1. Apresentação
E ste trabalho constitui um roteiro básico de estudo. Portanto, não
substitui os títulos bibliográficos específicos de Mecânica Clássica
voltados para cursos de graduação nas Universidades brasileiras.
Acreditamos na sua utilidade como fonte de pesquisa teórica introdutória da
disciplina, a ser suplementada nos livros relacionados no final do texto,
dentre outros. Destina-se, principalmente, aos alunos do curso de Física
(bacharelado e licenciatura) da Universidade Estadual do Ceará. Além
disso, as notas aqui reunidas poderão ser aproveitadas, a qualquer tempo,
por aqueles que pretendam rever os tópicos conceituais ou explorar alguns
dos mais interessantes problemas de aplicação da mecânica.
O intuito maior foi o de reunir uma lista bem diversificada de questões
relativas ao movimento para que o aluno-leitor desenvolva a sua
capacidade analítica e adquira habilidade no emprego dos princípios e
teoremas que formam o alicerce desse importante ramo da Física.
Conhecimentos básicos de análise vetorial e cálculo diferencial e integral
são requisitos para uma compreensão satisfatória dos processos
relacionados ao movimento da partícula e a completa aplicação das leis de
Newton.
Reparos, críticas e sugestões para o aprimoramento da proposta serão
bem-vindos.
Professor Anísio Meneses
anisiomeneses@secrel.com.br
março/2004
1

2. Mecânica Básica I (cód. CT242)
Créditos: 6
Semestre: _____/_____
Programação:
Início: ___/___/_____
Término: ___/___/_____
Avaliações individuais:
1ª. : ___/___/_____
2ª. : ___/___/_____
3ª. : ___/___/_____
4ª. : ___/___/_____
Entrega de relatórios (listas de exercícios):
1º. : ___/___/_____
2º. : ___/___/_____
3º. : ___/___/_____
4º. : ___/___/_____
5º. : ___/___/_____
6º. : ___/___/_____
7º. : ___/___/_____
8º. : ___/___/_____
Seminário: ___/___/_____
2

3. Sumário
página
Introdução......................................................................................... 5
Grandezas físicas e medição........................................................... 10
Elementos de análise vetorial........................................................... 17
Conceitos fundamentais da mecânica.............................................. 28
Cinemática da partícula.................................................................... 32
As leis de Newton da dinâmica................................................ 78
Trabalho e energia........................................................................... 121
Leis de conservação......................................................................... 133
Impulso e quantidade de movimento................................................ 157
Colisões............................................................................................ 165
Listas de exercícios
1ª. Lista de exercícios................................................. 175
2ª. Lista de exercícios................................................. 177
3ª. Lista de exercícios................................................. 180
4ª. Lista de exercícios................................................. 185
5ª. Lista de exercícios................................................. 191
6ª. Lista de exercícios................................................ 195
7ª. Lista de exercícios................................................ 198
8ª. Lista de exercícios................................................ 205
3

4. 4

5. Introdução
A Mecânica se dedica ao estudo das condições de movimento de corpos
submetidos à ação de forças. Nessa simples definição, pelo menos dois
termos (movimento e força) somente se justificam a partir da necessidade
de sistematização de fenômenos muito comuns no cotidiano – os objetos se
aproximam ou se afastam uns dos outros. Corpos se movimentam quando
mudam de posição (E o que significa essa posição? Ela tem caráter
absoluto ou relativo?). Aclarar o significado disso é o nosso primeiro desafio.
Quando caminhamos, “somos empurrados” pelo chão para frente ou
“estamos empurrando” a Terra para trás? É o aluno que se dirige à escola
ou a escola que se dirige ao aluno? É o veículo que colide com o poste ou é
o poste que colide com o veículo? Percebemos que diversos e intrigantes
fenômenos (e novas questões) permeiam todos os acontecimentos, desde
aqueles mais prosaicos. E o que causa tudo isso? Qual o agente
responsável por toda essa dinâmica? Podemos especular, formular algumas
hipóteses, ensaiar conclusões. Não vemos qualquer força, porém qualquer
pessoa é capaz de reconhecer que elas “existem”, produzem efeitos visíveis
(alguns, assombrosos).
O tempo é outro conceito desafiador (perturbador, às vezes) – ele sempre
“anda” para frente; não raro, assume conotação um tanto quanto subjetiva
(o meu tempo, o seu tempo...). Os acontecimentos nunca se desenvolvem
instantaneamente – há sempre uma duração para qualquer ato, por mais
rápido que seja.
Para uma boa análise e descrição do fenômeno, precisamos avaliar,
quantificar. Em se tratando de movimento, é necessário medir o tempo, o
espaço, a velocidade, a aceleração, a força, um sem-número de variáveis.
Por outro lado, os instrumentos auxiliares à percepção humana são, todos
eles, limitados. E não há qualquer expectativa de, em algum tempo futuro,
se tornarem absolutamente precisos. Com efeito, tudo é relativo: depende
do modelo, do observador e de seus mecanismos de avaliação.
É nessa perspectiva de compreender fenômenos que nascem diversos
conceitos1, muitos dos quais não absolutamente naturais. Afinal, são
diversas as maneiras que temos de ver e encarar o mundo. Modelos se
1 Conceito é a representação de um objeto pelo pensamento, por meio de suas
características gerais. É também a formulação de uma idéia por meio de palavras (conforme
Dicionário Aurélio).
5

6. sucedem, adquirem maior sofisticação, porém ainda estão longe de
reproduzir todas as singularidades de um sistema natural.
Podemos, numa síntese, propor: não sabemos o que preside, de fato, o
funcionamento da natureza, como são preparadas suas ações e respostas,
porém já dispomos, hoje, de modelos que funcionam satisfatoriamente... A
verdade maior: ainda conhecemos muito pouco – não raro, somos
surpreendidos com algumas “anomalias” de comportamento – e aí somos
instados a rever conceitos, formular novas relações funcionais, enfim,
conhecer melhor a lógica do sistema natural. Quando um modelo
supostamente “consolidado” deixa de oferecer uma resposta consistente
com a realidade, ou seja, quando a previsão não se confirma, não significa o
seu absoluto fracasso – isso até permite conhecer a abrangência e as
limitações do modelo. Afinal, não é a natureza que tem de se ajustar à
nossa limitada capacidade de compreensão; esta é que deve ser explorada
e aproveitada de forma permanente e contínua, para oferecer predições
confiáveis. Poucas respostas na ciência são definitivas. Sempre, diante de
um fenômeno, estaremos formulando perguntas. Basicamente, em
modelagem, uma se destaca: Quantas e quais são as variáveis
intervenientes mais relevantes? A rigor, é impossível listar todos os fatores
que participam ou que concorrem para uma certa ocorrência. Isso, porém,
não chega a ser um problema, tampouco motivo para desânimo. Importa,
efetivamente, identificar os fatores (as variáveis) mais significativos, os que
causam maior impacto na qualidade e na magnitude do fenômeno.
A incerteza é um conceito humano modernamente acrescentado aos
modelos. Em alguns casos, o máximo que conseguimos alcançar é um
indício da resposta mais provável, o que já é bastante satisfatório, haja vista
a multiplicidade de parâmetros e variáveis presentes. Os bons modelos já
procuram incorporar a estimativa (probabilística) de erro, atenuando o
pretenso caráter determinístico das predições.
Na ciência, e na física de modo particular, trabalhamos com princípios, leis,
modelos e teorias. Chamamos de lei a formulação a respeito de algum tipo
de regularidade da natureza. Freqüentemente, os termos lei e princípio são
empregados com a mesma acepção. Basicamente, leis (ou princípios) são
enunciados ou relacionamentos matemáticos que buscam descrever o
comportamento natural.
Não devemos olvidar que a física é uma construção humana, e se sujeita,
portanto, a todas as limitações da capacidade perceptiva do homem e dos
6

7. instrumentos colocados à sua disposição. Bastante oportuno, então, iniciar o
estudo da mecânica com uma idéia clara dos objetivos e das limitações da
ciência. Certeza é o que se persegue, poucas vezes o que se alcança.
Sistematização
A mecânica costuma ser dividida em duas áreas: a estática, que cuida das
condições de equilíbrio de um corpo em repouso ou em movimento sem
mudança de velocidade, e a dinâmica, destinada ao estudo dos movimentos
de corpos acelerados. A dinâmica compreende a cinemática, que se ocupa
dos aspectos geométricos do movimento, objetivando uma análise
meramente descritiva, e a cinética, voltada para a análise das forças
promotoras de mudanças na velocidade. Na prática, todas essas áreas se
comunicam amplamente e estão amparadas num mesmo conjunto de leis e
princípios. Um bom conhecimento da dinâmica pressupõe um bom
conhecimento da estática, e vice-versa.
Nas páginas seguintes, estaremos dando passos iniciais para a
compreensão dos movimentos (causas e efeitos, simulação e modelagem).
Ênfase é dada, neste trabalho, aos problemas. A teoria é apresentada de
forma resumida, contemplando apenas os tópicos essenciais. Algumas
questões são resolvidas logo após apresentação dos princípios e noções
gerais, para sedimentar a compreensão. As listas mais extensas de
problemas estão colocadas na última parte deste caderno e estão
separadas por tema.
Estas notas estão orientadas à dinâmica da partícula. Num módulo
subseqüente, será abordada a dinâmica dos corpos rígidos, sendo estes
tratados tridimensionalmente, compreendendo os movimentos translacionais
e rotacionais.
Mecânica clássica
A mecânica clássica, ou newtoniana, está fundamentada nas leis propostas
por Isaac Newton, no século XVII. Embora se tenha revelado inapta para
explicar todos os tipos e circunstâncias de movimento, notadamente aqueles
envolvendo massas ou velocidades imensas ou massas extremamente
baixas (partículas no mundo atômico), a mecânica clássica responde
satisfatoriamente aos casos mais comuns do nosso dia-a-dia, de massas e
7

8. velocidades moderadas. A sua evolução, como área do conhecimento, foi
viabilizada a partir de instrumentos de medição do tempo2.
Um breve histórico
Na mecânica clássica, três estudiosos se destacam. O primeiro deles,
Johannes Kepler (1540-1603), utilizando os dados coligidos por Tycho
Brahe, concebeu a primeira descrição matemática do movimento dos
planetas.
Galileu Galilei (1564-1642), com os experimentos utilizando pêndulos e
corpos em queda livre, foi um dos mais notáveis colaboradores para a
construção da moderna ciência, como criador do método experimental,
aliando a hipótese teórica à sua verificação por meio de experiências. Sua
principal obra, sobre o movimento dos corpos, foi publicada em 1634, sob o
título Discorsi e dimonstrazioni matematiche intorno a due nuove science.
Atribui-se, no entanto, a Isaac Newton (1642-1727) a contribuição mais
significativa para o amadurecimento dos princípios da dinâmica.
Sobre Newton
Isaac Newton nasceu na Inglaterra, em 1642, ano da morte de
Galileu Galilei. Diversos avanços na Física e na Matemática são
devidos a Newton: desenvolvimento do binômio de Newton,
criação e desenvolvimento do cálculo diferencial e integral, estudo
dos fenômenos ópticos, concepção das leis da mecânica clássica
e desenvolvimento das idéias acerca da gravitação. Sua principal
obra, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, foi publicada
em 1687 e o consagrou como um dos maiores gênios da história.
Interessante notar que a maior parte de sua obra foi desenvolvida
até os 24 anos de idade. Newton morreu em 1727, quando era
presidente da Real Academia de Ciências da Inglaterra, cargo que
vinha ocupando desde 1703. Até o início do século XX, toda a
Física era baseada e inspirada no trabalho de Newton. Suas
concepções, ainda hoje aplicáveis a um grande número de
fenômenos, foram reformuladas em 1905 por Albert Einstein, em
sua Teoria da Relatividade.
2
Pode-se afirmar que a estática, isoladamente, exibiu avanços bem antes de Newton, haja
vista prescindir da medição da variável tempo.
8

9. Dois avanços significativos, verdadeiramente revolucionários, foram
experimentados no século XX, com o advento da teoria quântica e da teoria
relativística.
O método científico
A formulação de princípios e leis, como fruto de observações sistemáticas e
verificações experimentais, deve seguir uma certa disciplina e metodologia,
logicamente concebida, de forma a se evitarem sofismas e leituras
inconsistentes dos fenômenos. Coube a Galileu, no século XVII, demonstrar
a importância das experiências e medidas precisas para a construção do
saber científico. Até então, era amplamente majoritária a idéia de que
somente o raciocínio filosófico e as concepções aprovadas pelos antigos
pensadores “permitiam” conhecer a verdade.
As duas características marcantes do novo método científico são a
experimentação e a matematização. Com efeito, a ciência só pode avaliar
adequadamente uma teoria se houver condições para a aplicação do
método científico.
Em síntese, o seguinte fluxo procedimental deve ser cumprido na aquisição
de verdade científica3.
3Nem sempre, o cumprimento desses passos leva a uma descoberta ou teoria científica. Em
algumas situações, chegamos a descoberta por acaso, quando estamos pesquisando outras
coisas. É o que se denomina serendipidade.
9

10. Grandezas físicas e medições
Qualquer entidade suscetível de medida é denominadadas grandezas é
significa comparar, cotejar. Em Física, a maioria
grandeza. Medir
dimensional, ou seja, ao seu valor deve estar associada uma unidade de
medida (padrão de referência). Há, porém, algumas grandezas que são
adimensionais, constituindo simples fatores de relacionamento entre outras
grandezas dotadas de dimensão.
Uma importante classificação das grandezas físicas refere-se ao nível de
informações necessárias para que ela esteja completamente caracterizada.
Assim, existem as grandezas escalares e as grandezas vetoriais4. Uma
grandeza escalar requer apenas uma valoração numérica denotando a sua
magnitude. São exemplos de grandezas escalares o tempo, a massa, o
comprimento. As grandezas vetoriais, por sua vez, são esclarecidas desde
que se conheçam a sua intensidade, o seu sentido e a sua direção. São
exemplos de grandezas vetoriais a força, a velocidade, a aceleração.
O sistema internacional de unidades
A existência de diversos padrões de medidas revelou-se inconveniente para
o intercâmbio tecnológico e comercial entre as nações. Motivações
econômicas e comerciais ensejaram a definição de um sistema de unidades
que fosse comum às diversas culturas e sociedades. Temos, hoje, um
conjunto de padrões de medidas amplamente aceito. Esse sistema (SI)5
resultou da XI Conferência Geral da Comissão Internacional de Pesos e
Medidas, realizada em Paris, no ano de 1960. O Brasil oficializou sua
adesão a esse sistema em 1963.
Alguns países desenvolvidos, como os Estados Unidos e a Inglaterra, por
exemplo, ainda nos dias atuais, empregam paralelamente unidades distintas
daquelas definidas no SI. Por isso, o usuário deve estar, portanto, sempre
atento aos fatores de conversão entre unidades. A tendência, no entanto, é
de que as unidades do SI se consagrem como efetivamente universais.
4
A entidade vetor, usada para retratar grandezas vetoriais, é apresentada no capítulo
seguinte. A breve noção de análise vetorial é também ali oferecida.
5 Originalmente, em francês: Système International d’Unités.
10

11. Em várias situações, dada a magnitude do que está sendo mensurado, é
conveniente a adoção de múltiplos (ou submúltiplos) de unidades básicas.
Nesse caso, geralmente são acrescentados prefixos gregos (por exemplo,
mega, quilo, mili, micro, etc.) ao nome da unidade, para compor uma nova
base de comparação.
Grandezas fundamentais
São consideradas fundamentais as seguintes grandezas: comprimento
(distância), tempo, massa, temperatura, intensidade de corrente elétrica,
intensidade luminosa. A partir dessas grandezas, todas as demais
grandezas físicas podem ser expressas.
As três primeiras são de especial interesse no estudo da mecânica. Suas
unidades no SI são, respectivamente, o metro (m), o segundo (s) e o
quilograma (kg), assim definidos:
metro: comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de
tempo de 1/299 792 458 de segundo; o metro padrão é a distância entre duas linhas
paralelas existentes num protótipo de platina iridiada, depositada em Paris, na
temperatura de zero graus Celsius e em condições de sustentação perfeitamente
definidas.
segundo: duração de 9 192 631 770 vezes o período de determinada radiação
emitida, no seu estado fundamental, por um dos isótopos do césio (o nuclídeo césio
133).
quilograma: massa do protótipo internacional constituído por um cilindro de platina e
10% de irídio depositado no Bureau Internacional de Pesos e Medidas (Paris).
Análise dimensional
Adotam-se os seguintes símbolos para expressar a dimensionalidade das
grandezas físicas fundamentais:
Comprimento: L
Tempo: T
Massa: M
Temperatura:
Intensidade de corrente elétrica: I
Intensidade luminosa: Il
11

12. As grandezas apresentadas a seguir, com suas respectivas expressões
dimensionais, são algumas das que serão exploradas neste texto:
1
Velocidade: V L .T
2
Aceleração: A L .T
2
Força: F M . L .T
2 2
Energia: E M . L .T
2 3
Potência: P M . L .T
1
Quantidade de movimento: Q M . L .T
A análise dimensional constitui procedimento valioso para a verificação da
consistência de qualquer formulação matemática de uma grandeza física.
Pelo princípio da homogeneidade dimensional, “toda equação que traduz
um fenômeno físico verdadeiro é, necessariamente, homogênea do ponto-
de-vista dimensional”.
Além disso, de acordo com o teorema de Bridgman (ou de previsão de
fórmulas), “se experimentalmente constatado que uma grandeza física Y
depende apenas das grandezas físicas A, B, C,..., todas independentes
entre si, então X pode ser expresso como o produto de um fator puramente
numérico k por potências , , ,..., das grandezas das quais ele depende”.
Assim, podemos escrever, por exemplo:
X f ( A, B, C,...)
X k. A .B .C ...
Ordem de grandeza
Denominamos ordem de grandeza a potência de 10 mais próxima do valor
da grandeza. A identificação da ordem de grandeza é útil para efeitos
comparativos, além de permitir cálculos expeditos de razoável aproximação.
Alguns exemplos:
- O valor 18 está entre 10 e 100, mais próximo de 10 do que de 100. Logo, a sua
ordem de grandeza é 101.
12

13. - O valor 78 está entre 10 e 100, mais próximo de 100 do que de 10. Logo, a sua
ordem de grandeza é 102.
- O valor 0,0015 está entre 10-3 e 10-4, mais próximo de 10-3 do que de 10-4. Logo, a
sua ordem de grandeza é 10-3.
Notação científica
Com a notação científica, a exibição e a manipulação de valores (grandes
ou pequenos) se tornam mais simples, além de se constituir uma útil
uniformização nos diversos textos da literatura técnica. Isso porque permite
uma rápida comparação baseada na ordem de grandeza.
Nessa perspectiva, qualquer valor numérico deve ser escrito como o produto
de um número entre 1 e 10 por uma potência de base 10. Por exemplo, o
número 2300 seria expresso 2,3x103 (ou 2,3.103).
Algarismos significativos e precisão de medidas
Quando empregamos instrumentos para medir alguma grandeza, a
qualidade da resposta depende do nível de precisão e sensibilidade.
Sempre haverá algum erro (ou incerteza) embutido nessa mensuração.
Basicamente, podem ser destacados três tipos de erros: grosseiros,
sistemáticos ou acidentais. Os primeiros são detectáveis através de análise
uma linha tendencial de comportamento ou em razão de discrepâncias
acentuadas em relação ao esperado (valor médio); os erros sistemáticos,
via de regra, são atribuíveis à deficiência de calibração do aparelho de
medida (se percebidos a tempo, antes do processamento, os dados podem
até ser aproveitados, às vezes pela aplicação de um simples fator de ajuste
ou correção); os erros acidentais, por outro lado, podem ser produzidos por
descuido, negligência, imperícia ou imprudência do operador (daí a
necessidade de treinar bem (e valorizar) as pessoas responsáveis pelo
trabalho de coleta de dados, seja no campo, seja em laboratório).
Uma vez realizadas as medidas, uma dúvida freqüente é sobre quantos
algarismos decimais adotar. Convenciona-se, então, usar, no máximo, uma
casa decimal além da precisão do resultado (um algarismo incerto
duvidoso).
Consideremos, por exemplo, uma medição efetuada com uma régua escolar
de 30cm, em que estão indicadas graduações em centímetros e em
13

14. milímetros. Não é possível, por esse instrumento, alcançar precisão acima
dessa menor medida.
Denominam-se algarismos significativos de uma medida os algarismos
corretos e o primeiro algarismo duvidoso. Uma possível leitura com aquela
nossa régua seria 18,65cm, em que o 1, o 8 e o 6 são algarismos corretos e
o 5, algarismo duvidoso.
Não é razoável exibir-se mais de um algarismo duvidoso.
Para a contagem dos algarismos significativos, devemos observar que o
algarismo 0 (zero) somente assume esse caráter se estiver posicionado à
direita de outro algarismo significativo. Por exemplo, em 0,0053 temos
apenas dois algarismos significativos (o 5 e o 3), já que os zeros não são
significativos. Por outro lado, em 53000 temos cinco algarismos
significativos; pois, nesse caso, também os zeros são significativos.
Dúvidas surgem, com freqüência, quando se promove a conversão de unidades.
Nesse caso, a tendência (aos desavisados) é que apareçam 0 (zero) que não são
significativos. Por exemplo, poder-se-ia expressar 2,6m como 260cm, dando a
impressão de que o algarismo 6 assume, agora, caráter de algarismo correto, o que
é inconsistente. A notação científica é o expediente recomendado para se evitar tal
equívoco. Assim, de fato, 2,6m corresponde a 2,6.102cm; o algarismo 6 é duvidoso
na expressão em metros e assim continua sendo após a conversão de unidade.
Operações com algarismos significativos
Algumas regras básicas devem ser obedecidas nas operações com
algarismos significativos, a fim de não se introduzir uma falsa precisão aos
resultados de cálculo, já que também estes devem ser apresentados apenas
com os algarismos significativos.
i. No resultado das operações de multiplicação e divisão, o
número de algarismos significativos não deve ser superior ao
do de algarismos significativos do número operado de menor
precisão.
Se pretendemos multiplicar os valores 2,34 e 2,6, o resultado deve
ser expresso como 6,1 (ou seja, 6,084 arredondado para uma casa
decimal)
ii. No resultado das operações de adição e subtração, o número
de algarismos significativos não deve ir além da última casa
14

15. decimal ocupada por algarismos significativos em todos os
números operados. Portanto, ao somarmos (ou subtrairmos)
parcelas, devemos verificar qual dessas parcelas apresenta o
menor número de casas decimais, o que servirá de base para
o estabelecimento do número de dígitos do resultado. As
parcelas com número superior de casas decimais serão
convenientemente arredondas.
Seja, por exemplo, a operação soma das seguintes parcelas: 235,87,
82,465 e 0,8 com, respectivamente, duas, três e uma casas decimais
em suas expressões numéricas. O resultado conterá, então, uma
casa decimal. O arredondamento das duas primeiras parcelas
conduz a 235,9 e 82,5. Daí a soma total será 319,2cm.
As regras aqui apresentadas não são absolutas ou definitivas. Há, inclusive,
algumas divergências (não muito relevantes, porém) entre os autores mais
consagrados. Importa, efetivamente, que as operações com números
significativos sejam feitas com critérios razoáveis, não conferindo ao
resultado uma precisão que inexiste.
Oportuno observar, ainda, que valores de constantes presentes em
expressões matemáticas de leis físicas, quando não são resultados diretos
de medidas, não estão sujeitas à contagem de algarismos significativos,
para efeito de operações.
Aplicações:
Problemas resolvidos:
1) Efetuada a medição da distância entre duas cidades, encontrou-se o valor
38,5km. Comente por que não se deve escrever 38500m no lugar da leitura
original.
R.: No número 38,5 temos três algarismos significativos, sendo o 5 algarismo
duvidoso, o que é compatível com o instrumento utilizado na medição. Se
passássemos a expressar a distância pelo número 38500, embora preservando a
lógica da conversão da unidade (já que 1km equivale a 1000m), estaríamos
ampliando o número de algarismos significativos e “transformando” o algarismo
duvidoso 5 em algarismo correto. Note que em 38500 temos cinco algarismos
significativos, sendo o zero mais à direita o “suposto” duvidoso.
15

16. 2) Considere uma experiência para a medição de velocidade, utilizando um
instrumento que oferece 1% de precisão na medida de distância. Observa-
se que uma partícula se desloca vinte centímetros em seis segundos.
Expresse a velocidade.
R.: Calculando a razão entre a distância percorrida e o intervalo de tempo
correspondente, encontramos:
v 3,33...cm / s
A forma de apresentação acima é inadequada. Com efeito, devemos adotar, no
máximo, uma casa decimal além da precisão do resultado. Desse modo, se a
distância é medida com 1% de precisão, temos:
v 3,33 0,03cm / s
Assim, o valor verdadeiro da velocidade está entre 3,30cm/s e 3,36cm/s. Os dois
primeiros dígitos são corretos; o terceiro, duvidoso.
16

17. Elementos de análise vetorial
D efine-se vetor6 como uma entidade matemática dotada de módulo,
direção e sentido. A designação, criada por Willian Hamilton (1805-
1865), deriva do latim e significa transportador. Sua representação
geométrica é feita por um segmento de reta, cujo comprimento corresponde
ao módulo, e uma seta numa das extremidades indicando o sentido da
grandeza que está sendo retratada. Uma importante característica do vetor
é que ele não tem uma posição fixa no espaço; assim, a sua simples
translação (mudança de posição paralelamente a si próprio) não o altera, ou
seja, um mesmo vetor pode ser apresentado em diferentes posições no
espaço e em diferentes sistemas de coordenadas.
Na figura seguinte, as três setas estão representando um mesmo vetor.
A notação vetorial adotada neste texto consiste numa letra com seta

encimada (ex.: a ). Alguns autores preferem apresentar a letra em negrito,
sem a seta (ex.: a). O módulo (comprimento ou intensidade) desse vetor é

denotado por a ou simplesmente a.
Há diversas operações matemáticas das quais vetores participam: eles
podem ser somados, subtraídos ou multiplicados. Não se admite, porém, a
divisão de um vetor por outro vetor. A operação adição (soma ou subtração)
requer que as grandezas envolvidas sejam de mesma natureza (somente
vetor pode ser somado a vetor; somente escalar pode ser somado a
escalar). Subtrair um vetor de outro significa somar a este o oposto daquele.
A multiplicação, por outro lado, consegue associar um vetor a um escalar;
6 A concepção da entidade vetor é posterior ao surgimento da Mecânica Newtoniana,
somente se consolidando no final do século XIX.
17

18. neste caso, o produto de um escalar por um vetor resulta num vetor cujos
módulo e sentido podem ser alterados, porém nunca a direção. O produto
de dois vetores traz como resultado um escalar ou um vetor, conforme a
maneira como se procede: no primeiro caso, também chamado de produto
interno, obtém-se um valor (positivo, negativo ou nulo), enquanto no
segundo, dito produto vetorial, a resposta é um vetor cuja direção é
perpendicular ao plano definido pelos dois vetores que estão sendo
multiplicados.
Vetores unitários
Tanto no sistema cartesiano (retangular) de coordenadas, quanto no
sistema normal-tangencial ou no sistema radial-transversal, podemos definir
vetores unitários em cada direção principal do sistema, o que permite
expressar qualquer outro vetor como combinação linear desses vetores
unitários.
18

19. Notação vetorial cartesiana
Num sistema cartesiano tridimensional, os vetores podem ser expressos em
termos de sua projeção em cada um dos eixos perpendiculares x, y e z.
Assim, por exemplo:
   
a a x .i a y . j a z .k
   
b bx .i by . j bz .k
Soma de vetores
Há diversos processos metodológicos para efetuar a soma (ou subtração)
de vetores. A mais simples, se trabalhamos com a notação vetorial
cartesiana, consiste em adicionar algebricamente as projeções dos vetores
relativas a cada um dos três eixos perpendiculares, associando a soma ao
respectivo vetor unitário, como mostrado a seguir:
19

20.        
a b a x .i a y . j a z .k bx .i by . j bz .k
    
a b (a x bx ).i (a y by ). j (a z bz ).k
Produto escalar de vetores
 
O produto escalar, ou produto interno, dos vetores a e b é o valor
(escalar) obtido por
   
a b a .b . cos
onde o ângulo entre os dois vetores (0 180 ).
Decorre da definição que:
  
i .i 1 j. j 1 k .k 1
  
i.j 0 i .k 0 k. j 0
Portanto:
      
a.b (a x .i a y . j a z .k ).(bx .i by . j bz .k )

a.b a x .bx a y .by a z .bz
   
Observa-se, facilmente, que a b b a , ou seja, o produto escalar é
comutativo.
Na multiplicação de escalar por vetor, vale a propriedade:
     
m.( a.b ) (m.a ).b a.( m.b ) (a.b ).m
O produto escalar goza, ainda, da propriedade distributiva. Significa dizer:
      
a (b c) a b a c
20

21. A operação produto escalar de vetores é importante, por exemplo, para a
definição da grandeza física trabalho, como será visto adiante.
Produto vetorial
O resultado do produto vetorial (ou produto externo) é um vetor
perpendicular ao plano definido pelos dois vetores que estão sendo
multiplicados.
Para identificar a orientação do vetor resultante do produto vetorial, aplica-
se a “regra da mão-direita”.
O módulo do produto vetorial é dado por:
   
a b a . b .sen
 
sendo o ângulo formado entre os vetores a e b (0 180 ).
21

22.   
i j k
 
a b ax ay az
bx by bz
    
a b (a y .bz a z .by ).i (a z .bx a x .bz ). j (a x .by a y .bx ).k
A operação produto vetorial (ou externo) é importante, por exemplo, para o
estabelecimento da grandeza momento angular.
Decorre da definição que:
     
i i 0 j j 0 k k 0
        
i j k j k i k i j
        
i k j j i k k j i
No produto vetorial, vale a propriedade distributiva:
      
a (b c ) a b a c
Por outro lado, é inaplicável a propriedade comutativa. Ou seja:
   
a b b a
   
Porém, com efeito: a b b a
Na multiplicação por um escalar, vale a propriedade:
       
m.( a b ) (m.a ) b a (m.b ) (a b ).m
Lei dos cossenos
  
Sejam os vetores a , b e c , mostrados na figura seguinte.
22

23. Temos as seguintes relações:
  
c a b
  
a c b
Pode ser demonstrado que
2 2 2  
c a b 2. a . b . cos
Lei dos senos
Seja o triângulo dos lados a, b e c , da figura seguinte.
Vale a relação:
a b c
sen sen sen
Derivação e integração de funções vetoriais
- As expressões seguintes são válidas, desde que as funções a(t) e b(t)
sejam suaves e contínuas para todo t.
   
d (a b ) da d b
dt dt dt
   
(a b )dt a.dt b.dt
   

d (a b ) da  db
b a
dt dt dt
   
da b da   db
b a
dt dt dt
23

24. Aplicações:
Problemas resolvidos:
1) Um veículo se desloca 10km na direção nordeste, em seguida 5km na
direção norte, em seguida 15km para leste, em seguida 30km na direção
noroeste, onde pára. Localize esse veículo, após todos os percursos, em
relação a seu ponto de partida.
R.: Consideremos (0,0) as
coordenadas do ponto de partida, o
norte coincidindo com a orientação
positiva de y e o leste, com a
orientação positiva de x.
A posição final do veículo, após os quatro deslocamentos mencionados, é obtida
por:
      
r 5. 2i 5. 2 j 5. j 15 .i 15 . 2 .i 15 . 2 j
  
r 5.(3 2. 2 ).i 5.(1 4. 2 ) j
   
2) Em geral, a b a b . Comente.
R.: O módulo da soma de dois vetores equivale à soma dos módulos desses dois
vetores somente quando o ângulo formado entre eles é nulo. Ou seja, apresentam
ambos a mesma direção e o mesmo sentido. Isso é previsto na lei dos cossenos
(basta lembrar que esta função trigonométrica assume valores no intervalo
1; 1 ).
Portanto, pode-se afirmar que o módulo da soma de dois vetores está situado no
intervalo:
     
a b a b a b
O limite inferior desse intervalo corresponde à situação em que os dois vetores
apresentam a mesma direção, porém sentidos contrários.
24

25.   
3) Considere o vetor c perpendicular a cada um dos vetores a e b .
  
Mostre que c é também perpendicular a m.a n.b , para quaisquer
escalares m e n.
 
R.: Com base no produto vetorial: sec e a são perpendiculares, então
   
c a c .a
 
Similarmente, se c e b são perpendiculares, então
   
c b c .b
  
Fazendo, agora, o produto vetorial de c e m.a n.b e reconhecendo a
distributividade dessa operação, temos:
      
c (m.a n.b ) c (m.a ) c (n.b )
      
c (m.a n.b ) m.( c a ) n.( c b )
      
c (m.a n.b ) m. c . a n. c . b
     
c (m.a n.b ) c (m. a n. b )
  
Seja o ângulo formado entre c e m.a n.b . Temos, então, que:
  
c.(m.a n.b )
sen    1
c . m.a n.b
Daí, 900
  
Portanto, c e m.a n.b são perpendiculares.
     
4) Considere os vetores a .i 6. j e b 3.i 2. j
perpendiculares. Determine o valor de .
 
R.: Sendo perpendiculares a e b , temos que o produto escalar desses vetores é
nulo. Assim:
 
a b 0
.3 ( 6).2 0
Daí: 4
25

26.    
5) Determine o ângulo formado entre os vetores a 2.i 6. j k e
   
b 4.i 3. j 2.k .
R.: O ângulo entre dois vetores pode ser determinado com base o seu produto
escalar, conhecida a relação:
   
a b a .b . cos
Substituindo os valores:
 
a b 2.4 ( 6). 3 1.( 2) 12

a 22 ( 6) 2 12 41

b 42 32 ( 2) 2 29
 
a b
cos  
a .b
12
cos
41. 29
arccos 0,348
  
6) Três vetores a , b e c , mutuamente perpendiculares e não nulos no
   
espaço, são combinados produzindo o vetor d .a .b .c ( ,
e são escalares). Encontre as expressões para , e
   
(componentes do vetor d relativas ao sistema de referência a , b , c ).
  
R.: Sendo os vetores a , b e c mutuamente perpendiculares, temos que:
   
a b a b cos90 0
   
a c a c cos90 0
   
b c b c cos90 0
 
Se multiplicarmos escalarmente os vetores a e d :
     
a d a ( .a .b .c )
Aplicando a propriedade distributiva:
26

27.      
a d .a.a .a.b .a.c .a.a
 
a d
Então:   (Note-se que aqui não estamos dividindo vetor por vetor (o
a a
que não é possível), mas escalar por escalar).
De modo semelhante, chegamos a:
   
b d c d
  e  
b b c c
27

28. Conceitos fundamentais da mecânica
D iversos conceitos e abstrações teóricas são incorporados nos textos de
Mecânica. No desenvolvimento dos capítulos, estaremos definindo
grandezas físicas e estabelecendo os seus relacionamentos através de leis.
Preliminarmente, porém, cabe apresentar os elementos básicos que
permearão toda a abordagem da Mecânica Clássica.
Partícula
A entidade partícula constitui uma abstração da Física, bastante utilizada na
Mecânica, para indicar que o móvel é pequeno e suas dimensões
geométricas são irrelevantes no cenário em que se desenvolve o fenômeno.
Uma partícula (ou ponto material) apresenta uma certa quantidade de
matéria, isto é, tem massa, porém são desprezíveis a sua forma e o seu
tamanho. Esse conceito é aplicável a objetos cujas dimensões,
relativamente às demais grandezas espaciais envolvidas, não afetam a
análise do movimento.
Portanto, quando mencionamos partícula, queremos dizer que não estamos
considerando as dimensões reais do corpo que se desloca e, dessa forma,
a abordagem se limita ao movimento de translação. Evidentemente, apesar
da abstração de tamanho, a ela atribuímos, paradoxalmente, uma massa;
aceita-se que toda a matéria esteja concentrada em seu centro de massa e
a descrição translacional desse ponto central seja suficiente para os
objetivos da análise.
Aspectos relativos à rotação e deformação não são considerados para a
partícula material. Por outro lado, se um objeto apresenta apenas
movimento de translação, ele pode ser tratado como partícula, já que todos
os seus pontos se deslocam igualmente.
Tempo
Newton, em seu tratado “Os Princípios Matemáticos da Filosofia Natural”,
introduziu o conceito de tempo absoluto. Segundo ele, “o tempo absoluto,
verdadeiro e matemático, por si só e por sua própria natureza, flui
uniformemente, não mantendo relação com qualquer coisa externa.” Assim,
o tempo não estaria sujeito a condição física alguma.
A concepção de tempo, tal como proposta por Newton, embora prevaleça no
âmbito da mecânica clássica, deve ser revista para acomodar as
28

29. circunstâncias de velocidades muito altas (comparáveis à da luz) ou de
campos gravitacionais muito intensos. Isso significa que podemos “aceitar” o
tempo absoluto somente quando as velocidades e os campos gravitacionais
forem relativamente baixos, que serão, enfim, os casos discutidos neste
texto.
O conceito mais moderno de tempo relativo (que pode se dilatar,
dependendo do observador) pode ser extraído da leitura de textos da
mecânica relativística, desenvolvida a partir do início do século XX.
Espaço
O espaço é o palco de acontecimento dos fenômenos físicos. Costuma-se
atribuir a ele um caráter tridimensional, ou seja, de certa volumetria. No
entanto, em condições particulares, a análise pode ser conduzida
satisfatoriamente reduzindo-o a duas dimensões (por exemplo, no
movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória plana) ou a uma
dimensão (por exemplo, no movimento de uma partícula ao longo de uma
trajetória retilínea).
Referencial
A necessidade de estabelecimento de referencial decorre do caráter não
absoluto dos fenômenos naturais, notadamente aqueles relacionados ao
movimento. Dependendo da perspectiva, um mesmo fato pode ensejar
diferentes leituras e interpretações. Por isso, as leis da Física devem ser
aplicadas somente após a clara definição de quem está observando o
fenômeno. Via de regra, o referencial deve ser assumido como um sistema
rígido. Em relação a este, são especificadas as coordenadas espaciais e
temporais de eventos físicos.
É a partir da caracterização do referencial que a análise do comportamento
da partícula (ou sistema de partículas) pode ser conduzida, bem assim
qualquer inferência sobre o seu repouso ou movimento.
No âmbito da mecânica, os sistemas de referência podem ser classificados
em inerciais ou não-inerciais, de acordo com a sua mobilidade em relação a
um ponto fixo distante.
Movimento
Não é possível qualquer alusão a movimento sem que previamente seja
definido um referencial. De fato, o fenômeno movimento consiste,
29

30. essencialmente, na variação, em função do tempo, das coordenadas de
localização de um corpo em relação a algum sistema de referência.
Portanto, não é razoável a afirmação de que algo se movimenta quando
muda de posição. Tal assertiva é frágil, incompleta e merece reparos.
Dentro de um veículo que trafega numa estrada, as pessoas estão em
movimento em relação a um poste fincado à margem da rodovia; porém,
dois passageiros no interior desse veículo encontram-se parados um em
relação ao outro, ainda que ambos estejam se movimentando em relação ao
poste aludido. Também não se pode afirmar que um marco na estrada
esteja imóvel: ele se movimenta, sim, se tomado o veículo como referência.
Força
Todos temos uma idéia (ou conceito intuitivo) do que seja força e do que ela
é capaz. Na verdade, a força constitui mais uma entidade (grandeza)
concebida para o estabelecimento de relações dinâmicas. Sua efetiva
mensuração somente é possível a partir dos efeitos que ela produz.
Adiante, quando forem apresentadas as leis de Newton do movimento,
veremos que uma razoável definição de força é: todo agente capaz de
alterar o módulo ou a direção da velocidade de um corpo; todo agente capaz
de atribuir uma aceleração a um corpo. Por outro lado, a força pode ensejar
diversos outros processos além de movimentos acelerados.
Energia
Como clássica definição, temos a energia como a propriedade de um
sistema que lhe permite realizar trabalho. A energia pode se apresentar sob
várias formas (potencial, cinética, calorífica, elétrica, eletromagnética,
potencial, química, radiante etc.), transformáveis umas nas outras, e cada
uma capaz de provocar fenômenos bem determinados e característicos nos
sistemas físicos.
É justo asseverar que essa foi, até hoje, uma das mais brilhantes
concepções da ciência, em razão, sobretudo, do caráter intercambiável e de
sua absoluta indestrutibilidade.
Em todas as transformações de energia há completa conservação em sua
quantidade (a energia não pode ser criada, nem destruída, mas apenas
transformada). Até mesmo a massa de um corpo pode-se transformar em
30

31. energia; por outro lado, energia sob forma radiante pode transformar-se em
um corpúsculo com massa, como demonstrado pela Física Moderna.
Particularmente, a energia dita mecânica se apresenta sob a forma potencial
(gravitacional, elástica etc.) ou cinética (translacional, rotacional etc.). É da
energia mecânica que nos ocuparemos mais neste texto. Adiante, será
comentado o princípio da conservação da energia, enfatizando como o
conceito de energia pode ser proveitoso na análise e solução de variados
problemas de mecânica.
31

32. Cinemática da partícula
B asicamente, quatro variáveis estão presentes nas equações
cinemáticas: a aceleração (a), a velocidade (v), a posição (s) e o tempo
(t). Em geral, o tempo se comporta como variável independente, a partir da
qual as demais são estabelecidas e/ou identificadas. Sendo conhecida uma
relação entre duas dessas variáveis, uma terceira pode ser alcançada
utilizando-se as equações exibidas adiante.
Cinemática da partícula
Primariamente, é o deslocamento a grandeza apta a indicar a ocorrência de
movimento. Um corpo (ou partícula) se desloca quando há uma mudança
em sua posição. Esse fenômeno, evidentemente, se desenvolve num certo
intervalo de tempo; da relação entre o deslocamento e o tempo obtém-se a
velocidade.
Assim:

 r
v méd
t
Sendo infinitesimal o intervalo de tempo em que ocorre um certo
deslocamento também infinitesimal, temos a velocidade instantânea (ou
simplesmente velocidade).

 r
v limt 0 t

 dr
v
dt
Ou seja, a velocidade (grandeza vetorial) é a derivada da posição no tempo,
significando a taxa de variação temporal do deslocamento.
Também necessária à descrição do movimento é a taxa de variação
temporal da velocidade, grandeza (vetorial) que denominamos aceleração.
Assim:

 v
a méd
t
32

33. Sendo infinitesimal o intervalo de tempo em que se verifica a variação,
também infinitesimal, da velocidade, temos a aceleração instantânea (ou
simplesmente aceleração).

 v
a lim
t 0 t

 dv
a
dt
Em algumas situações, é possível e conveniente relaxar o caráter vetorial da
velocidade, omitindo-se a exata caracterização da sua direção.
Esclarecendo: se a trajetória (caminho ou configuração de percurso) é
satisfatoriamente conhecida, se a posição está identificada ao longo dessa
trajetória (como ocorre, por exemplo, numa rodovia), é bastante aceitável
enfocar a velocidade sem os seus elementos de grandeza vetorial,
porquanto implícitos. Nesse caso, podemos operar com uma nova
grandeza, denominada velocidade escalar, a qual pode assumir valor
positivo ou negativo, de acordo com a orientação de crescimento dos
marcos posicionais. Com efeito, a orientação da grandeza, inerente a seu
caráter vetorial, passa a ser transferida para a trajetória, sem qualquer
prejuízo para a análise.
Nas figuras seguintes, a trajetória (eixo x) está orientada da esquerda para a direita.
O ponto P, à direita do marco posicional 0, assume uma posição escalar positiva. O
ponto P’, à esquerda do marco posicional 0, assume, por outro lado, posição
escalar negativa.
Admitindo-se que, após um intervalo de tempo t, a partícula se desloca x,
temos a velocidade escalar média:
33

34. x
v méd
t
A velocidade escalar propriamente dita (ou instantânea) se expressa por:
dx
v
dt
Vale, assim, a seguinte convenção para o sinal da velocidade escalar:
positivo, quando o móvel (partícula) se desloca no sentido dos marcos
posicionais crescentes; negativo, quanto o móvel (partícula) se desloca no
sentido dos marcos posicionais decrescentes.
A aceleração, por sua vez, traduz o comportamento temporal da velocidade,
sendo, matematicamente, a derivada da velocidade em relação ao tempo
(variável independente). Como aludido anteriormente, trata-se de uma
grandeza vetorial; no entanto, em algumas situações, é viável a sua
apresentação sob a forma escalar, isto é, como um valor ao qual se associa
um sinal. Neste caso, o sinal (positivo ou negativo) não se refere
diretamente à variação da velocidade, em valor absoluto7. Deve ser
observado que uma aceleração positiva não significa, necessariamente,
aumento da velocidade.
7O sinal da aceleração escalar, assim como o da velocidade escalar, depende da orientação
estabelecida para o eixo de referência.
34

35. dv
a
dt
O esquema seguinte esclarece o significado da aceleração escalar positiva
e da aceleração escalar negativa.
Conhecido o comportamento temporal da posição, isto é, s f (t ) , a
aceleração pode ser obtida por:
d 2s
a
dt 2
Ou seja, a segunda derivada da posição em relação ao tempo.
Portanto, a aceleração, a posição e a velocidade assim se relacionam:
a.ds v.dv
As equações apresentadas até aqui são gerais e, portanto, aplicáveis a
qualquer tipo de movimento.
35

36. Particularmente, para o movimento que se desenvolve numa trajetória retilínea
conhecida, podemos tecer os seguintes comentários:
1. A direção da trajetória não muda durante o movimento;
2. A direção da velocidade e a direção da aceleração coincidem com a
da trajetória;
3. O módulo de deslocamento corresponde à diferença (em valor
absoluto) dos marcos posicionais;
4. A velocidade escalar e a aceleração escalar podem substituir, sem
prejuízo da análise cinemática, as grandezas vetoriais velocidade e
aceleração.
Velocidade média e velocidade média de percurso
A velocidade média de percurso ( v mp ) é definida em função da distância
total percorrida, sendo, portanto, uma grandeza escalar positiva. Essa
grandeza não deve ser confundida com a velocidade média ( v méd ), a qual
está associada ao deslocamento ou, mais propriamente, à mudança
posicional. Assim, a velocidade média de percurso é a relação entre a
distância total percorrida e o tempo demandado nesse percurso; a
velocidade média é a razão entre a mudança de posição e o tempo. Note-se
que a velocidade média pode assumir valor positivo ou negativo.
t2
v.dt
s t1
Assim: v méd
t t2 t1
sT
v mp
t
Na prática, a diferença entre esses dois conceitos se evidencia quando
ocorre mudança na direção da velocidade (ou seja, quando a velocidade
escalar muda de sinal).
Podemos estabelecer o seguinte algoritmo para o cálculo da velocidade
média de percurso:
36

37. 1. Identificar os instantes em que ocorrem mudanças no sinal da velocidade
escalar (quando o movimento muda de sentido);
2. Discretizar o intervalo de tempo de análise em subintervalos, definidos
entre duas mudanças sucessivas de sinal;
3. Calcular a variação posicional s (os espaços percorridos, em valor
absoluto), em cada subintervalo;
4. Determinar a razão entre o espaço total percorrido (soma dos s) e o
intervalo de tempo de análise.
Aplicações:
Problemas resolvidos:
1) Um veículo numa estrada retilínea percorre 15km a 50km/h mais 10km a
60km/h mais 5km a 75km/h. Determine a média aritmética das velocidades
e a velocidade média de seu percurso.
R.: Determinemos, inicialmente, o tempo demandado em cada etapa do percurso.
Para percorrer os primeiros 15km foram gastos 18 min; nos 10km seguintes, mais
10min e, nos 5km restantes, mais 4min. Assim, o trecho total de 30km foi
desenvolvido num intervalo de tempo total de 22min. Isso permite que a velocidade
média seja estimada em:
15 10 5
vm 0,94km / min 56,25km / h
18 10 4
A média aritmética das velocidades vale:
50 60 75
v 61,67km / h
3
Somente no caso do movimento uniformemente variado é que a média das
velocidades equivale à velocidade média.
2) Ao longo de uma trajetória plana horizontal, uma partícula se movimenta,
sendo a sua velocidade expressa por v (2.t 2 8.t ) m/s, com o tempo t
em segundos. Determine a velocidade média e a velocidade média de
percurso, no intervalo de tempo de 0 a 5s.
R.: Calculemos o deslocamento (medido ao longo da trajetória).
ds v.dt
5 5
s v.dt (2.t 2 8.t )
0 0
37

38. 5
2.t 3 5
s 4.t 2 16,67m
3 0
0
Podemos, então, calcular a velocidade média:
s 16,67
vméd 3,33m / s
t 5
Calculemos a distância total percorrida. Devemos, antes, identificar o(s) instante(s)
em que a partícula inverte o sentido de seu movimento. Isso ocorre quando a
2
velocidade se anula, ou seja, no instante t 4s (obtido de 0 2.t 8.t ).
De 0 a 4s, o móvel percorre 21,33m; de 4s a 5s, o percurso é de 4,67m. Portanto,
de 0 a 5s, o percurso total corresponde a 26,00m. Então, podemos calcular a
velocidade média de percurso:
sT 26,00
v mp 5,20m / s
t 5
O caso particular de movimento com velocidade constante (v)
Quando o valor da velocidade não se altera durante o movimento, este é
dito uniforme, independentemente da configuração da trajetória.
s v
ds v.dt
s0 0
s s0 v.t
s s0 v.t
A expressão acima representa a função horária da posição. O fato de o
movimento se desenvolver com velocidade de módulo constante não
implica, rigorosamente, a ausência de aceleração, como veremos mais
adiante.
Verifica-se, com efeito, que o único movimento possível na natureza
completamente destituído de aceleração é o movimento retilíneo uniforme
(MRU).
38

39. O caso particular de movimento com aceleração constante (a)
O movimento que ocorre com aceleração de módulo constante é
denominado movimento uniformemente variado (MUV). Exemplo desse
movimento ocorre quando um corpo cai livremente (queda livre) no vácuo,
onde a resistência do ar inexiste. Também próximo à superfície da Terra, o
movimento de queda de um corpo pode, em muitos casos, ser considerado
de aceleração constante.
A velocidade em função do tempo:
v t
dv a.dt
v0 0
v v0 a.t
A expressão acima é dita função horária da velocidade no MUV.
A posição em função do tempo:
s t
ds (v 0 a.t ).dt
s0 0
1 2
s s0 v0 .t .a.t
2
A expressão acima é dita função horária da posição no MUV.
A velocidade em função da posição:
v s
v.dv a.ds
v0 s0
v2 2
v0 2.a.( s s0 )
Esta equação é conhecida como Equação de Torricelli.
Note-se que as três últimas expressões apresentadas são aplicáveis tanto
ao movimento uniforme quanto ao movimento uniformemente variado. De
fato, o que caracteriza o MUV é a constância do valor da aceleração,
39

40. inclusive quando esta é nula (caso de MU). Ampliando esse raciocínio, as
equações de movimento variado são, com efeito, uma generalização desses
casos particulares.
Análise do movimento
Para a aplicação das equações precedentes, é necessário que se
estabeleça um sistema de coordenadas. No caso particular de trajetória
retilínea, é suficiente que seja especificada uma coordenada de posição ao
longo do percurso, com a identificação de uma origem fixa e a sua
orientação positiva. Também nesse caso, bastam escalares algébricos de
posição, velocidade e aceleração; os sinais algébricos indicarão os sentidos
das variáveis, na manipulação analítica das formulações matemáticas.
Classificação dos movimentos
Quanto à orientação da mudança de posição e da velocidade, os
movimentos podem ser classificados em:
Progressivo: o móvel assume posições cada vez mais elevadas,
considerando os marcos do sistema de referência. Nesse caso, costuma-se
dizer que a velocidade é positiva.
Retrógrado: o móvel assume posições cada vez mais baixas, considerando
os marcos do sistema de referência. Nesse caso, costuma-se dizer que a
velocidade é negativa.
Acelerado: o módulo da velocidade cresce com o tempo. Nesse caso o sinal
(positivo ou negativo) da aceleração deve coincidir com o da velocidade.
Retardado: o módulo da velocidade decresce com o tempo. Nesse caso os
sinais (positivo ou negativo) da aceleração e da velocidade devem ser
contrários.
Podemos encontrar as seguintes associações:
v 0 v 0
movimento acelerado e progressivo movimento retardado e progressivo
a 0 a 0
v 0 v 0
movimento acelerado e retrógrado movimento retardado e retrógrado
a 0 a 0
40

41. Interpretação de gráficos do movimento
Gráficos cartesianos são instrumentos bastante úteis para a representação
do movimento. Grande quantidade de dados pode ser retratada num gráfico.
Em geral, a sua confecção não envolve maiores dificuldades. Importa, para
o leitor, desenvolver habilidade na sua interpretação, explorando-os em
todos os seus pormenores.
A seguir, apresentamos alguns aspectos relevantes da leitura de gráficos
que relacionam as grandezas da cinemática.
A inclinação da reta tangente à curva num dado instante de tempo t
corresponde à grandeza definida pela derivada da grandeza exibida no eixo
das ordenadas em relação ao tempo. Ou seja, no gráfico posição versus
tempo, a inclinação traduz a velocidade; no gráfico velocidade versus
tempo, a inclinação traduz a aceleração, como mostra a figura seguinte.
41

42. Conhecido o gráfico posição versus tempo, podemos confeccionar o gráfico
velocidade versus tempo.
Conhecido o gráfico velocidade versus tempo, podemos confeccionar o
gráfico aceleração versus tempo.
42

43. A área sob a curva no gráfico
aceleração versus tempo
permite inferir a variação da
velocidade entre os limites do
intervalo de tempo considerado,
ou seja, de t1 a t2.
A área sob a curva no gráfico
velocidade versus tempo
permite inferir a variação
posicional da partícula entre os
limites do intervalo de tempo
considerado, ou seja, de t1 a t2.
43

44. Aplicações:
Problemas resolvidos:
1) Uma partícula de desloca da origem e ao longo de um eixo retilíneo. O
gráfico temporal da velocidade é apresentado na figura seguinte.
Represente em gráfico o comportamento temporal da posição e da
aceleração dessa partícula. Determine o instante em que a partícula volta a
passar pela origem.
R.: Podemos depreender do gráfico: i) no intervalo de 0 a 4s, o movimento é
uniformemente variado, ou seja, com aceleração constante igual a 1,5m/s2; ii) de 8s
a 12s, a aceleração constante vale -6m/s2; iii) no instante 10s, a velocidade é nula
(a partícula momentaneamente pára); iv) a partir de 12s, a velocidade é constante
igual -12m/s (aceleração nula).
Graficamente:
44

45. A partícula volta a passar pela origem quando a área sob a curva (considerada
grandeza escalar) for nula. Enquanto a velocidade é positiva, de 0 a 10s, a partícula
percorre 60m. Então, basta determinar, a partir de 10s, o instante correspondente a
uma área (no gráfico) de -60m. Pelo gráfico posição versus tempo, verifica-se que
isso ocorre no instante 16s.
2) Um estudante, pretendendo medir a aceleração da gravidade, resolve
fazer o seguinte experimento: num tubo evacuado, lança verticalmente para
cima uma bolinha, e mede, com precisão, os instantes de passagem, na
subida e na descida, dessa bolinha por um certo ponto do tubo. Esclareça a
lógica desse procedimento e apresente a expressão que fornece o valor de
g.
R.: Sejam t1 e t2 os instantes de tempo, ambos medidos
a partir do lançamento. No instante t1, a bolinha passa,
em movimento ascendente, pelo ponto de controle
(indicado na figura seguinte); no instante t2, a mesma
bolinha passa novamente por esse ponto de controle,
porém, agora, em movimento descendente.
No intervalo de tempo compreendido entre t1 e t2, o seu
percurso terá sido 2.h, onde h representa a altura
máxima alcançada a partir do ponto de controle.
Estando o corpo em movimento vertical no vácuo, sua aceleração equivale à da
gravidade (movimento de queda livre). No ápice de sua trajetória, a velocidade é
nula e o deslocamento da bolinha muda de sentido. Podemos, então, escrever:
1
2.h y0 vo .(t 2 t1 ) .g.(t 2 t1 ) 2
2
2.h vo .(t 2 t1 )
g
1
.(t 2 t1 ) 2
2
v o : velocidade na passagem pelo ponto de controle
Lembrando que: vo 2.g.h (da equação de Torricelli), temos:
45

46. 1
yo .g.t12
1 2
yo vo .t1 .g.t12 , daí: vo
2 t1
1 2
yo .g.t 2
1 2 2
yo vo .t 2 .g.t 2 , daí: vo
2 t2
Então:
yo g .t1 yo g .t 2
t1 2 t2 2
1 1 t2 t1
yo . g.
t1 t2 2 2
2. y o
Portanto: g
t1 .t 2

O sinal negativo indica que a aceleração da gravidade g está orientada

contrariamente ao sentido estabelecido para o eixo y, ou seja, o vetor g é vertical
e para baixo.
3) Uma partícula percorre uma trajetória retilínea, sendo que, em qualquer
instante, a posição, a velocidade e a aceleração apresentam valores
numericamente iguais. Apresente as funções horárias de posição e de
velocidade.
R.: Temos as seguintes relações:
dx v.dt dv a.dt
x t
dx
dt Sendo v numericamente igual a x:
xo
v to
x t
ln x x tt x (t ) x o .e t to
o o
Por outro lado:
46

47. v t
dv
dt Sendo a numericamente igual a v:
vo
a to
v t
ln v v tt v(t ) vo .e t to
o o
Movimento curvilíneo
No caso mais geral do movimento, a trajetória é descrita em três dimensões.
Um sistema cartesiano de coordenadas retangulares pode ser novamente
empregado para a análise.
As grandezas envolvidas são tratadas em termos de três componentes
mutuamente perpendiculares, segundo os eixos x, y e z.
Assim, o vetor posição se apresenta como:
   
r x.i y. j z.k
O módulo do vetor posição será:
r x2 y2 z2
47

48. A velocidade se expressa por:
   
v v x .i v y . j v z .k
dx dy dz
vx vy vz
dt dt dt
O módulo da velocidade será:
2 2 2
v vx yy zz
A aceleração ser expressa por:
   
a a x .i a y . j a z .k
dv x dv y dv z
ax ay az
dt dt dt
O módulo da aceleração será:
2 2 2
a ax ay az
Nota:
Denomina-se hodógrafo do movimento a curva descrita pela extremidade do vetor

velocidade v .
48

49. Independência das velocidades
A independência de dois movimentos simultâneos e perpendiculares foi
experimentalmente reconhecida por Galileu.
Estando um corpo animado, simultaneamente, de dois movimentos
perpendiculares entre si, o deslocamento na direção de um deles é
determinado apenas pela velocidade naquela direção.
Aplicações:
Problemas resolvidos:
1) O motor de um barco faz com que ele se desloque com velocidade de
4m/s. Um rio de 40m de largura flui com velocidade de 1m/s. Determine o
ponto em que o barco, partindo da posição mostrada, atinge a margem
oposta do rio.

R.: Podemos escrever a seguinte expressão para a velocidade resultante v R :
    
vR v rio vbarco 1,0.i 4,0. j

vR 17m / s
O tempo de travessia pode ser estimado por:
y 40
t 10 s
vy 4
x v x .t 10 .1 10 m
Portanto, o barco atinge a margem oposta do rio 10m abaixo do ponto de partida.
2) Uma partícula tem movimento definido pelas equações temporais
seguintes:
1 3 1 2
x .t 2.t 2 e y .t 2.t
3 2
49

50. sendo x e y expressos em metros e t em segundos. Determine a velocidade
e a aceleração no instante 3s.
R.: As componentes x e y da velocidade são expressas, em unidades SI, por:
dx
vx t 2 4.t
dt
dy
vy t 2
dt
Para o instante t=3s, temos:
vx 3m / s
vy 1m / s
Recompondo a velocidade:
2 2
v vx vy 10m / s
As componentes x e y da aceleração são expressas, em unidades SI, por:
dv x
ax 2.t 4
dt
dv y
ay 1
dt
Para o instante t=3s, temos:
ax 2m / s 2
ay 1m / s 2
Recompondo a aceleração:
2 2
a ax ay 5m / s 2
3) Uma partícula descreve uma hipérbole retangular dada pelas equações
seguintes:
x et / 2 e y e t / 2
50

51. sendo x e y expressos em metros e t em segundos. Determine a velocidade
e a aceleração no instante 1s.
R.: As componentes da velocidade nas direções x e y são obtidas de:
dx 1 t2 dy 1 t
2
vx .e vy .e
dt 2 dt 2
As componentes da aceleração, por sua vez, se expressam por:
dv x 1 t2 dv y 1 t
ax .e ay .e 2
dt 4 dt 4
No instante t=1s, temos:
vx 0,82 m / s ax 0,41m / s 2
vy 0,30 m / s ay 0,15m / s 2
Portanto:
2 2
v vx vy 0,82 2 ( 0,30) 2 0,87m / s
2 2
a ax ay 0,412 0,152 0,44m / s 2
O caso particular do movimento de um projétil
Uma vez que a aceleração da gravidade atua sempre na direção vertical, o
movimento de um projétil pode ser mais facilmente estudado a partir das
componentes retangulares das variáveis cinemáticas. Assim, são descritos
um movimento na direção horizontal e um movimento na direção vertical.
O projétil lançado se move sob ação de uma força constante, a da
gravidade, orientada para baixo. O movimento realizado é bidimensional.
51

52.   
vo (vx )o .i (vy )o . j
(v x ) o vo . cos o
(v y ) o vo .sen o
Na análise do lançamento de projéteis podemos, muitas vezes, desprezar
os efeitos da resistência do ar. Desse modo, desenvolvem-se um
movimento uniforme (velocidade constante) na direção horizontal e um
movimento uniformemente variado (aceleração constante, correspondente à
aceleração da gravidade g) na direção vertical.
dv x
ax 0
dt
dv y
ay g
dt

Admitamos que uma partícula seja lançada com velocidade inicial v o ,
segundo uma direção inclinada o com a horizontal. A figura seguinte
apresenta a trajetória de um projétil em condições ideais.
52

53. Conhecidos os valores de o e v o , podemos, a cada instante t, determinar
as componentes v x e v y . Assim:
vx (v x ) o
vy (v y ) o g.t
Durante o movimento bidimensional, a partícula acelera para baixo. Os
 
vetores posição r e velocidade v variam continuamente.
O movimento horizontal e o movimento vertical podem ser tratados de
forma independente. Isso facilita sobremaneira o procedimento analítico do
lançamento oblíquo.
Movimento horizontal:
x vx . t
x xo (vo . cos o ).t
Movimento vertical:
g .t 2
y (v y ) o .t
2
53

54. g.t 2
y yo (vo .sen o ).t
2
vy (v y ) o g.t
vy vo. sen o g .t
2 2
vy (vy )o 2.g. y
2
vy (vo .sen o )2 2.g.( y yo )
Trajetória:
Para caracterizar a trajetória, isto é, obter a função y=f(x), devemos
simplesmente eliminar a variável independente t nas equações
precedentes. Assim:
x xo (vo . cos o ).t
g.t 2
y yo (vo .sen o ).t
2
2
( x xo ) g x xo
y yo vo .sen o . .
vo . cos o 2 vo . cos o
g
y yo tg o .(x xo ) 2
.(x xo ) 2
2.(vo . cos o )
Assumindo xo 0 e yo 0 , encontramos:
54

55. g
y (tg o ).x 2
.x 2
2.(vo . cos o )
Note-se que g, o e vo são valores constantes. A equação obtida apresenta,
assim, a forma y a.x 2 b.x c , que retrata uma parábola em gráfico
cartesiano.
Alcance horizontal (R):
x xo R
y yo 0
x xo (vo . cos o ).t R
g.t 2
y yo (vo . sen o ).t 0
2
Eliminando a variável t nas duas equações anteriores, temos:
R g.R 2
vo .sen o . 0
vo . cos o 2.(vo . cos o ) 2
g.R
tg o
2.v . cos 2
2
o o
2.vo .tg o . cos 2
2
o
2
2.vo .sen o . cos o
2
vo .sen (2 o )
R
g g g
55

56. dR
Fazendo 0 , podemos deduzir que o máximo alcance ocorre
d o
quando o=45
o. Nesse caso:
2
vo
R máx
g
Altura máxima (h):
Determinamos a altura máxima (h) alcançada pelo projétil atribuindo valor
nulo à componente vertical da velocidade (vy). Assim:
v o . sen 2
2
o
h
2. g
Aplicações:
Problemas resolvidos:
1) Uma bolinha de aço desliza sobre a superfície plana de uma mesa com
velocidade de 1,0m/s. Sabendo-se que a mesa está a 2,0m do solo,
determine a que distância d essa bolinha tocará o solo.
R.: A bolinha, a partir do instante em que abandona a mesa de altura h, realiza,
simultaneamente, um movimento uniforme (com velocidade vx=1m/s) na horizontal

e um movimento uniformemente variado (com aceleração da gravidade g ) na
vertical. Desconsiderando o efeito da resistência do ar, o tempo de queda pode ser
determinado por:
1 2.h
h .g .t 2 t 0,63s
2 g
56

57. Então, a distância d percorrida na horizontal é: d v x .t
d 1.0,63 0,63m
2) Um avião voa horizontalmente a uma
altura de 180m com velocidade de
240km/h, devendo lançar pacotes de
mantimentos de região de selva, onde não
há condições de pouso. Estime a que
distância do ponto de recepção devem ser
abandonados os pacotes.
R.: A exemplo do problema anterior, há dois movimentos simultâneos cumpridos
pelos pacotes a partir de seu lançamento da aeronave.
Os pacotes saem da aeronave com a mesma velocidade desta. Desprezando,
novamente, a resistência do ar, temos o seguinte tempo de queda:
2.h
t 6s
g
Durante esse tempo, cada pacote percorre horizontalmente com velocidade
constante ( v x 240 km / h 66 ,7m / s ) a distância d calculada por:
d v x .t 66 ,7.6 400 m
3) Um projétil é disparado de uma altura de 60m, com velocidade inicial de
120m/s, num ângulo de 30º com a horizontal. Determine: a) a distância
horizontal do ponto de lançamento àquele onde o projétil atinge o solo; ii) a
altura máxima, em relação ao solo, alcançada pelo projétil.
57

58. R.: Também nesta solução, estaremos desprezando a resistência do ar. Então, a
trajetória é descrita pela seguinte relação (situando a origem do sistema de
referência cartesiana no ponto de lançamento):
g
y (tg o ).x 2
.x 2
2.(vo . cos o )
10
y (tg 30).x 2
.x 2
2.(120. cos30)
A distância horizontal x corresponde à abscissa no ponto, pertencente à curva de
trajetória, cuja ordenada é -60m. Assim, resolvendo a equação do segundo grau,
obtemos: (a outra solução é imprópria, pois, pela configuração específica do problema,
inexiste abscissa negativa)
x 1343,4m
Para a determinação do ponto de altura máxima, podemos igualar a zero a derivada
da função da trajetória. Por outro lado, é fácil perceber que a máxima altura y
(medida a partir do nível de lançamento) corresponde ao ponto em que a
componente vertical da velocidade é nula. Assim:
2 2
vy (vo ) y 2.g. y
2 2
0 (120 .sen30 ) 2.10 . y
y 180m
Tomando por referência o nível do solo, temos altura máxima igual a 240m.
4) Um homem dispara uma arma diretamente contra um objeto. Por mera
coincidência, no exato momento do disparo, o objeto começa a cair
verticalmente. Analise se o projétil atingirá o alvo.
R.: Sim. A aceleração da gravidade entre o ponto de disparo e a linha vertical
age igualmente sobre a bala (projétil) de queda do objeto.
e o objeto, durante o movimento de
queda. A bala sofre, então, um
desvio vertical equivalente ao do
objeto, em relação à linha de queda.
A bala somente não atingirá o alvo
(objeto) se o seu alcance for inferior
à distância (medida na horizontal)
58

59. 5) Uma pedra é lançada obliquamente do ponto O e deve vencer um
obstáculo de altura h que se encontra a uma distância x à sua frente, como
mostra a figura seguinte. Indique como deverá ser feito esse lançamento.
Determine a menor distância horizontal entre os pontos O e P (abaixo d do
ponto de lançamento, como mostra a figura seguinte).
R.: Devemos impor a condição de o ponto C pertencer à região côncava delimitada
pela curva da trajetória (parábola com concavidade voltada para baixo).
g
h x.tg 2
.x 2
2.(vo . cos )
Na situação limite, o ponto C (de coordenadas (x,h)) corresponde ao ápice da
trajetória. Então, a distância horizontal entre os pontos O e P será dada por
d
x. 1 1
h
Movimento curvilíneo: componentes tangencial e normal
A velocidade de uma partícula é representada por um vetor sempre
tangente à sua trajetória. Porém, em geral, o vetor aceleração não é
tangente à trajetória.
Em algumas situações de movimento curvilíneo, é conveniente decompor a
aceleração numa componente segundo a tangente à trajetória e noutra
segundo a direção normal dessa trajetória.
59

60.  
v v.it

 dv
a
dt 
 dv  dit
a .it v.
dt dt
 
dit dit d ds
. .
dt d ds dt
60

61. 
dit  d 1 ds
Conhecidas as relações in , e v , podemos
d ds dt
escrever:
 dv  v2 
a .it .in
dt
  
a a t .it a n .in
O módulo da aceleração total é assim obtido:
a at2 2
an
A componente tangencial da aceleração ( at dv ) é responsável pela
dt
mudança da velocidade escalar da partícula.
A componente normal da aceleração ( a v2 ) é
n
responsável pela mudança na direção do movimento.
61

62. Seja, mais uma vez, o vetor-posição de um ponto material definido por:
   
r x.i y. j z.k
onde x, y e z são funções do tempo t. As componentes tangencial e normal
da aceleração podem ser expressas em termos dessas funções e de suas
derivadas de primeira e segunda ordem. Para isso, basta fazer:
 
v a
at 
v
    1
(v a ) (v a ) 2
an 
v
Assim:
dx d 2 x dy d 2 y dz d 2 z
. . .
at dt dt 2 dt dt 2 dt dt 2
1
2 2 2 2
dx dy dz
dt dt dt
1
2 2 2 2
dx d 2 y dy d 2 x dy d 2 z dz d 2 y dz d 2 x dx d 2 z
. . . . . .
dt dt 2 dt dt 2 dt dt 2 dt dt 2 dt dt 2 dt dt 2
an 2 2 2
dx dy dz
dt dt dt
Por sua vez, o raio de curvatura da trajetória descrita pelo mesmo ponto
material pode ser expresso por:
62