Equazioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA
FACOLTÀ DI INGEGNERIA

AUTORE: DOTT. S. Caltabiano

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)

Indice Generale

1 Definizioni e Proprietà fondamentali sulle equazioni ......................................... 1
1.1 Definizione di equazione. Interpretazione grafica di una equazione.
Risoluzione di una equazione per via grafica .......................................................... 1
1.2 Sistemi di equazioni ....................................................................................... 1
2 Equazioni polinomiali razionali intere ............................................................... 4
2.1 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 1 ........................................... 4
2.2 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 2 ........................................... 4
2.3 Equazioni polinomiali razionali intere di grado n ........................................... 6
3 Equazioni logaritmiche ...................................................................................... 8
3.1 Equazioni logaritmiche in forma normale ....................................................... 8
4 Equazioni esponenziali ..................................................................................... 10
4.1 Equazioni esponenziali in forma normale ..................................................... 10
5 Equazioni trigonometriche ............................................................................... 11
5.1 Equazioni trigonometriche elementari .......................................................... 11
5.2 Equazioni riconducibili ad equazioni elementari .......................................... 15
5.3 Metodo standard per la risoluzione di una qualunque equazioni trigonometrica
17
5.4 Equazioni trigonometriche lineari in sin, cos e tg ......................................... 18
5.5 Equazioni risolvibili applicando le formule di prostafersi ............................. 19
5.6 Equazioni risolvibili applicando le formule di Werner.................................. 21
6 Equazioni riconducibili allo studio di equazioni ordinarie. Equazioni
irrazionali. Equazioni contenenti espressioni in valore assoluto. Equazioni fratte. .. 22
6.1 Equazioni riconducibili a equazioni polinomiali grado n .............................. 22
6.2 Equazioni irrazionali .................................................................................... 24

Dott. S. Caltabiano i


6.3 Equazioni contenenti espressioni in valore assoluto...................................... 26
6.4 Equazioni fratte ............................................................................................ 32
7 Complementi sulle equazioni trigonometriche .................................................. 36
7.1 Equazioni simmetriche in sin e cos ............................................................... 36
7.2 Equazioni trigonometriche non tipiche ......................................................... 36
8 Esercizi di vario tipo ........................................................................................ 39

Dott. S. Caltabiano ii


1 Definizioni e Proprietà fondamentali sulle equazioni

1.1 Definizione di equazione. Interpretazione grafica di una equazione.
Risoluzione di una equazione per via grafica
Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali. Si dice equazione:
f(x)=g(x)
Risolvere un’equazione, significa trovare (se esistono) gli intervalli nei cui punti
l’equazione è soddisfatta.
Diciamo che due equazione sono equivalenti se sono soddisfatte dalle medesime
soluzioni.
E’ interessante dare un’interpretazione grafica delle equazioni. Dire che un x0
soddisfa a l’equazione f(x)=g(x), evidentemente equivale ad affermare che l’ordinata
della f in x0, coincide con l’ordinata della g in x0 e quindi l’equazione è soddisfatta in
tutti gli intervalli, in corrispondenza dei quali il grafico della funzione f coincide con
quello della funzione g.
L’interpretazione grafica appena data, risulta uno strumento validissimo, nei casi in
cui le funzioni f e g hanno un’espressione analitica molto diversa e di conseguenza
molto difficile da trattare analiticamente.

1.2 Sistemi di equazioni
Siano f1= f1(x), g1= g1(x), f2= f2(x), g2= g2(x),…, fn= fn(x), gn= gn(x) n coppie di
funzioni reali. Si definisce sistema di equazioni:
 f1 ( x )  g 1 ( x )
 f ( x )  g ( x)
 2 2

. . . . . . . . . . . . . . . . .
 f n ( x)  g n ( x)

la soluzione del sistema è data dall’intersezione delle soluzioni delle singole
equazioni. Due sistemi si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.

Dott. S. Caltabiano 1


I seguenti quattro principi ci consentono di ottenere un’equazione equivalente a
partire da un’assegnata equazione.

Teorema 1.1 (Primo principio di equivalenza)

Sommando algebricamente ad ambo i membri di un’equazione una stessa espressione
algebrica, che non perda di significato in corrispondenza di soluzioni della equazione
data, si ottiene una equazione equivalente.

Teorema 1.2 (Secondo principio di equivalenza)

Moltiplicando ambo i membri di un’equazione, per una stessa espressione algebrica
che non si annulli e che non perda di significato in corrispondenza di soluzioni
dell’equazione data, si ottiene un’equazione equivalente

Teorema 1.3 (Terzo principio di equivalenza)

Assegnato n intero positivo. Elevando ambo i membri di un’equazione alla potenza n
o alla potenza 1/n:
 se n è dispari si ottiene un’equazione equivalente
 se n è pari si ottiene un’equazione equivalente se e solo se ambo i membri
dell’equazione assegnata sono non negativi

In effetti i precedenti tre teoremi possono essere considerati come un caso
particolare del seguente teorema.

Teorema 1.4 (Quarto principio di equivalenza)

Componendo ambo i membri di un’equazione con una funzione iniettiva, si ottiene
un’equazione equivalente

Corollario 1.1



Se ambo i membri di un’equazione non si annullano mai allora passando ai reciproci
si ottiene un’equazione equivalente
Dimostrazione
Conseguenza del secondo principio.
Enunciamo adesso il seguente teorema che ci fornisce le condizioni necessarie
e sufficiente per passare da un sistema di equazioni ad un sistema equivalente.

Teorema 5

Assegnato un sistema di equazioni allora esso è equivalente al sistema ottenuto:
1. scambiano due equazioni del sistema dato
2. moltiplicando un’equazione del sistema dato per una costante non nulla
3. sommando ad un’equazione un’altra equazione moltiplicata per una costante reale
4. risolvendo un’equazione rispetto ad una variabile e sostituita nelle rimanenti
equazioni



2 Equazioni polinomiali razionali intere

Il termine “intere” è riferito al fatto che l’incognita compare soltanto con potenza
positiva, cioè non compare al denominatore. L’equazioni razionali non intere, sono
dette equazioni razionali fratte e verranno tratte in seguito. Il termine “razionale” è
riferito al fatto che non compaiono espressioni sotto il segno di radice. Le equazioni
nelle quali compaiono espressioni sotto il segno di radice sono dette irrazionale e
verranno trattate in seguito.

2.1 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 1
Si definisce equazione razionale intera di grado 1:
ax+b=0 (1)
più precisamente in questo in caso l’equazione si dice in forma normale. Si capisce
immediatamente che grazie al primo principio ci si può sempre ricondurre alla forma
normale, ad esempio se abbiamo:
ax+b=cx+d
allora per il primo principio otteniamo:
(a–c)x+b–d=0
Per il primo e per il secondo principio la (1) è soddisfatta per:
b
x
a

Esercizi

1. 5x–3=0 4. 2x+3=1
2. 2x–3=3–x 5. 3x+1=3–2x
3. x+1=0 6. 7x–2=3+5x

2.2 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 2
Si definisce equazione razionale intera di grado 2 (in forma normale):



ax2+bx+c=0
Vogliamo fare osservare a priori che P2(x) si può scrivere come prodotto di due
polinomi di primo grado:

2  2 b c  2 b b2 b2 c
P2(x)=ax +bx+c=a  x  x   = a  x  x  2  2   =
 a a  a 4a 4a a

 2 2
b  b2 c  b  b 2  4ac 
=a  x    2   = a  x    =

 2a  4a a
 
 2a  4a 2  
 2
 b 
2
   b 
2
  
=a  x    2  = a  x     
 2a   =

 2a  4a 
  2a    

 b   b   b    b 
= a x 
   x    =a  x   x  
 2a 2a 
 2a 2a  
  2a 
 2a 

con :=b2–4ac. Ed inoltre posto:

b  b 
x1  e x2 
2a 2a
che sono quindi le radici del polinomio P2(x), e possono essere: reali e distinte se
>0, reali e coincidenti se =0 e complesse e coniugate se <0. In definitiva:
P2(x):=a(x–x1)(x–x2) (2)

Esercizi

1. (x–2)(x+2)=0 12. x2–x–1=0
2. –3(x–2)(x–1)=0 x 2 1 2
2 x 2
13. +(x–2) =
3. 4(x+2)(x+3)=0 3 2
4. x2–1=0 14. x 2  3 x  0
5. x2+2=0 15. x 2  3 x  2  0
6. x2–2=0
16.  x 2  5 x  6  0
7. x2–3x=0
17.  x 2  5 x  6  0
2
8. x +2x=0



9. x2–5x+4=0 x2  1 x 1
18.   x
10. (x+1)2=3x+3 2 2 2
11. x2–2x–1=0 19. x 2  5 x  6  0

2.3 Equazioni polinomiali razionali intere di grado n
Generalizziamo i due casi di equazioni appena trattati. Si definisce equazione
razionale intera di grado n (in forma normale):
anxn+an-1xn-1+…+ a1x+ a0 =0
In sostanza si tratta di trovare le radici del polinomio Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+ a1x+ a0
che come noto ammette al più n radici reali. Dette x1,…,xmR dove mn, tali radici
allora facendo uso della regola di Ruffini, sappiamo che si può scrivere:
Pn(x)=an(x–x1)(x–x2)…(x–xm)Q(x)
dove Q=Q(x) è un polinomio non scomponibile nel campo reale (cioè non ammette
radici reali, ad esempio Q(x)=x2+1).
Una particolare equazioni di grado n si ha quando:
Pn(x)=xn–a
e si parla di equazioni binomie di grado n. Se n è dispari per il terzo principio l’unica
n
radice reale di Pn(x) è a.
Se n è pari, nel caso a<0 Pn(x) è sempre strettamente positivo e non ammette radici
reali., mentre nel caso a>0, scomponendo Pn(x) si trova facilmente che:
Pn(x)=(x– n a )(x+ n a )Q(x)
dove Q=Q(x) è un polinomio non scomponibile nel campo reale, e quindi in questo
caso le radici reali sono  n a .
Un’altra particolare equazioni di grado n si ha quando:
P2m(x)=ax2m+bxm+c
dove m è un numero intero positivo, nel caso m=2 si parla di equazioni
biquadratiche. Si pone y=xm e si ottiene ay2+by+c che è un polinomio di secondo
grado nella variabile y e quindi dette y1 e y2 le sue radici si ha:
P2m(x)= a(y–y1)(y–y2)= a(xm–y1)(xm–y2)


e pertanto in questo caso le radici del polinomio P2m(x) sono le radici del prodotto di
due equazioni binomie.

Esercizi

1. x3–6x2+11x–6=0 7. x5+2=0
2. x5–x4–x+1=0 8. x6+2=0
3. x4+3x3–14x2–48x–32=0 9. x4–16=0
4. x4+x3–7x2–x+6=0 10. x4–5x2+4=0
5. x3–3x+2=0 11. x4–10x2+9=0
6. x4–5x3+5x2+5x–6=0 12. x8–17x4+16=0



3 Equazioni logaritmiche

3.1 Equazioni logaritmiche in forma normale
Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali e sia a un numero reale compreso tra 0 e 1
oppure strettamente maggiore di 1. Un’equazione logaritmica in forma normale è
del tipo:
loga f(x)=loga g(x) (3)
Il logaritmo ha senso se l’argomento è strettamente positivo e quindi dobbiamo
imporre che f(x)>0 e g(x)>0. E quindi in definitiva per il quarto principio, passando
all’esponenziale nella (3), il sistema equivalente alla (3) è:
 f ( x)  0

 g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)

si osserva che la condizione g(x)>0 è contenuta è implicitamente contenuta nelle altre
due e quindi può essere scarta. E in definitiva il sistema equivalente alla (3) è:
 f ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
Assegnata una costante bR un caso particolare della (3) è l’equazione:
loga f(x)=b (4)
infatti per ricadere nel caso della (3) basta porre g(x)=ab e di conseguenza il sistema
equivalente alla (4) è:
 f ( x)  0
 b
 f ( x)  a
si scarta la prima condizione, poiché la seconda impone implicitamente che le sue
soluzioni siano per f>0. E pertanto l’equazione equivalente alla (4) è:
f(x)=ab



Nella maggior parte dei casi il logaritmo considerato è quello di Neperio, cioè il
logaritmo con base e e lo si denota con ln ed è detto per l’appunto logaritmo
neperiano.

Esercizi

1. log3(3x+6)=log3(x–2) 9. log1/3log2(x+1)=1
2. log1/2(3x–4)=log½(3x–4) 10. log10(x2–7x+11)=0
3. log½(2x–4)=2 11. 2log3(2–x)–log3(x+4)=log3(3x+14)
4. 2ln(x–1)=1 12. ln(x)–2ln(x+3)=ln(x3+15)
5. ln(x+1)+ln(x)=2ln(1–x) 13. ln(x2–6x+9)=ln(x)–ln(4)
6. log3log2(x+1)=0 14. 3ln(x–2)=ln(x)+ln(x2–14)
7. log10(x2–x+98)=2  x  1 x  1
15. ln  2
8. log10log10(2x-5)=0  5 2 



4 Equazioni esponenziali

4.1 Equazioni esponenziali in forma normale
Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali, siano a, b numeri reali positivi e siano c,
dR.. Un’equazione esponenziale in forma normale è del tipo:
caf(x)=dbg(x) (5)
Si presentano i seguenti casi:
a) Se c>0 e d>0 allora fissato un numero h reale compreso tra 0 e 1 oppure
strettamente maggiore di 1, l’equazione equivalente alla (5) si ottiene applicando
ad ambo i membri il logaritmo in base h:
logh(c)+f(x) logh(a)=logh(d)+g(x)logh (b)
b) Se c0 o d0 l’equazione (5) è impossibile
Un caso particolare della (5) si ottiene ponendo b=c=1:
af(x)=d (6)
si presentano i seguenti casi:
a) Se d>0 allora fissato un numero h reale compreso tra 0 e 1 oppure strettamente
maggiore di 1, l’equazione equivalente alla (6), per la tabella precedente è:
f(x)logh(a)   logh(d)
b) Se d0 l’equazione (6) è impossibile

Esercizi

1. 22x–3=5 2
6. (1 / 2) 6 x  (1 / 2) 5 x 1
2. (1/3)x+1>=5
7. 2x–13x+1=9
3. 2x+4=–5
8. 52x=87x–2
4. 32x+7=–5
9. 352(2x–7)–452x–7+1=0
2x x–7
5. 3 –113 +28=0
10. 52x–65x–7+5=0



5 Equazioni trigonometriche

Per la risoluzione delle Equazioni trigonometriche non esistono norme di
carattere generale. Esiste però una serie di Equazioni trigonometriche tipiche, esposte
di seguito, per le quali è possibile dare un criterio di risoluzione. La conoscenza della
risoluzione delle equazioni tipiche, è necessaria se si vuole impostare la soluzione di
una qualsiasi equazione trigonometrica.

5.1 Equazioni trigonometriche elementari
Sono equazioni trigonometriche elementari (in forma normale):
sin(x)=m (7)
cos(x)=m (8)
tg(x)=m (9)
dove mR.. La risoluzione di queste equazione, avviene per via grafica.
Esistono due metodi. Il primo metodo consiste nel rappresentare sul piano cartesiano
cartesiano la funzione trigonometrica considerata e la retta di equazione y=m e
prendere le eventuali intersezioni. Descriviamo dettagliatamente il secondo metodo,
detto metodo trigonometrico, singolarmente per la (7), per la (8) e per la (9).
Metodo trigonometrico per la (7):
 si disegna la circonferenza trigonometrica (cioè la circonferenza di raggio 1, con
origine nel centro degli assi coordinati O=(0,0))
 se m<–1 o m>1 la (7) non è mai verificata. Se –1m1 si traccia la retta y=m, e si
riportano gli angoli corrispondenti alle intersezioni.
 si aggiunge la periodicità 2k con kZ..
Consideriamo ad esempio il caso in cui 0m1. Denotiamo con  l’angolo
=arcsin(m), e procediamo come suddetto:



y

y=m
–

x

Figura 1

Quindi l’equazione è soddisfatta per:
x= e x=–
aggiungendo la periodicità:
x=+2k e x=–+2k
Un’analisi sistematica di questo tipo, ci porta a dare una scrittura generale, che
descrive tutte le soluzioni della (7), al variare di m. Nella tabella che segue, nei casi in
cui –1m1, denoteremo con  l’angolo arcsin(m) ridotto al primo quadrante:
Studio dell’equazione sin(x)=m al variare di m
-1<m o m>1 Nessuna soluzione
-1m0 x=++2k e x=2–+2k
0 m  1 x=+2k e x=–+2k

Tabella 1

Il metodo appena descritto ci consente di trovare le soluzioni della (7) lavorando
nell’intervallo [0,2]. Tuttavia se non ci si impone questa restrizione le soluzioni
della (7) sono:
x=arcsin(m)+2k e x=– arcsin(m)+2k
dove ovviamente –1m1.


 si disegna la circonferenza trigonometrica
 se m<–1 o m>1 la (8) non è mai verificata Se –1m1 si traccia la retta x=m, e si
riportano gli angoli corrispondenti alle intersezioni.
 si aggiunge la periodicità 2k con kZ..
Consideriamo ad esempio il caso in cui 0m1. Denotiamo con  l’angolo
=arccos(m), e procediamo come suddetto:
y
x=m


x

2–

Figura 2

x= e x=2–
x=+2k e x=2–+2k
descrive tutte le soluzioni della (8), al variare di m. Nella tabella che segue, nei casi in
cui –1m1, denoteremo con  l’angolo arccos(m) ridotto al primo quadrante:
Studio dell’equazione cos(x)=m al variare di m
-1<m o m>1 Nessuna soluzione
-1m0 x=–+2k e x=++2k
0m<1 x=+2k e x=2–+2k

Tabella 2


Il metodo appena descritto ci consente di trovare le soluzioni della (8) lavorando
nell’intervallo [0,2]. Tuttavia se non ci si impone questa restrizione le soluzioni
della (8) sono:
x=  arccos(m)+2k
dove ovviamente –1m1.
 si disegna la circonferenza trigonometrica
 si disegna la retta parallela all’asse delle ordinate passante per il punto di
coordinate (0,1) (detto origine degli archi)
 si segna il punto di coordinate M=(1,m), si riporta l’angolo corrispondente
all’intersezione
 si aggiunge la periodicità k con kZ..
Consideriamo ad esempio il caso in cui m0. Procedendo come suddetto:
y
m


x

Figura 3

x==arctg(m)
x=+k



descrive tutte le soluzioni della (9), al variare di m. Nella tabella che segue,
denoteremo con  l’angolo arctg(m) ridotto al primo quadrante:
Studio dell’equazione tg(x)=m al variare di m
m0 x=+k (oppure x=++k)
m0 x=2–+k (oppure x=–+k oppure x=–+k)

Tabella 3

Esercizi

Risolvere nell’intervallo [0,2] le seguenti equazioni, indicando per ciascuno di essi
la soluzione in R.
1. 2sin(x)+1=0 10. sin(4x)cos(2x)=0
2. 2sin(x)– 3 =0 11. sin(x)cos(x)=0

3. 5sin(x)+2=0 12. sin(x)cos(x)–2cos(x)=0

4. 2 cos(x)–1=0 13. sin(x)cos(x)+2cos(x)=0
14. cos(x)tg(x)=0
5. 2cos(x)+ 3 =0
15. cos(x)tg(x)=0
6. 3 tg(x)–3=0
16. cos(4x)+cos(2x)=2cos(x)
7. tg(x)–1=0
17. sin(4x)–sin(2x)=sin(x)
8. (2sin(x)+1)cos(x)=0
9. sin(2x)cos(x)=0

5.2 Equazioni riconducibili ad equazioni elementari
Sia f=f(x) una funzione reale e mR. Le seguenti equazioni sono riconducibili ad
equazioni elementari:
sin[f(x)]=m
cos[f(x)]=m
tg[f(x)]=m



dove mR.. Si pone t=f(x) e si ottiene un’equazione trigonometrica elementare, si
risolve questa equazione, successivamente nella scrittura che descrive la soluzione di
quest’ultima, si sostituisce f(x) a t e si ottengono una o due equazioni del tipo:
f(x)=a con aR
l’unione delle soluzioni di queste ci dà la soluzione dell’equazione di partenza.
Altri tipi di equazioni riconducibile ad equazioni elementari, sono le seguenti:
sin[f(x)]=sin[g(x)] (10)
cos[f(x)]=cos[g(x)] (11)
tg[f(x)]=tg[g(x)] (12)
dove f=f(x) e g=g(x) sono funzioni reali.
Consideriamo la (10). Fissato x e posto m=sin[g(x)] e t= f(x) si ha l’equazione
elementare:
sin(t)=m
le soluzioni sono:
t=arcsin(m)+2k e t=–arcsin(m)+2k
e pertanto osservando che arcsin(m)=g(x) si ha che le soluzioni della (10) sono:
f(x)=g(x)+2k e f(x)=–g(x)+2k
Procedendo in maniera analoga si trova che le soluzioni della (11) sono:
f(x)=  g(x)+2k
Analogamente per la (12) le soluzioni sono:
f(x)= g(x)+k
Un caso particolare della (10) è la seguente:
sin[f(x)]=cos[g(x)]
infatti quest’ultima può essere scritta come:
sin[f(x)]=sin[/2–g(x)]

Esercizi

1. 2sin(7x)=1 16. 3 cos(x2–2)=–2



2. 2cos(7x)=1 17. 3 tg(x2–2)=–1
3. 2tg(7x)=1 18. sin(7x)=sin(3x)
  1 19. cos(7x)=cos(3x)
4. cos 3 x    
 3 2 20. tg(7x)=tg(3x)
  1 21. sin(7x)=cos(3x)
5. sin 3 x    
 3 2
   
22. sin 3 x   = sin 5 x  
  1  3  6
6. tg  3 x    
 3 2
   
2 23. cos 3 x   = cos 5 x  
7. sin(x –1)=1/2  3  6
8. cos(x2–1)=1/2  
 
2 24. tg  3 x   = tg  5 x  
9. tg(x –1)=1  3  6
10. sin(ln(x))=1/2    
25. sin 3 x   = cos 5 x  
11. cos(ln(x))=–1/2  3  6
12. tg(ln(x))=1 26. sin(x2–1)=sin(3x2+2)
13. cos(cos(x))+2=0 27. cos(x2–1)=cos(3x2+2)
14. 2sin(ex+1)+1=0 28. tg(x2–1)=tg(3x2+2)
15. 3 sin(x2–2)=–2 29. sin(x2–1)=cos(3x2+2)

5.3 Metodo standard per la risoluzione di una qualunque equazioni
trigonometrica
Per risolvere una qualunque equazione trigonometrica nella quale gli argomenti delle
funzioni trigonometriche, sono multipli o frazioni di x, si procede come segue:
 si verifica se x= è soluzione o meno dell’equazione
 applicando le formule di addizione, di sottrazione, di duplicazione, di bisezione e
di prostafersi, si ottiene un’equazione in sin(x), cos(x) e tg(x)
 si esprimo sin(x), cos(x) e tg(x) in funzione di tg(x/2)
 si pone t=tg(x/2) e si ottiene così un’equazione polinomiale nella variabile t
 si risolve l’equazione polinomiale nella variabile t



 nella scrittura che descrive la soluzione dell’equazione polinomiale, si sostituisce
tg(x/2) al posto di t e si ottiene così un certo numero di equazioni trigonometriche
elementari. L’unione delle soluzioni di queste ci dà la soluzione dell’equazione
trigonometrica assegnata.
Benché questo metodo rappresenti uno strumento validissimo, nella risoluzione delle
equazioni trigonometriche, in molti casi esso riconduce a delle equazioni polinomiali
di grado elevato e di conseguenza tediose da trattare. Tratteremo in seguito alcuni tipi
di equazioni trigonometriche, aventi ognuna un metodo risolutivo opportuno, che
consente di risolvere il tipo d’equazione in questione, in maniera più sbrigativa
rispetto al metodo standard descritto sopra.
I seguenti esercizi non sono finalizzati alla risoluzione, ma servono soltanto a
titolo di esempio, per mostrare come il suddetto metodo standard, nella maggior parte
dei casi, conduca a delle espressioni difficili, se non addirittura impossibili da trattare
analiticamente.

Esercizi

1. 3sin4(x)=1
2. 3cos2(x)+sin(x)=0
3. sin(x)cos(x)=1/2

5.4 Equazioni trigonometriche lineari in sin, cos e tg
Un’equazione trigonometrica lineare è del tipo:
asin(x)+bcos(x)+ctg(x)+d =0 (13)
dove a,b,c,dR. Per risolvere questo tipo di equazioni, bisogna ricorrere al metodo
descritto nel paragrafo 5.3. Esiste tuttavia un caso particolare della (13) riconducibile
immediatamente a equazioni di tipo elementare. Se a=1, b=  1, c=0, la (13) diventa:
sin(x)  cos(x)+d=0
moltiplicando ambo i membri per 2 /2 (ricordando che sin(/4)=cos(/4)= 2 /2),
dalle formule di addizione e sottrazione del seno, segue che:



  d 2
sin x    0
 4 2
facilmente risolvibile.

Esercizi

1. 4sin(x)–2cos(x)+ 3 –2=0 10. 4sin(x)–2cos(x)+ 3 –2=0
2. sin(x)–cos(x)+1=0 11. 3sin(x)–cos(x)=3
3. sin(x)+cos(x)–1=0 12. 2 3 cos(x)+2sin(x)= 6 + 2
4. cos(x)+sin(x)– 2 =0    
13. sin x    cos x    1
2  3  3
5. sin(x)+cos(x)– =0
2  x
14. 2 3 sin 2   +sin(x)+ 3 –2=0
6. 3 sin(x)–cos(x)=0 2
7. 4sin(x)–3cos(x)=0  x
15. 2 cos 2   +sin(x)–2=0
8. sin(x)–cos(x)=0  2

9. sin(x)+cos(x)– 2 =0

5.5 Equazioni risolvibili applicando le formule di prostafersi
In molti casi, l’applicazione delle formule di prostafersi consente di trasformare
un’equazione trigonometrica complessa, in un’equazione equivalente, facilmente
risolvibile. In genere, la formula di prostafersi si applica fra due termini, in modo che
si ottenga un prodotto contenente una funzione con lo stesso argomento di una già
esistente nell’equazione data.
Le seguenti equazioni sono risolvibili applicando le formule di prostafersi:
a b 
sin(ax)  sin(bx)  csin x
 2 
a b 
sin(ax)  sin(bx)  ccos x
 2 
ab 
cos(ax)  cos(bx)  ccos x
 2 



a b 
cos(ax)  cos(bx)  csin x
 2 
sin( x  a )  sin( x  b)  c
cos( x  a )  cos( x  b)  c

dove a,b,cR. Ad esempio se applichiamo la formula di prostafersi alla prima
equazione otteniamo:
a b  a  b  a b 
sin x cos x   sin x
 2   2   2 
e quindi:
 a  b   a  b  
sin  x  cos x   c  0
 2   2  
che un’equazione che sappiamo risolvere. Analogamente si procede per le rimanenti
tre equazioni.

Esercizi

1. cos(4x)+cos(2x)=2cos(x) 14. cos(8x)–cos(4x)=2sin(6x)
2. sin(4x)–sin(2x)=sin(x) 15. cos(2x)+cos(4x)=2cos(x)
3. sin(5x)+sin(3x)=–sin(x)     2
16. sin  x   sin  x  
4. sin(5x)+sin(3x)=cos(x) 4  4  2
5. sin(7x)–sin(x)=cos(4x)    
17. sin  x   cos  x   1
6. sin(7x)+sin(x)=sin(4x) 3  4 
7. sin(5x)–sin(x)=sin(2x)  5  3
18. sin  x   sin x  
8. sin(3x)+sin(5x)=sin(4x)  6  2
9. sin(3x)+sin(5x)=–cos(x)     6 2
19. cos  x   cos  x  
10. sin(5x)–sin(x)=cos(3x) 6  2  4
11. cos(5x)+cos(x)=cos(3x)     
20. 6 cos  x   cos  x  =
12. cos(5x)–cos(x)=–sin(3x)  4  4 
13. cos(3x)+cos(5x)=–cos(4x) 2sin(2x)



5.6 Equazioni risolvibili applicando le formule di Werner
In molti casi, l’applicazione delle formule di Werner consente di trasformare
un’equazione trig. complessa, in un’equazione equivalente, facilmente risolvibile. Le
seguenti equazioni sono risolvibili applicando le formule di Werner:
sin(x+a)sin(x+b)=c
cos(x+a)cos(x+b)=c
sin(x+a)cos(x+b)=c

Esercizi

1. 2sin(2x+)sin(2x)=0    2
3. cos 3 x   sin(3 x ) 
  1  12  4
2. sin 2 x   cos(2 x ) 
 6 4



6 Equazioni riconducibili allo studio di equazioni ordinarie.

Equazioni irrazionali. Equazioni contenenti espressioni in

valore assoluto. Equazioni fratte.

6.1 Equazioni riconducibili a equazioni polinomiali grado n
Sia f=f(x) una funzione reale. L’equazione in questione è del tipo:
an [f(x)]n+an–1 [f(x)]n–1+…+ a1 f(x)+a0 =0 (14)
Si pone t= f(x) e si ottiene la seguente equazione polinomiale:
antn+an–1tn–1+…+ a1t+a0=   0 (15)
detta equazione ausiliaria. Si risolve questa equazione di grado n nella variabile t,
successivamente nella scrittura che descrive la soluzione della (15), si sostituisce f(x)
al posto di t e si ottiene così un certo numero di equazioni del tipo:
f(x)=a dove a R
l’unione delle soluzioni di queste ci da le soluzioni della (14).
Vediamo un caso particolare della (14). Ricordiamo che un polinomio si dice
omogeneo se tutti i monomi che lo costituiscono hanno lo stesso grado, essendo il
grado di un monomio la somma degli esponenti delle incognite che lo costituiscono.
Un’equazione omogenea di grado n, nella quale le incognite sono due funzioni, di cui
una non si annulla mai, per il secondo principio, si può ricondurre ad un equazione
del tipo (14), infatti basta dividere ambo i membri per la funzione non nulla elevata
ad n. A titolo d’esempio consideriamo il caso n=3. Siano f=f(x) e g=g(x) due
funzioni reali e supponiamo che la g e non si annulli mai e consideriamo:
af3(x)+bf2(x)g(x)+ cf(x)g2(x)+ dg3(x)=0
che è un’equazione omogenea di grado tre, nelle variabili f(x) e g(x), ed è equivalente
all’equazione:
ah3(x)+bh2(x)+ ch(x)+ d=0



dove si è posto per comodità h(x)=f(x)/g(x).

Esercizi

1. log 2 ( x )  5 log 2 ( x )  6  0
2
24. 2sin2(x)+5cos2(x)–4=0
2 x 
2. log 3 ( x )  4 log 3 ( x)  3  0 25. tg 2   1  1  0
2 
3 2
3. log1 / 2 ( x )  log 1 / 2 ( x)  4  0
26. 2tg2(x)+3tg(x)–1=0
4. 22x–32x+2=0
27. 3tg2(x)–2 3 tg(x)–3=0
5. 372x+7x–4=0
28. 3 tg3(x)+(4– 3 )tg2(x)–(4– 3 )tg(x)–
6. 22x–122x+32=0
3 =0
7. 2sin2(x)–1=0
29. tg4(x)+2tg2(x)–3=0
8. 4sin2(x)–2( 3 +1)sin(x)+ 3 =0
30. 3 sin(x)–cos(x)=0
2
9. 2sin (x)+(2+ 2 )sin(x)+ 2 =0
31. 4sin(x)–3cos(x)=0
4 2
10. 2sin (x)–3sin (x)+ 1=0
2
32. 6sin2(x)– 3 sin(x)cos(x)–cos2(x)=0
11. 7sin(x)+2cos (x)–5=0
2 2 33. sin3(x)– 3 sin2(x)cos(x)–cos3(x)=0
12. cos (x)+5sin (x)–sin(x)=0
2 34. sin4(x)–4sin2(x)cos2(x)+3cos4(x)=0
13. 3cos(x)+sin (x)–3=0
 x 35. (1+ 3 )sin2(x)–( 3 –1)sin(x)cos(x)–
14. 4 sin 2    3 cos( x )  3  0
 2 1=0
15. 4sin4(x)+cos2(x)–3=0 36. 4sin4(x)+4sin2(x)cos2(x)=1

16. 2sin3(x)–(3 2 +2)sin2(x)– 37. 3cos2(x)+2 sin(x)cos(x)=3
38. 2sin2(x)–5sin(x)cos(x)–+3cos2(x)=0
(3 2 +2)sin(x)–2=0
2 39. 3 cos2(x)–2sin(x)cos(x)–
17. 4cos (x)–2( 3 + 2 )cos(x)+ 6 =0
18. 8cos4(x)–10cos2(x)+ 3=0 3 sin2(x)=0

19. 2 cos3(x)–(3– 2 )cos2(x)–(3– 40. 3 sin2(x)–2sin(x)cos(x)–

2 )cos2(x)+ 2 =0 3 cos2(x)=0

x 2
41. sin2(x)–4sin(x)cos(x)+ 3cos2(x)=0
20. 4 cos    cos( x )  1  2  0
 2 42. 2sin2(x)–4sin(x)cos(x)–3cos2(x)=0



 x 43. 2sin2(x)+(3+ 3 )sin(x)cos(x)+3(1–
21. 2 3 cos 2   +cos(x)+ 3 –2=0
 2
3 )cos2(x)=0
 x 44. sin4(x)+3sin2(x)cos2(x)–cos4(x)=0
22. 2 sin 2   +cos(x)–2=0
2
45. cos(2x)+sin(x)–1=0
2 2
23. 2cos (x)–sin (2x)+ 2 =0

6.2 Equazioni irrazionali
Un’equazione irrazionale è del tipo:
n f ( x ) =g(x) (15)

dove f=f(x) e g=g(x) sono funzioni reali ed nN. Se n è dispari allora per il 3o
principio, elevando ambo i membri della (15) ad n otteniamo l’equazione
equivalente:
f(x)=gn(x)
Se n è pari per l’esistenza della radice bisogna imporre f(x)0 ed inoltre affinché
abbia senso la (15), dobbiamo imporre pure che sia g(x)0. In queste condizioni per il
terzo principio, un’equazione equivalente alla (15), si ottiene elevando ambo i
membri della (15) ad n. Pertanto la (15) è equivalente al sistema:
 f ( x)  0

 g ( x)  0
 n
 f ( x)  g ( x)
Osserviamo che la prima condizione è implicitamente contenuta nella terza e quindi
in definitiva la (15) è equivalente al sistema:
 g ( x)  0
 n
 f ( x)  g ( x)
Vediamo alcuni casi particolare della (15).
Se la funzione g è costante e vale costantemente kR la (15) diventa:
n f ( x) =k
se n è dispari l’equazione equivalente è:



f(x)=kn
Se n è pari l’equazione non è mai soddisfatta se k<0, mentre nel caso k0 l’equazione
equivalente è:
f(x)=kn
Un altro caso particolare della (15) è il seguente:
A( x)  B( x)  C ( x ) (16)

con A=A(x), B=B(x) e C=C(x) funzioni reali. Posto h(x)=C(x)  B(x ) si ottiene:

A(x) =h(x)
che è un’equazione del tipo (15), si costruisce quindi il sistema equivalente,
successivamente si esplicita la definizione della h=h(x) e di conseguenza si
aggiungono le equazioni che essa comporta. Si ottiene così un sistema equivalente
alla (16). Nel caso di un’equazione, nella quale compaiono più di due espressioni
sotto il segno di radice, non esiste un procedimento standard. Quello che bisogna fare
è usare i tre principi (soprattutto il terzo principio), per cercare di ricondursi a un
sistema equivalente, contenente equazioni del tipo (15), (16).
Fissati m,nN un’espressione apparentemente più generale della (15) è la seguente:

 f ( x)m / n =g(x)
infatti quest’ultima la possiamo scrivere come:
n
 f ( x)m =g(x)
In effetti l’espressione più generale della (15) è:
n f ( x)  m g ( x) (17)

dove m,nN. Analogamente a quanto visto per la (15), si distinguono i casi n, m pari
o dispari, si impongono le opportune condizioni d’esistenza e si applica il terzo
principio d’equivalenza. Risolviamo ad esempio la (17) nel caso n=m=2. Imposte le
condizioni d’esistenza per il terzo principio d’equivalenza possiamo quadrare ambo i
membri della (17) e di conseguenza il sistema equivalente è:



 f ( x)  0

 g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)

Si osserva che la seconda equazione è implicitamente contenuta nella prima e nella
terza equazione e quindi in definitiva il sistema equivalente è:
 f ( x)  0

 f ( x )  g ( x)

Esercizi

1. 2 x  5  x 2  3 x  2 13. cos(2 x)  2sin( x)  1  0

2. x  3  x 2  2 x 14. 1  2 sin( x)  3  4 cos 2 ( x)

3. x  25  x 2  1  
15. sin x    sin( x)  cos( x)  2
 4
4. x2  8 x 0
16. 2 x  8  x  5  x  3
5. 3 2 x  1  x 2  x  0
17. x  1  1  2 x  2  x  2
6. 5x  4  x  2  0
18. 2 x  8  x  5  x 2  3  x  3
7. 3x  4  x  2

8. 2  x  x  0 19. 1  x  2 x 2  x  3  1
20. 2cos(x)–1=
9. lg( x )  lg( x 2  1)  lg( x  1)
2 cos( x)  1  1  cos( x)
2
10. 1+ 2(ln( x))  3 ln( x)  2  ln( x )
21. ln(x2–1)=
11. lg( x 2  1)  lg( x 2  1)
ln 2 ( x 2  1)  ln( x 2  1)
12. 2 cos( x)  1  1  2sin 2 ( x)

6.3 Equazioni contenenti espressioni in valore assoluto
Ricordiamo che la funzione modulo è così definita:
 x se x  0
x 
 x se x  0



Dalla definizione si evince, che valgono le seguenti identità:

x  x 2 =max{–x,x} xR (18)

xy  x y x,yR

Inoltre assegnato un numero reale m0, valgono le seguenti relazioni:
x  m se e solo se x=  m
in particolare:
x  0 se e solo se x=0
Assegnata un’equazione, in cui compaiono due o più espressioni in valore assoluto, si
procede come segue:
 si studiano le variazioni di segno di ogni espressione in modulo
 in corrispondenza ad ogni variazione, si scrive l’equazione data, esplicitando i
moduli
 le soluzioni dell’equazione assegnata, sono date dall’unione delle soluzioni dei
sistemi suddetti.
Consideriamo ad esempio l’equazione:

x 2  4  3  x  x  5  7x  0

costruiamo la tabella che ci dà le variazioni di segno delle espressioni in modulo:

–5 –2 2 3
   
2
x –4
3–x
x+5

Figura 4

Quindi le soluzioni dell’equazione data, sono date dall’unione delle soluzioni dei
seguenti sistemi:



 x  5
 2
( x  4)  (3  x )  ( x  2)  7 x  0
 5  x  2 e 2  x  3
 2
( x  4)  (3  x )  ( x  2)  7 x  0
 2  x  2
 2
 ( x  4)  (3  x)  ( x  2)  7 x  0
x  3
 2
( x  4)  (3  x)  ( x  2)  7 x  0
Vediamo un altro esempio:

x 2  1 sin( x ) =0

costruiamo la tabella che ci dà le variazioni di segno delle espressioni in modulo:

–1 0 1
  
x
2
x –1

Figura 5

seguenti sistemi:
 x  1
 2
( x  1) sin ( x)  0
 1  x  0
 2
 ( x  1) sin( x)  0
0  x  1
 2
 ( x  1) sin ( x )  0
x  1
 2
( x  1) sin( x)  0



Vediamo un ultimo esempio:

x2  4  2 x  x  1  x 1  2 x  3  x2  1

si studiano le variazioni di segno, rispettivamente delle funzioni:
x2  4
2 x  x 1  x 1

2x 3
si costruisce la tabella che descrive le variazioni di segno delle espressioni in modulo:

–2 –3/2 –1 0 3/2 2
     
x2–4
2 x  x  1  x 1

2x 3

Figura 6

seguenti sistemi:
 x  2 e x  2

 2
 x  4  2 x  x  1  x  1  (2 x  3)  x 2  1

 2  x  3 / 2 e 3 / 2  x  2


 ( x 2  4)  2 x  x  1  x  1  (2 x  3)  x 2  1

 3 / 2  x  3 / 2


 ( x 2  4)  2 x  x  1  x  1  (2 x  3)  x 2  1

L’analisi fatta ci mostra che in generale un’equazione contenete espressioni in valore
assoluto, si riconduce alla soluzione di più sistemi.
Vediamo un caso particolare. Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali, e
consideriamo l’equazione:
f ( x)  g ( x) (19)



Per quanto suddetto segue che le soluzioni della (19) sono date dall’unione delle
soluzioni dei sistemi:
 g ( x)  0  g ( x)  0
 e 
 f ( x )  g ( x)  f ( x)   g ( x)
E nel caso particolare:
f ( x)  m

con m0, le soluzioni sono date da:
f(x)=  m
Concludiamo facendo osservare, che per l’identità (18), ogni equazione contenente
espressioni in modulo, può essere ricondotta ad un’equazione irrazionale. Tuttavia
quest’ultimo metodo non viene mai usato, poiché esso riconduce a equazioni
irrazionali, i cui procedimenti di risoluzione, sono indubbiamente meno standard di
quelli adoperati per la risoluzione delle equazioni contenenti espressioni in valore
assoluto.

Esercizi

1. 3x  2  2 x 35. sin( x )  cos( x )  1  0

2. x 2  1  3 36. 2 sin 2 x  1

3. ( x  1) 2  x( x  4)  3( x  1)  2 3
37. sin 2 ( x  1)  –2( 3 +1)sin(x–
2
4. x 2  2 x  3  0
1)+ 3 =0
2
5. x  3  x  4  x  ( x  3)( x  1) +
x
38. 4 cos 2  cos x  1  2  0
9x=3 2
6. x 2  3  x 2  4  2 x  x  3( x  1) + 39. x sin x  1  0

9x=3 46. 2tg2 x +3 tg (x) –1=0

7. x  x  1  x 2  x 40. 3 sinx)– cos(x ) =0

41. 4 sin(x) +cos(x)=0



8. x 2  3  x  x 2  4  2 x + 42. cos(x ) +2cos(x)=0

x  3 x  1  1  9x  3 43. 6sin2(x)– 3 sin(x) cos(x ) –cos2(x)=0

2 44. sin4 x –4sin2(x)cos2 x +3cos4(x)=0
9. ( x  1)  x
45. (1+ 3 )sin2(x)–( 3 –1)sin x cos x –
2
10. ( x  1)  x
1=0
11. ( x  1) 2  ( x  3) 2 + 3
46. x 3  3 x 2  x  27  x  3
( x 2  16  8 x) 2  x 2  1  x  3
47. x 2  3x  2  2 x  1
12. 7 x  2 x
48. 2 x  5  x 2  3 x  2
13. 2 2 x  3  2 x  2 x  0
49. x  25  x 2  1
14. 2 2 x  3  2 x  2 x  0
50. x 2  8 x 0
15. 4 x  3  2 x  2 2 x  3  2 x  2 x 1  0
51. 2x  8  x  5  x  3
x x x 1
16. 4  3  2 x  22x  3  2 2 0
52. x 1 1 2x  2  x2

53. 3 2 x  1  x2  x  0
17. ln x  0

18. ln 25  x 2  1 54. 1  x  2 x 2  x  3 1

19. ln 25  x 2  1 55. 5 x  4   x  2 2 0

20. ln( x 2  1)  1  2 ln( x) – x2 1 x 1
56.  1  0
2 3
ln( x  3)  1  0
57. 3 x  4  x  2
2
21. ln( x  x  2)  1  2 ln( x  x ) –
58. 2  x  x 0
ln  x  3  3  1  1
59. lg x  lg( x 2  1)  lg x  1
22. ln ( x  1) 2  ln x  1  1
60. 1+ 2 ln 2 ( x 2  1)  3 ln( x 2  1)  2 =



23. ln x  ln( x)  ln x  0 ln x 2  1
1
24. sin( x)  61. ln( x 2  1)  ln 2 ( x 2  1)  ln x 2  1
2
1
25. cos( x ) 
2
62. 4 x  7  2 x  19  7 x  1
1
26. sin x 
2
63. 2 7 x  1  1  7 2 x  7 x  7
1
27. sin x  1 
2 64. 7 x  1  1  7 2 x  7 x  7
1
28. cos( x ) 
2 65. 2 cos( x)  1  1  2 sin 2 ( x)
1
29. cos x  66. 2 sin( x)  1  1  2 sin 2 ( x)
2
3 67. cos 2 x  2 sin x  1  0
30. cos x 2  1 
2
31. tg ( x)  1 68. 1  2 sin ( x )  3  4 cos 2 ( x)

x  
32. tg  1 69. sin x    sin x  cos x  2
2  4
70. 2cos(x)–1=
33. tg x  1
2 cos( x )  1  1  cos( x )
2 x
34. 2 cos    sin( x )  2 =0
 2

6.4 Equazioni fratte
Siano f=f(x)e g=g(x) funzioni reali. Si dice equazione fratta (in forma normale):
f ( x)
0 (20)
g ( x)
per il secondo criteri d’equivalenza tale equazione è equivalente al sistema:
 g ( x)  0

 f ( x)  0



Se l’equazione fratta non è data in forma normale mediante ovvie operazioni la si
riporta in tale forma.

Esercizi

x 1 1 1
1. 1 31. 
x3 x 2 x
x 2  5x  6
2. 0  x 3  47 
2
x  3 x  10 32. ln(1  x)  ln  
 (2  x )(4  x ) 
 
x 2  5x  6
3. 2
0 33. 2 ln( 2 x  1)  ln( x  2)  ln(5  2 x)
x  7x  6
2
34. 3ln(x–2)>ln(x)+ln(x2–14)
x  7 x  12
4. 0 35. ln 3  2 x  ln(3  2 x)  2 ln(3) =
x 2  7x  8
1  5x 1  5x 2 ln 2 x  1
5. 
1  5x 1  5 x 36. log(2x–1)+log(3x–8)–log(x)–log(x–
x2 1 2)=log(5)–log(3)
6. 0
x 1
ln 2 ( x )  1
37. 1
2x  1 ln 2 ( x)  ln( x)  6
7. 2
x3
 2x  1 
x3 38. log 2  30
8. 2  x 
x5
39. 2 log( x)  log( x  1)  log x
x 2x  1
9.  1
4 3  x 2  10 x  16 
40. log 10 

 1

 x 1 
x2 x
10.   3x
x  1 2x  3  x 2  5x  4 
41. log 10  2 
 x  5x  6   0
2x  1 x 2  1  
11.   5x
2z  1 x x2
42. x lg( x 2  1)  0
12.
1
3
x4 e sin ( x )
x 1 2 x2
43. e x 30



x 2  2x
1 x3 ( x 2  1)(lg( e x )  2)
13. 2   44. 0
x 4 x x e 
x
2 2
 ex  2

x2  x  2 x  x 1
14. 1 45. 0
ln x
x2 e 3

x 2  1 2x 2  1 x3 x2  4
15.   2 46. 0
x 1 x 1 x 1 ln( x)  1

2 5 4 3 1
16.    47. 1
x  3 x  3 x x 1 sin( x)

4  x2 2  x2 48.
1
 1
17.  2
x 4  2x 2  1 x2  1 cos( x)

x 8  17 x 4  16 1
18. 0 49.  1
x 10  242 x 5  243 tg ( x)

x4 1 1
50.  cos( x)  1
1 cos( x)
19. 25 x2 
1 x 5 2 sin( x )  1
2x 51. 0
2 cos( x)  2
1
20. x   x 1 2 sin( x)  2
x 52. 0
2 cos( x )  1
x
21. 1 2 sin ( x)  1
x6 53. 0
3tg ( x)  1
1
22. x  1 
x 1 tg ( x)  3
54. 0
2 sin( x )  1
23. 3 x  2  x  2 =
tg ( x)  2  3
16 55. 0
tg ( x)  1
3x  2  x2
2 sin x  1  cos( x)
x 1 56. 0
24. 1 cos 2 x  1
x 5 x5



x 1 2 sin x  1  cos( x)
25. 3 x  1  5 x  1  57. 0
3 x  1  5x  1 cos 2 x  3sin( x)  1
x2  4 x  3
26. 0 ln 2 (e x  1)  2 ln( e x  1)  1
2x  3  x 1 58. 0
lg 2 ( sin( x))  3
2 x 1 x 3
27. 1  sin 2 ( x)  1 
x4 x2 59. 
 sin x
 0

 e 2 
2x  1
28. 2 sin( x)  cos 2 ( x)
x3 60. 0
sin( x)
x  1 3x  6
29.  1 tg 4 ( x )  tg 2 ( x)
2 3 61. 0
25
(x  3)
3
30. x  2  x   0 tg x 2tg x
x e e
62. 0
1  e sin (ln( x ))



7 Complementi sulle equazioni trigonometriche

7.1 Equazioni simmetriche in sin e cos
Un’equazione trigonometrica in sin(x) e cos(x) si dice simmetrica, se questa non
cambia di forma scambiano sin(x) con cos(x) e viceversa. Per risolvere questo tipo di
equazioni si procede come segue:

 si pone x  y 
4
 si applicano le formule di addizione e sottrazione e la formula fondamentale
sin2(y)+cos2(y)=1. Si ottiene così un’equazione del tipo (14)

 si sostituisce nelle soluzioni di quest’ultima y  x  e si ricavano quindi le
4
soluzioni dell’equazione di partenza

Esercizi

1. 2sin(x)+2cos(x)–sin(x)cos(x)=1 7. sin(x)+cos(x)+sin(x)cos(x)=1
2. 2 sin3(x)+ 2 cos3(x)+1=0 8. 2(2 3 –1)[cos(x)+sin(x)+
3. 3sin(x)+3cos(x)–5sin(x)cos(x)=3 2sin(x)cos(x)]–11=0
4. sin(2x)+2 2 (sin(x)+cos(x))=5 9. ( 3 –1)(sin(x)+cos(x))–2sin(2x)=0
5. sin(x)+cos(x)–sin(x)cos(x)–1=0 10. sin(x)–cos(x)+2 2 sin(x)cos(x)=0
6. sin(x)+cos(x)–2sin(x)cos(x)=1

7.2 Equazioni trigonometriche non tipiche
Abbiamo già detto che non esistono norme di carattere generale, per la risoluzione
delle equazioni trigonometriche. Gli esercizi esposti qui di seguito sono delle
equazioni trigonometriche che non rientrano fra quelle tipiche finora trattate, o per lo
meno non vi rientrano direttamente, nel senso che per risolverle, bisogna applicare



opportunamente uno o più volte, le varie formule trigonometriche e cercare così di
ricondurle a equazioni aventi una forma risolvibile ovvero a equazioni tipiche.

Esercizi

3  x
1. cos(x)–sin(x)tg(x)= 22. tg ( x)  tg    2
3  2
1  x
2. 4sin(x)–cos(x)cotg(x)= 23. sin( x)  2 cos 2   =
2  2
2   x  x 
3. sec(x)tg(x)= 3  sin   cos  
3
  2  2 
3
4. tg2(x)(1–sin2(x))= cos(2 x ) 3
4 24. 
cos( x)  sin( x) 2
5. 3sec2(x)+2tg(x)=3
sin( x) cos( x)
6. 2(sin4(x)– cos4(x))=1 25. 
1  cos(2 x) 1  cos(2 x)
1
7. cosec2(x)–3cotg2(x)=
3  2(1  tg 2 ( x)) 
26. 3 cos ec 2 ( x ) 1  2 =
     2  tg ( x) 
8. tg  x    6tg  x    3
 4  4 5
1 =0
  1  cos 2 ( x )
9. tg  x    2tg ( x )  3
 6 tg (2 x )
27. 1
10. 3cos(2x)–5 3 cos(x)+6=0 cot g ( x)
11. 1+cos(2x)=3cos2(x)–sin2(x)  sin( x)  2 cos( x )  4
2 2 28. (tg ( x)  1)
  =
 3
12. 16sin (2x)+4cos (x)=15  cos( x) 
 x 1  x
13. 3tg    cos( x )  3  3tg  
 2 2
 2
14. 2cos(x)+3sec(x)=7  x
1  tg 2  
15. 2sin(x)+3cosec(x)=4 2 2

16. cotg2(x)+4cos2(x)=6 29. cos3(x)– 3 cos2(x)–(sin2(x)+sin(x)–

1)cos(x)+ 3 sin(x)=0



1  2 cos( x)  x 1  cos( x )  x
17.  tg 2   30.  3tg 2  
1  cos( x)  2 1  cos( x)  2
1  cos( x )  x sin( x)  x
18.  tg 2   31.  3tg 2  
1  cos( x)  2 1  cos( x)  2
19. 4(sin(x)–2cos(x))2=13–8sin(2x) sin( x)  x
32.  3tg 2  
 x 1  cos( x)  2
20. 4 sin( x )  tg    3
 2 sin( x)  sin (5 x) sin(3 x)
33. 
 x cos( x)  cos(5 x)  x 5 
21. 4 cos( x )  tg    3 cos sin x 
2  2 2 



8 Esercizi di vario tipo

1. x3+x2–2=0 60. tg(x)–tg(2x)=sin(x)
2. x4–6x2+8=0 61. tg(x)tg(3x)=1
3. x  3  x  1  0 62. 3tg 2 ( x)  4tg ( x)  3  0

4. x  1  x 2  3 63. ln( x)  ln 2 ( x )

5. x x  2 x  1  0 64. ln( x  1)  ln x 2  1
3
6. x  2 x(1  x )  0 ln( x ) 1
65. 
7. x 2  1  x  x  1 ln( x)  12 2

x  1 2x  3 x 2  ex
8.  66. ln 2
4 3 x

2x  1 ln 2 ( x)  5 ln( x)  6
9. 3 67. 0
x2 lg 10 ( x  1  x ) 2

7x  3 3 15
10.    x 2  10 x  16 
7(2 x  3) 4( x  2) 28( x  2) lg 10   1
 x 1 
68.   0
x2  x ln ln( 2 x  5) 
11. 1
x
1
69. lg 10 x  1  lg 10 2  lg 10 ( x  7)
x 3 2
12. 3
x3  x  4
70. ln 
 x  1   ln(2)  ln 3 x  2 –  
x3 1  
13. 
2x  1 2
ln  x 2 
1  2x
14. 3 1
x2 71. lg 2
( x)  lg 2 ( x )  2
3
x2  x2  1
15. 1
x2  1
2
72. ln(a  1)  ln   2
 2   ln (a  1) x  
 
1 con aR
16.  2x  1  2
2x



17. x 2  x  1  x  3 ln x  ln( 2)
73. 2
ln(15  4 x )
18. 3 x  x 2  2 x  1
74. lg10 (64  2  3 x )  lg 10 (5  3  x ) +
x 1
19.  1 lg 10 (9)
x2  4
20. ( x  3)( x  4)  ( x  1)( x  2) lg 10 ( x 3  56)
75. 3
lg 10 ( x  2)
2x  1 1
21.  0
x 1 x  3 1
76. lg 1 (4 x)  2 lg x    lg x (4)
 x
22. 3  4 x  x x
x2
1
x 2  3x  1 77. lg 1 (4 x)  2 lg x  lg x (4)
23.  x 1 x
x2  4 x

24.
x 1
 x  x 1 
78. sin tg x 2  1   1 2
x 1

  1 
3
25. 5
x 1
 1 79. cos tg x 2
x 1 2
1
26. 5
2x  1
1
80. sin  
x 1 
2
x
 1 
x 1 81. sin (2 x)
 tg ( x )  tg ( x )   1

27. 3 2  
x 1
  2
x2  9 82. cos( x)  cos  x  
28. 5  1 2  2
16  x 2
83. 2sin(x)–5cos(x)?5
29. 1  x 2  5 x  6  x 84. 2sin(x)–cos(x)=2
30. x 2  4 x  5  x 2  4 x  21 85. 8cos(x)+2sin(x)=4+ 3
2 2
31. x  8 x  15  x  x  2  4 86. 2cos2(x)+sin2(2x)=2
87. cos(x)cos(4x)=cos(2x)cos(3x)
x  1  4x  3
32. 1 88. sin(5x)–sin(2x)=sin(3x)
x  1  4x  3
89. sin(6x)–sin(4x)=2sin(x)
90. sin(8x)+sin(4x)=2cos(2x)



1 x 91. sin(7x)–sin(3x)=2sin(2x)
33. x 1 x
x 92. cos(4x)–cos(2x)=sin(x)

34. 6  x  x 1  7 93. cos(5x)–cos(3x)=sin(4x)
94. cos(6x)+cos(2x)=2cos(4x)
35. 2 x  1  5  9  4 x
95. 2sin(x)+2cos(x)–4sin(x)cos(x)=1
2x
36. x  1  1
x 1 96. cos(x)+sin(x)–2 2 sin(x)cos(x)=0

3 5 97. sin(x)+cos(x)–2( 2 –1)sin(x)cos(x)–
37. 
2x  3  1 2x  3  1 1=0

2x  1 x3  
38.  1 98. sin x    sin( x )
x3 2x  1  3

x7 3 x7 x   x
39.  2 99. sin 2     cos 2  
x7  x7 2 4  2

2  x  x
40. 2 x  1  1  100. 2 sin 2    sin   1  0
2 2
x  2x  1
1 101. 4sin2(x)–2 3 sin(x)cos(x)–
41. 1
x x x 2 2cos2(x)–1=0
102. sin2(x)–4 3 sin(x)cos(x)+
2x x
3 3 6
42. 2 x x
1 cos2(x)+2=0
2  42
 x 2 5 x 1
103. /3+ 3 )sin2(x)+
2  64
43. 0
32 x  5  3 x  6 ( 3  1)sin(x)cos(x)+2cos2(x)–3=0

x 2 1 104. sin(4x)+sin(x)=0
1 2
  3  x
44.
2 0 105. sin 2 ( x)  cos 2    1
1 1 2
2x

2 2x 106. coa( x)  3sin( x)  1
1 4
  x
2 2x
2 x 107. 1  cos( x)  sin 
45. 0  2
3 2x
 3  2 2 x 1
 x
108. 1  cos( x)  2 cos 2  
2



2 2 x  3  2 x 1  8 109. cos(2 x )  cos( x )
46. 0
3 x
110. sin(2 x)  cos( x )
z 2x
2 2
47. x
0 2 sin 2 ( x)  sin ( x )  1
3 3 111. 0
cos( x)  2 sin 2 ( x)  1
48. (e x  1)(2e 2 x  5e x  3)  0
1 sin( x)
112.  ( 3  1)
49. 3 2  x  31 x  21 x  2 2 x cos 2 ( x) cos( x)
2
x  2
50. x x 1  ( 3  1)  0

51. (2  3 x ) 2  2  3 x  2(9 x  3 x 1 )  19 113. sin(2 x )  cos x  0

52. 5 2 x 1  4  2 2 x  2  x  5 x 1 tg ( x)  sin( x)  cos( x)  1
114. 0
tg (2 x)  3tg ( x)
53. log 2 ( x)  5 log 2 ( x)  6  0
2
115. tg(x)tg(2x)=1
2
x 4
54. ln 1 116. tg 2 ( x ) cos 2 ( x)  3sin 2 ( x) –
x
x2  2 x sin( x ) cos( x)  3 cos 2 ( x )  0
55. ln 2
2 cos(2 x)  cos( x)  1
117. 2
56. ln x  2  x  2 cos(2 x)

2
57. ln x  2  2 tg 2 ( x )  1
cos( x)
2tg ( x) 118. 0
58. cos( x)  3 cos( x )  sin 2 ( x)  3
1  tg 2 ( x )
1
59. 3tg(x)–2cos(x)=0 119.  sin 2 ( x)  sin( x)
2


Equazioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (18)

Similar to Equazioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

Similar to Equazioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano] (20)

More from santi caltabiano

More from santi caltabiano (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (8)

Equazioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]