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Cinématique du point
1ère Année tronc commun
Travaux dirigés de Mécanique de point
1
Série 1
Par : Pr. Mehdi El Amine
Fabrication additive
TD Série 1
2
Exercice 1 :
1) Déterminer une base orthonormale directe dont le premier vecteur est colinéaire au
vecteur (1,2,2).
2) Pour quelles valeurs de 𝑎 les vecteurs (1,0, 𝑎), (𝑎, 1,0) et (0, 𝑎, 1) sont-ils coplanaires ?
Fabrication additive
TD Série 1
3
Exercice 1 :
1)
mais il faut le normaliser (les vecteurs de la base
doivent être normés) :
 Le premier vecteur 𝑢
Condition :
𝑢 =
𝐴
𝐴
=
1. 𝑖 + 2. 𝑗 + 2. 𝑘
12 + 22 + 22
=
1. 𝑖 + 2. 𝑗 + 2. 𝑘
3
On peut choisir ce même vecteur
Le premier vecteur de la base doit être colinéaire au vecteur 𝐴 = 1,2,2
=
1
3
. 𝑖 +
2
3
. 𝑗 +
2
3
. 𝑘
𝑢 =
1
3
. 𝑖 +
2
3
. 𝑗 +
2
3
. 𝑘 = (
1
3
,
2
3
,
2
3
)
et unitaire
Fabrication additive
TD Série 1
4
Exercice 1 :
1)
 Le deuxième vecteur 𝑣
𝑢 et 𝐵 sont orthogonaux si et seulement si :
𝑢. 𝐵 = 0
𝑢. 𝐵 =
1 3
2 3
2 3
.
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
3
𝑥 +
2
3
𝑦 +
2
3
𝑧 = 0
0 1 -1
-4 1 1
2 -1 0
Condition : Le deuxième vecteur de la base doit être orthogonal au premier vecteur 𝑢 =
1
3
,
2
3
,
2
3 et unitaire
𝑩 = (𝟎, 𝟏, −𝟏)
Fabrication additive
TD Série 1
5
Exercice 1 :
1)
 Le deuxième vecteur 𝑣
𝑢 =
𝐵
𝐵
= (0,
1
2
, −
1
2
)
On divise le vecteur (0,1, −1) par sa norme
Fabrication additive
TD Série 1
6
Exercice 1 :
1)
 Le troisième vecteur 𝑤
Pour que la base soit orthonormal directe, le troisième vecteur 𝑤 doit vérifier :
𝑤 = 𝑢 ∧ 𝑣
On calculant le produit vectoriel, on trouve 𝑤 = (−
4
3 2
,
1
3 2
,
1
3 2
).
La base (𝑢, 𝑣, 𝑤 ) est une base orthonormale directe.
Condition : Le troisième vecteur de la base doit être orthogonal au deux premiers vecteur 𝑢
et 𝑣 , il doit être unitaire et (𝑢, 𝑣, 𝑤 ) doit être un trièdre direct
Fabrication additive
TD Série 1
7
Exercice 1 :
2)
On calcule donc le déterminant des trois vecteurs donnés :
1 𝑎 0
0 1 𝑎
𝑎 0 1
= 1.
1 𝑎
0 1
+ 𝑎.
𝑎 0
1 𝑎
= 𝑎3
+ 1
Donc pour que les trois vecteurs soit coplanaires, il faut donc que :
𝑎3
+ 1 = 0
Cette quantité s'annule si et seulement si 𝑎 = −1. Les vecteurs sont donc coplanaires si
et seulement si 𝑎 = −1.
(1,0,a), (a,1,0) et (0,a,1) sont-
ils coplanaires ? ⟺ Leur produit mixte (ou
déterminant) est nul
Propriété (produit mixte) :
Fabrication additive
TD Série 1
8
Exercice 3 :
Par rapport au repère 𝑜, 𝑖, 𝑗, 𝑘 orthonormé direct, soit 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2
1) Calculer 𝑈. 𝑉et l’angle 𝜑 = 𝑈, 𝑉
2) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉
3) Calculer les composantes de 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 et vérifier que 𝑊 est ⊥ à 𝑈 et à 𝑉
4) Calculer le produit mixte 𝑈, 𝑉, 𝑊 et 𝑑𝑒𝑡 𝑈, 𝑉, 𝑊
donc 𝜑 =
𝜋
4
Fabrication additive
TD Série 1
9
Exercice 3 :
a) Calculer 𝑈. 𝑉et l’angle 𝜑 = 𝑈, 𝑉
𝑈. 𝑉 = 𝑈 . 𝑉 . 𝑐𝑜𝑠 𝜑
On sait que :
D’un autre coté, l’expression
analytique donne :
𝑈. 𝑉 =
0
3
1
.
0
1
2
= 0.0 + 3.1 + 1.2 = 5
𝑈 . 𝑉 . 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 5
Donc : 𝑐𝑜𝑠 𝜑 =
5
𝑈 . 𝑉
𝑈 = 02 + 32 + 12 = 10
𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2
𝑉 = 02 + 12 + 22 = 5
=
5
10. 5
=
1
2
Fabrication additive
TD Série 1
10
Exercice 3 :
Par rapport au repère 𝑜, 𝑖, 𝑗, 𝑘 orthonormé direct, soit 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2
1) Calculer 𝑈. 𝑉et l’angle 𝜑 = 𝑈, 𝑉
2) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉
3) Calculer les composantes de 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 et vérifier que 𝑊 est ⊥ à 𝑈 et à 𝑉
4) Calculer le produit mixte 𝑈, 𝑉, 𝑊 et 𝑑𝑒𝑡 𝑈, 𝑉, 𝑊
Fabrication additive
TD Série 1
11
Exercice 3 :
b) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2
Définition : les cosinus directeurs d’un vecteur 𝑈 sont les cosinus des
angles formés entre ce vecteur et les trois vecteurs de la base 𝑖, 𝑗, 𝑘 :
𝑪𝒐𝒔(𝑼, 𝒊) 𝑪𝒐𝒔(𝑼, 𝒋) 𝑪𝒐𝒔(𝑼, 𝒌)
Fabrication additive
TD Série 1
12
Exercice 4 :
b) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2
cos 𝑈, 𝑖 =
𝑈. 𝑖
𝑈
= 0
cos 𝑈, 𝑗 =
𝑈. 𝑗
𝑈
=
3
10
cos 𝑈, 𝑘 =
𝑈. 𝑘
𝑈
=
1
10
 Les cosinus directeurs de 𝑈
 donc le vecteur 𝑈 est sur le plan 𝑗, 𝑘
𝑈. 𝑖 = 0 × 1 + 3 × 0 + 1 × 0 = 0
𝑈. 𝑗 = 0 × 0 + 3 × 1 + 1 × 0 = 3
𝑈 = 02 + 32 + 12 = 10
𝑈. 𝑘 = 0 × 0 + 3 × 0 + 1 × 1 = 1
𝑈 = 02 + 32 + 12 = 10
Fabrication additive
TD Série 1
13
Exercice 4 :
b) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2
cos 𝑉, 𝑖 =
𝑉. 𝑖
𝑉
= 0
cos 𝑉, 𝑗 =
𝑉. 𝑗
𝑉
=
1
5
cos 𝑉, 𝑘 =
𝑉. 𝑘
𝑉
=
2
5
 Les cosinus directeurs de 𝑉
→ donc le vecteur 𝑉est sur le plan 𝑗, 𝑘
𝑉. 𝑖 = 0 × 0 + 1 × 0 + 2 × 0 = 0
𝑉. 𝑗 = 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 0 = 1
𝑉 = 02 + 12 + 22 = 5
𝑉. 𝑘 = 0 × 0 + 1 × 0 + 2 × 1 = 1
𝑉 = 02 + 12 + 22 = 5
Fabrication additive
TD Série 1
14
Exercice 3 :
Par rapport au repère 𝑜, 𝑖, 𝑗, 𝑘 orthonormé direct, soit 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2
1) Calculer 𝑈. 𝑉et l’angle 𝜑 = 𝑈, 𝑉
2) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉
3) Calculer les composantes de 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 et vérifier que 𝑊 est ⊥ à 𝑈 et à 𝑉
4) Calculer le produit mixte 𝑈, 𝑉, 𝑊 et 𝑑𝑒𝑡 𝑈, 𝑉, 𝑊
Fabrication additive
TD Série 1
15
Exercice 4 :
c) Calculer les composantes de 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉
𝑈 = 0,3,1
𝑉 = 0,1,2
𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 =
0
3
1
∧
0
1
2
=
3 × 2 − 1 × 1
0
1
=
5
0
0
On a
:
𝑊. 𝑈 =
5
0
0 ℛ
.
0
3
1 ℛ
= 0
On a
:
𝑊. 𝑉 =
5
0
0 ℛ
.
0
1
2 ℛ
= 0
⟹ 𝒘 ⊥ 𝑼
⟹ 𝑾 ⊥ 𝑽
 vérifier que 𝑊 est ⊥ à 𝑈 et à 𝑉
Fabrication additive
TD Série 1
16
Exercice 3 :
Par rapport au repère 𝑜, 𝑖, 𝑗, 𝑘 orthonormé direct, soit 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2
1) Calculer 𝑈. 𝑉et l’angle 𝜑 = 𝑈, 𝑉
2) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉
3) Calculer les composantes de 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 et vérifier que 𝑊 est ⊥ à 𝑈 et à 𝑉
4) Calculer le produit mixte 𝑈, 𝑉, 𝑊 et 𝑑𝑒𝑡 𝑈, 𝑉, 𝑊
Fabrication additive
TD Série 1
17
4) Calculer le produit mixte 𝑼, 𝑽, 𝑾 et 𝒅𝒆𝒕 𝑼, 𝑽, 𝑾
=
0 0 5
3 1 0
1 2 0
𝑈, 𝑉, 𝑊 = 𝑈. 𝑉 ∧ 𝑊 =
0
3
1 ℛ
.
0
1
2 ℛ
∧
5
0
0 ℛ ℛ
=
0
3
1 ℛ
.
0
10
−5 ℛ
= 25
On a
:
On a
:
𝑑𝑒𝑡 𝑈, 𝑉, 𝑊 = 0
1 0
2 0
−0
3 0
1 0
+5
3 1
1 2
= 5 × 5 = 25
Donc : 𝑼, 𝑽, 𝑾 = 𝒅𝒆𝒕 𝑼, 𝑽, 𝑾
le volume engendré par le
parallélépipède 𝑼, 𝑽, 𝑾 est égal à
la valeur absolue du produit mixte
: 𝑊
𝑂
Conclure. (Le Volume = 𝑼, 𝑽, 𝑾 )
18
Exercice 4 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
19
Exercice 4 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
1) Calculer le moment en 𝑶 ,
𝑴𝑶 𝑭𝟏
𝑀𝑂 𝐹1 = 𝑂𝐴 ∧ 𝐹1 =
𝐿
0
0 ℛ
∧
𝐹1 sin 60°
𝐹1 cos 60°
0 ℛ
=
0
0
𝐿 𝐹1 cos 60°
ℛ
= 𝐿 𝐹1 cos 60° 𝑘
Car 𝐴 est le point
d’application de la force 𝐹1
20
Exercice 4 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
2) Calculer le moment en 𝑶 , 𝑴𝑶 𝑭𝟐 et le moment par rapport à l’axe Oz ,
𝑴𝑶𝒛 𝑭𝟐
𝑀𝑂 𝐹2 = 𝑂𝐵 ∧ 𝐹2 =
2𝐿
0
0 ℛ
∧
𝐹2 sin 30°
− 𝐹2 cos 30°
0 ℛ
=
0
0
−2𝐿 𝐹2 cos 30°
ℛ
= −2𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘
𝑀𝑂𝑧 𝐹2 = 𝑀𝑂 𝐹2 . 𝑘 𝑘 =
0
0
−2𝐿 𝐹2 cos 30°
.
0
0
1
0
0
1
= −2𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘
Car 𝐵 est le point
d’application de la force 𝐹2
21
Exercice 4 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
3) Calculer le moment en 𝑨 , 𝑴𝑨 𝑭𝟐
𝑀𝐴 𝐹2 = 𝐴𝐵 ∧ 𝐹2 =
𝑥𝑏 − 𝑥𝑎
𝑦𝑏 − 𝑦𝑎
𝑧𝑏 − 𝑧𝑎 ℛ
∧
𝐹2 sin 30°
− 𝐹2 cos 30°
0 ℛ
=
0
0
−𝐿 𝐹2 cos 30°
ℛ
= −𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘
=
1𝐿
0
0 ℛ
∧
𝐹2 sin 30°
− 𝐹2 cos 30°
0 ℛ
Car 𝐵 est le point
d’application de la force 𝐹2
22
Exercice 4 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
4) Déduire de ce qui précède 𝑴𝟎 𝑭𝟐 + 𝑭𝟐
𝑀0 𝐹1 + 𝐹2 = 𝑀0 𝐹1 + 𝑀0 𝐹2 = 𝐿 𝐹1 cos 60° 𝑘 − 2𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘
= 𝐿 𝐹1 cos 60° − 2𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘
23
Exercice 5 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
24
Exercice 5 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
1) Exprimer 𝒆𝒓 , 𝒆𝜽 dans la base i , j et investissement
 Vecteur 𝒆𝒓 𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑡 i + sin 𝜃 𝑡 j
 Vecteur 𝒆𝜽 𝑒𝜃 = −sin 𝜃 𝑡 i + cos 𝜃 𝑡 j
 Expression de 𝒆𝒓 , 𝒆𝜽 dans la base i , j
25
Exercice 5 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
 Expression de i , j dans la base 𝒆𝒓 , 𝒆𝜽
 Vecteur i i = cos 𝜃 𝑡 𝑒𝑟 − sin 𝜃 𝑡 𝑒𝜃
 Vecteur j j = sin 𝜃 𝑡 𝑒𝑟 + cos 𝜃 𝑡 𝑒𝜃
i
j
26
Exercice 5 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
2) Calculer en fonction de l’angle 𝜽
 𝒆𝒓 ∧ j 𝑒𝑟 ∧ j =
cos 𝜃 𝑡
sin 𝜃 𝑡
0 ℛ
∧
0
1
0 ℛ
=
0
0
cos 𝜃 𝑡 ℛ
 𝒆𝒓 ∧ i 𝑒𝑟 ∧ i =
cos 𝜃 𝑡
sin 𝜃 𝑡
0 ℛ
∧
1
0
0 ℛ
=
0
0
−sin 𝜃 𝑡 ℛ
= cos 𝜃 𝑡 𝑘
= −sin 𝜃 𝑡 𝑘
 j ∧ 𝒆𝜽 j ∧ 𝑒𝜃 =
0
1
0 ℛ
∧
−sin 𝜃 𝑡
cos 𝜃 𝑡
0 ℛ
=
0
0
sin 𝜃 𝑡 ℛ
= sin 𝜃 𝑡 𝑘
 𝒆𝜽 ∧ i 𝑒𝜃 ∧ i =
−sin 𝜃 𝑡
cos 𝜃 𝑡
0 ℛ
∧
1
0
0 ℛ
=
0
0
−cos 𝜃 𝑡 ℛ
= − cos 𝜃 𝑡 𝑘
 𝒆𝒓. j 𝑒𝑟. j =
cos 𝜃 𝑡
sin 𝜃 𝑡
0 ℛ
.
0
1
0 ℛ
= sin 𝜃 𝑡
 i . 𝒆𝜽 i. 𝑒𝜃 =
1
0
0 ℛ
.
−sin 𝜃 𝑡
cos 𝜃 𝑡
0 ℛ
= −sin 𝜃 𝑡
27
Exercice 5 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
3) Dérivation des vecteur unitaires de la base mobile
 Calculer :
𝒅𝒆𝒓
𝒅𝜽
et
𝒅𝒆𝒓
𝒅𝒕
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝜃
=
𝑑 cos 𝜃 i + sin 𝜃 j
𝑑𝜃
=
𝑑 cos 𝜃 i
𝑑𝜃
+
𝑑 sin 𝜃 j
𝑑𝜃
Car i et j sont des
vecteurs constants
=
𝑑 cos 𝜃
𝑑𝜃
i +
𝑑 sin 𝜃
𝑑𝜃
j
= − sin 𝜃 i + cos 𝜃 j
= 𝒆𝜽
𝒅𝒆𝒓
𝒅𝜽 𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑡 i + sin 𝜃 𝑡 j
𝑒𝜃 = −sin 𝜃 𝑡 i + cos 𝜃 𝑡 j
On a déjà
trouvé :
28
Exercice 5 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
3) Dérivation des vecteur unitaires de la base mobile
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑𝜃
𝑑𝑡
×
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝜃
= 𝜃 ×
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝜃
= 𝜽𝒆𝜽
𝒅𝒆𝒓
𝒅𝒕
 Calculer :
𝒅𝒆𝒓
𝒅𝜽
et
𝒅𝒆𝒓
𝒅𝒕
29
Exercice 5 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
3) Dérivation des vecteur unitaires de la base mobile
 Calculer :
𝒅𝒆𝜽
𝒅𝜽
et
𝒅𝒆𝜽
𝒅𝒕
𝑑𝑒𝜃
𝑑𝜃
=
𝑑 − sin 𝜃 i + cos 𝜃 j
𝑑𝜃
=
𝑑 − sin 𝜃 i
𝑑𝜃
+
𝑑 cos 𝜃 j
𝑑𝜃
= −
𝑑 sin 𝜃
𝑑𝜃
i +
𝑑 cos 𝜃
𝑑𝜃
j
= − cos 𝜃 i − sin 𝜃 j
= −𝒆𝒓
𝒅𝒆𝜽
𝒅𝜽
= − cos 𝜃 i + sin 𝜃 j
𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑡 i + sin 𝜃 𝑡 j
𝑒𝜃 = −sin 𝜃 𝑡 i + cos 𝜃 𝑡 j
On a déjà
trouvé :
Car i et j sont des
vecteurs constants
30
Exercice 5 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
3) Dérivation des vecteur unitaires de la base mobile
 Calculer :
𝒅𝒆𝜽
𝒅𝜽
et
𝒅𝒆𝜽
𝒅𝒕
𝑑𝑒𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝜃
𝑑𝑡
×
𝑑𝑒𝜃
𝑑𝜃
= 𝜃 ×
𝑑𝑒𝜃
𝑑𝜃
= −𝜽𝒆𝒓
𝒅𝒆𝜽
𝒅𝒕
31
Exercice 5 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
4) Sachant que 𝛀 = 𝛚𝐤 (avec 𝛚 =
𝐝𝛉
𝐝𝐭
= 𝛉), montrer que
𝒅𝒆𝒓
𝒅𝒕
= 𝛀 ∧ 𝒆𝒓 et
𝒅𝒆𝜽
𝒅𝒕
= 𝛀 ∧
𝒆𝜽
 Montrer :
𝒅𝒆𝒓
𝒅𝒕
= 𝛀 ∧ 𝒆𝒓
𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑡 i + sin 𝜃 𝑡 j
𝑒𝜃 = −sin 𝜃 𝑡 i + cos 𝜃 𝑡 j
On a déjà
trouvé :
Il faut que ça soit le même repère
 Montrer :
𝒅𝒆𝜽
𝒅𝒕
= 𝛀 ∧ 𝒆𝜽
On a
:
𝛀 ∧ 𝒆𝒓 =
0
0
ω ℛ
∧
cos 𝜃 𝑡
sin 𝜃 𝑡
0 ℛ
=
−ω sin 𝜃 𝑡
ω cos 𝜃 𝑡
0 ℛ
= −ω sin 𝜃 𝑡 i + ω cos 𝜃 𝑡 j
= ω𝑒𝜃 = θ𝑒𝜃 =
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝑡
On a
:
𝛀 ∧ 𝒆𝜽 =
0
0
ω ℛ
∧
− sin 𝜃 𝑡
cos 𝜃 𝑡
0 ℛ
=
−ω cos 𝜃 𝑡
−ω sin 𝜃 𝑡
0 ℛ
= −ω cos 𝜃 𝑡 i − ω sin 𝜃 𝑡 j
= −ω𝑒𝑟 = θ𝑒𝑟 =
𝑑𝑒𝜃
𝑑𝑡
32
Exercice 1 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
 Surface de niveau :
Surface de niveau 𝜑 =
1
C’est la surface constituée de l’ensemble des points pour lesquels la fonction
𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 donne la même valeur
Surface de niveau 𝜑 =
2 Surface de niveau 𝜑 =
3 Surface de niveau 𝜑 =
4
Ca veut dire que quelque soit le point 𝑥, 𝑦, 𝑧
appartenant à cette surface, alors 𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1
Exemple de surface de niveau :
Si on calcul le gradient d’un point sur cette
surface de niveau, il sera normal à cette surface
𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝑀
𝑴
33
Exercice 1 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
 Donc pour répondre à la question :
 Determiner le gradient de 𝝋 𝒙, 𝒚, 𝒛 en fonction de 𝒙, 𝒚, 𝒛
 Calculer ce gradient au point 𝑨 ⟹ Le vecteur obtenu est ⊥ à la surface de niveau en A
 On va normer le vecteur obtenue en le divisant par son module
𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 =
𝜕𝜑
𝜕𝑥
i +
𝜕𝜑
𝜕𝑦
j +
𝜕𝜑
𝜕𝑧
k
𝑛 =
𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝐴
𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝐴
= 2𝑥𝑦𝑧 + 4𝑧2
i + 𝑥2
𝑧 j + 𝑥2
𝑦 + 8𝑥𝑧 k
𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝐴 = 8i − 1j − 10k
=
8i − 1j − 10k
165
=
8
165
i −
1
165
j −
10
165
k
34
Exercice 2 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
1) Calculer 𝒓𝒐𝒕𝑽
𝑟𝑜𝑡𝑉 =
i
𝜕
𝜕𝑥
𝑉
𝑥
j
𝜕
𝜕𝑦
𝑉
𝑦
k
𝜕
𝜕𝑧
𝑉
𝑧
𝑽𝒙 𝑽𝒚 𝑽𝒛
=
𝜕𝑉
𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝑉
𝑦
𝜕𝑧
i −
𝜕𝑉
𝑧
𝜕𝑥
−
𝜕𝑉
𝑥
𝜕𝑧
j +
𝜕𝑉
𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝑉
𝑥
𝜕𝑦
k
= 0 − 0 i − 3𝑧2 − 3𝑧2 j + 2𝑥 − 2𝑥 k
= 0
𝑟𝑜𝑡𝑉
35
Exercice 2 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
1) Calculer 𝒅𝒊𝒗𝑽
𝑑𝑖𝑣𝑉
𝑽𝒙 𝑽𝒚 𝑽𝒛
=
𝜕𝑉
𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑉
𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑉
𝑧
𝜕𝑧
= 2𝑦 + 0 + 0 + 2 + 6𝑥𝑧 − 0
= 2𝑦 + 6𝑥𝑧 + 2
𝑑𝑖𝑣𝑉
36
Exercice 2 :
Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
1) Montrer que la forme différentielle suivante est exacte : 𝜹𝝎 = 𝟐𝒙𝒚𝒅𝒙 +
𝒙𝟐𝒅𝒚
𝛿𝜔 = 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑥2
𝑑𝑦
𝑷 𝒙, 𝒚 𝑸 𝒙, 𝒚
→Il faut montrer que : 𝑑𝑃 𝑥, 𝑦
𝑑𝑦
=
𝑑𝑄 𝑥, 𝑦
𝑑𝑥
On a :
𝑑𝑃 𝑥, 𝑦
𝑑𝑦
= 2𝑥
On a :
𝑑𝑄 𝑥, 𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑃 𝑥, 𝑦
𝑑𝑦
=
𝑑𝑄 𝑥, 𝑦
𝑑𝑥
La forme différentielle
𝜹𝝎 est donc excacte
=
𝑑2𝑥𝑦
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥2
𝑑𝑥
37
Exercice 2 :
érie TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
2) Quelle est la fonction 𝐕 𝐱, 𝐲 telle que 𝛅𝛚 = −𝐝𝐕
On sait la différentielle de 𝑉(𝑥, 𝑦) s’exprime par : 𝑑𝑉 =
𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑑𝑥 +
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝑑𝑦
Or nous avons :δω = −dV Donc : 𝑑𝑉 = −δω = −2𝑥𝑦𝑑𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑦
On conclut :
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −2𝑥𝑦
𝑑𝑉
𝑑𝑦
= −𝑥2
⟹ 𝑑𝑉 = −2𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑉 𝑥, 𝑦 = −2 𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝐶 𝑦
⟹ ⟹𝑉 𝑥, 𝑦 = −𝑦𝑥2
+ 𝐶(𝑦)
⟹ 𝑑𝑉 = −𝑥2
𝑑𝑦 ⟹ 𝑉 𝑥, 𝑦 = − 𝑥2
𝑑𝑦 + 𝐶 𝑥 ⟹𝑉 𝑥, 𝑦 = −𝑦𝑥2
+ 𝐶(𝑥)
𝐶 ne dépond pas de 𝑦 car si on dérive
𝑉 𝑥, 𝑦 par rapport à 𝑦 elle diaprait
𝐶 ne dépond pas de 𝑥 car si on dérive
𝑉 𝑥, 𝑦 par rapport à 𝑥 elle diaprait
= =
Donc 𝐶 ne dépond ni de 𝑥 ni de 𝑦 : 𝑽 𝒙, 𝒚 = −𝒚𝒙𝟐 + 𝑪

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  • 1. Cinématique du point 1ère Année tronc commun Travaux dirigés de Mécanique de point 1 Série 1 Par : Pr. Mehdi El Amine
  • 2. Fabrication additive TD Série 1 2 Exercice 1 : 1) Déterminer une base orthonormale directe dont le premier vecteur est colinéaire au vecteur (1,2,2). 2) Pour quelles valeurs de 𝑎 les vecteurs (1,0, 𝑎), (𝑎, 1,0) et (0, 𝑎, 1) sont-ils coplanaires ?
  • 3. Fabrication additive TD Série 1 3 Exercice 1 : 1) mais il faut le normaliser (les vecteurs de la base doivent être normés) :  Le premier vecteur 𝑢 Condition : 𝑢 = 𝐴 𝐴 = 1. 𝑖 + 2. 𝑗 + 2. 𝑘 12 + 22 + 22 = 1. 𝑖 + 2. 𝑗 + 2. 𝑘 3 On peut choisir ce même vecteur Le premier vecteur de la base doit être colinéaire au vecteur 𝐴 = 1,2,2 = 1 3 . 𝑖 + 2 3 . 𝑗 + 2 3 . 𝑘 𝑢 = 1 3 . 𝑖 + 2 3 . 𝑗 + 2 3 . 𝑘 = ( 1 3 , 2 3 , 2 3 ) et unitaire
  • 4. Fabrication additive TD Série 1 4 Exercice 1 : 1)  Le deuxième vecteur 𝑣 𝑢 et 𝐵 sont orthogonaux si et seulement si : 𝑢. 𝐵 = 0 𝑢. 𝐵 = 1 3 2 3 2 3 . 𝑥 𝑦 𝑧 = 1 3 𝑥 + 2 3 𝑦 + 2 3 𝑧 = 0 0 1 -1 -4 1 1 2 -1 0 Condition : Le deuxième vecteur de la base doit être orthogonal au premier vecteur 𝑢 = 1 3 , 2 3 , 2 3 et unitaire 𝑩 = (𝟎, 𝟏, −𝟏)
  • 5. Fabrication additive TD Série 1 5 Exercice 1 : 1)  Le deuxième vecteur 𝑣 𝑢 = 𝐵 𝐵 = (0, 1 2 , − 1 2 ) On divise le vecteur (0,1, −1) par sa norme
  • 6. Fabrication additive TD Série 1 6 Exercice 1 : 1)  Le troisième vecteur 𝑤 Pour que la base soit orthonormal directe, le troisième vecteur 𝑤 doit vérifier : 𝑤 = 𝑢 ∧ 𝑣 On calculant le produit vectoriel, on trouve 𝑤 = (− 4 3 2 , 1 3 2 , 1 3 2 ). La base (𝑢, 𝑣, 𝑤 ) est une base orthonormale directe. Condition : Le troisième vecteur de la base doit être orthogonal au deux premiers vecteur 𝑢 et 𝑣 , il doit être unitaire et (𝑢, 𝑣, 𝑤 ) doit être un trièdre direct
  • 7. Fabrication additive TD Série 1 7 Exercice 1 : 2) On calcule donc le déterminant des trois vecteurs donnés : 1 𝑎 0 0 1 𝑎 𝑎 0 1 = 1. 1 𝑎 0 1 + 𝑎. 𝑎 0 1 𝑎 = 𝑎3 + 1 Donc pour que les trois vecteurs soit coplanaires, il faut donc que : 𝑎3 + 1 = 0 Cette quantité s'annule si et seulement si 𝑎 = −1. Les vecteurs sont donc coplanaires si et seulement si 𝑎 = −1. (1,0,a), (a,1,0) et (0,a,1) sont- ils coplanaires ? ⟺ Leur produit mixte (ou déterminant) est nul Propriété (produit mixte) :
  • 8. Fabrication additive TD Série 1 8 Exercice 3 : Par rapport au repère 𝑜, 𝑖, 𝑗, 𝑘 orthonormé direct, soit 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2 1) Calculer 𝑈. 𝑉et l’angle 𝜑 = 𝑈, 𝑉 2) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 3) Calculer les composantes de 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 et vérifier que 𝑊 est ⊥ à 𝑈 et à 𝑉 4) Calculer le produit mixte 𝑈, 𝑉, 𝑊 et 𝑑𝑒𝑡 𝑈, 𝑉, 𝑊
  • 9. donc 𝜑 = 𝜋 4 Fabrication additive TD Série 1 9 Exercice 3 : a) Calculer 𝑈. 𝑉et l’angle 𝜑 = 𝑈, 𝑉 𝑈. 𝑉 = 𝑈 . 𝑉 . 𝑐𝑜𝑠 𝜑 On sait que : D’un autre coté, l’expression analytique donne : 𝑈. 𝑉 = 0 3 1 . 0 1 2 = 0.0 + 3.1 + 1.2 = 5 𝑈 . 𝑉 . 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 5 Donc : 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 5 𝑈 . 𝑉 𝑈 = 02 + 32 + 12 = 10 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2 𝑉 = 02 + 12 + 22 = 5 = 5 10. 5 = 1 2
  • 10. Fabrication additive TD Série 1 10 Exercice 3 : Par rapport au repère 𝑜, 𝑖, 𝑗, 𝑘 orthonormé direct, soit 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2 1) Calculer 𝑈. 𝑉et l’angle 𝜑 = 𝑈, 𝑉 2) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 3) Calculer les composantes de 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 et vérifier que 𝑊 est ⊥ à 𝑈 et à 𝑉 4) Calculer le produit mixte 𝑈, 𝑉, 𝑊 et 𝑑𝑒𝑡 𝑈, 𝑉, 𝑊
  • 11. Fabrication additive TD Série 1 11 Exercice 3 : b) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2 Définition : les cosinus directeurs d’un vecteur 𝑈 sont les cosinus des angles formés entre ce vecteur et les trois vecteurs de la base 𝑖, 𝑗, 𝑘 : 𝑪𝒐𝒔(𝑼, 𝒊) 𝑪𝒐𝒔(𝑼, 𝒋) 𝑪𝒐𝒔(𝑼, 𝒌)
  • 12. Fabrication additive TD Série 1 12 Exercice 4 : b) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2 cos 𝑈, 𝑖 = 𝑈. 𝑖 𝑈 = 0 cos 𝑈, 𝑗 = 𝑈. 𝑗 𝑈 = 3 10 cos 𝑈, 𝑘 = 𝑈. 𝑘 𝑈 = 1 10  Les cosinus directeurs de 𝑈  donc le vecteur 𝑈 est sur le plan 𝑗, 𝑘 𝑈. 𝑖 = 0 × 1 + 3 × 0 + 1 × 0 = 0 𝑈. 𝑗 = 0 × 0 + 3 × 1 + 1 × 0 = 3 𝑈 = 02 + 32 + 12 = 10 𝑈. 𝑘 = 0 × 0 + 3 × 0 + 1 × 1 = 1 𝑈 = 02 + 32 + 12 = 10
  • 13. Fabrication additive TD Série 1 13 Exercice 4 : b) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2 cos 𝑉, 𝑖 = 𝑉. 𝑖 𝑉 = 0 cos 𝑉, 𝑗 = 𝑉. 𝑗 𝑉 = 1 5 cos 𝑉, 𝑘 = 𝑉. 𝑘 𝑉 = 2 5  Les cosinus directeurs de 𝑉 → donc le vecteur 𝑉est sur le plan 𝑗, 𝑘 𝑉. 𝑖 = 0 × 0 + 1 × 0 + 2 × 0 = 0 𝑉. 𝑗 = 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 0 = 1 𝑉 = 02 + 12 + 22 = 5 𝑉. 𝑘 = 0 × 0 + 1 × 0 + 2 × 1 = 1 𝑉 = 02 + 12 + 22 = 5
  • 14. Fabrication additive TD Série 1 14 Exercice 3 : Par rapport au repère 𝑜, 𝑖, 𝑗, 𝑘 orthonormé direct, soit 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2 1) Calculer 𝑈. 𝑉et l’angle 𝜑 = 𝑈, 𝑉 2) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 3) Calculer les composantes de 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 et vérifier que 𝑊 est ⊥ à 𝑈 et à 𝑉 4) Calculer le produit mixte 𝑈, 𝑉, 𝑊 et 𝑑𝑒𝑡 𝑈, 𝑉, 𝑊
  • 15. Fabrication additive TD Série 1 15 Exercice 4 : c) Calculer les composantes de 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 𝑈 = 0,3,1 𝑉 = 0,1,2 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 = 0 3 1 ∧ 0 1 2 = 3 × 2 − 1 × 1 0 1 = 5 0 0 On a : 𝑊. 𝑈 = 5 0 0 ℛ . 0 3 1 ℛ = 0 On a : 𝑊. 𝑉 = 5 0 0 ℛ . 0 1 2 ℛ = 0 ⟹ 𝒘 ⊥ 𝑼 ⟹ 𝑾 ⊥ 𝑽  vérifier que 𝑊 est ⊥ à 𝑈 et à 𝑉
  • 16. Fabrication additive TD Série 1 16 Exercice 3 : Par rapport au repère 𝑜, 𝑖, 𝑗, 𝑘 orthonormé direct, soit 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2 1) Calculer 𝑈. 𝑉et l’angle 𝜑 = 𝑈, 𝑉 2) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 3) Calculer les composantes de 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 et vérifier que 𝑊 est ⊥ à 𝑈 et à 𝑉 4) Calculer le produit mixte 𝑈, 𝑉, 𝑊 et 𝑑𝑒𝑡 𝑈, 𝑉, 𝑊
  • 17. Fabrication additive TD Série 1 17 4) Calculer le produit mixte 𝑼, 𝑽, 𝑾 et 𝒅𝒆𝒕 𝑼, 𝑽, 𝑾 = 0 0 5 3 1 0 1 2 0 𝑈, 𝑉, 𝑊 = 𝑈. 𝑉 ∧ 𝑊 = 0 3 1 ℛ . 0 1 2 ℛ ∧ 5 0 0 ℛ ℛ = 0 3 1 ℛ . 0 10 −5 ℛ = 25 On a : On a : 𝑑𝑒𝑡 𝑈, 𝑉, 𝑊 = 0 1 0 2 0 −0 3 0 1 0 +5 3 1 1 2 = 5 × 5 = 25 Donc : 𝑼, 𝑽, 𝑾 = 𝒅𝒆𝒕 𝑼, 𝑽, 𝑾 le volume engendré par le parallélépipède 𝑼, 𝑽, 𝑾 est égal à la valeur absolue du produit mixte : 𝑊 𝑂 Conclure. (Le Volume = 𝑼, 𝑽, 𝑾 )
  • 18. 18 Exercice 4 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
  • 19. 19 Exercice 4 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 1) Calculer le moment en 𝑶 , 𝑴𝑶 𝑭𝟏 𝑀𝑂 𝐹1 = 𝑂𝐴 ∧ 𝐹1 = 𝐿 0 0 ℛ ∧ 𝐹1 sin 60° 𝐹1 cos 60° 0 ℛ = 0 0 𝐿 𝐹1 cos 60° ℛ = 𝐿 𝐹1 cos 60° 𝑘 Car 𝐴 est le point d’application de la force 𝐹1
  • 20. 20 Exercice 4 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 2) Calculer le moment en 𝑶 , 𝑴𝑶 𝑭𝟐 et le moment par rapport à l’axe Oz , 𝑴𝑶𝒛 𝑭𝟐 𝑀𝑂 𝐹2 = 𝑂𝐵 ∧ 𝐹2 = 2𝐿 0 0 ℛ ∧ 𝐹2 sin 30° − 𝐹2 cos 30° 0 ℛ = 0 0 −2𝐿 𝐹2 cos 30° ℛ = −2𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘 𝑀𝑂𝑧 𝐹2 = 𝑀𝑂 𝐹2 . 𝑘 𝑘 = 0 0 −2𝐿 𝐹2 cos 30° . 0 0 1 0 0 1 = −2𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘 Car 𝐵 est le point d’application de la force 𝐹2
  • 21. 21 Exercice 4 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 3) Calculer le moment en 𝑨 , 𝑴𝑨 𝑭𝟐 𝑀𝐴 𝐹2 = 𝐴𝐵 ∧ 𝐹2 = 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎 𝑧𝑏 − 𝑧𝑎 ℛ ∧ 𝐹2 sin 30° − 𝐹2 cos 30° 0 ℛ = 0 0 −𝐿 𝐹2 cos 30° ℛ = −𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘 = 1𝐿 0 0 ℛ ∧ 𝐹2 sin 30° − 𝐹2 cos 30° 0 ℛ Car 𝐵 est le point d’application de la force 𝐹2
  • 22. 22 Exercice 4 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 4) Déduire de ce qui précède 𝑴𝟎 𝑭𝟐 + 𝑭𝟐 𝑀0 𝐹1 + 𝐹2 = 𝑀0 𝐹1 + 𝑀0 𝐹2 = 𝐿 𝐹1 cos 60° 𝑘 − 2𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘 = 𝐿 𝐹1 cos 60° − 2𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘
  • 23. 23 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs
  • 24. 24 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 1) Exprimer 𝒆𝒓 , 𝒆𝜽 dans la base i , j et investissement  Vecteur 𝒆𝒓 𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑡 i + sin 𝜃 𝑡 j  Vecteur 𝒆𝜽 𝑒𝜃 = −sin 𝜃 𝑡 i + cos 𝜃 𝑡 j  Expression de 𝒆𝒓 , 𝒆𝜽 dans la base i , j
  • 25. 25 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs  Expression de i , j dans la base 𝒆𝒓 , 𝒆𝜽  Vecteur i i = cos 𝜃 𝑡 𝑒𝑟 − sin 𝜃 𝑡 𝑒𝜃  Vecteur j j = sin 𝜃 𝑡 𝑒𝑟 + cos 𝜃 𝑡 𝑒𝜃 i j
  • 26. 26 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 2) Calculer en fonction de l’angle 𝜽  𝒆𝒓 ∧ j 𝑒𝑟 ∧ j = cos 𝜃 𝑡 sin 𝜃 𝑡 0 ℛ ∧ 0 1 0 ℛ = 0 0 cos 𝜃 𝑡 ℛ  𝒆𝒓 ∧ i 𝑒𝑟 ∧ i = cos 𝜃 𝑡 sin 𝜃 𝑡 0 ℛ ∧ 1 0 0 ℛ = 0 0 −sin 𝜃 𝑡 ℛ = cos 𝜃 𝑡 𝑘 = −sin 𝜃 𝑡 𝑘  j ∧ 𝒆𝜽 j ∧ 𝑒𝜃 = 0 1 0 ℛ ∧ −sin 𝜃 𝑡 cos 𝜃 𝑡 0 ℛ = 0 0 sin 𝜃 𝑡 ℛ = sin 𝜃 𝑡 𝑘  𝒆𝜽 ∧ i 𝑒𝜃 ∧ i = −sin 𝜃 𝑡 cos 𝜃 𝑡 0 ℛ ∧ 1 0 0 ℛ = 0 0 −cos 𝜃 𝑡 ℛ = − cos 𝜃 𝑡 𝑘  𝒆𝒓. j 𝑒𝑟. j = cos 𝜃 𝑡 sin 𝜃 𝑡 0 ℛ . 0 1 0 ℛ = sin 𝜃 𝑡  i . 𝒆𝜽 i. 𝑒𝜃 = 1 0 0 ℛ . −sin 𝜃 𝑡 cos 𝜃 𝑡 0 ℛ = −sin 𝜃 𝑡
  • 27. 27 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 3) Dérivation des vecteur unitaires de la base mobile  Calculer : 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝜽 et 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝒕 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝜃 = 𝑑 cos 𝜃 i + sin 𝜃 j 𝑑𝜃 = 𝑑 cos 𝜃 i 𝑑𝜃 + 𝑑 sin 𝜃 j 𝑑𝜃 Car i et j sont des vecteurs constants = 𝑑 cos 𝜃 𝑑𝜃 i + 𝑑 sin 𝜃 𝑑𝜃 j = − sin 𝜃 i + cos 𝜃 j = 𝒆𝜽 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝜽 𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑡 i + sin 𝜃 𝑡 j 𝑒𝜃 = −sin 𝜃 𝑡 i + cos 𝜃 𝑡 j On a déjà trouvé :
  • 28. 28 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 3) Dérivation des vecteur unitaires de la base mobile 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑡 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 × 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝜃 = 𝜃 × 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝜃 = 𝜽𝒆𝜽 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝒕  Calculer : 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝜽 et 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝒕
  • 29. 29 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 3) Dérivation des vecteur unitaires de la base mobile  Calculer : 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝜽 et 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝒕 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝜃 = 𝑑 − sin 𝜃 i + cos 𝜃 j 𝑑𝜃 = 𝑑 − sin 𝜃 i 𝑑𝜃 + 𝑑 cos 𝜃 j 𝑑𝜃 = − 𝑑 sin 𝜃 𝑑𝜃 i + 𝑑 cos 𝜃 𝑑𝜃 j = − cos 𝜃 i − sin 𝜃 j = −𝒆𝒓 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝜽 = − cos 𝜃 i + sin 𝜃 j 𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑡 i + sin 𝜃 𝑡 j 𝑒𝜃 = −sin 𝜃 𝑡 i + cos 𝜃 𝑡 j On a déjà trouvé : Car i et j sont des vecteurs constants
  • 30. 30 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 3) Dérivation des vecteur unitaires de la base mobile  Calculer : 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝜽 et 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝒕 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝑡 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 × 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝜃 = 𝜃 × 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝜃 = −𝜽𝒆𝒓 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝒕
  • 31. 31 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 4) Sachant que 𝛀 = 𝛚𝐤 (avec 𝛚 = 𝐝𝛉 𝐝𝐭 = 𝛉), montrer que 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝒕 = 𝛀 ∧ 𝒆𝒓 et 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝒕 = 𝛀 ∧ 𝒆𝜽  Montrer : 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝒕 = 𝛀 ∧ 𝒆𝒓 𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑡 i + sin 𝜃 𝑡 j 𝑒𝜃 = −sin 𝜃 𝑡 i + cos 𝜃 𝑡 j On a déjà trouvé : Il faut que ça soit le même repère  Montrer : 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝒕 = 𝛀 ∧ 𝒆𝜽 On a : 𝛀 ∧ 𝒆𝒓 = 0 0 ω ℛ ∧ cos 𝜃 𝑡 sin 𝜃 𝑡 0 ℛ = −ω sin 𝜃 𝑡 ω cos 𝜃 𝑡 0 ℛ = −ω sin 𝜃 𝑡 i + ω cos 𝜃 𝑡 j = ω𝑒𝜃 = θ𝑒𝜃 = 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑡 On a : 𝛀 ∧ 𝒆𝜽 = 0 0 ω ℛ ∧ − sin 𝜃 𝑡 cos 𝜃 𝑡 0 ℛ = −ω cos 𝜃 𝑡 −ω sin 𝜃 𝑡 0 ℛ = −ω cos 𝜃 𝑡 i − ω sin 𝜃 𝑡 j = −ω𝑒𝑟 = θ𝑒𝑟 = 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝑡
  • 32. 32 Exercice 1 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs  Surface de niveau : Surface de niveau 𝜑 = 1 C’est la surface constituée de l’ensemble des points pour lesquels la fonction 𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 donne la même valeur Surface de niveau 𝜑 = 2 Surface de niveau 𝜑 = 3 Surface de niveau 𝜑 = 4 Ca veut dire que quelque soit le point 𝑥, 𝑦, 𝑧 appartenant à cette surface, alors 𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 Exemple de surface de niveau : Si on calcul le gradient d’un point sur cette surface de niveau, il sera normal à cette surface 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝑀 𝑴
  • 33. 33 Exercice 1 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs  Donc pour répondre à la question :  Determiner le gradient de 𝝋 𝒙, 𝒚, 𝒛 en fonction de 𝒙, 𝒚, 𝒛  Calculer ce gradient au point 𝑨 ⟹ Le vecteur obtenu est ⊥ à la surface de niveau en A  On va normer le vecteur obtenue en le divisant par son module 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = 𝜕𝜑 𝜕𝑥 i + 𝜕𝜑 𝜕𝑦 j + 𝜕𝜑 𝜕𝑧 k 𝑛 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝐴 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝐴 = 2𝑥𝑦𝑧 + 4𝑧2 i + 𝑥2 𝑧 j + 𝑥2 𝑦 + 8𝑥𝑧 k 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝐴 = 8i − 1j − 10k = 8i − 1j − 10k 165 = 8 165 i − 1 165 j − 10 165 k
  • 34. 34 Exercice 2 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 1) Calculer 𝒓𝒐𝒕𝑽 𝑟𝑜𝑡𝑉 = i 𝜕 𝜕𝑥 𝑉 𝑥 j 𝜕 𝜕𝑦 𝑉 𝑦 k 𝜕 𝜕𝑧 𝑉 𝑧 𝑽𝒙 𝑽𝒚 𝑽𝒛 = 𝜕𝑉 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕𝑉 𝑦 𝜕𝑧 i − 𝜕𝑉 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕𝑉 𝑥 𝜕𝑧 j + 𝜕𝑉 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕𝑉 𝑥 𝜕𝑦 k = 0 − 0 i − 3𝑧2 − 3𝑧2 j + 2𝑥 − 2𝑥 k = 0 𝑟𝑜𝑡𝑉
  • 35. 35 Exercice 2 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 1) Calculer 𝒅𝒊𝒗𝑽 𝑑𝑖𝑣𝑉 𝑽𝒙 𝑽𝒚 𝑽𝒛 = 𝜕𝑉 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑉 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑉 𝑧 𝜕𝑧 = 2𝑦 + 0 + 0 + 2 + 6𝑥𝑧 − 0 = 2𝑦 + 6𝑥𝑧 + 2 𝑑𝑖𝑣𝑉
  • 36. 36 Exercice 2 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 1) Montrer que la forme différentielle suivante est exacte : 𝜹𝝎 = 𝟐𝒙𝒚𝒅𝒙 + 𝒙𝟐𝒅𝒚 𝛿𝜔 = 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑦 𝑷 𝒙, 𝒚 𝑸 𝒙, 𝒚 →Il faut montrer que : 𝑑𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 On a : 𝑑𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑥 On a : 𝑑𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 La forme différentielle 𝜹𝝎 est donc excacte = 𝑑2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥2 𝑑𝑥
  • 37. 37 Exercice 2 : érie TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 2) Quelle est la fonction 𝐕 𝐱, 𝐲 telle que 𝛅𝛚 = −𝐝𝐕 On sait la différentielle de 𝑉(𝑥, 𝑦) s’exprime par : 𝑑𝑉 = 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑑𝑉 𝑑𝑦 𝑑𝑦 Or nous avons :δω = −dV Donc : 𝑑𝑉 = −δω = −2𝑥𝑦𝑑𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑦 On conclut : 𝑑𝑉 𝑑𝑥 = −2𝑥𝑦 𝑑𝑉 𝑑𝑦 = −𝑥2 ⟹ 𝑑𝑉 = −2𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑉 𝑥, 𝑦 = −2 𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝐶 𝑦 ⟹ ⟹𝑉 𝑥, 𝑦 = −𝑦𝑥2 + 𝐶(𝑦) ⟹ 𝑑𝑉 = −𝑥2 𝑑𝑦 ⟹ 𝑉 𝑥, 𝑦 = − 𝑥2 𝑑𝑦 + 𝐶 𝑥 ⟹𝑉 𝑥, 𝑦 = −𝑦𝑥2 + 𝐶(𝑥) 𝐶 ne dépond pas de 𝑦 car si on dérive 𝑉 𝑥, 𝑦 par rapport à 𝑦 elle diaprait 𝐶 ne dépond pas de 𝑥 car si on dérive 𝑉 𝑥, 𝑦 par rapport à 𝑥 elle diaprait = = Donc 𝐶 ne dépond ni de 𝑥 ni de 𝑦 : 𝑽 𝒙, 𝒚 = −𝒚𝒙𝟐 + 𝑪

Notes de l'éditeur

  1. - Présentation Contenu du TD : rappel mathématiques et priuncip calcul vectoriel (prod scal et vect, prod mixte), comment normaliser un vecteur
  2. - C’est quoi une base orthonormal directe ? Le mot ortho veut dire que les trois vecteur doivent être perpendiculaire les uns par rapport aux autres. Normale veut dire que les trois vecteurs doivent être normaux. Et direct veut dire (comment on verifie cela …), project vect, comment normaliser un vetcteur
  3. Il faut qu’il soit colinéaire (rappel deux vecteur colinéaire) Peut on choisir le même vecteur car un vecteur est colinéaire à lui-même Comment normalier un vecteur ? (Le vecteur résultat est appelé comment par rappot à A)
  4. Au début on connait pas B donc x,y,z Alors, il existe une infinité de solution. Mais il suffit de trouver une seule. Donc la il sufit de trouver les valeur à multiplier par …. pour que ca s’annule Cependant ce vecteur n’est pas unitaire (si vous calculer sa norme vous trouverez que c’est différent de 0). Donc pour normer ce vecteur (ca veut dire pour rendre sa norme égale à 1) alors on le divise par sa norme.
  5. Donc on fait la meme chose que tout a l’heure ….
  6. Donc on fait la meme chose que tout a l’heure ….
  7. Expliquer la propriété