SlideShare une entreprise Scribd logo
ENPC Béton Armé et précontraint 1
Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 1/11
Application BAEP 1
Flexion composée – Diagramme d’interaction
Exemple d’un poteau
On considère un poteau carré de 60 cm de côté en béton C50.
Les efforts à l’ELU qui s’appliquent sur ce poteau sont N = 3,2MN et M = 1,0 MN.m.
Hypothèses :
- On utilisera la branche horizontale du diagramme contraintes-déformations de l’acier.
- Le centre de gravité des aciers est positionné à 6 cm du bord de la section (c=6cm).
1) Déterminer le ferraillage dissymétrique du poteau par la méthode d’assimilation à la
flexion simple.
2) Déterminer le ferraillage symétrique du poteau et en déduire le ferraillage pratique.
3) A partir du ferraillage pratique déterminé à la question 2), déterminer le diagramme
d’interaction du poteau.
Indications : Pour la question 3), on pourra calculer les efforts N et M correspondants aux
diagrammes de déformation du tableau suivant :
εai εb N M
-45 ‰ -45 ‰
-45 ‰ 3,5 ‰
-10 ‰ 3,5 ‰
-3,5 ‰ 3,5 ‰
0,35 ‰ 3,5 ‰
2 ‰ 2 ‰
Rappels :
α.d
εai
εb
ε
εb
σ
σai
σas
d
0,8α.d
Ai
As
Diagramme des
déformations
Diagramme des
contraintes
ENPC Béton Armé et précontraint 1
Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 2/11
1) Détermination du ferraillage dissymétrique par la méthode d’assimilation à la
flexion simple.
Excentricité :
6
313,0
h
m
N
M
e ≥== ⇒ la section est partiellement comprimée.
Béton C50 =>
50
33,3
1,5
ck
cd
c
f
f MPa
γγγγ
= = == = == = == = =
Branche horizontale du diagramme de l’acier =>
500
435
1,15
yk
yd
s
f
f MPa
γγγγ
= = == = == = == = =
Aciers situés à 6 cm du bord de la section => d = h-c = 0,54m
a) Calcul du moment par rapport aux aciers tendus.
0,6
. 1,0 3,2. 0,06 1,768 .
2 2A
h
M M N c MN m
            
= + − = + − == + − = + − == + − = + − == + − = + − =            
            
b) On calcule la section d’acier nécessaire pour équilibrer le moment MA (calcul
en flexion simple).
2 2
1,768
0,303
. . 0,6 0,54 33,3
A
cd
M
b d f
µµµµ = = == = == = == = =
× ×× ×× ×× ×
=> Pivot B
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))1,25. 1 1 2. 1,25. 1 1 2 0,303 0,465α µα µα µα µ= − − = − − × == − − = − − × == − − = − − × == − − = − − × =
(((( )))) (((( ))))
21,768
92,4
0,4. . 0,54 0,4 0,465 0,54 .435
A
yk
M
cm
d d fαααα
= = == = == = == = =
− − × ×− − × ×− − × ×− − × ×
AAAA
c) On en déduit la section nécessaire pour reprendre la flexion composée.
4 23,2
92,4.10 18,9
435yd
N
A cm
f
−−−−
= − = − == − = − == − = − == − = − =AAAA
εb = 3,5 ‰
εst = (1-α)/α.3,5 ‰
= 4,03 ‰
=> σst = 435 MPa
ENPC Béton Armé et précontraint 1
Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 3/11
2) Détermination du ferraillage symétrique.
a) On écrit l’équilibre au centre de gravité de la section
. . 0,8. . . .
. . . 0,8. . . . 0,4. .
2 2 2
s i
s i
A A b sts sti cd
A A b sts sti cd
N N N N A A d b f
h h h
M M M M A c A c d b f d
σ σ ασ σ ασ σ ασ σ α
σ σ α ασ σ α ασ σ α ασ σ α α
= + + = + += + + = + += + + = + += + + = + +

                     
= + + = − + − + + −= + + = − + − + + −= + + = − + − + + −= + + = − + − + + −                     
                    
b) On fait l’hypothèse (1) que les aciers supérieurs sont comprimés et ont atteint
leur limite d’élasticité et que les aciers inférieurs sont tendus et ont atteint leur
limite d’élasticité.
On a donc 435sts sti MPaσ σσ σσ σσ σ= − == − == − == − =
On en déduit 0,8. . . .b cdN N d b fαααα= == == == = et donc
3,2
0,371
0,8. . . 0,8 0,54 0,6 33,3cd
N
d b f
αααα = = == = == = == = =
× × ×× × ×× × ×× × ×
c) On vérifie l’hypothèse (1)
αd = 0,2 m > c=0,06m => les aciers supérieurs sont en compression.
‰17,2‰45,2
2,0
06,02,0
0035,0
.
.
=>=
−
=
−
=
S
yd
bas
E
f
d
cd
α
α
εε
Les aciers supérieurs ont bien atteint la limite d’élasticité et travaillent donc à 435 MPa.
‰17,2‰95,5
2,0
54,02,0
0035,0
.
.
−=−<−=
−
=
−
=
S
yd
bai
E
f
d
dd
α
α
εε
Les aciers inférieurs sont tendus et ont bien atteint la limite d’élasticité et travaillent donc à
435 MPa.
d) On calcule la section d’acier






−+





−=++= d
h
Nc
h
fAMMMM ydbAiAq
..4,0
2
.
2
...2 α
e) On détermine le ferraillage pratique
Barre Section
HA 8 0.503 cm² 29 barres soit 14.58 cm²
HA 10 0.785 cm² 19 barres soit 14.92 cm²
HA 12 1.131 cm² 13 barres soit 14.70 cm²
HA 14 1.539 cm² 10 barres soit 15.39 cm²
HA 16 2.011 cm² 8 barres soit 16.08 cm²
HA 20 3.142 cm² 5 barres soit 15.71 cm²
HA 25 4.909 cm² 3 barres soit 14.73 cm²
HA 32 8.042 cm² 2 barres soit 16.08 cm²
Ferraillage pratique pour 14.17 cm²
2
17,14
06,0
2
6,0
4352
54,0371,04,0
2
6,0
.2,31
2
..2
..4,0
2
.
cm
c
h
f
d
h
NM
A
yd
=






−××






××−−
=






−






−−
=
α
3 HA25
3 HA25
ENPC Béton Armé et précontraint 1
Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 4/11
3) Construction du diagramme d’interaction.
On utilise le ferraillage pratique déterminé ci-dessus : Ai = As = 14,73 cm²
On calcule les points suivants du diagramme d’interaction
Point εai εb N M
Point 1 -45 ‰ -45 ‰
Point 2 -45 ‰ 3,5 ‰
Point 3 -10 ‰ 3,5 ‰
Point 4 -3,5 ‰ 3,5 ‰
Point 5 0,35 ‰ 3,5 ‰
Point 6 2 ‰ 2 ‰
Diagrammes de déformations
Pivot C
Pivot B
Pivot A
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
-5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00%
Déformation (εεεε)
Point 1
Point 2
Point 3
Point 4
Point 5
Point 6
a) Point 1 - Pivot A
La section est entièrement tendue.
Le béton ne travaille pas.
Les aciers supérieurs et inférieurs ont une
déformation de -45 ‰ et ont donc atteint
leur limite d’élasticité. Ils travaillent donc à
435 MPa.
On en déduit :
4
2. . 2 14,73.10 435 1,281
. . . . 0 .
2 2
yd
yd yd
N A f MN
h h
M A f c A f c MN m
−−−−
 = − = − × × = −= − = − × × = −= − = − × × = −= − = − × × = −

             
= − + − + == − + − + == − + − + == − + − + =             
            
Diagrammes de déformation : Point 1
Pivot C
εai
Pivot B
Pivot A
εas
-0.300
-0.200
-0.100
0.000
0.100
0.200
0.300
-5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00%
Déformation (εεεε)
ENPC Béton Armé et précontraint 1
Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 5/11
b) Point 2 - Pivot A-B
i) On calcule la hauteur
comprimée αd
0,35
0,54 0,039
0,35 4,5
b
b ai
d d m
εεεε
αααα
ε εε εε εε ε
= = == = == = == = =
− +− +− +− +
ii) On calcule la déformation
des aciers supérieurs
Ceux-ci sont situés à 6cm du bord de la
section. La hauteur comprimée étant de
3,9cm, on en déduit que les aciers
supérieurs sont tendus.
‰17,2‰88,1
039,0
06,0039,0
0035,0
.
.
−=−>−=
−
=
−
=
S
yd
bas
E
f
d
cd
α
α
εε
Les aciers supérieurs sont dans le domaine élastique
iii) On calcule les contraintes dans les aciers
On a εai = -45 ‰. Les aciers inférieurs sont donc tendus et plastifiés et σai = 435 MPa
Les aciers supérieurs sont dans le domaine élastique, on a donc
. 0,00188 200000 376as as sE MPaσ εσ εσ εσ ε= = × == = × == = × == = × =
iv) On calcule les efforts N et M
4 4
4
. . 0,8. . . .
14,73.10 376 14,73.10 435 0,8 0,039 0,6 33,3 0,571
. . . . 0,8. . . . 0,4.
2 2 2
0,6
14,73.10 376 0,06
2
s i
s i
A A b as ai cd
A A b as ai cd
N N N N A A d b f
MN
h h h
M M M M A c A c d b f d
σ σ ασ σ ασ σ ασ σ α
σ σ α ασ σ α ασ σ α ασ σ α α
− −− −− −− −
−−−−
= + + = − − += + + = − − += + + = − − += + + = − − +
= − × − × + × × × = −= − × − × + × × × = −= − × − × + × × × = −= − × − × + × × × = −
                    
= + + = − − − − + + −= + + = − − − − + + −= + + = − − − − + + −= + + = − − − − + + −                    
                    
= − × −= − × −= − × −= − × − 4 0,6
14,73.10 435 0,06
2
0,6
0,8 0,039 0,6 33,3 0,4 0,039 0,198 .
2
MN m
−−−−









             − × − +− × − +− × − +− × − +                         

     + × × × − × =+ × × × − × =+ × × × − × =+ × × × − × =         
Diagrammes de déformation : Point 2
Pivot C
εai
Pivot B
Pivot A
εas
-0.300
-0.200
-0.100
0.000
0.100
0.200
0.300
-5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00%
Déformation (εεεε)
ENPC Béton Armé et précontraint 1
Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 6/11
c) Point 3 - Pivot B
i) On calcule la hauteur comprimée
αd
0,35
0,54 0,14
0,35 1,0
b
b ai
d d m
εεεε
αααα
ε εε εε εε ε
= = == = == = == = =
− +− +− +− +
ii) On calcule la déformation des
aciers supérieurs
Ceux-ci sont situés à 6cm du bord de la section.
La hauteur comprimée étant de 14cm, on en
déduit que les aciers supérieurs sont comprimés.
‰17,2‰0,2
14,0
06,014,0
0035,0
.
.
=<=
−
=
−
=
S
yd
bas
E
f
d
cd
α
α
εε
Les aciers supérieurs sont dans le domaine élastique
iii) On calcule les contraintes dans les aciers
On a εai = -10 ‰. Les aciers inférieurs sont donc tendus et plastifiés et σai = 435 MPa
Les aciers supérieurs sont dans le domaine élastique, on a donc
. 0,002 200000 400as as sE MPaσ εσ εσ εσ ε= = × == = × == = × == = × =
iv) On calcule les efforts N et M
4 4
4
. . 0,8. . . .
14,73.10 400 14,73.10 435 0,8 0,14 0,6 33,3 2,186
. . . . 0,8. . . . 0,4.
2 2 2
0,6
14,73.10 400 0,06
2
s i
s i
A A b as ai cd
A A b as ai cd
N N N N A A d b f
MN
h h h
M M M M A c A c d b f d
σ σ ασ σ ασ σ ασ σ α
σ σ α ασ σ α ασ σ α ασ σ α α
− −− −− −− −
−−−−
= + + = − += + + = − += + + = − += + + = − +
= × − × + × × × == × − × + × × × == × − × + × × × == × − × + × × × =
                    
= + + = − − − + + −= + + = − − − + + −= + + = − − − + + −= + + = − − − + + −                    
                    
    
= × −= × −= × −= × −    
    
4 0,6
14,73.10 435 0,06
2
0,6
0,8 0,14 0,6 33,3 0,4 0,14 0,841 .
2
MN m
−−−−









     − × − +− × − +− × − +− × − +         

     + × × × − × =+ × × × − × =+ × × × − × =+ × × × − × =         
Diagrammes de déformation : Point 3
Pivot C
εai
Pivot B
Pivot A
εas
-0.300
-0.200
-0.100
0.000
0.100
0.200
0.300
-5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00%
Déformation (εεεε)
ENPC Béton Armé et précontraint 1
Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 7/11
d) Point 4 - Pivot B
i) On calcule la hauteur
comprimée αd
0,35
0,54 0,27
0,35 0,35
b
b ai
d d m
εεεε
αααα
ε εε εε εε ε
= = == = == = == = =
− +− +− +− +
ii) On calcule la déformation des
aciers supérieurs
Ceux-ci sont situés à 6cm du bord de la
section. La hauteur comprimée étant de
27cm, on en déduit que les aciers supérieurs
sont comprimés.
‰17,2‰72,2
27,0
06,027,0
0035,0
.
.
=>=
−
=
−
=
S
yd
bas
E
f
d
cd
α
α
εε
Les aciers supérieurs sont dans le domaine plastique
iii) On calcule les contraintes dans les aciers
On a εai = -3,5 ‰. Les aciers inférieurs sont donc tendus et plastifiés et σai = 435 MPa
Les aciers supérieurs sont dans le domaine plastique, on a donc σas = 435 MPa
iv) On calcule les efforts N et M
4 4
4
. . 0,8. . . .
14,73.10 435 14,73.10 435 0,8 0,27 0,6 33,3 4,316
. . . . 0,8. . . . 0,4.
2 2 2
0,6
14,73.10 435 0,06
2
s i
s i
A A b as ai cd
A A b as ai cd
N N N N A A d b f
MN
h h h
M M M M A c A c d b f d
σ σ ασ σ ασ σ ασ σ α
σ σ α ασ σ α ασ σ α ασ σ α α
− −− −− −− −
−−−−
= + + = − += + + = − += + + = − += + + = − +
= × − × + × × × == × − × + × × × == × − × + × × × == × − × + × × × =
                    
= + + = − − − + + −= + + = − − − + + −= + + = − − − + + −= + + = − − − + + −                    
                    
    
= × −= × −= × −= × −    
    
4 0,6
14,73.10 435 0,06
2
0,6
0,8 0,27 0,6 33,3 0,4 0,27 1,136 .
2
MN m
−−−−









     − × − +− × − +− × − +− × − +         

     + × × × − × =+ × × × − × =+ × × × − × =+ × × × − × =         
Diagrammes de déformation : Point 4
Pivot C
εai
Pivot B
Pivot A
εas
-0.300
-0.200
-0.100
0.000
0.100
0.200
0.300
-5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00%
Déformation (εεεε)
ENPC Béton Armé et précontraint 1
Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 8/11
e) Point 5 - Pivot B-C
i) On calcule la hauteur
comprimée αd
mdd
aib
b
6,0
315,0
35,0
54,0 ==
−
=
εε
ε
α
ii) On calcule la
déformation des aciers
supérieurs
Ceux-ci sont situés à 6cm du bord de la
section. La section étant totalement
comprimée, on en déduit que les aciers
supérieurs sont comprimés.
‰17,2‰15,3
60,0
06,060,0
0035,0
.
.
=>=
−
=
−
=
S
yd
bas
E
f
d
cd
α
α
εε
Les aciers supérieurs sont dans le domaine plastique
iii) On calcule les contraintes dans les aciers
On a εai = 0,35 ‰. Les aciers inférieurs sont dans le domaine élastique et σai = 70 MPa
Les aciers supérieurs sont dans le domaine plastique, on a donc σas = 435 MPa
iv) On calcule les efforts N et M















=





×−×××+






+−×+





−×=






−+





+−+





−=++=
=×××+×−×=
++=++=
−−
−−
mMN
d
h
fbdc
h
Ac
h
AMMMM
MN
fbdAANNNN
cdaiasbAiA
cdaiasbAiA
s
s
.704,06,04,0
2
6,0
.3,3360,060,08,0
06,0
2
6,0
.7010.73.1406,0
2
6,0
.43510.73,14
.4,0
2
.....8,0
2
..
2
..
334,103,3360,060,08,07010.73.1443510.73,14
....8,0..
44
44
αασσ
ασσ
Diagrammes de déformation : Point 5
Pivot C
εai
Pivot B
Pivot A
εas
-0.300
-0.200
-0.100
0.000
0.100
0.200
0.300
-5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00%
Déformation (εεεε)
ENPC Béton Armé et précontraint 1
Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 9/11
f) Point 6 - Pivot C
La section est entièrement comprimée.
La totalité de la section de béton travaille à
33,3 MPa.
Les aciers supérieurs et inférieurs ont une
déformation de 2 ‰ et sont donc dans le
domaine élastique et
. 0,002 200000 400ai as as sE MPaσ σ εσ σ εσ σ εσ σ ε= = = × == = = × == = = × == = = × =
On en déduit :
4 4
. . 0,8. . . .
14,73.10 400 14,73.10 400 0,6 0,6 33,3 13,166
0
s iA A b as ai cdN N N N A A d b f
MN
M
σ σ ασ σ ασ σ ασ σ α
− −− −− −− −
= + + = + += + + = + += + + = + += + + = + +

 = × + × + × × == × + × + × × == × + × + × × == × + × + × × =


 ====
Diagrammes de déformation : Point 6
Pivot C
εai
Pivot B
Pivot A
εas
-0.300
-0.200
-0.100
0.000
0.100
0.200
0.300
-5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00%
Déformation (εεεε)
ENPC Béton Armé et précontraint 1
Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 10/11
g) Récapitulation des points calculés
Point εai εb N M
Point 1 -4.50% -4.50% -1.281 MN 0.000 MN.m
Point 2 -4.50% 0.35% -0.574 MN 0.197 MN.m
Point 3 -1.00% 0.35% 2.187 MN 0.841 MN.m
Point 4 -0.35% 0.35% 4.316 MN 1.136 MN.m
Point 5 0.035% 0.35% 10.334 MN 0.704 MN.m
Point 6 0.20% 0.20% 13.166 MN 0.000 MN.m
Diagramme d'interaction
Point 2
Point 5
Point 1
Point 3
Point 4
Point 6
-1.5 MN.m
-1.0 MN.m
-0.5 MN.m
0.0 MN.m
0.5 MN.m
1.0 MN.m
1.5 MN.m
-4 MN -2 MN 0 MN 2 MN 4 MN 6 MN 8 MN 10 MN 12 MN 14 MN
N (MN)
M(MN.m)
Diagramme d'interaction complet
Point 2
Point 5
Point 1
Point 3
Point 4
Point 6
-1.5 MN.m
-1.0 MN.m
-0.5 MN.m
0.0 MN.m
0.5 MN.m
1.0 MN.m
1.5 MN.m
-4 MN -2 MN 0 MN 2 MN 4 MN 6 MN 8 MN 10 MN 12 MN 14 MN
N (MN)
M(MN.m)
Pivot A
Pivot B
Pivot C
ENPC Béton Armé et précontraint 1
Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 11/11
Exemple de feuille de calcul

Contenu connexe

Tendances

Calcul des poteaux élancés selon l'Eurocode 2
Calcul des poteaux élancés selon l'Eurocode 2Calcul des poteaux élancés selon l'Eurocode 2
Calcul des poteaux élancés selon l'Eurocode 2
Quang Huy Nguyen
 
Mur de soutènement
Mur de soutènementMur de soutènement
Mur de soutènement
Mamane Awel BANKA
 
Calcul des voiles en BA selon l’EC2
Calcul des voiles en BA selon l’EC2Calcul des voiles en BA selon l’EC2
Calcul des voiles en BA selon l’EC2
Quang Huy Nguyen
 
[Soutenance du PFE] Étude du flambement des poteaux selon l'EC2
[Soutenance du PFE] Étude du flambement des poteaux selon l'EC2[Soutenance du PFE] Étude du flambement des poteaux selon l'EC2
[Soutenance du PFE] Étude du flambement des poteaux selon l'EC2
PHAM Van Thuan
 
Passage du bael à l'eurocode 2
Passage du bael à l'eurocode 2Passage du bael à l'eurocode 2
Passage du bael à l'eurocode 2
Quang Huy Nguyen
 
Chap compression simple 1
Chap compression simple 1Chap compression simple 1
Chap compression simple 1
Zahir Hadji
 
Flexion composée résumés et exercices résolus
Flexion composée résumés et exercices résolusFlexion composée résumés et exercices résolus
Flexion composée résumés et exercices résolus
autremethode
 
Dalles 01. méthode des bandes
Dalles 01. méthode des bandesDalles 01. méthode des bandes
Dalles 01. méthode des bandes
Sami Sahli
 
40872913 formulaire-de-rdm
40872913 formulaire-de-rdm40872913 formulaire-de-rdm
40872913 formulaire-de-rdm
Athanas Konin
 
Cv corriger pdf
Cv corriger pdfCv corriger pdf
Cv corriger pdf
rochdi26
 
12 plancher-Eurocode 2
12 plancher-Eurocode 212 plancher-Eurocode 2
12 plancher-Eurocode 2
Smee Kaem Chann
 
chapitre 3: Pont mixtes bipoutre
chapitre 3: Pont mixtes bipoutrechapitre 3: Pont mixtes bipoutre
chapitre 3: Pont mixtes bipoutre
Adel Nehaoua
 
projet fin d'etude : ouvrage d'art
projet fin d'etude : ouvrage d'artprojet fin d'etude : ouvrage d'art
projet fin d'etude : ouvrage d'art
Mohamed Elhedi Ben Saad
 
Calcul de dalot
Calcul de dalotCalcul de dalot
Calcul de dalot
limmoud
 
15 poteau-2
15 poteau-215 poteau-2
15 poteau-2
Smee Kaem Chann
 
Dimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductiles
Dimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductilesDimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductiles
Dimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductiles
Chakir ZAKARIAE
 
Exercice corrigé en Bael - télécharger ici : http://goo.gl/6sYhUz
Exercice corrigé en Bael - télécharger ici : http://goo.gl/6sYhUzExercice corrigé en Bael - télécharger ici : http://goo.gl/6sYhUz
Exercice corrigé en Bael - télécharger ici : http://goo.gl/6sYhUz
Hani sami joga
 
Calcul du ferraillage d'une poutre
Calcul du ferraillage d'une poutreCalcul du ferraillage d'une poutre
Calcul du ferraillage d'une poutre
Nassima Bougteb 🏗
 
Flexion simple.pptx
Flexion simple.pptxFlexion simple.pptx
Flexion simple.pptx
BinWissal
 
charges permanentes
charges permanentescharges permanentes
charges permanentes
Minanissa Mima
 

Tendances (20)

Calcul des poteaux élancés selon l'Eurocode 2
Calcul des poteaux élancés selon l'Eurocode 2Calcul des poteaux élancés selon l'Eurocode 2
Calcul des poteaux élancés selon l'Eurocode 2
 
Mur de soutènement
Mur de soutènementMur de soutènement
Mur de soutènement
 
Calcul des voiles en BA selon l’EC2
Calcul des voiles en BA selon l’EC2Calcul des voiles en BA selon l’EC2
Calcul des voiles en BA selon l’EC2
 
[Soutenance du PFE] Étude du flambement des poteaux selon l'EC2
[Soutenance du PFE] Étude du flambement des poteaux selon l'EC2[Soutenance du PFE] Étude du flambement des poteaux selon l'EC2
[Soutenance du PFE] Étude du flambement des poteaux selon l'EC2
 
Passage du bael à l'eurocode 2
Passage du bael à l'eurocode 2Passage du bael à l'eurocode 2
Passage du bael à l'eurocode 2
 
Chap compression simple 1
Chap compression simple 1Chap compression simple 1
Chap compression simple 1
 
Flexion composée résumés et exercices résolus
Flexion composée résumés et exercices résolusFlexion composée résumés et exercices résolus
Flexion composée résumés et exercices résolus
 
Dalles 01. méthode des bandes
Dalles 01. méthode des bandesDalles 01. méthode des bandes
Dalles 01. méthode des bandes
 
40872913 formulaire-de-rdm
40872913 formulaire-de-rdm40872913 formulaire-de-rdm
40872913 formulaire-de-rdm
 
Cv corriger pdf
Cv corriger pdfCv corriger pdf
Cv corriger pdf
 
12 plancher-Eurocode 2
12 plancher-Eurocode 212 plancher-Eurocode 2
12 plancher-Eurocode 2
 
chapitre 3: Pont mixtes bipoutre
chapitre 3: Pont mixtes bipoutrechapitre 3: Pont mixtes bipoutre
chapitre 3: Pont mixtes bipoutre
 
projet fin d'etude : ouvrage d'art
projet fin d'etude : ouvrage d'artprojet fin d'etude : ouvrage d'art
projet fin d'etude : ouvrage d'art
 
Calcul de dalot
Calcul de dalotCalcul de dalot
Calcul de dalot
 
15 poteau-2
15 poteau-215 poteau-2
15 poteau-2
 
Dimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductiles
Dimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductilesDimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductiles
Dimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductiles
 
Exercice corrigé en Bael - télécharger ici : http://goo.gl/6sYhUz
Exercice corrigé en Bael - télécharger ici : http://goo.gl/6sYhUzExercice corrigé en Bael - télécharger ici : http://goo.gl/6sYhUz
Exercice corrigé en Bael - télécharger ici : http://goo.gl/6sYhUz
 
Calcul du ferraillage d'une poutre
Calcul du ferraillage d'une poutreCalcul du ferraillage d'une poutre
Calcul du ferraillage d'une poutre
 
Flexion simple.pptx
Flexion simple.pptxFlexion simple.pptx
Flexion simple.pptx
 
charges permanentes
charges permanentescharges permanentes
charges permanentes
 

En vedette

Organi 2
Organi 2Organi 2
Organi 2
Sofiane Stress
 
Formulaire de beton_arme
Formulaire de beton_armeFormulaire de beton_arme
Formulaire de beton_arme
Zahir Hadji
 
Rapport Dimensionnement BA
Rapport Dimensionnement BARapport Dimensionnement BA
Rapport Dimensionnement BA
Clément Lay
 
Béton armé 02
Béton armé 02Béton armé 02
Béton armé 02
Sami Sahli
 
cours de Fondations(Comparaison de FS par semelles & radier)
cours de Fondations(Comparaison de FS par semelles & radier)cours de Fondations(Comparaison de FS par semelles & radier)
cours de Fondations(Comparaison de FS par semelles & radier)
massinissachilla
 
Présentation1
Présentation1Présentation1
Présentation1
Paul Daou
 
Finite Element analysis of a hybrid RCS beam-column connection
Finite Element analysis of a hybrid RCS beam-column connectionFinite Element analysis of a hybrid RCS beam-column connection
Finite Element analysis of a hybrid RCS beam-column connection
Quang Huy Nguyen
 
Béton
BétonBéton
Béton
dendaninour
 
Le BéTon Armé
Le BéTon ArméLe BéTon Armé
Le BéTon Armé
jexpoz
 
Dessin technique lecture de plan
Dessin technique   lecture de planDessin technique   lecture de plan
Dessin technique lecture de plan
Revy Hugues Bonga
 
Mise en oeuvre et contrôle du béton
Mise en oeuvre et contrôle du bétonMise en oeuvre et contrôle du béton
Mise en oeuvre et contrôle du béton
Sami Sahli
 
Mémento technique du bâtiment facades
Mémento technique du bâtiment facadesMémento technique du bâtiment facades
Mémento technique du bâtiment facades
Khadime Dramé
 
Exposé Cloisons
Exposé CloisonsExposé Cloisons
Exposé Cloisons
jexpoz
 
Murs rideaux et menuiserie
Murs rideaux et menuiserieMurs rideaux et menuiserie
Murs rideaux et menuiserie
Sami Sahli
 

En vedette (20)

Organi 2
Organi 2Organi 2
Organi 2
 
Formulaire de beton_arme
Formulaire de beton_armeFormulaire de beton_arme
Formulaire de beton_arme
 
Rapport Dimensionnement BA
Rapport Dimensionnement BARapport Dimensionnement BA
Rapport Dimensionnement BA
 
Béton armé 02
Béton armé 02Béton armé 02
Béton armé 02
 
cours de Fondations(Comparaison de FS par semelles & radier)
cours de Fondations(Comparaison de FS par semelles & radier)cours de Fondations(Comparaison de FS par semelles & radier)
cours de Fondations(Comparaison de FS par semelles & radier)
 
Mini projet
Mini projetMini projet
Mini projet
 
Présentation1
Présentation1Présentation1
Présentation1
 
Finite Element analysis of a hybrid RCS beam-column connection
Finite Element analysis of a hybrid RCS beam-column connectionFinite Element analysis of a hybrid RCS beam-column connection
Finite Element analysis of a hybrid RCS beam-column connection
 
Escaliers
EscaliersEscaliers
Escaliers
 
Béton 01
Béton 01Béton 01
Béton 01
 
Béton
BétonBéton
Béton
 
Le BéTon Armé
Le BéTon ArméLe BéTon Armé
Le BéTon Armé
 
Construction batiment structure_14
Construction batiment structure_14Construction batiment structure_14
Construction batiment structure_14
 
Les matériaux de la construction
Les matériaux de la constructionLes matériaux de la construction
Les matériaux de la construction
 
Dessin technique lecture de plan
Dessin technique   lecture de planDessin technique   lecture de plan
Dessin technique lecture de plan
 
Béton armé
Béton arméBéton armé
Béton armé
 
Mise en oeuvre et contrôle du béton
Mise en oeuvre et contrôle du bétonMise en oeuvre et contrôle du béton
Mise en oeuvre et contrôle du béton
 
Mémento technique du bâtiment facades
Mémento technique du bâtiment facadesMémento technique du bâtiment facades
Mémento technique du bâtiment facades
 
Exposé Cloisons
Exposé CloisonsExposé Cloisons
Exposé Cloisons
 
Murs rideaux et menuiserie
Murs rideaux et menuiserieMurs rideaux et menuiserie
Murs rideaux et menuiserie
 

Similaire à Baep 1 -_flexion_composee

Chapitre 04.flexion simple.
Chapitre 04.flexion simple.Chapitre 04.flexion simple.
Chapitre 04.flexion simple.
MIMI GC
 
abstract of end of year project
abstract of end of year projectabstract of end of year project
abstract of end of year project
khattabi nader
 
Lmd st3 m.r. février2008
Lmd st3 m.r.  février2008Lmd st3 m.r.  février2008
Lmd st3 m.r. février2008
m.a bensaaoud
 
Exercices corrigés les matrices- djeddi kamel
Exercices corrigés les matrices- djeddi kamelExercices corrigés les matrices- djeddi kamel
Exercices corrigés les matrices- djeddi kamel
Kamel Djeddi
 
7 poutre
7 poutre7 poutre
7 poutre
ameurbachir
 
Fiche 1 de revision eb9
Fiche 1 de revision eb9Fiche 1 de revision eb9
Fiche 1 de revision eb9
zeinabze
 
Projet Methode numerique_(MENG Try)
Projet Methode numerique_(MENG Try)Projet Methode numerique_(MENG Try)
Projet Methode numerique_(MENG Try)
meng try
 
Journal review - Simplex Optimization of Production Mix : A case of Custard ...
Journal review - Simplex Optimization of Production Mix : A case of Custard ...Journal review - Simplex Optimization of Production Mix : A case of Custard ...
Journal review - Simplex Optimization of Production Mix : A case of Custard ...
ayu bekti
 
Rattrapage 2000 2001
Rattrapage 2000 2001Rattrapage 2000 2001
Rattrapage 2000 2001
m.a bensaaoud
 
15 optimisation d'une structure
15 optimisation d'une structure15 optimisation d'une structure
15 optimisation d'une structure
richardpleau
 
Analyse de structure i4
Analyse de structure i4Analyse de structure i4
KUY Limeng,e20190482(I4GCI-B).pdf
KUY Limeng,e20190482(I4GCI-B).pdfKUY Limeng,e20190482(I4GCI-B).pdf
KUY Limeng,e20190482(I4GCI-B).pdf
Institute of Technology of Cambodia
 
Treillis isostatiques cour et TD.pdf
Treillis isostatiques cour et TD.pdfTreillis isostatiques cour et TD.pdf
Treillis isostatiques cour et TD.pdf
GeorgesEponon
 
Td dimensionnenemt d'arbre
Td dimensionnenemt d'arbreTd dimensionnenemt d'arbre
Td dimensionnenemt d'arbre
Youssef Trimech
 
Cours engrenages v2
Cours engrenages v2Cours engrenages v2
Cours engrenages v2
BENFAH
 
Dimensionnement des pannes et traverses, et pré-Dimensionnement des montants ...
Dimensionnement des pannes et traverses, et pré-Dimensionnement des montants ...Dimensionnement des pannes et traverses, et pré-Dimensionnement des montants ...
Dimensionnement des pannes et traverses, et pré-Dimensionnement des montants ...
Seckou Fossar SOUANE
 
Corrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptxCorrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptx
Midoxotk
 
103433 flexion hyperstatique
103433 flexion hyperstatique103433 flexion hyperstatique
103433 flexion hyperstatique
Aissa Ouai
 
Étude cinématique d'un roulement à billes
Étude cinématique d'un roulement à billesÉtude cinématique d'un roulement à billes
Étude cinématique d'un roulement à billes
Rodrigo González Ballesteros
 

Similaire à Baep 1 -_flexion_composee (20)

Chapitre 04.flexion simple.
Chapitre 04.flexion simple.Chapitre 04.flexion simple.
Chapitre 04.flexion simple.
 
abstract of end of year project
abstract of end of year projectabstract of end of year project
abstract of end of year project
 
Lmd st3 m.r. février2008
Lmd st3 m.r.  février2008Lmd st3 m.r.  février2008
Lmd st3 m.r. février2008
 
Exercices corrigés les matrices- djeddi kamel
Exercices corrigés les matrices- djeddi kamelExercices corrigés les matrices- djeddi kamel
Exercices corrigés les matrices- djeddi kamel
 
7 poutre
7 poutre7 poutre
7 poutre
 
Chap 4 déterminant
Chap 4 déterminantChap 4 déterminant
Chap 4 déterminant
 
Fiche 1 de revision eb9
Fiche 1 de revision eb9Fiche 1 de revision eb9
Fiche 1 de revision eb9
 
Projet Methode numerique_(MENG Try)
Projet Methode numerique_(MENG Try)Projet Methode numerique_(MENG Try)
Projet Methode numerique_(MENG Try)
 
Journal review - Simplex Optimization of Production Mix : A case of Custard ...
Journal review - Simplex Optimization of Production Mix : A case of Custard ...Journal review - Simplex Optimization of Production Mix : A case of Custard ...
Journal review - Simplex Optimization of Production Mix : A case of Custard ...
 
Rattrapage 2000 2001
Rattrapage 2000 2001Rattrapage 2000 2001
Rattrapage 2000 2001
 
15 optimisation d'une structure
15 optimisation d'une structure15 optimisation d'une structure
15 optimisation d'une structure
 
Analyse de structure i4
Analyse de structure i4Analyse de structure i4
Analyse de structure i4
 
KUY Limeng,e20190482(I4GCI-B).pdf
KUY Limeng,e20190482(I4GCI-B).pdfKUY Limeng,e20190482(I4GCI-B).pdf
KUY Limeng,e20190482(I4GCI-B).pdf
 
Treillis isostatiques cour et TD.pdf
Treillis isostatiques cour et TD.pdfTreillis isostatiques cour et TD.pdf
Treillis isostatiques cour et TD.pdf
 
Td dimensionnenemt d'arbre
Td dimensionnenemt d'arbreTd dimensionnenemt d'arbre
Td dimensionnenemt d'arbre
 
Cours engrenages v2
Cours engrenages v2Cours engrenages v2
Cours engrenages v2
 
Dimensionnement des pannes et traverses, et pré-Dimensionnement des montants ...
Dimensionnement des pannes et traverses, et pré-Dimensionnement des montants ...Dimensionnement des pannes et traverses, et pré-Dimensionnement des montants ...
Dimensionnement des pannes et traverses, et pré-Dimensionnement des montants ...
 
Corrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptxCorrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptx
 
103433 flexion hyperstatique
103433 flexion hyperstatique103433 flexion hyperstatique
103433 flexion hyperstatique
 
Étude cinématique d'un roulement à billes
Étude cinématique d'un roulement à billesÉtude cinématique d'un roulement à billes
Étude cinématique d'un roulement à billes
 

Dernier

GUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGES
GUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGESGUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGES
GUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGES
DjibrilToure5
 
1e Espaces productifs 2024.Espaces productif
1e Espaces productifs 2024.Espaces productif1e Espaces productifs 2024.Espaces productif
1e Espaces productifs 2024.Espaces productif
NadineHG
 
Auguste Herbin.pptx Peintre français
Auguste   Herbin.pptx Peintre   françaisAuguste   Herbin.pptx Peintre   français
Auguste Herbin.pptx Peintre français
Txaruka
 
Zineb Mekouar.pptx Écrivaine marocaine
Zineb Mekouar.pptx   Écrivaine  marocaineZineb Mekouar.pptx   Écrivaine  marocaine
Zineb Mekouar.pptx Écrivaine marocaine
Txaruka
 
1e geo metropolisation metropolisation x
1e geo metropolisation metropolisation x1e geo metropolisation metropolisation x
1e geo metropolisation metropolisation x
NadineHG
 
La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...
La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...
La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...
Editions La Dondaine
 
A1- Compréhension orale - présentations.pdf
A1- Compréhension orale - présentations.pdfA1- Compréhension orale - présentations.pdf
A1- Compréhension orale - présentations.pdf
lebaobabbleu
 
Burkina Faso libraries newsletter for June 2024
Burkina Faso libraries newsletter for June 2024Burkina Faso libraries newsletter for June 2024
Burkina Faso libraries newsletter for June 2024
Friends of African Village Libraries
 
Droits et devoirs, éthique universitaire..
Droits et devoirs, éthique universitaire..Droits et devoirs, éthique universitaire..
Droits et devoirs, éthique universitaire..
TarikBouchala
 
MÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdf
MÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdfMÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdf
MÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdf
lebaobabbleu
 

Dernier (10)

GUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGES
GUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGESGUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGES
GUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGES
 
1e Espaces productifs 2024.Espaces productif
1e Espaces productifs 2024.Espaces productif1e Espaces productifs 2024.Espaces productif
1e Espaces productifs 2024.Espaces productif
 
Auguste Herbin.pptx Peintre français
Auguste   Herbin.pptx Peintre   françaisAuguste   Herbin.pptx Peintre   français
Auguste Herbin.pptx Peintre français
 
Zineb Mekouar.pptx Écrivaine marocaine
Zineb Mekouar.pptx   Écrivaine  marocaineZineb Mekouar.pptx   Écrivaine  marocaine
Zineb Mekouar.pptx Écrivaine marocaine
 
1e geo metropolisation metropolisation x
1e geo metropolisation metropolisation x1e geo metropolisation metropolisation x
1e geo metropolisation metropolisation x
 
La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...
La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...
La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...
 
A1- Compréhension orale - présentations.pdf
A1- Compréhension orale - présentations.pdfA1- Compréhension orale - présentations.pdf
A1- Compréhension orale - présentations.pdf
 
Burkina Faso libraries newsletter for June 2024
Burkina Faso libraries newsletter for June 2024Burkina Faso libraries newsletter for June 2024
Burkina Faso libraries newsletter for June 2024
 
Droits et devoirs, éthique universitaire..
Droits et devoirs, éthique universitaire..Droits et devoirs, éthique universitaire..
Droits et devoirs, éthique universitaire..
 
MÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdf
MÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdfMÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdf
MÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdf
 

Baep 1 -_flexion_composee

  • 1. ENPC Béton Armé et précontraint 1 Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 1/11 Application BAEP 1 Flexion composée – Diagramme d’interaction Exemple d’un poteau On considère un poteau carré de 60 cm de côté en béton C50. Les efforts à l’ELU qui s’appliquent sur ce poteau sont N = 3,2MN et M = 1,0 MN.m. Hypothèses : - On utilisera la branche horizontale du diagramme contraintes-déformations de l’acier. - Le centre de gravité des aciers est positionné à 6 cm du bord de la section (c=6cm). 1) Déterminer le ferraillage dissymétrique du poteau par la méthode d’assimilation à la flexion simple. 2) Déterminer le ferraillage symétrique du poteau et en déduire le ferraillage pratique. 3) A partir du ferraillage pratique déterminé à la question 2), déterminer le diagramme d’interaction du poteau. Indications : Pour la question 3), on pourra calculer les efforts N et M correspondants aux diagrammes de déformation du tableau suivant : εai εb N M -45 ‰ -45 ‰ -45 ‰ 3,5 ‰ -10 ‰ 3,5 ‰ -3,5 ‰ 3,5 ‰ 0,35 ‰ 3,5 ‰ 2 ‰ 2 ‰ Rappels : α.d εai εb ε εb σ σai σas d 0,8α.d Ai As Diagramme des déformations Diagramme des contraintes
  • 2. ENPC Béton Armé et précontraint 1 Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 2/11 1) Détermination du ferraillage dissymétrique par la méthode d’assimilation à la flexion simple. Excentricité : 6 313,0 h m N M e ≥== ⇒ la section est partiellement comprimée. Béton C50 => 50 33,3 1,5 ck cd c f f MPa γγγγ = = == = == = == = = Branche horizontale du diagramme de l’acier => 500 435 1,15 yk yd s f f MPa γγγγ = = == = == = == = = Aciers situés à 6 cm du bord de la section => d = h-c = 0,54m a) Calcul du moment par rapport aux aciers tendus. 0,6 . 1,0 3,2. 0,06 1,768 . 2 2A h M M N c MN m              = + − = + − == + − = + − == + − = + − == + − = + − =                          b) On calcule la section d’acier nécessaire pour équilibrer le moment MA (calcul en flexion simple). 2 2 1,768 0,303 . . 0,6 0,54 33,3 A cd M b d f µµµµ = = == = == = == = = × ×× ×× ×× × => Pivot B (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))1,25. 1 1 2. 1,25. 1 1 2 0,303 0,465α µα µα µα µ= − − = − − × == − − = − − × == − − = − − × == − − = − − × = (((( )))) (((( )))) 21,768 92,4 0,4. . 0,54 0,4 0,465 0,54 .435 A yk M cm d d fαααα = = == = == = == = = − − × ×− − × ×− − × ×− − × × AAAA c) On en déduit la section nécessaire pour reprendre la flexion composée. 4 23,2 92,4.10 18,9 435yd N A cm f −−−− = − = − == − = − == − = − == − = − =AAAA εb = 3,5 ‰ εst = (1-α)/α.3,5 ‰ = 4,03 ‰ => σst = 435 MPa
  • 3. ENPC Béton Armé et précontraint 1 Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 3/11 2) Détermination du ferraillage symétrique. a) On écrit l’équilibre au centre de gravité de la section . . 0,8. . . . . . . 0,8. . . . 0,4. . 2 2 2 s i s i A A b sts sti cd A A b sts sti cd N N N N A A d b f h h h M M M M A c A c d b f d σ σ ασ σ ασ σ ασ σ α σ σ α ασ σ α ασ σ α ασ σ α α = + + = + += + + = + += + + = + += + + = + +                        = + + = − + − + + −= + + = − + − + + −= + + = − + − + + −= + + = − + − + + −                                           b) On fait l’hypothèse (1) que les aciers supérieurs sont comprimés et ont atteint leur limite d’élasticité et que les aciers inférieurs sont tendus et ont atteint leur limite d’élasticité. On a donc 435sts sti MPaσ σσ σσ σσ σ= − == − == − == − = On en déduit 0,8. . . .b cdN N d b fαααα= == == == = et donc 3,2 0,371 0,8. . . 0,8 0,54 0,6 33,3cd N d b f αααα = = == = == = == = = × × ×× × ×× × ×× × × c) On vérifie l’hypothèse (1) αd = 0,2 m > c=0,06m => les aciers supérieurs sont en compression. ‰17,2‰45,2 2,0 06,02,0 0035,0 . . =>= − = − = S yd bas E f d cd α α εε Les aciers supérieurs ont bien atteint la limite d’élasticité et travaillent donc à 435 MPa. ‰17,2‰95,5 2,0 54,02,0 0035,0 . . −=−<−= − = − = S yd bai E f d dd α α εε Les aciers inférieurs sont tendus et ont bien atteint la limite d’élasticité et travaillent donc à 435 MPa. d) On calcule la section d’acier       −+      −=++= d h Nc h fAMMMM ydbAiAq ..4,0 2 . 2 ...2 α e) On détermine le ferraillage pratique Barre Section HA 8 0.503 cm² 29 barres soit 14.58 cm² HA 10 0.785 cm² 19 barres soit 14.92 cm² HA 12 1.131 cm² 13 barres soit 14.70 cm² HA 14 1.539 cm² 10 barres soit 15.39 cm² HA 16 2.011 cm² 8 barres soit 16.08 cm² HA 20 3.142 cm² 5 barres soit 15.71 cm² HA 25 4.909 cm² 3 barres soit 14.73 cm² HA 32 8.042 cm² 2 barres soit 16.08 cm² Ferraillage pratique pour 14.17 cm² 2 17,14 06,0 2 6,0 4352 54,0371,04,0 2 6,0 .2,31 2 ..2 ..4,0 2 . cm c h f d h NM A yd =       −××       ××−− =       −       −− = α 3 HA25 3 HA25
  • 4. ENPC Béton Armé et précontraint 1 Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 4/11 3) Construction du diagramme d’interaction. On utilise le ferraillage pratique déterminé ci-dessus : Ai = As = 14,73 cm² On calcule les points suivants du diagramme d’interaction Point εai εb N M Point 1 -45 ‰ -45 ‰ Point 2 -45 ‰ 3,5 ‰ Point 3 -10 ‰ 3,5 ‰ Point 4 -3,5 ‰ 3,5 ‰ Point 5 0,35 ‰ 3,5 ‰ Point 6 2 ‰ 2 ‰ Diagrammes de déformations Pivot C Pivot B Pivot A -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 -5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00% Déformation (εεεε) Point 1 Point 2 Point 3 Point 4 Point 5 Point 6 a) Point 1 - Pivot A La section est entièrement tendue. Le béton ne travaille pas. Les aciers supérieurs et inférieurs ont une déformation de -45 ‰ et ont donc atteint leur limite d’élasticité. Ils travaillent donc à 435 MPa. On en déduit : 4 2. . 2 14,73.10 435 1,281 . . . . 0 . 2 2 yd yd yd N A f MN h h M A f c A f c MN m −−−−  = − = − × × = −= − = − × × = −= − = − × × = −= − = − × × = −                = − + − + == − + − + == − + − + == − + − + =                           Diagrammes de déformation : Point 1 Pivot C εai Pivot B Pivot A εas -0.300 -0.200 -0.100 0.000 0.100 0.200 0.300 -5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00% Déformation (εεεε)
  • 5. ENPC Béton Armé et précontraint 1 Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 5/11 b) Point 2 - Pivot A-B i) On calcule la hauteur comprimée αd 0,35 0,54 0,039 0,35 4,5 b b ai d d m εεεε αααα ε εε εε εε ε = = == = == = == = = − +− +− +− + ii) On calcule la déformation des aciers supérieurs Ceux-ci sont situés à 6cm du bord de la section. La hauteur comprimée étant de 3,9cm, on en déduit que les aciers supérieurs sont tendus. ‰17,2‰88,1 039,0 06,0039,0 0035,0 . . −=−>−= − = − = S yd bas E f d cd α α εε Les aciers supérieurs sont dans le domaine élastique iii) On calcule les contraintes dans les aciers On a εai = -45 ‰. Les aciers inférieurs sont donc tendus et plastifiés et σai = 435 MPa Les aciers supérieurs sont dans le domaine élastique, on a donc . 0,00188 200000 376as as sE MPaσ εσ εσ εσ ε= = × == = × == = × == = × = iv) On calcule les efforts N et M 4 4 4 . . 0,8. . . . 14,73.10 376 14,73.10 435 0,8 0,039 0,6 33,3 0,571 . . . . 0,8. . . . 0,4. 2 2 2 0,6 14,73.10 376 0,06 2 s i s i A A b as ai cd A A b as ai cd N N N N A A d b f MN h h h M M M M A c A c d b f d σ σ ασ σ ασ σ ασ σ α σ σ α ασ σ α ασ σ α ασ σ α α − −− −− −− − −−−− = + + = − − += + + = − − += + + = − − += + + = − − + = − × − × + × × × = −= − × − × + × × × = −= − × − × + × × × = −= − × − × + × × × = −                      = + + = − − − − + + −= + + = − − − − + + −= + + = − − − − + + −= + + = − − − − + + −                                          = − × −= − × −= − × −= − × − 4 0,6 14,73.10 435 0,06 2 0,6 0,8 0,039 0,6 33,3 0,4 0,039 0,198 . 2 MN m −−−−                       − × − +− × − +− × − +− × − +                                + × × × − × =+ × × × − × =+ × × × − × =+ × × × − × =          Diagrammes de déformation : Point 2 Pivot C εai Pivot B Pivot A εas -0.300 -0.200 -0.100 0.000 0.100 0.200 0.300 -5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00% Déformation (εεεε)
  • 6. ENPC Béton Armé et précontraint 1 Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 6/11 c) Point 3 - Pivot B i) On calcule la hauteur comprimée αd 0,35 0,54 0,14 0,35 1,0 b b ai d d m εεεε αααα ε εε εε εε ε = = == = == = == = = − +− +− +− + ii) On calcule la déformation des aciers supérieurs Ceux-ci sont situés à 6cm du bord de la section. La hauteur comprimée étant de 14cm, on en déduit que les aciers supérieurs sont comprimés. ‰17,2‰0,2 14,0 06,014,0 0035,0 . . =<= − = − = S yd bas E f d cd α α εε Les aciers supérieurs sont dans le domaine élastique iii) On calcule les contraintes dans les aciers On a εai = -10 ‰. Les aciers inférieurs sont donc tendus et plastifiés et σai = 435 MPa Les aciers supérieurs sont dans le domaine élastique, on a donc . 0,002 200000 400as as sE MPaσ εσ εσ εσ ε= = × == = × == = × == = × = iv) On calcule les efforts N et M 4 4 4 . . 0,8. . . . 14,73.10 400 14,73.10 435 0,8 0,14 0,6 33,3 2,186 . . . . 0,8. . . . 0,4. 2 2 2 0,6 14,73.10 400 0,06 2 s i s i A A b as ai cd A A b as ai cd N N N N A A d b f MN h h h M M M M A c A c d b f d σ σ ασ σ ασ σ ασ σ α σ σ α ασ σ α ασ σ α ασ σ α α − −− −− −− − −−−− = + + = − += + + = − += + + = − += + + = − + = × − × + × × × == × − × + × × × == × − × + × × × == × − × + × × × =                      = + + = − − − + + −= + + = − − − + + −= + + = − − − + + −= + + = − − − + + −                                               = × −= × −= × −= × −          4 0,6 14,73.10 435 0,06 2 0,6 0,8 0,14 0,6 33,3 0,4 0,14 0,841 . 2 MN m −−−−               − × − +− × − +− × − +− × − +                + × × × − × =+ × × × − × =+ × × × − × =+ × × × − × =          Diagrammes de déformation : Point 3 Pivot C εai Pivot B Pivot A εas -0.300 -0.200 -0.100 0.000 0.100 0.200 0.300 -5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00% Déformation (εεεε)
  • 7. ENPC Béton Armé et précontraint 1 Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 7/11 d) Point 4 - Pivot B i) On calcule la hauteur comprimée αd 0,35 0,54 0,27 0,35 0,35 b b ai d d m εεεε αααα ε εε εε εε ε = = == = == = == = = − +− +− +− + ii) On calcule la déformation des aciers supérieurs Ceux-ci sont situés à 6cm du bord de la section. La hauteur comprimée étant de 27cm, on en déduit que les aciers supérieurs sont comprimés. ‰17,2‰72,2 27,0 06,027,0 0035,0 . . =>= − = − = S yd bas E f d cd α α εε Les aciers supérieurs sont dans le domaine plastique iii) On calcule les contraintes dans les aciers On a εai = -3,5 ‰. Les aciers inférieurs sont donc tendus et plastifiés et σai = 435 MPa Les aciers supérieurs sont dans le domaine plastique, on a donc σas = 435 MPa iv) On calcule les efforts N et M 4 4 4 . . 0,8. . . . 14,73.10 435 14,73.10 435 0,8 0,27 0,6 33,3 4,316 . . . . 0,8. . . . 0,4. 2 2 2 0,6 14,73.10 435 0,06 2 s i s i A A b as ai cd A A b as ai cd N N N N A A d b f MN h h h M M M M A c A c d b f d σ σ ασ σ ασ σ ασ σ α σ σ α ασ σ α ασ σ α ασ σ α α − −− −− −− − −−−− = + + = − += + + = − += + + = − += + + = − + = × − × + × × × == × − × + × × × == × − × + × × × == × − × + × × × =                      = + + = − − − + + −= + + = − − − + + −= + + = − − − + + −= + + = − − − + + −                                               = × −= × −= × −= × −          4 0,6 14,73.10 435 0,06 2 0,6 0,8 0,27 0,6 33,3 0,4 0,27 1,136 . 2 MN m −−−−               − × − +− × − +− × − +− × − +                + × × × − × =+ × × × − × =+ × × × − × =+ × × × − × =          Diagrammes de déformation : Point 4 Pivot C εai Pivot B Pivot A εas -0.300 -0.200 -0.100 0.000 0.100 0.200 0.300 -5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00% Déformation (εεεε)
  • 8. ENPC Béton Armé et précontraint 1 Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 8/11 e) Point 5 - Pivot B-C i) On calcule la hauteur comprimée αd mdd aib b 6,0 315,0 35,0 54,0 == − = εε ε α ii) On calcule la déformation des aciers supérieurs Ceux-ci sont situés à 6cm du bord de la section. La section étant totalement comprimée, on en déduit que les aciers supérieurs sont comprimés. ‰17,2‰15,3 60,0 06,060,0 0035,0 . . =>= − = − = S yd bas E f d cd α α εε Les aciers supérieurs sont dans le domaine plastique iii) On calcule les contraintes dans les aciers On a εai = 0,35 ‰. Les aciers inférieurs sont dans le domaine élastique et σai = 70 MPa Les aciers supérieurs sont dans le domaine plastique, on a donc σas = 435 MPa iv) On calcule les efforts N et M                =      ×−×××+       +−×+      −×=       −+      +−+      −=++= =×××+×−×= ++=++= −− −− mMN d h fbdc h Ac h AMMMM MN fbdAANNNN cdaiasbAiA cdaiasbAiA s s .704,06,04,0 2 6,0 .3,3360,060,08,0 06,0 2 6,0 .7010.73.1406,0 2 6,0 .43510.73,14 .4,0 2 .....8,0 2 .. 2 .. 334,103,3360,060,08,07010.73.1443510.73,14 ....8,0.. 44 44 αασσ ασσ Diagrammes de déformation : Point 5 Pivot C εai Pivot B Pivot A εas -0.300 -0.200 -0.100 0.000 0.100 0.200 0.300 -5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00% Déformation (εεεε)
  • 9. ENPC Béton Armé et précontraint 1 Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 9/11 f) Point 6 - Pivot C La section est entièrement comprimée. La totalité de la section de béton travaille à 33,3 MPa. Les aciers supérieurs et inférieurs ont une déformation de 2 ‰ et sont donc dans le domaine élastique et . 0,002 200000 400ai as as sE MPaσ σ εσ σ εσ σ εσ σ ε= = = × == = = × == = = × == = = × = On en déduit : 4 4 . . 0,8. . . . 14,73.10 400 14,73.10 400 0,6 0,6 33,3 13,166 0 s iA A b as ai cdN N N N A A d b f MN M σ σ ασ σ ασ σ ασ σ α − −− −− −− − = + + = + += + + = + += + + = + += + + = + +   = × + × + × × == × + × + × × == × + × + × × == × + × + × × =    ==== Diagrammes de déformation : Point 6 Pivot C εai Pivot B Pivot A εas -0.300 -0.200 -0.100 0.000 0.100 0.200 0.300 -5.00% -4.00% -3.00% -2.00% -1.00% 0.00% 1.00% Déformation (εεεε)
  • 10. ENPC Béton Armé et précontraint 1 Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 10/11 g) Récapitulation des points calculés Point εai εb N M Point 1 -4.50% -4.50% -1.281 MN 0.000 MN.m Point 2 -4.50% 0.35% -0.574 MN 0.197 MN.m Point 3 -1.00% 0.35% 2.187 MN 0.841 MN.m Point 4 -0.35% 0.35% 4.316 MN 1.136 MN.m Point 5 0.035% 0.35% 10.334 MN 0.704 MN.m Point 6 0.20% 0.20% 13.166 MN 0.000 MN.m Diagramme d'interaction Point 2 Point 5 Point 1 Point 3 Point 4 Point 6 -1.5 MN.m -1.0 MN.m -0.5 MN.m 0.0 MN.m 0.5 MN.m 1.0 MN.m 1.5 MN.m -4 MN -2 MN 0 MN 2 MN 4 MN 6 MN 8 MN 10 MN 12 MN 14 MN N (MN) M(MN.m) Diagramme d'interaction complet Point 2 Point 5 Point 1 Point 3 Point 4 Point 6 -1.5 MN.m -1.0 MN.m -0.5 MN.m 0.0 MN.m 0.5 MN.m 1.0 MN.m 1.5 MN.m -4 MN -2 MN 0 MN 2 MN 4 MN 6 MN 8 MN 10 MN 12 MN 14 MN N (MN) M(MN.m) Pivot A Pivot B Pivot C
  • 11. ENPC Béton Armé et précontraint 1 Application – Calcul d’un poteau en flexion composée 11/11 Exemple de feuille de calcul