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Condensateurs et circuits RC
I. Le condensateur : définition et propriétés
Définition :
Le condensateur est constitué de deux armatures métalliques séparées par un isolant appelé diélectrique.
Représentation dans un montage
L’intensité arrive sur l’armature positive et sort par l’armature négative.
II. Le dipôle RC :
Relation entre la charge et l’intensité du courant :
L’intensité électrique correspond à la quantité de charges electriques qui traverse une section de conduc-
teur par unité de temps.
i  dq
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La charge s’exprime en coulomb (C), l’intensité en ampère (A) et le temps en seconde (s).
L’intensité est une grandeur algébrique. Selon le sens du courant, elle peut être positive (charge) ou négative
(décharge).
Relation entre charge, capacité du condensateur et tension à ses bornes
Soit un montage contenant un générateur de courant constant, une résistance et un condensateur.
Le graphique représentant la tension en fonction du temps du condensateur (Uc) à courant constant est une
droite passant par l’origine.
Ainsi, on a Uc(t)=kt avec k, un réel.
On sait notamment que i  dq
dt
On intègre pour trouver la primitve ce qui nous donne q(t)=it+A
Pour trouver A (constante d’intégration), on utilise les conditions initiales.
A t=0, on a q=0
Soit 0  i 0 A ðñ A  0
Egalisons les deux dernières égalités, on trouve que
Uc
k
 q
i
Soit q  i
k
Uc
On note C  i
k
; C est la capcité du condensateur et s’exprime en Farads (F)
On a la relation suivante : q  C Uc
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Constante de temps
Elle dépend de la valeur de la résistance R du conducteur ohmique et de la valeur de la capacité C du
condensateur.
τ  RC

 Détermination de la dimension de
Pour déterminer la dimension de RC, on fait une analyse dimensionnelle.
Rappel des grandeurs fondamentales :
Grandeur Dimension Unité (Système International)
Temps T seconde (s)
Intensité I Ampère (A)
On cherche à déterminer la dimension de RC :
τ  RC ðñ τ   rQs
rUs
ðñ τ  rQs
rIs
Or rIs  rQs
rT s
ðñ rQs
rIs
 rTs d’où τ  rTs
RC est donc homogène à une durée.
III. Réponse du dipôle RC à un échelon de tension : établissement des équations
différentielles
Cas de la charge d’un condensateur :
On réalise le circuit RC suivant (le condensateur est initialement déchargé) :
On cherche à modéliser l’équation différentielle de la charge du condensateur.
]Mise en équation différentielle :
A t=0, on ferme l’interrupteur K
On a la relation Uc Ur  E.
On sait que Ur  Ri et que i  dq
dt
.
D’où Ur  R
dq
dt
.
De plus, on a la relation q  C Uc.
Donc Ur  R
dC Uc
dt
ðñ Ur  RC
dUc
dt
car C est constante.
On a finalement l’équation suivante : RC
dUc
dt
Uc  E.
Fiche issue de http://www.ilephysique.net 2
Puis en divisant le tout par RC, on obtient :
dUc
dt
Uc
RC
 E
RC
Solution de l’équation différentielle :
La solution de cette équation différentielle est : Ucptq  E

1 e
t
RC
	
.
]Vérification :
dUc
dt
 0 p1 e
t
RC q E  1
RC
e
t
RC ðñ dUc
dt
 E
RC
e
t
RC
dUc
dt
Uc
RC
 E
RC
e
t
RC
E
RC
 E
RC
e
t
RC  E
RC
La solution est juste.
En ce qui concerne l’intensité :
On a la relation i  dq
dt
soit i  C
dUc
dt
En remplacant Uc par son expression, on trouve que
iptq  E
R
e
t
RC
Cas de la décharge d’un condensateur :
On réalise le circuit suivant (le condensateur est initialement chargé) :
Mise en équation différentielle :
On a la relation Uc Ur  0.
En procédant exactement de la même manière pour la tension aux bornes de la résistance durant la charge,
on trouve que l’équation différentielle est :
uc RC
duc
dt
 0 .
Solution de l’équation différentielle :
La solution de cette équation différentielle est : Ucptq  Ee
t
RC .
Vérification :
Ee
t
RC
RC
dUc
dt
 Ee
t
RC
RC
 Ee
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RC
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En ce qui concerne l’intensité :
On a la relation i  dq
dt
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IV. Résolutions graphiques des tensions du condensateur et intensité dans le
circuit
Tension du condensateur intensité du courant pendant la charge en fonction du temps :
La constante τ du circuit RC caractérise la vitesse de la charge du condensateur.
Il y a 3 méthodes pour la retrouver.
1er : On utilise la relation τ  RC
2ème : On trace la tangente à l’origine.τ est l’absicsse de l’intersection entre la tangente et la droite E.
3ème : Pendant la charge, on a Ucptq  Ep1 e
t
τ q.
Quand t  τ, on a Ucpτq  0, 63E
Lorsque t  τ, la tension du condensateur a atteint 63% de la tension du générateur (E).
Après de brefs calculs, on peut voir que lorsque t  5τ, la tension du condensateur a quasiment atteint E
(quasiment car la droite E est asymptote horizontale à la courbe).
On peut aperçevoir une discontinuité au temps t=0.
Tension du condensateur et intensité du courant pendant la décharge en fonction du temps :
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2ème : On trace la tangente à l’origine. τ est l’absicsse de l’intersection entre la tangente et l’axe des abscisses.
3ème : Pendant la décharge, on a Ucptq  Ee
t
τ
Quand t  τ, on a Ucpτq  0, 37E
Lorsque t  τ, la tension du condensateur a atteint 37% de la tension du générateur (E)
Après de brefs calculs, on peut voir que lorsque t  5τ, la tension du condensateur a quasiment atteint 0.
(quasiment car l’axe des absicsses est asymptote horizontale à la courbe).
On aperçoit une nouvelle fois la discontinuité au temps t=0.
La tension d’un condensateur est une fonction continue du temps.
L’intensité du courant dans un circuit RC est une fonction discontinue du temps.
V. Energie enmagasiné dans un condensateur.
L’énergie E enmagasiné dans un condensateur de capacité C et de tension U à ses bornes est donné par la
relation :
Ec  1
2
C U2
L’énergie s’exprime en Joule, la capacité du condensateur en Farads et la tension en Volt. [b]
Démonstration (hors programme) :
P  dE
dt
dE  P dt
dE  Ui dt
dE  U  dq
dt
dt
dE  U dq
dE  U dpCUq
dE  U CdU
dE
dU
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dU
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dU
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  • 1. Condensateurs et circuits RC I. Le condensateur : définition et propriétés Définition : Le condensateur est constitué de deux armatures métalliques séparées par un isolant appelé diélectrique. Représentation dans un montage L’intensité arrive sur l’armature positive et sort par l’armature négative. II. Le dipôle RC : Relation entre la charge et l’intensité du courant : L’intensité électrique correspond à la quantité de charges electriques qui traverse une section de conduc- teur par unité de temps. i dq dt La charge s’exprime en coulomb (C), l’intensité en ampère (A) et le temps en seconde (s). L’intensité est une grandeur algébrique. Selon le sens du courant, elle peut être positive (charge) ou négative (décharge). Relation entre charge, capacité du condensateur et tension à ses bornes Soit un montage contenant un générateur de courant constant, une résistance et un condensateur. Le graphique représentant la tension en fonction du temps du condensateur (Uc) à courant constant est une droite passant par l’origine. Ainsi, on a Uc(t)=kt avec k, un réel. On sait notamment que i dq dt On intègre pour trouver la primitve ce qui nous donne q(t)=it+A Pour trouver A (constante d’intégration), on utilise les conditions initiales. A t=0, on a q=0 Soit 0 i 0 A ðñ A 0 Egalisons les deux dernières égalités, on trouve que Uc k q i Soit q i k Uc On note C i k ; C est la capcité du condensateur et s’exprime en Farads (F) On a la relation suivante : q C Uc Fiche issue de http://www.ilephysique.net 1
  • 2. Constante de temps Elle dépend de la valeur de la résistance R du conducteur ohmique et de la valeur de la capacité C du condensateur. τ RC Détermination de la dimension de Pour déterminer la dimension de RC, on fait une analyse dimensionnelle. Rappel des grandeurs fondamentales : Grandeur Dimension Unité (Système International) Temps T seconde (s) Intensité I Ampère (A) On cherche à déterminer la dimension de RC : τ RC ðñ τ rQs rUs ðñ τ rQs rIs Or rIs rQs rT s ðñ rQs rIs rTs d’où τ rTs RC est donc homogène à une durée. III. Réponse du dipôle RC à un échelon de tension : établissement des équations différentielles Cas de la charge d’un condensateur : On réalise le circuit RC suivant (le condensateur est initialement déchargé) : On cherche à modéliser l’équation différentielle de la charge du condensateur. ]Mise en équation différentielle : A t=0, on ferme l’interrupteur K On a la relation Uc Ur E. On sait que Ur Ri et que i dq dt . D’où Ur R dq dt . De plus, on a la relation q C Uc. Donc Ur R dC Uc dt ðñ Ur RC dUc dt car C est constante. On a finalement l’équation suivante : RC dUc dt Uc E. Fiche issue de http://www.ilephysique.net 2
  • 3. Puis en divisant le tout par RC, on obtient : dUc dt Uc RC E RC Solution de l’équation différentielle : La solution de cette équation différentielle est : Ucptq E 1 e t RC . ]Vérification : dUc dt 0 p1 e t RC q E 1 RC e t RC ðñ dUc dt E RC e t RC dUc dt Uc RC E RC e t RC E RC E RC e t RC E RC La solution est juste. En ce qui concerne l’intensité : On a la relation i dq dt soit i C dUc dt En remplacant Uc par son expression, on trouve que iptq E R e t RC Cas de la décharge d’un condensateur : On réalise le circuit suivant (le condensateur est initialement chargé) : Mise en équation différentielle : On a la relation Uc Ur 0. En procédant exactement de la même manière pour la tension aux bornes de la résistance durant la charge, on trouve que l’équation différentielle est : uc RC duc dt 0 . Solution de l’équation différentielle : La solution de cette équation différentielle est : Ucptq Ee t RC . Vérification : Ee t RC RC dUc dt Ee t RC RC Ee t RC RC 0. La solution est juste. En ce qui concerne l’intensité : On a la relation i dq dt soit i C dUc dt En remplacant Uc par son expression, on trouve que iptq E R e t RC Fiche issue de http://www.ilephysique.net 3
  • 4. IV. Résolutions graphiques des tensions du condensateur et intensité dans le circuit Tension du condensateur intensité du courant pendant la charge en fonction du temps : La constante τ du circuit RC caractérise la vitesse de la charge du condensateur. Il y a 3 méthodes pour la retrouver. 1er : On utilise la relation τ RC 2ème : On trace la tangente à l’origine.τ est l’absicsse de l’intersection entre la tangente et la droite E. 3ème : Pendant la charge, on a Ucptq Ep1 e t τ q. Quand t τ, on a Ucpτq 0, 63E Lorsque t τ, la tension du condensateur a atteint 63% de la tension du générateur (E). Après de brefs calculs, on peut voir que lorsque t 5τ, la tension du condensateur a quasiment atteint E (quasiment car la droite E est asymptote horizontale à la courbe). On peut aperçevoir une discontinuité au temps t=0. Tension du condensateur et intensité du courant pendant la décharge en fonction du temps : Fiche issue de http://www.ilephysique.net 4
  • 5. La constante τ du circuit RC caractérise la vitesse de la charge du condensateur. Il y a 3 méthodes pour la retrouver. 1er : On utilise la relation τ RC 2ème : On trace la tangente à l’origine. τ est l’absicsse de l’intersection entre la tangente et l’axe des abscisses. 3ème : Pendant la décharge, on a Ucptq Ee t τ Quand t τ, on a Ucpτq 0, 37E Lorsque t τ, la tension du condensateur a atteint 37% de la tension du générateur (E) Après de brefs calculs, on peut voir que lorsque t 5τ, la tension du condensateur a quasiment atteint 0. (quasiment car l’axe des absicsses est asymptote horizontale à la courbe). On aperçoit une nouvelle fois la discontinuité au temps t=0. La tension d’un condensateur est une fonction continue du temps. L’intensité du courant dans un circuit RC est une fonction discontinue du temps. V. Energie enmagasiné dans un condensateur. L’énergie E enmagasiné dans un condensateur de capacité C et de tension U à ses bornes est donné par la relation : Ec 1 2 C U2 L’énergie s’exprime en Joule, la capacité du condensateur en Farads et la tension en Volt. [b] Démonstration (hors programme) : P dE dt dE P dt dE Ui dt dE U dq dt dt dE U dq dE U dpCUq dE U CdU dE dU U CdU dU dE dU UC D’où E 1 2 C U2 Fiche issue de http://www.ilephysique.net 5