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Algèbre de Boole
Présenté par:
Mr: KARKOUB Rida
Mme: ERRAIH Izza
plan
• Introduction
• Les opérateurs logiques et Tables de vérité
• Les règles de simplification
• Tableau de karnaugh
• Conclusion
Introduction
• L algèbre de Boole développée au 19ème siècle par George
Boole concerne la logique des systèmes binaires. C'est une
structure algébrique qui ne contient que deux éléments, que
l'on appelle t variables booléennes.
• Une variable logique : sert à représenter le niveau d une
grandeur électrique;
• Ces variables ne peuvent avoir que deux états, 1 ou 0 (ture ou
false), et respectent quelques règles de calcul que nous
détaillerons plus loin.
Introduction
• L'algèbre de Boole : utilise plusieurs opérateurs que l'on
nomme opérateurs booléens, opérateurs logiques, ou encore
fonctions logiques ou portes logiques (terme plus propre à
l'électronique).
• Une table de vérité : permet de connaitre l'état logique S de
l'équation, en fonction des états des variables.
La table de vérité la plus simple est la suivante :
Les opérateurs logique et Table de vérité
• L addition logique : la porte logique OU (OR)
Les interrupteurs A et B sont en parallèles. Dans ce cas la lampe s
allume si l un ou l autre des interrupteurs est fermé et on peut
écrire : A + B = F
Les opérateurs logique et Table de vérité
Les opérateurs logique et Table de vérité
• Table de vérité OU (OR):
• La multiplication logique : la porte logique ET (AND)
Dans ce cas les interrupteurs sont en série. La lampe s allume
si les deux interrupteurs sont fermés. On écrit alors
A+B = F
Les opérateurs logique et Table de vérité
• Table de vérité Et(AND):
Les opérateurs logique et Table de vérité
• L inversion logique : la porte logique NON (NOT)
En raisonnant sur les interrupteurs comme variables logiques il n
y avait que deux opérations logiques fondamentales (+ et.
Toutefois le transistor en commutation utilisé comme variable
logique a introduit une 3ème opération logique
Les opérateurs logique et Table de vérité
• Table de vérité NON(NOT):
Les opérateurs logique et Table de vérité
• Table de vérité NON-OU(NOR):
Les opérateurs logique et Table de vérité
• La multiplication logique avec inversion : porte logique NON-
ET (NAND)
Les opérateurs logique et Table de vérité
• la porte logique OU exclusif ( ) ou XOR
Les opérateurs logique et Table de vérité
Les règles de simplification
• Axiomes
• Théorèmes
• Fonctions à une variable
Les règles de simplification
• Théorèmes
• Fonctions à deux variables
Les règles de simplification
• Théorèmes
• Fonctions 3 variables
Les règles de simplification
• Théorème de Morgan
Les règles de simplification
• AUTRES OPERATEURS LOGIQUES
Les règles de simplification
• AUTRES OPERATEURS LOGIQUES
Les règles de simplification
Tableau de karnaugh
• La réduction, pour une même expression, du nombre
d'opérateurs et/ou du nombre de variables exprimées, conduit à
une écriture simplifiée de cette expression.
Tableau de karnaugh
la simplification par le tableau de Karnaugh se fait par:
• Regrouper les valeurs de S égales à 1 dans des rectangles ayant
comme nombre de cases une puissance de 2 (16, 8, 4, 2 ou 1
cases);
• Les groupes formés doivent être les moins nombreux possibles,
mais ils doivent englober tous les 1 a intérêt à dessiner des
rectangles les plus grands possibles.
• CONSTRUCTION DU TABLEAU DE KARNAUGH
o Tableau à 3 variables
Tableau de karnaugh
• CONSTRUCTION DU TABLEAU DE KARNAUGH
o Tableau à 4 variables
Tableau de karnaugh
• Exemples
Tableau de karnaugh
• Exemples
Tableau de karnaugh

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  • 1. Algèbre de Boole Présenté par: Mr: KARKOUB Rida Mme: ERRAIH Izza
  • 2. plan • Introduction • Les opérateurs logiques et Tables de vérité • Les règles de simplification • Tableau de karnaugh • Conclusion
  • 3. Introduction • L algèbre de Boole développée au 19ème siècle par George Boole concerne la logique des systèmes binaires. C'est une structure algébrique qui ne contient que deux éléments, que l'on appelle t variables booléennes.
  • 4. • Une variable logique : sert à représenter le niveau d une grandeur électrique; • Ces variables ne peuvent avoir que deux états, 1 ou 0 (ture ou false), et respectent quelques règles de calcul que nous détaillerons plus loin. Introduction
  • 5. • L'algèbre de Boole : utilise plusieurs opérateurs que l'on nomme opérateurs booléens, opérateurs logiques, ou encore fonctions logiques ou portes logiques (terme plus propre à l'électronique). • Une table de vérité : permet de connaitre l'état logique S de l'équation, en fonction des états des variables. La table de vérité la plus simple est la suivante : Les opérateurs logique et Table de vérité
  • 6. • L addition logique : la porte logique OU (OR) Les interrupteurs A et B sont en parallèles. Dans ce cas la lampe s allume si l un ou l autre des interrupteurs est fermé et on peut écrire : A + B = F Les opérateurs logique et Table de vérité
  • 7. Les opérateurs logique et Table de vérité • Table de vérité OU (OR):
  • 8. • La multiplication logique : la porte logique ET (AND) Dans ce cas les interrupteurs sont en série. La lampe s allume si les deux interrupteurs sont fermés. On écrit alors A+B = F Les opérateurs logique et Table de vérité
  • 9. • Table de vérité Et(AND): Les opérateurs logique et Table de vérité
  • 10. • L inversion logique : la porte logique NON (NOT) En raisonnant sur les interrupteurs comme variables logiques il n y avait que deux opérations logiques fondamentales (+ et. Toutefois le transistor en commutation utilisé comme variable logique a introduit une 3ème opération logique Les opérateurs logique et Table de vérité
  • 11. • Table de vérité NON(NOT): Les opérateurs logique et Table de vérité
  • 12. • Table de vérité NON-OU(NOR): Les opérateurs logique et Table de vérité
  • 13. • La multiplication logique avec inversion : porte logique NON- ET (NAND) Les opérateurs logique et Table de vérité
  • 14. • la porte logique OU exclusif ( ) ou XOR Les opérateurs logique et Table de vérité
  • 15. Les règles de simplification • Axiomes
  • 16. • Théorèmes • Fonctions à une variable Les règles de simplification
  • 17. • Théorèmes • Fonctions à deux variables Les règles de simplification
  • 18. • Théorèmes • Fonctions 3 variables Les règles de simplification
  • 19. • Théorème de Morgan Les règles de simplification
  • 20. • AUTRES OPERATEURS LOGIQUES Les règles de simplification
  • 21. • AUTRES OPERATEURS LOGIQUES Les règles de simplification
  • 22. Tableau de karnaugh • La réduction, pour une même expression, du nombre d'opérateurs et/ou du nombre de variables exprimées, conduit à une écriture simplifiée de cette expression.
  • 23. Tableau de karnaugh la simplification par le tableau de Karnaugh se fait par: • Regrouper les valeurs de S égales à 1 dans des rectangles ayant comme nombre de cases une puissance de 2 (16, 8, 4, 2 ou 1 cases); • Les groupes formés doivent être les moins nombreux possibles, mais ils doivent englober tous les 1 a intérêt à dessiner des rectangles les plus grands possibles.
  • 24. • CONSTRUCTION DU TABLEAU DE KARNAUGH o Tableau à 3 variables Tableau de karnaugh
  • 25. • CONSTRUCTION DU TABLEAU DE KARNAUGH o Tableau à 4 variables Tableau de karnaugh

Notes de l'éditeur

  1. Une variable Booléenne variable logique ou fonction logique ne peut prendre que deux valeurs possibles 0 et 1 (appartenant à l ensemble E = {0,1}).
  2. Dans ce cas la lampe s allume si l un ou l autre des interrupteurs est fermé et on peut écrire : A + B = F Nous avons quatre combinaisons possibles
  3. Dans ce cas la lampe s allume si l un ou l autre des interrupteurs est fermé et on peut écrire : A + B = F Nous avons quatre combinaisons possibles
  4. Dans ce cas la lampe s allume si l un ou l autre des interrupteurs est fermé et on peut écrire : A + B = F Nous avons quatre combinaisons possibles
  5. Dans ce cas la lampe s allume si l un ou l autre des interrupteurs est fermé et on peut écrire : A + B = F Nous avons quatre combinaisons possibles
  6. Il existe un grand nombre de méthodes de simplification d'expression booléenne, parmi lesquelles on  peut distinguer :
  7. Il existe un grand nombre de méthodes de simplification d'expression booléenne, parmi lesquelles on  peut distinguer :