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Chapitre II
Analyse de Fourier
N.Soudani
Chapitre II : Analyse de Fourier
› On peut représenter les signaux soit:
 Temporellement
 Fréquentiellement
› Le passage du domaine temporel au domaine fréquentiel se fait de deux
manières :
 Série de Fourier (pour les signaux périodiques)
 Transformée de Fourier (pour tous les signaux)
I. Développement en série de Fourier
Tout signal périodique est développable en série de Fourier dans ℝ et on
parle de première forme ou dans ℂ et on parle de deuxième forme.
I.1. Première forme
Si 𝑇0 est la période d’un signal périodique x(t) de pulsation 𝜔0 alors on
peut écrire :
Chapitre II : Analyse de Fourier
𝑥 𝑡 = 𝑎0 + 𝑛=1
+∞
[𝑎𝑛cos 𝑛𝜔0𝑡 + 𝑏𝑛 sin 𝑛𝜔0𝑡 ]
Avec 𝑓0 =
𝜔0
2𝜋
: la fréquence fondamentale
𝑛𝑓0 : sont les harmoniques
𝑎0 =
1
𝑇0 −𝑇0 2
𝑇0 2
𝑥 𝑡 𝑑𝑡 : valeur moyenne
𝑎𝑛 =
2
𝑇0 −𝑇0 2
𝑇0 2
𝑥 𝑡 cos(𝑛𝜔0𝑡)𝑑𝑡
𝑎𝑛 et 𝑏𝑛 sont les coefficients de Fourier
𝑏𝑛 =
2
𝑇0 −𝑇0 2
𝑇0 2
𝑥 𝑡 sin(𝑛𝜔0𝑡)𝑑𝑡
Exercice: signal carré
Chapitre II : Analyse de Fourier
I.2. Deuxième forme
C’est le développement en série de Fourier en utilisant l’écriture complexe,
on alors :
𝑥 𝑡 =
−∞
+∞
𝐶𝑛exp(−𝑗𝑛𝜔0𝑡)
Avec 𝐶𝑛 sont les coefficients complexes de Fourier tels que :
𝐶𝑛 =
1
𝑇0 −𝑇0 2
𝑇0 2
𝑥 𝑡 , exp −𝑗𝑛𝜔0𝑡 𝑑𝑡
Exercice
Chapitre II : Analyse de Fourier
I.3. Egalité de Parseval
C’est la conservation de la puissance entre le domaine temporel et le
domaine fréquentiel.
La quantité 𝐶𝑛 ² =
𝑎²𝑛+𝑏²𝑛
4
représente la puissance de l’harmonique n.
Egalité de Parseval :
𝑛=−∞
+∞
𝐶𝑛
2
=
1
𝑇0 −𝑇0 2
𝑇0 2
𝑥(𝑡) 2
𝑑𝑡
II. Transformée de Fourier
II.1. Définition
La transformée de Fourier de x(t), notée X(f) est définie par :
𝑋 𝑓 =
−∞
+∞
𝑥 𝑡 . exp −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡
Chapitre II : Analyse de Fourier
II.2. Propriétés
1. Transformée de Fourier inverse :
𝑥 𝑡 =
−∞
+∞
𝑋 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓
2. Linéarité:
𝑇𝐹 𝛼𝑥 𝑡 + 𝛽𝑦 𝑡 = 𝛼𝑋 𝑓 + 𝛽𝑌(𝑓)
3. Valeur à l’origine :
𝑋 0 = −∞
+∞
𝑥 𝑡 𝑑𝑡 et 𝑥 0 = −∞
+∞
𝑋 𝑓 𝑑𝑓
4. Réciprocité :
Si TF x t = 𝑋 𝑓 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑇𝐹 𝑋 𝑡 = 𝑥(−𝑓)
5. Changement d’échelle :
𝑇𝐹(𝑥 𝑎𝑡) =
1
𝑎
X(
𝑓
𝑎
)
Chapitre II : Analyse de Fourier
Cas particulier a=-1
𝑇𝐹(𝑥 −𝑡) = X(−𝑓)
6. Retard :
𝑇𝐹(𝑥 𝑡 ± 𝑡0 ) = 𝑋 𝑓 exp(±𝑗2𝜋𝑓𝑡0)
7. TF et dérivée:
𝑇𝐹(
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
) = (𝑗2𝜋𝑓)𝑋 𝑓
Ou plus généralement, 𝑇𝐹(
𝑑𝑛𝑥 𝑡
𝑑𝑡𝑛 ) = 𝑗2𝜋𝑓 𝑛
𝑋 𝑓
8. TF et primitive:
𝑇𝐹
−∞
𝑡
𝑥 𝑢 𝑑𝑢 =
1
𝑗2𝜋𝑓
𝑋 𝑓 +
1
2
𝑋(0)𝛿(𝑓)

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  • 1. Chapitre II Analyse de Fourier N.Soudani
  • 2. Chapitre II : Analyse de Fourier › On peut représenter les signaux soit:  Temporellement  Fréquentiellement › Le passage du domaine temporel au domaine fréquentiel se fait de deux manières :  Série de Fourier (pour les signaux périodiques)  Transformée de Fourier (pour tous les signaux) I. Développement en série de Fourier Tout signal périodique est développable en série de Fourier dans ℝ et on parle de première forme ou dans ℂ et on parle de deuxième forme. I.1. Première forme Si 𝑇0 est la période d’un signal périodique x(t) de pulsation 𝜔0 alors on peut écrire :
  • 3. Chapitre II : Analyse de Fourier 𝑥 𝑡 = 𝑎0 + 𝑛=1 +∞ [𝑎𝑛cos 𝑛𝜔0𝑡 + 𝑏𝑛 sin 𝑛𝜔0𝑡 ] Avec 𝑓0 = 𝜔0 2𝜋 : la fréquence fondamentale 𝑛𝑓0 : sont les harmoniques 𝑎0 = 1 𝑇0 −𝑇0 2 𝑇0 2 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 : valeur moyenne 𝑎𝑛 = 2 𝑇0 −𝑇0 2 𝑇0 2 𝑥 𝑡 cos(𝑛𝜔0𝑡)𝑑𝑡 𝑎𝑛 et 𝑏𝑛 sont les coefficients de Fourier 𝑏𝑛 = 2 𝑇0 −𝑇0 2 𝑇0 2 𝑥 𝑡 sin(𝑛𝜔0𝑡)𝑑𝑡 Exercice: signal carré
  • 4. Chapitre II : Analyse de Fourier I.2. Deuxième forme C’est le développement en série de Fourier en utilisant l’écriture complexe, on alors : 𝑥 𝑡 = −∞ +∞ 𝐶𝑛exp(−𝑗𝑛𝜔0𝑡) Avec 𝐶𝑛 sont les coefficients complexes de Fourier tels que : 𝐶𝑛 = 1 𝑇0 −𝑇0 2 𝑇0 2 𝑥 𝑡 , exp −𝑗𝑛𝜔0𝑡 𝑑𝑡 Exercice
  • 5. Chapitre II : Analyse de Fourier I.3. Egalité de Parseval C’est la conservation de la puissance entre le domaine temporel et le domaine fréquentiel. La quantité 𝐶𝑛 ² = 𝑎²𝑛+𝑏²𝑛 4 représente la puissance de l’harmonique n. Egalité de Parseval : 𝑛=−∞ +∞ 𝐶𝑛 2 = 1 𝑇0 −𝑇0 2 𝑇0 2 𝑥(𝑡) 2 𝑑𝑡 II. Transformée de Fourier II.1. Définition La transformée de Fourier de x(t), notée X(f) est définie par : 𝑋 𝑓 = −∞ +∞ 𝑥 𝑡 . exp −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡
  • 6. Chapitre II : Analyse de Fourier II.2. Propriétés 1. Transformée de Fourier inverse : 𝑥 𝑡 = −∞ +∞ 𝑋 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 2. Linéarité: 𝑇𝐹 𝛼𝑥 𝑡 + 𝛽𝑦 𝑡 = 𝛼𝑋 𝑓 + 𝛽𝑌(𝑓) 3. Valeur à l’origine : 𝑋 0 = −∞ +∞ 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 et 𝑥 0 = −∞ +∞ 𝑋 𝑓 𝑑𝑓 4. Réciprocité : Si TF x t = 𝑋 𝑓 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑇𝐹 𝑋 𝑡 = 𝑥(−𝑓) 5. Changement d’échelle : 𝑇𝐹(𝑥 𝑎𝑡) = 1 𝑎 X( 𝑓 𝑎 )
  • 7. Chapitre II : Analyse de Fourier Cas particulier a=-1 𝑇𝐹(𝑥 −𝑡) = X(−𝑓) 6. Retard : 𝑇𝐹(𝑥 𝑡 ± 𝑡0 ) = 𝑋 𝑓 exp(±𝑗2𝜋𝑓𝑡0) 7. TF et dérivée: 𝑇𝐹( 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 ) = (𝑗2𝜋𝑓)𝑋 𝑓 Ou plus généralement, 𝑇𝐹( 𝑑𝑛𝑥 𝑡 𝑑𝑡𝑛 ) = 𝑗2𝜋𝑓 𝑛 𝑋 𝑓 8. TF et primitive: 𝑇𝐹 −∞ 𝑡 𝑥 𝑢 𝑑𝑢 = 1 𝑗2𝜋𝑓 𝑋 𝑓 + 1 2 𝑋(0)𝛿(𝑓)