Ingeneria de control II

1. INSTITUTO TECNLÓGICO DE
MATAMOROS
UNIDAD III
ESTABILIDAD RELATIVA Y
DISEÑO DE COMPENSADORES
Ing. Jorge Alejandro Gallegos de la Cruz
Mayo 2012

2. ESTABILIDAD RELATIVA:
En el diseño de sistemas de control a menudo se
necesita ir más allá de la cuestión de
estabilidad en lazo cerrado. En particular, es
deseable obtener alguna medida cuantitativa
de cuan lejos de ser inestable está un lazo
nominal; es decir, cuantificar la estabilidad
relativa del lazo.
Esta cuantificación puede lograrse definiendo
medidas que describan la distancia de la
respuesta en frecuencia nominal al punto de
estabilidad crítica (-1,0).

3. MÁRGENES DE GANANCIA Y FASE
El margen de ganancia (Mg) marca la ganancia adicional
que llevaría el lazo cerrado a la condición de
estabilidad crítica. Es el inverso de la magnitud de
G(j) en la frecuencia donde la fase vale =-180
El margen de fase (Mf) cuantifica el retardo de fase puro
que debería agregarse para alcanzar la misma
condición de estabilidad crítica. Es la cantidad de
atraso en la frecuencia de cruce G(j)=1 necesaria
para llevar al sistema al limite de la estabilidad

4. DETERMINACIÓN DE LOS MÁRGENES DE
GANANCIA Y FASE CON MATLAB
El comando “margin” calcula el margen de ganancia
(Mg), el margen de fase (Mf) y las correspondientes
frecuencias de cruce (Wcg, Wcp)
Cuando se introduce el comando “margin” a la
computadora (sin argumentos en el lado izquierdo),
Matlab produce las representaciones de Bode con los
márgenes de ganancia y de fase marcados con líneas
verticales. Los argumentos requeridos para el comando
“margin” son el numerador y denominador de la función
de transferencia, es decir en la forma de
margin(num, den)

5. EJEMPLO
Para un sistema cuya función de transferencia a lazo
abierto es G(s)H(s), indique si el sistema a lazo cerrado
es estable y cuales son Mf y Mg.
CASO 1
Código fuente:
num=[600 1200];
den=[1 17 70 0];
margin(num,den), grid 
)7017(
)2(600
)()( 2



sss
s
sHsG

6. El resultado obtenido se muestra en la siguiente figura
donde se observa que Mg= y Mf=35.5. Se concluye
que el sistema es estable ya que ambos resultados
márgenes son positivos.

7. CASO 2:
Código fuente:
num=[3 1];
den=[5 3 4 2 0];
margin(num,den), grid 
De acuerdo al resultado
se observa que Mg=-19.5
y Mf=-71.9
Por tanto se concluye que el sistema es inestable porque
los márgenes son negativos
)2435(
13
)()( 23



ssss
s
sHsG

8. CASO 3: Eliminando el polo en el origen del sistema
anterior el problema queda como:
Código fuente:
num=[3 1];
den=[5 3 4 2];
margin(num,den), grid 
En la figura se observa
que Mg= y Mf=17
Por tanto el sistema es
estable dado que los
márgenes son positivos
2435
13
)()( 23



sss
s
sHsG

9. COMENTARIOS SOBRE MÁRGENES DE
GANANCIA Y FASE
 Los márgenes de ganancia y fase de un sistema de
control son una medida de la proximidad de la traza
polar al punto -1 + j0. Por tanto pueden usarse como
criterios de diseño.
 Para determinar la estabilidad relativa deben
considerarse ambos.
 Para un sistema de fase mínima ambos márgenes
deben ser positivos para que el sistema sea estable.
Los márgenes negativos indican inestabilidad.
 Para obtener un desempeño satisfactorio del sistema el
margen de fase debe estar entre 30 y 60 y el de
ganancia debe ser mayor a 6dB.

10. PICO DE RESONANCIA (MR)Y
FRECUENCIA DE RESONANCIA R
 La magnitud del pico de resonancia (Mr) proporciona
un indicio de la estabilidad relativa de un sistema.
 Una magnitud de pico de resonancia grande indica la
presencia un par de polos dominantes en lazo cerrado
con un  pequeño lo que produce una respuesta
transitoria inconveniente.
 Una magnitud de pico de resonancia pequeño indica la
ausencia de un par de polos dominantes en lazo
cerrado con un  pequeño, lo que indica un sistema
bien amortiguado.
 r es real si 0.7071. Por tanto no hay resonancia en
lazo cerrado si 0.7071

11. DETERMINACION DEL PICO Y FRECUENCIA DE
RESONANCIA CON MATLAB
Las órdenes de Matlab que se pueden utilizar para
obtener el pico de resonancia y la frecuencia de
resonancia se muestran en el siguiente ejemplo. En
este caso se construye el Diagrama de Bode para un
sistema en lazo cerrado con una ganancia de 15 para
el controlador:
w = logspace(-1,1);
h = tf([15],[900 420 43 13]);
bode(h,w)
[mag,phase,w] = bode(h,w); [Mp,k] = max(mag);
pico_resonante = Mp
frecuencia_resonante = w(k)
1343420900
15
)(
)(
23


ssssR
sC

12.  El resultado que despliega el Matlab primero es la traza
de Bode
 También en la ventana de comandos aparecen los
Picos de resonancia y la frecuencia de resonancia
cuyos valores son:
Pico resonante = 5.6146 Frecuencia resonante = 0.1758

13. COMENTARIOS SOBRE EL PICO Y FRECUENCIA DE
RESONANCIA
 El valor de Mr indica la estabilidad relativa. Se obtiene
un desempeño transitorio satisfactorio si 1.0Mr1.4
(0dBMr3dB) que corresponde a un factor de
amortiguamiento relativo de 0.40.7. Para valores de
Mr mayores a 1.5 la respuesta transitoria al escalón
puede presentar varios sobrepasos.
 La magnitud de la frecuencia de resonancia r, indica
la velocidad de la respuesta transitoria. Entre más
grande sea su valor más rápida es la respuesta en el
tiempo.
 r y d para la respuesta transitoria al escalón están
muy cercanas entre si para sistemas ligeramente
amortiguados.

14. FRECUENCIA DE CORTE, ANCHO DE
BANDA Y RAZÓN DE CORTE
Además de los márgenes de ganancia y fase, el pico y
frecuencia de resonancia, existen otras cantidades en
el dominio de la frecuencia que se usan en las
especificaciones de desempeño, estas son: la
frecuencia de corte, el ancho de banda y la razón de
corte.
FRECUENCIA DE CORTE: Es la frecuencia en la cual la
magnitud de la respuesta en frecuencia de lazo cerrado
está 3dB debajo de su valor de frecuencia cero.

15. ANCHO DE BANDA: Es el rango de frecuencias en la
cual la magnitud de lazo cerrado no desciende a -3dB.
Este parámetro indica que tan bien registrará el
sistema un sinusoide de entrada.
Para una n dada, el tiempo de levantamiento aumenta
con un  creciente. En cambio el ancho de banda
disminuye con un decremento de . Por tanto el tiempo
de levantamiento y el ancho de banda son
inversamente proporcionales.
RAZÓN DE CORTE: Es la pendiente de la curva de
magnitud logarítmica cercana a la frecuencia de corte.
Indica la capacidad del sistema para distinguir señales
de ruido.

16. EJEMPLO:
Considere los dos sistemas siguientes:
a) Compare sus anchos de banda
b) ¿Cuál tiene una mejor velocidad
de respuesta? Explique.
Sistema 1 
Sistema 2 
13
1
)(
)(
)2
1
1
)(
)(
)1




ssR
sC
ssR
sC

17. a) El sistema 1 tiene un ancho de banda de 1rad/seg y el
sistema 2 tiene un ancho de banda de 0.333rad/seg
b) El sistema 1 tiene un ancho de banda mayor al
sistema 2 por lo que su tiempo de levantamiento es
más pequeño y una respuesta más rápida eso lo
vemos comparando sus respuestas al escalón.
Sistema 1
tr=2.3-0.1=2.2seg

18. Sistema 2
tr=6.92-0.32=6.6seg
Comparando las dos gráficas de respuesta al escalón se
observa que el sistema 1 tiene una mayor velocidad de
respuesta y sigue a la entrada mucho mejor.

19. COMPENSADORES
La compensación es la modificación de la dinámica de un
sistema, realizada para satisfacer las especificaciones
determinadas.
Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas
específicas. Los requerimientos impuestos sobre el
sistema de control se detallan como especificaciones
de desempeño. Por lo general se refieren a la
precisión, la estabilidad relativa y a la velocidad de
respuesta.
Por lo general, las especificaciones de desempeño no
deben ser más rigurosas de lo necesario para efectuar
la tarea definida.

20. Si se necesita un compensador para cumplir las
especificaciones de desempeño, el diseñador debe
plantear un dispositivo físico que tenga prescrita la
función de transferencia del compensador.
Entre los muchos tipos de compensadores, los de mayor
uso son los compensadores de adelanto, los de atraso,
los de atraso-adelanto y los de realimentación de
velocidad (tacómetros).
Los compensadores de adelanto, de atraso y de atraso-
adelanto pueden ser dispositivos electrónicos tales
como circuitos que usen amplificadores operacionales,
redes RC eléctricas, mecánicas, neumáticas,
hidráulicas o una combinación de ellas.

21. En el enfoque de prueba y error para el diseño de un
sistema, se prepara un modelo matemático del sistema
de control y se ajustan los parámetros de un
compensador.
Una vez obtenido el modelo matemático, el diseñador
debe construir un prototipo y probar el sistema en lazo
abierto. Si se asegura la estabilidad absoluta en lazo
abierto, el diseñador cierra el lazo y prueba el
desempeño del sistema en lazo cerrado resultante.
Los problemas de diseño son aquellos que implican la
mejora del desempeño de un sistema mediante la
inserción de un compensador. La compensación de un
sistema de control se reduce al diseño de un filtro
cuyas características tiendan a compensar las
características inconvenientes o inalterables de la
planta.

22. DISEÑO DE COMPENSADORES: ENFOQUE DE LA
RESPUESTA EN FRECUENCIA.
 El diseño basado en herramientas como los
diagramas de Bode o Nyquist se emplea
cuando las especificaciones vienen dadas en
términos de la respuesta frecuencial:
 Ancho de banda, margen de ganancia, margen de
fase, error en régimen permanente.
 El objetivo general es imponer restricciones
sobre las curvas de magnitud y fase
modificando su forma con ayuda de
compensadores.

23. CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DE LOS
TRES TIPOS DE COMPENSADORES
 La compensación de adelanto, produce en esencia, un
mejoramiento razonable en la respuesta transitoria y un
cambio pequeño en la precisión en estado estable.
Puede acentuar lo efectos del ruido de alta frecuencia.
 La compensación en atraso produce un mejoramiento
notable en la precisión en estado estable a costa de
aumentar el tiempo de respuesta transitoria. Suprime el
efecto del ruido a altas frecuencias.
 La compensación en atraso-adelanto combina ambas
características .
 El uso de un compensador de atraso o de adelanto
aumenta el orden de un sistema en 1 y el uso de un
compensador atraso-adelanto lo eleva en 2.

24. COMPENSADOR DE ADELANTO
 Consideremos un compensador de adelanto con la
siguiente función de transferencia:
 Tiene un cero en s=-1/T y un polo en s=-1/(T) y como
01, el cero siempre se ubica a la derecha del polo
en el plano complejo. El valor mínimo de  se ubica en
0.05 (el adelanto de fase máximo del compensador es
de 65).
 La siguiente figura muestra la traza polar de:
con Kc=1
1<<0con
T
s
T
s
K
+Ts
+Ts
K=(s)G ccc



 ,
1
1
1
1



1
1
+Tj
+Tj
K=)(jG cc




25.  Además:
Traza de Bode del
compensador de
adelanto con Kc=T=1
y =0.1
,
2
1
2
1





+1
-1
=)sen( m 




T
1
=m

26.  En la traza de Bode anterior se observa que el
compensador en adelanto de fase es básicamente un
filtro pasa altas (pasan las frecuencia altas, pero se
atenúan las frecuencias bajas)
 La función principal del compensador de adelanto es
volver a dar forma a la curva de respuesta en
frecuencia a fin de ofrecer un ángulo de adelanto de
fase suficiente para compensar el atraso de fase
excesivo asociado con los componentes del sistema
fijo.

27. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO:
COMPENSADOR EN ADELANTO
1. Suponga el siguiente compensador de adelanto:
Se define: Kc=K de modo que:
La función de transferencia en lazo abierto del sistema
compensado es:
en donde G1(s)=KG(s)
1<<0con
T
s
T
s
K
+Ts
+Ts
K=(s)G ccc



 ,
1
1
1
1



1
1
+Ts
+Ts
K=(s)Gc

)(
1
1
)(
1
1
)(
1
1
)( 1 sG
+Ts
+Ts
sKG
+Ts
+Ts
sG
+Ts
+Ts
K=s(s)GGc



28. El problema es determinar el valor de K que satisfaga el
requerimiento sobre la corriente estática de error
determinada.
2. Usando la ganancia K determinada se dibujan las
trazas de Bode de G1(j), el sistema con la ganancia
ajustada pero sin compensar. Calcular el valor del
margen de fase.
3. Se determina el ángulo de adelanto de fase 
necesario para agregar al sistema.
4. Determinar el factor de atenuación . Se establece la
frecuencia a la cual la magnitud del sistema no
compensado G1(j) es igual -20log(1/√). Se
selecciona esta como la nueva frecuencia de cruce
máxima. Esta frecuencia corresponde a m=1/(√T), y
el cambio de fase máximo m ocurre en ella.

29. 5. Se determinan las frecuencias de esquina del
compensador en adelanto de modo siguiente:
Cero del compensador en adelanto: =1/T
Polo del compensador en adelanto: =1/T
6. Usando el valor de K del paso 1 y de  establecido en
el paso 4, se calcula la constante Kc a partir de:
Kc=K/
7. Se verifica el margen de ganancia para asegurar de
que es satisfactorio. De no ser así se repite el proceso
de diseño modificando la ubicación de polos y ceros
del compensador hasta obtener un resultado
satisfactorio.

30. EJEMPLO:
 Considere un sistema cuya función de transferencia de
lazo abierto es:
Diseñar una compensación que proporcione un margen
de fase mayor que 50, margen de ganancia mayor
que 10 dB, y constante de velocidad Kv=20 s¹.
SOLUCIÓN
Se usará un compensador en adelanto de la forma:
El sistema compensado tendrá una función de
transferencia en lazo abierto Gc(s)G(s)
)2(
4
)(


ss
sG
T
s
T
s
K
+Ts
+Ts
K=(s)G ccc


 1
1
1
1




31. Definimos:
En donde K=Kc
1. Se ajusta K para cumplir con la especificación de
desempeño en estado estable, o bien proporcionar la
constante de error estático de velocidad requerida.
o bien:
K=10
Con este valor de K el sistema compensado cumple con
los requerimientos de estado estable.
2. Se grafican las trazas de Bode de G1(s) con K=10 para
encontrar el valor del margen de fase:
num=[0 40]; den[1 2 0];
margin(num, den), grid
)2(
4
)()(1


ss
K
sKGsG
202
)2(
4
lim)(
1
1
lim)()(lim
0
1
00







K
ss
Ks
sG
Ts
Ts
ssGssGK
ss
c
s
v


32. Se obtiene Mf=18 y Mg= (Un margen de fase de 18
implica un sistema muy oscilatorio) Esto se comprueba
con la respuesta al escalón del sistema en lazo
cerrado.

33. 4. Se requiere un Mf50 como se tiene 18 el
compensador debe aportar 32 para obtener cuando
menos 50 sin disminuir el valor de K. Tomaremos 38
para garantizar el resultado. Con esto se obtendrá el
valor de .

34. 5.Para determinar las frecuencias de esquina del
compensador en adelanto se sabe que:
Se busca en la traza de Bode del sistema no
compensado an que frecuencia ocurre esa magnitud y
se obtiene: =8.95rad/s
24.0
381
381
1
1
1)1(1
1
1











sen
sen
sen
sen
sensensensensen
m
m
mmmmm







dB
1
jG 2.6
24.0
1
log20log20)(1 



35. Esta frecuencia corresponde a:
5. Se determinan las frecuencias de esquina del
compensador :
6. Se determina Kc
7. El compensador queda diseñado con la siguiente
función de transferencia:
23.0
24.0)95.8(
1
11


T
T
T m
m


polo
T
cero
T


11.18
)23.0)(24.0(
11
34.4
23.0
11



67.41
24.0
10


K
Kc
11.18
34.4
67.41)(



s
s
sGc

36.  El sistema compensado queda como:
 Verifiquemos la respuesta en frecuencia:
num=[166.68 723.4];
den=[1 20.11 36.22 0];
margin(num,den), grid
Se observa que Mg= y
Mf=50.4 con lo que
cumple los requeri-
mientos de diseño
)2)(11.18(
4.72368.166
)2(
4
11.18
34.4
67.41)()(


















sss
s
sss
s
sGsGc

37. La respuesta al escalón del sistema de lazo cerrado del
sistema compensado es:
num=[166.68 723.4];
den=[1 20.11 202.9 723.4];
step(num,den), grid
Se observa que la
respuesta del sistema
compensado mejora
notablemente el
amortiguamiento y el
tiempo de establecimiento

38. COMPENSADOR EN ADELANTO CON
AMPLIFICADORES OPERACIONALES
El circuito de un compensador en adelanto con A.O. es:
Análisis:
Para el primer A.O. tenemos:
𝑉𝑜(𝑠)
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
= −
𝑍𝑓
𝑍𝑖
(inversor)

39. Donde: 𝑍𝑓 =
𝑅2
𝑠𝐶2
𝑅2+
1
𝑠𝐶2
=
𝑅2
𝑠𝐶2𝑅2 +1
=
1
𝐶2
∗
1
𝑠+
1
𝐶2𝑅2
𝑍𝑖 =
𝑅1
𝑠𝐶1
𝑅1+
1
𝑠𝐶1
=
𝑅1
𝑠𝐶1𝑅1 +1
=
1
𝐶1
∗
1
𝑠+
1
𝐶1𝑅1
Entonces:
𝑉𝑜(𝑠)
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
= −
𝐶1
𝐶2
∗
1
𝑠+
1
𝐶2𝑅2
1
𝑠+
1
𝐶1𝑅1
= −
𝐶1
𝐶2
∗
𝑠+
1
𝐶1𝑅1
𝑠+
1
𝐶2𝑅2
El segundo A.O. es un inversor tal que:
𝑉𝑠𝑎𝑙(𝑠)
𝑉𝑜(𝑠)
= −
𝑅4
𝑅3
Finalmente:
𝑉𝑠𝑎𝑙(𝑠)
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
=
𝑉𝑠𝑎𝑙(𝑠)
𝑉𝑜(𝑠)
∗
𝑉𝑜 𝑠
𝑉𝑖𝑛 𝑠
=
𝑅4𝐶1
𝑅3𝐶2
∗
𝑠+
1
𝐶1𝑅1
𝑠+
1
𝐶2𝑅2
Por tanto: 𝐾𝑐 =
𝑅4𝐶1
𝑅3𝐶2
,
1
𝑇
=
1
𝐶1𝑅1
,
1
𝛼𝑇
=
1
𝐶2𝑅2
NOTA: En una red de adelanto R1C1R2C2

40. COMPENSADOR EN ATRASO
 Su función principal es proporcionar una atenuación en
el rango de las frecuencias altas a fin de aportar un
margen de fase suficiente al sistema.
 Consideremos un compensador en atraso con la
siguiente función de transferencia:
 En el plano complejo, un compensador de atraso tiene
un cero s=-1/T y un polo en s=-1/(T). El polo está a la
derecha del cero.
 1
1
1
1
1



 



T
s
T
s
K
+Ts
+Ts
K=(s)G ccc

41.  La siguiente figura muestra la traza polar del
compensador en atraso
 Y las trazas de Bode del compensador para Kc=T=1 y
=10
Polo=1/(T)=0.1rad/s
Cero=1/T=1rad/s
Ganancia a frecuencias
bajas=10 (20dB)
Ganancia a frecuencias
altas=1 (0dB)
Se comporta como un
Filtro Pasa-Bajas

42. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL
COMPENSADOR EN ATRASO
 Suponga el siguiente compensador de atraso:
 Determine la ganancia K que satisfaga el
requerimiento sobre la constante de error estático
solicitado.
 Con esta ganancia K, trace el diagrama de Bode en
lazo abierto y calcule el Mf.
 1
1
1
1
1



 



T
s
T
s
K
+Ts
+Ts
K=(s)G ccc

43.  Si el sistema no compensado no satisface la
especificación de Mf, encuentre el punto de frecuencia
en el cual el ángulo de fase del sistema en lazo abierto
sea igual a -180º más el Mf requerido (generalmente se
aumentan de 5º a 12º). Esta será la nueva frecuencia
de cruce de ganancia.
 Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase, el
polo y el cero del compensador deben ubicarse mucho
más abajo que la nueva frecuencia de cruce de
ganancia (hasta una década por debajo).
 Determine la atenuación necesaria para bajar la curva
de magnitud a 0dB en la nueva frecuencia de cruce de
ganancia. Esta atenuación es de - 20log().
 Usando el valor de K y de  se determina el valor de Kc.

44. EJEMPLO:
 Considere un sistema cuya función de transferencia en
lazo abierto se obtiene mediante:
Se desea compensar el sistema a fin de que la constante
de error estático Kv=5s-1 y el margen de fase sea
cuando menos 40 y el margen de ganancia sea
cuando menos 10dB.
SOLUCIÓN
 Se usará un compensador en atraso de la forma.
)15.0)(1(
1
)(


sss
sG
 1
1
1
1
1



 



T
s
T
s
K
+Ts
+Ts
K=(s)G ccc

45. Definimos Kc=K
También definimos:
Primero ajustemos K para cumplir con la constante de
error estático de velocidad requerida.
 Con este valor de K obtengamos las trazas de Bode del
sistema no compensado y calculemos el Mf.
Se obtiene:
Mg=-4.44dB
Mf=-13
El sistema es inestable.
)15.0)(1(
)()(1


sss
K
sKGsG
5
)15.0)(1(
lim)(
1
1
lim)()(lim
0
1
00







K
sss
sK
sG
Ts
Ts
ssGssGK
ss
c
s
v


46. Esto se comprueba con la respuesta al escalón del
sistema en lazo cerrado.
>> num=[0 5];
>> den=[0.5 1.5 1 5];
>> step(num,den), grid
 Como no se alcanza el Mf requerido que es de cuando
menos 40 (se pueden aumentar de 5 a 12).
Consideremos 52 (40+12). Busquemos en la traza
de Bode de G1(s) el punto de frecuencia donde se
alcanza -180+52=-128. Anotemos la frecuencia y la
ganancia en ese punto de frecuencia.

47. Se tiene:
=0.467rad/s
Magnitud=19.5dB
Esta será la nueva frecuen
cia de cruce de ganancia.
 Con esto se calcula  de acuerdo a:
 Como la frecuencia puede estar hasta una década o
una octava por debajo de la frecuencia obtenida
tomemos:
44.910
20
5.19
log5.19log20 20
5.19



 
srad
T
Polo
Tsrad
T
Cero
/01.0
1
10/1.0
1




48.  Por último calculemos Kc
 El compensador queda como:
 El sistema compensado es:
 Grafiquemos las trazas de bode para ver si se cumplen
las condiciones de desempeño en cuanto al margen de
ganancia y fase.
53.0
44.9
5


K
Kc
01.0
1.0
53.0)(



s
s
sGc
  















15.01
1
01.0
1.0
53.0)()(
ssss
s
sGsGc

49. num=[0.53 0.053];
den=[0.5 1.505 1.015 0.01 0];
margin(num,den), grid
Se observa que se cumplen
con las condiciones de
desempeño en cuanto a los
márgenes de ganancia y fase
Como ambos márgenes resultaron positivos el sistema
es estable.
Comprobemos con la respuesta al escalón del sistema
compensado en lazo cerrado.

50. num=[0.53 0.053];
den=[0.5 1.505 1.015 0.54 0.53];
step(num,den), grid
Se observa que se mejora
notablemente la respuesta
transitoria del sistema
compensado

51. COMPENSADOR EN ATRASO CON
AMPLIFICADORES OPERACIONALES
El circuito de un compensador en atraso con A.O. es el
mismo que el del compensador en adelanto con la
diferencia de que en este caso R1C1R2C2, es decir:

52. Para este caso tenemos:
𝑉𝑠𝑎𝑙(𝑠)
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
=
𝑉𝑠𝑎𝑙(𝑠)
𝑉𝑜(𝑠)
∗
𝑉𝑜 𝑠
𝑉𝑖𝑛 𝑠
=
𝑅4𝐶1
𝑅3𝐶2
∗
𝑠 + 1
𝐶1𝑅1
𝑠 + 1
𝐶2𝑅2
De donde:
𝐾𝑐 =
𝑅4𝐶1
𝑅3𝐶2
,
1
𝑇
=
1
𝐶1𝑅1
,
1
𝛽𝑇
=
1
𝐶2𝑅2

53. COMPENSADOR EN ATRASO-ADELANTO
 Un compensador en atraso-adelanto combina los
efectos de un compensador en adelanto con los de un
compensador en atraso. El resultado es un sistema con
una mejora en la respuesta transitoria, estabilidad y
error de estado estacionario. Para implementar un
compensador en atraso-adelanto, primero se diseña el
compensador en adelanto para lograr la respuesta
transitoria y estabilidad deseadas, y entonces se
agrega un compensador en atraso para mejorar la
respuesta de estado estacionario.

54. CARACTERÍSTICAS DE UN COMPENSADOR
ATRASO-ADELANTO
 Consideremos un compensador atraso-adelanto con la
siguiente función de transferencia:
 Vemos que:
Red de adelanto
1>yT>T1,>donde
T
+s
T
+s
T
s
T
+s
KsG
12
cc





























2
2
1
1
1
11
)(
1
1
11
1
1
1
1
1





















s
T
sT
T
s
T
s

55.  Asimismo:
Red de atraso
 Al diseñar un compensador de este tipo es común
seleccionar  =  (esto no es necesariamente una
condición).
 La traza polar del compensador en atraso-adelanto con
Kc= y = es:
1
1
1
1
1
2
2
2
2















sT
sT
T
s
T
s

56.  Se observa que para 0<<1 el compensador funciona
como un compensador en atraso, mientras que de
1<< funciona como un compensador de adelanto.
 La frecuencia 1 es aquella donde el ángulo de fase es
cero y se obtiene mediante:
 Las trazas de Bode para el compensador atraso-
adelanto cuando Kc=1, ==10 y T2=10T1
21
1
1
TT


57.  De acuerdo a las trazas de Bode el compensador
funciona como un filtro rechaza-banda.
 El diseño del compensador atraso-adelanto se basa en
la combinación de las técnicas de diseño analizadas en
la compensación de adelanto y la compensación de
atraso.
 La parte de adelanto de fase altera la curva de
respuesta en frecuencia agregando un ángulo de
adelanto de fase incrementando el margen de fase en
la frecuencia de cruce de ganancia. La parte de atraso
de fase proporciona una atenuación cercana y por
arriba de la frecuencia de cruce de ganancia y, por
tanto permite un incremento de la ganancia en el
rango de frecuencias bajas a fin de mejorar el
desempeño en estado estable.

58. EJEMPLO: (PROCEDIMIENTO)
 Considere un sistema con retroalimentación unitaria
cuya función de transferencia de lazo abierto es:
Se requiere una constante de error estático de velocidad
Kv=10s-1, un Mf50 y Mg10dB
SOLUCIÓN:
Se usará un compensador en atraso-adelanto de la
forma:
)2)(1(
)(


sss
K
sG
1>yT>T1,>donde
T
+s
T
+s
T
s
T
+s
KsG
12
cc





























2
2
1
1
1
11
)(

59.  Sabemos que la función de transferencia del sistema
compensado es Gc(s)G(s)
 Dado que la ganancia K de la planta es ajustable
supongamos Kc=1
 A partir del requerimiento en la constante de error
estático de velocidad obtenemos:
 Con las trazas de Bode del sistema no compensado se
obtienen los Mg y Mf
>> num=[0 20];
>> den=[1 3 2 0];
>> margin(num,den), grid
Mg=-10.5 Mf=-28.1
Sistema inestable
10
2)2)(1(
)(lim)()(lim
00




K
sss
sK
ssGsGssGK
s
c
s
v
20K

60.  Comprobemos con la respuesta al escalón del sistema
en lazo cerrado
>> num=[0 20];
>> den=[1 3 2 20];
>> step(num,den), grid
 Se selecciona una nueva frecuencia de cruce de
ganancia. A partir de la curva de fase de G(j)
observamos que para -180 se tiene =1.42rad/s. Se
elige esta frecuencia para que ahí el ángulo de fase
sea alrededor de 50

61.  Ahora se determina la frecuencia de esquina de la
parte de atraso de fase del compensador. Se
selecciona =1/T2 (cero de la parte de atraso) una
década por debajo de la frecuencia de cruce, es decir:
=0.142rad/s  T2=7
 Para el compensador en adelanto el ángulo de fase m
se obtiene mediante:
 Tomando m=55 tenemos
 La frecuencia de esquina =1/T2=0.0142rad/s (polo
de la parte de atraso)
1
11










 )sen(
+1
-1
=)sen( mm
 
10
)55(1
)55(1
1
1
111
1
1











sen
sen
msen
msen
sensensensensen mmmmm









62.  Para la parte de adelanto: Como la nueva frecuencia de
cruce ganancia es =1.42rad/s, en esa frecuencia la
ganancia es 10.6 dB.
Por tanto el compensador atraso-adelanto contribuye con
-10.6dB en esa frecuencia, la nueva frecuencia de
cruce de ganancia es la que se busca . Se dibuja una
línea de pendiente 20dB/dec que pase por el punto (-
10.6dB, 1.42rad/s). La intersección de esta línea con la
de 0dB determina la frecuencia de esquina
=1/T1=0.7rad/s.

63. =1/T1=0.7rad/s
T1=1.43
Si ==10
=/T1=7rad/s
 Finalmente el sistema compensado queda definido
como:
La traza de Bode del sistema
compensado cumple con las
características de diseño
























)2)(1(
20
7
7.0
0142.0
142.0
)()(
ssss
s
s
s
sGsGc

64.  Finalmente la respuesta al escalón del sistema
compensado queda como:

65. COMPENSADOR EN ATRASO-ADELANTO CON
AMPLIFICADORES OPERACIONALES
Un compensador en atraso-adelanto con A.O. es:
Análisis como actividad:

66. COMPARACIÓN DE LOS TRES TIPOS DE
COMPENSADORES
 La compensación de adelanto proporciona el resultado
deseado mediante su contribución al adelanto de la
fase, en tanto que la compensación de atraso logra el
resultado a través de su propiedad de atenuación en
frecuencias altas
 La compensación de adelanto se usa para mejorar los
márgenes de estabilidad, además produce una
frecuencia de cruce de ganancia más alta comparada
con la compensación de atraso. La frecuencia de cruce
de ganancia más alta significa un mayor ancho de
banda. Un ancho de banda grande significa una
reducción en el tiempo de asentamiento.

67.  La compensación de adelanto requiere de un
incremento adicional en la ganancia a fin de compensar
la atenuación inherente a la red de adelanto. Esto
significa que la compensación de adelanto requiere de
una ganancia mayor que la que requiere la
compensación de atraso.
 La compensación de atraso reduce la ganancia del
sistema en las frecuencias más altas sin reducirla en las
frecuencias mas bajas. Dado que el ancho de banda del
sistema se reduce, éste responde a una velocidad más
lenta. Debido a la ganancia reducida en la frecuencia
alta, la ganancia total del sistema se incrementa y, por
tanto, también se incrementa la ganancia de frecuencia
baja y mejora la precisión en estado estable. Asimismo,
los ruidos de frecuencia alta implícitos en el sistema se
atenúan.

68.  Si se desean respuestas rápidas y suficiente precisión
estática, se usa un compensador de atraso-adelanto.
Éste incrementa la ganancia de frecuencias bajas (lo
cual significa un mejoramiento en la precisión en estado
estable) y, al mismo tiempo, se incrementa el ancho de
banda y los márgenes de estabilidad del sistema.
 Aunque con los compensadores de adelanto, de atraso
o de atraso-adelanto se realiza una mayor cantidad de
tareas prácticas de compensación, para los sistemas
complicados, una compensación simple mediante estos
compensadores tal vez no produzca resultados
satisfactorios. En este caso, deben emplearse
diferentes compensadores con distintas configuraciones
de polos y ceros.