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On va travailler dans le plan muni d’un repère orthonormé direct ( )21 e,e;O .
HOMOTHETIE
Définition
Soit Ω un point du plan et k un réel non nul. L’homothétie de centre Ω et de rapport k, notée k;Ωh est la
transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M ′ tel que MΩkMΩ =′
Cas particuliers et premières propriétés
•Si 1k = , idh k;Ω = . Si 1k ≠ , Ω est le seul point fixe de k;Ωh .
•Si 1k −= , Ωk;Ω sh = . Les symétries centrales sont aussi les homothéties de rapport -1.
• k;Ωh est une bijection ; la bijection réciproque est k/1;Ωh .
•Si A et B sont deux points, et A′ et B′ leurs images par k;Ωh , on a : AΩkAΩ =′ et BΩkBΩ =′ ,
d’où par différence : ABkBA =′′ et donc ABkBA =′′ .
•Une homothétie de rapport k multiplie donc les distances par k et les aires par 2
k .
•Les seules homothéties qui sont des isométries sont l’identité ( 1k = ) et les symétries centrales ( 1k −= ).
• Les homothéties transforment respectivement un segment, une demi-droite, une droite, un cercle en un
segment, une demi-droite, une droite, un cercle.
•Plus précisément, en conservant les notations précédentes :
• l’image du segment [ ]AB est le segment [ ]BA ′′ et ABkBA =′′ .
• l’image de la droite ( )AB est la droite ( )BA ′′ qui est parallèle à ( )AB .
• l’image du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A′et de rayon rk .
•Les homothéties conservent le parallélisme, la perpendicularité, les milieux, les barycentres et les angles
orientés (que leur rapport soit positif ou négatif).
Écriture complexe des homothéties
L’homothétie k;Ωh de centre Ω et de rapport k est la transformation qui, à tout point M d’affixe z le point M ′
d’affixe ΩΩ z)zz(kz +−=′ .
La transformation d’écriture complexe bazz +=′ , où a est un réel non nul et b un complexe est :
• l’identité si 1a = et 0b = ;
• une translation si 1a = et 0b ≠ ;
• une homothétie de rapport a si 1a ≠ .
Composée d’une homothétie et d’une translation
Soit f une homothétie de rapport k )1( ≠ d’écriture complexe 1bkzz +=′ et g une translation d’écriture
complexe 2bzz +=′ .
La transformation gof associe, à tout point M d’affixe z le point M ′′ d’affixe ( )2121 bbkzb)bkz(z ++=++=′′ .
gof est donc une homothétie de rapport k.
Composée d’une translation et d’une homothétie
Soit f une translation d’écriture complexe 1bzz +=′ et g une homothétie de rapport k )1( ≠ d’écriture
complexe 2bkzz +=′
La transformation gof associe, à tout point M d’affixe z le point M ′′ d’affixe
( )2121 bkbkzb)bz(kz ++=++=′′ .
gof est donc une homothétie de rapport k.
Composée de deux homothéties
Soient f et g deux homothéties d’écritures complexes respectives 11 bzkz +=′ et 22 bzkz +=′ , la transformation
gof associe, à tout point M d’affixe z le point M ′′ d’affixe ( )212212112 bbkzkkb)bzk(kz ++=++=′′ .
C’est une transformation dont l’expression complexe est de la forme BKzz +=′′ où K est un réel.
Si 1kkK 21 == , gof est une translation.
Fiche de cours 4ème Maths
ssssimilitudesimilitudesimilitudesimilitudes du plandu plandu plandu plan
Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AAli AAli AAli AKIRKIRKIRKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
2
Sinon gof est une homothétie de rapport 21kkK = .
Remarque :en général, foggof ≠ . Si gof et donc également fog sont des homothéties, on peut montrer que les
centres de f, g, gof et fog sont alignés.
SIMILITUDES DIRECTES
•On dit qu'une similitude est direct si elle est la composée d'une homothétie et d'une déplacement.
• Soit A , B , C et D des points tels que A ≠ B et C ≠ D:
Il existe un unique similitudes directes f tel que ( ) CAf = et ( ) DBf =
Forme réduite
Soit Ω un point du plan, α un angle orienté et k un réel strictement positif. La similitude directe de centre Ω ,
d’angle α et de rapport k, est la composée k;Ω;Ω hor α .
Cas particuliers et propriétés
•On a αα ;Ωk;Ωk;Ω;Ω orhhor = .
Avec 1k = , on retrouve les rotations comme similitudes directes particulières.
On considère également les translations comme étant des similitudes directes particulières. Bien entendu les
translations n’ont ni centre, ni angle, ni rapport mais sont définies par leur vecteur. Ainsi tous les
déplacements sont considérés comme des similitudes directes.
Avec 0=α , on retrouve les homothéties de rapport positif comme similitudes directes particulières.
Avec πα = , on retrouve les homothéties de rapport négatif.
Ainsi tous les homothéties sont considérés comme des similitudes directes.
Remarque : une homothétie de centre Ω et de rapport k )0k( < est considérée comme une similitude directe de
centre Ω , d’angle π et de rapport kk =− . Il faut donc être prudent lorsque l’on parle du rapport d’une telle
homothétie.
Les propriétés des similitudes directes découlent des propriétés des rotations et des homothéties.
•Une similitude directe de rapport k multiplie les distances par k et les aires par 2
k .
•Les similitudes directes transforment respectivement un segment, une demi-droite, une droite, un cercle en un
segment, une demi-droite, une droite, un cercle.
Plus précisément, avec les notations habituelles :
• l’image du segment [ ]AB est le segment [ ]BA ′′ et kABBA =′′ .
• l’image de la droite ( )AB est la droite ( )BA ′′ .
• l’image du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A′ et de rayon kr .
•Les similitudes directes conservent le parallélisme, la perpendicularité, les milieux, les barycentres et les
angles orientés.
Écriture complexe des similitudes directes
La similitude directe de centre Ω , d’angle α et de rapport k est la transformation qui, à tout point M d’affixe z
le point M ′ d’affixe ΩΩ
i
z)zz(kez +−=′ α
.
La transformation d’écriture complexe bazz +=′ , où a est un complexe non nul et b un complexe est :
• l’identité si 1a = et 0b = ;
• une translation si 1a = et 0b ≠ ;
• une similitude directe de rapport a et d’angle )aarg( si 1a ≠ .
SIMILITUDES INDIRECTES
•On dit qu'une similitude est indirect si elle est la composée d'une homothétie et d'une antidéplacement
•Soit A , B , C et D des points tels que A ≠ B et C ≠ D:
Il existe un unique similitude indirecte S tel que ( ) CAS = et ( ) DBS =
Forme réduite
Soit Ω un point du plan, D une droite et k un réel strictement positif. La similitude indirecte de centre Ω ,
d'axe D et de rapport k, est la composée k;ΩD hoS .
Cas particuliers et propriétés
•On a Dk;Ωk;ΩD oShhoS = .
Pour 1k = , on retrouve les symétries axiales comme similitudes indirectes particulières.
• { }MΩk)M(SΩ/MD =℘∈=
3
• ²k,ΩhSS =
•Si u est un vecteur directeur de D, alors ( ) ( )[ ]π2MΩ,u)M(SΩ,u −≡ ( k 1≠ )
•Une similitude indirecte de rapport k multiplie les distances par k et les aires par 2
k .
•Les similitudes indirectes transforment respectivement un segment, une demi-droite, une droite, un cercle en
un segment, une demi-droite, une droite, un cercle.
Plus précisément, avec les notations habituelles :
• l’image du segment [ ]AB est le segment [ ]BA ′′ et kABBA =′′ .
• l’image de la droite ( )AB est la droite ( )BA ′′ .
• l’image du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A′ et de rayon kr .
•Les similitudes indirectes conservent le parallélisme, la perpendicularité, les milieux, les barycentres
•Les similitudes indirectes change les mesures des angles orientés en leurs opposées.
Écriture complexe des similitudes indirectes
La similitude indirecte de centre Ω , d'axe D et de rapport k est la transformation qui, à tout point M d’affixe z
le point M ′ d’affixe ΩΩ
2i
z)zz(kez +−=′ θ
où θ désigne une mesure de l’angle ( )v;e1 .
La transformation d’écriture complexe bzaz +=′ , où a est un complexe non nul et b un complexe est :
• l’identité si 1a = et 0b = ;
• Symétrie axiale ou symétrie glissante si 1a =
• Similitude indirecte de rapport ak = et de centre Ω d'affixe
²a1
bba
zΩ
−
+
= si 1a ≠

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Cours similitudes

  • 1. 1 On va travailler dans le plan muni d’un repère orthonormé direct ( )21 e,e;O . HOMOTHETIE Définition Soit Ω un point du plan et k un réel non nul. L’homothétie de centre Ω et de rapport k, notée k;Ωh est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M ′ tel que MΩkMΩ =′ Cas particuliers et premières propriétés •Si 1k = , idh k;Ω = . Si 1k ≠ , Ω est le seul point fixe de k;Ωh . •Si 1k −= , Ωk;Ω sh = . Les symétries centrales sont aussi les homothéties de rapport -1. • k;Ωh est une bijection ; la bijection réciproque est k/1;Ωh . •Si A et B sont deux points, et A′ et B′ leurs images par k;Ωh , on a : AΩkAΩ =′ et BΩkBΩ =′ , d’où par différence : ABkBA =′′ et donc ABkBA =′′ . •Une homothétie de rapport k multiplie donc les distances par k et les aires par 2 k . •Les seules homothéties qui sont des isométries sont l’identité ( 1k = ) et les symétries centrales ( 1k −= ). • Les homothéties transforment respectivement un segment, une demi-droite, une droite, un cercle en un segment, une demi-droite, une droite, un cercle. •Plus précisément, en conservant les notations précédentes : • l’image du segment [ ]AB est le segment [ ]BA ′′ et ABkBA =′′ . • l’image de la droite ( )AB est la droite ( )BA ′′ qui est parallèle à ( )AB . • l’image du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A′et de rayon rk . •Les homothéties conservent le parallélisme, la perpendicularité, les milieux, les barycentres et les angles orientés (que leur rapport soit positif ou négatif). Écriture complexe des homothéties L’homothétie k;Ωh de centre Ω et de rapport k est la transformation qui, à tout point M d’affixe z le point M ′ d’affixe ΩΩ z)zz(kz +−=′ . La transformation d’écriture complexe bazz +=′ , où a est un réel non nul et b un complexe est : • l’identité si 1a = et 0b = ; • une translation si 1a = et 0b ≠ ; • une homothétie de rapport a si 1a ≠ . Composée d’une homothétie et d’une translation Soit f une homothétie de rapport k )1( ≠ d’écriture complexe 1bkzz +=′ et g une translation d’écriture complexe 2bzz +=′ . La transformation gof associe, à tout point M d’affixe z le point M ′′ d’affixe ( )2121 bbkzb)bkz(z ++=++=′′ . gof est donc une homothétie de rapport k. Composée d’une translation et d’une homothétie Soit f une translation d’écriture complexe 1bzz +=′ et g une homothétie de rapport k )1( ≠ d’écriture complexe 2bkzz +=′ La transformation gof associe, à tout point M d’affixe z le point M ′′ d’affixe ( )2121 bkbkzb)bz(kz ++=++=′′ . gof est donc une homothétie de rapport k. Composée de deux homothéties Soient f et g deux homothéties d’écritures complexes respectives 11 bzkz +=′ et 22 bzkz +=′ , la transformation gof associe, à tout point M d’affixe z le point M ′′ d’affixe ( )212212112 bbkzkkb)bzk(kz ++=++=′′ . C’est une transformation dont l’expression complexe est de la forme BKzz +=′′ où K est un réel. Si 1kkK 21 == , gof est une translation. Fiche de cours 4ème Maths ssssimilitudesimilitudesimilitudesimilitudes du plandu plandu plandu plan Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AAli AAli AAli AKIRKIRKIRKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
  • 2. 2 Sinon gof est une homothétie de rapport 21kkK = . Remarque :en général, foggof ≠ . Si gof et donc également fog sont des homothéties, on peut montrer que les centres de f, g, gof et fog sont alignés. SIMILITUDES DIRECTES •On dit qu'une similitude est direct si elle est la composée d'une homothétie et d'une déplacement. • Soit A , B , C et D des points tels que A ≠ B et C ≠ D: Il existe un unique similitudes directes f tel que ( ) CAf = et ( ) DBf = Forme réduite Soit Ω un point du plan, α un angle orienté et k un réel strictement positif. La similitude directe de centre Ω , d’angle α et de rapport k, est la composée k;Ω;Ω hor α . Cas particuliers et propriétés •On a αα ;Ωk;Ωk;Ω;Ω orhhor = . Avec 1k = , on retrouve les rotations comme similitudes directes particulières. On considère également les translations comme étant des similitudes directes particulières. Bien entendu les translations n’ont ni centre, ni angle, ni rapport mais sont définies par leur vecteur. Ainsi tous les déplacements sont considérés comme des similitudes directes. Avec 0=α , on retrouve les homothéties de rapport positif comme similitudes directes particulières. Avec πα = , on retrouve les homothéties de rapport négatif. Ainsi tous les homothéties sont considérés comme des similitudes directes. Remarque : une homothétie de centre Ω et de rapport k )0k( < est considérée comme une similitude directe de centre Ω , d’angle π et de rapport kk =− . Il faut donc être prudent lorsque l’on parle du rapport d’une telle homothétie. Les propriétés des similitudes directes découlent des propriétés des rotations et des homothéties. •Une similitude directe de rapport k multiplie les distances par k et les aires par 2 k . •Les similitudes directes transforment respectivement un segment, une demi-droite, une droite, un cercle en un segment, une demi-droite, une droite, un cercle. Plus précisément, avec les notations habituelles : • l’image du segment [ ]AB est le segment [ ]BA ′′ et kABBA =′′ . • l’image de la droite ( )AB est la droite ( )BA ′′ . • l’image du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A′ et de rayon kr . •Les similitudes directes conservent le parallélisme, la perpendicularité, les milieux, les barycentres et les angles orientés. Écriture complexe des similitudes directes La similitude directe de centre Ω , d’angle α et de rapport k est la transformation qui, à tout point M d’affixe z le point M ′ d’affixe ΩΩ i z)zz(kez +−=′ α . La transformation d’écriture complexe bazz +=′ , où a est un complexe non nul et b un complexe est : • l’identité si 1a = et 0b = ; • une translation si 1a = et 0b ≠ ; • une similitude directe de rapport a et d’angle )aarg( si 1a ≠ . SIMILITUDES INDIRECTES •On dit qu'une similitude est indirect si elle est la composée d'une homothétie et d'une antidéplacement •Soit A , B , C et D des points tels que A ≠ B et C ≠ D: Il existe un unique similitude indirecte S tel que ( ) CAS = et ( ) DBS = Forme réduite Soit Ω un point du plan, D une droite et k un réel strictement positif. La similitude indirecte de centre Ω , d'axe D et de rapport k, est la composée k;ΩD hoS . Cas particuliers et propriétés •On a Dk;Ωk;ΩD oShhoS = . Pour 1k = , on retrouve les symétries axiales comme similitudes indirectes particulières. • { }MΩk)M(SΩ/MD =℘∈=
  • 3. 3 • ²k,ΩhSS = •Si u est un vecteur directeur de D, alors ( ) ( )[ ]π2MΩ,u)M(SΩ,u −≡ ( k 1≠ ) •Une similitude indirecte de rapport k multiplie les distances par k et les aires par 2 k . •Les similitudes indirectes transforment respectivement un segment, une demi-droite, une droite, un cercle en un segment, une demi-droite, une droite, un cercle. Plus précisément, avec les notations habituelles : • l’image du segment [ ]AB est le segment [ ]BA ′′ et kABBA =′′ . • l’image de la droite ( )AB est la droite ( )BA ′′ . • l’image du cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A′ et de rayon kr . •Les similitudes indirectes conservent le parallélisme, la perpendicularité, les milieux, les barycentres •Les similitudes indirectes change les mesures des angles orientés en leurs opposées. Écriture complexe des similitudes indirectes La similitude indirecte de centre Ω , d'axe D et de rapport k est la transformation qui, à tout point M d’affixe z le point M ′ d’affixe ΩΩ 2i z)zz(kez +−=′ θ où θ désigne une mesure de l’angle ( )v;e1 . La transformation d’écriture complexe bzaz +=′ , où a est un complexe non nul et b un complexe est : • l’identité si 1a = et 0b = ; • Symétrie axiale ou symétrie glissante si 1a = • Similitude indirecte de rapport ak = et de centre Ω d'affixe ²a1 bba zΩ − + = si 1a ≠