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BAC SpéMaths - Amérique du Nord 2021
Exercice A : Vrai ou faux sur les fonctions exponentielles
Clément Boulonne (CBMaths)
31 mai 2021
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 1/24
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Armation 1
Armation 2
Armation 3
Armation 4
Armation 5
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 2/24
Énoncé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 3/24
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B. Il
indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 4/24
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B. Il
indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Exercice A
Principaux domaines abordés :
Fonction exponentielle
Convexité
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 4/24
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse. On justiera chaque réponse.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 5/24
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse. On justiera chaque réponse.
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 5/24
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse. On justiera chaque réponse.
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 5/24
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse. On justiera chaque réponse.
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 5/24
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse. On justiera chaque réponse.
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 5/24
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse. On justiera chaque réponse.
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex
est convexe.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 5/24
Corrigé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 6/24
Corrigé Armation 1
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Armation 1
Armation 2
Armation 3
Armation 4
Armation 5
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 7/24
Corrigé Armation 1
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse. On justiera chaque réponse.
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex
est convexe.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 8/24
Corrigé Armation 1
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 9/24
Corrigé Armation 1
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
On utilise les propriétés suivantes sur les exponentielles :
Pour tous réels x et y, ex+y
= ex
× ey
,
(ex
)y
= ex×y
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 9/24
Corrigé Armation 1
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
On utilise les propriétés suivantes sur les exponentielles :
Pour tous réels x et y, ex+y
= ex
× ey
,
(ex
)y
= ex×y
.
Ainsi :

ea+b
2
=

ea
× eb
2
= (ea
)2
×

eb
2
= e2a
× e2b
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 9/24
Corrigé Armation 1
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
On utilise les propriétés suivantes sur les exponentielles :
Pour tous réels x et y, ex+y
= ex
× ey
,
(ex
)y
= ex×y
.
Ainsi :

ea+b
2
=

ea
× eb
2
= (ea
)2
×

eb
2
= e2a
× e2b
.
Conclusion : l'armation 1 est fausse.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 9/24
Corrigé Armation 2
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Armation 1
Armation 2
Armation 3
Armation 4
Armation 5
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 10/24
Corrigé Armation 2
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse. On justiera chaque réponse.
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex
est convexe.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 11/24
Corrigé Armation 2
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 12/24
Corrigé Armation 2
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ R par :
f (x) = −2 + (3 − x)ex
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 12/24
Corrigé Armation 2
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ R par :
f (x) = −2 + (3 − x)ex
.
On calcule la dérivée f 0 de la fonction f . On pose u(x) = 3 − x et
v(x) = ex . Les dérivées de ces deux fonctions sont : u0(x) = −1 et
v0(x) = ex .
f (x) = −ex
+ (3 − x)ex
= ex
(3 − x − 1) = (2 − x)ex
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 12/24
Corrigé Armation 2
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 13/24
Corrigé Armation 2
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
f 0(x) = (2 − x)ex . On détermine ensuite l'équation réduite de la
tangente au point A d'abscisse 0 de Cf .
y = f 0
(0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = 2e0
× x + (−2 + 3e0
)
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 13/24
Corrigé Armation 2
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
f 0(x) = (2 − x)ex . On détermine ensuite l'équation réduite de la
tangente au point A d'abscisse 0 de Cf .
y = f 0
(0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = 2e0
× x + (−2 + 3e0
)
Or e0 = 1, on obtient donc :
y = 2x − 2 + 3 ⇔ y = 2x + 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 13/24
Corrigé Armation 2
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
f 0(x) = (2 − x)ex . On détermine ensuite l'équation réduite de la
tangente au point A d'abscisse 0 de Cf .
y = f 0
(0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = 2e0
× x + (−2 + 3e0
)
Or e0 = 1, on obtient donc :
y = 2x − 2 + 3 ⇔ y = 2x + 1.
Conclusion : l'armation 2 est vraie.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 13/24
Corrigé Armation 3
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Armation 1
Armation 2
Armation 3
Armation 4
Armation 5
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 14/24
Corrigé Armation 3
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse. On justiera chaque réponse.
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex
est convexe.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 15/24
Corrigé Armation 3
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 16/24
Corrigé Armation 3
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
On note G(x) = e2x − ex +
3
x
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 16/24
Corrigé Armation 3
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
On note G(x) = e2x − ex +
3
x
.
On peut remarquer d'abord que : e2x = (ex )2
, puis :
G(x) = (ex
)2
− ex
+
3
x
= ex
× ex
− ex
+
3
x
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 16/24
Corrigé Armation 3
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
On note G(x) = e2x − ex +
3
x
.
On peut remarquer d'abord que : e2x = (ex )2
, puis :
G(x) = (ex
)2
− ex
+
3
x
= ex
× ex
− ex
+
3
x
.
On peut factoriser l'expression par ex .
G(x) = ex

ex
− 1 +
3
xex

.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 16/24
Corrigé Armation 3
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 17/24
Corrigé Armation 3
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
G(x) = ex

ex
− 1 +
3
xex

.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 17/24
Corrigé Armation 3
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
G(x) = ex

ex
− 1 +
3
xex

.
On sait que lim
x→+∞
ex = +∞ et lim
x→+∞
3
xex
= 0. Ainsi :
lim
x→+∞
G(x) = +∞.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 17/24
Corrigé Armation 3
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
G(x) = ex

ex
− 1 +
3
xex

.
On sait que lim
x→+∞
ex = +∞ et lim
x→+∞
3
xex
= 0. Ainsi :
lim
x→+∞
G(x) = +∞.
Conclusion : l'armation 3 est fausse.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 17/24
Corrigé Armation 4
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Armation 1
Armation 2
Armation 3
Armation 4
Armation 5
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 18/24
Corrigé Armation 4
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse. On justiera chaque réponse.
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex
est convexe.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 19/24
Corrigé Armation 4
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 20/24
Corrigé Armation 4
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ [0 ; 2] par :
f (x) = 1 − x + e−x
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 20/24
Corrigé Armation 4
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ [0 ; 2] par :
f (x) = 1 − x + e−x
.
On étudie les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1].
f 0
(x) = −1 − e−x
= −(1 + e−x
).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 20/24
Corrigé Armation 4
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ [0 ; 2] par :
f (x) = 1 − x + e−x
.
On étudie les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1].
f 0
(x) = −1 − e−x
= −(1 + e−x
).
1 + e−x  0 sur l'intervalle [0 ; 2] donc f 0(x) 6 0 sur l'intervalle [0 ; 2].
La fonction f est décroissante sur [0 ; 2].
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 20/24
Corrigé Armation 4
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ [0 ; 2] par :
f (x) = 1 − x + e−x
.
On étudie les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1].
f 0
(x) = −1 − e−x
= −(1 + e−x
).
1 + e−x  0 sur l'intervalle [0 ; 2] donc f 0(x) 6 0 sur l'intervalle [0 ; 2].
La fonction f est décroissante sur [0 ; 2].
On a :
f (0) = 1−0+e0
= 2 et f (2) = 1−2+e−2
= −1+e−2
≈ −0,86.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 20/24
Corrigé Armation 4
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 21/24
Corrigé Armation 4
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
On peut tracer le tableau de variations de f :
x
f 0(x)
Variations
de f
0 2
−
2
2
−0,86
−0,86
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 21/24
Corrigé Armation 4
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
On peut tracer le tableau de variations de f :
x
f 0(x)
Variations
de f
0 2
−
2
2
−0,86
−0,86
La fonction f est continue et strictement décroissante sur [0 ; 2]. On
a : f (0) = 2  0 et f (2) ≈ −0,86 6 0. Donc, d'après le théorème de
la bijection, il existe un unique α sur [0 ; 2] solution de l'équation
f (x) = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 21/24
Corrigé Armation 4
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
On peut tracer le tableau de variations de f :
x
f 0(x)
Variations
de f
0 2
−
2
2
−0,86
−0,86
La fonction f est continue et strictement décroissante sur [0 ; 2]. On
a : f (0) = 2  0 et f (2) ≈ −0,86 6 0. Donc, d'après le théorème de
la bijection, il existe un unique α sur [0 ; 2] solution de l'équation
f (x) = 0.
Conclusion : l'armation 4 est vraie.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 21/24
Corrigé Armation 5
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Armation 1
Armation 2
Armation 3
Armation 4
Armation 5
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 22/24
Corrigé Armation 5
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse. On justiera chaque réponse.
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex
est convexe.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 23/24
Corrigé Armation 5
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex
est convexe.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 24/24
Corrigé Armation 5
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex
est convexe.
On considère la fonction g dénie sur R par :
g(x) = x2
− 5x + ex
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 24/24
Corrigé Armation 5
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex
est convexe.
On considère la fonction g dénie sur R par :
g(x) = x2
− 5x + ex
.
Pour étudier la convexité de la fonction g, on étudie le signe de la
dérivée seconde de la fonction g.
g0
(x) = 2x − 5 + ex
g00
(x) = 2 + ex
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 24/24
Corrigé Armation 5
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex
est convexe.
On considère la fonction g dénie sur R par :
g(x) = x2
− 5x + ex
.
Pour étudier la convexité de la fonction g, on étudie le signe de la
dérivée seconde de la fonction g.
g0
(x) = 2x − 5 + ex
g00
(x) = 2 + ex
.
ex  0 pour tout x ∈ R donc la dérivée seconde g00 est toujours
positive sur R. La fonction g est donc convexe sur R.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 24/24
Corrigé Armation 5
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex
est convexe.
On considère la fonction g dénie sur R par :
g(x) = x2
− 5x + ex
.
Pour étudier la convexité de la fonction g, on étudie le signe de la
dérivée seconde de la fonction g.
g0
(x) = 2x − 5 + ex
g00
(x) = 2 + ex
.
ex  0 pour tout x ∈ R donc la dérivée seconde g00 est toujours
positive sur R. La fonction g est donc convexe sur R.
Conclusion : l'armation 5 est vraie.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 24/24

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BAC SpéMaths Amérique du Nord 2021 - Exercice A : VF sur les fonctions exponentielles

  • 1. BAC SpéMaths - Amérique du Nord 2021 Exercice A : Vrai ou faux sur les fonctions exponentielles Clément Boulonne (CBMaths) 31 mai 2021 Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 1/24
  • 2. Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Armation 1 Armation 2 Armation 3 Armation 4 Armation 5 Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 2/24
  • 3. Énoncé Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 3/24
  • 4. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B. Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 4/24
  • 5. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B. Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B. Exercice A Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle Convexité Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 4/24
  • 6. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justiera chaque réponse. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 5/24
  • 7. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justiera chaque réponse. Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 5/24
  • 8. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justiera chaque réponse. Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 5/24
  • 9. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justiera chaque réponse. Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 5/24
  • 10. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justiera chaque réponse. Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 5/24
  • 11. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justiera chaque réponse. Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex est convexe. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 5/24
  • 12. Corrigé Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 6/24
  • 13. Corrigé Armation 1 Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Armation 1 Armation 2 Armation 3 Armation 4 Armation 5 Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 7/24
  • 14. Corrigé Armation 1 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justiera chaque réponse. Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex est convexe. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 8/24
  • 15. Corrigé Armation 1 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 9/24
  • 16. Corrigé Armation 1 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. On utilise les propriétés suivantes sur les exponentielles : Pour tous réels x et y, ex+y = ex × ey , (ex )y = ex×y . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 9/24
  • 17. Corrigé Armation 1 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. On utilise les propriétés suivantes sur les exponentielles : Pour tous réels x et y, ex+y = ex × ey , (ex )y = ex×y . Ainsi : ea+b 2 = ea × eb 2 = (ea )2 × eb 2 = e2a × e2b . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 9/24
  • 18. Corrigé Armation 1 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. On utilise les propriétés suivantes sur les exponentielles : Pour tous réels x et y, ex+y = ex × ey , (ex )y = ex×y . Ainsi : ea+b 2 = ea × eb 2 = (ea )2 × eb 2 = e2a × e2b . Conclusion : l'armation 1 est fausse. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 9/24
  • 19. Corrigé Armation 2 Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Armation 1 Armation 2 Armation 3 Armation 4 Armation 5 Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 10/24
  • 20. Corrigé Armation 2 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justiera chaque réponse. Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex est convexe. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 11/24
  • 21. Corrigé Armation 2 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 12/24
  • 22. Corrigé Armation 2 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ R par : f (x) = −2 + (3 − x)ex . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 12/24
  • 23. Corrigé Armation 2 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ R par : f (x) = −2 + (3 − x)ex . On calcule la dérivée f 0 de la fonction f . On pose u(x) = 3 − x et v(x) = ex . Les dérivées de ces deux fonctions sont : u0(x) = −1 et v0(x) = ex . f (x) = −ex + (3 − x)ex = ex (3 − x − 1) = (2 − x)ex . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 12/24
  • 24. Corrigé Armation 2 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 13/24
  • 25. Corrigé Armation 2 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. f 0(x) = (2 − x)ex . On détermine ensuite l'équation réduite de la tangente au point A d'abscisse 0 de Cf . y = f 0 (0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = 2e0 × x + (−2 + 3e0 ) Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 13/24
  • 26. Corrigé Armation 2 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. f 0(x) = (2 − x)ex . On détermine ensuite l'équation réduite de la tangente au point A d'abscisse 0 de Cf . y = f 0 (0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = 2e0 × x + (−2 + 3e0 ) Or e0 = 1, on obtient donc : y = 2x − 2 + 3 ⇔ y = 2x + 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 13/24
  • 27. Corrigé Armation 2 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. f 0(x) = (2 − x)ex . On détermine ensuite l'équation réduite de la tangente au point A d'abscisse 0 de Cf . y = f 0 (0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = 2e0 × x + (−2 + 3e0 ) Or e0 = 1, on obtient donc : y = 2x − 2 + 3 ⇔ y = 2x + 1. Conclusion : l'armation 2 est vraie. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 13/24
  • 28. Corrigé Armation 3 Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Armation 1 Armation 2 Armation 3 Armation 4 Armation 5 Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 14/24
  • 29. Corrigé Armation 3 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justiera chaque réponse. Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex est convexe. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 15/24
  • 30. Corrigé Armation 3 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 16/24
  • 31. Corrigé Armation 3 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. On note G(x) = e2x − ex + 3 x . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 16/24
  • 32. Corrigé Armation 3 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. On note G(x) = e2x − ex + 3 x . On peut remarquer d'abord que : e2x = (ex )2 , puis : G(x) = (ex )2 − ex + 3 x = ex × ex − ex + 3 x . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 16/24
  • 33. Corrigé Armation 3 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. On note G(x) = e2x − ex + 3 x . On peut remarquer d'abord que : e2x = (ex )2 , puis : G(x) = (ex )2 − ex + 3 x = ex × ex − ex + 3 x . On peut factoriser l'expression par ex . G(x) = ex ex − 1 + 3 xex . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 16/24
  • 34. Corrigé Armation 3 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 17/24
  • 35. Corrigé Armation 3 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. G(x) = ex ex − 1 + 3 xex . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 17/24
  • 36. Corrigé Armation 3 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. G(x) = ex ex − 1 + 3 xex . On sait que lim x→+∞ ex = +∞ et lim x→+∞ 3 xex = 0. Ainsi : lim x→+∞ G(x) = +∞. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 17/24
  • 37. Corrigé Armation 3 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. G(x) = ex ex − 1 + 3 xex . On sait que lim x→+∞ ex = +∞ et lim x→+∞ 3 xex = 0. Ainsi : lim x→+∞ G(x) = +∞. Conclusion : l'armation 3 est fausse. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 17/24
  • 38. Corrigé Armation 4 Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Armation 1 Armation 2 Armation 3 Armation 4 Armation 5 Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 18/24
  • 39. Corrigé Armation 4 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justiera chaque réponse. Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex est convexe. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 19/24
  • 40. Corrigé Armation 4 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 20/24
  • 41. Corrigé Armation 4 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ [0 ; 2] par : f (x) = 1 − x + e−x . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 20/24
  • 42. Corrigé Armation 4 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ [0 ; 2] par : f (x) = 1 − x + e−x . On étudie les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1]. f 0 (x) = −1 − e−x = −(1 + e−x ). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 20/24
  • 43. Corrigé Armation 4 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ [0 ; 2] par : f (x) = 1 − x + e−x . On étudie les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1]. f 0 (x) = −1 − e−x = −(1 + e−x ). 1 + e−x 0 sur l'intervalle [0 ; 2] donc f 0(x) 6 0 sur l'intervalle [0 ; 2]. La fonction f est décroissante sur [0 ; 2]. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 20/24
  • 44. Corrigé Armation 4 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ [0 ; 2] par : f (x) = 1 − x + e−x . On étudie les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1]. f 0 (x) = −1 − e−x = −(1 + e−x ). 1 + e−x 0 sur l'intervalle [0 ; 2] donc f 0(x) 6 0 sur l'intervalle [0 ; 2]. La fonction f est décroissante sur [0 ; 2]. On a : f (0) = 1−0+e0 = 2 et f (2) = 1−2+e−2 = −1+e−2 ≈ −0,86. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 20/24
  • 45. Corrigé Armation 4 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 21/24
  • 46. Corrigé Armation 4 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. On peut tracer le tableau de variations de f : x f 0(x) Variations de f 0 2 − 2 2 −0,86 −0,86 Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 21/24
  • 47. Corrigé Armation 4 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. On peut tracer le tableau de variations de f : x f 0(x) Variations de f 0 2 − 2 2 −0,86 −0,86 La fonction f est continue et strictement décroissante sur [0 ; 2]. On a : f (0) = 2 0 et f (2) ≈ −0,86 6 0. Donc, d'après le théorème de la bijection, il existe un unique α sur [0 ; 2] solution de l'équation f (x) = 0. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 21/24
  • 48. Corrigé Armation 4 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. On peut tracer le tableau de variations de f : x f 0(x) Variations de f 0 2 − 2 2 −0,86 −0,86 La fonction f est continue et strictement décroissante sur [0 ; 2]. On a : f (0) = 2 0 et f (2) ≈ −0,86 6 0. Donc, d'après le théorème de la bijection, il existe un unique α sur [0 ; 2] solution de l'équation f (x) = 0. Conclusion : l'armation 4 est vraie. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 21/24
  • 49. Corrigé Armation 5 Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Armation 1 Armation 2 Armation 3 Armation 4 Armation 5 Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 22/24
  • 50. Corrigé Armation 5 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justiera chaque réponse. Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b 2 = e2a + e2b. Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1. Armation 3 : lim x→+∞ e2x − ex + 3 x = 0. Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex est convexe. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 23/24
  • 51. Corrigé Armation 5 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex est convexe. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 24/24
  • 52. Corrigé Armation 5 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex est convexe. On considère la fonction g dénie sur R par : g(x) = x2 − 5x + ex . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 24/24
  • 53. Corrigé Armation 5 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex est convexe. On considère la fonction g dénie sur R par : g(x) = x2 − 5x + ex . Pour étudier la convexité de la fonction g, on étudie le signe de la dérivée seconde de la fonction g. g0 (x) = 2x − 5 + ex g00 (x) = 2 + ex . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 24/24
  • 54. Corrigé Armation 5 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex est convexe. On considère la fonction g dénie sur R par : g(x) = x2 − 5x + ex . Pour étudier la convexité de la fonction g, on étudie le signe de la dérivée seconde de la fonction g. g0 (x) = 2x − 5 + ex g00 (x) = 2 + ex . ex 0 pour tout x ∈ R donc la dérivée seconde g00 est toujours positive sur R. La fonction g est donc convexe sur R. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 24/24
  • 55. Corrigé Armation 5 BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex est convexe. On considère la fonction g dénie sur R par : g(x) = x2 − 5x + ex . Pour étudier la convexité de la fonction g, on étudie le signe de la dérivée seconde de la fonction g. g0 (x) = 2x − 5 + ex g00 (x) = 2 + ex . ex 0 pour tout x ∈ R donc la dérivée seconde g00 est toujours positive sur R. La fonction g est donc convexe sur R. Conclusion : l'armation 5 est vraie. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 24/24