1. El rol de la resolución de
problemas en la enseñanza y
aprendizaje de las
Matemáticas
Santiago Vicente
2. ÍNDICE
1. Resultados Pisa
a) Resultados en matemáticas y lengua
b) Una posible justificación
2. Aprendizaje de las matemáticas y de la resolución de
problemas
a) Perspectiva evolutiva
b) Un modelo de comprensión para la resolución de problemas
Problemas de estructura aditiva.
Otros tipos de problemas:
Tipos de problemas de estructura multiplicativa.
Tipos de problemas algebraicos.
Tipos de problemas realistas.
c) Qué hacer cuando surgen dificultades. Propuesta de
intervención
3. Algunas recomendaciones
5. Una posible explicación: qué evalúa PISA y qué se enseña en las aulas
Competencia Matemática según PISA: “la aptitud de un individuo para identificar y
comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, alcanzar
razonamientos bien fundados y utilizar y participar en las matemáticas en función de las
necesidades de su vida como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo”
Isaac, de 15 años, quiere organizar una salida al cine con dos amigos de su misma edad durante la
semana de vacaciones escolares. Las vacaciones empiezan el sábado, 24 de marzo, y terminan el
domingo, 1 de abril.
Isaac preguntó a sus amigos qué días y a qué horas podrían ir al cine. Recibió las siguientes respuestas.
Federico: Tengo que quedarme en casa el lunes y el miércoles para practicar música de 14:30 a 15:30
Sebastián: Tengo que ir a casa de mi abuela
los domingos, de modo que no puede ser en
domingo. Ya he visto Pokamin y no quiero
verla otra vez.
Los padres de Isaac insisten en que sólo
vaya a ver películas recomendadas para su
edad y en que no vuelva a casa andando.
Ellos llevarán a los chicos a sus casas
siempre que sea antes de las 22 horas.
Isaac mira las horas de comienzo de las
películas de la semana de vacaciones. Ésta
es la información que encuentra.
6. 1.b.- Informe PISA: una posible explicación
Tomado de: A.A.V.V. (2004). Tres
de Primaria. Propuesta didáctica 6
(primer ciclo de Primaria). Madrid:
Anaya
7. 450 soldados deben ser transportados a su lugar de entrenamiento. En cada
autobús pueden entrar 36
soldados.¿Cuántos autobuses serán necesarios?
450 : 36 = 12.5 13
Greer, 1993 (alumnos de secundaria); Verschaffel, De Corte & Lassure (1994) (alumnos de 5º de
E.P.)
8. Un ejemplo extremo: el problema del capitán
IREM de Grenoble (1980): estudio con 97 niños de 7 a 9 años
“En un barco hay 20 cabras y 15 vacas. ¿Cuál es la edad del capitán?”
¿? 20+15=35
21
76
9. Reglas implícitas que gobiernan las aulas de
primaria
2. Todo problema presentado por el maestro o por el libro de texto puede
resolverse y tiene sentido.
3. Cada problema tiene una única respuesta correcta, y ésta es precisa y
numérica.
4. La solución de cada problema puede y debe obtenerse ejecutando una o
más operaciones aritméticas con los números del problema, y casi con toda
seguridad con todos ellos.
5. La tarea puede realizarse con las matemáticas que han aprendido como
estudiantes, en la mayoría de los casos aplicando los conceptos, fórmulas, y
algoritmos matemáticos expuestos en las clases más recientes
6. La solución final, e incluso el resultado intermedio, implica números
“limpios” (generalmente números enteros pequeños)
7. El problema por sí mismo contiene toda la información necesaria para
generar la interpretación matemática correcta y llegar a la solución del
problema, de modo que no debe buscarse información extraña.
8. Finalmente, las personas, objetos, lugares y razonamientos son diferentes
en los problemas de matemáticas de la escuela que en las situaciones del
mundo real, por lo que no hay que preocuparse demasiado si la situación
propuesta por el problema viola los conocimientos previos o las intuiciones
basadas en las experiencias cotidianas.
(De Corte y Verschaffel, 2005; Gerofsky, 1996; Lave, 1992; Reusser y Stebler, 1997a; Schoenfeld, 1991).
10. 2
Aprendizaje de las
matemáticas y de la
resolución de problemas
11. 2.a.- Aprendizaje de las matemáticas y de la resolución
de problemas
Co
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o:
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ip ios
ye
str
ate
gia
s
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
s
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E sq
12. Esquemas protocuantitativos
Esquemas de razonamiento que permiten establecer juicios de cantidad sin
atender a la numerosidad
E. P. de comparación
asignar etiquetas lingüísticas a la comparación de tamaños: mayor, menor,
más, menos, más alto…, lo que permite hacer juicios de comparación sobre
cantidades de materil físico
E. P. de incremento/decremento
razonamiento sobre cambios en las cantidades cuando se les añade o quita
algún elemento (si tengo tres juguetes y me dan otro tendré más que antes)
sin necesidad de ver los objetos en su estado anterior y posterior
E. P. de parte/todo
reconocer que cualquier “pieza” puede ser dividida en partes más pequeñas;
que el “todo” es mayor que las “partes”; y que las partes se pueden
recombinar para hacer el todo. Primer conocimiento de la propiedad aditiva
de las cantidades.
13. Principios de conteo
• Correspondencia: se trata de etiquetar cada elemento de un conjunto una
vez y sólo una. Este principio implica dos procesos que han de coordinarse:
partición y etiquetación.
• Cardinalidad: establece que la última de las etiquetas de la secuencia
numérica representa el cardinal del conjunto, la cantidad de elementos que
tiene el conjunto.
• Orden estable: este principio indica que para contar es vital establecer una
secuencia coherente, aunque la secuencia no sea ni numérica ni
convencional.
• Abstracción: implica que los principios anteriores se pueden aplicar a
cualquier tipo de conjunto.
• Irrelevancia: hace referencia a que el orden por el que se comienza a
enumerar los elementos es irrelevante para su designación cardinal.
14. 2.b.- Un modelo de comprensión
para la resolución de problemas.
CONOCIMIENTOS
Modelo de la situación
Integrar todas las ideas en un esquema
Construir ideas globales
Integrar las proposiciones
Construir las proposiciones
Reconocer las palabras
FIJAR PLANIFICAR SUPERVISAR EVALUAR
META
15. El Mediterráneo se muere. Texto 1
La situación de las aguas del Mediterráneo es calificada por los expertos como
alarmante y se habla incluso de la inminente muerte de este histórico mar por
diversas razones.
Con una superficie equivalente a cinco veces España y una profundidad media de
1400 metros, sus aguas bañan las costas de 18 países, recibiendo
permanentemente la basura de la actividad urbana e industrial de más de 150
millones de personas. A ello hay que añadir los 100 millones de turistas que se
trasladan a sus riberas en el verano, cifra que puede duplicarse en los próximos
veinticinco años. Estas aguas están irremisiblemente condenadas a convertirse en
una cloaca inmunda, dado que sólo se renuevan a través del estrecho de Gibraltar.
Este hecho determina que nuestro mar no pueda con los millones y millones de
toneladas de residuos tóxicos y altamente contaminantes que llegan a sus aguas
-petróleo, mercurio, plomo, y cuyos efectos son extraordinariamente peligrosos.
Además, los vertidos de materia orgánica y fertilizantes están favoreciendo el
desarrollo de grandes colonias de algas que segregan sustancias viscosas e
irritantes que causan problemas a bañistas y pescadores.
16. El Mediterráneo se muere. Texto 2
Muchas veces pensamos que los ríos, las montañas, están ahí y que estarán para
siempre. No obstante, cada uno de esos accidentes geográficos puede modificarse y resultar
con el tiempo irreconocibles o, incluso, desaparecer del todo. Es lo que puede ocurrir con el
Mar Mediterráneo. Un mar lleno de historia que en el momento actual tiene un alto riesgo de
desaparecer debido a la situación de sus aguas. Una situación que es calificada por los
expertos como alarmante. ¿Qué es lo que puede llevar al deterioro de sus aguas y por lo tanto
a su desaparición? Veamos algunas de sus causas.
Una de ellas es que sus aguas están recibiendo permanentemente las basuras de la
actividad urbana e industrial de más de 150 millones de personas. A ello hay que añadir los 100
millones de turistas que se trasladan a sus riberas del verano, cifra que puede duplicarse en los
próximos 25 años. Y toda esta acumulación de basura en un mar relativamente pequeño cuyas
superficie equivale a cinco veces España y con una profundidad media de 1400 metros, cuyas
aguas bañan las costas de 18 países. Poco puede extrañar la conclusión de los expertos: esta
agua están irremisiblemente condenadas a convertirse en una cloaca inmunda.
A esto hay que añadir una segunda causa: que el Mediterráneo sólo renueva sus
aguas a través del Estrecho de Gibraltar. Una pequeña vía de renovación de apenas 13
kilómetros de ancho que convierte a nuestro mar en algo muy parecido a un lago inmenso casi
cerrado. Un lago que no puede absorber los millones y millones de toneladas de residuos
tóxicos y altamente contaminantes que llegan a sus aguas (petróleo, mercurio, plomo), y cuyos
efectos son extraordinariamente peligrosos
Además, hay un tercer factor que índice negativamente sobre la vida del mar: los
vertidos de materia orgánica y fertilizante está favoreciendo el desarrollo de grandes colonias
de algas que segregan sustancias viscosas e irritantes que causan problemas a bañistas y
pescadores.
17. El Mediterráneo se muere. Texto 2
Muchas veces pensamos que los ríos, las montañas, están ahí y que estarán para
siempre. No obstante, cada uno de esos accidentes geográficos puede modificarse y resultar
con el tiempo irreconocibles o, incluso, desaparecer del todo. Es lo que puede ocurrir con el
Mar Mediterráneo. Un mar lleno de historia que en el momento actual tiene un alto riesgo de
desaparecer debido a la situación de sus aguas. Una situación que es calificada por los
expertos como alarmante. ¿Qué es lo que puede llevar al deterioro de sus aguas y por lo tanto
a su desaparición? Veamos algunas de sus causas.
Una de ellas es que sus aguas están recibiendo permanentemente las basuras de la
actividad urbana e industrial de más de 150 millones de personas. A ello hay que añadir los 100
millones de turistas que se trasladan a sus riberas del verano, cifra que puede duplicarse en los
próximos 25 años. Y toda esta acumulación de basura en un mar relativamente pequeño cuyas
superficie equivale a cinco veces España y con una profundidad media de 1400 metros, cuyas
aguas bañan las costas de 18 países. Poco puede extrañar la conclusión de los expertos: esta
agua están irremisiblemente condenadas a convertirse en una cloaca inmunda.
A esto hay que añadir una segunda causa: que el Mediterráneo sólo renueva sus
aguas a través del Estrecho de Gibraltar. Una pequeña vía de renovación de apenas 13
kilómetros de ancho que convierte a nuestro mar en algo muy parecido a un lago inmenso casi
cerrado. Un lago que no puede absorber los millones y millones de toneladas de residuos
tóxicos y altamente contaminantes que llegan a sus aguas (petróleo, mercurio, plomo), y cuyos
efectos son extraordinariamente peligrosos
Además, hay un tercer factor que índice negativamente sobre la vida del mar: los
vertidos de materia orgánica y fertilizante está favoreciendo el desarrollo de grandes colonias
de algas que segregan sustancias viscosas e irritantes que causan problemas a bañistas y
pescadores.
18. El Mediterráneo se muere. Texto 2
Muchas veces pensamos que los ríos, las montañas, están ahí y que estarán para
siempre. No obstante, cada uno de esos accidentes geográficos puede modificarse y resultar
con el tiempo irreconocibles o, incluso, desaparecer del todo. Es lo que puede ocurrir con el
Mar Mediterráneo. Un mar lleno de historia que en el momento actual tiene un alto riesgo de
desaparecer debido a la situación de sus aguas. Una situación que es calificada por los
expertos como alarmante. ¿Qué es lo que puede llevar al deterioro de sus aguas y por lo tanto
a su desaparición? Veamos algunas de sus causas.
Una de ellas es que sus aguas están recibiendo permanentemente las basuras de la
actividad urbana e industrial de más de 150 millones de personas. A ello hay que añadir los 100
millones de turistas que se trasladan a sus riberas del verano, cifra que puede duplicarse en los
próximos 25 años. Y toda esta acumulación de basura en un mar relativamente pequeño cuyas
superficie equivale a cinco veces España y con una profundidad media de 1400 metros, cuyas
aguas bañan las costas de 18 países. Poco puede extrañar la conclusión de los expertos: esta
agua están irremisiblemente condenadas a convertirse en una cloaca inmunda.
A esto hay que añadir una segunda causa: que el Mediterráneo sólo renueva sus
aguas a través del Estrecho de Gibraltar. Una pequeña vía de renovación de apenas 13
kilómetros de ancho que convierte a nuestro mar en algo muy parecido a un lago inmenso casi
cerrado. Un lago que no puede absorber los millones y millones de toneladas de residuos
tóxicos y altamente contaminantes que llegan a sus aguas (petróleo, mercurio, plomo), y cuyos
efectos son extraordinariamente peligrosos
Además, hay un tercer factor que índice negativamente sobre la vida del mar: los
vertidos de materia orgánica y fertilizante está favoreciendo el desarrollo de grandes colonias
de algas que segregan sustancias viscosas e irritantes que causan problemas a bañistas y
pescadores.
20. EL MEDITERRÁNEO SE MUERE
porque
Sus aguas están Sólo renueva sus Los vertidos de materia
recibiendo aguas a través del orgánica y fertilizante
permanentemente las Estrecho de Gibraltar está favoreciendo el
basuras de la actividad desarrollo de grandes
urbana e industrial de colonias de algas
muchas personas
21. Primer contacto formal de los alumnos con los problemas:
estructura aditiva
Tipo de problema Ejemplo
De cambio Pedro tenía algunos metros de cable. Compró 75 metros de
cable más. Después de comprar el cable tenía 117
metros. ¿Cuántos metros de cable tenía al principio?
De comparación Juan y Pedro han ido a una fiesta de cumpleaños. Juan tiene
8 caramelos y Pedro 5 menos. ¿Cuántos tiene Pedro?
De combinación Luis y Andrés tienen 9 caramelos entre los dos, 3 de ellos
son de Luis. ¿Cuántos tiene Andrés?
De igualación Luis y Pedro han ido a una fiesta de cumpleaños. Juan tiene
8 caramelos. Si le dieran 2 más tendría los mismos que
Luis. ¿Cuántos tiene Luis?
22. TIPO DE PROBLEMAS EXPLICACIONES Y ENUNCIADO TIPO
3 CA1(cambio-añadir) CAMBIO 1. Se parte de una cantidad inicial que se incrementa mediante una acción
de añadir. La pregunta se refiere a la cantidad resultante.
1º E.P Juan tenía 5 canicas. En una partida ganó 3 canicas. ¿Cuántas canicas tiene ahora
5 ¿?
Juan?
3 CA2 (cambio-quitar) CAMBIO 2. Se parte de una cantidad inicial, que sufre un decremento. La pregunta
hace referencia al conjunto final.
Juan tenía 8 canicas. En una partida perdió 3 canicas. ¿Cuántas canicas tiene ahora
8 ¿? 1º E.P
Juan?
¿? CA 3 (cambio-juntar) CAMBIO 3. Se parte de una cantidad inicial, que sufre cambio de cantidad
desconocida y que da como resultado un conjunto final conocido y mayor que el
2º-3º E.P conjunto inicial. La pregunta hace referencia al conjunto de cambio.
5 8 Juan tenía 5 canicas. En una partida ganó algunas canicas. Ahora Juan tiene 8
canicas¿Cuántas canicas ganó Juan?
¿? CA 4 (cambio-separar) CAMBIO 4. Se parte de una cantidad inicial, que experimenta un cambio de cantidad
desconocida y que da como resultado una cantidad conocida y menor que la inicial. La
pregunta hace referencia al conjunto de cambio.
5 8 Juan tenía 8 canicas. En una partida perdió algunas canicas. Ahora Juan tiene 5
2º-3º E.P
canicas. ¿Cuántas canicas perdió Juan?
3 CA 5 (cambio-juntar CAMBIO 5. Se parte de una cantidad inicial desconocida, que se incrementa con un
conjunto de cantidad conocida, y que da como resultado otra cantidad conocida
Juan tenía algunas canicas. En una partida ganó 3 canicas. Ahora Juan tiene 8 canicas.
¿? 8 3º EP
¿Cuántas canicas ganó Juan?
CA 6 (cambio-separar) CAMBIO 6. Se parte de una cantidad inicial desconocida, que se decrementa con un
5
conjunto de cantidad conocida, y que da como resultado otra cantidad conocida
3º EP Juan tenía algunas canicas. En una partida perdió 3 canicas. Ahora Juan tiene 5
¿? 8 canicas. ¿Cuántas canicas perdió Juan?
23. TIPO DE
ENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONES
PROBLEMAS
¿+? COMPARACIÓN 1.
8 En este tipo de problemas conocemos el conjunto de referencia y el de comparación, y la pregunta alude al conjunto
diferencia en términos de “cuantos más” elementos tiene el conjunto comparado respecto al referente.
5
“Juan tiene 8 canicas. Pedro tiene 5 canicas. ¿Cuántas canicas tiene Juan más que Pedro?”
3º EP
¿-? COMPARACIÓN 2.
8
En este caso también se conoce el conjunto de referencia y el de comparación, y la pregunta alude al conjunto diferencia,
5 pero en este caso en términos de “cuántos menos” elementos tiene el conjunto comparado respecto al de referencia.
“Juan tiene 8 canicas. Pedro tiene 5 canicas. ¿Cuántas canicas tiene Pedro menos que Juan?”
3º EP
¿? 3+ COMPARACIÓN 3.
En este tipo de problemas se conoce el conjunto referencia y la diferencia respecto al conjunto comparado indicando cuántos
5 más tiene, y se pregunta por éste conjunto comparado.
“Pedro tiene 5 canicas. Juan tiene 3 canicas más que Pedro. ¿Cuántas canicas tiene Juan?”
1º-2º E.P.
8 3- COMPARACIÓN 4.
En los problemas de comparación 4 se conoce el conjunto de referencia y la diferencia respecto al conjunto comparado
¿ señalando el número de elementos menos que tiene, y se pregunta por el conjunto comparado.
? Juan tiene 8 canicas. Pedro tiene 3 canicas menos que Juan. ¿Cuántas canicas tiene Pedro?
1º-2º EP
8 3+ COMPARACIÓN 5.
Los problemas de comparación 5 tienen como cantidades conocidas el conjunto comparado y el de diferencia apuntando
¿ cuantos elementos más tiene el de referencia, y pregunta por ese conjunto de referencia.
? “Juan tiene 8 canicas. Juan tiene 3 canicas más que Pedro. ¿Cuántas canicas tiene Pedro?”
3º-4º E.P,
COMPARACIÓN 6.
¿? 3-
Este último tipo de problemas de comparación se caracteriza porque las cantidades conocidas son el conjunto comparado y
la diferencia expresada en términos de cuándos menos tiene el conjunto comparado respecto al de referencia, habiendo que
5 determinar ese conjunto de referencia.
“Pedro tiene 5 canicas Pedro tiene 3 canicas menos que Juan. ¿Cuántas canicas tiene Juan?” (3º-4º E.P.)
24. TIPO DE
ENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONES.
PROBLEMAS
COMBINACION 1.
3 ¿ En los problemas de combinación 1 las dos partes se reúnen
? para formar un todo.
Juan tiene 3 canicas.
5 Pedro tiene 5 canicas
Cuántas canicas tiene entre los dos?
1º E.P.
COMBINACIÓN 2.
3 8 En este segundo tipo de problemas de combinación se conoce
el todo y una de las partes, y se pregunta por la otra.
Juan y Pedro tienen 8 canicas entre los dos.
¿? Juan tiene 3 canicas
(o Pedro tiene 5 canicas).
¿Cuántas canicas tiene Pedro (o Juan)
2º-3º E.P.
25. TIPO DE
ENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONES
PROBLEMAS
¿+ IGUALACIÓN 1 (IG1):
8 En este primer tipo de problemas se conoce el conjunto mayor y menor, y se pregunta por la diferencia en términos
de cuánto hay que añadir al comparado para igualar los dos conjuntos.
5
“Juan tiene 8 canicas. Pedro tiene 5 canicas. ¿Cuántas canicas le tienen que dar a Pedro para tener las
mismas que Juan?”
IGUALACIÓN 2 (IG2) :
8 ¿-? En los problemas de igualación 2 también se conoce el conjunto mayor y el comparado, y se pregunta por la
diferencia en términos de cuánto hay que quitar al mayor para que los dos conjuntos sean iguales.
5 “Juan tiene 8 canicas. Pedro tiene 5 canicas. ¿Cuántas canicas le tienen que quitar a Juan para que tenga las
mismas que Pedro?”
¿? +3 IGUALACIÓN 3 (IG3):
En estos problemas se conocen el conjunto menor y la diferencia que habría que añadirle para igualarlo con el mayor,
5 que en este caso es el desconocido.
“Pedro tiene 5 canicas. Si le dieran 3 canicas más tendría las mismas que Juan. ¿Cuántas canicas tiene
Juan?”
-3 IGUALACIÓN 4 (IG4 )
8
Estos problemas proponen como cantidades conocidas el conjunto mayor y la diferencia que habría que quitarle a
¿ éste para igualarlo con el menor, que en este caso, es la cantidad desconocida.
? “Juan tiene 8 canicas. Si le quitaran 3 canicas tendría las mismas que Pedro. ¿Cuántas canicas tiene Pedro?”
+3 IGUALACIÓN (IG5):
8 En este tipo de problema se conoce el conjunto mayor y la diferencia que habría que añadirle al menor, que es el
desconocido, para que ambos fueran iguales.
¿
“Juan tiene 8 canicas. Si Pedro tuviera 3 canicas más tendría las mismas que Juan. ¿Cuántas canicas tiene
?
Pedro?”
¿? -3 IGUALACIÓN ( I G6):
En estos problemas se conoce el conjunto menor y la diferencia existente respecto al conjunto mayor, que habría que
5 quitar al mayor para que ambas cantidades fueran iguales.
“Pedro tiene 5 canicas. Si a Juan le quitaran 3 canicas tendría las mimas que Pedro. ¿Cuántas canicas tiene
Juan?”
26. UN MODELO PARA LA EL PROCESO DE RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS
TEXTO DEL PROBLEMA
MODELO DE LA SITUACION
ESQUEMA MODELO DEL PROBLEMA
PARTE-TODO ESTRUCTURA
PROBLEMA
Parte 1
Total
Parte 2
Conjunto Conjunto Conjunto 3
1 2
ELECCIÓN DE LA OPERACIÓN
CÁLCULO MENTAL Y/O
ESCRITO
EXPRESIÓN DE LA SOLUCIÓN
27. TEXTO DEL PROBLEMA
Un bodeguero quiere renovar las cubas de vino porque este año ha comprado más
uvas. En las cubas de madera que tiene caben 158 litros de vino. Pero en estas
cubas de madera caben 26 litros menos que en unas nuevas cubas metálicas.
¿Cuántos litros de vino caben en una cuba metálica?
MODELO EPISÓDICO DE LA SITUACION:
El bodeguero quería renovar sus cubas; este año tenía más uvas; (Necesitaba cubas más
grandes porque este año tenía más uvas; hasta ahora tenía cubas de madera; las cubas de
madera eran viejas…
ESQUEMA PARTE-TODO
Si en las cubas de madera (P1)
caben 26 litros (P2) menos que
en las de metal (T), entonces en
las de metal (T) caben 26 litros MODELO DEL PROBLEMA
(P2) más que en las de madera
(P1)
ESTRUCTURA
T – P2 = P1, luego P1 + P2 = T
COMPARACIÓN
Parte 1
Total
Parte 2
Conjunto Conjunto Conjunto
referencia comparación diferencia
Cubas de Cubas metálicas En las cubas de
madera madera caben 26
158 litros 184 litros litros menos que
en las de metal
ELECCIÓN DE LA OPERACIÓN
Hay que sumar
CÁLCULO MENTAL Y/O ESCRITO
158 + 26 = 184
EXPRESIÓN DE LA SOLUCIÓN
En las cubas de metal caben 184 litros
29. Otros tipos de problemas
Situaciones multiplicativas
“Grupos iguales”
Hay 3 estanterías en la habitación de Rosa. En cada estantería hay 4 libros.
¿Cuántos libros hay en total?
Situación asimétrica: multiplicando
multiplicador
Dos situaciones de división
por reparto
por agrupamiento
“Comparación multiplicativa”
Sofía tiene cuatro juguetes. Elena tiene 3 veces más juguetes que Sofía.
¿Cuántos juguetes tiene Elena?
Función escalar: no intercambio de factores
Conjunto referente: multiplicando
“n veces más que”: multiplicador
“Combinación multiplicativa” o “producto cartesiano”
Alexia tiene 4 pantalones y 3 blusas. ¿Cuántas combinaciones diferentes
puede hacer con las prendas?
Situación simétrica: roles asignados
A cada factor son intercambiables
30. PROBLEMAS “REALISTAS”
Razonamiento Ejemplos
Juntar o separar conjuntos que Juan tiene 5 amigos y Pedro tiene 6 amigos. Juan y Pedro deciden hacer una fiesta
pueden tener elementos juntos. Ellos invitan a todos sus amigos. Todos los amigos están presentes.
comunes ¿Cuántos amigos hay en la fiesta?
Roberto y Alicia van a la misma escuela. Roberto vive a 17 kilómetros de la escuela
y Alicia a 8 km. ¿A qué distancia vive Roberto de Alicia?
Considerar elementos Roberto ha comprado 4 tablones de 2,5 m. cada uno. Cuántos tablones de 1 m
relevantes que no aparecen pueden sacar de estos tablones?
explícitamente en el problema
Un hombre quiere tener una cuerda los suficientemente larga para unir dos postes
separados entre si 12 metros, pero solo tiene trozos de cuerda de 1,5 metros.
¿Cuántos trozos necesitaría juntar para hacer la cuerda lo suficientemente larga para
unir las estacas?
Sumar o restar 1 al resultado Si la escuela de Villaseco se inauguró el 1 de enero de 1964 y estamos en el año
2007, ¿cuántos años lleva abierta la escuela?
Interpretar el resto de una 450 soldados deben ser transportados a su lugar de entrenamiento. En cada autobús
división no exacta pueden entrar 36 soldados ¿Cuántos autobuses serán necesarios?
El abuelo da a sus 4 nietos una caja con 18 globos para repartir entre ellos.
¿Cuántos globos le toca a cada uno?
Decidir una solución de Juan corre los 100 metros en 17 segundos. ¿Cuánto tardará en correr 1 kilómetro?
proporcionalidad directa o no
Este recipiente se está llenando con un grifo a un ritmo constante. Si el agua tiene
una profundidad de 4 cm tras 10 segundos, ¿cuánta profundidad tendrá después de
30 segundos? (este problema se acompaña por un recipiente de forma cónica)
31. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA
Tipo de problema Ejemplos
Una hormiga gigante está aterrorizando a la ciudad de San Francisco. Viaja hacia el este en dirección a
De razón Detroit, que está a dos mil cuatrocientas millas de distancia, a una velocidad de cuatrocientas
millas por hora. El ejército se percata de esto una hora después y envía un helicóptero al oeste
desde Detroit a seiscientas millas por hora para interceptar a la hormiga. Si la hormiga salió a las
2 p.m. a qué hora colisionarán la hormiga y el helicóptero? (Tomado de Nathan, Kintsch y
Young, 1992, p. 349)
Un señor compró un solar cuadrado en el centro del pueblo de 36 metros de lado para hacerse una
De geometría vivienda. Pagó 112.750 euros el metro cuadrado. ¿Cuánto dinero ha invertido en el solar?
Un juego consiste en tirar dos dados. Si la suma de sus caras es mayor o igual a 10 se ganan 30
De estadística céntimos, si está comprendida entre 7 y 9 se ganan 10 céntimos. y para cualquier otro resultado
no se gana nada. ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que la ganancia esperada de la
banca sea de 50 céntimos?
32. 2.c. Qué hacer cuando surgen dificultades.
Propuesta de intervención
QUÉ HACER: ELEMENTOS DEL PROGRAMA DE INSTRUCCIÓN
1.- Ayudas textuales
2.- Ayudas lingüísiticas
3.- Ayudas figurativas
4.- Ayudas metacognitivas
33. QUÉ HACER: TIPOS DE AYUDAS DEL PROGRAMA INSTRUCCIONAL
1. Ayudas textuales (reescritura)
Normal Reescrito
Juan y Pedro tienen 9 canicas entre los dos Juan y Pedro tienen 9 canicas entre los dos
Juan tiene 3 canicas 3 de estas canicas pertenecen a Juan
¿Cuántas canicas tiene Pedro? El resto pertenecen a Pedro
¿Cuántas canicas tiene Pedro?
Normal Reescrito
Juan gana 5 canicas en una partida Al principio Juan tiene algunas canicas
Ahora tiene 8 canicas Después gana 5 canicas en una partida
¿Cuántas canicas tenía al principio? Al final tiene 8 canicas
¿Cuántas canicas tenía al principio?
Reescrito
Normal Juan tiene más canicas que Pedro
Juan tiene 8 canicas Juan tiene 8 canicas
El tiene 5 más que Pedro El tiene 5 más que Pedro
¿Cuántas canicas tiene Pedro? ¿Cuántas canicas tiene Pedro?
34. QUÉ HACER: TIPOS DE AYUDAS DEL PROGRAMA INSTRUCCIONAL
1. Ayudas textuales (reescritura)
Normal Reescrito
Juan y Pedro tienen 9 canicas entre los dos Juan y Pedro tienen 9 canicas entre los dos
Juan tiene 3 canicas 3 de estas canicas pertenecen a Juan
¿Cuántas canicas tiene Pedro? El resto pertenecen a Pedro
¿Cuántas canicas tiene Pedro?
Normal Reescrito
Juan gana 5 canicas en una partida Al principio Juan tiene algunas canicas
Ahora tiene 8 canicas Después gana 5 canicas en una partida
¿Cuántas canicas tenía al principio? Al final tiene 8 canicas
¿Cuántas canicas tenía al principio?
Reescrito
Normal Juan tiene más canicas que Pedro
Juan tiene 8 canicas Juan tiene 8 canicas
El tiene 5 más que Pedro El tiene 5 más que Pedro
¿Cuántas canicas tiene Pedro? ¿Cuántas canicas tiene Pedro?
35. 2. Representación lingüística del problema
Juan gana 5 canicas en una partida. Ahora tiene 8 canicas. ¿Cuántas canicas tenía
al principio?
Lo que sé Lo que no sé
al principio Juan algunas ¿cuántas canicas tiene al principio?
después gana 5
al final tiene 8
3. Representación figurativa del problema (modelo del problema)
5
¿? 8
36. 4. Razonamiento (planificación de la solución)
Cambio: ¿Tenía más al principio? ¿Tiene más ahora?
Pregunta clave
Combinación: ¿Es una de las partes o el total?
(¿hay que sumar
o restar?) Comparación/igualación: ¿Quién tiene más?
5. Revisión/evaluación/supervisión (ayudas metacognitivas)
Ayudas autorregulatorias más generales:
· Introducir el resultado en el conjunto vacío del esquema y comprobar si es correcto.
· Ir supervisando la ejecución de las restantes ayudas
- ¿Cómo sé si he articulado correctamente las distintas frases del problema?
- ¿He rellenado bien el esquema?
- Si no ¿en qué me tengo que fijar para hacerlo correctamente?
38. Recomendaciones
1. Es conveniente plantear los problemas de manera que no
fomenten en los alumnos la creencia de que cualquier problema
de matemáticas puede resolverse simplemente sumando,
restando, multiplicando o dividiendo, o combinando esas
operaciones
2. Sería recomendable eliminar de los libros de texto aquellos
problemas que permitan estrategias superficiales de resolución.
3. Es necesario variar los tipos de problemas a los que se enfrentan
los alumnos incluyendo problemas más desafiantes, problemas
con datos superfluos y problemas a los que les falte algún dato
que tengan que inferir. De esta manera los alumnos aprenderán,
por un lado, que no todos los datos incluidos en el problema son
necesarios para su resolución, y por otro, que en ocasiones es
necesario encontrar los datos que no se proporcionan
explícitamente en el enunciado del problema.
4. Conviene evitar aquellos problemas en los que las cantidades no
se corresponden con la vida real.
5. Sería positivo presentar como legítimas y válidas respuestas a los
problemas diferentes a las respuestas numéricas exactas
(estimaciones, aproximaciones....)
6. En necesario generar ocasiones para que los niños inventen sus
propios problemas
39. El rol de la resolución de
problemas en la enseñanza y
aprendizaje de las
Matemáticas
Santiago Vicente
