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Van Oudenhove Serge
                           Ingest 5F




 Mémoire présenté en vue de l’obtention du
     Master d’ingénieur de gestion

La dynamique des volatilités et des corrélations des marchés
         européens des actions et des obligations




        Directeur de mémoire: Professeur Ariane Szafarz
       Commissaire de mémoire: Professeur Hugues Pirotte




                   Année académique 2006/2007
                     Solvay Business School
                                                           1
« Le savant n’étudie pas la nature parce que cela est utile ; il l’étudie parce qu’il y prend
plaisir et il y prend plaisir parce qu’elle est belle. Si la nature n’était pas belle, elle ne
vaudrait pas la peine d’être connue, la vie ne vaudrait pas la peine d’être vécue. Je ne parle
pas ici, bien entendu, de cette beauté qui frappe les sens, de la beauté des qualités et des
apparences ; non que j’en fasse fi, loin de là, mais elle n’a rien à faire avec la science ; je
veux parler de cette beauté plus intime qui vient de l’ordre harmonieux des parties, et qu'une
intelligence pure peut saisir »
                                                                      Henri Poincaré (1908)
                                  Science et méthode (1908), éd. Flammarion, 1918, p. 15-16




                                                                                             2
Remerciements


Je tiens à remercier tout particulièrement Madame Ariane Szafarz,
pour son orientation dans le choix du sujet, ses conseils et sa
collaboration précieuse dans l’élaboration de ce mémoire.

J’adresse également mes remerciements à Monsieur Hugues Pirotte
pour l’obtention des données utilisées pour ce mémoire.

Je remercie la Solvay Business School ainsi que Belgacom et à pour
la mise à disposition d’un formidable outil de recherche.

Un grand merci à mes parents et amis pour leurs suggestions,
corrections et soutien moral tout au long de ce travail.




                                                                     3
Table des matières
Table des matières .........................................................................................4

Table des Figures ..........................................................................................6

Table des tableaux .........................................................................................7

Résumé ......................................................................................................8

I. Introduction ......................................................................................12
II. Littérature sur la dynamique des corrélations.................................15
  2.1. La dynamique de la volatilité des actions .................................................................... 15
  2.2. La dynamique des volatilités des obligations............................................................... 19
  2.3. La dynamique des corrélations entre les actifs financiers............................................ 20

III. Littérature et méthodologie du modèle économétrique. ...............25
  3.1. Les séries temporelles .................................................................................................. 25
     3.1.1. Processus Stochastique........................................................................................... 26
     3.1.2. La stationnarité de second ordre............................................................................. 27
     3.1.3. Le coefficient d’asymétrie : Skweness................................................................... 28
     3.1.3. Le coefficient d’aplatissement : Kurtosis............................................................... 28
     3.1.2. La fonction de corrélation ...................................................................................... 29
     3.1.3. Les autocorrélations ............................................................................................... 29
     3.1.3. L’hétéroscédasticité................................................................................................ 31
  3.2. Les Modèles Univariés.................................................................................................. 32
     3.2.1. Le modèle ARCH (1982) ....................................................................................... 32
     3.2.2. Le modèle GARCH (1986) .................................................................................... 35
     3.2.3. Le modèle EGARCH (1991).................................................................................. 36
     3.2.4. Le modèle GJR-GARCH (1993) et le modèle TARCH (1994) ............................. 37
     3.2.5. Les « News Impact Curves » (1992) ...................................................................... 39
     3.2.6. Méthode d’estimation et sélection du modèle........................................................ 40
  3.3. Les Modèles Multivariés ............................................................................................... 41
     3.3.1. The Dynamic conditional correlation model (2000) .............................................. 42

IV. Description des données................................................................46
  4.1. Le marché des actions européennes .............................................................................. 46



                                                                                                                                 4
4.1.1 Statistiques descriptives des séries de rendements d’actions .................................. 47
     4.1.2. Analyse de l’évolution des cours des indices boursiers européens ........................ 49
  4.2. Le marché des obligations d’Etats européennes ........................................................... 50
     4.2.1 Statistiques descriptives des séries de rendements d’obligations d’Etats ............... 51
     4.2.2. Analyse de l’évolution des rendements à l’échéance des obligations.................... 53

V. Analyse des corrélations non conditionnelles ................................55
  4.1. La corrélation des actions européennes......................................................................... 55
  4.2. La corrélation des obligations d’Etats européennes ...................................................... 57
  4.3. Les corrélation entre les actions et les obligations européennes .................................. 58
  4.4. Conclusions au niveau des corrélations non conditionnelles ........................................ 59

VI. Analyse des volatilités conditionnelles .........................................60
  6.1 Le marché boursier européen ......................................................................................... 60
     6.1.1. Persistance de la volatilité des rendements d’actions............................................. 61
     6.1.2. Les « News Impact Curves » : Marchés des actions .............................................. 62
     6.1.3. La dynamique de la volatilité du marché des actions............................................. 64
  6.2. Le marché obligataire européen .................................................................................... 67
     6.2.1. Persistance de la volatilité des rendements d’obligations ...................................... 68
     6.2.2. Les « News Impact Curves » : Marchés des obligations........................................ 69
     6.2.3. La dynamique de la volatilité du marché des obligations ...................................... 70

VII. Analyse des corrélations conditionnelles.....................................75
  7.1 La corrélation conditionnelle des actions européennes................................................. 77
     7.1.1. La dynamique des corrélations des rendements du CAC et le DAX .................... 78
     7.1.2 La dynamique des corrélations des rendements du CAC et l’AEX ........................ 80
     7.1.3. La dynamique des corrélations des rendements du CAC et le FTSE.................... 81
  7.2 La corrélation conditionnelle des obligations européennes ........................................... 82
     7.2.1. La dynamique des corrélations des rendements d’obligations européennes.......... 83
  7.3 La corrélation conditionnelle des actions et des obligations......................................... 85
     7.3.1. La corrélation dynamique entre les actions et les obligations européennes........... 87
     7.3.2. Résumé des événements affectant la corrélation.................................................... 94
     7.3.3. Liens entre les dynamiques européennes ............................................................... 94

VIII. Conclusions.................................................................................96
IV. Références bibliographiques .........................................................99


                                                                                                                            5
Table des Figures

Figure 1: Impact d'une mauvaise nouvelle sur la variance conditionnelle................................................................................ 18
Figure 2: Série temporelle des rendements du CAC 40............................................................................................................ 27
Figure 3: Distribution des résidus de la série de rendements du CAC 40                         ............................................................................. 29
Figure 4: Autocorrélogrammes de la série de rendements du CAC 40..................................................................................... 30
Figure 5: Autocorrélogrammes des puissances carrées de la série de rendements du CAC 40 ................................................ 30
Figure 6: Autocorrélations des puissances carrées de termes d’erreurs de la série des rendements du CAC ........................... 31
Figure 7: Les différents indices boursiers européens utilisés au cours de ce mémoire ............................................................. 47
Figure 8: Evolution des cours des indices boursiers européens................................................................................................ 49
Figure 9: Les différents indices d’obligations européennes utilisés au cours de ce mémoire .................................................. 51
Figure 10: Evolution des rendements à échéance d’Obligations d'Etats Européennes à 5 ans ................................................. 54
Figure 11: Corrélation des rendements des indices boursiers européens (2007) ...................................................................... 56
Figure 12: Corrélation des rendements des Obligations d’Etats européennes (1997-2007) ..................................................... 57
Figure 13: Corrélations non conditionnelles entre le marché des actions et des obligations (1997-2007)................................ 58
Figure 14: News Impact Curves des rendements d’indices boursiers européens...................................................................... 63
Figure 15: Volatilité conditionnelle annuelle du rendement du CAC....................................................................................... 64
Figure 16: News Impact Curves des rendements d’indices boursiers européens...................................................................... 69
Figure 17: Volatilité conditionnelle annuelle des rendements d’obligations d’Etat allemandes............................................... 71
Figure 18 : Volatilités conditionnelles des rendements du DAX et du CAC............................................................................ 78
Figure 19 : Corrélation conditionnelle des rendements du DAX et du CAC............................................................................ 78
Figure 20 : Corrélation conditionnelle des rendements de l’AEX et du CAC .......................................................................... 80
Figure 21 : Corrélation conditionnelle des rendements du CAC et du FTSE ........................................................................... 81
Figure 22 : Volatilités conditionnelles des rendements d’obligations allemandes et hollandaises .......................................... 82
Figure 23 : Corrélation conditionnelle des obligations allemandes et hollandaises.................................................................. 83
Figure 24 : Corrélation conditionnelle des obligations françaises et anglaises......................................................................... 84
Figure 25 : Volatilités conditionnelles des actions et des obligations françaises...................................................................... 86
Figure 26: Corrélations ente les rendements d’actions et d’obligations françaises................................................................... 87
Figure 27: Variations extrêmes des estimations de la corrélation actions-obligations Française ............................................. 88
Figure 29: Corrélations ente les rendements d’actions et d’obligations européennes............................................................... 95




                                                                                                                                                                            6
Table des tableaux

Tableau 1: Résumé des definitions: flight to quality, fligth from quality and contagion ...................................... 23

Tableau 2: Statistiques descriptives concernant les séries de rendements des indices boursiers européens ......... 48

Tableau 3: Statistiques descriptives concernant les séries de rendements des indices obligataires européens ..... 52

Tableau 4: Modèles univariés sélectionnés pour les séries de rendements d’indices Boursiers Européens.......... 60

Tableau 5: Modèles univariés selectionnés pour les séries de rendements d’indices obligataires européens ....... 67

Tableau 6: Paramètres des modèles DCC (1,1) pour les corrélations de rendements d’actions européennes ....... 77

Tableau 7: Paramètres des modèles DCC (1,1) pour les corrélations de rendements d’obligations ..................... 82

Tableau 8: Résumé des definitions: flight to quality, flight from quality and contagion ...................................... 85

Tableau 9: Paramètres des modèles DCC (1,1) des corrélations de rendements d’obligations et d’actions ......... 86

Tableau 10: Crise asiatique        Flight to quality.................................................................................................... 89

Tableau 11: Crise Russe        Contagion négative ................................................................................................... 90

Tableau 12: Attentats du 11 septembre             Contagion négative ............................................................................. 91

Tableau 13: Faillite d’Enron        Flight to quality .................................................................................................. 92

Tableau 14: Faillite de Worldcom             Flight to quality ........................................................................................ 92

Tableau 15: Élargissement et rejet français au referendum                     Flight From Quality.............................................. 93




                                                                                                                                                         7
Résumé

       Les deux grandes stratégies de diversification de portefeuilles utilisés par les
investisseurs se basent sur les corrélations des actifs financiers. La première stratégie consiste
à investir dans différents actifs financiers afin d’avoir une corrélation faible, voire négative
tandis que la seconde consiste à investir dans des actifs similaires à travers le monde. Bien
que ces deux stratégies aient de solides justifications théoriques et une forte évidence
empirique, les investisseurs doivent être conscients que les volatilités et les corrélations des
actifs financiers varient avec le temps. Ces dynamiques ont dès lors un impact considérable
sur le marché des capitaux. En effet, d’après la théorie du portefeuille efficient, tous
changements de corrélations des actifs financiers impliquent un changement des pondérations
de ces actifs détenus dans les portefeuilles des investisseurs. Dès lors, on comprend pourquoi
il est important pour l’investisseur de connaitre les facteurs qui influencent la volatilité et les
corrélations des marchés d’actions et d’obligations.


       Un des premiers phénomènes étudiés concernant la dynamique des volatilités des
rendements d’actions est le clustering de la volatilité qui met en évidence que des fortes
variations des rendements d’actifs tendent à être suivies par d’autres grandes variations de
même signe et que des faibles variations de rendements d’actifs tendent à être suivies par
d’autres faibles variations. Par la suite, certaines études empiriques constatent la présence
d’un phénomène « d’asymétrie de la volatilité ». Ce phénomène suppose qu’un choc négatif a
un impact plus important sur la volatilité des rendements d’actions qu’un choc positif de
même ampleur. La littérature s’est fortement concentrée sur l’étude de ce phénomène avec
pour priorité la volatilité des actions et trop rarement celle des obligations.


       L’étude des corrélations des rendements d’actions et des rendements d’obligations a
fait l’objet de nombreuses recherches au cours de ces dix dernières années. La littérature
relate une forte augmentation de la corrélation conditionnelle pour les marchés mondiaux
d’actions. Engle, Sheppard et Capiello (2003) confirment bien la présence d’asymétrie dans
les corrélations de rendements d’actions. Cela signifie, en d’autres mots, que les corrélations
entre actions augmentent plus fortement suite à une mauvaise nouvelle arrivant sur le marché.
Ils constatent par ailleurs que l’harmonisation des politiques monétaires européennes en 1999
a un impact considérable sur les corrélations mais pas sur les volatilités des actifs financiers.


                                                                                                 8
Kim, Moshirian et Wu (2004) remarquent que le processus d’intégration financière européen
a eu pour conséquence d’augmenter les corrélations au sein des marchés d’actions et
d’obligations.


       D’autres études se sont focalisées essentiellement sur les liens existant entre les
rendements d’actions et d’obligations d’Etats. D’après Fleming, Kirby et Oestdiek (1997), un
choc affectant un seul marché provoque un changement du comportement de l’investisseur.
En effet, lorsque le marché boursier voit sa volatilité augmenter suite par exemple à une crise
financière, les investisseurs ont tendance à se réfugier sur les marchés obligataires plus
stables. La conséquence directe de ce phénomène est la diminution de la corrélation entre les
rendements d’actions et d’obligations. Ce phénomène, plus connu sous le nom de Flight to
quality, a fait l’objet de nombreuses études aux cours de ces dernières années. Baur et Lucey
(2006) sont les premiers à regrouper les définitions des différents phénomènes ayant un
impact sur la corrélation des rendements entre ces deux marchés. Ils remarquent que la
corrélation entre les actions et les obligations européennes est très volatile ce qui traduit une
fréquence élevée de ces phénomènes.


       Ce mémoire a pour objectif d’analyser la dynamique des volatilités et des corrélations
des rendements d’actions et d’obligations d’Etats européennes à 5 ans de 1997 jusqu'à 2007.
Il consiste en une étude empirique qui va tenter de répondre à trois questions. En premier lieu,
il s’agit d’analyser la présence d’asymétrie dans la volatilité conditionnelle des actions et des
obligations d’Etats européennes. Ensuite, nous étudions la dynamique des corrélations d’un
même actif financier entre les différents pays afin d’analyser l’impact du passage à une
politique monétaire commune sur le marché des capitaux européens. Enfin, nous étudions de
manière plus approfondie les corrélations entres les rendements d’actions et d’obligations en
nous focalisant essentiellement sur les valeurs extrêmes de variations de ces corrélations au
cours du temps. Nous allons dater précisément ces variations extrêmes afin de détecter la
présence de phénomène de flight to quality sur les marchés des capitaux européens au cours
de la période étudiée. Contrairement aux recherches précédentes, nous réalisons une étude
préalable de la volatilité sur ces différents marchés afin de comprendre les variations extrêmes
des corrélations entre les rendements d’actions et d’obligations.




                                                                                               9
Le modèle économétrique utilisé pour réaliser cette étude est le « Dynamic
Conditional Correlation : A multivaritiate GARCH model » (DCC) introduit par Engle
(2000). Ce modèle est estimé en deux étapes. Dans un premier temps, les paramètres des
séries univariés de rendements vont être estimés avec un processus GARCH. Ensuite, ce
modèle utilise les résidus standards de séries univariés afin d’estimer les corrélations
conditionnelles. Ce modèle est souvent préféré car il possède la flexibilité des processus
GARCH univariés et la parcimonie des modèles paramétriques d’estimation des corrélations
dynamiques. Ils ne sont pas linéaires mais peuvent être estimés très simplement avec la
fonction de vraisemblance.


       Nos résultats confirment bien la présence d’asymétrie dans la volatilité des actions
européennes. En effet, la volatilité des rendements d’indices boursiers européens semble
réagir plus fortement aux mauvaises nouvelles. Nous constatons aussi une certaine persistance
de la volatilité des actions et des obligations. Cela signifie, en d’autres mots, que la volatilité
des marchés d’actions et d’obligations possède une mémoire long terme. Cependant, le
marché des obligations semble réagir très faiblement aux nouveaux chocs en comparaison
avec le marché des actions qui semble beaucoup plus sensible aux nouvelles informations.


       Nous remarquons par ailleurs une forte similitude des dynamiques des volatilités entre
les différents pays pour une même classe d’actifs, ce qui traduit un degré élevé d’intégration
financière en Europe. Afin d’analyser l’impact de l’harmonisation des politiques monétaires
sur le processus d’intégration, nous avons analysé les corrélations au sein de chaque marché.
Nos résultats révèlent la présence d’une brusque augmentation de la corrélation, aussi bien au
sein du marché des actions que sur le marché des obligations, environ un an avant le passage à
la zone euro. D’après Kim, Moshirian et Wu (2004), ce décalage temporel s’explique par la
prise en compte de ce facteur dans les anticipations des investisseurs. L’impact le plus visible
de l’harmonisation des politiques monétaires semble être la stabilisation des corrélations au
sein d’une même classe d’actifs. La présence d’une forte corrélation entre les différents
indices boursiers européens a des implications importantes en gestion de portefeuilles. Celle-
ci implique qu’une diversification entre les pays européens n’est pas une stratégie
d’investissement efficace puisqu’elle ne permet pas de réduire le risque du portefeuille. En
effet, l’objectif encouru par la diversification est justement d’obtenir une matrice des
corrélations très faibles, voire négative et ce afin d’obtenir un portefeuille ayant le risque
minimum pour un niveau de rentabilité donné.


                                                                                                10
En ce qui concerne les liens qu’il existe entre ces deux marchés, nos résultats
indiquent la présence d’une relation négative entre les rendements d’actions et d’obligations
européennes. D’après Baur (2007), cette relation négative s’explique par la brusque
augmentation des corrélations d’actions entre les différents pays européens. Cette forte hausse
des corrélations d’actions a grandement diminué les opportunités de diversification
géographique des investisseurs européens. C’est pourquoi les investisseurs vont diversifier
leurs portefeuilles avec des actifs plus faiblement corrélés avec les actions, comme les
obligations d’Etas européennes. La relation négative entre les actions et les obligations
européennes est donc la conséquence directe de la diminution des opportunités de
diversification géographique en Europe, suite au processus d’intégration financière
européens.


       Notre analyse révèle une présence élevée de variations extrêmes de la corrélation entre
actions et obligations. Nous avons détecté la présence de phénomènes de Flight to quality
lors de diverses crises financières au cours de cette période. Par exemple, suite à la crise
asiatique, il semble que les investisseurs aient quitté le marché d’actions relativement volatile
pour se réfugier sur le marché d’obligations beaucoup plus stable. Cette préférence pour la
qualité lors des crises financières a pour conséquence de diminuer fortement la corrélation
entre actions et obligations.


       Enfin, nous constatons que le rejet français à la constitution européenne en mai 2005 a
un impact considérable sur les corrélations au sein du marché d’actions et sur les corrélations
entres ces différents marchés. Ceci confirme donc bien les résultats de De Grauwe (2006) qui
suggère l’existence d’un lien entre l’union politique et l’union monétaire. D’après nous, cette
fatigue du processus d’intégration politique européen a profondément remis en doute
l’intégration financière. La conséquence de cette remise en doute est la brusque diminution
des corrélations de rendements d’actions ce qui améliore fortement les opportunités de
diversification géographique à travers l’Europe. Les marchés boursiers étant assez stables au
cours de cette période, on assiste à un retour des investisseurs sur le marché des actions
européennes en défaveur du marché des obligations d’Etats Ce phénomène, plus connu sous
le nom de Flight from Quality, explique la brusque diminution des corrélations entre les
rendements d’actions et d’obligations à cette période. Précisons par ailleurs que ce
phénomène n’est pas relaté par la littérature actuelle.



                                                                                              11
I. Introduction

       Les deux grandes stratégies de diversification de portefeuilles utilisés par les
investisseurs se basent sur les corrélations des actifs financiers. D’après la théorie classique de
Markowitz, tout changement de corrélations entre les différents actifs financiers implique un
changement de pondérations des actifs détenus dans le portefeuille. Néanmoins, la littérature
relate que les volatilités et les corrélations des actifs financiers varient avec le temps. Ces
dynamiques ont dès lors un impact considérable sur le marché des capitaux. Dès lors, on
comprend pourquoi il est important pour l’investisseur de connaitre les facteurs qui
influencent la corrélation entre les rendements d’actifs financiers.


       Un des premiers phénomènes étudiés concernant la dynamique des volatilités des
rendements d’actions est le clustering de la volatilité. Ce phénomène met en évidence que des
fortes variations des rendements d’actifs tendent à être suivies par d’autres grandes variations
de même signe et que des faibles variations de rendements d’actifs tendent à être suivies par
d’autres faibles variations. Par la suite, certaines études empiriques constatent la présence
d’un phénomène « d’asymétrie de la volatilité ». Ce phénomène suppose qu’un choc négatif a
un impact plus important sur la volatilité des rendements d’actions qu’un choc positif de
même ampleur. La littérature s’est fortement concentrée sur l’étude de ce phénomène avec
pour priorité la volatilité des actions et trop rarement celle des obligations.


       L’étude des corrélations des rendements d’actions et des rendements d’obligations a
fait l’objet de nombreuses recherches au cours de ces dix dernières années. La littérature
relate une forte augmentation de la corrélation conditionnelle pour les marchés mondiaux
d’actions. Engle, Sheppard et Capiello (2003) confirment bien la présence d’asymétrie dans
les corrélations de rendements d’actions. Cela signifie, en d’autres mots, que les corrélations
entre actions augmentent plus fortement suite à une mauvaise nouvelle arrivant sur le marché.
Ils constatent par ailleurs que l’harmonisation des politiques monétaires européennes en 1999
a un impact considérable sur les corrélations mais pas sur les volatilités des actifs financiers.
Kim, Moshirian et Wu (2004) remarquent que le processus d’intégration financière européen
a eu pour conséquence d’augmenter les corrélations au sein des marchés d’actions et
d’obligations.




                                                                                                12
D’autres études se sont focalisées essentiellement sur les liens existant entre les
rendements d’actions et d’obligations d’Etats. D’après Fleming, Kirby et Oestdiek (1997), un
choc affectant un seul marché provoque un changement du comportement de l’investisseur.
En effet, lorsque le marché boursier voit sa volatilité augmenter suite par exemple à une crise
financière, les investisseurs ont tendance à se réfugier sur les marchés obligataires plus
stables. La conséquence directe de ce phénomène est la diminution de la corrélation entre les
rendements d’actions et d’obligations. Ce phénomène, plus connu sous le nom de Flight to
quality, a fait l’objet de nombreuses études aux cours de ces dernières années. Baur et Lucey
(2006) sont les premiers à regrouper les définitions des différents phénomènes ayant un
impact sur la corrélation des rendements entre ces deux marchés. Ils remarquent que la
corrélation entre les actions et les obligations européennes est très volatile ce qui traduit une
fréquence élevée de ces phénomènes.


       L’introduction en 1982 du modèle ARCH par Engle permet d’analyser la dynamique
des volatilités des actifs financiers et a ainsi donné naissance à l’économétrie financière
moderne.    Ce modèle résout le problème d’hétéroscédasticité des rendements d’actifs
financiers. En effet, de nombreuses études empiriques montrent que la variance des séries
temporelles de rendements d’actifs financiers varie à travers le temps, ce qui signifie que les
donnés sont hétéroscédastiques. L’introduction de ce modèle fut vraiment le point départ de
l’analyse de la variance conditionnelle de séries chronologiques des rendements d’actions.


       Le modèle économétrique utilisé pour réaliser ce mémoire est une version multivariée
des modèles ARCH : Le « Dynamic Conditional Correlation » (DCC) introduit par Engle
(2000). Ce modèle est estimé en deux étapes. Dans un premier temps, les paramètres des
séries univariés de rendements vont être estimés avec un processus GARCH. Ensuite, ce
modèle utilise les résidus standards de séries univariés afin d’estimer les corrélations
conditionnelles. Ce modèle est souvent préféré car il possède la flexibilité des processus
GARCH univariés et la parcimonie des modèles paramétriques d’estimation des corrélations
dynamiques.




                                                                                              13
Ce mémoire a pour objectif d’analyser la dynamique des volatilités et des corrélations
des rendements d’actions et d’obligations d’Etats européennes à 5 ans sur une période de 10
ans. Il consiste en une étude empirique qui va tenter de répondre à trois questions. En premier
lieu, il s’agit d’analyser la présence d’asymétrie dans la volatilité conditionnelle des actions et
des obligations d’Etats européennes. Ensuite, nous étudions la dynamique des corrélations
d’un même actif financier entre les différents pays afin d’analyser l’impact du passage à une
politique monétaire commune sur le marché des capitaux européens. Enfin, nous étudions de
manière plus approfondie les corrélations entres les rendements d’actions et d’obligations en
nous focalisant essentiellement sur les valeurs extrêmes de variations de ces corrélations au
cours du temps. Nous allons dater précisément ces variations extrêmes afin de détecter la
présence de phénomène de flight to quality sur les marchés des capitaux européens au cours
de la période étudiée. Contrairement aux recherches précédentes, nous réalisons une étude
préalable de la volatilité sur ces différents marchés afin de comprendre les variations extrêmes
des corrélations entre les rendements d’actions et d’obligations.




                                                                                                14
II. Littérature sur la dynamique des corrélations

          Les deux grandes stratégies de diversification de portefeuilles utilisés par les
investisseurs se basent sur les corrélations des actifs financiers. La première consiste à investir
dans différents actifs financiers afin d’avoir une corrélation faible, voire négative tandis que la
seconde consiste à investir dans des actifs similaires à travers le monde. Bien que ces deux
stratégies aient de solides justifications théoriques et une forte évidence empirique, les
investisseurs doivent être conscients que les volatilités et les corrélations des actifs financiers
varient avec le temps. Ces dynamiques ont dès lors un impact considérable pour les
investisseurs averses au risque et affectent donc fortement l’investissement sur le marché des
capitaux.


          La partie qui suit a pour but de résumer la récente et très abondante littérature
concernant la dynamique des volatilités et des corrélations des rendements d’actifs financiers.
Mais avant de présenter la littérature sur les corrélations, il est utile de rappeler quelques faits
importants concernant la dynamique des volatilités des rendements d’actifs financiers. En
effet, les corrélations calculées au cours de ce mémoire se basent sur les volatilités de ces
actifs. Il est dès lors important de comprendre l’impact qu’ont les chocs sur la volatilité des
actifs financiers.


2.1. La dynamique de la volatilité des actions

          Un des premiers phénomènes étudiés concernant la dynamique des volatilités est le
« Volatility Clustering 1» découvert par Mandelbrot (1963). Il fait apparaitre très clairement
que des fortes variations des rendements d’actifs tendent à être suivies par d’autres grandes
variations de même signe et que des faibles variations de rendements d’actifs tendent à être
suivies par d’autres faibles variations. Ce phénomène démontre qu’en période de récession, la
volatilité a tendance à varier énormément tandis qu’en période plus calme, les volatilités
subissent de plus faibles variations.


          Un autre phénomène intéressant a été découvert suite aux travaux empiriques de Black
(1976) et de Christie (1982). Il semblerait qu’il existe une relation asymétrique entre le

1
    Phénomène de regroupements des extrèmes


                                                                                                 15
rendement et la volatilité. Ils constatent que la volatilité est plus grande en période de
récession, ce qui traduirait une augmentation plus grande de la volatilité des actions après un
choc négatif qu’après un choc positif de la même amplitude. L’étude réalisée par
Schwert(1989) sur le crash boursier de 1987 a largement confirmé ce phénomène.

           Schwert (1989) analyse la dynamique de la volatilité des actifs financiers sur une
période de 130 ans. Il tente d’expliquer les différents facteurs qui influencent cette
dynamique. Une des premières explications qu’il donne trouve sa source dans l’incertitude
économique. En effet, au niveau macroéconomique, la valeur de marché d’une entreprise
dépend clairement de la santé de l’économie. Pour un taux d’actualisation constant, la
variance conditionnelle du prix des actions est proportionnelle à la variance conditionnelle des
dividendes futurs espérés. Ces dividendes espérés se basent sur des prévisions futures qui
dépendent essentiellement des nouvelles informations et du niveau d’incertitude qui règnent
sur les marchés financiers. Par exemple, si le niveau d’incertitude est grand, les prévisions des
dividendes futurs espérés seront plus faibles et par conséquent le prix des actions diminuera,
ce qui implique finalement une hausse de la volatilité des rendements d’actions.


           D’autre part, Schwert (1989) démontre en partie l’influence du levier financier2 sur
le phénomène d’asymétrie. Si le levier financier augmente, la proportion de la dette par
rapport aux fonds propres augmente, ce qui rend la détention d’actions plus risquée pour les
actionnaires et provoque une augmentation de la volatilité de ces actions. Ceci explique en
partie le phénomène d’asymétrie qui suppose qu’un choc négatif a un impact plus important
sur la variance conditionnelle qu’un choc positif de même ampleur. Ce phénomène
d’asymétrie sera d’ailleurs de plus en plus étudié grâce à l’apparition de modèles dérivés du
GARCH. L’introduction des « News Impact Curves » par Engle et Kroner (1993) fut un autre
grand pas réalisé pour l’étude de cet effet asymétrique des chocs sur la volatilité
conditionnelle car ces courbes permettent de visualiser l’ampleur d’un choc sur la variance.


           D’autres articles tentent d’expliquer ce phénomène d’asymétrie en déterminant la
relation qu’il y a entre la volatilité et la prime de risque d’une action. D’après Braun, Nelson
et Seunier (1995), une augmentation de la volatilité du marché augmente la prime de risque
du marché. A taux d’actualisation constant, une hausse de la volatilité provoque une baisse
des cours sur le marché d’actions ce qui renforce la hausse de la volatilité. Ils analysent la

2
    Le ratio de dette sur fonds propres


                                                                                               16
présence d’asymétrie pour le beta conditionnelle en utilisant un modèle GARCH multivarié et
constatent qu’il n’y a pas d’effet d’asymétrie des chocs sur le Beta.


           Kroner et Ng (1998) analysent la présence d’asymétrie des chocs pour les covariances
conditionnelles des actifs financiers. Pour ce faire, ils introduisent une généralisation
multivariée des courbes d’Engle et Kroner (1993) : « Les news Impact Surface ». Ces surfaces
permettent d’analyser l’impact des chocs sur la covariance conditionnelle. Ils vont d’ailleurs
analyser la dynamique des volatilités des portefeuilles composés d’entreprises de grandes et
petites capitalisations boursières. Ils constatent que l’asymétrie est plus grande pour des
indices de marché que pour une action prise individuellement.


           Wu et Bekaert (2000) introduisent une nouvelle explication au phénomène
d’asymétrie. D’après eux, ce phénomène peut aussi être expliqué par l’existence d’une prime
de risque qui varie avec le temps. La causalité est cependant différente de celle de l’effet
levier. En effet l’effet levier explique en partie qu’une variation des rendements provoque un
changement dans les volatilités conditionnelles tandis que la théorie de la dynamique de la
prime de risque suppose que les changements de volatilité provoquent des variations de
rendements. Ce phénomène appelé « volatility feedback » suppose que la volatilité est
persistante3 et démontre qu’il existe une relation intertemporelle positive entre le rendement
attendu et la variance conditionnelle.


           Cet effet de « Volatility Feedback » n’avait jamais été étudié auparavant au niveau de
l’entreprise individuelle. Or d’après la théorie du CAPM, la prime de risque d’une action est
égale à la prime de risque du marché multiplié par un coefficient Beta. Ce coefficient, qui
représente le risque non diversifiable de l’actif, est égal à la covariance entre l’actif et le
marché divisé par la variance de ce marché. Cela signifie qui si la covariance entre un actif et
son marché augmente, le Beta augmente et donc le rendement attendu augmente ce qui
provoque finalement une hausse de la volatilité


           Le phénomène d’asymétrie au niveau de l’entreprise individuelle est assez complexe à
analyser. Par exemple, une mauvaise nouvelle a deux impacts sur les volatilités.
Premièrement, celle-ci va augmenter la volatilité générale du marché et cette augmentation va


3
    Un choc sur la volatilité aujourd’hui aura un impact sur les prévisions de volatilité loin dans le futur


                                                                                                               17
être compensée par l’attente des investisseurs de rendements plus élevés ce qui provoque une
diminution des valeurs de marché des entreprises. Cette diminution des prix continuera
jusqu'à ce que le rendement attendu soit suffisamment haut. Le phénomène de volatlity
feedback provoque donc une augmentation de la volatilité. Deuxièmement, la diminution des
prix des actions provoque une augmentation du levier financier au niveau du marché ce qui a
pour conséquence d’augmenter à nouveau la volatilité des rendements d’actifs. L’effet levier
renforce donc encore l’effet de feedback de la volatilité. Dans le cas d’une bonne nouvelle,
l’impact sur la volatilité n’est pas encore très clair. Ces deux effets tendent à se contrebalancer
et donc l’effet est plus ou moins mixte. La figure suivante tente d’expliquer ce phénomène de
manière simple.


               Figure 1: Impact d'une mauvaise nouvelle sur la variance conditionnelle

                                         Effet Levier

                     Cours                      Levier Financier                          Volatilité
                   Rendements                                                           conditionnelle



        Mauvaises
        nouvelles                      Volatility Feedback


                  Prime de risque            Rendement               Cours                Volatilité
                     du marché                 espéré                                   conditionnelle




                              Source : ce tableau s’inspire d’un tableau de l’article de Bekeart et Wu (2000)


       Wu (2001) démontre que les 2 effets sont des déterminants importants de l’asymétrie
des volatilités conditionnelles. Ils peuvent agir en même temps et amplifier l’impact du choc
négatif sur la volatilité. Néanmoins, l’effet levier aurait un impact moins considérable sur le
phénomène d’asymétrie que l’effet de Volatility Feedback qui quant à lui est très significatif.




                                                                                                         18
Ces différents articles confirment bien que les volatilités des rendements d’actions
varient avec le temps et réagissent différemment aux chocs positifs et négatifs. Ce phénomène
d’asymétrie, qui est une évidence empirique trouve sa source en partie dans l’effet levier et
le feedback de la volatilité. La partie qui suit a pour but de résumer quelque faits de la
littérature concernant la volatilité des rendements des obligations.



2.2. La dynamique des volatilités des obligations

       Jusqu’alors, l’analyse de la dynamique des volatilités a essentiellement concerné le
marché des actions et rarement celui des obligations. Un des premiers à s’intéresser à la
dynamique de la volatilité des taux d’intérêts est Ilmanen (1995). Il analyse la prime de
risque des Bons d’états de 6 pays différents. Il remarque que cette prime de risque varie avec
le temps et qu’elle est fortement corrélée entre les marchés internationaux.


        Par après, Ball et Torous (1999) analysent la dynamique des taux d’intérêts à court
terme entre différents pays et confirment que la volatilité des taux d’intérêts possède une
mémoire à long terme. Ils essayent aussi de comprendre les liens qui existent entre les
dynamiques des volatilités des marchés d’actions et d’obligations. Leur explication trouve sa
source dans le fait que les chocs économiques n’ont pas le même impact sur les deux
marchés. D’après eux, les chocs qui ont un impact considérable sur les volatilités des taux
intérêts court terme sont les annonces de la Banque Centrale et l’annonce de données
macroéconomiques.


       Cappiello (2000) prouve bien que les actions et les obligations d’Etats répondent
asymétriquement à une nouvelle mais de manière inversée. En général les banques centrales
diminuent leurs taux lorsque l’économie est en période de croissance et ce afin de diminuer
l’épargne et stimuler l’investissement. Il constate que la volatilité des obligations d’Etats est
plus faible lors du crash de 1987 ce qui traduirait un effet « Flight to quality ». D’après lui,
les investisseurs sentent la faiblesse de l’économie et supposent que les rendements des
obligations vont surperformer par rapport aux marchés boursiers. Cela pousse les
investisseurs à réviser la pondération entre les actions et les obligations détenues dans leurs
portefeuilles.




                                                                                              19
Christiansen (2000) analyse l’effet des annonces macroéconomiques sur les
covariances de différentes obligations4 d’Etats américaines. Selon elle, les variations de
rendements d’obligations dépendent de l’annonce d’information macroéconomique comme le
taux d’intérêt réel, le taux d’inflation, la politique monétaire ou encore la politique fiscale.
Elle découvre que les variances conditionnelles, les covariances conditionnelles et les
corrélations sont plus grandes les jours où cette information est diffusée. Elle remarque par
ailleurs que la publication des nouvelles macroéconomiques induit un mouvement semblable
des différents marchés obligataires, ce qui renforce leurs corrélations. Christiansen confirme
la persistance de la volatilité des obligations et prouve qu’il n’y a pas d’effet asymétrique pour
les rendements d’obligations.



2.3. La dynamique des corrélations entre les actifs financiers

           Les corrélations entre les actions et les obligations jouent un rôle clé pour les
investisseurs car c’est sur celles-ci que se basent toutes les stratégies de diversification. En
effet, d’après la théorie du portefeuille efficient, tous changements de corrélations entre les
différents actifs financiers impliquent un changement des pondérations de ces actifs détenus
dans le portefeuille. Dès lors, on comprend pourquoi il est important pour l’investisseur de
connaitre les facteurs qui influencent la corrélation entre les rendements d’obligations et
d’actions. Nous allons tout d’abord présenter la littérature concernant les corrélations au sein
d’un même marché et ensuite présenter les récents articles qui tentent d’expliquer le lien
complexe qui existe entre ces deux marchés.


           En ce qui concerne la corrélation du marché des actions, Karoly et Stulz (1996)
analysent les covariances entre les rendements d’actions américaines et japonaises et
découvrent ainsi que les covariances sont élevées quand il y a des chocs de grande ampleur
sur les marchés nationaux. Ils tentent d’expliquer les mouvements similaires des rendements
d’actions de ces deux pays par l’effet de contagion. L’enthousiasme des investisseurs
concernant le marché des actions semble être contagieux d’une région à une autre. De plus,
ils constatent que les corrélations sont très grandes lorsque les marchés sont très volatiles ce
qui implique que la diversification internationale n’est pas une stratégie d’investissement
appropriée dans le cas d’une récession.

4
    Christiansen analyse les obligations d’états à 2, 3, 5, 7, 10 et 30 ans.


                                                                                               20
Ces résultats sont confirmés par Longin et Solnik (2001) qui découvrent que les
corrélations entre actions ne dépendent pas nécessairement de la dynamique des volatilités
mais sont plutôt liées aux tendances de marché. Ils constatent que les corrélations entre
actions augmentent lorsque les marchés d’actions sont en baisse et inversement.


       L’étude du lien qu’il y a entre le marché des actions et d’obligations a fait l’objet de
nombreuses études aux cours de ces 15 dernières années. Afin d’expliquer la relation qui
existe entre le taux d’intérêt et les cours des actions, Shiller et Beltrati (1992) supposent que le
modèle de la valorisation des actifs implique qu’il existe une relation entre le prix d’une
action et les taux d’intérêts d’obligations long terme. D’après les fondamentalistes, le prix
d’une action et le prix d’une obligation sont égaux à la somme des valeurs actuelles des
payements futurs. Les dividendes futurs des actions sont incertains et infinis dans le temps
contrairement aux payements d’obligations qui sont fixés et limités dans le temps. C’est
pourquoi les facteurs qui affectent les taux d’actualisation vont faire varier le prix des actions
et des obligations dans la même direction, tandis que les facteurs qui affectent uniquement les
dividendes d’actions ne vont faire varier que le prix des actions.


       Fleming, Kirby et Ostdiek (1997) étudient le rôle de l’information dans les liens qu’il
y a entre les volatilités du marché des actions et celui des obligations. Premièrement, ils
découvrent que les informations macroéconomiques comme l’annonce des taux d’inflation
provoquent des chocs communs sur la volatilité de ces deux marchés. Deuxièmement, un choc
qui n’affecte qu’un marché produit un changement des pondérations des différents actifs
financiers détenus dans les portefeuilles des investisseurs. Ce changement des pondérations
implique des chocs d’offre et de demande sur les marchés concernés, ce qui provoque des
variations de prix de ces actifs et donc de leur volatilité. Cela explique en partie pourquoi une
information qui affecte la volatilité d’un seul marché peut se répandre sur la volatilité des
autres marchés. Ils affirment donc qu’il existe des liens entre les volatilités des différents
marchés.


       Li (2002) analyse les corrélations entre les marchés d’actions et d’obligations. Il tente
de déterminer la corrélation entre ces marchés en fonction de leur exposition commune aux
facteurs macroéconomiques. Selon lui, l’incertitude concernant l’inflation à long terme est un
déterminant important des tendances majeures des corrélations entre les marchés des actions
et des obligations. Il constate que l’incertitude concernant des facteurs macroéconomiques


                                                                                                 21
comme le taux d’intérêt réel ou le taux d’inflation ont des impacts sur la volatilité des
rendements d’actions et d’obligations. Le taux d’intérêt réel influence le prix des actions et
des obligations car il détermine le taux d’actualisation des payements futurs. Durant les
périodes où le risque d’inflation est élevé, les rendements d’actifs financiers tendent à être
plus volatiles, ce qui pousse les investisseurs à diversifier le risque de leur portefeuille.
Malheureusement, d’après Li (2002) ces périodes peuvent être caractérisées par une très forte
corrélation entre les marchés d’actions et d’obligations. Une des implications qui découle de
ce résultat est la confirmation de la loi de la diversification de Murphy « Les opportunités de
diversification sont le moins disponibles lorsqu’elles sont le plus nécessaires ».


       Engle, Sheppard et Cappiello (2003) analysent la présence d’asymétrie dans la
dynamique des corrélations des rendements d’actions et d’obligations sur la période 1987-
2000. Ils découvrent la présence d’une forte augmentation de la corrélation conditionnelle
pour les marchés mondiaux d’actions et constatent que ces corrélations augmentent fortement
en réaction à une mauvaise nouvelle arrivant sur le marché. Cette présence d’asymétrie dans
les corrélations d’actions confirme bien la loi de Murphy. Ils constatent aussi que
l’harmonisation des politiques monétaires européennes en 1999 a un impact considérable sur
les corrélations mais pas sur les volatilités des actifs financiers. Pour finir, ils constatent avec
évidence que la corrélation entre les actions et les obligations diminue fortement en période
de récession ce qui traduit d’après eux un phénomène de « flight to quality ».


       Kim, Moshirian et Wu (2004) analysent le processus d’intégration financière en
Europe et constatent une forte augmentation des corrélations des rendements au sein de
chaque marché respectif. Cette forte hausse des liens au sein des marchés est essentiellement
due au processus d’intégration financière européen en marche depuis plus de 20 ans. Ils
constatent que ces corrélations augmentent fortement en 1996-1997 avant l’harmonisation des
politiques monétaires européennes datant du 1er janvier 1999. D’après eux, cette forte hausse
s’explique par la prise en compte de ce facteur dans les anticipations des investisseurs.


       Christiansen et Ranaldo (2005) constatent que les corrélations des rendements
d’actions et d’obligations varient en fonction du temps et de l’environnement économique. Ils
analysent l’impact des nouvelles macroéconomiques sur ces corrélations et constatent que la
corrélations entres obligations et actions n’est pas nécessairement influencée par ce type de
nouvelles. Néanmoins les nouvelles macroéconomiques semblent avoir un impact sur les


                                                                                                 22
volatilités de ces actifs financiers. Cependant, l’impact de ces nouvelles est plus prononcé
pour les volatilités d’obligations que pour les volatilités d’actions. Selon eux, ce sont les
tendances générales du marché qui influencent grandement la corrélation entre le marché des
actions et des obligations.


       Connolly, Stivers et Sung (2005) découvrent qu’il existe une relation négative entre
l’incertitude et la corrélation les rendements d’actions et d’obligations. D’après eux,
l’incertitude qui règne sur le marché pousse les investisseurs à réviser plus fréquemment la
pondération entre obligations et actions détenues en portefeuilles.


       Lee, Marsh et Pfleiderer (2006) étudient la corrélation entre les bons du trésor et les
actions américaines. Ils considèrent que de brusques variations de corrélations entre deux
actifs financiers reflètent des changements de comportement de la part des investisseurs. Ils
associent les phénomènes de flight to quality et de flight from quality à ces changements de
comportements. Ils constatent aussi une sorte de mémoire à long terme de la corrélation entre
rendements d’actions et bons du trésor. Cette mémoire provient en partie du régime appliqué
par la politique monétaire du pays concerné.


        Baur et Lucey (2006) analysent la présence de phénomènes de Flight to Quality et de
Fligth from Quality. Ils sont les premiers à regrouper clairement les définitions des différents
phénomènes affectant les corrélations entre rendements d’actions et d’obligations. D’après la
littérature, ils définissent la contagion comme une augmentation des corrélations entre les
rendements de ces deux actifs cumulés à une baisse simultanée sur les marchés boursiers. Le
Flight to quality est défini comme une baisse des corrélations d’actions et d’obligations
cumulées à une baisse simultanée sur les marchés boursiers. Pour le Flight from quality, c’est
une hausse des marchés boursiers cumulée à une diminution des corrélations entre ces deux
actifs. Le tableau suivant résume ces différentes définitions.
         Tableau 1: Résumé des definitions: flight to quality, fligth from quality and contagion
                                                        Corrélations entre actions et obligations
                                                        Diminution                         Augmentation
      Marché boursier en Baisse         Actions     obligation Fligth to qualtiy    Contagion négative
     Marché boursier en Hausse          Obligation actions Fligth from qualtiy      Contagion positive
    Marché obligataire en Hausse        Obligation actions Fligth from qualtiy      Contagion négative
    Marché obligataire en Hausse        Obligation actions Fligth to qualtiy       Contagion positive
                                                                    Source : Baur D. et Lucey M. (2006)




                                                                                                    23
Baur et Lucey (2006) analysent la corrélation des rendements d’actions et
d’obligations européennes sur la période 1995-2005. Premièrement, ils constatent que cette
corrélation est très volatile ce qui traduirait une fréquence relativement élevée des
phénomènes définis plus haut. Deuxièmement, ils constatent que la volatilité du marché des
actions et des obligations explique en partie la variation de cette corrélation. D’après eux, la
volatilité sur le marché des obligations contribue potentiellement au phénomène de contagion
et la volatilité sur le marché des actions contribue au phénomène de flight to quality lorsque le
marché boursier est en hausse. Ils pensent que la relation positive s’explique par l’exposition
commune de ces deux marchés aux facteurs macroéconomiques tandis que la relation
négative s’explique par le changement des pondérations d’actifs détenus dans les
portefeuilles.


       Baur (2007) analyse les liens qu’il y a entre les marchés financiers à travers le monde
de 1994 à 2006. D’après lui, la corrélation entre les actions et les obligations s’explique par
les liens existants entre les différents marchés financiers. Il constate que la corrélation entre
les actions et les obligations européennes est relativement faible et négative sur sa période. Le
signe négatif s’explique par la forte augmentation des corrélations des rendements d’actions
européennes en Europe. D’après Baur (2007), la hausse des corrélations poussent les
investisseurs à réajuster fréquemment leurs allocations en actifs financiers détenus dans leurs
portefeuilles.




                                                                                              24
III. Littérature et méthodologie du modèle économétrique.

           « La base de l’économétrie appliquée est le modèle des moindres carrés. La version
basique de ce modèle suppose que l’espérance mathématique des termes d’erreurs, en valeur
absolue, est égale pour chaque point donné. L’espérance mathématique de n’importe quel
carré du terme d’erreurs est donc égale à la variance de tous les termes d’erreurs ensemble.
Cette hypothèse est appelée homoscédasticité.


          Inversement, les données pour lesquelles les espérances mathématiques des termes
d’erreurs ne sont pas égales souffrent quant à elles d’hétéroscédasticité, ce qui peut poser
problème lorsqu’on utilise la méthode des moindres carrés. Car comme les intervalles de
confiance des estimations des coefficients de régression seront assez restreints, cela va
engendrer une fausse idée de précision.


          Parfois le sujet clé de l’analyse est la variance des termes d’erreurs elle-même. Cette
question revient d’ailleurs souvent dans des applications financières lorsque la variable
dépendante est le rendement d’un actif ou d’un portefeuille d’actifs et que la variance des
rendements représente le niveau de risque de ces actifs. Généralement, les données
historiques des rendements d’actifs sont hétéroscédastiques. Il est évident que lorsque l’on
analyse des données historiques de rendements d’actifs financiers, certaines périodes sont
plus risquées que d’autres et donc l’espérance mathématique d’un terme d’erreur à un
certain moment peut être plus grande qu’à d’autre périodes ».
                                                                                 Engle5 (2001)


3.1. Les séries temporelles

          Une série temporelle est une série d’observations d’une variable            y   aux instants

t = 1,2 ,… ..,T.
                                           y1 , y 2 ,.... yt                                       (1.1)


Les séries de cours d’actions ou d’obligations sont des séries temporelles.


5
    Engle, Robert, (2001) “GARCH 101: An Introduction to the Use of ARCH/GARCH models in Applied
    Econometrics,” Forthcoming Journal of Economic Perspectives


                                                                                                     25
Dans le cadre de ce mémoire, des distributions de rendements d’actions et
d’obligations vont être analysées. Le rendement est calculé sur base des séries temporelles de
prix de ces différents actifs financiers :

                                                                                                              (1.2)
                                        rt = log( pt ) − log( pt −1 )
           Une variable aléatoire est une variable qui prend des valeurs suivant une certaine
fonction de distribution. La série temporelle des rendements est une variable aléatoire qui se
décrit généralement avec deux paramètres importants. Le premier est la moyenne de la série
qui se définit6 comme suit :
                                                                         T
                                                                    −1
                                               µ = E[r ] = T             ∑r     t
                                                                                                              (1.3)
                                                                         t =1


Le deuxième paramètre très important en finance est l’écart type qui se définit comme suit :

                                                              T                                               (1.4)
                                          σt = T        −1
                                                             ∑ (rt − µ t ) 2
                                                             t =1

           L’écart type mesure la dispersion de la série de données autour de sa moyenne. Aussi
appelé volatilité, ce paramètre est souvent préféré à la variance car il utilise les mêmes unités
que les données originales. Pour les données d’actifs financiers, ce terme représente le risque
d’un actif. Ce risque est en quelque sorte une mesure de l’ampleur des variations de prix. Les
actions sont des actifs qui connaissent des grandes variations de prix tandis que les prix des
obligations sont plus stables dans le temps.

3.1.1. Processus Stochastique
              Un processus stochastique7 est une suite de variables aléatoires définie sur un même
       espace W, appelé espace fondamental. Un processus stochastique se formule comme suit :


                                                      {Yt t ∈ Z }                                             (1.5)


La suite de rendements d’actifs financiers est un processus stochastique

                                                     {rt t ∈ Z }                                              (1.6)




6
    La notation avec une barre est pour différencier la moyenne marginale de la moyenne conditionnelle
7
    Racicot, E., et Théoret, R (2001). : Traite d’Econométrie financière, Presses de l’Université du Québec


                                                                                                                26
3.1.2. La stationnarité de second ordre8
                       La stationnarité est une mesure probabiliste de la régularité. Cette régularité peut être
           exploitée afin d’estimer des paramètres inconnus et caractériser les relations de dépendance
           entre les observations à différents points du temps. La stationnarité existe sous deux formes :
           la stationnarité au sens strict et la stationnarité au second ordre (ou stationnarité faible). Dans
           ce mémoire, non ne considérerons que la stationnarité faible.
           Un processus stochastique est faiblement stationnaire si et seulement si :


                       E[ yt ] = `µ ∈ R                                  pour t = 1,2...
                                       2
                                                                                                              (1.7)
                       V[ yt ] = `σ        ∈R                             pour t = 1,2...
                        E [( yt − µ ) ( yt −s − µ )] = γ s ∈ R           pour t = 1,2... pour s = 1,2, ..., t − 1.

                       Un processus stochastique est donc stationnaire si ses moyennes, ses variances et ses
           covariances marginales ne dépendent pas du temps. (Mais bien de l’écart temporel dans le cas
           de la covariance).


                       Les processus associés aux prix pt des actifs financiers sont d’habitude non
           stationnaires. En effet, les séries temporelles des cours présentent généralement une certaine
           tendance.        Cependant, les séries temporelles de rendements vérifient le plus souvent la
           propriété de stationnarité au second ordre.


                                           Figure 2: Série temporelle des rendements du CAC 40
                                                    Rendement du CAC 40 (Paris)


               0.05

               0.04

               0.03

               0.02
  Rd n
o n mt
l ge e e




               0.01

                   0

           -0.01

           -0.02

           -0.03

           -0.04

           -0.05

                            1998                   2000             2002               2004            2006
                                                                   années




           8
               Appelé aussi stationnarité faible


                                                                                                                27
3.1.3. Le coefficient d’asymétrie : Skweness
Ce coefficient mesure le degré d’asymétrie de la distribution. Il se définit comme suit :
                                         T

                                        ∑ (r − µ )  t           t
                                                                    3
                                                                                            (1.8)
                                  S =    t =1
                                                        3
                                                    σ
   •   Si le Skewness est positif, la distribution est concentrée vers la droite.
   •   Si le Skewness est négatif, la distribution est concentrée vers la gauche.
Les séries temporelles de rendements d’actifs financiers ont souvent un skewness négatif ce
qui signifie que les rendements inférieurs à la moyenne sont plus fréquents.

3.1.3. Le coefficient d’aplatissement : Kurtosis
Le coefficient d’aplatissement mesure le degré d’aplatissement d’une distribution. Il est
associé à l’épaisseur des queues de la distribution.
Il se définit comme suit :                      T

                                             ∑ (r − µ ) t           t
                                                                        4
                                                                                             (1.9)
                                    K=       t =1
                                                            4
                                                        σ

   •   Si le Kurtosis est égal à trois, on dit que la distribution est mésocurtique comme c’est
       le cas pour la distribution normale.
   •   Si le Kurtosis est plus grand que trois, on dit que la distribution est leptocurtique.
       Cette distribution possède alors une queue plus épaisse qu’une distribution normale.
   •   Si le Kurtosis est plus faible que trois, on dit que la distribution est platicurtique. Une
       telle distribution possède une queue plus mince qu’une distribution normale.


       Les séries de rendements présentent généralement un coefficient d’aplatissement plus
grand que trois. Cette leptokurticité est une propriété typique des séries de rendements d’actifs
financiers. Par exemple, l’indice de la bourse de Paris possède un Kurtosis égal à 4.0666 et
un skewness égal à -0.1438. Cela signifie que la distribution de la série de rendements du
CAC 40 a une queue plus épaisse qu’une loi normale et connait une légère asymétrie vers la
gauche.




                                                                                                28
La figure suivante nous donne une idée générale de la non normalité de la distribution
de rendements d’actifs financiers. On constate donc bien que les résidus de la distribution de
rendements ne suivent pas une distribution normale. En effet, leur distribution est plus
allongée et présente une légère asymétrie. Cette hypothèse de non normalité des résidus
standards justifie en partie l’utilisation des modèles de régressions hétéroscédastiques.
                Figure 3: Distribution des résidus de la série de rendements du CAC 40

                     35


                     30                                                      ψψψ


                     25


                     20


                     15


                     10


                      5


                      0


                     -5
                     -0.1           -0.05                    0            0.05          0.1




3.1.2. La fonction de corrélation
La corrélation entre deux actifs financiers A et B mesure la relation qu’il y a entre l’évolution
de deux actifs financiers et se définit comme suit


                                              ∑ (r                   )(             )
                                              T

                                                     t
                                                         A
                                                             − µ A ) rt B − µ B )              (1.10)
                            Corr ( A, B ) =   t =1

                                                                 σ Aσ B

3.1.3. Les autocorrélations
Les autocorrélations d’un processus stationnaire au sens faible se définissent comme suit :


                                        γ s E [( yt − µ ) ( yt − s − µ )]                      (1.11)
                                ρs =       =
                                        γ0             σ
                                                          2




Pour les séries de rendements d’actifs financiers, les autocorrélations sont souvent très faibles.


                                                                                               29
Figure 4: Autocorrélogrammes de la série de rendements du CAC 40
                    Sample Autocorrelations and Robust Standard Errors of The return of CAC40
                  0.15




                   0.1




                  0.05




                        0




                 -0.05




                  -0.1




                 -0.15

                            0    2      4       6    8     10     12    14    16     18        20
                                                            Lag




           Nous constatons sur la figure 4 l’absence d’autocorrélations pour la série de
rendements du CAC 40.                       La faiblesse des autocorrélations des rendements renvoie à
l’hypothèse des marchés efficients. En effet, d’après cette hypothèse9, les cours boursiers sur
des marchés concurrentiels suivent une marche au hasard. Un marché est efficient si et
seulement si l’ensemble des informations historiques disponibles sont immédiatement
incorporées dans le cours de l’action. L’efficience informationnelle implique donc que les
variations de prix d’une période sont indépendantes des variations de prix d’une autre période.
Ce qui signifie en d’autres mots que les autocorrélations de série de rendements d’actions sont
faibles et que les rendements d’actions sont imprévisibles.


La série des puissances carrées des rendements d’actions présentent des autocorrélations :
          Figure 5: Autocorrélogrammes des puissances carrées de la série de rendements du CAC 40
              Sample Autocorrelations and Robust Standard Errors du rendement carré du Cac 40
                 0.3




                 0.2




                 0.1




                   0




                 -0.1




                 -0.2




                        0       2      4       6     8     10     12    14     16     18        20
                                                            Lag




Un des premiers tests à faire lorsqu’on veut construire des modèles de volatilités
conditionnelles de type GARCH est l’analyse des autocorrélations des séries de puissances
carrées des rendements d’actifs. En effet celle-ci représente un estimateur naturel de la
variance conditionnelle. La présence d’autocorrélations dans la série de puissances carrées des

9
    R. Brealey & S.Myers Principes de Gestion Financière , Pearson education, 7ième édition.


                                                                                                     30
rendements justifie l’utilisation des modèles GARCH. Cette figure nous confirme bien la
présence d’autocorrélations pour les rendements carrés des actions. La présence d’auto
corrélations dans les séries de puissances carrées est un indicateur du phénomène de
regroupement en extrême de la volatilité.

3.1.3. L’hétéroscédasticité
           Le terme hétéroscédasticité10 a deux racines. La première, « scédastique », est
associée à « fonction scédastique » qui signifie variance conditionnelle. La seconde,
« hétéro », fait référence à « plusieurs ». Hétéroscédasticité signifie donc plusieurs variances.


           De nombreuses études empiriques montrent que la variance des séries temporelles de
rendements d’actifs financiers varie à travers le temps. On peut donc dire que la variance des
actifs financiers est hétéroscédastique dans le temps. Cette hétéroscédasticité de la variance
justifie l’utilisation des modèles GARCH et nombreux dérivés.


           Afin d’étudier l’hétéroscédasticité des données, il convient d’analyser la présence
d’autocorrélations dans la série des puissances carrées des résidus. Dans ces modèles, le
résidu est simplement le rendement non anticipé et se définit comme suit :

                                                εt = rt − µ                                                    (1.9)

           Ce terme est aussi une bonnne approximation naturelle de la variance conditionnelle.
Pour analyser la présence d’autocorrélations, on utilise le LM test introduit par Engle (1982).
Ce test est asymptotiquement distribué en chi-carrés et permet de tester la présence
d’autocorrélations dans la série de résidus des rendements d’actifs financiers pour un nombre
Q déterminé de Lag.
Figure 6: Autocorrélations des puissances carrées de termes d’erreurs de la série des rendements du CAC
                                                  P-vals from ARCH LM tests
                      0.7

                      0.6

                      0.5
            P-value




                      0.4

                      0.3

                      0.2

                      0.1

                       0
                        0         5                10                   15             20               25
                                                   Number of lags included



10
     Racicot, E., et Théoret, R (2001). : Traite d’Econométrie financière, Presses de l’Université du Quebec


                                                                                                                 31
Pour des écarts temporels inférieurs à 4, nous constatons que la p-valeur est inférieure
à 0,1 ce qui confirme la présence d’autocorrélations dans la série des puissances carrées des
résidus de la série de rendement du CAC 40. Il semblerait donc qu’il existe une relation entre
le terme d’erreur au carré d’aujourd’hui et les termes d’erreurs aux carrés des cinq dernières
périodes. Ceci nous confirme bien la présence d’hétéroscédasticité, ce qui justifie l’utilisation
des modèles ARCH pour les séries de rendements d’actifs financiers.




3.2. Les Modèles Univariés
3.2.1. Le modèle ARCH (1982)
       Le problème d’hétéroscédasticité des données financières fut résolu sous l’impulsion
d’Engle en 1982 avec la publication de son article «Autoregressive Conditional
Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation ». Cet article
présente un outil statistique jamais encore utilisé auparavant : un modèle autorégressif
conditionnel hetéroscédastique (ARCH) qui est une nouvelle gamme de processus
stochastique. Ces processus ont en général une variance conditionnelle qui varie avec le temps
en fonction des erreurs du passé et une variance marginale constante. La variance
conditionnelle est la variance obtenue en t sur base de l’ensemble des informations
disponibles en t-1.


       Ce modèle de régression ARCH a une grande variété de caractéristiques, ce qui fait de
lui un modèle assez attractif pour diverses applications économétriques. Comme en finance où
les pondérations d’actifs financiers d’un portefeuille sont des fonctions de l’espérance
mathématique et de la variance des taux de rendements de ces actifs. (Comme le suppose la
théorie du portefeuille efficient basé sur le modèle Markowitz). Si le rendement est supposé
être une régression standard ou un modèle de série chronologique classique comme le
processus ARMA, la variance de ces rendements est immédiatement contrainte d’être
constante à travers le temps, ce qui n’est pas le cas avec des actifs financiers tels que des
actions ou obligations.




                                                                                              32
Pour rappel, la série de rendements d’actifs financiers est un processus stochastique :

                                               {rt t ∈ Z }                                     (2.1)

         Une définition rigoureuse du processus ARCH est donnée par le professeur Kevin
Sheppard dans son cours d’économétrie financière de l’université d’Oxford. Ce processus se
base sur la série de rendements des actifs financiers. Le processus ARCH se définit comme
suit :
Définition11 2.1 : un processus ARCH (p)

Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p)



                                                                                               (2.2)




            •       est la moyenne conditionnelle
            •       est la variance conditionnelle calculée avec l’information disponible en t-1
            •       est le résidu standard
            •       est le choc (appelé aussi nouvelle, innovation ou rendement non anticipé) (1.1)


         Selon cette définition, la variance des erreurs varie avec le temps et dépend du carré
des p dernières erreurs. L’impact du choc i sur la volatilité actuelle est déterminé par le
paramètre α i. En général, au plus le choc est situé loin dans le passé, au moins il aura d’effet
sur la variance conditionnelle actuelle. Tous les chocs12 appartenant à une période plus vieille
que la pième période n’ont aucun impact sur la volatilité conditionnelle actuelle. La définition
du choc          ε t2 ≡ et2σ τ2       est utilisée afin de différencier l’innovation indépendante et
identiquement distribuée de la variance conditionnelle. On constate qu’un processus
autorégressif a été utilisé afin de modéliser la moyenne conditionnelle. Cependant, pour
beaucoup de séries chronologiques de données financières, on suppose la moyenne
conditionnelle constante et même parfois égale à 0.



11
   Shepard K. (2006), « cours d’économétrie financière de l’université d’Oxford »
   http://wiki.kevinsheppard.com/mfe/.
12
   Ce choc représente le rendement non anticipé d’une période à une autre


                                                                                                 33
La variance marginale du modèle ARCH se définit comme suit :


                                                                                         (2.3)


Une des conditions pour que la variance non conditionnelle soit finie est que

1 − α1 − α 2 − .... − α p > 0.
Un processus ARCH est faiblement stationnaire si et seulement si
                       i) le modèle de la moyenne conditionnelle est stationnaire.

                       ii)    1 − α1 − α 2 − ... − α p > 0.

                       iii)   αj ≥0        ∀j ∈ Z
                       iv) ω > 0

       L’intuition qu’il y a derrière la condition iii est le fait que si un paramètre alpha est
négatif, un choc suffisamment large peut provoquer une variance conditionnelle négative. La
condition iv est nécessaire pour assurer la stationnarité faible.


Pour être complet, il faut également considérer cette définition alternative :


Définition alternative 2.2 : un processus ARCH (p)
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p)




                                                                                       (2.4)




   •   où        est calculé avec l’ensemble des informations disponibles en t-1 et est
       conditionnellement normal de moyenne              et de variance     .
   •           est l’ensemble informationnel disponible et contient tous les événements
       mesurables en t-1. Un événement mesurable contient tous les événements qui ont une
       probabilité assignée aux temps t-1.




                                                                                               34
L’introduction de ce modèle fut vraiment le point départ de l’analyse de la variance
conditionnelle de séries chronologiques diverses comme l’inflation ou les rendements d’actifs
financiers. Ce modèle a ainsi donné naissance à l’économétrie financière moderne. D’ailleurs,
l’étude de la dynamique des volatilités conditionnelles a été l’une des plus grandes
contributions de l’économétrie financière actuelle au point de récompenser Monsieur Robert
Engle du prix Nobel d’économie en 2003.

3.2.2. Le modèle GARCH (1986)
           Le problème du processus ARCH réside dans la nécessité d’avoir de nombreux écarts
temporels13 des erreurs aux carrés pour représenter adéquatement la variance conditionnelle,
ce qui le rend que très peu parcimonieux. La réponse à ce problème fut apportée par
Bollerslev (1986) avec l’introduction du processus GARCH (p,q). Il propose une
généralisation des processus ARCH en présentant une extension assez semblable à celle
utilisée pour la transformation d’un processus autorégressif classique en un processus
autorégressif à moyenne mobile. Ce processus peut être défini comme suit :



Définition 2.3 : un processus GARCH (P,Q)

Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p)




                                                                                                        (2.5)




           C’est un processus ARCH d’ordre P qui inclut Q intervalles temporels sur les
variances conditionnelles. La variance conditionnelle actuelle est une fonction du carré des
chocs passés et des variances conditionnelles passées.




13
     En général, Le modèle ARCH nécessite 5 à 8 lag pour estimer au mieux la variance conditionnelle.


                                                                                                            35
La variance non conditionnelle du modèle GARCH se définit comme suit :


                                                                                        (2.6)


Un processus GARCH est faiblement stationnaire si et seulement si :

                                α − ∑q=1 β q > 0
                            p          q
               i) 1 −   ∑   p =1 p



               ii)    αj ≥0         ∀j ∈ Z

               iii)   βj ≥0         ∀j ∈ Z
               iv)    ω>0

       La version la plus utilisée de ce processus est le modèle GARCH(1,1) qui est en fait
un modèle ARCH(∞) déguisé. L’effet des chocs sur la volatilité conditionnelle décline de
manière géométrique avec le temps.



3.2.3. Le modèle EGARCH (1991)
       Une des faiblesses des modèles ARCH et GARCH est qu’ils supposent que seul
l’ampleur et non le signe du choc détermine la variance conditionnelle. De nombreuses études
empiriques montrent que les rendements d’actifs sont négativement corrélés avec les
variations de volatilité de ces rendements. Cela signifie que la volatilité augmente plus en
réponse à un choc négatif sur les rendements qu’en réponse à un choc positif de même
ampleur. L’effet asymétrique qu’ont les rendements sur la volatilité est dû en partie à l’effet
levier et à l’effet de feedback des volatilités.


       Le modèle EGARCH introduit par Nelson (1991) suppose que la variance
conditionnelle réponde avec asymétrie à un résidu positif ou négatif. Ce modèle comprend un
paramètre en plus qui a l’avantage de prendre en compte l’impact du signe positif ou négatif
d’un choc sur la variance conditionnelle.




                                                                                            36
L’introduction d’un paramètre supplémentaire permet d’analyser l’effet asymétrique
sur la volatilité conditionnelle ce qui en fait un modèle plus efficace pour l’analyse des séries
chronologiques de rendements d’actifs financiers.


Le processus EGARCH est défini comme suit
Définition 2.3 : Un processus EGARCH (P,O,Q)

Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre( p,o,q)




                                                                                           (2.7)




       En général, pour des actifs financiers, le coefficient γ0 est négatif, ce qui implique que
la volatilité augmente plus après un choc négatif sur les rendements qu’après un choc positif.
Contrairement aux modèles GARCH, ce processus ne nécessite pas la non négativité des
paramètres alpha et gamma pour être stationnaire.



3.2.4. Le modèle GJR-GARCH (1993) et le modèle TARCH (1994)
       Le problème du modèle EGARCH est que le paramètre d’asymétrie assigne le même
poids à un choc positif et négatif de même ampleur. Pour palier a ce défaut, Glosten,
Jagannathan et Runkle (1993) introduisent un nouveau modèle conditionnellement
hétéroscédastique incluant un paramètre d’asymétrie.


        Afin de capturer au mieux cet effet asymétrique, ils introduisent une variable
dichotomique. Cette variable est égale à 1 lorsque le choc est négatif et est nulle autrement.
L’introduction de cette variable permet aux paramètres qui capturent l’asymétrie d’assigner
un poids différent à un choc négatif et à un choc positif. Ceci permet d’affiner au mieux
l’étude de l’asymétrique car elle tient compte du signe du choc. Ce modèle est bien souvent
préféré au modèle EGARCH qui amplifie très fortement les chocs de grandes valeurs à cause
de l’utilisation de la fonction exponentielle




                                                                                              37
Ce processus peut être défini comme suit.
Définition 2.4 : Un processus GJR-GARCH (P,O,Q)

GJR-Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p,o,q)




                                                                                       (2.8)




           L’unique problème de ce modèle est que les chocs de grande ampleur ont un impact
considérable sur la variance conditionnelle14. L’introduction par Zakoian (1994) du modèle
ZARCH a permis de résoudre ce problème.


Définition 4.2 : Un processus TARCH (P,O,Q)

Thresold Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p,o,q)




                                                                                         (2.9)




           La seule différence par rapport au GJR-GARCH est qu’il utilise la valeur absolue du
terme d’erreurs et non sa puissance carrée ce qui a pour avantage de ne pas trop amplifier
l’effet d’un impact de grande ampleur. La valeur absolue de ce terme permet d’analyser
l’ampleur de ce choc dans le sens où il provoque un grand changement de prix sans
nécessairement amplifier cette variation de prix.




14
     Ceci s’explique par l’utilisation de la puissance du terme d’erreurs


                                                                                           38
3.2.5. Les « News Impact Curves » (1992)
       L’analyse de l’impact d’un choc sur la variance conditionnelle peut être rendue
difficile vu le nombre de modèles existants. Engle et Ng (1992) apportent une solution à ce
problème de diversité des modèles. Ils expliquent et introduisent les « news impact curves »
qui permettent d’analyser l’impact d’un choc passé sur la variance conditionnelle. Ces
courbes servent à étudier le phénomène d’asymétrie pour lequel en général un choc négatif a
un impact plus important sur la variance conditionnelle qu’un choc positif de même ampleur.


       Dans les modèles précédents, le choc εt = rt -µ t correspond à un rendement non
anticipé. Un choc positif correspond donc à un rendement positif non anticipé, ce qui
représente une bonne nouvelle tandis qu’un choc négatif peut être assimilé à une mauvaise
nouvelle.


       Grâce aux « News Impact Curves », on peut examiner la relation qui existe entre εt-1
et la variance conditionnelle. Dans un processus GARCH (1,1), cette courbe est une fonction

quadratique centrée en εt-1. Le processus EGARCH prend en compte le signe de εt-1 ce qui

permet d’analyser les effets asymétriques sur la variance conditionnelle. Sa courbe est
asymétrique et augmente exponentiellement. De plus, ce processus permet aux chocs
importants d’avoir un plus grand impact sur la variance que les processus ARCH et GARCH.
Pour le processus GJR GARCH, la courbe est centrée en εt-1 et a une pente différente en
fonction du signe du choc passé et ce grâce à l’introduction de la variable dichotomique.
                        Figure 2: News impact curves des différents modèles




                                                                                                              εt-1


                    Source : Shepard K. (2006), « Cours d’économétrie financière de l’université d’Oxford »




                                                                                                       39
3.2.6. Méthode d’estimation et sélection du modèle
       La méthode du maximum de vraisemblance représente le choix le plus naturel afin
d’estimer les paramètres inconnus des différents processus GARCH. La définition de la
fonction normale de vraisemblance est la suivante. On utilise généralement le log de
vraisemblance afin de travailler sur une somme et non sur un produit.

Définition 2.6: La fonction normale de vraisemblance

                                                                                           (2.10)


Définition 2.7 : La fonction normale de logvraisemblance

                                                                                           (2.11)


       Le but de cette méthode d’estimation est de maximiser la fonction normale de
vraisemblance. L’utilisation de cette méthode est souvent préférée car celle-ci permet à
l’estimation des paramètres de converger vers leur vraie valeur et ce même si la distribution
de densité conditionnelle est erronée. Afin de sélectionner le modèle le plus approprié pour
chaque série de rendements d’actions, il convient de choisir le modèle qui maximise cette
fonction de vraisemblance.


       D’autres critères de sélection ont été utilisés au cours de ce mémoire. Citons
premièrement le critère d’information d’Akaike. Ce critère est une mesure de la qualité d’un
modèle statistique est se définit comme suit
Définition 6.3 : Le critère d’Akaike
                                                  •       k représente le nombre de paramètres
                                       (2.12)     •       L est la fonction de vraisemblance


Un autre critère utilisé est le critère de Schwarz qui pénalise plus fortement certains modèles
par rapport aux critères de Schwarz.
Définition 6.4 : Le critère de Schwarz
                                                      •    k représente le nombre de paramètres
        − 2 ln( L) + k ln(T )
  BIC =                                (2.13)         •    L est la fonction de vraisemblance
                 T



                                                                                                 40
Afin de pouvoir choisir les différents modèles analysés au cours de ce mémoire, il
convient de prendre le modèle qui possède le critère d’information d’Akaike et le critère de
Schwarz les plus faibles. En effet ce modèle est celui qui représente aux mieux la série de
données.



3.3. Les Modèles Multivariés
          La quête pour obtenir des estimations fiables de corrélations d’actifs financiers a été
l’objectif de nombreuses recherches au cours de ces 20 dernières années. En effet, l’étude de
ces corrélations s’avère très utile pour les optimisations de portefeuilles, la gestion de risque
ou encore la fixation du prix des produits dérivés.


          Bollerslev, Engle et Wooldridge (1988) introduisent pour la première fois le concept
de dynamique des covariances. Dans leur article, ils utilisent un processus GARCH multivarié
pour calculer le rendement des actions en fonction de la prime de risque du marché.


           L’introduction du modèle d’évaluation des actifs financiers15 de William Sharpe
prouve l’existence d’une relation entre le risque d’un actif et son rendement espéré. Pour ce
faire, Sharpe a réalisé une régression des rendements espérés en fonction du risque et
découvre l’existence d’une relation linéaire déterminé par un coefficient Beta. Ce Beta
représente le risque diversifiable de l’action et est égal à la covariance entre une action et son
marché divisé par la variance de ce marché. Le problème du modèle de Sharpe est qu’il se
base sur des hypothèses de variance et de covariance constantes à travers le temps. On
comprend dès lors l’intérêt rencontré par des modèles pouvant capturer la dynamique de la
covariance. En effet, celle-ci varie avec le temps et représente un déterminant significatif de la
dynamique de la prime de risque.


          La théorie du Portefeuille Efficient de Markowitz est tout aussi concernée par ce
phénomène. Son modèle d’optimisation de moyenne-variance d’un portefeuille se base
essentiellement sur la matrice des corrélations qui varient à travers le temps. Ces variations
des corrélations impliquent donc un réajustement constant des pondérations d’actifs détenus
dans les portefeuilles des investisseurs.

15
     Plus connus sous le nom du CAPM


                                                                                               41
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Mémoire sur la dynamique des corrélations entre le marché des actions et des obligations européenes

  • 1. Van Oudenhove Serge Ingest 5F Mémoire présenté en vue de l’obtention du Master d’ingénieur de gestion La dynamique des volatilités et des corrélations des marchés européens des actions et des obligations Directeur de mémoire: Professeur Ariane Szafarz Commissaire de mémoire: Professeur Hugues Pirotte Année académique 2006/2007 Solvay Business School 1
  • 2. « Le savant n’étudie pas la nature parce que cela est utile ; il l’étudie parce qu’il y prend plaisir et il y prend plaisir parce qu’elle est belle. Si la nature n’était pas belle, elle ne vaudrait pas la peine d’être connue, la vie ne vaudrait pas la peine d’être vécue. Je ne parle pas ici, bien entendu, de cette beauté qui frappe les sens, de la beauté des qualités et des apparences ; non que j’en fasse fi, loin de là, mais elle n’a rien à faire avec la science ; je veux parler de cette beauté plus intime qui vient de l’ordre harmonieux des parties, et qu'une intelligence pure peut saisir » Henri Poincaré (1908) Science et méthode (1908), éd. Flammarion, 1918, p. 15-16 2
  • 3. Remerciements Je tiens à remercier tout particulièrement Madame Ariane Szafarz, pour son orientation dans le choix du sujet, ses conseils et sa collaboration précieuse dans l’élaboration de ce mémoire. J’adresse également mes remerciements à Monsieur Hugues Pirotte pour l’obtention des données utilisées pour ce mémoire. Je remercie la Solvay Business School ainsi que Belgacom et à pour la mise à disposition d’un formidable outil de recherche. Un grand merci à mes parents et amis pour leurs suggestions, corrections et soutien moral tout au long de ce travail. 3
  • 4. Table des matières Table des matières .........................................................................................4 Table des Figures ..........................................................................................6 Table des tableaux .........................................................................................7 Résumé ......................................................................................................8 I. Introduction ......................................................................................12 II. Littérature sur la dynamique des corrélations.................................15 2.1. La dynamique de la volatilité des actions .................................................................... 15 2.2. La dynamique des volatilités des obligations............................................................... 19 2.3. La dynamique des corrélations entre les actifs financiers............................................ 20 III. Littérature et méthodologie du modèle économétrique. ...............25 3.1. Les séries temporelles .................................................................................................. 25 3.1.1. Processus Stochastique........................................................................................... 26 3.1.2. La stationnarité de second ordre............................................................................. 27 3.1.3. Le coefficient d’asymétrie : Skweness................................................................... 28 3.1.3. Le coefficient d’aplatissement : Kurtosis............................................................... 28 3.1.2. La fonction de corrélation ...................................................................................... 29 3.1.3. Les autocorrélations ............................................................................................... 29 3.1.3. L’hétéroscédasticité................................................................................................ 31 3.2. Les Modèles Univariés.................................................................................................. 32 3.2.1. Le modèle ARCH (1982) ....................................................................................... 32 3.2.2. Le modèle GARCH (1986) .................................................................................... 35 3.2.3. Le modèle EGARCH (1991).................................................................................. 36 3.2.4. Le modèle GJR-GARCH (1993) et le modèle TARCH (1994) ............................. 37 3.2.5. Les « News Impact Curves » (1992) ...................................................................... 39 3.2.6. Méthode d’estimation et sélection du modèle........................................................ 40 3.3. Les Modèles Multivariés ............................................................................................... 41 3.3.1. The Dynamic conditional correlation model (2000) .............................................. 42 IV. Description des données................................................................46 4.1. Le marché des actions européennes .............................................................................. 46 4
  • 5. 4.1.1 Statistiques descriptives des séries de rendements d’actions .................................. 47 4.1.2. Analyse de l’évolution des cours des indices boursiers européens ........................ 49 4.2. Le marché des obligations d’Etats européennes ........................................................... 50 4.2.1 Statistiques descriptives des séries de rendements d’obligations d’Etats ............... 51 4.2.2. Analyse de l’évolution des rendements à l’échéance des obligations.................... 53 V. Analyse des corrélations non conditionnelles ................................55 4.1. La corrélation des actions européennes......................................................................... 55 4.2. La corrélation des obligations d’Etats européennes ...................................................... 57 4.3. Les corrélation entre les actions et les obligations européennes .................................. 58 4.4. Conclusions au niveau des corrélations non conditionnelles ........................................ 59 VI. Analyse des volatilités conditionnelles .........................................60 6.1 Le marché boursier européen ......................................................................................... 60 6.1.1. Persistance de la volatilité des rendements d’actions............................................. 61 6.1.2. Les « News Impact Curves » : Marchés des actions .............................................. 62 6.1.3. La dynamique de la volatilité du marché des actions............................................. 64 6.2. Le marché obligataire européen .................................................................................... 67 6.2.1. Persistance de la volatilité des rendements d’obligations ...................................... 68 6.2.2. Les « News Impact Curves » : Marchés des obligations........................................ 69 6.2.3. La dynamique de la volatilité du marché des obligations ...................................... 70 VII. Analyse des corrélations conditionnelles.....................................75 7.1 La corrélation conditionnelle des actions européennes................................................. 77 7.1.1. La dynamique des corrélations des rendements du CAC et le DAX .................... 78 7.1.2 La dynamique des corrélations des rendements du CAC et l’AEX ........................ 80 7.1.3. La dynamique des corrélations des rendements du CAC et le FTSE.................... 81 7.2 La corrélation conditionnelle des obligations européennes ........................................... 82 7.2.1. La dynamique des corrélations des rendements d’obligations européennes.......... 83 7.3 La corrélation conditionnelle des actions et des obligations......................................... 85 7.3.1. La corrélation dynamique entre les actions et les obligations européennes........... 87 7.3.2. Résumé des événements affectant la corrélation.................................................... 94 7.3.3. Liens entre les dynamiques européennes ............................................................... 94 VIII. Conclusions.................................................................................96 IV. Références bibliographiques .........................................................99 5
  • 6. Table des Figures Figure 1: Impact d'une mauvaise nouvelle sur la variance conditionnelle................................................................................ 18 Figure 2: Série temporelle des rendements du CAC 40............................................................................................................ 27 Figure 3: Distribution des résidus de la série de rendements du CAC 40 ............................................................................. 29 Figure 4: Autocorrélogrammes de la série de rendements du CAC 40..................................................................................... 30 Figure 5: Autocorrélogrammes des puissances carrées de la série de rendements du CAC 40 ................................................ 30 Figure 6: Autocorrélations des puissances carrées de termes d’erreurs de la série des rendements du CAC ........................... 31 Figure 7: Les différents indices boursiers européens utilisés au cours de ce mémoire ............................................................. 47 Figure 8: Evolution des cours des indices boursiers européens................................................................................................ 49 Figure 9: Les différents indices d’obligations européennes utilisés au cours de ce mémoire .................................................. 51 Figure 10: Evolution des rendements à échéance d’Obligations d'Etats Européennes à 5 ans ................................................. 54 Figure 11: Corrélation des rendements des indices boursiers européens (2007) ...................................................................... 56 Figure 12: Corrélation des rendements des Obligations d’Etats européennes (1997-2007) ..................................................... 57 Figure 13: Corrélations non conditionnelles entre le marché des actions et des obligations (1997-2007)................................ 58 Figure 14: News Impact Curves des rendements d’indices boursiers européens...................................................................... 63 Figure 15: Volatilité conditionnelle annuelle du rendement du CAC....................................................................................... 64 Figure 16: News Impact Curves des rendements d’indices boursiers européens...................................................................... 69 Figure 17: Volatilité conditionnelle annuelle des rendements d’obligations d’Etat allemandes............................................... 71 Figure 18 : Volatilités conditionnelles des rendements du DAX et du CAC............................................................................ 78 Figure 19 : Corrélation conditionnelle des rendements du DAX et du CAC............................................................................ 78 Figure 20 : Corrélation conditionnelle des rendements de l’AEX et du CAC .......................................................................... 80 Figure 21 : Corrélation conditionnelle des rendements du CAC et du FTSE ........................................................................... 81 Figure 22 : Volatilités conditionnelles des rendements d’obligations allemandes et hollandaises .......................................... 82 Figure 23 : Corrélation conditionnelle des obligations allemandes et hollandaises.................................................................. 83 Figure 24 : Corrélation conditionnelle des obligations françaises et anglaises......................................................................... 84 Figure 25 : Volatilités conditionnelles des actions et des obligations françaises...................................................................... 86 Figure 26: Corrélations ente les rendements d’actions et d’obligations françaises................................................................... 87 Figure 27: Variations extrêmes des estimations de la corrélation actions-obligations Française ............................................. 88 Figure 29: Corrélations ente les rendements d’actions et d’obligations européennes............................................................... 95 6
  • 7. Table des tableaux Tableau 1: Résumé des definitions: flight to quality, fligth from quality and contagion ...................................... 23 Tableau 2: Statistiques descriptives concernant les séries de rendements des indices boursiers européens ......... 48 Tableau 3: Statistiques descriptives concernant les séries de rendements des indices obligataires européens ..... 52 Tableau 4: Modèles univariés sélectionnés pour les séries de rendements d’indices Boursiers Européens.......... 60 Tableau 5: Modèles univariés selectionnés pour les séries de rendements d’indices obligataires européens ....... 67 Tableau 6: Paramètres des modèles DCC (1,1) pour les corrélations de rendements d’actions européennes ....... 77 Tableau 7: Paramètres des modèles DCC (1,1) pour les corrélations de rendements d’obligations ..................... 82 Tableau 8: Résumé des definitions: flight to quality, flight from quality and contagion ...................................... 85 Tableau 9: Paramètres des modèles DCC (1,1) des corrélations de rendements d’obligations et d’actions ......... 86 Tableau 10: Crise asiatique Flight to quality.................................................................................................... 89 Tableau 11: Crise Russe Contagion négative ................................................................................................... 90 Tableau 12: Attentats du 11 septembre Contagion négative ............................................................................. 91 Tableau 13: Faillite d’Enron Flight to quality .................................................................................................. 92 Tableau 14: Faillite de Worldcom Flight to quality ........................................................................................ 92 Tableau 15: Élargissement et rejet français au referendum Flight From Quality.............................................. 93 7
  • 8. Résumé Les deux grandes stratégies de diversification de portefeuilles utilisés par les investisseurs se basent sur les corrélations des actifs financiers. La première stratégie consiste à investir dans différents actifs financiers afin d’avoir une corrélation faible, voire négative tandis que la seconde consiste à investir dans des actifs similaires à travers le monde. Bien que ces deux stratégies aient de solides justifications théoriques et une forte évidence empirique, les investisseurs doivent être conscients que les volatilités et les corrélations des actifs financiers varient avec le temps. Ces dynamiques ont dès lors un impact considérable sur le marché des capitaux. En effet, d’après la théorie du portefeuille efficient, tous changements de corrélations des actifs financiers impliquent un changement des pondérations de ces actifs détenus dans les portefeuilles des investisseurs. Dès lors, on comprend pourquoi il est important pour l’investisseur de connaitre les facteurs qui influencent la volatilité et les corrélations des marchés d’actions et d’obligations. Un des premiers phénomènes étudiés concernant la dynamique des volatilités des rendements d’actions est le clustering de la volatilité qui met en évidence que des fortes variations des rendements d’actifs tendent à être suivies par d’autres grandes variations de même signe et que des faibles variations de rendements d’actifs tendent à être suivies par d’autres faibles variations. Par la suite, certaines études empiriques constatent la présence d’un phénomène « d’asymétrie de la volatilité ». Ce phénomène suppose qu’un choc négatif a un impact plus important sur la volatilité des rendements d’actions qu’un choc positif de même ampleur. La littérature s’est fortement concentrée sur l’étude de ce phénomène avec pour priorité la volatilité des actions et trop rarement celle des obligations. L’étude des corrélations des rendements d’actions et des rendements d’obligations a fait l’objet de nombreuses recherches au cours de ces dix dernières années. La littérature relate une forte augmentation de la corrélation conditionnelle pour les marchés mondiaux d’actions. Engle, Sheppard et Capiello (2003) confirment bien la présence d’asymétrie dans les corrélations de rendements d’actions. Cela signifie, en d’autres mots, que les corrélations entre actions augmentent plus fortement suite à une mauvaise nouvelle arrivant sur le marché. Ils constatent par ailleurs que l’harmonisation des politiques monétaires européennes en 1999 a un impact considérable sur les corrélations mais pas sur les volatilités des actifs financiers. 8
  • 9. Kim, Moshirian et Wu (2004) remarquent que le processus d’intégration financière européen a eu pour conséquence d’augmenter les corrélations au sein des marchés d’actions et d’obligations. D’autres études se sont focalisées essentiellement sur les liens existant entre les rendements d’actions et d’obligations d’Etats. D’après Fleming, Kirby et Oestdiek (1997), un choc affectant un seul marché provoque un changement du comportement de l’investisseur. En effet, lorsque le marché boursier voit sa volatilité augmenter suite par exemple à une crise financière, les investisseurs ont tendance à se réfugier sur les marchés obligataires plus stables. La conséquence directe de ce phénomène est la diminution de la corrélation entre les rendements d’actions et d’obligations. Ce phénomène, plus connu sous le nom de Flight to quality, a fait l’objet de nombreuses études aux cours de ces dernières années. Baur et Lucey (2006) sont les premiers à regrouper les définitions des différents phénomènes ayant un impact sur la corrélation des rendements entre ces deux marchés. Ils remarquent que la corrélation entre les actions et les obligations européennes est très volatile ce qui traduit une fréquence élevée de ces phénomènes. Ce mémoire a pour objectif d’analyser la dynamique des volatilités et des corrélations des rendements d’actions et d’obligations d’Etats européennes à 5 ans de 1997 jusqu'à 2007. Il consiste en une étude empirique qui va tenter de répondre à trois questions. En premier lieu, il s’agit d’analyser la présence d’asymétrie dans la volatilité conditionnelle des actions et des obligations d’Etats européennes. Ensuite, nous étudions la dynamique des corrélations d’un même actif financier entre les différents pays afin d’analyser l’impact du passage à une politique monétaire commune sur le marché des capitaux européens. Enfin, nous étudions de manière plus approfondie les corrélations entres les rendements d’actions et d’obligations en nous focalisant essentiellement sur les valeurs extrêmes de variations de ces corrélations au cours du temps. Nous allons dater précisément ces variations extrêmes afin de détecter la présence de phénomène de flight to quality sur les marchés des capitaux européens au cours de la période étudiée. Contrairement aux recherches précédentes, nous réalisons une étude préalable de la volatilité sur ces différents marchés afin de comprendre les variations extrêmes des corrélations entre les rendements d’actions et d’obligations. 9
  • 10. Le modèle économétrique utilisé pour réaliser cette étude est le « Dynamic Conditional Correlation : A multivaritiate GARCH model » (DCC) introduit par Engle (2000). Ce modèle est estimé en deux étapes. Dans un premier temps, les paramètres des séries univariés de rendements vont être estimés avec un processus GARCH. Ensuite, ce modèle utilise les résidus standards de séries univariés afin d’estimer les corrélations conditionnelles. Ce modèle est souvent préféré car il possède la flexibilité des processus GARCH univariés et la parcimonie des modèles paramétriques d’estimation des corrélations dynamiques. Ils ne sont pas linéaires mais peuvent être estimés très simplement avec la fonction de vraisemblance. Nos résultats confirment bien la présence d’asymétrie dans la volatilité des actions européennes. En effet, la volatilité des rendements d’indices boursiers européens semble réagir plus fortement aux mauvaises nouvelles. Nous constatons aussi une certaine persistance de la volatilité des actions et des obligations. Cela signifie, en d’autres mots, que la volatilité des marchés d’actions et d’obligations possède une mémoire long terme. Cependant, le marché des obligations semble réagir très faiblement aux nouveaux chocs en comparaison avec le marché des actions qui semble beaucoup plus sensible aux nouvelles informations. Nous remarquons par ailleurs une forte similitude des dynamiques des volatilités entre les différents pays pour une même classe d’actifs, ce qui traduit un degré élevé d’intégration financière en Europe. Afin d’analyser l’impact de l’harmonisation des politiques monétaires sur le processus d’intégration, nous avons analysé les corrélations au sein de chaque marché. Nos résultats révèlent la présence d’une brusque augmentation de la corrélation, aussi bien au sein du marché des actions que sur le marché des obligations, environ un an avant le passage à la zone euro. D’après Kim, Moshirian et Wu (2004), ce décalage temporel s’explique par la prise en compte de ce facteur dans les anticipations des investisseurs. L’impact le plus visible de l’harmonisation des politiques monétaires semble être la stabilisation des corrélations au sein d’une même classe d’actifs. La présence d’une forte corrélation entre les différents indices boursiers européens a des implications importantes en gestion de portefeuilles. Celle- ci implique qu’une diversification entre les pays européens n’est pas une stratégie d’investissement efficace puisqu’elle ne permet pas de réduire le risque du portefeuille. En effet, l’objectif encouru par la diversification est justement d’obtenir une matrice des corrélations très faibles, voire négative et ce afin d’obtenir un portefeuille ayant le risque minimum pour un niveau de rentabilité donné. 10
  • 11. En ce qui concerne les liens qu’il existe entre ces deux marchés, nos résultats indiquent la présence d’une relation négative entre les rendements d’actions et d’obligations européennes. D’après Baur (2007), cette relation négative s’explique par la brusque augmentation des corrélations d’actions entre les différents pays européens. Cette forte hausse des corrélations d’actions a grandement diminué les opportunités de diversification géographique des investisseurs européens. C’est pourquoi les investisseurs vont diversifier leurs portefeuilles avec des actifs plus faiblement corrélés avec les actions, comme les obligations d’Etas européennes. La relation négative entre les actions et les obligations européennes est donc la conséquence directe de la diminution des opportunités de diversification géographique en Europe, suite au processus d’intégration financière européens. Notre analyse révèle une présence élevée de variations extrêmes de la corrélation entre actions et obligations. Nous avons détecté la présence de phénomènes de Flight to quality lors de diverses crises financières au cours de cette période. Par exemple, suite à la crise asiatique, il semble que les investisseurs aient quitté le marché d’actions relativement volatile pour se réfugier sur le marché d’obligations beaucoup plus stable. Cette préférence pour la qualité lors des crises financières a pour conséquence de diminuer fortement la corrélation entre actions et obligations. Enfin, nous constatons que le rejet français à la constitution européenne en mai 2005 a un impact considérable sur les corrélations au sein du marché d’actions et sur les corrélations entres ces différents marchés. Ceci confirme donc bien les résultats de De Grauwe (2006) qui suggère l’existence d’un lien entre l’union politique et l’union monétaire. D’après nous, cette fatigue du processus d’intégration politique européen a profondément remis en doute l’intégration financière. La conséquence de cette remise en doute est la brusque diminution des corrélations de rendements d’actions ce qui améliore fortement les opportunités de diversification géographique à travers l’Europe. Les marchés boursiers étant assez stables au cours de cette période, on assiste à un retour des investisseurs sur le marché des actions européennes en défaveur du marché des obligations d’Etats Ce phénomène, plus connu sous le nom de Flight from Quality, explique la brusque diminution des corrélations entre les rendements d’actions et d’obligations à cette période. Précisons par ailleurs que ce phénomène n’est pas relaté par la littérature actuelle. 11
  • 12. I. Introduction Les deux grandes stratégies de diversification de portefeuilles utilisés par les investisseurs se basent sur les corrélations des actifs financiers. D’après la théorie classique de Markowitz, tout changement de corrélations entre les différents actifs financiers implique un changement de pondérations des actifs détenus dans le portefeuille. Néanmoins, la littérature relate que les volatilités et les corrélations des actifs financiers varient avec le temps. Ces dynamiques ont dès lors un impact considérable sur le marché des capitaux. Dès lors, on comprend pourquoi il est important pour l’investisseur de connaitre les facteurs qui influencent la corrélation entre les rendements d’actifs financiers. Un des premiers phénomènes étudiés concernant la dynamique des volatilités des rendements d’actions est le clustering de la volatilité. Ce phénomène met en évidence que des fortes variations des rendements d’actifs tendent à être suivies par d’autres grandes variations de même signe et que des faibles variations de rendements d’actifs tendent à être suivies par d’autres faibles variations. Par la suite, certaines études empiriques constatent la présence d’un phénomène « d’asymétrie de la volatilité ». Ce phénomène suppose qu’un choc négatif a un impact plus important sur la volatilité des rendements d’actions qu’un choc positif de même ampleur. La littérature s’est fortement concentrée sur l’étude de ce phénomène avec pour priorité la volatilité des actions et trop rarement celle des obligations. L’étude des corrélations des rendements d’actions et des rendements d’obligations a fait l’objet de nombreuses recherches au cours de ces dix dernières années. La littérature relate une forte augmentation de la corrélation conditionnelle pour les marchés mondiaux d’actions. Engle, Sheppard et Capiello (2003) confirment bien la présence d’asymétrie dans les corrélations de rendements d’actions. Cela signifie, en d’autres mots, que les corrélations entre actions augmentent plus fortement suite à une mauvaise nouvelle arrivant sur le marché. Ils constatent par ailleurs que l’harmonisation des politiques monétaires européennes en 1999 a un impact considérable sur les corrélations mais pas sur les volatilités des actifs financiers. Kim, Moshirian et Wu (2004) remarquent que le processus d’intégration financière européen a eu pour conséquence d’augmenter les corrélations au sein des marchés d’actions et d’obligations. 12
  • 13. D’autres études se sont focalisées essentiellement sur les liens existant entre les rendements d’actions et d’obligations d’Etats. D’après Fleming, Kirby et Oestdiek (1997), un choc affectant un seul marché provoque un changement du comportement de l’investisseur. En effet, lorsque le marché boursier voit sa volatilité augmenter suite par exemple à une crise financière, les investisseurs ont tendance à se réfugier sur les marchés obligataires plus stables. La conséquence directe de ce phénomène est la diminution de la corrélation entre les rendements d’actions et d’obligations. Ce phénomène, plus connu sous le nom de Flight to quality, a fait l’objet de nombreuses études aux cours de ces dernières années. Baur et Lucey (2006) sont les premiers à regrouper les définitions des différents phénomènes ayant un impact sur la corrélation des rendements entre ces deux marchés. Ils remarquent que la corrélation entre les actions et les obligations européennes est très volatile ce qui traduit une fréquence élevée de ces phénomènes. L’introduction en 1982 du modèle ARCH par Engle permet d’analyser la dynamique des volatilités des actifs financiers et a ainsi donné naissance à l’économétrie financière moderne. Ce modèle résout le problème d’hétéroscédasticité des rendements d’actifs financiers. En effet, de nombreuses études empiriques montrent que la variance des séries temporelles de rendements d’actifs financiers varie à travers le temps, ce qui signifie que les donnés sont hétéroscédastiques. L’introduction de ce modèle fut vraiment le point départ de l’analyse de la variance conditionnelle de séries chronologiques des rendements d’actions. Le modèle économétrique utilisé pour réaliser ce mémoire est une version multivariée des modèles ARCH : Le « Dynamic Conditional Correlation » (DCC) introduit par Engle (2000). Ce modèle est estimé en deux étapes. Dans un premier temps, les paramètres des séries univariés de rendements vont être estimés avec un processus GARCH. Ensuite, ce modèle utilise les résidus standards de séries univariés afin d’estimer les corrélations conditionnelles. Ce modèle est souvent préféré car il possède la flexibilité des processus GARCH univariés et la parcimonie des modèles paramétriques d’estimation des corrélations dynamiques. 13
  • 14. Ce mémoire a pour objectif d’analyser la dynamique des volatilités et des corrélations des rendements d’actions et d’obligations d’Etats européennes à 5 ans sur une période de 10 ans. Il consiste en une étude empirique qui va tenter de répondre à trois questions. En premier lieu, il s’agit d’analyser la présence d’asymétrie dans la volatilité conditionnelle des actions et des obligations d’Etats européennes. Ensuite, nous étudions la dynamique des corrélations d’un même actif financier entre les différents pays afin d’analyser l’impact du passage à une politique monétaire commune sur le marché des capitaux européens. Enfin, nous étudions de manière plus approfondie les corrélations entres les rendements d’actions et d’obligations en nous focalisant essentiellement sur les valeurs extrêmes de variations de ces corrélations au cours du temps. Nous allons dater précisément ces variations extrêmes afin de détecter la présence de phénomène de flight to quality sur les marchés des capitaux européens au cours de la période étudiée. Contrairement aux recherches précédentes, nous réalisons une étude préalable de la volatilité sur ces différents marchés afin de comprendre les variations extrêmes des corrélations entre les rendements d’actions et d’obligations. 14
  • 15. II. Littérature sur la dynamique des corrélations Les deux grandes stratégies de diversification de portefeuilles utilisés par les investisseurs se basent sur les corrélations des actifs financiers. La première consiste à investir dans différents actifs financiers afin d’avoir une corrélation faible, voire négative tandis que la seconde consiste à investir dans des actifs similaires à travers le monde. Bien que ces deux stratégies aient de solides justifications théoriques et une forte évidence empirique, les investisseurs doivent être conscients que les volatilités et les corrélations des actifs financiers varient avec le temps. Ces dynamiques ont dès lors un impact considérable pour les investisseurs averses au risque et affectent donc fortement l’investissement sur le marché des capitaux. La partie qui suit a pour but de résumer la récente et très abondante littérature concernant la dynamique des volatilités et des corrélations des rendements d’actifs financiers. Mais avant de présenter la littérature sur les corrélations, il est utile de rappeler quelques faits importants concernant la dynamique des volatilités des rendements d’actifs financiers. En effet, les corrélations calculées au cours de ce mémoire se basent sur les volatilités de ces actifs. Il est dès lors important de comprendre l’impact qu’ont les chocs sur la volatilité des actifs financiers. 2.1. La dynamique de la volatilité des actions Un des premiers phénomènes étudiés concernant la dynamique des volatilités est le « Volatility Clustering 1» découvert par Mandelbrot (1963). Il fait apparaitre très clairement que des fortes variations des rendements d’actifs tendent à être suivies par d’autres grandes variations de même signe et que des faibles variations de rendements d’actifs tendent à être suivies par d’autres faibles variations. Ce phénomène démontre qu’en période de récession, la volatilité a tendance à varier énormément tandis qu’en période plus calme, les volatilités subissent de plus faibles variations. Un autre phénomène intéressant a été découvert suite aux travaux empiriques de Black (1976) et de Christie (1982). Il semblerait qu’il existe une relation asymétrique entre le 1 Phénomène de regroupements des extrèmes 15
  • 16. rendement et la volatilité. Ils constatent que la volatilité est plus grande en période de récession, ce qui traduirait une augmentation plus grande de la volatilité des actions après un choc négatif qu’après un choc positif de la même amplitude. L’étude réalisée par Schwert(1989) sur le crash boursier de 1987 a largement confirmé ce phénomène. Schwert (1989) analyse la dynamique de la volatilité des actifs financiers sur une période de 130 ans. Il tente d’expliquer les différents facteurs qui influencent cette dynamique. Une des premières explications qu’il donne trouve sa source dans l’incertitude économique. En effet, au niveau macroéconomique, la valeur de marché d’une entreprise dépend clairement de la santé de l’économie. Pour un taux d’actualisation constant, la variance conditionnelle du prix des actions est proportionnelle à la variance conditionnelle des dividendes futurs espérés. Ces dividendes espérés se basent sur des prévisions futures qui dépendent essentiellement des nouvelles informations et du niveau d’incertitude qui règnent sur les marchés financiers. Par exemple, si le niveau d’incertitude est grand, les prévisions des dividendes futurs espérés seront plus faibles et par conséquent le prix des actions diminuera, ce qui implique finalement une hausse de la volatilité des rendements d’actions. D’autre part, Schwert (1989) démontre en partie l’influence du levier financier2 sur le phénomène d’asymétrie. Si le levier financier augmente, la proportion de la dette par rapport aux fonds propres augmente, ce qui rend la détention d’actions plus risquée pour les actionnaires et provoque une augmentation de la volatilité de ces actions. Ceci explique en partie le phénomène d’asymétrie qui suppose qu’un choc négatif a un impact plus important sur la variance conditionnelle qu’un choc positif de même ampleur. Ce phénomène d’asymétrie sera d’ailleurs de plus en plus étudié grâce à l’apparition de modèles dérivés du GARCH. L’introduction des « News Impact Curves » par Engle et Kroner (1993) fut un autre grand pas réalisé pour l’étude de cet effet asymétrique des chocs sur la volatilité conditionnelle car ces courbes permettent de visualiser l’ampleur d’un choc sur la variance. D’autres articles tentent d’expliquer ce phénomène d’asymétrie en déterminant la relation qu’il y a entre la volatilité et la prime de risque d’une action. D’après Braun, Nelson et Seunier (1995), une augmentation de la volatilité du marché augmente la prime de risque du marché. A taux d’actualisation constant, une hausse de la volatilité provoque une baisse des cours sur le marché d’actions ce qui renforce la hausse de la volatilité. Ils analysent la 2 Le ratio de dette sur fonds propres 16
  • 17. présence d’asymétrie pour le beta conditionnelle en utilisant un modèle GARCH multivarié et constatent qu’il n’y a pas d’effet d’asymétrie des chocs sur le Beta. Kroner et Ng (1998) analysent la présence d’asymétrie des chocs pour les covariances conditionnelles des actifs financiers. Pour ce faire, ils introduisent une généralisation multivariée des courbes d’Engle et Kroner (1993) : « Les news Impact Surface ». Ces surfaces permettent d’analyser l’impact des chocs sur la covariance conditionnelle. Ils vont d’ailleurs analyser la dynamique des volatilités des portefeuilles composés d’entreprises de grandes et petites capitalisations boursières. Ils constatent que l’asymétrie est plus grande pour des indices de marché que pour une action prise individuellement. Wu et Bekaert (2000) introduisent une nouvelle explication au phénomène d’asymétrie. D’après eux, ce phénomène peut aussi être expliqué par l’existence d’une prime de risque qui varie avec le temps. La causalité est cependant différente de celle de l’effet levier. En effet l’effet levier explique en partie qu’une variation des rendements provoque un changement dans les volatilités conditionnelles tandis que la théorie de la dynamique de la prime de risque suppose que les changements de volatilité provoquent des variations de rendements. Ce phénomène appelé « volatility feedback » suppose que la volatilité est persistante3 et démontre qu’il existe une relation intertemporelle positive entre le rendement attendu et la variance conditionnelle. Cet effet de « Volatility Feedback » n’avait jamais été étudié auparavant au niveau de l’entreprise individuelle. Or d’après la théorie du CAPM, la prime de risque d’une action est égale à la prime de risque du marché multiplié par un coefficient Beta. Ce coefficient, qui représente le risque non diversifiable de l’actif, est égal à la covariance entre l’actif et le marché divisé par la variance de ce marché. Cela signifie qui si la covariance entre un actif et son marché augmente, le Beta augmente et donc le rendement attendu augmente ce qui provoque finalement une hausse de la volatilité Le phénomène d’asymétrie au niveau de l’entreprise individuelle est assez complexe à analyser. Par exemple, une mauvaise nouvelle a deux impacts sur les volatilités. Premièrement, celle-ci va augmenter la volatilité générale du marché et cette augmentation va 3 Un choc sur la volatilité aujourd’hui aura un impact sur les prévisions de volatilité loin dans le futur 17
  • 18. être compensée par l’attente des investisseurs de rendements plus élevés ce qui provoque une diminution des valeurs de marché des entreprises. Cette diminution des prix continuera jusqu'à ce que le rendement attendu soit suffisamment haut. Le phénomène de volatlity feedback provoque donc une augmentation de la volatilité. Deuxièmement, la diminution des prix des actions provoque une augmentation du levier financier au niveau du marché ce qui a pour conséquence d’augmenter à nouveau la volatilité des rendements d’actifs. L’effet levier renforce donc encore l’effet de feedback de la volatilité. Dans le cas d’une bonne nouvelle, l’impact sur la volatilité n’est pas encore très clair. Ces deux effets tendent à se contrebalancer et donc l’effet est plus ou moins mixte. La figure suivante tente d’expliquer ce phénomène de manière simple. Figure 1: Impact d'une mauvaise nouvelle sur la variance conditionnelle Effet Levier Cours Levier Financier Volatilité Rendements conditionnelle Mauvaises nouvelles Volatility Feedback Prime de risque Rendement Cours Volatilité du marché espéré conditionnelle Source : ce tableau s’inspire d’un tableau de l’article de Bekeart et Wu (2000) Wu (2001) démontre que les 2 effets sont des déterminants importants de l’asymétrie des volatilités conditionnelles. Ils peuvent agir en même temps et amplifier l’impact du choc négatif sur la volatilité. Néanmoins, l’effet levier aurait un impact moins considérable sur le phénomène d’asymétrie que l’effet de Volatility Feedback qui quant à lui est très significatif. 18
  • 19. Ces différents articles confirment bien que les volatilités des rendements d’actions varient avec le temps et réagissent différemment aux chocs positifs et négatifs. Ce phénomène d’asymétrie, qui est une évidence empirique trouve sa source en partie dans l’effet levier et le feedback de la volatilité. La partie qui suit a pour but de résumer quelque faits de la littérature concernant la volatilité des rendements des obligations. 2.2. La dynamique des volatilités des obligations Jusqu’alors, l’analyse de la dynamique des volatilités a essentiellement concerné le marché des actions et rarement celui des obligations. Un des premiers à s’intéresser à la dynamique de la volatilité des taux d’intérêts est Ilmanen (1995). Il analyse la prime de risque des Bons d’états de 6 pays différents. Il remarque que cette prime de risque varie avec le temps et qu’elle est fortement corrélée entre les marchés internationaux. Par après, Ball et Torous (1999) analysent la dynamique des taux d’intérêts à court terme entre différents pays et confirment que la volatilité des taux d’intérêts possède une mémoire à long terme. Ils essayent aussi de comprendre les liens qui existent entre les dynamiques des volatilités des marchés d’actions et d’obligations. Leur explication trouve sa source dans le fait que les chocs économiques n’ont pas le même impact sur les deux marchés. D’après eux, les chocs qui ont un impact considérable sur les volatilités des taux intérêts court terme sont les annonces de la Banque Centrale et l’annonce de données macroéconomiques. Cappiello (2000) prouve bien que les actions et les obligations d’Etats répondent asymétriquement à une nouvelle mais de manière inversée. En général les banques centrales diminuent leurs taux lorsque l’économie est en période de croissance et ce afin de diminuer l’épargne et stimuler l’investissement. Il constate que la volatilité des obligations d’Etats est plus faible lors du crash de 1987 ce qui traduirait un effet « Flight to quality ». D’après lui, les investisseurs sentent la faiblesse de l’économie et supposent que les rendements des obligations vont surperformer par rapport aux marchés boursiers. Cela pousse les investisseurs à réviser la pondération entre les actions et les obligations détenues dans leurs portefeuilles. 19
  • 20. Christiansen (2000) analyse l’effet des annonces macroéconomiques sur les covariances de différentes obligations4 d’Etats américaines. Selon elle, les variations de rendements d’obligations dépendent de l’annonce d’information macroéconomique comme le taux d’intérêt réel, le taux d’inflation, la politique monétaire ou encore la politique fiscale. Elle découvre que les variances conditionnelles, les covariances conditionnelles et les corrélations sont plus grandes les jours où cette information est diffusée. Elle remarque par ailleurs que la publication des nouvelles macroéconomiques induit un mouvement semblable des différents marchés obligataires, ce qui renforce leurs corrélations. Christiansen confirme la persistance de la volatilité des obligations et prouve qu’il n’y a pas d’effet asymétrique pour les rendements d’obligations. 2.3. La dynamique des corrélations entre les actifs financiers Les corrélations entre les actions et les obligations jouent un rôle clé pour les investisseurs car c’est sur celles-ci que se basent toutes les stratégies de diversification. En effet, d’après la théorie du portefeuille efficient, tous changements de corrélations entre les différents actifs financiers impliquent un changement des pondérations de ces actifs détenus dans le portefeuille. Dès lors, on comprend pourquoi il est important pour l’investisseur de connaitre les facteurs qui influencent la corrélation entre les rendements d’obligations et d’actions. Nous allons tout d’abord présenter la littérature concernant les corrélations au sein d’un même marché et ensuite présenter les récents articles qui tentent d’expliquer le lien complexe qui existe entre ces deux marchés. En ce qui concerne la corrélation du marché des actions, Karoly et Stulz (1996) analysent les covariances entre les rendements d’actions américaines et japonaises et découvrent ainsi que les covariances sont élevées quand il y a des chocs de grande ampleur sur les marchés nationaux. Ils tentent d’expliquer les mouvements similaires des rendements d’actions de ces deux pays par l’effet de contagion. L’enthousiasme des investisseurs concernant le marché des actions semble être contagieux d’une région à une autre. De plus, ils constatent que les corrélations sont très grandes lorsque les marchés sont très volatiles ce qui implique que la diversification internationale n’est pas une stratégie d’investissement appropriée dans le cas d’une récession. 4 Christiansen analyse les obligations d’états à 2, 3, 5, 7, 10 et 30 ans. 20
  • 21. Ces résultats sont confirmés par Longin et Solnik (2001) qui découvrent que les corrélations entre actions ne dépendent pas nécessairement de la dynamique des volatilités mais sont plutôt liées aux tendances de marché. Ils constatent que les corrélations entre actions augmentent lorsque les marchés d’actions sont en baisse et inversement. L’étude du lien qu’il y a entre le marché des actions et d’obligations a fait l’objet de nombreuses études aux cours de ces 15 dernières années. Afin d’expliquer la relation qui existe entre le taux d’intérêt et les cours des actions, Shiller et Beltrati (1992) supposent que le modèle de la valorisation des actifs implique qu’il existe une relation entre le prix d’une action et les taux d’intérêts d’obligations long terme. D’après les fondamentalistes, le prix d’une action et le prix d’une obligation sont égaux à la somme des valeurs actuelles des payements futurs. Les dividendes futurs des actions sont incertains et infinis dans le temps contrairement aux payements d’obligations qui sont fixés et limités dans le temps. C’est pourquoi les facteurs qui affectent les taux d’actualisation vont faire varier le prix des actions et des obligations dans la même direction, tandis que les facteurs qui affectent uniquement les dividendes d’actions ne vont faire varier que le prix des actions. Fleming, Kirby et Ostdiek (1997) étudient le rôle de l’information dans les liens qu’il y a entre les volatilités du marché des actions et celui des obligations. Premièrement, ils découvrent que les informations macroéconomiques comme l’annonce des taux d’inflation provoquent des chocs communs sur la volatilité de ces deux marchés. Deuxièmement, un choc qui n’affecte qu’un marché produit un changement des pondérations des différents actifs financiers détenus dans les portefeuilles des investisseurs. Ce changement des pondérations implique des chocs d’offre et de demande sur les marchés concernés, ce qui provoque des variations de prix de ces actifs et donc de leur volatilité. Cela explique en partie pourquoi une information qui affecte la volatilité d’un seul marché peut se répandre sur la volatilité des autres marchés. Ils affirment donc qu’il existe des liens entre les volatilités des différents marchés. Li (2002) analyse les corrélations entre les marchés d’actions et d’obligations. Il tente de déterminer la corrélation entre ces marchés en fonction de leur exposition commune aux facteurs macroéconomiques. Selon lui, l’incertitude concernant l’inflation à long terme est un déterminant important des tendances majeures des corrélations entre les marchés des actions et des obligations. Il constate que l’incertitude concernant des facteurs macroéconomiques 21
  • 22. comme le taux d’intérêt réel ou le taux d’inflation ont des impacts sur la volatilité des rendements d’actions et d’obligations. Le taux d’intérêt réel influence le prix des actions et des obligations car il détermine le taux d’actualisation des payements futurs. Durant les périodes où le risque d’inflation est élevé, les rendements d’actifs financiers tendent à être plus volatiles, ce qui pousse les investisseurs à diversifier le risque de leur portefeuille. Malheureusement, d’après Li (2002) ces périodes peuvent être caractérisées par une très forte corrélation entre les marchés d’actions et d’obligations. Une des implications qui découle de ce résultat est la confirmation de la loi de la diversification de Murphy « Les opportunités de diversification sont le moins disponibles lorsqu’elles sont le plus nécessaires ». Engle, Sheppard et Cappiello (2003) analysent la présence d’asymétrie dans la dynamique des corrélations des rendements d’actions et d’obligations sur la période 1987- 2000. Ils découvrent la présence d’une forte augmentation de la corrélation conditionnelle pour les marchés mondiaux d’actions et constatent que ces corrélations augmentent fortement en réaction à une mauvaise nouvelle arrivant sur le marché. Cette présence d’asymétrie dans les corrélations d’actions confirme bien la loi de Murphy. Ils constatent aussi que l’harmonisation des politiques monétaires européennes en 1999 a un impact considérable sur les corrélations mais pas sur les volatilités des actifs financiers. Pour finir, ils constatent avec évidence que la corrélation entre les actions et les obligations diminue fortement en période de récession ce qui traduit d’après eux un phénomène de « flight to quality ». Kim, Moshirian et Wu (2004) analysent le processus d’intégration financière en Europe et constatent une forte augmentation des corrélations des rendements au sein de chaque marché respectif. Cette forte hausse des liens au sein des marchés est essentiellement due au processus d’intégration financière européen en marche depuis plus de 20 ans. Ils constatent que ces corrélations augmentent fortement en 1996-1997 avant l’harmonisation des politiques monétaires européennes datant du 1er janvier 1999. D’après eux, cette forte hausse s’explique par la prise en compte de ce facteur dans les anticipations des investisseurs. Christiansen et Ranaldo (2005) constatent que les corrélations des rendements d’actions et d’obligations varient en fonction du temps et de l’environnement économique. Ils analysent l’impact des nouvelles macroéconomiques sur ces corrélations et constatent que la corrélations entres obligations et actions n’est pas nécessairement influencée par ce type de nouvelles. Néanmoins les nouvelles macroéconomiques semblent avoir un impact sur les 22
  • 23. volatilités de ces actifs financiers. Cependant, l’impact de ces nouvelles est plus prononcé pour les volatilités d’obligations que pour les volatilités d’actions. Selon eux, ce sont les tendances générales du marché qui influencent grandement la corrélation entre le marché des actions et des obligations. Connolly, Stivers et Sung (2005) découvrent qu’il existe une relation négative entre l’incertitude et la corrélation les rendements d’actions et d’obligations. D’après eux, l’incertitude qui règne sur le marché pousse les investisseurs à réviser plus fréquemment la pondération entre obligations et actions détenues en portefeuilles. Lee, Marsh et Pfleiderer (2006) étudient la corrélation entre les bons du trésor et les actions américaines. Ils considèrent que de brusques variations de corrélations entre deux actifs financiers reflètent des changements de comportement de la part des investisseurs. Ils associent les phénomènes de flight to quality et de flight from quality à ces changements de comportements. Ils constatent aussi une sorte de mémoire à long terme de la corrélation entre rendements d’actions et bons du trésor. Cette mémoire provient en partie du régime appliqué par la politique monétaire du pays concerné. Baur et Lucey (2006) analysent la présence de phénomènes de Flight to Quality et de Fligth from Quality. Ils sont les premiers à regrouper clairement les définitions des différents phénomènes affectant les corrélations entre rendements d’actions et d’obligations. D’après la littérature, ils définissent la contagion comme une augmentation des corrélations entre les rendements de ces deux actifs cumulés à une baisse simultanée sur les marchés boursiers. Le Flight to quality est défini comme une baisse des corrélations d’actions et d’obligations cumulées à une baisse simultanée sur les marchés boursiers. Pour le Flight from quality, c’est une hausse des marchés boursiers cumulée à une diminution des corrélations entre ces deux actifs. Le tableau suivant résume ces différentes définitions. Tableau 1: Résumé des definitions: flight to quality, fligth from quality and contagion Corrélations entre actions et obligations Diminution Augmentation Marché boursier en Baisse Actions obligation Fligth to qualtiy Contagion négative Marché boursier en Hausse Obligation actions Fligth from qualtiy Contagion positive Marché obligataire en Hausse Obligation actions Fligth from qualtiy Contagion négative Marché obligataire en Hausse Obligation actions Fligth to qualtiy Contagion positive Source : Baur D. et Lucey M. (2006) 23
  • 24. Baur et Lucey (2006) analysent la corrélation des rendements d’actions et d’obligations européennes sur la période 1995-2005. Premièrement, ils constatent que cette corrélation est très volatile ce qui traduirait une fréquence relativement élevée des phénomènes définis plus haut. Deuxièmement, ils constatent que la volatilité du marché des actions et des obligations explique en partie la variation de cette corrélation. D’après eux, la volatilité sur le marché des obligations contribue potentiellement au phénomène de contagion et la volatilité sur le marché des actions contribue au phénomène de flight to quality lorsque le marché boursier est en hausse. Ils pensent que la relation positive s’explique par l’exposition commune de ces deux marchés aux facteurs macroéconomiques tandis que la relation négative s’explique par le changement des pondérations d’actifs détenus dans les portefeuilles. Baur (2007) analyse les liens qu’il y a entre les marchés financiers à travers le monde de 1994 à 2006. D’après lui, la corrélation entre les actions et les obligations s’explique par les liens existants entre les différents marchés financiers. Il constate que la corrélation entre les actions et les obligations européennes est relativement faible et négative sur sa période. Le signe négatif s’explique par la forte augmentation des corrélations des rendements d’actions européennes en Europe. D’après Baur (2007), la hausse des corrélations poussent les investisseurs à réajuster fréquemment leurs allocations en actifs financiers détenus dans leurs portefeuilles. 24
  • 25. III. Littérature et méthodologie du modèle économétrique. « La base de l’économétrie appliquée est le modèle des moindres carrés. La version basique de ce modèle suppose que l’espérance mathématique des termes d’erreurs, en valeur absolue, est égale pour chaque point donné. L’espérance mathématique de n’importe quel carré du terme d’erreurs est donc égale à la variance de tous les termes d’erreurs ensemble. Cette hypothèse est appelée homoscédasticité. Inversement, les données pour lesquelles les espérances mathématiques des termes d’erreurs ne sont pas égales souffrent quant à elles d’hétéroscédasticité, ce qui peut poser problème lorsqu’on utilise la méthode des moindres carrés. Car comme les intervalles de confiance des estimations des coefficients de régression seront assez restreints, cela va engendrer une fausse idée de précision. Parfois le sujet clé de l’analyse est la variance des termes d’erreurs elle-même. Cette question revient d’ailleurs souvent dans des applications financières lorsque la variable dépendante est le rendement d’un actif ou d’un portefeuille d’actifs et que la variance des rendements représente le niveau de risque de ces actifs. Généralement, les données historiques des rendements d’actifs sont hétéroscédastiques. Il est évident que lorsque l’on analyse des données historiques de rendements d’actifs financiers, certaines périodes sont plus risquées que d’autres et donc l’espérance mathématique d’un terme d’erreur à un certain moment peut être plus grande qu’à d’autre périodes ». Engle5 (2001) 3.1. Les séries temporelles Une série temporelle est une série d’observations d’une variable y aux instants t = 1,2 ,… ..,T. y1 , y 2 ,.... yt (1.1) Les séries de cours d’actions ou d’obligations sont des séries temporelles. 5 Engle, Robert, (2001) “GARCH 101: An Introduction to the Use of ARCH/GARCH models in Applied Econometrics,” Forthcoming Journal of Economic Perspectives 25
  • 26. Dans le cadre de ce mémoire, des distributions de rendements d’actions et d’obligations vont être analysées. Le rendement est calculé sur base des séries temporelles de prix de ces différents actifs financiers : (1.2) rt = log( pt ) − log( pt −1 ) Une variable aléatoire est une variable qui prend des valeurs suivant une certaine fonction de distribution. La série temporelle des rendements est une variable aléatoire qui se décrit généralement avec deux paramètres importants. Le premier est la moyenne de la série qui se définit6 comme suit : T −1 µ = E[r ] = T ∑r t (1.3) t =1 Le deuxième paramètre très important en finance est l’écart type qui se définit comme suit : T (1.4) σt = T −1 ∑ (rt − µ t ) 2 t =1 L’écart type mesure la dispersion de la série de données autour de sa moyenne. Aussi appelé volatilité, ce paramètre est souvent préféré à la variance car il utilise les mêmes unités que les données originales. Pour les données d’actifs financiers, ce terme représente le risque d’un actif. Ce risque est en quelque sorte une mesure de l’ampleur des variations de prix. Les actions sont des actifs qui connaissent des grandes variations de prix tandis que les prix des obligations sont plus stables dans le temps. 3.1.1. Processus Stochastique Un processus stochastique7 est une suite de variables aléatoires définie sur un même espace W, appelé espace fondamental. Un processus stochastique se formule comme suit : {Yt t ∈ Z } (1.5) La suite de rendements d’actifs financiers est un processus stochastique {rt t ∈ Z } (1.6) 6 La notation avec une barre est pour différencier la moyenne marginale de la moyenne conditionnelle 7 Racicot, E., et Théoret, R (2001). : Traite d’Econométrie financière, Presses de l’Université du Québec 26
  • 27. 3.1.2. La stationnarité de second ordre8 La stationnarité est une mesure probabiliste de la régularité. Cette régularité peut être exploitée afin d’estimer des paramètres inconnus et caractériser les relations de dépendance entre les observations à différents points du temps. La stationnarité existe sous deux formes : la stationnarité au sens strict et la stationnarité au second ordre (ou stationnarité faible). Dans ce mémoire, non ne considérerons que la stationnarité faible. Un processus stochastique est faiblement stationnaire si et seulement si : E[ yt ] = `µ ∈ R pour t = 1,2... 2 (1.7) V[ yt ] = `σ ∈R pour t = 1,2... E [( yt − µ ) ( yt −s − µ )] = γ s ∈ R pour t = 1,2... pour s = 1,2, ..., t − 1. Un processus stochastique est donc stationnaire si ses moyennes, ses variances et ses covariances marginales ne dépendent pas du temps. (Mais bien de l’écart temporel dans le cas de la covariance). Les processus associés aux prix pt des actifs financiers sont d’habitude non stationnaires. En effet, les séries temporelles des cours présentent généralement une certaine tendance. Cependant, les séries temporelles de rendements vérifient le plus souvent la propriété de stationnarité au second ordre. Figure 2: Série temporelle des rendements du CAC 40 Rendement du CAC 40 (Paris) 0.05 0.04 0.03 0.02 Rd n o n mt l ge e e 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 1998 2000 2002 2004 2006 années 8 Appelé aussi stationnarité faible 27
  • 28. 3.1.3. Le coefficient d’asymétrie : Skweness Ce coefficient mesure le degré d’asymétrie de la distribution. Il se définit comme suit : T ∑ (r − µ ) t t 3 (1.8) S = t =1 3 σ • Si le Skewness est positif, la distribution est concentrée vers la droite. • Si le Skewness est négatif, la distribution est concentrée vers la gauche. Les séries temporelles de rendements d’actifs financiers ont souvent un skewness négatif ce qui signifie que les rendements inférieurs à la moyenne sont plus fréquents. 3.1.3. Le coefficient d’aplatissement : Kurtosis Le coefficient d’aplatissement mesure le degré d’aplatissement d’une distribution. Il est associé à l’épaisseur des queues de la distribution. Il se définit comme suit : T ∑ (r − µ ) t t 4 (1.9) K= t =1 4 σ • Si le Kurtosis est égal à trois, on dit que la distribution est mésocurtique comme c’est le cas pour la distribution normale. • Si le Kurtosis est plus grand que trois, on dit que la distribution est leptocurtique. Cette distribution possède alors une queue plus épaisse qu’une distribution normale. • Si le Kurtosis est plus faible que trois, on dit que la distribution est platicurtique. Une telle distribution possède une queue plus mince qu’une distribution normale. Les séries de rendements présentent généralement un coefficient d’aplatissement plus grand que trois. Cette leptokurticité est une propriété typique des séries de rendements d’actifs financiers. Par exemple, l’indice de la bourse de Paris possède un Kurtosis égal à 4.0666 et un skewness égal à -0.1438. Cela signifie que la distribution de la série de rendements du CAC 40 a une queue plus épaisse qu’une loi normale et connait une légère asymétrie vers la gauche. 28
  • 29. La figure suivante nous donne une idée générale de la non normalité de la distribution de rendements d’actifs financiers. On constate donc bien que les résidus de la distribution de rendements ne suivent pas une distribution normale. En effet, leur distribution est plus allongée et présente une légère asymétrie. Cette hypothèse de non normalité des résidus standards justifie en partie l’utilisation des modèles de régressions hétéroscédastiques. Figure 3: Distribution des résidus de la série de rendements du CAC 40 35 30 ψψψ 25 20 15 10 5 0 -5 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 3.1.2. La fonction de corrélation La corrélation entre deux actifs financiers A et B mesure la relation qu’il y a entre l’évolution de deux actifs financiers et se définit comme suit ∑ (r )( ) T t A − µ A ) rt B − µ B ) (1.10) Corr ( A, B ) = t =1 σ Aσ B 3.1.3. Les autocorrélations Les autocorrélations d’un processus stationnaire au sens faible se définissent comme suit : γ s E [( yt − µ ) ( yt − s − µ )] (1.11) ρs = = γ0 σ 2 Pour les séries de rendements d’actifs financiers, les autocorrélations sont souvent très faibles. 29
  • 30. Figure 4: Autocorrélogrammes de la série de rendements du CAC 40 Sample Autocorrelations and Robust Standard Errors of The return of CAC40 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Lag Nous constatons sur la figure 4 l’absence d’autocorrélations pour la série de rendements du CAC 40. La faiblesse des autocorrélations des rendements renvoie à l’hypothèse des marchés efficients. En effet, d’après cette hypothèse9, les cours boursiers sur des marchés concurrentiels suivent une marche au hasard. Un marché est efficient si et seulement si l’ensemble des informations historiques disponibles sont immédiatement incorporées dans le cours de l’action. L’efficience informationnelle implique donc que les variations de prix d’une période sont indépendantes des variations de prix d’une autre période. Ce qui signifie en d’autres mots que les autocorrélations de série de rendements d’actions sont faibles et que les rendements d’actions sont imprévisibles. La série des puissances carrées des rendements d’actions présentent des autocorrélations : Figure 5: Autocorrélogrammes des puissances carrées de la série de rendements du CAC 40 Sample Autocorrelations and Robust Standard Errors du rendement carré du Cac 40 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Lag Un des premiers tests à faire lorsqu’on veut construire des modèles de volatilités conditionnelles de type GARCH est l’analyse des autocorrélations des séries de puissances carrées des rendements d’actifs. En effet celle-ci représente un estimateur naturel de la variance conditionnelle. La présence d’autocorrélations dans la série de puissances carrées des 9 R. Brealey & S.Myers Principes de Gestion Financière , Pearson education, 7ième édition. 30
  • 31. rendements justifie l’utilisation des modèles GARCH. Cette figure nous confirme bien la présence d’autocorrélations pour les rendements carrés des actions. La présence d’auto corrélations dans les séries de puissances carrées est un indicateur du phénomène de regroupement en extrême de la volatilité. 3.1.3. L’hétéroscédasticité Le terme hétéroscédasticité10 a deux racines. La première, « scédastique », est associée à « fonction scédastique » qui signifie variance conditionnelle. La seconde, « hétéro », fait référence à « plusieurs ». Hétéroscédasticité signifie donc plusieurs variances. De nombreuses études empiriques montrent que la variance des séries temporelles de rendements d’actifs financiers varie à travers le temps. On peut donc dire que la variance des actifs financiers est hétéroscédastique dans le temps. Cette hétéroscédasticité de la variance justifie l’utilisation des modèles GARCH et nombreux dérivés. Afin d’étudier l’hétéroscédasticité des données, il convient d’analyser la présence d’autocorrélations dans la série des puissances carrées des résidus. Dans ces modèles, le résidu est simplement le rendement non anticipé et se définit comme suit : εt = rt − µ (1.9) Ce terme est aussi une bonnne approximation naturelle de la variance conditionnelle. Pour analyser la présence d’autocorrélations, on utilise le LM test introduit par Engle (1982). Ce test est asymptotiquement distribué en chi-carrés et permet de tester la présence d’autocorrélations dans la série de résidus des rendements d’actifs financiers pour un nombre Q déterminé de Lag. Figure 6: Autocorrélations des puissances carrées de termes d’erreurs de la série des rendements du CAC P-vals from ARCH LM tests 0.7 0.6 0.5 P-value 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 Number of lags included 10 Racicot, E., et Théoret, R (2001). : Traite d’Econométrie financière, Presses de l’Université du Quebec 31
  • 32. Pour des écarts temporels inférieurs à 4, nous constatons que la p-valeur est inférieure à 0,1 ce qui confirme la présence d’autocorrélations dans la série des puissances carrées des résidus de la série de rendement du CAC 40. Il semblerait donc qu’il existe une relation entre le terme d’erreur au carré d’aujourd’hui et les termes d’erreurs aux carrés des cinq dernières périodes. Ceci nous confirme bien la présence d’hétéroscédasticité, ce qui justifie l’utilisation des modèles ARCH pour les séries de rendements d’actifs financiers. 3.2. Les Modèles Univariés 3.2.1. Le modèle ARCH (1982) Le problème d’hétéroscédasticité des données financières fut résolu sous l’impulsion d’Engle en 1982 avec la publication de son article «Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation ». Cet article présente un outil statistique jamais encore utilisé auparavant : un modèle autorégressif conditionnel hetéroscédastique (ARCH) qui est une nouvelle gamme de processus stochastique. Ces processus ont en général une variance conditionnelle qui varie avec le temps en fonction des erreurs du passé et une variance marginale constante. La variance conditionnelle est la variance obtenue en t sur base de l’ensemble des informations disponibles en t-1. Ce modèle de régression ARCH a une grande variété de caractéristiques, ce qui fait de lui un modèle assez attractif pour diverses applications économétriques. Comme en finance où les pondérations d’actifs financiers d’un portefeuille sont des fonctions de l’espérance mathématique et de la variance des taux de rendements de ces actifs. (Comme le suppose la théorie du portefeuille efficient basé sur le modèle Markowitz). Si le rendement est supposé être une régression standard ou un modèle de série chronologique classique comme le processus ARMA, la variance de ces rendements est immédiatement contrainte d’être constante à travers le temps, ce qui n’est pas le cas avec des actifs financiers tels que des actions ou obligations. 32
  • 33. Pour rappel, la série de rendements d’actifs financiers est un processus stochastique : {rt t ∈ Z } (2.1) Une définition rigoureuse du processus ARCH est donnée par le professeur Kevin Sheppard dans son cours d’économétrie financière de l’université d’Oxford. Ce processus se base sur la série de rendements des actifs financiers. Le processus ARCH se définit comme suit : Définition11 2.1 : un processus ARCH (p) Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p) (2.2) • est la moyenne conditionnelle • est la variance conditionnelle calculée avec l’information disponible en t-1 • est le résidu standard • est le choc (appelé aussi nouvelle, innovation ou rendement non anticipé) (1.1) Selon cette définition, la variance des erreurs varie avec le temps et dépend du carré des p dernières erreurs. L’impact du choc i sur la volatilité actuelle est déterminé par le paramètre α i. En général, au plus le choc est situé loin dans le passé, au moins il aura d’effet sur la variance conditionnelle actuelle. Tous les chocs12 appartenant à une période plus vieille que la pième période n’ont aucun impact sur la volatilité conditionnelle actuelle. La définition du choc ε t2 ≡ et2σ τ2 est utilisée afin de différencier l’innovation indépendante et identiquement distribuée de la variance conditionnelle. On constate qu’un processus autorégressif a été utilisé afin de modéliser la moyenne conditionnelle. Cependant, pour beaucoup de séries chronologiques de données financières, on suppose la moyenne conditionnelle constante et même parfois égale à 0. 11 Shepard K. (2006), « cours d’économétrie financière de l’université d’Oxford » http://wiki.kevinsheppard.com/mfe/. 12 Ce choc représente le rendement non anticipé d’une période à une autre 33
  • 34. La variance marginale du modèle ARCH se définit comme suit : (2.3) Une des conditions pour que la variance non conditionnelle soit finie est que 1 − α1 − α 2 − .... − α p > 0. Un processus ARCH est faiblement stationnaire si et seulement si i) le modèle de la moyenne conditionnelle est stationnaire. ii) 1 − α1 − α 2 − ... − α p > 0. iii) αj ≥0 ∀j ∈ Z iv) ω > 0 L’intuition qu’il y a derrière la condition iii est le fait que si un paramètre alpha est négatif, un choc suffisamment large peut provoquer une variance conditionnelle négative. La condition iv est nécessaire pour assurer la stationnarité faible. Pour être complet, il faut également considérer cette définition alternative : Définition alternative 2.2 : un processus ARCH (p) Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p) (2.4) • où est calculé avec l’ensemble des informations disponibles en t-1 et est conditionnellement normal de moyenne et de variance . • est l’ensemble informationnel disponible et contient tous les événements mesurables en t-1. Un événement mesurable contient tous les événements qui ont une probabilité assignée aux temps t-1. 34
  • 35. L’introduction de ce modèle fut vraiment le point départ de l’analyse de la variance conditionnelle de séries chronologiques diverses comme l’inflation ou les rendements d’actifs financiers. Ce modèle a ainsi donné naissance à l’économétrie financière moderne. D’ailleurs, l’étude de la dynamique des volatilités conditionnelles a été l’une des plus grandes contributions de l’économétrie financière actuelle au point de récompenser Monsieur Robert Engle du prix Nobel d’économie en 2003. 3.2.2. Le modèle GARCH (1986) Le problème du processus ARCH réside dans la nécessité d’avoir de nombreux écarts temporels13 des erreurs aux carrés pour représenter adéquatement la variance conditionnelle, ce qui le rend que très peu parcimonieux. La réponse à ce problème fut apportée par Bollerslev (1986) avec l’introduction du processus GARCH (p,q). Il propose une généralisation des processus ARCH en présentant une extension assez semblable à celle utilisée pour la transformation d’un processus autorégressif classique en un processus autorégressif à moyenne mobile. Ce processus peut être défini comme suit : Définition 2.3 : un processus GARCH (P,Q) Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p) (2.5) C’est un processus ARCH d’ordre P qui inclut Q intervalles temporels sur les variances conditionnelles. La variance conditionnelle actuelle est une fonction du carré des chocs passés et des variances conditionnelles passées. 13 En général, Le modèle ARCH nécessite 5 à 8 lag pour estimer au mieux la variance conditionnelle. 35
  • 36. La variance non conditionnelle du modèle GARCH se définit comme suit : (2.6) Un processus GARCH est faiblement stationnaire si et seulement si : α − ∑q=1 β q > 0 p q i) 1 − ∑ p =1 p ii) αj ≥0 ∀j ∈ Z iii) βj ≥0 ∀j ∈ Z iv) ω>0 La version la plus utilisée de ce processus est le modèle GARCH(1,1) qui est en fait un modèle ARCH(∞) déguisé. L’effet des chocs sur la volatilité conditionnelle décline de manière géométrique avec le temps. 3.2.3. Le modèle EGARCH (1991) Une des faiblesses des modèles ARCH et GARCH est qu’ils supposent que seul l’ampleur et non le signe du choc détermine la variance conditionnelle. De nombreuses études empiriques montrent que les rendements d’actifs sont négativement corrélés avec les variations de volatilité de ces rendements. Cela signifie que la volatilité augmente plus en réponse à un choc négatif sur les rendements qu’en réponse à un choc positif de même ampleur. L’effet asymétrique qu’ont les rendements sur la volatilité est dû en partie à l’effet levier et à l’effet de feedback des volatilités. Le modèle EGARCH introduit par Nelson (1991) suppose que la variance conditionnelle réponde avec asymétrie à un résidu positif ou négatif. Ce modèle comprend un paramètre en plus qui a l’avantage de prendre en compte l’impact du signe positif ou négatif d’un choc sur la variance conditionnelle. 36
  • 37. L’introduction d’un paramètre supplémentaire permet d’analyser l’effet asymétrique sur la volatilité conditionnelle ce qui en fait un modèle plus efficace pour l’analyse des séries chronologiques de rendements d’actifs financiers. Le processus EGARCH est défini comme suit Définition 2.3 : Un processus EGARCH (P,O,Q) Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre( p,o,q) (2.7) En général, pour des actifs financiers, le coefficient γ0 est négatif, ce qui implique que la volatilité augmente plus après un choc négatif sur les rendements qu’après un choc positif. Contrairement aux modèles GARCH, ce processus ne nécessite pas la non négativité des paramètres alpha et gamma pour être stationnaire. 3.2.4. Le modèle GJR-GARCH (1993) et le modèle TARCH (1994) Le problème du modèle EGARCH est que le paramètre d’asymétrie assigne le même poids à un choc positif et négatif de même ampleur. Pour palier a ce défaut, Glosten, Jagannathan et Runkle (1993) introduisent un nouveau modèle conditionnellement hétéroscédastique incluant un paramètre d’asymétrie. Afin de capturer au mieux cet effet asymétrique, ils introduisent une variable dichotomique. Cette variable est égale à 1 lorsque le choc est négatif et est nulle autrement. L’introduction de cette variable permet aux paramètres qui capturent l’asymétrie d’assigner un poids différent à un choc négatif et à un choc positif. Ceci permet d’affiner au mieux l’étude de l’asymétrique car elle tient compte du signe du choc. Ce modèle est bien souvent préféré au modèle EGARCH qui amplifie très fortement les chocs de grandes valeurs à cause de l’utilisation de la fonction exponentielle 37
  • 38. Ce processus peut être défini comme suit. Définition 2.4 : Un processus GJR-GARCH (P,O,Q) GJR-Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p,o,q) (2.8) L’unique problème de ce modèle est que les chocs de grande ampleur ont un impact considérable sur la variance conditionnelle14. L’introduction par Zakoian (1994) du modèle ZARCH a permis de résoudre ce problème. Définition 4.2 : Un processus TARCH (P,O,Q) Thresold Autoregressive Conditional Heteroskedasticity d’ordre (p,o,q) (2.9) La seule différence par rapport au GJR-GARCH est qu’il utilise la valeur absolue du terme d’erreurs et non sa puissance carrée ce qui a pour avantage de ne pas trop amplifier l’effet d’un impact de grande ampleur. La valeur absolue de ce terme permet d’analyser l’ampleur de ce choc dans le sens où il provoque un grand changement de prix sans nécessairement amplifier cette variation de prix. 14 Ceci s’explique par l’utilisation de la puissance du terme d’erreurs 38
  • 39. 3.2.5. Les « News Impact Curves » (1992) L’analyse de l’impact d’un choc sur la variance conditionnelle peut être rendue difficile vu le nombre de modèles existants. Engle et Ng (1992) apportent une solution à ce problème de diversité des modèles. Ils expliquent et introduisent les « news impact curves » qui permettent d’analyser l’impact d’un choc passé sur la variance conditionnelle. Ces courbes servent à étudier le phénomène d’asymétrie pour lequel en général un choc négatif a un impact plus important sur la variance conditionnelle qu’un choc positif de même ampleur. Dans les modèles précédents, le choc εt = rt -µ t correspond à un rendement non anticipé. Un choc positif correspond donc à un rendement positif non anticipé, ce qui représente une bonne nouvelle tandis qu’un choc négatif peut être assimilé à une mauvaise nouvelle. Grâce aux « News Impact Curves », on peut examiner la relation qui existe entre εt-1 et la variance conditionnelle. Dans un processus GARCH (1,1), cette courbe est une fonction quadratique centrée en εt-1. Le processus EGARCH prend en compte le signe de εt-1 ce qui permet d’analyser les effets asymétriques sur la variance conditionnelle. Sa courbe est asymétrique et augmente exponentiellement. De plus, ce processus permet aux chocs importants d’avoir un plus grand impact sur la variance que les processus ARCH et GARCH. Pour le processus GJR GARCH, la courbe est centrée en εt-1 et a une pente différente en fonction du signe du choc passé et ce grâce à l’introduction de la variable dichotomique. Figure 2: News impact curves des différents modèles εt-1 Source : Shepard K. (2006), « Cours d’économétrie financière de l’université d’Oxford » 39
  • 40. 3.2.6. Méthode d’estimation et sélection du modèle La méthode du maximum de vraisemblance représente le choix le plus naturel afin d’estimer les paramètres inconnus des différents processus GARCH. La définition de la fonction normale de vraisemblance est la suivante. On utilise généralement le log de vraisemblance afin de travailler sur une somme et non sur un produit. Définition 2.6: La fonction normale de vraisemblance (2.10) Définition 2.7 : La fonction normale de logvraisemblance (2.11) Le but de cette méthode d’estimation est de maximiser la fonction normale de vraisemblance. L’utilisation de cette méthode est souvent préférée car celle-ci permet à l’estimation des paramètres de converger vers leur vraie valeur et ce même si la distribution de densité conditionnelle est erronée. Afin de sélectionner le modèle le plus approprié pour chaque série de rendements d’actions, il convient de choisir le modèle qui maximise cette fonction de vraisemblance. D’autres critères de sélection ont été utilisés au cours de ce mémoire. Citons premièrement le critère d’information d’Akaike. Ce critère est une mesure de la qualité d’un modèle statistique est se définit comme suit Définition 6.3 : Le critère d’Akaike • k représente le nombre de paramètres (2.12) • L est la fonction de vraisemblance Un autre critère utilisé est le critère de Schwarz qui pénalise plus fortement certains modèles par rapport aux critères de Schwarz. Définition 6.4 : Le critère de Schwarz • k représente le nombre de paramètres − 2 ln( L) + k ln(T ) BIC = (2.13) • L est la fonction de vraisemblance T 40
  • 41. Afin de pouvoir choisir les différents modèles analysés au cours de ce mémoire, il convient de prendre le modèle qui possède le critère d’information d’Akaike et le critère de Schwarz les plus faibles. En effet ce modèle est celui qui représente aux mieux la série de données. 3.3. Les Modèles Multivariés La quête pour obtenir des estimations fiables de corrélations d’actifs financiers a été l’objectif de nombreuses recherches au cours de ces 20 dernières années. En effet, l’étude de ces corrélations s’avère très utile pour les optimisations de portefeuilles, la gestion de risque ou encore la fixation du prix des produits dérivés. Bollerslev, Engle et Wooldridge (1988) introduisent pour la première fois le concept de dynamique des covariances. Dans leur article, ils utilisent un processus GARCH multivarié pour calculer le rendement des actions en fonction de la prime de risque du marché. L’introduction du modèle d’évaluation des actifs financiers15 de William Sharpe prouve l’existence d’une relation entre le risque d’un actif et son rendement espéré. Pour ce faire, Sharpe a réalisé une régression des rendements espérés en fonction du risque et découvre l’existence d’une relation linéaire déterminé par un coefficient Beta. Ce Beta représente le risque diversifiable de l’action et est égal à la covariance entre une action et son marché divisé par la variance de ce marché. Le problème du modèle de Sharpe est qu’il se base sur des hypothèses de variance et de covariance constantes à travers le temps. On comprend dès lors l’intérêt rencontré par des modèles pouvant capturer la dynamique de la covariance. En effet, celle-ci varie avec le temps et représente un déterminant significatif de la dynamique de la prime de risque. La théorie du Portefeuille Efficient de Markowitz est tout aussi concernée par ce phénomène. Son modèle d’optimisation de moyenne-variance d’un portefeuille se base essentiellement sur la matrice des corrélations qui varient à travers le temps. Ces variations des corrélations impliquent donc un réajustement constant des pondérations d’actifs détenus dans les portefeuilles des investisseurs. 15 Plus connus sous le nom du CAPM 41