1. TKS 2353 Analisis Struktur dg Metode Matrix Analisis Struktur Balok tanpa Gaya Aksial Lecture 06: Contoh analisis balok dengan metode kekakuan langsung. Setelah menyelesaikan kuliah ini anda akan mampu: Menyusun formulasi matriks kekakuan elemen balok. Menyusun formulasi persamaan keseimbangan, vektor beban, martiks kekakuan struktur dan vektor perpindahan. Menganalisis beban dan menyusun vektor beban nodal ekivalen. Menyelesaikan persamaan keseimbangan struktur dan menentukan perpindahan struktur, garis elastika, dan gaya gaya dalam struktur balok.
2. Contoh analisis struktur balok Analisislah struktur balok dibawah ini, jika diketahui modulus elastisitas material E = 2000000 ton / m 2 , dan inersia penampang, I = 0,0016 m 4 . Berat sendiri balok diabaikan. Tujuan analisis sebenarnya adalah mencari gaya-gaya dalam balok; yakni gaya geser dan momen yang dinyatakan dalam bentuk gambar bidang geser dan bidang momen, serta menentukan besar perpindahan pada struktur balok. 1 3 2 m X Y 2 2 ton/m 1 ton 3 m 2 m (+) Konvensi tanda 1 2
3.
4.
5. Matrik kekakuan struktur . Kita susun matriks kekakuan kekakuan sebagai penjumlahan k s = k 12 + k 23 . Langkah 3: menyusun matriks kekakuan struktur 1 2 3 4 6 5 1 2 3 4 5 6 Global freedom yang relevan.
6. Langkah 4: menyusun vektor beban Pada struktur tidak terdapat beban yang bekerja tepat di join. Semua beban bekerja pada bentang. 1 2 3 4 3 4 5 6 = + 2 3 1 2 L w 2 3 1 / 2 L P 1 2 1 / 2 L
7. Persamaan keseimbangan struktur . Kita susun persamaan sebagai berikut {F}+{fo} = [K]{U} . Langkah 4: menyusun persamaan keseimbangan struktur Vektor gaya akibat beban bentang Vektor gaya akibat beban di joint {F} = {0} karena tidak ada gaya luar yang bekerja di Join Matriks kekakuan struktur Vektor perpindahan struktur 1 2 3 4 6 5 1 2 3 4 5 6
8. Persamaan keseimbangan struktur . Kita susun persamaan sebagai berikut {F}+{fo} = [K]{U} . Langkah 4: menyusun persamaan keseimbangan struktur Vektor gaya akibat beban bentang Matriks kekakuan struktur Vektor perpindahan struktur 4 6 1 2 5 3 1 2 3 5 4 6
9. Solusi persamaan keseimbangan struktur dalam analisis balok Matriks kekakuan dipartisi untuk mengakomodasi entry yang merupakan verktor perpindahan yang diketahui aatu yang tidak diketahui Pertama tama, kita menyusun persamaan keseimbangan struktur: atau
10. Perhitungan solusi dapat dilakukan dari sistem persamaan linier dalam bentuk yang lebih kompak (dengan menggunakan bentuk matriks partisi) : Prosedur solusi: Solusi vektor perpindahan yang dicari : Karena dalam kasus kita {U k } = {0} maka: Sekali {U k } dihitung, reaksi yang tidak diketahui dapat diperolah dari hubungan:
11. Persamaan keseimbangan struktur . Kita susun persamaan sebagai berikut untuk struktur yang telah tereduksi . Langkah 5: solusi persamaan keseimbangan struktur Join 2 berotasi searah jarum jam sebesar 0,000273 rad Join 3 berotasi berlawanan jarum jam sebesar 0,000488 rad Arti fisik solusi persamaan keseimbangan . Vektor gaya akibat beban bentang Matriks kekakuan struktur Vektor perpindahan struktur 4 6 4 6
12. Langkah 6: menyusun vektor perpindahan setiap elemen Join 2: translasi v 2 = 0; rotasi searah jarum jam sebesar θ 2 = 0,000273 rad Join 3: translasi v 3 = 0; rotasi berotasi berlawanan θ 2 = jarum jam sebesar θ 3 = 0,000488 rad Arti fisik solusi persamaan keseimbangan pada tingkat elemen . Join 1: translasi v 1 = 0 ; rotasi θ 1 = 0 Vektor perpindahan elemen 1; batang 1-2 1 = v 1 2 = θ 1 3 = v 2 4 = θ 2 Vektor perpindahan elemen 2; batang 2-3 3 = v 2 4 = θ 2 5 = v 3 6 = θ 3
13. Langkah 7: solusi gaya-gaya dalam elemen Gaya dalam pada elemen 1, batang 1-2 . Join 1; gaya vertikal v 1 dan momen m 1 . Join 2; gaya vertikal v 2 dan momen m 2 . Gaya dalam pada elemen 2, batang 2-3 . Join 2; gaya vertikal v 2 dan momen m 2 . Join 3; gaya vertikal v 3 dan momen m 3 . t t m t t m t t m t t m
14. Langkah 8: menggambar gaya-gaya dalam elemen Free body Diagram . Dengan menggunakan hasil perhitungan langkah 7 maka dapat digambar diagram benda bebas setiap elemen. Perhatikan . Arti tanda + / - pada hasil langkah 7 (dalam bentuk matriks) terhadap arah gaya dan free body diagram. Tanda + berarti arah gaya gaya sesuai dengan arah DOF (perjanjian tanda). Pada “free body” tidak diperlukan lagi tanda + / -, karena telah diterjemahkan pada vektor gaya / momen. 0,1719 t 0.062 t m + 2 3 1 2 1,3750 t m 0,8281 t 1,3750 t m 3,4583 t 2,5417 t
15. Langkah 8: menggambar gaya-gaya dalam elemen Free body Diagram . Dengan menggunakan hasil perhitungan langkah 7 maka dapat digambar diagram benda bebas setiap elemen. 0,1719 t + 2 3 1 2 0,8281 t 3,4583 t 2,5417 t P = 1 t SFD Posisi gaya P x BMD 0,0625 tm 1,3750 tm (-) (+) (-) (-) (-) ½ PL = 1 tm bukan nilai momen efektif 1/8 qL 2 = 2,25 tm pada posisi tengah bentang bukan nilai momen efektif nilai momen maks dapat dihitung
16. Persamaan keseimbangan struktur . Kita susun persamaan sebagai berikut {F} = [K]{U} - {fo} . Langkah 9: solusi reaksi perletakan struktur Vektor gaya akibat beban bentang Vektor gaya di joint Matriks kekakuan struktur Vektor perpindahan struktur t t m t t Reaksi vertikal di join 1 Reaksi momen lentur di join 1 Reaksi vertikal di join 2 Reaksi vertikal di join 3
