การสุ่มตัวอย่าง

2
2
ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
สาหรับตัวอย่าง (Sample)
N
X
N
i
i

=
= 1

N
X
N
i
i

=
−
= 1
2
2
)
( 

N
X
N
i
i

=
−
= 1
2
)
( 

การประมาณค่าพารามิเตอร์ (Parameter Estimation)
สาหรับประชากร (Population)
ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
n
X
X
n
i
i

=
= 1
1
)
(
1
2
2
−
−
=

=
n
X
X
S
n
i
i
1
)
(
1
2
−
−
=

=
n
X
X
S
n
i
i

3
3
ค่าสัดส่วน
ค่าเฉลี่ย
ความแปรปรวน
การประมาณค่าพารามิเตอร์ (Parameter Estimation)
การประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากรกลุ่มเดียว
การประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากร 2 กลุ่ม
X
=

 ˆ
n
x
p
p /
ˆ =
2
2
2
ˆ S
=


ค่าสัดส่วน
ค่าเฉลี่ย
ความแปรปรวน
2
1
2
1
2
1
ˆ
ˆ X
X −
=
−
− 



2
1
2
1
ˆ
ˆ p
p
p
p −
−
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
ˆ
ˆ
S
S
=




ค่าสถิติ
พารามิเตอร์
ค่าสถิติ
พารามิเตอร์

4
4
มัธยฐาน (Median)
ฐานนิยม (Mode)
พิสัย (Range)
การประมาณค่าพารามิเตอร์ (Parameter Estimation)
การวัดการกระจายของตัวอย่าง
ถ้า x1, x2, x3,…., xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n ที่เรียงลาดับจากมากไปหาน้อย
min
x
x
R Max −
=
]
[
2
1
~
~
1
2
2
2
1
+





 +
+
=
=
n
n
n
x
x
x
x
x ถ้า n เป็นเลขคี่
ถ้า n เป็นเลขคู่

5
5
การแจกแจงของกลุ่มตัวอย่าง(Sampling Distribution)
ถ้ากาหนดให้ ตัวแปรสุ่ม X1, X2,…, Xn ค่าคงที่ c1, c2, …, cn
และ Y = c1X1± c2X2 ± … ± cnXn
ถ้ากาหนดให้ ตัวแปรสุ่ม X1, X2,…, Xn เป็นอิสระต่อกัน
( )



+
+
+
=



=
j
i
j
i
j
i
n
n
n
n
X
X
Cov
c
c
X
V
c
X
V
c
X
V
c
Y
V
X
E
c
X
E
c
X
E
c
Y
E
)
,
(
2
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
1
2
1 n
n X
V
c
X
V
c
X
V
c
Y
V +
+
+
=
ถ้ากาหนดให้ จะได้ว่า ดังนั้น
( ) 
=
+
+
+
= i
n
X
E
n
X
X
X
X
....
2
1 ( ) 
=
X
E

6
6
การแจกแจงของกลุ่มตัวอย่าง(Sampling Distribution)
( ) 2

=
i
X
V
ถ้าตัวแปรสุ่ม X1, X2,…, Xn เป็นอิสระต่อกัน ด้วยค่า ดังนั้น
นั่นคือ ถ้ากาหนดให้ X1, X2,…, Xn มีการแจกแจงแบบปกติและเป็นอิสระต่อกัน
Y = c1X1± c2X2 ± … ± cnXn ก็จะเป็นตัวแปรสุ่มปกติเช่นเดียวกัน
และ จะได้ว่า
( ) n
X
V
2

=
( )
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
...
)
(
...
n
n
n
n
c
c
c
Y
V
c
c
c
Y
E






+
+
+
=



=
n
X
X
X
X n
+
+
+
=
....
2
1 ( )
2
2
)
( 



=
=
=
=
X
X
X
V
X
E

7
7
การแจกแจงของค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 1 ชุด
2

ถ้า x1, x2,…, xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n ซึ่งมีค่าเฉลี่ย และความแปรปรวน
จะสามารถประมาณได้จากการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน [N(0,1)]
โดยที่
ดังนั้น เมื่อ เป็นตัวแปรสุ่มใดๆ
n
x
z


−
=

x
n
n
X
X
X






=
=
=
2
2

Example 1.
โรงงานแบตเตอรี่แห่งหนึ่ง ผลิตแบตเตอรี่ที่มีอายุการใช้งานมีการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติ
ที่ค่าเฉลี่ย 800 ชม. และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 ชม. จงหาความน่าจะเป็นที่กลุ่มตัวอย่างหนึ่ง
ซึ่งมี 16 อัน จะมีอายุใช้งานเฉลี่ยน้อยกว่า 775 ชม.
จากโจทย์พบว่า
(จากตารางปกติมาตรฐาน หรือ z-test)
40
,
800 =
= 

]
5
.
2
[
]
775
[ −

=

 z
P
x
P
5
.
2
16
40
800
775
−
=
−
=
−
=
n
x
z


0062
.
0
=

9
9
การแจกแจงของผลต่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง 2 ชุด
2
2
2
1 

สมมุติให้ประชากร 2 กลุ่ม มีค่าเฉลี่ย และ และมีความแปรปรวน และ
และถ้า และ ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างกลุ่มที่ 1 และ 2 ตามลาดับ ซึ่งอิสระต่อกัน
และมีจานวนตัวอย่าง n1 และ n2 จากประชากรทั้งหมด ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็น
ของผลต่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง สามารถประมาณได้จาก
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1 )
(
)
(
n
n
x
x
z




+
−
−
−
=
2
1 

2
1 x
x
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x









+
=
+
=
−
=
−
−
−

Example 2.
โรงงาน A ผลิตหลอดภาพที่มีอายุใช้งานเฉลี่ย 6.5 ปี และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.9 ปี โรงงาน B ผลิต
หลอดภาพที่มีอายุใช้งานเฉลี่ย 6.0 ปี และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.8 ปี จงหาความน่าจะเป็นตัวอย่าง
สุ่มของหลอดภาพขนาด 36 หลอด ซึ่งผลิตใน A จะมีอายุใช้งานเฉลี่ยมากกว่าหลอดของโรงงาน B ซึ่ง
สุ่มออกมา 49 หลอด อย่างน้อย 1 ปี
จากโจทย์พบว่า
(จากตารางปกติมาตรฐาน หรือ z-test)
49
,
8
.
0
,
0
.
6
,
36
,
9
.
0
,
5
.
6 =
=
=
=
=
= B
B
B
A
A
A n
n 



9956
.
0
1
]
646
.
2
[
1
]
646
.
2
[
]
1
[ −
=

−
=

=

−
 z
P
z
P
x
x
P B
A
0044
.
0
=
646
.
2
189
.
0
5
.
0
0
.
1
)
(
)
(
2
2
=
−
=
+
−
−
−
=
B
B
A
A
B
A
B
A
n
n
x
x
z





11
11
การแจกแจงค่าสัดส่วนของตัวอย่าง 1 ชุด
)
1
(
2
p
np −
=

ถ้าสุ่มตัวอย่างขนาด n จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบทวินาม ซึ่งมีค่าเฉลี่ย
และความแปรปรวน การแจกแจงของอัตราส่วนของความสาเร็จของตัวอย่าง 1 ชุด
หรือ จะสามารถประมาณได้จาก
กรณีกาหนดเป็นค่าสัดส่วน
กรณีกาหนดเป็นจานวนครั้งความสาเร็จ
)
1
(
)
1
(
)
ˆ
(
)
1
(
ˆ
p
np
np
x
p
np
p
p
n
n
p
p
p
p
z
−
−
=
−
−
=
−
−
=
np
=

p̂

Example 3.
ตัวอย่างสุ่มของเด็กเกิดใหม่ 100 คน จงหาความน่าจะเป็นของเด็กเกิดใหม่ที่จะเป็นชาย ตั้งแต่ 53-62%
ถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดเป็นหญิงและชายที่ค่าเท่ากัน
จากโจทย์พบว่า ความน่าจะเป็นของเด็กเกิดเป็นชาย p=0.5, n = 100
05
.
0
)
1
(
,
5
.
0 ˆ
ˆ =
−
=
=
n
p
p
p
p 






 −


−
=



05
.
0
5
.
0
62
.
0
05
.
0
5
.
0
53
.
0
]
62
.
0
ˆ
53
.
0
[ Z
P
p
P
2664
.
0
7254
.
0
9918
.
0 =
−
=
  )
6
.
0
(
)
4
.
2
(
4
.
2
6
.
0 
−

=


= Z
P
Z
P
Z
P

13
13
การแจกแจงของผลต่างของค่าสัดส่วนของตัวอย่าง 2 ชุด
)
1
(
)
1
( 2
2
2
2
2
1
1
1
2
1 p
p
n
p
p
n −
=
−
= 

ถ้าสุ่มตัวอย่าง 2 ชุด n1 และ n2 ที่อิสระต่อกันจากประชากรที่มีการแจกแจงแบบทวินาม ซึ่งมีค่าเฉลี่ย
และ และมีความแปรปรวน และ
ตามลาดับ การแจกแจงความน่าจะเป็นของผลต่างของค่าสัดส่วนของตัวอย่าง 2 ชุด หรือ
สามารถประมาณได้จาก
โดยที่
(ค่า n1 และ n2 ควรมีค่าอย่างน้อย 30 ขึ้นไป)
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
)
1
(
)
1
(
)
(
)
ˆ
ˆ
(
n
p
p
n
p
p
p
p
p
p
z
−
+
−
−
−
−
=
2
2
1
1 np
np =
= 

2
1 p
p −
2
2
2
1
1
1
ˆ
ˆ
2
1
ˆ
ˆ
)
1
(
)
1
(
2
1
2
1
n
p
p
n
p
p
p
p
p
p
p
p
−
+
−
=
−
=
−
−



Example 4.
สุ่มตัวอย่างมา 2 ชุด จากผู้มีสิทธิเลือกตั้งชุดละ 200 คน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลต่างของอัตราส่วนที่
ออกเสียงให้กับผู้สมัครคนหนึ่งมากกว่า 10 % ถ้าผลการลงคะแนนในเขตนี้ปรากฏว่า ผู้สมัครคนนี้ได้รับ
คะแนนเสียง 65%
จากโจทย์พบว่า p1= p2 =0.65
)
200
)
35
.
0
(
65
.
0
200
)
35
.
0
(
65
.
0
0
1
.
0
(
]
1
.
0
ˆ
ˆ
[ 2
1
+
−

=

−
 Z
P
p
p
P
0366
.
0
)
0183
.
0
(
2
)
0964
.
2
(
2 =
=
−

= Z
P
)
0964
.
2
(
)
0964
.
2
(
)
0964
.
2
( −

+

=

= Z
P
Z
P
Z
P

15
15
การแจกแจงของค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 1 ชุด (กรณีไม่ทราบความแปรปรวน)
ถ้า x1, x2,…, xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n ซึ่งมีค่าเฉลี่ย แต่ไม่ทราบความแปรปรวนว่าเป็นเท่าไหร่
จะสามารถประมาณได้จากการแจกแจงได้จาก กรณี n มากกว่า 30
แต่หาก n มีค่าน้อยกว่า 30
จะใช้ค่าสถิติของการแจกแจงแบบ t
การหาค่า t สามารถใช้การเปิดตารางได้ โดยหาค่าจาก ตาราง t [ ] โดยที่ คือพื้นที่ภายใต้
เส้นโค้ง ส่วน คือ องศาเสรี (degree of freedom)
n
s
x
z

−
=

n
s
x
n
S
n
n
x
z
t






−
=
−
−
−
=
=
1
/
)
1
(
/
2
2
2

,
t 
1
−
= n


16
16
การแจกแจงของค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 1 ชุด (กรณีไม่ทราบความแปรปรวน)

17
17
องศาเสรี (degree of freedom : n – 1)
ถ้าตัวแปรตัวนั้น มี n ค่า จะแปรได้อย่างอิสระเพียง n-1 ค่า จะมีอยู่ 1 ค่า ที่ไม่มีอิสระในการแปร เช่น
EX ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จานวน มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 6
จานวนข้อมูลที่มีอิสระในการแปรค่าจะมีเพียง 4 จานวน เท่านั้น
จานวนที่ 5 จะไม่มีอิสระในการแปรค่า ต้องขึ้นอยู่กับอีก 4 จานวนที่แปรไปแล้ว
เช่น ถ้า จานวนที่ 1 แปรอย่างอิสระเป็น 8
จานวนที่ 2 แปรอย่างอิสระเป็น 7
จานวนที่ 3 แปรอย่างอิสระเป็น 10
จานวนที่ 4 แปรอย่างอิสระเป็น 2
จานวนที่ 5 ไม่มีสิทธิ์แปร ต้องเป็น 3 เท่านั้น จึงจะทาให้ค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้เป็น 6

Example 5.
โรงงานผลิตหลอดไฟ พบว่าหลอดไฟมีอายุใช้งานเฉลี่ย 500 ชม. ในทุกๆ เดือนจะมีการทดสอบโดยสุ่ม
หลอดไฟ 25 หลอด จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวอย่างชุดหนึ่งมีค่าเฉลี่ยอายุใช้งานมากกว่า 518 ชม.
โดยตัวอย่างนี้มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s) 40 ชม.
จากโจทย์พบว่า
(จากตาราง t) พบว่า t0.025,24 = 2.064 และ t0.01,24 = 2.492
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของตัวอย่างที่มีค่าเฉลี่ยมากกว่า 518 ชม. มีค่าประมาณ 0.02
]
25
.
2
[
]
518
[ 
=

 t
P
x
P
?
,
25
,
40
,
500 =
=
=
= 
 n
s
24
1
25
;
25
.
2
25
40
500
518
=
−
=
=
−
=
−
= 

n
s
x
t
2.25
0.02

19
19
)
( 2
2
2
2
1 

 =
=
สมมุติให้ประชากร 2 กลุ่ม ซึ่งเป็นอิสระต่อกันและมีค่าเฉลี่ย และ แต่ไม่ทราบค่าความแปรปรวน
ว่ามีค่าเท่าไหร่ แต่รู้ว่าเท่ากัน จะสามารถประมาณค่าได้ดังนี้
โดยที่ และ
)
(
)
(
)
(
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
n
n
s
x
x
t
p




+
−
−
−
=
2
1 

2
)
1
(
)
1
(
2
1
2
2
2
2
1
1
2
−
+
−
+
−
=
n
n
s
n
s
n
sp
การแจกแจงของผลต่างค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 2 ชุด (กรณีไม่ทราบความแปรปรวน)
กรณีที่ 1 )
( 2
2
2
2
1 

 =
=
2
2
1 −
+
= n
n


20
20
สมมุติให้ประชากร 2 กลุ่ม ซึ่งเป็นอิสระต่อกันและมีค่าเฉลี่ย และ แต่ไม่ทราบค่าความแปรปรวน
จะสามารถประมาณค่าได้ดังนี้
โดยที่ หรือ
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1 )
(
)
(
n
s
n
s
x
x
t
+
−
−
−
=


2
1 

( ) ( )
2
1
/
1
/
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
−
+
+
+








+
=
n
n
s
n
n
s
n
s
n
s

การแจกแจงของผลต่างค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 2 ชุด (กรณีไม่ทราบความแปรปรวน)
กรณีที่ 2 )
(
2
2
2
1 
 
)
(
2
2
2
1 
 
( ) ( )
1
/
1
/
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
−
+
−








+
=
n
n
s
n
n
s
n
s
n
s


Example 6.
ตัวเร่งปฏิกิริยา 2 ยี่ห้อ ได้ถูกวิเคราะห์หาว่ามีผลต่อปฏิกิริยาเคมีหรือไม่ โดยตัวเร่ง 1 ใช้งานปัจจุบัน ตัวเร่งที่ 2 เป็นที่
ยอมรับและถูก การทดสอบเป็นดังตาราง จงหาความน่าจะเป็นที่ค่าเฉลี่ยของตัวเร่งที่ 1 มากกว่าค่าเฉลี่ยตัวเร่งที่ 2
อย่างน้อย 1 หน่วย กาหนดค่าเฉลี่ยตัวเร่งที่ 1 และ 2 คือ 92.733, 90.255 ตามลาดับความแปรปรวนทั้ง 2 เท่ากัน
จากโจทย์พบว่า
)
095
.
1
(
]
1
)
(
[
]
1
[ 2
1
2
1 −

=
−

−
−
=

−
 t
P
P
P 



98
.
2
,
39
.
2
,
8 2
1
2
1 =
=
=
= s
s
n
n
ตัวอย่างที่ ตัวเร่ง 1 ตัวเร่ง 2
1
2
3
4
5
6
7
8
91.50
94.18
92.18
95.39
91.79
89.07
94.72
89.21
89.19
90.95
90.46
93.21
97.19
97.04
91.07
92.75
39
.
2
255
.
92
1
1
=
=
s
x
98
.
2
733
.
92
2
2
=
=
s
x
70
.
2
30
.
7
2
8
8
98
.
2
*
7
39
.
2
*
7
2
)
1
(
)
1
( 2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
=

=
−
+
+
=
−
+
−
+
−
= p
p s
n
n
s
n
s
n
s
095
.
1
8
1
8
1
70
.
2
)
255
.
90
733
.
92
(
1
)
(
)
(
)
(
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
−
=
+
−
−
=
+
−
−
−
=
n
n
s
x
x
t
p




14
;
)
095
.
1
( =

= 
t
P
15
.
0
=

22
22
ในการทดลองบางกรณีค่าสังเกตอาจถูกรวบรวมได้เป็นคู่ๆ โดยที่มีเงื่อนไขเดียวกัน แต่เงื่อนไขอาจ
ถูกเปลี่ยนแปลงไปสาหรับคู่อื่นๆ ให้ di เป็นผลต่างของค่าสังเกตแต่ละคู่ มีค่าเฉลี่ยของผลต่าง
ถ้ากาหนดให้ d1 , d2, … ,dn เป็นผลต่างค่าสังเกต n คู่ มีค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ความแปรปรวน
จากประชากรปกติที่มีค่าเฉลี่ย และความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่า
โดยที่
n
S
d
t
D
D
/

−
= 1
−
= n

การแจกแจงของผลต่างค่าเฉลี่ยจากค่าสังเกตที่เป็นคู่
D

d 2
D
S
D
 2
D


Example 7.
ในการทดสอบความแข็ง ด้วยเครื่องจักร A และ B ให้ผลการทดสอบดังตาราง
)
84
.
3
(
]
1
.
0
[ 
=

 t
P
d
P
ชิ้นที่ A B แตกต่าง di
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.186
1.151
1.322
1.339
1.200
1.402
1.365
1.537
1.559
1.061
0.992
1.063
1.062
1.065
1.178
1.037
1.086
1.052
0.119
0.159
0.259
0.277
0.138
0.224
0.328
0.451
0.507 0025
.
0
=
จงหาความน่าจะเป็นที่พบว่า ความแตกต่างกันของความแข็งที่วัดได้
ระหว่าง 2 เครื่องจักร มากกว่า 0.10
84
.
3
9
/
1356
.
0
10
.
0
2736
.
0
/
=
−
=
−
=
n
S
d
t
D
D


24
24
ถ้ากาหนดให้ S2 เป็นค่าความแปรปรวนของตัวอย่างสุ่มขนาด n จากประชากรที่มีความแปรปรวน
การแจกแจงความน่าจะเป็นของความแปรปรวน จะประมาณค่าด้วยการแจกแจงแบบไคสแควร์
ได้จาก
โดยที่
2
2
2 )
1
(


S
n −
=
2

1
−
= n

การแจกแจงของความแปรปรวนของตัวอย่าง 1 ชุด
2

การหาค่า สามารถใช้การเปิดตารางได้ โดยหาค่าจาก ตาราง [ ] โดยที่ คือพื้นที่
ภายใต้เส้นโค้ง ส่วน คือ องศาเสรี (degree of freedom)
2
 2
 2
,

 


25
25
การแจกแจงของความแปรปรวนของตัวอย่าง 1 ชุด

Example 8.
จงหาความน่าจะเป็นของตัวอย่างสุ่มขนาด 25 ที่เลือกจากประชากรปกติที่มีความแปรปรวน
เท่ากับ 6 จะมีความแปรปรวนของตัวอย่าง
(ก) มากกว่า 9.1
(ข) ระหว่าง 3.642 และ 10.745
24
1
;
6
1
.
9
)
1
25
(
)
1
(
]
1
.
9
[ 2
2
2
=
−
=







 −

−
=
 n
S
n
P
S
P 

)
( 2

)
( 2
S
05
.
0
]
4
.
36
[ 2
=

= 
P





 −


−
=


6
745
.
10
)
1
25
(
6
462
.
3
)
1
25
(
]
745
.
10
642
.
3
[ 2
2

P
S
P
94
.
0
01
.
0
95
.
0 =
−
=
]
98
.
42
[
]
848
.
13
[
]
98
.
42
848
.
13
[ 2
2
2

−

=


= 

 P
P
P

27
27
ถ้าตัวอย่างสุ่มขนาด n1 และ n2 ซึ่งสุ่มเลือกมาจากประชากรที่มีความแปรปรวน และ
ตามลาดับ การแจกแจงความน่าจะเป็นของอัตราส่วนของความแปรปรวน จะประมาณค่าด้วย
การแจกแจงแบบเอฟ ดังนี้
โดยที่
2
2
2
2
2
1
2
1


S
S
F =
2
2
2
1 

1
,
1 2
2
1
1 −
=
−
= n
n 

การแจกแจงของอัตราส่วนของความแปรปรวนของตัวอย่าง 2 ชุด
การหาค่า F สามารถใช้การเปิดตารางได้ โดยหาค่าจาก ตาราง F [ ] โดยที่ คือพื้นที่
ภายใต้เส้นโค้ง ส่วน คือ องศาเสรี (degree of freedom)
2
1 ,
, 


F 
2
1,


28
28
การแจกแจงของอัตราส่วนความแปรปรวนของตัวอย่าง 2 ชุด

Example 9.
ถ้า และ เป็นความแปรปรวนของตัวอย่างสุ่ม ซึ่งเลือกมาโดยเป็นอิสระต่อกันจากประชากรปกติ
ซึ่งมีความแปรปรวน และ โดยมีขนาดตัวอย่าง n1= 25, n2= 31 ตามลาดับ
จงหาค่า
15
10 2
2
2
1 =
= 

2
2
2
1 S
S








 26
.
1
2
2
2
1
S
S
P
)
30
,
24
(
;
05
.
0
)
89
.
1
( =
=

= 
F
P
)
1
,
1
(
; 2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
−
−
=
= n
n
S
S
F 


2
2
2
1
10
15
S
S
=
)
89
.
1
(
10
15
*
26
.
1
10
15
26
.
1 2
2
2
1
2
2
2
1

=









=








 F
P
S
S
P
S
S
P