Introducción a los Sistemas no lineales
SISTEMAS NO LINEALES
CLASE I
Prof. Virginia Mazzone- Prof. Mariana Suarez- Prof. Pablo
Muñoz
Matemática Avanzada

Introducción a los Sistemas no lineales
1 Introducción a los Sistemas no lineales
Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Matemática Avanzada

Introducción a los Sistemas no lineales
Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Modelos de SNL
Trabajaremos con sistemas dinámicos modelados por un
conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de
primer orden acopladas entre sí, representados por la EDO
vectorial de primer orden
ẋ = f(t,x,u)
donde x ∈ Rn es el vector de estados y u ∈ Rp es el vector de
entradas (de control).
A veces consideraremos también una ecuación de salida
y = h(t,x,u)
Donde y ∈ Rm es un vector de variables de interés.
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Sistemas no forzados
Muchas veces la entrada u no aparece explícitamente en el
sistema, ya sea porque es cero o porque fue especificada
como una función del estado u = γ(x) (control por
realimentación).
En este caso se tiene la ecuación no forzada.
1 Sistemas estacionarios o invariantes en el tiempo
ẋ = f(x) (1)
2 Sistemas inestacionarios o variantes en el tiempo
ẋ = f(t,x) (2)
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Definición (Puntos de Equilibrio)
Un concepto importante relacionado con la ecuación de estado
(1) es el de puntos de equilibrio.
Definición
Un punto x = x∗ en el espacio de estado es un punto de
equilibrio (PE) de (1) si tiene la propiedad de que cuando el
estado inicial del sistema es x∗, el estado permanece en x∗ en
todo tiempo futuro.
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Puntos de Equilibrio (cont.)
Los PE de (1) son las raíces de la ecuación
f(x) = 0
Un PE puede ser aislado, o puede existir un continuo de PE.
Ejemplo: Sistema lineal.
El sistema
ẋ = Ax+Bu
tiene como único punto de equilibrio a x = 0
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Insuficiencia de la linealización
El análisis de la linealización de un SNL no es suficiente ya
que:
1 la linealización sólo predice comportamiento local.
2 se pierde la riqueza de la dinámica del SNL : escape en
tiempo finito, ciclos límite, múltiples PE aislados,
oscilaciones, caos.
A lo largo del curso aparecerán algunos de estos fenómenos, y
estudiaremos en particular los ciclos límite.
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo 1: El péndulo
Mediante la segunda ley de Newton se puede escribir la
ecuación de movimiento en la dirección tangencial:
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Ejemplos
Se llega a la ecuación
mlθ̈ = −mgsenθ −klθ̇,
donde
m: masa de la bola
l: longitud del brazo
θ: ángulo entre vertical y brazo
g: aceleración de la gravedad
k:coeficiente de fricción.
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo 1 (cont.):
Se pueden escribir las ecuaciones de estado como sigue.
Variables de estado: x1 = θ, x2 = θ̇
Ecuaciones de estado:
ẋ1 = x2
ẋ2 = −
g
l
senx1 −
k
m
x2
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo 1 (cont.):
Puntos de equilibrio:
Haciendo ẋ1 = ẋ2 = 0, los PE son
(nπ,0), n = 0,±1,±2,...
Observemos que los únicos PE no triviales son (0,0) y
(π,0), ya que el resto son repeticiones de ellos.
Físicamente:
(0,0) → PE estable
(π,0) → PE inestable
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo 2: Sistema masa-resorte
Por Ley de Newton
mÿ+Ff +Fr = F
donde Ff :fuerza resistiva de fricción
Fr: fuerza de recuperación del resorte
F : fuerza externa.
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Sistema masa-resorte. Continuación.
Suponemos que Fr es solo función del desplazamiento y,
entonces
Fr = g(y), g(0) = 0
Dependiendo de F y Ff y Fr pueden obtenerse varios modelos
de segundo orden para este sistema.
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Ejemplos
Expresiones para la fuerza de recuperación del resorte
Fr = g(y)
ky pequeños desplazamientos
k(1−a2y2)y | ay |< 1 grandes desplaz., resorte suave
k(1+a2y2)y grandes desplaz., resorte duro
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Ejemplos
Expresiones para la fuerza de fricción
Un ejemplo de fuerza de fricción es la fuerza viscosa o
amortiguamiento del aire, que suele modelarse como una
función no lineal de la velocidad.
Fv = h(ẏ), con h(0) = 0
Para velocidades pequeñas puede suponerse un
comportamiento lineal, entonces
Fv = cẏ
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Puntos de equilibrio
Ejemplos
Ejemplos (cont.): Una ecuación para el sistema masa-
resorte
Ecuación de Duffing
Combinando un resorte duro con amortiguamiento lineal y una
fuerza externa periódica F = Acosωt se tiene
mÿ+cẏ+ky+ka2
y3
= Acosωt
→ estudio de la excitación periódica de SNL
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Ejemplos (cont.): Otra ecuación para el sistema masa-
resorte
Otro ejemplo de fuerza de fricción es la fricción estática o de
Coulomb. Este tipo de amortiguamiento aparece cuando la
masa se desliza sobre una superficie seca.
Cuando la masa se encuentra en reposo, existe una fuerza de
fricción estática Fs que actúa paralela a la superficie. Está
limitada por los valores
±µs mg
donde 0 < µs < 1 y µs es el coeficiente de fricción estática.
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Ejemplos (cont.): Otra ecuación para el sistema masa-
resorte
En ausencia de fuerza exterior ( F = 0), no hay movimiento ya
que la fuerza de fricción estática compensa la fuerza de
recuperación del resorte.
Una vez que comienza el movimiento aparece una fuerza de
fricción de deslizamiento de magnitud µk mg que se opone al
movimiento.
µk es el coeficiente de fricción cinética, que suponemos
constante.
Modelo ideal para la fuerza de fricción
Fd =



−µkmg para ẏ < 0
Fs para ẏ = 0
µkmg para ẏ > 0
(3)
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Ejemplos (cont.): Otra ecuación para el sistema masa-
resorte
Combinando resorte lineal con amortiguamiento viscoso,
fricción estática y fuerza externa nula se tiene
mÿ+cẏ+ky+η(y,ẏ) = 0
Donde
η(y,ẏ) =



−µkmg sign(ẏ) para | ẏ |> 0
−ky para ẏ = 0 y | ẏ |≤ µsmg/k
−µsmg sign(y) para ẏ = 0 y | y |> µsmg/k
(4)
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Ejemplos (cont.): Otra ecuación para el sistema masa-
resorte
Ecuaciones de estado:
Tomando x1 = y y x2 = ẏ se tiene
ẋ1 = x2
ẋ2 = −
k
m
x1 −
c
m
x2 −
1
m
η(x1,x2)
Esta ecuación tiene dos características
Puntos de equilibrio: no aislados (conjunto de equilibrio)
Miembro derecho de la ec. es función discontinua del
estado
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Modelo de Lotka-Volterra
Competencia entre dos especies (conejos y ovejas)
ambas compiten por la misma comida
la cantidad disponible es limitada
se ignoran: predadores, efectos estacionales, otros.
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Modelo de Lotka-Volterra (cont.)
Efectos:
si hubiera una sola especie (modelo logístico)
Ṅ = rN
1−
N
k
Donde N: cantidad de individuos de una especie, r y k
parámetros conocidos.
si están ambas, habrá conflicto: se reduce el crecimiento
de ambas especies.
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Modelo de Lotka-Volterra (cont.)
El siguiente modelo incorpora estas hipótesis
ẋ = x(a−x−by)
ẏ = y(c−x−y)
donde a, b, c son parámetros positivos.
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Modelo de Lotka-Volterra (cont.)
Consideremos el sistema para los valores de los parámetros
a = 3, b = 2, c = 2.
ẋ = x(3−x−2y)
ẏ = y(2−x−y)
Analizamos los puntos de equilibrio
ẋ = 0
ẏ = 0
Los PE son (0,0) , (0,2) , (3,0) , (1,1).
SNL planar, con equilibrios múltiples que pueden
analizarse por medio de su retrato de fase
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Las ecuaciones de Lorenz
Teoría del Caos (1963): trabajo de Lorenz.
Se intentaba dar una explicación y predicción global del
clima atmosférico.
Las ecuaciones que modelaban la atmósfera son
aproximaciones a las ecuaciones de Navier-Stokes.
Se llega a las siguientes ecuaciones diferenciales.
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Modelos
Puntos de equilibrio
Ejemplos
Las ecuaciones de Lorenz (cont.)
ẋ = σ(y−x)
ẏ = rx−y−xz
ż = xy−bz
con σ, r, b parámetros definidos positivos.
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Puntos de equilibrio
Ejemplos
Caos
Los SNL pueden presentar un fenómeno llamado caos, lo que
significa que su comportamiento es extremadamente sensible
a las condiciones iniciales.
La característica esencial del caos es que la salida del sistema
no es predecible, aunque poseamos un modelo exacto del
SNL.
Observemos que los sistemas caóticos son determinísticos.
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