Fraction

1. ‫חוקיות‬ ‫בעיות‬-‫יחס‬
‫לחישוב‬ ‫לתרגם‬ ‫נצטרך‬ ‫ואותו‬ ,‫מסויים‬ ‫מלל‬ ‫כלל‬ ‫בדרך‬ ‫נקבל‬ ,‫זה‬ ‫שאלות‬ ‫בסוג‬ .‫כמותי‬ ‫פרק‬ ‫בכל‬
.‫כלשהו‬ ‫מתמטי‬‫מהווה‬ ‫היחס‬ ‫ונושא‬ ‫מאחר‬ ,‫היחס‬ ‫בעיות‬ ‫דרך‬ ‫היא‬ ‫זה‬ ‫לתחום‬ ‫טובה‬ ‫התחלה‬ ‫נקודת‬
‫הנדבכים‬ ‫אחד‬ ‫את‬‫הגדולים‬,‫בהמשך‬ ‫נראה‬ ‫אנו‬ .‫בפרט‬ ‫הכמותיות‬ ‫ובבעיות‬ ,‫כולו‬ ‫במבחן‬ ‫ביותר‬
‫לעתים‬ ‫אם‬ ‫(גם‬ ‫נגיעה‬ ‫יש‬ ‫היחס‬ ‫של‬ ‫זה‬ ‫לנושא‬ ‫כיצד‬‫בהם‬ ‫מהתחומים‬ ‫אחד‬ ‫בכל‬ ‫כמעט‬ )‫מאוד‬ ‫עקיפה‬
.‫המבחן‬ ‫עוסק‬
?‫יחס‬ ‫זה‬ ‫מה‬
‫מהשנייה‬ ‫גדולה‬ ‫אחת‬ ‫קבוצה‬ ‫כמה‬ ‫פי‬ ‫לנו‬ ‫שמתאר‬ ‫מושג‬ ‫הוא‬ ‫יחס‬
.‫שנייה‬ ‫בקבוצה‬ ‫אחת‬ ‫קבוצה‬ ‫חילוק‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫נוצר‬ ‫יחס‬
‫להרחיב‬ ‫ניתן‬ ‫לכן‬ .‫בשבר‬ ‫למעשה‬ ‫שמדבור‬ ‫לומר‬ ‫ניתן‬ ‫חילוק‬ ‫בפעולת‬ ‫שמדובר‬ ‫משום‬
.‫משתנה‬ ‫לא‬ ‫שהערך‬ ‫כך‬ ‫אותו‬ ‫ולצמצם‬
‫הע‬ ‫בין‬ ‫היחס‬ :‫לדוגמה‬‫פר‬‫ונו‬‫ת‬‫הוא‬ ‫לעטים‬8:3‫כלומר‬
3 6
8 16
=‫עפרונות‬
‫עטים‬
‫קריאת‬‫יחס‬
‫בין‬ ‫היחס‬A‫ל‬B‫הוא‬‫וגם‬A:B
"‫במספרים‬ ‫הראשון‬ ‫הוא‬ ‫במילים‬ ‫"ראשון‬-‫היחס‬ ‫יחידת‬ ‫את‬ ‫יקבל‬ ‫הימני‬ ‫האיבר‬ ‫מה‬ ‫כלומר‬
‫השמאלית‬.
:‫לדוגמה‬‫הע‬ ‫בין‬ ‫היחס‬‫פר‬‫ונו‬‫ת‬‫הוא‬ ‫לעטים‬8:3‫היחס‬ ‫יחידת‬ ‫את‬ ‫יקבלו‬ ‫העפרונות‬ ,8
‫היחס‬ ‫יחידת‬ ‫את‬ ‫והעטים‬3.
" ‫המונח‬ ‫מופיע‬ ‫כאשר‬‫בהתאמה‬"-‫תתאר‬ ‫השמאלית‬ ‫הספרה‬‫השמאלית‬ ‫המילה‬ ‫את‬
:‫לדוגמה‬‫והמ‬ ‫החולצות‬ ‫בין‬ ‫היחס‬‫הוא‬ ‫כנסיים‬6:1‫ה‬ .‫בהתאמה‬‫חולצ‬‫יחידת‬ ‫את‬ ‫יקבלו‬ ‫ות‬
‫ה‬‫יחס‬1‫היחס‬ ‫יחידת‬ ‫את‬ ‫והמכנסיים‬6.
‫מהווה‬ ‫נתון‬ ‫שאותו‬ ‫היא‬ ‫הכוונה‬ ,‫בשאלה‬ ‫הנתונים‬ ‫אחד‬ "‫"לטובת‬ ‫המינוח‬ ‫מופיע‬ ‫כאשר‬
.‫יותר‬ ‫הגדול‬ ‫היחסי‬ ‫הגודל‬ ‫את‬
‫לדוג‬:‫מה‬‫הע‬ ‫בין‬ ‫היחס‬‫פר‬‫ונו‬‫ת‬‫הוא‬ ‫לעטים‬8:3‫יחיד‬ ‫את‬ ‫יקבלו‬ ‫העפרונות‬ .‫העטים‬ ‫לטובת‬‫ת‬
‫היחס‬8‫היחס‬ ‫יחידת‬ ‫את‬ ‫והעטים‬3.
‫הנתונים‬ ‫אחד‬ "‫"לרעת‬ ‫המינוח‬ ‫מופיע‬ ‫כאשר‬‫את‬ ‫מהווה‬ ‫נתון‬ ‫שאותו‬ ‫היא‬ ‫הכוונה‬ ,‫בשאלה‬
‫יותר‬ ‫הקטן‬ ‫היחסי‬ ‫הגודל‬.
:‫לדוגמה‬‫והמ‬ ‫החולצות‬ ‫בין‬ ‫היחס‬‫הוא‬ ‫כנסיים‬6:1‫יקבלו‬ ‫החולצות‬ .‫המכנסיים‬ ‫לרעת‬‫את‬
‫היחס‬ ‫יחידת‬1‫היחס‬ ‫חידת‬ ‫את‬ ‫והמכנסיים‬6.
‫אמיתי‬ ‫לגודל‬ ‫יחס‬ ‫בין‬ ‫הקשר‬
‫לא‬‫מוחלט‬ ‫גודל‬ ‫על‬ ‫מיחס‬ ‫להסיק‬ ‫ניתן‬.‫להרחיב‬ ‫ניתן‬ ,‫שבר‬ ‫למעשה‬ ‫הוא‬ ‫ויחס‬ ‫מאחר‬
‫ולצמצם‬:‫שבר‬ ‫כמו‬ ‫אותו‬‫(למעט‬ ‫מספר‬ ‫באותו‬ ‫הגורמים‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫חלוקה‬ ‫או‬ ‫הכפלה‬ ‫ידי‬ ‫על‬
‫אפס‬.)
‫למצוא‬ ‫ניתן‬ ‫הקבוצות‬ ‫אחת‬ ‫גודל‬ ‫לנו‬ ‫וידוע‬ ‫היחס‬ ‫ידוע‬ ‫אם‬ ‫לכן‬ ‫אמיתי‬ ‫מגודל‬ ‫נובע‬ ‫היחס‬
‫את‬)‫(שברים‬ ‫וצמצום‬ ‫הרחבה‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫השנייה‬ ‫הקבוצה‬.
‫ו‬ ‫העפרונות‬ ‫בין‬ ‫היחס‬ :‫לדוגמה‬‫הוא‬ ‫העטים‬8:3.‫הע‬ ‫כלומר‬ (‫פר‬‫יחידת‬ ‫את‬ ‫מקבלים‬ ‫ונות‬
‫היחס‬8‫היחס‬ ‫יחידת‬ ‫את‬ ‫והעטים‬3.)‫ישנם‬ ‫אם‬1‫עפרונות‬‫שיחידת‬ ‫אומר‬ ‫זה‬‫היחס‬
‫הוכפלה‬‫פי‬2‫יהיו‬ ‫ולכן‬8 2 16 .‫עטים‬

2. ‫לגודל‬ ‫יחס‬ ‫בין‬ ‫קשר‬ ‫שיש‬ ‫במקרה‬ .‫יחס‬ ‫יחידות‬ ‫עם‬ ‫אמיתים‬ ‫גדלים‬ ‫ולחסר‬ ‫לחבר‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬
."‫"איקסים‬ ‫הוספת‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫היחס‬ ‫את‬ ‫נתאר‬ ‫אמיתי‬
o‫שהוספנו‬ ‫מרגע‬X‫אמיתי‬ ‫גודל‬ ‫כאל‬ ‫לביטוי‬ ‫מתייחסים‬ ‫אנחנו‬,‫ה‬X‫למעשה‬ ‫מתאר‬
‫הכללי‬ ‫המקרה‬ ‫את‬‫והצ‬ ‫ההרחבה‬ ‫ואת‬.‫במקרה‬ ‫לגודל‬ ‫להגיע‬ ‫כדי‬ ‫הדרושים‬ ‫מצום‬
o‫ה‬ ‫את‬‫לחסר‬ / ‫לחבר‬ ‫ניתן‬ ‫אמיתי‬ ‫גודל‬
o‫את‬ ‫ולמצוא‬ ‫הגדלים‬ ‫בין‬ ‫לחבר‬ ‫ניתן‬‫הגדלים‬ ‫סכום‬‫בסיפור‬
o‫בסיפור‬ ‫הגדלים‬ ‫הפרש‬ ‫את‬ ‫ולמצוא‬ ‫הגדלים‬ ‫את‬ ‫לחסר‬ ‫ניתן‬
‫ל‬:‫דוגמה‬‫ו‬ ‫העפרונות‬ ‫בין‬ ‫היחס‬‫הוא‬ ‫העטים‬8:3.‫הע‬ ‫כלומר‬‫פר‬‫ונות‬‫יהיו‬3x‫והעטים‬8x.‫ישנם‬ ‫אם‬
1‫עפרונות‬‫ש‬ ‫משוואה‬ ‫ליצור‬ ‫ניתן‬ ,3 6 2x x  :‫העטים‬ ‫את‬ ‫כך‬ ‫ומצוא‬8 2 16 
‫ליחס‬ ‫הקשור‬ ‫מלל‬
8:3

‫פי‬
‫כל‬ ‫על‬
‫מהסוג‬ ‫משוואה‬x=2y‫או‬5x=7y
‫והפוך‬ ‫ישר‬ ‫יחס‬‫במשוואה‬AB=C
‫יש‬‫נו‬‫בין‬ ‫ישר‬ ‫יחס‬C‫ו‬A-‫האיברים‬ ‫אחד‬ ‫את‬ ‫/נחלק‬ ‫נכפיל‬ ‫אם‬,‫ה‬ ‫האיבר‬‫אחר‬‫ביחס‬ ‫ישתנה‬
.‫המידה‬ ‫באותה‬ ,‫ישר‬
:‫לדוגמה‬
8
4 8 4 32
y x
y x x

  
‫יש‬‫נו‬‫בין‬ ‫ישר‬ ‫יחס‬C‫ו‬B-‫האיברים‬ ‫אחד‬ ‫את‬ ‫/נחלק‬ ‫נכפיל‬ ‫אם‬,‫ה‬ ‫האיבר‬‫אחר‬‫ביחס‬ ‫ישתנה‬
.‫המידה‬ ‫באותה‬ ,‫ישר‬
:‫לדוגמה‬
8
4 8 4 32
y x
y x x

  
‫יש‬‫נו‬‫יחס‬‫הפוך‬‫בין‬A‫ו‬B-‫האיברים‬ ‫אחד‬ ‫את‬ ‫/נחלק‬ ‫נכפיל‬ ‫אם‬,‫ה‬ ‫האיבר‬‫אחר‬‫ישתנה‬
‫ביחס‬‫הפוך‬,‫קרי‬‫ההופכי‬ ‫במספר‬ ‫אך‬ , ‫פעולה‬ ‫באותה‬.
:‫לדוגמה‬
 
8
1
8 4 8
4
y x
y x x

 
    
 
‫שאלות‬ ‫סוגי‬
‫משלים‬ ‫חלק‬
‫ב‬ ‫להשתמש‬ ‫אין‬ ‫בהן‬ ‫שאלות‬‫הקבוצה‬ ‫יחס‬‫הנתו‬‫נה‬‫בחלק‬ ‫אלא‬‫החי‬ ‫עבור‬ ‫המשלים‬‫שוב‬
‫בין‬ ‫היחס‬ :‫לדוגמה‬‫הוא‬ ‫כולו‬ ‫השוקו‬ ‫לשקית‬ ‫מהשקית‬ ‫ששתיתי‬ ‫השוקו‬ ‫כמות‬6:8‫ידוע‬ ‫אם‬ .
‫מכילה‬ ‫שוקו‬ ‫ששקית‬16‫סמ"ק‬‫בין‬ ‫היחס‬ ‫מה‬ .‫לש‬ ‫ששתיתי‬ ‫מה‬?‫לשתות‬ ‫לי‬ ‫נותר‬ ‫וקו‬
‫ששתית‬ ‫השוקו‬ ‫כמות‬ ‫אם‬‫היחס‬ ‫יחידת‬ ‫את‬ ‫מקבלת‬ ‫י‬6‫את‬ ‫מקבלת‬ ‫כולו‬ ‫השוקו‬ ‫ושקית‬
‫היחס‬ ‫יחידת‬8‫אזי‬ ,‫עבור‬ ‫היחס‬ ‫יחידת‬‫היא‬ ‫שנותרה‬ ‫השוקו‬ ‫כמות‬3 1 2 .
‫בין‬ ‫היחס‬ ‫כך‬ ‫אם‬‫בין‬ ‫היחס‬‫לש‬ ‫ששתיתי‬ ‫מה‬‫לשתות‬ ‫לי‬ ‫נותר‬ ‫וקו‬‫הוא‬6:2.

3. ‫כמות‬ ‫בהן‬ ‫שיש‬ ‫שאלות‬
‫התאמת‬‫ה‬‫ליחס‬ ‫כמות‬‫הפרש‬ ‫או‬ ‫סכום‬ ,‫כלשהו‬ ‫איבר‬ ‫לתאר‬ ‫יכול‬ ‫היחס‬ .‫אותה‬ ‫המתאר‬
‫איברים‬.
‫בת‬ ‫בכיתה‬ :‫לדוגמה‬36‫שי‬ ‫עם‬ ‫הילדים‬ ‫מספר‬ ‫בין‬ ‫היחס‬ ‫ילדים‬‫ער‬‫שחור‬‫הוא‬ ‫חום‬ ‫ושיער‬
8:2‫ב‬ ‫ילדים‬ ‫כמה‬‫ע‬?‫שחור‬ ‫שיער‬ ‫לי‬
36‫יחס‬ ‫וביחידות‬ ‫בכיתה‬ ‫הילדים‬ ‫סכום‬ ‫את‬ ‫מתאר‬3 2 5 ‫היא‬ ‫יחס‬ ‫יחידת‬ ‫כל‬ ‫כלומר‬ .
(40 5 8 )3‫השי‬ ‫בעלי‬ ‫הילדים‬ .‫ילדים‬‫ע‬‫השחור‬ ‫ר‬‫מקבלים‬‫היחס‬ ‫יחידת‬ ‫את‬8‫כלומר‬ ,
(3 8 24 )23.‫שחור‬ ‫שיער‬ ‫בעלי‬ ‫ילדים‬
‫כמות‬ ‫ללא‬ ‫שאלות‬
‫ל‬ ‫רצוי‬‫הצ‬‫י‬‫ב‬‫כמות‬‫בשאלה‬ ‫היחס‬ ‫בגורמי‬ ‫המתחלקת‬ ‫כמות‬ ‫עדיף‬ ,‫מהראש‬
‫ל‬ ‫ניתן‬‫צ‬‫ר‬‫נעלם‬ ‫ף‬‫היחס‬ ‫ליחידות‬
‫והרחבה‬ ‫צמצום‬
:‫לדוגמה‬6/1‫ו‬ ‫לבנות‬ ‫שלי‬ ‫מהחולצות‬6/3‫מגוהצו‬ ‫שלי‬ ‫מהחולצות‬‫בין‬ ‫היחס‬ ‫מה‬ .‫ת‬‫החולצות‬
?‫לבנות‬ ‫שאינן‬ ‫לחולצות‬ ‫המגוהצות‬
‫להציב‬ ‫ניתן‬26‫היחס‬ ‫בגורמי‬ ‫מתחלק‬ ‫אשר‬ ,3‫ו‬1‫בקלות‬ ‫השאלה‬ ‫את‬ ‫ולפתור‬:
6/1‫מ‬26‫הם‬3‫כלומר‬ ,3‫ו‬ ‫לבנות‬ ‫מהחולצות‬‫כי‬ ‫להסיק‬ ‫ניתן‬ ‫מכאן‬20 4 16 ‫ויש‬61‫לא‬ ‫חולצות‬
‫לבנו‬‫ת‬.6/3‫מ‬26‫הוא‬1‫ישנן‬ ‫כלומר‬ ,1‫בין‬ ‫והיחס‬ .‫מגוהצות‬ ‫חולצות‬‫לחולצות‬ ‫המגוהצות‬ ‫החולצות‬
‫לבנות‬ ‫שאינן‬‫הוא‬1:61.