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1
1. Introduction
Représentation dans l’espace d’état
Limitation aux EDP de premier ordre.
L’avantage de cette représentation réside dans :
• Représentation temporelle et ne fait appel à aucune transformation
• Le même formalisme est utilisé en continu et en discret,
• Facilite le traitement des systèmes nonlinéaires
• Bien adaptée aux méthodes d’optimisation, de contrôle et de stabilisation.
Exemple: 1
L’équation de la maille :
L’équation différentielle devient :
)
(
)
(
)
(
)
( t
v
dt
t
di
L
t
Ri
t
u 

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(
)
(
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(
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2
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v
dt
t
v
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LC
dt
t
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t
u 


)
(
)
(
1 t
v
t
X  )
(
)
(
1 t
v
t
X 
 
)
(
)
( 1
2 t
X
t
X 
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(
)
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2 t
v
t
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 
)
1
)
(
1
)
(
)
( 1
2
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LC
t
X
LC
t
X
L
R
t
X 




On définit dans 2

On définit les matrices A, B et C /
y t = v t = )
(
1 t
X = 1 0 X(t)
𝐴 =
0 1
−1
𝐿𝐶
−𝑅
𝐿
𝐵 =
0
1
𝐿𝐶
𝐶 = 1 0









)
)
(
)
(
2
1
t
X
t
X
t
X









)
)
(
)
(
2
1
t
X
t
X
t
X



Les vecteurs : et










)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
2
1
t
u
LC
t
X
LC
t
X
L
R
t
X
t
X
t
X


)
(
1
0
1
1
0
)
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(
)
(
2
1
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u
LC
L
R
LC
t
X
t
X
t
X
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






























𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡
4
Exemple 2 : Mécanique
L’équation du mouvement donne :
𝑠: 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛
𝑘 𝑠 : 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑅𝑎𝑖𝑑𝑒𝑢𝑟
𝐹 𝑠, 𝑠 : 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
𝑘 𝑠 = 𝐾. 𝑠
𝐹 𝑠, 𝑠 = 𝑓 𝑠
𝑚
𝑑2
𝑠(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 𝑓
𝑑𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)
On définit :
𝑋1 𝑡 = 𝑠 𝑡
𝑋1 𝑡 = 𝑠 𝑡 = 𝑋2 𝑡
𝑋2 𝑡 = 𝑠 𝑡 = −
𝑓
𝑚
𝑋2 𝑡 −
𝑘
𝑚
𝑋1 𝑡 +
𝑢(𝑡)
𝑚
𝑦 𝑡 = 𝑠 𝑡 = 𝑋1 𝑡
𝑋 𝑡 =
𝑋1 𝑡
𝑋2 𝑡
=
0 1
−
𝑘
𝑚
−
𝑓
𝑚
𝑋1 𝑡
𝑋2 𝑡
+
0
1
𝑚
𝑢(𝑡)
avec
𝐴 =
0 1
−
𝑘
𝑚
−
𝑓
𝑚
𝐵 =
0
1
𝑚
𝐶 = 1 0
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡
L’équation d’état devient
6
2. Quelques méthodes d’obtention des équations d’état
1. A partir de l’équation différentielle entrée-sortie
𝑑𝑛
𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1
𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑛−1
+. … … … . . 𝑎1
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 𝑡 = 𝑢(𝑡)
On définit les variables d’état
)
(
1 t
X 𝑡 = 𝑦 𝑡
𝑋1 𝑡 = 𝑦 𝑡 = 𝑋2 𝑡
𝑋2 𝑡 = 𝑦 𝑡 = 𝑋3 𝑡
..
𝑋𝑛−1 𝑡 = 𝑦 𝑛−1
𝑡 = 𝑋𝑛 𝑡
𝑋𝑛 𝑡 =
𝑑𝑛
𝑦
𝑑𝑡𝑛
= −𝑎0𝑋1 𝑡 −𝑎1𝑋2 𝑡 … … . −𝑎𝑛−1𝑋𝑛 𝑡 + 𝑢(𝑡)
On définit le vecteur d’état
𝑋 𝑡 =
𝑋1 𝑡
𝑋2 𝑡
⋮
𝑋𝑛 𝑡
∈ 𝑅𝑛𝑥1
7
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡
𝐴 =
0
0
⋮
⋮
−𝑎0
1
0
⋮
⋮
−𝑎1
0
1
⋮
⋮
−𝑎2
⋮
⋮
⋮
⋮
. .
0
⋮
⋮
1
−𝑎𝑛−1
𝐵 =
0
0
⋮
⋮
1
𝐶 = 1 0 ⋯ 0
𝐴 ∈ 𝑅𝑛×𝑛
𝐵 ∈ 𝑅𝑛×1
𝐶 ∈ 𝑅1×𝑛
2. A partir du diagramme de simulation
Soit l’équation différentielle d’ordre n avec des dérivées de
𝑑𝑛
𝑦
𝑑𝑡𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1
𝑦
𝑑𝑡𝑛−1
+ ⋯ ⋯ + 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 = 𝑏𝑛
𝑑𝑛
𝑢
𝑑𝑡𝑛
+ 𝑏1
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+ 𝑏0𝑢
Soient les opérateurs dérivée D et intégrale
1
𝐷
𝐷𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝐷𝑛−1
⋯ ⋯ + 𝑎1𝐷 + 𝑎0 𝑦 𝑡 = 𝑏𝑛 𝐷𝑛
+ 𝑏𝑛−1𝐷𝑛−1
⋯ ⋯ + 𝑏1𝐷 − 𝑏0 𝑢 𝑡
8
𝑦 𝑡 =
1
𝐷𝑛
−𝑎𝑛−1𝐷𝑛−1
− 𝑎𝑛−2𝐷𝑛−2
⋯ ⋯ − 𝑎1𝐷 − 𝑎0 𝑦 𝑡
+ 𝑏𝑛𝐷𝑛
+ 𝑏𝑛−1𝐷𝑛−1
⋯ ⋯ + 𝑏1𝐷 + 𝑏0 𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑏𝑛𝑢 𝑡 +
1
𝐷
𝑏𝑛−1𝑢 𝑡 − 𝑎𝑛−1𝑦 𝑡 +
1
𝐷2
𝑏𝑛−2𝑢 𝑡 − 𝑎𝑛−1𝑦 𝑡 ⋯ ⋯
+
1
𝐷𝑛−1
𝑏1𝑢 𝑡 − 𝑎1𝑦 𝑡 +
1
𝐷𝑛
𝑏0𝑢 𝑡 − 𝑎0𝑦 𝑡
Le Diagramme de simulation est donné par
9
On définit la sortie des intégrateurs, comme des variables d’état
𝑦 𝑡 = 𝑋1 𝑡 + 𝑏𝑛𝑢(𝑡)
𝑋1 = 𝑋2 𝑡 + 𝑏𝑛−1𝑢 𝑡 − 𝑎𝑛−1𝑦 𝑡
𝑋2 = 𝑋3 𝑡 + 𝑏𝑛−2𝑢 𝑡 − 𝑎𝑛−2𝑦 𝑡
⋮
𝑋𝑛−1 = 𝑋𝑛 𝑡 + 𝑏1𝑢 𝑡 − 𝑎1𝑦 𝑡
𝑋𝑛 = 𝑏0𝑢 𝑡 − 𝑎0𝑦 𝑡
L’équation de la sortie :
Les états du système dépendant de 𝑦 𝑡
Les états du système sont indépendant de 𝑦 𝑡
𝑋1 = 𝑋2 𝑡 − 𝑎𝑛−1𝑋1(𝑡) + 𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑏𝑛 𝑢(𝑡)
𝑋2 = 𝑋3 𝑡 − 𝑎𝑛−2𝑋1(𝑡) + 𝑏𝑛−2 − 𝑎𝑛−2𝑏𝑛 𝑢(𝑡)
⋮
𝑋𝑛−1 = 𝑋𝑛 𝑡 −𝑎1𝑋1 𝑡 + 𝑏1−𝑎1𝑏𝑛 𝑢 𝑡
𝑋𝑛 = −𝑎0𝑋1 𝑡 + 𝑏0 − 𝑎0𝑏𝑛 𝑢 𝑡
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡)
Représentation d’état généralisée
10
𝐴 =
−𝑎𝑛−1
−𝑎𝑛−2
⋮
⋮
−𝑎0
1
0
⋮
⋮
0
0
1
⋮
⋮
0
⋮
⋮
⋮
⋮
. .
0
⋮
⋮
1
0
𝐵 =
𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑏𝑛
𝑏𝑛−2 − 𝑎𝑛−2𝑏𝑛
⋮
𝑏1 − 𝑎1𝑏𝑛
𝑏0 − 𝑎0𝑏𝑛
𝐶 = 1 0 ⋯ 0 𝐷 = 𝑏𝑛
3. Forme dans le plan de phase (The phase variable forme)
Soit la fonction de transfert G(s) décrite par :
G s =
Y(s)
U(s)
=
𝑏𝑛𝑠𝑛
+ 𝑏𝑛−1𝑠𝑛−1
… … 𝑏1𝑠 + 𝑏0
𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 … … 𝑎1𝑠 + 𝑎0
=
N(s)
D(s)
11
On définit
𝑋1 𝑡 = 𝑧 𝑡
𝑋1 𝑡 = 𝑧 𝑡 = 𝑋2 𝑡
⋮
𝑋𝑛−1 𝑡 =
𝑑𝑛−1
𝑧(𝑡)
𝑑𝑡𝑛−1
= 𝑋𝑛 𝑡
Cherchons 𝑋𝑛 𝑡 =
𝑑𝑛
𝑧(𝑡)
𝑑𝑡𝑛
z s =
U(s)
D(s)
=
U(s)
𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 … … 𝑎1𝑠 + 𝑎0
𝑠𝑛
𝑧 𝑠 = −𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1
𝑧 𝑠 − 𝑎𝑛−2𝑠𝑛−2
𝑧 𝑠 … … − 𝑎1𝑠𝑧 𝑠 − 𝑎0𝑧 𝑠 + U(s)
𝑑𝑛
𝑧(𝑡)
𝑑𝑡𝑛
= −𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1
𝑧(𝑡)
𝑑𝑡𝑛−1
− ⋯ − 𝑎1
𝑑𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
− 𝑎0𝑧 𝑡 + u(t)
𝑋𝑛 𝑡 = −𝑎𝑛−1𝑋𝑛(𝑡) − 𝑎𝑛−2𝑋𝑛−1(𝑡) … … −𝑎1𝑋2(𝑡) − 𝑎0𝑋1(𝑡) + u(t)
D’autre part :
12
𝑌 𝑠 = 𝑁 𝑠 𝑧 𝑠 = 𝑏𝑛𝑠𝑛
+ 𝑏𝑛−1𝑠𝑛−1
… … 𝑏1𝑠 + 𝑏0 𝑧 𝑠
𝑦 𝑡 = 𝑏𝑛𝑧𝑛
𝑡 + 𝑏𝑛−1𝑧𝑛−1
𝑡 … … + 𝑏1𝑧 𝑠 + 𝑏0𝑧 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑏𝑛 −𝑎𝑛−1𝑋𝑛 𝑡 − 𝑎𝑛−2𝑋𝑛−1 𝑡 … … −𝑎1𝑋2 𝑡 − 𝑎0𝑋1 𝑡 + u t
+𝑏𝑛−1𝑋𝑛 𝑡 + 𝑏𝑛−2𝑋𝑛−1 𝑡 … … +𝑏1𝑋2 𝑡 + 𝑏0𝑋1(𝑡)
= 𝑏0 − 𝑎0𝑏𝑛 𝑋1 𝑡 + 𝑏1 − 𝑎1𝑏𝑛 𝑋2(𝑡)+...+ 𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛𝑎𝑛−1 𝑋𝑛 𝑡 + 𝑏𝑛u t
→
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡)
𝐴 =
0
⋮
⋮
⋮
−𝑎0
1
0
⋮
⋮
−𝑎1
0
1
⋮
⋮
−𝑎2
⋮
⋮
⋮
⋮
. .
0
⋮
⋮
1
−𝑎𝑛−1
𝐵 =
𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑏𝑛
𝑏𝑛−2 − 𝑎𝑛−2𝑏𝑛
⋮
𝑏1 − 𝑎1𝑏𝑛
𝑏0 − 𝑎0𝑏𝑛
C = (𝑏0 − 𝑎0𝑏𝑛, 𝑏1 − 𝑎1𝑏𝑛 , … … … 𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑏𝑛) D = 𝑏𝑛
13
4. Pluralité des représentations.
Soit la représentation
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡)
On cherche une autre représentation X t / X t = TX t avec T une matrice
inversible
𝑇 ∈ 𝑅𝑛×𝑛 matrice carrée et 𝑑𝑒𝑡 𝑇 ≠ 0 pour 𝑋 ∈ 𝑅𝑛
, 𝑢 𝑡 ∈ 𝑅𝑚
𝑦(𝑡) ∈ 𝑅𝑝
et
X t = TX t 𝑋 𝑡 = TX t = 𝐴 𝑇X 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑇X 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡)
Si on pose alors
X t = 𝐴 X 𝑡 + 𝐵 𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝐶 X 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡)
Les matrices de passage 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑒𝑡 𝐷 sont données par :
𝐴 = 𝑇−1
𝐴𝑇, 𝐵 = 𝑇−1
𝐵, 𝐶 = 𝐶𝑇 et 𝐷 = 𝐷
14
Cas général
A, B, C et D sont des matrices dépendantes du temps
𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐷(𝑡) 𝑢(𝑡)
Cette représentation possède d’autres représentations
x t = T(t)x t Det(T(t))≠ 0 ∀ 𝑡
x t = T t x t + T t x t = A t T t x t + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶(𝑡) T t x t + 𝐷(𝑡) 𝑢(𝑡)
T t x t = A t T t − T t x t + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑡 T t x t + 𝐷 𝑡 𝑢 𝑡
X t = T−1
t A t T t − T t X t + T−1
t 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑡 T t X t + 𝐷 𝑡 𝑢 𝑡
15
X t = A t X t + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑡 X t + 𝐷 𝑡 𝑢 𝑡
Les formules de passage sont :
A t = T−1
t A t T t − T t 𝐵 𝑡 = T−1
t 𝐵(𝑡)
𝐶 𝑡 = 𝐶 𝑡 T t 𝐷 𝑡 = 𝐷 𝑡
3. Intégration des équations d’état
Soit l’équation d’état
𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐷(𝑡) 𝑢(𝑡)
16
Le schéma fonctionnel est donné par :
• Cas Scalaire
L’équation homogène S.S.M est donnée par :
𝑥 𝑡 = 𝑎 𝑡 𝑥 𝑡 →
𝑑𝑥
𝑥 𝑡
= 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 →
𝑑𝑥(𝜏)
𝑥(𝜏)
𝑡
𝑡0
= 𝑎 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
𝑥 𝑡 = 𝑎(𝑡) 𝑥 𝑡 + 𝑏(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝑐(𝑡) 𝑥 𝑡 + 𝑑(𝑡) 𝑢(𝑡)
17
avec ∅ 𝑡, 𝑡0 = 𝑒
𝑎 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
Propriétés de ∅ 𝑡, 𝑡0
1. ∅ 𝑡0, 𝑡0 = 1
2. ∅−1
𝑡, 𝑡0 = 𝑒
− 𝑎 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0 = ∅ 𝑡0, 𝑡
3. ∅ 𝑡1, 𝑡2 . ∅ 𝑡2, 𝑡3 = ∅ 𝑡1, 𝑡3
4. ∅ t, t0 = a t ∅ t, t0
5.
d
dt
∅−1
t, t0 = − a t ∅−1
t, t0
𝐿𝑛
𝑥(𝑡)
𝑥(𝑡0)
= 𝑎 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡0 𝑒
𝑎 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
= 𝑥 𝑡0 ∅(𝑡, 𝑡0)
18
En effet
∅ 𝑡, 𝑡0 . ∅−1
𝑡, 𝑡0 = 1
d
dt
∅ t, t0 . ∅−1
𝑡, 𝑡0 = 0
∅∅−1
+ ∅ ∅−1 = 0
∅−1 = −∅−1
∅ ∅−1
= −∅−1
t, t0 a t ∅ 𝑡, 𝑡0 . ∅−1
t, t0
= −a t ∅−1
t, t0
Pour la solution particulière On utilise un calcul intermédiaire
d
dt
∅−1
t, t0 X t =
d
dt
∅−1
t, t0 X t + ∅−1
t, t0
dX t
dt
= −a t ∅−1
t, t0 X t + ∅−1
t, t0 X t
= ∅−1
t, t0 −a t X t + X t = ∅−1
t, t0 b(t) u t
19
On intègre entre t0 et t
𝑑
𝑑𝑡
∅−1
τ, t0 X τ 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
= ∅−1
𝜏, t0 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
∅−1
t, t0 X 𝑡 − ∅−1
t0, t0 X t0 = ∅−1
𝜏, t0 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
On multiplie par ∅ 𝑡, 𝑡0 de part de d’autre de l’égalité
𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 + ∅ 𝑡, 𝑡0 ∅ 𝑡0, 𝜏 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 + ∅ 𝑡, 𝜏 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
20
• Cas Vectoriel
𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑋 𝑡 ∈ 𝑅𝑛
, 𝑢 𝑡 ∈ 𝑅𝑛
𝐴 𝑡 ∈ 𝑅𝑛×𝑚
, 𝐵 𝑡 ∈ 𝑅𝑛×𝑚
La solution homogène
𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡
L’équation sans second membre
𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 ∀ 𝑡 > 𝑡0
La matrice de transition ∅ 𝑡, 𝑡0 est inversible.
Après intégration ∅ 𝑡, 𝑡0 = 𝑒
𝐴 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
• Propriétés de ∅ 𝑡, 𝑡0
1. ∅ 𝑡0, 𝑡0 = matrice identité In
21
2. ∅ 𝑡2, 𝑡1 . ∅ 𝑡1, 𝑡0 = ∅ 𝑡2, 𝑡0
En effet :
𝑋 𝑡1 = ∅ 𝑡1, 𝑡0 𝑋 𝑡0
𝑋 𝑡2 = ∅ 𝑡2, 𝑡0 𝑋 𝑡0
𝑋 𝑡2 = ∅ 𝑡2, 𝑡1 𝑋 𝑡1 = ∅ 𝑡2, 𝑡1 ∅ 𝑡1, 𝑡0 𝑋 𝑡0
∅ 𝑡2, 𝑡0 = ∅ 𝑡2, 𝑡1 ∅ 𝑡1, 𝑡0
𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 = 𝐴 𝑡 𝑋(𝑡) = 𝐴 𝑡 ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0
∅ 𝑡, 𝑡0 = 𝐴(𝑡) ∅ 𝑡, 𝑡0
4. ∅−1
𝑡, 𝑡0 = ∅ 𝑡0, 𝑡
d
dt
∅−1
t, t0 =?
∅−1
t, t0 ∅ 𝑡, t0 = 𝐼𝑛
3.
5.
22
d
dt
∅−1
t, t0 ∅ 𝑡, t0 = ∅−1
t, t0 ∅ 𝑡, t0 + ∅−1
t, t0 ∅ 𝑡, t0 = 0
∅−1
t, t0 ∅ 𝑡, t0 + ∅−1
t, t0 A(t)∅ 𝑡, t0 = 0
∅−1
t, t0 = −∅−1
t, t0 A t ∅ 𝑡, t0 ∅−1
t, t0
=−∅−1
t, t0 A(t) In
d
dt
∅−1
t, t0 = −∅−1
t, t0 A(t)
Solution particulière
d
dt
∅−1
t, t0 X t =
d
dt
∅−1
t, t0 X t + ∅−1
t, t0 X t
= −∅−1
t, t0 A t InX(t)+ ∅−1
t, t0 X(t)
= ∅−1
t, t0 X t − A t X(t)
= ∅−1
t, t0 B t u(t)
23
→
𝑑
𝑑𝑡
∅−1
τ, t0 X τ 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
= ∅−1
τ, t0 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
→ ∅−1
t, t0 X t = X t0 + ∅−1
τ, t0 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
→ 𝑋 𝑡 = ∅ t, t0 X t0 + ∅ t, t0 ∅−1
τ, t0 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
= ∅ t, t0 X t0 + ∅ t, t0 ∅ t0, τ B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
→ 𝑋 𝑡 = ∅ t, t0 X t0 + ∅ t, τ B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
24
Cas invariant
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢 𝑡
La solution homogène :
𝑋 𝑡 = ∅ t, t0 X t0
∅ 𝑡, 𝑡0 = 𝑒
𝐴 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0 = 𝑒𝐴 𝑡−𝑡0
La solution générale :
𝑋 𝑡 = 𝑒𝐴 𝑡−𝑡0 X t0 + 𝑒𝐴 𝑡−𝜏
B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
Cas scalaire
𝑥 𝑡 = 𝑎 𝑥 𝑡 →
dx t
x t
= 𝑎 𝑑𝑡
25
→ 𝐿𝑜𝑔
𝑥 𝑡
𝑥 𝑡0
= 𝑎 𝑡 − 𝑡0 → x t = x t0 𝑒𝑎 𝑡−𝑡0
pour 𝑡0 = 0 → x t = x 0 𝑒𝑎𝑡
Ce résultat peut aussi être déterminé par la transformé de Laplace.
𝐿 𝑥 𝑡 = 𝐿(𝑎𝑥 𝑡 ) 𝑆𝑥 𝑠 − 𝑆𝑥(0) = 𝑎𝑥(𝑠)
𝑆 − 𝑎 𝑥 𝑠 = 𝑥 0 → 𝑥 𝑠 =
𝑥 0
𝑠 − 𝑎
𝐿−1
𝑥 𝑠 = 𝐿−1
𝑥 0
𝑠 − 𝑎
x t = x 0 𝑒𝑎𝑡
26
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 → 𝑆𝑋 𝑠 − 𝑆𝑋 0 = 𝐴𝑋(𝑠)
𝑆𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑠 = 𝑋 0 → 𝑋 𝑠 = 𝑆𝐼 − 𝐴 −1
𝑋 0
𝑇𝐿−1
𝑋 𝑠 = X t = 𝑒𝐴𝑡
𝑋(0)
Il faut détériner 𝑒𝐴𝑡
? ?
Calcule de 𝑆𝐼 − 𝐴 −1
det 𝑆𝐼 − 𝐴 = 𝑠𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1
+. … … + 𝑎1𝑠 + 𝑎0
Avec :
𝐴 =
0
⋮
⋮
⋮
−𝑎0
1
0
⋮
⋮
−𝑎1
0
1
⋮
⋮
−𝑎2
⋮
⋮
⋮
⋮
. .
0
⋮
⋮
1
−𝑎𝑛−1
Cas matriciel
27
𝑆𝐼 − 𝐴 −1
= det 𝑆𝐼 − 𝐴 −1
𝑐𝑜𝑚(𝑆𝐼 − 𝐴)
Chaque élément est une fraction de s décomposer en éléments
simples et utiliser la
.
𝑇𝐿−1
Exemple
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑥 𝑡 + 𝐷 𝑢 𝑡
= 𝑒𝐴 𝑡,𝑡0 x t0 + C 𝑒𝐴 𝑡,𝑡0 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
+ 𝐷 𝑢 𝑡
Soit A =
−2 −2 0
0 0 1
0 −3 −4
Calculer 𝑒𝐴𝑡
28
4. Notion de matrice de transfert :
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢 𝑡
𝑇𝐿
𝑠𝑋 𝑠 − 𝑋 0 = 𝐴 𝑋 𝑠 + 𝐵 𝑢 𝑠 à 𝑡 = 0
𝑦 𝑠 = 𝐶 𝑋 𝑠 + 𝐷 𝑢 𝑠
𝑠𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑠 = 𝑋 0 + 𝐵 𝑢 𝑠
𝑋 𝑠 = 𝑠𝐼 − 𝐴 −1
𝑋 0 + 𝐵 𝑢 𝑠
𝑦 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1
𝑋 0 + 𝐵 𝑢 𝑠 + 𝐷 𝑢 𝑠
𝑦 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1
𝑋 0 + 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1
𝐵 + 𝐷 𝑢 𝑠
La fonction de transfert :
Z(s)= 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1
𝐵 + 𝐷
Pour simplification, on choisit D=0
29
𝑠𝐼 − 𝐴 −1
𝑇𝐿−1
𝑒𝐴𝑡
→ 𝑍 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1
𝐵
𝑇𝐿−1
𝐶𝑒𝐴𝑡
𝐵 = 𝑍(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑒𝐴𝑡
𝐵
Pour une entrée impulsionnelle
𝑇𝐿−1
𝐹1 𝑠 , 𝐹2 𝑠 = 𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 = 𝑓1 𝑡 − 𝜏 𝑓2 𝑡 𝑑𝜏
𝑡
0
Rappels
𝑋 𝑠 = 𝑠𝐼 − 𝐴 −1
𝑋 0 + 𝑠𝐼 − 𝐴 −1
𝐵𝑢 𝑠
30
𝑇𝐿−1
→ 𝑋 𝑡 = 𝑒𝐴𝑡
𝑋 0 + 𝑒𝐴(𝑡−𝜏)
𝐵 𝑢(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
0
Exercice
x t =
−2 −2 0
0 0 1
0 −3 −4
𝑥 𝑡 +
1 0
0 1
1 1
𝑢(𝑡)
Calculer 𝑋 𝑡 sachant que 𝑋 0 =
10
5
2
et u t =
t
1

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Chapitre 1 automatique de base

  • 1. 1 1. Introduction Représentation dans l’espace d’état Limitation aux EDP de premier ordre. L’avantage de cette représentation réside dans : • Représentation temporelle et ne fait appel à aucune transformation • Le même formalisme est utilisé en continu et en discret, • Facilite le traitement des systèmes nonlinéaires • Bien adaptée aux méthodes d’optimisation, de contrôle et de stabilisation.
  • 2. Exemple: 1 L’équation de la maille : L’équation différentielle devient : ) ( ) ( ) ( ) ( t v dt t di L t Ri t u    ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 t v dt t v d LC dt t dv RC t u    ) ( ) ( 1 t v t X  ) ( ) ( 1 t v t X    ) ( ) ( 1 2 t X t X   ) ( ) ( 2 t v t X     ) 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 2 2 ut LC t X LC t X L R t X     
  • 3. On définit dans 2  On définit les matrices A, B et C / y t = v t = ) ( 1 t X = 1 0 X(t) 𝐴 = 0 1 −1 𝐿𝐶 −𝑅 𝐿 𝐵 = 0 1 𝐿𝐶 𝐶 = 1 0          ) ) ( ) ( 2 1 t X t X t X          ) ) ( ) ( 2 1 t X t X t X    Les vecteurs : et           ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2 1 t u LC t X LC t X L R t X t X t X   ) ( 1 0 1 1 0 ) ) ( ) ( 2 1 t u LC L R LC t X t X t X                                 𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡
  • 4. 4 Exemple 2 : Mécanique L’équation du mouvement donne : 𝑠: 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑘 𝑠 : 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑅𝑎𝑖𝑑𝑒𝑢𝑟 𝐹 𝑠, 𝑠 : 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑘 𝑠 = 𝐾. 𝑠 𝐹 𝑠, 𝑠 = 𝑓 𝑠 𝑚 𝑑2 𝑠(𝑡) 𝑑𝑡2 + 𝑓 𝑑𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑘𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)
  • 5. On définit : 𝑋1 𝑡 = 𝑠 𝑡 𝑋1 𝑡 = 𝑠 𝑡 = 𝑋2 𝑡 𝑋2 𝑡 = 𝑠 𝑡 = − 𝑓 𝑚 𝑋2 𝑡 − 𝑘 𝑚 𝑋1 𝑡 + 𝑢(𝑡) 𝑚 𝑦 𝑡 = 𝑠 𝑡 = 𝑋1 𝑡 𝑋 𝑡 = 𝑋1 𝑡 𝑋2 𝑡 = 0 1 − 𝑘 𝑚 − 𝑓 𝑚 𝑋1 𝑡 𝑋2 𝑡 + 0 1 𝑚 𝑢(𝑡) avec 𝐴 = 0 1 − 𝑘 𝑚 − 𝑓 𝑚 𝐵 = 0 1 𝑚 𝐶 = 1 0 𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 L’équation d’état devient
  • 6. 6 2. Quelques méthodes d’obtention des équations d’état 1. A partir de l’équation différentielle entrée-sortie 𝑑𝑛 𝑦(𝑡) 𝑑𝑡𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑑𝑛−1 𝑦(𝑡) 𝑑𝑡𝑛−1 +. … … … . . 𝑎1 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑎0𝑦 𝑡 = 𝑢(𝑡) On définit les variables d’état ) ( 1 t X 𝑡 = 𝑦 𝑡 𝑋1 𝑡 = 𝑦 𝑡 = 𝑋2 𝑡 𝑋2 𝑡 = 𝑦 𝑡 = 𝑋3 𝑡 .. 𝑋𝑛−1 𝑡 = 𝑦 𝑛−1 𝑡 = 𝑋𝑛 𝑡 𝑋𝑛 𝑡 = 𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑡𝑛 = −𝑎0𝑋1 𝑡 −𝑎1𝑋2 𝑡 … … . −𝑎𝑛−1𝑋𝑛 𝑡 + 𝑢(𝑡) On définit le vecteur d’état 𝑋 𝑡 = 𝑋1 𝑡 𝑋2 𝑡 ⋮ 𝑋𝑛 𝑡 ∈ 𝑅𝑛𝑥1
  • 7. 7 𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 𝐴 = 0 0 ⋮ ⋮ −𝑎0 1 0 ⋮ ⋮ −𝑎1 0 1 ⋮ ⋮ −𝑎2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ . . 0 ⋮ ⋮ 1 −𝑎𝑛−1 𝐵 = 0 0 ⋮ ⋮ 1 𝐶 = 1 0 ⋯ 0 𝐴 ∈ 𝑅𝑛×𝑛 𝐵 ∈ 𝑅𝑛×1 𝐶 ∈ 𝑅1×𝑛 2. A partir du diagramme de simulation Soit l’équation différentielle d’ordre n avec des dérivées de 𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑡𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑑𝑛−1 𝑦 𝑑𝑡𝑛−1 + ⋯ ⋯ + 𝑎1 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑎0𝑦 = 𝑏𝑛 𝑑𝑛 𝑢 𝑑𝑡𝑛 + 𝑏1 𝑑𝑢 𝑑𝑡 + 𝑏0𝑢 Soient les opérateurs dérivée D et intégrale 1 𝐷 𝐷𝑛 + 𝑎𝑛−1𝐷𝑛−1 ⋯ ⋯ + 𝑎1𝐷 + 𝑎0 𝑦 𝑡 = 𝑏𝑛 𝐷𝑛 + 𝑏𝑛−1𝐷𝑛−1 ⋯ ⋯ + 𝑏1𝐷 − 𝑏0 𝑢 𝑡
  • 8. 8 𝑦 𝑡 = 1 𝐷𝑛 −𝑎𝑛−1𝐷𝑛−1 − 𝑎𝑛−2𝐷𝑛−2 ⋯ ⋯ − 𝑎1𝐷 − 𝑎0 𝑦 𝑡 + 𝑏𝑛𝐷𝑛 + 𝑏𝑛−1𝐷𝑛−1 ⋯ ⋯ + 𝑏1𝐷 + 𝑏0 𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑏𝑛𝑢 𝑡 + 1 𝐷 𝑏𝑛−1𝑢 𝑡 − 𝑎𝑛−1𝑦 𝑡 + 1 𝐷2 𝑏𝑛−2𝑢 𝑡 − 𝑎𝑛−1𝑦 𝑡 ⋯ ⋯ + 1 𝐷𝑛−1 𝑏1𝑢 𝑡 − 𝑎1𝑦 𝑡 + 1 𝐷𝑛 𝑏0𝑢 𝑡 − 𝑎0𝑦 𝑡 Le Diagramme de simulation est donné par
  • 9. 9 On définit la sortie des intégrateurs, comme des variables d’état 𝑦 𝑡 = 𝑋1 𝑡 + 𝑏𝑛𝑢(𝑡) 𝑋1 = 𝑋2 𝑡 + 𝑏𝑛−1𝑢 𝑡 − 𝑎𝑛−1𝑦 𝑡 𝑋2 = 𝑋3 𝑡 + 𝑏𝑛−2𝑢 𝑡 − 𝑎𝑛−2𝑦 𝑡 ⋮ 𝑋𝑛−1 = 𝑋𝑛 𝑡 + 𝑏1𝑢 𝑡 − 𝑎1𝑦 𝑡 𝑋𝑛 = 𝑏0𝑢 𝑡 − 𝑎0𝑦 𝑡 L’équation de la sortie : Les états du système dépendant de 𝑦 𝑡 Les états du système sont indépendant de 𝑦 𝑡 𝑋1 = 𝑋2 𝑡 − 𝑎𝑛−1𝑋1(𝑡) + 𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑏𝑛 𝑢(𝑡) 𝑋2 = 𝑋3 𝑡 − 𝑎𝑛−2𝑋1(𝑡) + 𝑏𝑛−2 − 𝑎𝑛−2𝑏𝑛 𝑢(𝑡) ⋮ 𝑋𝑛−1 = 𝑋𝑛 𝑡 −𝑎1𝑋1 𝑡 + 𝑏1−𝑎1𝑏𝑛 𝑢 𝑡 𝑋𝑛 = −𝑎0𝑋1 𝑡 + 𝑏0 − 𝑎0𝑏𝑛 𝑢 𝑡 𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡) Représentation d’état généralisée
  • 10. 10 𝐴 = −𝑎𝑛−1 −𝑎𝑛−2 ⋮ ⋮ −𝑎0 1 0 ⋮ ⋮ 0 0 1 ⋮ ⋮ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ . . 0 ⋮ ⋮ 1 0 𝐵 = 𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑏𝑛 𝑏𝑛−2 − 𝑎𝑛−2𝑏𝑛 ⋮ 𝑏1 − 𝑎1𝑏𝑛 𝑏0 − 𝑎0𝑏𝑛 𝐶 = 1 0 ⋯ 0 𝐷 = 𝑏𝑛 3. Forme dans le plan de phase (The phase variable forme) Soit la fonction de transfert G(s) décrite par : G s = Y(s) U(s) = 𝑏𝑛𝑠𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑠𝑛−1 … … 𝑏1𝑠 + 𝑏0 𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 … … 𝑎1𝑠 + 𝑎0 = N(s) D(s)
  • 11. 11 On définit 𝑋1 𝑡 = 𝑧 𝑡 𝑋1 𝑡 = 𝑧 𝑡 = 𝑋2 𝑡 ⋮ 𝑋𝑛−1 𝑡 = 𝑑𝑛−1 𝑧(𝑡) 𝑑𝑡𝑛−1 = 𝑋𝑛 𝑡 Cherchons 𝑋𝑛 𝑡 = 𝑑𝑛 𝑧(𝑡) 𝑑𝑡𝑛 z s = U(s) D(s) = U(s) 𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 … … 𝑎1𝑠 + 𝑎0 𝑠𝑛 𝑧 𝑠 = −𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 𝑧 𝑠 − 𝑎𝑛−2𝑠𝑛−2 𝑧 𝑠 … … − 𝑎1𝑠𝑧 𝑠 − 𝑎0𝑧 𝑠 + U(s) 𝑑𝑛 𝑧(𝑡) 𝑑𝑡𝑛 = −𝑎𝑛−1 𝑑𝑛−1 𝑧(𝑡) 𝑑𝑡𝑛−1 − ⋯ − 𝑎1 𝑑𝑧(𝑡) 𝑑𝑡 − 𝑎0𝑧 𝑡 + u(t) 𝑋𝑛 𝑡 = −𝑎𝑛−1𝑋𝑛(𝑡) − 𝑎𝑛−2𝑋𝑛−1(𝑡) … … −𝑎1𝑋2(𝑡) − 𝑎0𝑋1(𝑡) + u(t) D’autre part :
  • 12. 12 𝑌 𝑠 = 𝑁 𝑠 𝑧 𝑠 = 𝑏𝑛𝑠𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑠𝑛−1 … … 𝑏1𝑠 + 𝑏0 𝑧 𝑠 𝑦 𝑡 = 𝑏𝑛𝑧𝑛 𝑡 + 𝑏𝑛−1𝑧𝑛−1 𝑡 … … + 𝑏1𝑧 𝑠 + 𝑏0𝑧 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑏𝑛 −𝑎𝑛−1𝑋𝑛 𝑡 − 𝑎𝑛−2𝑋𝑛−1 𝑡 … … −𝑎1𝑋2 𝑡 − 𝑎0𝑋1 𝑡 + u t +𝑏𝑛−1𝑋𝑛 𝑡 + 𝑏𝑛−2𝑋𝑛−1 𝑡 … … +𝑏1𝑋2 𝑡 + 𝑏0𝑋1(𝑡) = 𝑏0 − 𝑎0𝑏𝑛 𝑋1 𝑡 + 𝑏1 − 𝑎1𝑏𝑛 𝑋2(𝑡)+...+ 𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛𝑎𝑛−1 𝑋𝑛 𝑡 + 𝑏𝑛u t → 𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡) 𝐴 = 0 ⋮ ⋮ ⋮ −𝑎0 1 0 ⋮ ⋮ −𝑎1 0 1 ⋮ ⋮ −𝑎2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ . . 0 ⋮ ⋮ 1 −𝑎𝑛−1 𝐵 = 𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑏𝑛 𝑏𝑛−2 − 𝑎𝑛−2𝑏𝑛 ⋮ 𝑏1 − 𝑎1𝑏𝑛 𝑏0 − 𝑎0𝑏𝑛 C = (𝑏0 − 𝑎0𝑏𝑛, 𝑏1 − 𝑎1𝑏𝑛 , … … … 𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑏𝑛) D = 𝑏𝑛
  • 13. 13 4. Pluralité des représentations. Soit la représentation 𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡) On cherche une autre représentation X t / X t = TX t avec T une matrice inversible 𝑇 ∈ 𝑅𝑛×𝑛 matrice carrée et 𝑑𝑒𝑡 𝑇 ≠ 0 pour 𝑋 ∈ 𝑅𝑛 , 𝑢 𝑡 ∈ 𝑅𝑚 𝑦(𝑡) ∈ 𝑅𝑝 et X t = TX t 𝑋 𝑡 = TX t = 𝐴 𝑇X 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑇X 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡) Si on pose alors X t = 𝐴 X 𝑡 + 𝐵 𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝐶 X 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡) Les matrices de passage 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑒𝑡 𝐷 sont données par : 𝐴 = 𝑇−1 𝐴𝑇, 𝐵 = 𝑇−1 𝐵, 𝐶 = 𝐶𝑇 et 𝐷 = 𝐷
  • 14. 14 Cas général A, B, C et D sont des matrices dépendantes du temps 𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐷(𝑡) 𝑢(𝑡) Cette représentation possède d’autres représentations x t = T(t)x t Det(T(t))≠ 0 ∀ 𝑡 x t = T t x t + T t x t = A t T t x t + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶(𝑡) T t x t + 𝐷(𝑡) 𝑢(𝑡) T t x t = A t T t − T t x t + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑡 T t x t + 𝐷 𝑡 𝑢 𝑡 X t = T−1 t A t T t − T t X t + T−1 t 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑡 T t X t + 𝐷 𝑡 𝑢 𝑡
  • 15. 15 X t = A t X t + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑡 X t + 𝐷 𝑡 𝑢 𝑡 Les formules de passage sont : A t = T−1 t A t T t − T t 𝐵 𝑡 = T−1 t 𝐵(𝑡) 𝐶 𝑡 = 𝐶 𝑡 T t 𝐷 𝑡 = 𝐷 𝑡 3. Intégration des équations d’état Soit l’équation d’état 𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐷(𝑡) 𝑢(𝑡)
  • 16. 16 Le schéma fonctionnel est donné par : • Cas Scalaire L’équation homogène S.S.M est donnée par : 𝑥 𝑡 = 𝑎 𝑡 𝑥 𝑡 → 𝑑𝑥 𝑥 𝑡 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 → 𝑑𝑥(𝜏) 𝑥(𝜏) 𝑡 𝑡0 = 𝑎 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 𝑥 𝑡 = 𝑎(𝑡) 𝑥 𝑡 + 𝑏(𝑡) 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝑐(𝑡) 𝑥 𝑡 + 𝑑(𝑡) 𝑢(𝑡)
  • 17. 17 avec ∅ 𝑡, 𝑡0 = 𝑒 𝑎 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 Propriétés de ∅ 𝑡, 𝑡0 1. ∅ 𝑡0, 𝑡0 = 1 2. ∅−1 𝑡, 𝑡0 = 𝑒 − 𝑎 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 = ∅ 𝑡0, 𝑡 3. ∅ 𝑡1, 𝑡2 . ∅ 𝑡2, 𝑡3 = ∅ 𝑡1, 𝑡3 4. ∅ t, t0 = a t ∅ t, t0 5. d dt ∅−1 t, t0 = − a t ∅−1 t, t0 𝐿𝑛 𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡0) = 𝑎 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡0 𝑒 𝑎 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 = 𝑥 𝑡0 ∅(𝑡, 𝑡0)
  • 18. 18 En effet ∅ 𝑡, 𝑡0 . ∅−1 𝑡, 𝑡0 = 1 d dt ∅ t, t0 . ∅−1 𝑡, 𝑡0 = 0 ∅∅−1 + ∅ ∅−1 = 0 ∅−1 = −∅−1 ∅ ∅−1 = −∅−1 t, t0 a t ∅ 𝑡, 𝑡0 . ∅−1 t, t0 = −a t ∅−1 t, t0 Pour la solution particulière On utilise un calcul intermédiaire d dt ∅−1 t, t0 X t = d dt ∅−1 t, t0 X t + ∅−1 t, t0 dX t dt = −a t ∅−1 t, t0 X t + ∅−1 t, t0 X t = ∅−1 t, t0 −a t X t + X t = ∅−1 t, t0 b(t) u t
  • 19. 19 On intègre entre t0 et t 𝑑 𝑑𝑡 ∅−1 τ, t0 X τ 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 = ∅−1 𝜏, t0 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 ∅−1 t, t0 X 𝑡 − ∅−1 t0, t0 X t0 = ∅−1 𝜏, t0 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 On multiplie par ∅ 𝑡, 𝑡0 de part de d’autre de l’égalité 𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 + ∅ 𝑡, 𝑡0 ∅ 𝑡0, 𝜏 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 + ∅ 𝑡, 𝜏 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0
  • 20. 20 • Cas Vectoriel 𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡) 𝑋 𝑡 ∈ 𝑅𝑛 , 𝑢 𝑡 ∈ 𝑅𝑛 𝐴 𝑡 ∈ 𝑅𝑛×𝑚 , 𝐵 𝑡 ∈ 𝑅𝑛×𝑚 La solution homogène 𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡 L’équation sans second membre 𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 ∀ 𝑡 > 𝑡0 La matrice de transition ∅ 𝑡, 𝑡0 est inversible. Après intégration ∅ 𝑡, 𝑡0 = 𝑒 𝐴 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 • Propriétés de ∅ 𝑡, 𝑡0 1. ∅ 𝑡0, 𝑡0 = matrice identité In
  • 21. 21 2. ∅ 𝑡2, 𝑡1 . ∅ 𝑡1, 𝑡0 = ∅ 𝑡2, 𝑡0 En effet : 𝑋 𝑡1 = ∅ 𝑡1, 𝑡0 𝑋 𝑡0 𝑋 𝑡2 = ∅ 𝑡2, 𝑡0 𝑋 𝑡0 𝑋 𝑡2 = ∅ 𝑡2, 𝑡1 𝑋 𝑡1 = ∅ 𝑡2, 𝑡1 ∅ 𝑡1, 𝑡0 𝑋 𝑡0 ∅ 𝑡2, 𝑡0 = ∅ 𝑡2, 𝑡1 ∅ 𝑡1, 𝑡0 𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 = 𝐴 𝑡 𝑋(𝑡) = 𝐴 𝑡 ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 ∅ 𝑡, 𝑡0 = 𝐴(𝑡) ∅ 𝑡, 𝑡0 4. ∅−1 𝑡, 𝑡0 = ∅ 𝑡0, 𝑡 d dt ∅−1 t, t0 =? ∅−1 t, t0 ∅ 𝑡, t0 = 𝐼𝑛 3. 5.
  • 22. 22 d dt ∅−1 t, t0 ∅ 𝑡, t0 = ∅−1 t, t0 ∅ 𝑡, t0 + ∅−1 t, t0 ∅ 𝑡, t0 = 0 ∅−1 t, t0 ∅ 𝑡, t0 + ∅−1 t, t0 A(t)∅ 𝑡, t0 = 0 ∅−1 t, t0 = −∅−1 t, t0 A t ∅ 𝑡, t0 ∅−1 t, t0 =−∅−1 t, t0 A(t) In d dt ∅−1 t, t0 = −∅−1 t, t0 A(t) Solution particulière d dt ∅−1 t, t0 X t = d dt ∅−1 t, t0 X t + ∅−1 t, t0 X t = −∅−1 t, t0 A t InX(t)+ ∅−1 t, t0 X(t) = ∅−1 t, t0 X t − A t X(t) = ∅−1 t, t0 B t u(t)
  • 23. 23 → 𝑑 𝑑𝑡 ∅−1 τ, t0 X τ 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 = ∅−1 τ, t0 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 → ∅−1 t, t0 X t = X t0 + ∅−1 τ, t0 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 → 𝑋 𝑡 = ∅ t, t0 X t0 + ∅ t, t0 ∅−1 τ, t0 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 = ∅ t, t0 X t0 + ∅ t, t0 ∅ t0, τ B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 → 𝑋 𝑡 = ∅ t, t0 X t0 + ∅ t, τ B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0
  • 24. 24 Cas invariant 𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢 𝑡 La solution homogène : 𝑋 𝑡 = ∅ t, t0 X t0 ∅ 𝑡, 𝑡0 = 𝑒 𝐴 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 = 𝑒𝐴 𝑡−𝑡0 La solution générale : 𝑋 𝑡 = 𝑒𝐴 𝑡−𝑡0 X t0 + 𝑒𝐴 𝑡−𝜏 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 Cas scalaire 𝑥 𝑡 = 𝑎 𝑥 𝑡 → dx t x t = 𝑎 𝑑𝑡
  • 25. 25 → 𝐿𝑜𝑔 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡0 = 𝑎 𝑡 − 𝑡0 → x t = x t0 𝑒𝑎 𝑡−𝑡0 pour 𝑡0 = 0 → x t = x 0 𝑒𝑎𝑡 Ce résultat peut aussi être déterminé par la transformé de Laplace. 𝐿 𝑥 𝑡 = 𝐿(𝑎𝑥 𝑡 ) 𝑆𝑥 𝑠 − 𝑆𝑥(0) = 𝑎𝑥(𝑠) 𝑆 − 𝑎 𝑥 𝑠 = 𝑥 0 → 𝑥 𝑠 = 𝑥 0 𝑠 − 𝑎 𝐿−1 𝑥 𝑠 = 𝐿−1 𝑥 0 𝑠 − 𝑎 x t = x 0 𝑒𝑎𝑡
  • 26. 26 𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 → 𝑆𝑋 𝑠 − 𝑆𝑋 0 = 𝐴𝑋(𝑠) 𝑆𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑠 = 𝑋 0 → 𝑋 𝑠 = 𝑆𝐼 − 𝐴 −1 𝑋 0 𝑇𝐿−1 𝑋 𝑠 = X t = 𝑒𝐴𝑡 𝑋(0) Il faut détériner 𝑒𝐴𝑡 ? ? Calcule de 𝑆𝐼 − 𝐴 −1 det 𝑆𝐼 − 𝐴 = 𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 +. … … + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 Avec : 𝐴 = 0 ⋮ ⋮ ⋮ −𝑎0 1 0 ⋮ ⋮ −𝑎1 0 1 ⋮ ⋮ −𝑎2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ . . 0 ⋮ ⋮ 1 −𝑎𝑛−1 Cas matriciel
  • 27. 27 𝑆𝐼 − 𝐴 −1 = det 𝑆𝐼 − 𝐴 −1 𝑐𝑜𝑚(𝑆𝐼 − 𝐴) Chaque élément est une fraction de s décomposer en éléments simples et utiliser la . 𝑇𝐿−1 Exemple 𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑥 𝑡 + 𝐷 𝑢 𝑡 = 𝑒𝐴 𝑡,𝑡0 x t0 + C 𝑒𝐴 𝑡,𝑡0 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏 𝑡 𝑡0 + 𝐷 𝑢 𝑡 Soit A = −2 −2 0 0 0 1 0 −3 −4 Calculer 𝑒𝐴𝑡
  • 28. 28 4. Notion de matrice de transfert : 𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢 𝑡 𝑇𝐿 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑋 0 = 𝐴 𝑋 𝑠 + 𝐵 𝑢 𝑠 à 𝑡 = 0 𝑦 𝑠 = 𝐶 𝑋 𝑠 + 𝐷 𝑢 𝑠 𝑠𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑠 = 𝑋 0 + 𝐵 𝑢 𝑠 𝑋 𝑠 = 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝑋 0 + 𝐵 𝑢 𝑠 𝑦 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝑋 0 + 𝐵 𝑢 𝑠 + 𝐷 𝑢 𝑠 𝑦 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝑋 0 + 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝐵 + 𝐷 𝑢 𝑠 La fonction de transfert : Z(s)= 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝐵 + 𝐷 Pour simplification, on choisit D=0
  • 29. 29 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝑇𝐿−1 𝑒𝐴𝑡 → 𝑍 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝐵 𝑇𝐿−1 𝐶𝑒𝐴𝑡 𝐵 = 𝑍(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶𝑒𝐴𝑡 𝐵 Pour une entrée impulsionnelle 𝑇𝐿−1 𝐹1 𝑠 , 𝐹2 𝑠 = 𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 = 𝑓1 𝑡 − 𝜏 𝑓2 𝑡 𝑑𝜏 𝑡 0 Rappels 𝑋 𝑠 = 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝑋 0 + 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝐵𝑢 𝑠
  • 30. 30 𝑇𝐿−1 → 𝑋 𝑡 = 𝑒𝐴𝑡 𝑋 0 + 𝑒𝐴(𝑡−𝜏) 𝐵 𝑢(𝜏)𝑑𝜏 𝑡 0 Exercice x t = −2 −2 0 0 0 1 0 −3 −4 𝑥 𝑡 + 1 0 0 1 1 1 𝑢(𝑡) Calculer 𝑋 𝑡 sachant que 𝑋 0 = 10 5 2 et u t = t 1