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Comportement et 
dimensionnement 
des poutres 
Conception de structures 
Automne 2012 
R. Pleau 
École d’architecture, Université Laval
Calcul des 
efforts internes 
dans une poutre
3 Calcul des efforts internes 
dans une poutre 
40 kN/m 
8 m 
160 kN 160 kN 
DCL 
poutre entière 
Pour calculer les efforts internes à 
l’intérieur d’une poutre il suffit de tracer 
le diagramme de corps libre (DCL) 
d’une partie tronquée de la poutre et de 
calculer l’équilibre statique des forces à 
cet endroit. 
40 kN/m 
2 m 
DCL 
a M 
poutre tronquée 
160 kN 
V 
DCL 
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poutre tronquée 
a 
2 m 
160 kN 
V 
M 
1 m 
a 
Pour prendre en 
compte la charge 
uniformément répartie, 
on peut la remplacer 
par une charge 
résultante équivalente 
placée au centre de 
gravité du rectangle.
4 Calcul des efforts internes 
dans une poutre 
40 kN/m 
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160 kN 160 kN 
DCL 
poutre entière 
Par exemple, pour la poutre illustrée ci-contre, 
on obtient les efforts au quart de la portée de 
la façon suivante : 
Σ Fv = 0 d’où : 
160 - 80 + V = 0 à V = - 80 kN 
DCL 
80 kN 
poutre tronquée 
a 
2 m 
160 kN 
V 
M 
1 m 
a 
Σ Ma = 0 d’où : 
- (160 kN x 2 m) + (80 kN x 1 m) + M = 0 
M = 240 kN-m
Nature des efforts internes 5 
Les forces V et M que nous venons de calculer sont des efforts internes qui 
sont induits dans la poutre afin de préserver son équilibre statique. 
La force V est ce que l’on appelle l’effort tranchant et il est exprimé en kN. 
Cet effort induit des contraintes de cisaillement dans la poutre et la rupture 
survient lorsque ces contraintes excèdent la résistance en cisaillement du 
matériau. 
Le moment fléchissant (M) est exprimé en kN-m. Cet effort de flexion 
génère des contraintes de compression et de tension dans l’axe 
horizontal qui atteignent une valeur maximale aux fibres extrêmes de la poutre. 
La rupture survient lorsque ces contraintes excèdent la résistance à la 
compression ou à la tension du matériau.
Effort 
tranchant 
6
Efforts internes dans une poutre 7 
Considérons une poutre simplement 
appuyée qui supporte une charge 
concentrée au centre de la portée. 
Si on coupe la poutre à une distance x 
de l’appui gauche et que l’on trace le 
DCL de la poutre tronquée on obtient 
les efforts internes (V er M) dans la 
poutre à cet endroit:
Effort tranchant (V) 8 
Imaginons que la poutre soit 
constituée d’une multitude de 
petites tranches verticales placées 
les unes à côté des autres: 
Sous l’action de la force 
externe P, les tranches auront 
tendance à glisser les unes p/r 
aux autres: 
L’effort tranchant est la résultante des contraintes de friction qui s’exercent 
entre les tranches pour préserver leur équilibre statique.
Effort tranchant (V) 9 
Isolons une tranche sur la poutre. 
La force externe induit des 
contraintes internes de cisaillement, 
v, qui génèrent une friction interne 
verticale et empêche les tranches 
de glisser les unes p/r aux autres. 
v v 
V 
V 
La somme de toutes ces contraintes v (exprimées 
kN/m2) multipliées par la section de la poutre 
(exprimée en m2) produisent une force interne 
verticale qui est égale à l’effort tranchant V 
(exprimé en kN) et qui préserve l’équilibre statique 
translationnel dans l’axe vertical (Σ Fv = 0)
Effort tranchant (V) 10 
Revenons maintenant à notre poutre tronquée et isolons une petit élément de 
matière sur la face de la coupe. On remarque que les contraintes verticales de 
cisaillement sont égales mais de directions opposées ce qui assure l’équilibre 
statique translationnel dans l’axe vertical. 
Cependant, les deux forces v produisent un moment p/r au point a qui impose 
une rotation du cube dans le sens horaire. L’équilibre rotationnel n’est donc 
pas assuré.
Effort tranchant (V) 11 
Pour préserver l’équilibre rotationnel, il est nécessaire de 
générer des contraintes de cisaillement horizontales qui 
produiront un moment p/r au point a qui imposera une 
rotation du cube dans le sens anti-horaire pour annuler l’effet 
des contraintes de cisaillement verticales et assurer l’équilibre 
statique rotationnel.
Effort tranchant (V) 12 
Imaginons maintenant que la 
poutre soit constituée d’une 
multitude de petites tranches 
horizontales placées les unes 
par-dessus les autres: 
Sous l’effet de la charge externe P, 
la poutre va fléchir et les tranches 
auront tendance à glisser les unes 
p/r au autres. Ce glissement sera 
empêché par les efforts de friction 
internes associés aux contraintes 
de cisaillement dans le plan 
horizontal.
Effort tranchant (V) 13 
En effet, les contraintes de 
cisaillement dans le plan 
horizontal empêchent les 
tranches horizontales de la 
poutre de glisser les unes p/r 
aux autres. 
v 
v v 
v
Effort tranchant (V) 14 
Revenons encore une fois à notre poutre tronquée et isolons deux petits 
éléments de matière sur la face de la coupe. L’un de ces éléments est placé 
au centre de la poutre et l’autre à son extrémité supérieure. 
On constate que le cisaillement est forcément nul à la 
fibre supérieure et qu’il sera maximal au centre de la 
poutre. En fait, pour une section rectangulaire, la 
distribution des contraintes de cisaillement suit un 
profil parabolique:
15 
Exemple de rupture d’une poutre de bois provoquée 
par les efforts de cisaillement horizontal
Effort tranchant (V) 16 
Si on examine attentivement le petit élément de matière, on constate que, sous l’action 
des forces de cisaillement, le carré initial se déforme pour devenir un parallépipède. 
On remarque que les deux contraintes de cisaillement dans le coin supérieur 
gauche, ainsi que les deux contraintes de cisaillement dans le coin inférieur droit 
se combinent pour créer une force résultante de tension le long d’une diagonale. 
De la même façon les deux contraintes de cisaillement dans le coin inférieur gauche, 
ainsi que les deux contraintes de cisaillement dans le coin supérieur droit se 
combinent pour créer une force résultante de compression le long de l’autre 
diagonale. 
Pour les matériaux possédant une 
faible résistante à la tension, comme 
le béton, l’effort de tension dans l’axe 
diagonal peut alors provoquer la 
rupture de la poutre. 
v 
v v 
v 
v 
v v 
v 
compression 
compression 
tension 
tension
17 
tension 
tension 
Exemple de rupture d’une poutre en béton provoquée 
par l’effort tranchant (V)
Moment 
fléchissant 
18
Moment fléchissant (M) 19 
Considérons une poutre simplement 
appuyée et imaginons une mince 
tranche verticale au milieu de la 
poutre. Avant l’application des 
charges, cette tranche est de forme 
rectangulaire. 
P 
P 
2 
P 
2 
Lorsque la poutre va être soumise à 
une charge externe, la tranche va se 
déformer pour devenir un élément 
prismatique où les deux faces 
latérales vont demeurer rectilignes en 
s’inclinant p/r à la verticale.
Moment fléchissant (M) 20 
La figure ci-contre montre le profil de déformation sur 
la hauteur de la tranche considérée. 
On peut identifier un axe neutre au centre de la 
poutre pour lesquelles les fibres horizontales ne 
subiront aucune déformation. 
Toutes les fibres horizontales situées au-dessus de 
l’axe neutre subiront un raccourcissement et seront 
donc comprimées. 
P 
P 
2 
P 
2 
profil initial 
axe neutre 
profil final 
axe neutre 
compression 
Toutes les fibres horizontales situées en-dessous de 
l’axe neutre subiront un allongement et seront donc 
tendues. 
tension
Moment fléchissant (M) 21 
Si on reconsidère notre poutre tronquée en ne prenant en compte que le 
moment fléchissant (M), on constate que ce moment induit des contraintes de 
compression dans le haut de la poutre et de tension dans le bas de la poutre. Il 
en résulte deux forces horizontales internes F, de direction opposée (Σ Fh = 0) 
séparées l’une de l’autre par un bras de levier interne (d). Ces forces génèrent 
un moment interne (M = F d) qui équilibre le moment externe (M = Px/2) et 
assure l’équilibre statique rotationnel.
Moment fléchissant (M) 22 
On remarque que, plus la matière est placée loin de l’axe neutre, plus la 
contrainte est élevée et plus le bras de levier est grand. La résistance en 
flexion d’une poutre sera donc grandement influencée par la géométrie de sa 
section. 
Plus la matière est située loin de l’axe neutre, plus elle est efficace 
pour résister aux efforts de flexion. 
axe neutre
Moment fléchissant (M) 23 
Par exemple, les deux poutres ci-dessous contiennent approximativement la 
même quantité de matériau mais la poutre en forme de I est beaucoup plus 
efficace que la poutre circulaire parce que la matière est concentrée loin de 
l’axe neutre.
24 
compression compression 
tension tension 
axe neutre 
Exemple de rupture en flexion d’une poutre en béton
Diagrammes 
des efforts 
internes 
25
Diagramme des efforts internes 26 
Comme nous l’avons vu au début de cette présentation, on peut 
calculer les efforts internes (V et M) sur n’importe quelle section 
d’une poutre en traçant le diagramme de corps libre d’une partie 
tronquée de la poutre et en faisant l’équilibre statique des forces à 
cet endroit. 
Si on effectue ce calcul sur plusieurs points de la poutre, on peut 
tracer le diagramme des efforts internes qui est une 
représentation graphique des efforts internes tout le long de la 
poutre. Ce diagramme nous permet d’identifier les sections de la 
poutre où les efforts internes sont maximaux.
Diagramme des efforts internes 27 
Le traçage manuel du diagramme des efforts internes d’une poutre 
est une opération fastidieuse car elle nous oblige à calculer 
l’équilibre statique des forces en plusieurs points de la poutre. 
Pour les cas les plus courants, on peut retrouver les diagrammes 
d’efforts internes dans plusieurs ouvrages comme par exemple le 
Handbook of Steel Construction publié par l’Institut canadien de 
l’acier. 
Pour les cas plus complexes, ces diagrammes peuvent être 
obtenus facilement en utilisant un logiciel spécialisé, comme par 
exemple le logiciel DrBeamPro. Cela fera l’objet du prochain 
podcast.
Convention de signe 28 
Effort tranchant 
effort 
tranchant 
positif 
effort 
tranchant 
négatif 
Moment fléchissant 
moment 
fléchissant 
positif 
moment 
fléchissant 
négatif
Vmax = w L 
2 
Mmax = w L2 29 
8 
w (kN/m) 
L 
Mmax 
Vmax 
Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement 
appuyée et supportant une charge uniformément répartie 
Vmax 
wL 
2 
wL 
2
30 
P (kN) 
L 
Mmax 
Vmax 
Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée 
et supportant une charge concentrée au centre de la portée 
Vmax 
Vmax = P 
2 
Mmax = P L 
4 
P2 P2
31 
P (kN) 
P (kN) 
L 
Vmax 
Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée 
et supportant deux charges concentrées au tiers de la portée 
Vmax 
Vmax = P 
P P 
Mmax 
Mmax = P L 
3
32 
P (kN) 
P (kN) 
L 
3P 
2 
Vmax 
3P 
2 
Vmax 
Mmax 
Vmax = 3P 
2 
Mmax = P L 
2 
P (kN) 
Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée 
et supportant deux charges concentrées au tiers de la portée
Efforts 
résistants 
33
Efforts résistants 34 
Pour chaque poutre, on peut calculer deux efforts résistants (Vr et Mr) qui sont 
définis comme suit: 
Vr = effort tranchant maximal (exprimé en kN) qu’une poutre peut supporter 
sans se rompre 
Mr = moment fléchissant maximal (exprimé en kN-m) qu’une poutre peut 
supporter sans se rompre 
Les efforts résistants sont atteints lorsque la contrainte maximale de cisaillement 
ou la contrainte maximale de flexion induite dans la poutre excède la résistance 
du matériau. 
Les efforts résistants sont donc fonction de deux paramètres: 
1. la résistance du matériau 
2. la géométrie de la section de la poutre
Effort tranchant résistant (Vr) 35 
L’effort tranchant résistant peut être calculé de la façon suivante: 
Vr = Φ Fv k A 
où: 
Vr = effort tranchant résistant (kN) 
propriétés géométriques 
de la section 
Φ = coefficient de tenue (prend en compte la variabilité du matériau) 
= 0,9 pour l’acier et le bois 
= 0,6 pour le béton 
A = aire de la section (mm2) 
Fv = contrainte admissible en cisaillement (MPa) 
k = coefficient relié à la géométrie de la section 
= 0.67 pour une section rectangulaire 
propriétés du 
matériau
Importance de la géométrie 
de la section 36 
La profil des efforts de cisaillement sur une section de poutre est fonction de 
la géométrie de la section. 
poutre rectangulaire poutre en forme de I 
Plus les efforts de cisaillement sont répartis uniformément sur toute la hauteur 
de la poutre, plus sa résistance est élevée à l’égard de l’effort tranchant.
Moment résistant (Mr) 37 
Le moment résistant peut être calculé de la façon suivante: 
où: 
Mr = Φ Fy I 
c 
Mr = moment résistant (kN-m) 
propriétés géométriques 
de la section 
propriétés 
du matériau 
Φ = coefficient de tenue (prend en compte la variabilité du matériau) 
= 0,9 pour l’acier et le bois 
= 0,6 pour le béton 
I = moment d’inertie de la section (mm4) 
Fy = contrainte admissible en flexion (MPa) 
c = distance entre l’axe neutre et la fibre extrême (mm)
Moment d’inertie 38 
Le moment d’inertie est une propriété géométrique des sections qui mesure la 
résistance qu’un corps oppose aux déformations de flexion. 
Par exemple, pour une section rectangulaire, on a que : 
c 
axe neutre d 
Il faut retenir que: 
I = b d3 
12 
b 
plus la matière est située loin de l’axe neutre, 
plus le moment d’inertie est élevé
Résistance des matériaux 39 
Contrainte admissible (MPa) 
Matériau Cisaillement Flexion 
Acier de charpente 
Bois lamellé-collé 
Béton armé 
235 
1,75 
1 
350 
25,6 
20 à 40
Déformations 
des poutres 
40
Fléchissement des poutres 41 
Sous l’effet des charges, les poutres subissent un fléchissement (i.e. des 
déformations verticales appelées flèches). Si ces déformations sont trop 
importantes elles peuvent occasionner: 
- un inconfort pour les usagers; 
- des vibrations gênantes; 
- des défauts esthétiques (mauvais alignements, fissures, etc.); 
- le bris d’éléments de finition (cloisons sèches, parois de verre 
revêtements (gypse, plâtre, tuiles de plancher, etc.); 
- des problèmes fonctionnels (par exemple un mauvais 
fonctionnement des portes et fenêtres). 
flèche ( ) 
charge
Déformations causées par les 
charges mortes 42 
Habituellement les charges mortes ne causent pas de problèmes car elles sont 
imperceptibles pour les usagers et surviennent avant la construction des 
éléments de finition (cloisons sèches, parois de verre, revêtements de 
plancher,etc.) 
De plus, lorsque ces déformations sont trop grandes, on peut les contrôler en 
imposant une cambrure à la poutre (i.e. une déformation verticale égale à la 
flèche qui sera provoquée par les charges mortes. 
cambrure 
avant l’application 
de la charge morte 
charge 
après l’application 
de la charge morte
Déformations causées par les 
charges vives 43 
Ce sont donc essentiellement les flèches causées par les charges vives qui 
causent problème dans les bâtiments. Le C.N.B. exige que les flèches 
maximales causées par les charges vives non-majorées* n’excèdent pas 
les valeurs suivantes (où L représente la portée de la poutre): 
Élément 
Flèche maximale 
autorisée 
Toiture 
Plancher ne supportant pas 
d’éléments de finition 
Plancher supportant des éléments de 
finition 
L/180 
L/240 
L/360 
* on ne majore pas les charges vives pour le calcul des flèches car ces 
déformations ne menacent en rien la sécurité des occupants
Fléchissement des poutres 44 
Module élastique 
Matériau E (MPa) 
Acier de charpente 
Bois lamellé-collé 
Béton armé 
200 000 
13 100 
30 000 
La déformation des poutres est 
directement proportionnelle à la charge 
appliquée et indirectement 
proportionnelle à leur rigidité. 
rigidité = E x I 
où E = module élastique 
(propriété du matériau) 
et I = moment d’inertie 
(géométrie de la section)
45 
max = 5 wL4 
384 EI 
w (kN/m) 
L 
Mmax 
Mmax = w L2 
8 
Vmax 
Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et 
supportant une charge uniformément répartie 
Vmax 
Vmax = w L 
2 
wL 
2 
wL 
2
Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée 
et supportant une charge concentrée au centre de la portée 
46 
max = PL3 
48 EI 
P (kN) 
L 
Mmax 
Vmax 
Vmax 
Vmax = w 
2 
Mmax = P L 
4 
P2 P2
P (kN) 
Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée 
et supportant deux charges concentrées au tiers de la portée 
47 
max = 23 PL3 
648 EI 
P (kN) 
L 
Vmax 
Vmax 
Vmax = P 
P P 
Mmax 
Mmax = P L 
3
48 
P (kN) 
P (kN) 
L 
3P 
2 
Vmax 
3P 
2 
Vmax 
Mmax 
max= 19 PL3 
384 EI 
Vmax = 3P 
2 
Mmax = P L 
2 
P (kN) 
Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée 
et supportant deux charges concentrées au tiers de la portée
Dimensionnement 
des poutres 
49
Dimensionnement d’une poutre 50 
Pour dimensionner une poutre, on suit les étapes suivantes: 
1. On calcule les charges supportées par la poutre. 
2. On trace le diagramme des efforts internes - à partir des schémas 
précédents, pour les cas de charge courants, ou en utilisant le logiciel 
DrBeamPro - et on calcule les efforts maximaux Vf et Mf provoqués par 
l’application des charges totales majorées. 
L’utilisation de DrBeamPro fait l’objet d’un autre podcast.
Dimensionnement d’une poutre 51 
3. On choisit un profilé en acier ou en bois lamellé-collé qui 
respecte les deux conditions suivantes: 
Vr > Vf et Mr > Mf 
Pour les profilés standard disponibles au Canada, on peut 
choisir un profilé très facilement en consultant un tableau qui 
est donné dans le document intitulé «Tables de sélection de 
profilés standard» et disponible sur le site du cours. 
L’utilisation de ce document fait l’objet d’un autre podcast. 
On peut aussi concevoir un profilé sur mesure en utilisant les feuilles 
excel conçues à cet effet et disponibles sur le site de cours. 
Cela fait aussi l’objet d’un autre podcast
Dimensionnement d’une poutre 52 
4. À l’aide de DrBeamPro on calcule la flèche maximale causée 
par la charge vive non-majorée ( max) et on vérifie que cette 
flèche est inférieure à la flèche maximale autorisée par le 
C.N.B. ( adm). 
5. Si la flèche est trop grande, on choisit un autre profilé qui 
possède un plus grand moment d’inertie (I). Le moment 
d’inertie requis (Irequis) peut être obtenu à l’aide d’une simple 
règle de trois : 
Irequis = Ipremier profilé x max 
adm 
Un autre podcast donne un exemple détaillé du processus 
qui mène au dimensionnement des poutres

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8 poutres

  • 1. Comportement et dimensionnement des poutres Conception de structures Automne 2012 R. Pleau École d’architecture, Université Laval
  • 2. Calcul des efforts internes dans une poutre
  • 3. 3 Calcul des efforts internes dans une poutre 40 kN/m 8 m 160 kN 160 kN DCL poutre entière Pour calculer les efforts internes à l’intérieur d’une poutre il suffit de tracer le diagramme de corps libre (DCL) d’une partie tronquée de la poutre et de calculer l’équilibre statique des forces à cet endroit. 40 kN/m 2 m DCL a M poutre tronquée 160 kN V DCL 80 kN poutre tronquée a 2 m 160 kN V M 1 m a Pour prendre en compte la charge uniformément répartie, on peut la remplacer par une charge résultante équivalente placée au centre de gravité du rectangle.
  • 4. 4 Calcul des efforts internes dans une poutre 40 kN/m 8 m 160 kN 160 kN DCL poutre entière Par exemple, pour la poutre illustrée ci-contre, on obtient les efforts au quart de la portée de la façon suivante : Σ Fv = 0 d’où : 160 - 80 + V = 0 à V = - 80 kN DCL 80 kN poutre tronquée a 2 m 160 kN V M 1 m a Σ Ma = 0 d’où : - (160 kN x 2 m) + (80 kN x 1 m) + M = 0 M = 240 kN-m
  • 5. Nature des efforts internes 5 Les forces V et M que nous venons de calculer sont des efforts internes qui sont induits dans la poutre afin de préserver son équilibre statique. La force V est ce que l’on appelle l’effort tranchant et il est exprimé en kN. Cet effort induit des contraintes de cisaillement dans la poutre et la rupture survient lorsque ces contraintes excèdent la résistance en cisaillement du matériau. Le moment fléchissant (M) est exprimé en kN-m. Cet effort de flexion génère des contraintes de compression et de tension dans l’axe horizontal qui atteignent une valeur maximale aux fibres extrêmes de la poutre. La rupture survient lorsque ces contraintes excèdent la résistance à la compression ou à la tension du matériau.
  • 7. Efforts internes dans une poutre 7 Considérons une poutre simplement appuyée qui supporte une charge concentrée au centre de la portée. Si on coupe la poutre à une distance x de l’appui gauche et que l’on trace le DCL de la poutre tronquée on obtient les efforts internes (V er M) dans la poutre à cet endroit:
  • 8. Effort tranchant (V) 8 Imaginons que la poutre soit constituée d’une multitude de petites tranches verticales placées les unes à côté des autres: Sous l’action de la force externe P, les tranches auront tendance à glisser les unes p/r aux autres: L’effort tranchant est la résultante des contraintes de friction qui s’exercent entre les tranches pour préserver leur équilibre statique.
  • 9. Effort tranchant (V) 9 Isolons une tranche sur la poutre. La force externe induit des contraintes internes de cisaillement, v, qui génèrent une friction interne verticale et empêche les tranches de glisser les unes p/r aux autres. v v V V La somme de toutes ces contraintes v (exprimées kN/m2) multipliées par la section de la poutre (exprimée en m2) produisent une force interne verticale qui est égale à l’effort tranchant V (exprimé en kN) et qui préserve l’équilibre statique translationnel dans l’axe vertical (Σ Fv = 0)
  • 10. Effort tranchant (V) 10 Revenons maintenant à notre poutre tronquée et isolons une petit élément de matière sur la face de la coupe. On remarque que les contraintes verticales de cisaillement sont égales mais de directions opposées ce qui assure l’équilibre statique translationnel dans l’axe vertical. Cependant, les deux forces v produisent un moment p/r au point a qui impose une rotation du cube dans le sens horaire. L’équilibre rotationnel n’est donc pas assuré.
  • 11. Effort tranchant (V) 11 Pour préserver l’équilibre rotationnel, il est nécessaire de générer des contraintes de cisaillement horizontales qui produiront un moment p/r au point a qui imposera une rotation du cube dans le sens anti-horaire pour annuler l’effet des contraintes de cisaillement verticales et assurer l’équilibre statique rotationnel.
  • 12. Effort tranchant (V) 12 Imaginons maintenant que la poutre soit constituée d’une multitude de petites tranches horizontales placées les unes par-dessus les autres: Sous l’effet de la charge externe P, la poutre va fléchir et les tranches auront tendance à glisser les unes p/r au autres. Ce glissement sera empêché par les efforts de friction internes associés aux contraintes de cisaillement dans le plan horizontal.
  • 13. Effort tranchant (V) 13 En effet, les contraintes de cisaillement dans le plan horizontal empêchent les tranches horizontales de la poutre de glisser les unes p/r aux autres. v v v v
  • 14. Effort tranchant (V) 14 Revenons encore une fois à notre poutre tronquée et isolons deux petits éléments de matière sur la face de la coupe. L’un de ces éléments est placé au centre de la poutre et l’autre à son extrémité supérieure. On constate que le cisaillement est forcément nul à la fibre supérieure et qu’il sera maximal au centre de la poutre. En fait, pour une section rectangulaire, la distribution des contraintes de cisaillement suit un profil parabolique:
  • 15. 15 Exemple de rupture d’une poutre de bois provoquée par les efforts de cisaillement horizontal
  • 16. Effort tranchant (V) 16 Si on examine attentivement le petit élément de matière, on constate que, sous l’action des forces de cisaillement, le carré initial se déforme pour devenir un parallépipède. On remarque que les deux contraintes de cisaillement dans le coin supérieur gauche, ainsi que les deux contraintes de cisaillement dans le coin inférieur droit se combinent pour créer une force résultante de tension le long d’une diagonale. De la même façon les deux contraintes de cisaillement dans le coin inférieur gauche, ainsi que les deux contraintes de cisaillement dans le coin supérieur droit se combinent pour créer une force résultante de compression le long de l’autre diagonale. Pour les matériaux possédant une faible résistante à la tension, comme le béton, l’effort de tension dans l’axe diagonal peut alors provoquer la rupture de la poutre. v v v v v v v v compression compression tension tension
  • 17. 17 tension tension Exemple de rupture d’une poutre en béton provoquée par l’effort tranchant (V)
  • 19. Moment fléchissant (M) 19 Considérons une poutre simplement appuyée et imaginons une mince tranche verticale au milieu de la poutre. Avant l’application des charges, cette tranche est de forme rectangulaire. P P 2 P 2 Lorsque la poutre va être soumise à une charge externe, la tranche va se déformer pour devenir un élément prismatique où les deux faces latérales vont demeurer rectilignes en s’inclinant p/r à la verticale.
  • 20. Moment fléchissant (M) 20 La figure ci-contre montre le profil de déformation sur la hauteur de la tranche considérée. On peut identifier un axe neutre au centre de la poutre pour lesquelles les fibres horizontales ne subiront aucune déformation. Toutes les fibres horizontales situées au-dessus de l’axe neutre subiront un raccourcissement et seront donc comprimées. P P 2 P 2 profil initial axe neutre profil final axe neutre compression Toutes les fibres horizontales situées en-dessous de l’axe neutre subiront un allongement et seront donc tendues. tension
  • 21. Moment fléchissant (M) 21 Si on reconsidère notre poutre tronquée en ne prenant en compte que le moment fléchissant (M), on constate que ce moment induit des contraintes de compression dans le haut de la poutre et de tension dans le bas de la poutre. Il en résulte deux forces horizontales internes F, de direction opposée (Σ Fh = 0) séparées l’une de l’autre par un bras de levier interne (d). Ces forces génèrent un moment interne (M = F d) qui équilibre le moment externe (M = Px/2) et assure l’équilibre statique rotationnel.
  • 22. Moment fléchissant (M) 22 On remarque que, plus la matière est placée loin de l’axe neutre, plus la contrainte est élevée et plus le bras de levier est grand. La résistance en flexion d’une poutre sera donc grandement influencée par la géométrie de sa section. Plus la matière est située loin de l’axe neutre, plus elle est efficace pour résister aux efforts de flexion. axe neutre
  • 23. Moment fléchissant (M) 23 Par exemple, les deux poutres ci-dessous contiennent approximativement la même quantité de matériau mais la poutre en forme de I est beaucoup plus efficace que la poutre circulaire parce que la matière est concentrée loin de l’axe neutre.
  • 24. 24 compression compression tension tension axe neutre Exemple de rupture en flexion d’une poutre en béton
  • 25. Diagrammes des efforts internes 25
  • 26. Diagramme des efforts internes 26 Comme nous l’avons vu au début de cette présentation, on peut calculer les efforts internes (V et M) sur n’importe quelle section d’une poutre en traçant le diagramme de corps libre d’une partie tronquée de la poutre et en faisant l’équilibre statique des forces à cet endroit. Si on effectue ce calcul sur plusieurs points de la poutre, on peut tracer le diagramme des efforts internes qui est une représentation graphique des efforts internes tout le long de la poutre. Ce diagramme nous permet d’identifier les sections de la poutre où les efforts internes sont maximaux.
  • 27. Diagramme des efforts internes 27 Le traçage manuel du diagramme des efforts internes d’une poutre est une opération fastidieuse car elle nous oblige à calculer l’équilibre statique des forces en plusieurs points de la poutre. Pour les cas les plus courants, on peut retrouver les diagrammes d’efforts internes dans plusieurs ouvrages comme par exemple le Handbook of Steel Construction publié par l’Institut canadien de l’acier. Pour les cas plus complexes, ces diagrammes peuvent être obtenus facilement en utilisant un logiciel spécialisé, comme par exemple le logiciel DrBeamPro. Cela fera l’objet du prochain podcast.
  • 28. Convention de signe 28 Effort tranchant effort tranchant positif effort tranchant négatif Moment fléchissant moment fléchissant positif moment fléchissant négatif
  • 29. Vmax = w L 2 Mmax = w L2 29 8 w (kN/m) L Mmax Vmax Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et supportant une charge uniformément répartie Vmax wL 2 wL 2
  • 30. 30 P (kN) L Mmax Vmax Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et supportant une charge concentrée au centre de la portée Vmax Vmax = P 2 Mmax = P L 4 P2 P2
  • 31. 31 P (kN) P (kN) L Vmax Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et supportant deux charges concentrées au tiers de la portée Vmax Vmax = P P P Mmax Mmax = P L 3
  • 32. 32 P (kN) P (kN) L 3P 2 Vmax 3P 2 Vmax Mmax Vmax = 3P 2 Mmax = P L 2 P (kN) Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et supportant deux charges concentrées au tiers de la portée
  • 34. Efforts résistants 34 Pour chaque poutre, on peut calculer deux efforts résistants (Vr et Mr) qui sont définis comme suit: Vr = effort tranchant maximal (exprimé en kN) qu’une poutre peut supporter sans se rompre Mr = moment fléchissant maximal (exprimé en kN-m) qu’une poutre peut supporter sans se rompre Les efforts résistants sont atteints lorsque la contrainte maximale de cisaillement ou la contrainte maximale de flexion induite dans la poutre excède la résistance du matériau. Les efforts résistants sont donc fonction de deux paramètres: 1. la résistance du matériau 2. la géométrie de la section de la poutre
  • 35. Effort tranchant résistant (Vr) 35 L’effort tranchant résistant peut être calculé de la façon suivante: Vr = Φ Fv k A où: Vr = effort tranchant résistant (kN) propriétés géométriques de la section Φ = coefficient de tenue (prend en compte la variabilité du matériau) = 0,9 pour l’acier et le bois = 0,6 pour le béton A = aire de la section (mm2) Fv = contrainte admissible en cisaillement (MPa) k = coefficient relié à la géométrie de la section = 0.67 pour une section rectangulaire propriétés du matériau
  • 36. Importance de la géométrie de la section 36 La profil des efforts de cisaillement sur une section de poutre est fonction de la géométrie de la section. poutre rectangulaire poutre en forme de I Plus les efforts de cisaillement sont répartis uniformément sur toute la hauteur de la poutre, plus sa résistance est élevée à l’égard de l’effort tranchant.
  • 37. Moment résistant (Mr) 37 Le moment résistant peut être calculé de la façon suivante: où: Mr = Φ Fy I c Mr = moment résistant (kN-m) propriétés géométriques de la section propriétés du matériau Φ = coefficient de tenue (prend en compte la variabilité du matériau) = 0,9 pour l’acier et le bois = 0,6 pour le béton I = moment d’inertie de la section (mm4) Fy = contrainte admissible en flexion (MPa) c = distance entre l’axe neutre et la fibre extrême (mm)
  • 38. Moment d’inertie 38 Le moment d’inertie est une propriété géométrique des sections qui mesure la résistance qu’un corps oppose aux déformations de flexion. Par exemple, pour une section rectangulaire, on a que : c axe neutre d Il faut retenir que: I = b d3 12 b plus la matière est située loin de l’axe neutre, plus le moment d’inertie est élevé
  • 39. Résistance des matériaux 39 Contrainte admissible (MPa) Matériau Cisaillement Flexion Acier de charpente Bois lamellé-collé Béton armé 235 1,75 1 350 25,6 20 à 40
  • 41. Fléchissement des poutres 41 Sous l’effet des charges, les poutres subissent un fléchissement (i.e. des déformations verticales appelées flèches). Si ces déformations sont trop importantes elles peuvent occasionner: - un inconfort pour les usagers; - des vibrations gênantes; - des défauts esthétiques (mauvais alignements, fissures, etc.); - le bris d’éléments de finition (cloisons sèches, parois de verre revêtements (gypse, plâtre, tuiles de plancher, etc.); - des problèmes fonctionnels (par exemple un mauvais fonctionnement des portes et fenêtres). flèche ( ) charge
  • 42. Déformations causées par les charges mortes 42 Habituellement les charges mortes ne causent pas de problèmes car elles sont imperceptibles pour les usagers et surviennent avant la construction des éléments de finition (cloisons sèches, parois de verre, revêtements de plancher,etc.) De plus, lorsque ces déformations sont trop grandes, on peut les contrôler en imposant une cambrure à la poutre (i.e. une déformation verticale égale à la flèche qui sera provoquée par les charges mortes. cambrure avant l’application de la charge morte charge après l’application de la charge morte
  • 43. Déformations causées par les charges vives 43 Ce sont donc essentiellement les flèches causées par les charges vives qui causent problème dans les bâtiments. Le C.N.B. exige que les flèches maximales causées par les charges vives non-majorées* n’excèdent pas les valeurs suivantes (où L représente la portée de la poutre): Élément Flèche maximale autorisée Toiture Plancher ne supportant pas d’éléments de finition Plancher supportant des éléments de finition L/180 L/240 L/360 * on ne majore pas les charges vives pour le calcul des flèches car ces déformations ne menacent en rien la sécurité des occupants
  • 44. Fléchissement des poutres 44 Module élastique Matériau E (MPa) Acier de charpente Bois lamellé-collé Béton armé 200 000 13 100 30 000 La déformation des poutres est directement proportionnelle à la charge appliquée et indirectement proportionnelle à leur rigidité. rigidité = E x I où E = module élastique (propriété du matériau) et I = moment d’inertie (géométrie de la section)
  • 45. 45 max = 5 wL4 384 EI w (kN/m) L Mmax Mmax = w L2 8 Vmax Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et supportant une charge uniformément répartie Vmax Vmax = w L 2 wL 2 wL 2
  • 46. Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et supportant une charge concentrée au centre de la portée 46 max = PL3 48 EI P (kN) L Mmax Vmax Vmax Vmax = w 2 Mmax = P L 4 P2 P2
  • 47. P (kN) Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et supportant deux charges concentrées au tiers de la portée 47 max = 23 PL3 648 EI P (kN) L Vmax Vmax Vmax = P P P Mmax Mmax = P L 3
  • 48. 48 P (kN) P (kN) L 3P 2 Vmax 3P 2 Vmax Mmax max= 19 PL3 384 EI Vmax = 3P 2 Mmax = P L 2 P (kN) Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et supportant deux charges concentrées au tiers de la portée
  • 50. Dimensionnement d’une poutre 50 Pour dimensionner une poutre, on suit les étapes suivantes: 1. On calcule les charges supportées par la poutre. 2. On trace le diagramme des efforts internes - à partir des schémas précédents, pour les cas de charge courants, ou en utilisant le logiciel DrBeamPro - et on calcule les efforts maximaux Vf et Mf provoqués par l’application des charges totales majorées. L’utilisation de DrBeamPro fait l’objet d’un autre podcast.
  • 51. Dimensionnement d’une poutre 51 3. On choisit un profilé en acier ou en bois lamellé-collé qui respecte les deux conditions suivantes: Vr > Vf et Mr > Mf Pour les profilés standard disponibles au Canada, on peut choisir un profilé très facilement en consultant un tableau qui est donné dans le document intitulé «Tables de sélection de profilés standard» et disponible sur le site du cours. L’utilisation de ce document fait l’objet d’un autre podcast. On peut aussi concevoir un profilé sur mesure en utilisant les feuilles excel conçues à cet effet et disponibles sur le site de cours. Cela fait aussi l’objet d’un autre podcast
  • 52. Dimensionnement d’une poutre 52 4. À l’aide de DrBeamPro on calcule la flèche maximale causée par la charge vive non-majorée ( max) et on vérifie que cette flèche est inférieure à la flèche maximale autorisée par le C.N.B. ( adm). 5. Si la flèche est trop grande, on choisit un autre profilé qui possède un plus grand moment d’inertie (I). Le moment d’inertie requis (Irequis) peut être obtenu à l’aide d’une simple règle de trois : Irequis = Ipremier profilé x max adm Un autre podcast donne un exemple détaillé du processus qui mène au dimensionnement des poutres