s,
ambos a la misma distancia del vértice V, la bisectriz del ángulo
formado por las rectas r y s coincidirá con la mediatriz del segmento
MN, lo que nos brinda una construcción alternativa de la bisectriz de
un ángulo.
Cuando el vértice del ángulo no es accesible (está fuera de los
límites del papel) se dibuja una recta cualquiera que atraviese a las
dos dadas. Se dibujan las bisectrices de los cuatro ángulos que se
forman entre las dos rectas dadas y la auxiliar. Uniendo los puntos de
corte de las cuatro bisectrices se obtiene la bisectriz de las dos
rectas dadas.

9.  Según su medida
a) Ángulo Nulo:
El ángulo nulo es un ángulo que mide 0°. Es un caso extremo en la
definición de ángulos, dado que en realidad las dos semirrectas que
forman el ángulo coinciden, no dejando ningún espacio entre ellas.
También se puede decir que dos rectas paralelas forman un ángulo
nulo cuyo vértice está en el infinito.
O B A
m AOB = 0º
д

10. b)Ángulos convexos
Ángulos Convexos y Cóncavos: El ángulo convexo es aquel que tiene
las prolongaciones de sus lados hacia el exterior y el ángulo cóncavo,
es aquel que tiene las prolongaciones de sus lados hacia el interior.

11.  Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya medida es menor a 90°.
 Ángulo Recto: Es aquel cuya medida es 90°.

12.  Ángulo Obtuso: Es todo ángulo cuya medida es mayor de 90°,
pero menor que 180°

13. Un ángulo llano mide 180 grados
d) Ángulo no convexo
Su medida es de mayor que 180º y menor que 360º.
B
180º < m AOB < 360º
д
O A

14. La medida de un ángulo de una vuelta es igual a 360º.
m AOB = 360º
д

15. a). Ángulos complementarios
Los ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidas
suman 90º.
Pero los ángulos no tienen por qué estar juntos.
Estos dos son complementarios porque 27° + 63° = 90°
m A+m B = 90º
д
д

16. Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es
180°
m A+m B = 180º
д
д
c) Ángulos adyacentes
Son dos lados que tienen el vértice y un lado común, el lado
común es intermedio.
A
B
Lado común
Vértice común
Los lados AOB y BOC son adyacentes.
O C

17. Son dos o mas ángulos adyacentes.
e) Ángulos adyacentes suplementarios
Son dos ángulos adyacentes y suplementarios.
m BOA + m AOC = 180º
д
д

18. Son dos ángulos en los cuales los lados de uno de ellos, son las
prolongaciones de los lados del otro, estos dos ángulos son
congruentes.
Son los ángulos que teniendo el vértice común, los lados de uno son
prolongación de los lados del otro.
Los ángulos 1 y 3 son iguales.
Los ángulos 2 y 4 son iguales.

19. Propiedad del ángulo recto
Cuando a un ángulo recto se le divide en varios de ángulos
consecutivos, las medidas de dichos ángulos suman 90º.
A B
C
 β
 + β + δ = 90º
δ
O D
Propiedad del ángulo llano
Cuando a un ángulo llano se le divide en varios ángulos
consecutivos, las medidas de dichos ángulos suman 180º.
C
B D
β 

 + β +  + θ = 180º
θ
A E

20. Propiedad del ángulo de una vuelta
Las medidas de los ángulos consecutivos que completan una
vuelta suman 360º.
B C

 δ
A β D
θ
 +  + δ + θ + β = 360º
E
Teorema
Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman
un ángulo que mide 90º.
B
* OM bisectriz del ángulo AOB.
M
 β N * ON bisectriz del ángulo BOC.
 β
A C m MON = 90º
д

21. Rectas oblicuas
Dos rectas en un plano son oblicuas cuando al cortarse forman
cuatro ángulos diferentes de un ángulo recto.
L
La notación: ↔ ↔
L1 L L1
↔ ↔
↔ ↔ Se lee la recta L es oblicua a la recta L 1 .
L L 1
Rectas perpendiculares
Dos rectas en un plano son Perpendiculares cuando al cortarse
forman cuatro ángulos que miden 90º cada uno.
L1 ↔ ↔
La notación: L L1
L ↔
Se lee: la recta L es Perpendicular a la recta L 1
↔ ↔
L L

22. Rectas Paralelas
Dos rectas en un plano son paralelas cuando por más que se
prolonguen no llegan al cortarse.
↔ ↔
L La notación: L // L 1
↔ ↔
Se lee: la recta L es Paralela a la recta L 1
L1 ↔ ↔
L // L 1

23. Cuando dos rectas son cortadas por una recta secante, se
forman ocho ángulos que reciben los siguientes nombres:
Ángulos externos: son los ángulos 1; 2; 7 y 8
Ángulos internos: son los ángulos 3; 4; 5 y 6
Ángulos alternos externos: son los ángulos 1 y 8 ; 2 y 7
Ángulos alternos internos: son los ángulos 3 y 6 ; 4 y 5
Ángulos correspondientes: son los ángulos 1 y 5 ; 3 y 7 ; 2 y 6 ; 4 y 8
Ángulos conjugados externos: son los ángulos 1 y 7 ; 2 y 8
Ángulos conjugados internos: son los ángulos 3 y 5 ; 4 y 6
2 L
1
3 4
5
6
7 8 L1

24. Ángulos formados por dos rectas paralelas al ser cortadas
por una recta secante:
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta secante
se cumple:
1) Los ángulos alternos externos son congruentes. 1 2
↔ ↔ m 1=m 8 L
д д
д д
Si L // L 1 m 2=m 7
L1
7 8
2) Los ángulos alternos internos son congruentes.
L
↔ ↔ m 3=m 6 3 4
д д
д д
Si L // L 1 m 4=m 5 5 6
L1

25. 3) Los ángulos correspondientes son congruentes.
↔ ↔ m 1=m 5
д д д д
д д д д
Si L // L 1 1 2
m 3=m 7 L
3 4
m 2=m 6
m 4=m 8 5 6
7 8
L1
4) Los ángulos conjugados externos son suplementarios.
m 1=m 7 = 180º 1 2
↔ ↔ L
д д
д д
Si L // L 1 m 2=m 8 = 180º
L1
7 8

26. 5) Los ángulos conjugados internos son suplementarios.
m 3=m 5 = 180º 3 4
↔ ↔ L
д д
д д
Si L // L 1 m 4=m 6 = 180º
5 6
L1

27. Ángulos de lados paralelos
Dos ángulos que tienen sus lados paralelos (2 a 2) son:
Congruentes: si sus lados están dirigidos en el mismo sentido o en
sentido opuesto.
Suplementarios: si dos de sus lados están dirigidos en el mismo
sentido y los otros dos en sentido opuesto.
B B1 A1
B B
O1
β δ B1
θ
O1 A1
 B1 A1 O1
 Y
O A O O A
A
→ → → → → →
Si OA // O 1 A 1 Si OA // O 1 A 1 Si OA // O 1 A 1
→ → → → → →
OB // O1 B 1 OB // O1 B1 OB // O1 B 1
=β Y=θ
=δ

28. Ángulos de lados perpendiculares
Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares (2 a 2) son:
Congruentes: si los dos ángulos son agudos o los dos son obtusos.
Suplementarios: si uno de ellos es agudo y el otro es obtuso.
▬ ▬ ▬ ▬
D Si BC AB, AD CD
y : ,  : ángulos obtusos
θ
β, θ: ángulos agudos,
C  Entonces:
β=θ
=
β 
 + θ = 180º
B A β +  = 180º