SlideShare une entreprise Scribd logo
Analyse et Commande des systèmes linéaires
Frédéric Gouaisbaut
LAAS-CNRS
Tel : 05 61 33 63 07
email : fgouaisb@laas.fr
webpage: www.laas.fr/ ∼ fgouaisb
September 24, 2009
Présentation du Cours
Volume Horaire: 9h Cours, 9h de Tds, 12h de TPs,
Matériel sur le site http://www.laas.fr/∼ fgouaisb
Polycopié sur la résolution des EDOs,
Transparents de Cours,
Polycopié de TPs,
Polycopié de Cours.
Evaluation:
1 note de contrôle intermédiaire (Partiel),
1 note de contrôle terminal,
1 note de travaux pratiques (comprenant 1 note de contrôle QCMs type
moodle, 1 note terminale de travaux pratiques).
Contact
⋆ Responsable du Cours : Frédéric Gouaisbaut, fgouaisb@laas.fr
⋆ Responsable des TPs : Yann Labit, labit@laas.fr
Sommaire
1 Introduction à l’automatique et à la notion de systèmes.
2 Une première modélisation temporelle des systèmes linéaires.
3 Analyse temporelle des systèmes linéaires.
4 Une seconde modélisation des systèmes linéaires.
5 Analyse structurelle des systèmes linéaires.
6 Exemples de commande de systèmes bouclées.
7 Conclusion
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Part I
Analyse temporelle des systèmes linéaires
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Sommaire
1 Introduction
2 Régime transitoire
3 Les systèmes du 1er ordre
4 Les systèmes du 2nd ordre
5 Exemples de systèmes régulés
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Analyse temporelle
Les systèmes que nous allons étudier sont définis par un modèle liant l’entrée
et la sortie.
Analyse d’ un système
comprendre l’évolution du signal de sortie en fonction des sollicitations
de l’entrée.
Comparer les évolutions des sorties de différents systèmes.
Comparer des systèmes :
1 en terme de stabilité (le système explose t-il ?).
2 en terme de rapidité de convergence vers l’objectif.
3 en terme de qualité de convergence (oscillations de la sortie ...)
→ Définir des indices de performances communs.
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Les réponses temporelles
idée : Comparer les réponses des systèmes à une série d’entrées tests.
Impulsion de dirac E(p) = 1
e(t)
t
Echelon unitaire e(t) = 1∀t > 0, 0 sinon E(p) = 1/p
e(t)
t
Rampe e(t) = t∀t > 0, 0 sinon E(p) = 1/p2
e(t)
t
Parabole e(t) = t2∀t > 0, 0 sinon E(p) = 2/p3
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Indices de performances pour la réponse indicielle
8
y( )
D1
D1
y(t)
t
} 2, 5% de y( )
8
0.1
0.9
Tm
Tp
Tm : temps de montée
Tp : temps de pic
Tr : temps de réponse
: premier dépassement
Tr ou Te
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Définitions d’indices de performance
Réponse temporelle composée de :
1 régime transitoire.
2 régime permanent.
Nous définissons plusieurs points de référence aisément calculables ou
mesurables :
La valeur finale :
Le temps de montée :
Le temps de premier pic :
La valeur du premier pic ou premier dépassement :
Le temps de réponse :
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Régime transitoire et Régime permanent
1 La réponse transitoire du système yt(t). Celle ci correspond à la
solution de l’équation homogène où les n inconnues (provenant des
polynômes qi ) sont déterminés grâce aux conditions initiales.
2 La réponse permanente du système qui correspond à la solution
particulière de l’équation différentielle. Elle correspond en général à la
partie de la courbe lorsque t −→ ∞.
Example
Soit l’équation ẏ(t) + y(t) = 2 × u(t) = 2 × 1 avec comme condition initiale
y(0) = 0. L’équation homogène s’écrit yl (t) = Ae−t. L’équation particulière
s’écrit y(t) = 2. La constante A est calculé telle que yl (0) + yp(0) = 0 i.e.
A = −2. Le régime permanent est donc yp(t) = 2 et le régime transitoire est
yt(t) = −2e−t.
Analyser la réponse indicielle c’est donc analyser les caractéristiques du
régime permanent (yp(t) = 2) et analyser les caractéristiques du régime
transitoire (yt(t) = −e−t ou au signe près y⋆(t) = e−t)
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Indices de performances pour le régime permanent
Valeur finale
La valeur finale de la courbe est définie par y(+∞) = lim
t→+∞
y(t)
Reponse indicielle
Temps (sec)
Amplitude
0 5 10 15 20 25 30 35
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Valeur finale
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Indices de performances pour le régime transitoire
Temps de montée
Le temps de montée d’un système est le temps mis par sa sortie pour passer
de 10% de sa valeur finale à 90% de sa valeur finale.
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Reponse indicielle
Temps (sec)
Amplitude
Temps de montee
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Indices de performances pour le régime transitoire
Temps de réponse
Le temps de réponse d’un système est le temps mis par la sortie du système
pour entrer dans la bande compris entre ±5% de sa valeur finale.
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Reponse indicielle
Temps (sec)
Amplitude
Temps de reponse
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
Reponse indicielle
Temps (sec)
Amplitude
Temps de reponse
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Indices de performances pour le régime transitoire
Temps du premier pic
Le temps de premier pic est le temps mis par le système pour atteindre le
premier pic du dépassement (si celui ci a lieu ...)
la valeur du premier pic
La valeur du premier pic a plusieurs définitions reflétant différentes manières
de mesurer la valeur du dépassement maximale par rapport à la valeur finale
de y(t). Il est en général utilisé en pourcentage :
Dr =
y(Tp) − y(∞)
y(∞)
∗ 100%
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Indices de performances pour le régime transitoire
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
Reponse indicielle
Temps (sec)
Amplitude
Temps du
premier pic
Valeur du premier pic
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Modèle et Réponse d’un système du 1er ordre
Equation différentielle
a0y + a1ẏ = b0u ⇔ y + Tẏ = Ku
T est la constante de temps et K est le gain statique.
Réponse indicielle, échelon e0
y(t) = e− t
T x0 +
R t
0 e− t−τ
T
K
T e0dτ
= e− t
T x0 + K(1 − e− t
T )e0
= e− t
T (x0 − Ke0) + Ke0
régime transitoire + régime permanent
Pente à l’origine
ẋ(0) =
Ke0 − x0
T
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Tracé de la réponse indicielle
8
y( )
y(t)
t
5% de y( )
8
T 2T 3T
63%
Temps de montée de 10 à 90% = 2.2T
Temps de réponse à 5% = 2.86T
La valeur finale : Ke0.
Le temps de montée : 2, 2T.
Le temps de premier pic :∅.
La valeur du premier pic ou premier dépassement :∅.
Le temps de réponse : tr = 3T.
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Identification de la réponse
choix d’un modèle mathématique.
Détermination des paramètres du modèle (par exemple le gain statique
K et la constante de temps T)
⇒ Identification de ces paramètres
1 Ces paramètres sont calculés par l’intermédiaire de la connaissance du
processus physique.
2 Ces paramètres sont difficilement calculables ou avec un grande
imprecision ...
⇒ Utiliser la méthode de la réponse indicielle pour calculer les paramètres
inconnues...
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Identification de la réponse
Example
Soit un système de capteur d’entrée e(t), la donnée que le capteur mesure et
de sortie y(t) la mesure du capteur. La réponse indicielle (pour une entrée
e(t) = 1) donne la courbe suivante.
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
tm=7.2 sec
yfinale=4.1
Calcul du temps de montée tm = 7.2sec
Calcul de la valeur finale y(∞) = 4.1sec
Modèle du système
3.27ẏ(t) + y(t) = 4.1e(t)
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Identification de la réponse
Example
Soit un système de capteur d’entrée e(t), la donnée que le capteur mesure et
de sortie y(t) la mesure du capteur. La réponse indicielle (pour une entrée
e(t) = 1) donne la courbe suivante. Nous pouvons aisément calculer son
temps de réponse tr = 4.36sec, son temps de montée tm = 3.65sec et sa
valeur finale y(∞) = 2.
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude
temps de montee temps de reponse
reponse indicielle du systeme physique
valeur finale
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Calcul du modèle mathématique
Reflet du comportement physique,
même valeur finale.
même temps de réponse.
Nous choisissons un modèle simple du premier ordre.
y(∞) = Ke0 = 2 ⇒ K = 2
tr = 3T = 4.36 et donc T = 1.463. Le modèle mathématique du capteur
sera donc :
1.463ẏ(t) + y(t) = 2e(t)
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Comparaisons entre la réponse du modèle et du procédé
Nous obtenons par ailleurs les réponses suivantes :
reponse indicielle
Temps (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
temps de montee
temps de reponse
procede reel
modele mathematique premier ordre
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Modèle du second ordre
Equation différentielle :
ÿ + a1ẏ + a0y = b0u ⇔ ÿ + 2ζωnẏ + ω2
ny = Kω2
nu
Fonction de transfert : G(p) = Kω2
n
p2+2ζωnp+ω2
n
ωn est la pulsation naturelle (pulsation propre non amortie), ζ est le
coefficient d’amortissement, K est le gain statique.
Le comportement dépend des racines de l’équation caractéristique
(pôles du système) :
Si ζ > 1, alors pôles réels :
p1,2 = −ζωn ± ωn
p
ζ2 − 1 = −
1
τ1
et −
1
τ2
si ζ = 1, alors pôle double : p = −ζωn
si ζ < 1, alors pôles complexes conjugués :
p1,2 = −ζωn ± jωn
p
1 − ζ2
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Réponse indicielle apériodique ζ > 1
y(t) = K

1 − p2etp1 −p1etp2
p1−p2

u(t)
= K

1 − τ1
τ1−τ2
e
− t
τ1 + τ2
τ1−τ2
e
− t
τ2

u(t)
8
y( )
y(t)
t
grand
petit
ζ
ζ
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Réponse indicielle critique ζ = 1
y(t) = K 1 − e−ωnt
− ωnte−ωnt

u(t)
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Réponse indicielle oscillante amortie |ζ  1|
Réponse oscillante amortie
y(t) = K

1 −
e−ωnζt
p
1 − ζ2
sin(ωn
p
1 − ζ2t + ϕ)
#
u(t)
avec ϕ = arctg
√
1−ζ2
ζ .
Pulsation propre : ωp = ωn
p
1 − ζ2 Période des oscillation : T = 2π
ωp
Enveloppe d’amortissement donnée par e−ωnt
Temps de réponse à 5% : Te ≃ 3
ζωn
Temps de montée : Tm = π
2ωp
= T
4
Premier dépassement : D1 = 100.e
− ζπ
√
1−ζ2
(en %)
intervient à T
2
Coefficient de surtension lorsque ζ  1
√
2
Pulsation de résonance : ωr =
p
1 − 2ζ2ωn
Coefficient de surtention : Q = 1
2ζ
√
1−ζ2
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Réponse indicielle d’un modèle d’ordre 2
8
y( )
8
} 5% de y( )
D1
n
-
e t
ζω
t
Tp
T
Te
Tm
y(t)
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Evolution Réponse indicielle amortissement ζ
Plus ζ diminue, plus les dépassements augmentent
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
zeta=0.2
zeta=0.5
zeta=1
zeta=0.7
zeta=1.5
gain statique : 1
pulsation naturelle : 1
réponse indicielle
temps
amplitude
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Evolution Réponse indicielle pulsation ωn
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Step Response
Amplitude
ω = 0.1
n
ω = 0.2
ω = 0.3
ω = 0.4
ω = 0.5
n
n
n
n
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Asservissement proportionnel et intégral
Example (asservissement de position)
On désire asservir la position d’un petit robot. Nous commandons la vitesse
des roues et nous désirons que celui-ci progresse de yr mètres. Le modèle
liant la vitesse des roues Ω(t) et la position du robot y(t) est donné par :
ẏ(t) + 30y(t) = Ω(t)
Choix d’une commande en boucle fermée: Ω(t) = k(yr (t) − y(t)) où k est
un paramètre de la commande.
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
La relation entre yr et y(t) devient alors :
ẏ(t) + 30y(t) = Ω(t) = k(yr − y(t))
ẏ(t) + (30 + k)y = kyr
1 Pour une consigne de yr , le robot progresse de k
30+k yr
2 Nous pouvons également utiliser k pour jouer sur la vitesse de
convergence car tr = 3
30+k .
Introduction Régime transitoire Σ du 1er
ordre Σ du 2nd
ordre Exemples
Example (asservissement de position)
On choisit une commande de la forme Ω(t) = k
t
R
0
(yr − y(t)dt) où k est un
paramètre de la commande.
L’équation liant la consigne et la sortie devient donc :
ẏ(t) + 30y(t) = Ω(t) = k
t
Z
0
(yr − y(t)dt)
En dérivant nous obtenons :
ÿ(t) + 30ẏ(t) + ky(t) = kyr
C’est une équation du second ordre, ces paramètres canoniques sont
Kstatique = 1, ωn = k,ζ = 15
k .
1 Pour une consigne de yr , le robot progresse de yr
2 Nous pouvons également utiliser k pour faire respecter d’autre
spécifications...

Contenu connexe

Similaire à Cours_3_0910_2.pdf

Les Filtres Numeriques
Les Filtres NumeriquesLes Filtres Numeriques
Les Filtres Numeriques
SAHELAicha
 
oscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres amortis.pptx.ppt
oscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres  amortis.pptx.pptoscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres  amortis.pptx.ppt
oscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres amortis.pptx.ppt
hermoussa
 
Cours algorithmique et complexite complet
Cours algorithmique et complexite completCours algorithmique et complexite complet
Cours algorithmique et complexite complet
Chahrawoods Dmz
 
Cours algorithmique et complexite
Cours algorithmique et complexite Cours algorithmique et complexite
Cours algorithmique et complexite
Saddem Chikh
 
Cours algorithmique et complexite complet
Cours algorithmique et complexite completCours algorithmique et complexite complet
Cours algorithmique et complexite complet
Chahrawoods Dmz
 
récursivité algorithmique et complexité algorithmique et Les algorithmes de tri
récursivité algorithmique et complexité algorithmique et Les algorithmes de trirécursivité algorithmique et complexité algorithmique et Les algorithmes de tri
récursivité algorithmique et complexité algorithmique et Les algorithmes de tri
Yassine Anddam
 
Réacteurs réels
Réacteurs réelsRéacteurs réels
Réacteurs réels
WassimKechid
 
Réacteurs réels
Réacteurs réelsRéacteurs réels
Réacteurs réels
WassimKechid
 
A slides 11
A slides 11A slides 11
A slides 11
Denis Gillet
 
Chapitre 3_AI.pdf
Chapitre 3_AI.pdfChapitre 3_AI.pdf
Chapitre 3_AI.pdf
HoucemBHsn
 
Cours9 ch2 Réponse temporelle: solution de l'équation d'état
Cours9 ch2 Réponse temporelle: solution de l'équation d'étatCours9 ch2 Réponse temporelle: solution de l'équation d'état
Cours9 ch2 Réponse temporelle: solution de l'équation d'état
sarah Benmerzouk
 
systemesasservis.pdf
systemesasservis.pdfsystemesasservis.pdf
systemesasservis.pdf
Mohsin565763
 
Transparents Filtrage Analogique.pptx
Transparents Filtrage Analogique.pptxTransparents Filtrage Analogique.pptx
Transparents Filtrage Analogique.pptx
GeraudRusselGouneChe1
 
cours algorithme
cours algorithmecours algorithme
cours algorithme
mohamednacim
 
Cours rep etat
Cours rep etatCours rep etat
Cours rep etat
Lin Pepin
 
cours1-1 traitement du signal electronic.pdf
cours1-1 traitement du signal electronic.pdfcours1-1 traitement du signal electronic.pdf
cours1-1 traitement du signal electronic.pdf
OllSraphin
 
Système de transition étiquété
Système de transition étiquétéSystème de transition étiquété
Système de transition étiquété
Intissar Dguechi
 
Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI
Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI
Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI
sarah Benmerzouk
 

Similaire à Cours_3_0910_2.pdf (20)

Les Filtres Numeriques
Les Filtres NumeriquesLes Filtres Numeriques
Les Filtres Numeriques
 
oscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres amortis.pptx.ppt
oscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres  amortis.pptx.pptoscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres  amortis.pptx.ppt
oscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres amortis.pptx.ppt
 
Cours algorithmique et complexite complet
Cours algorithmique et complexite completCours algorithmique et complexite complet
Cours algorithmique et complexite complet
 
Cours algorithmique et complexite
Cours algorithmique et complexite Cours algorithmique et complexite
Cours algorithmique et complexite
 
Cours algorithmique et complexite complet
Cours algorithmique et complexite completCours algorithmique et complexite complet
Cours algorithmique et complexite complet
 
récursivité algorithmique et complexité algorithmique et Les algorithmes de tri
récursivité algorithmique et complexité algorithmique et Les algorithmes de trirécursivité algorithmique et complexité algorithmique et Les algorithmes de tri
récursivité algorithmique et complexité algorithmique et Les algorithmes de tri
 
Réacteurs réels
Réacteurs réelsRéacteurs réels
Réacteurs réels
 
Réacteurs réels
Réacteurs réelsRéacteurs réels
Réacteurs réels
 
A slides 11
A slides 11A slides 11
A slides 11
 
Chapitre 3_AI.pdf
Chapitre 3_AI.pdfChapitre 3_AI.pdf
Chapitre 3_AI.pdf
 
Cours9 ch2 Réponse temporelle: solution de l'équation d'état
Cours9 ch2 Réponse temporelle: solution de l'équation d'étatCours9 ch2 Réponse temporelle: solution de l'équation d'état
Cours9 ch2 Réponse temporelle: solution de l'équation d'état
 
systemesasservis.pdf
systemesasservis.pdfsystemesasservis.pdf
systemesasservis.pdf
 
Transparents Filtrage Analogique.pptx
Transparents Filtrage Analogique.pptxTransparents Filtrage Analogique.pptx
Transparents Filtrage Analogique.pptx
 
cours algorithme
cours algorithmecours algorithme
cours algorithme
 
Cours rep etat
Cours rep etatCours rep etat
Cours rep etat
 
Cours1
Cours1Cours1
Cours1
 
cours1-1 traitement du signal electronic.pdf
cours1-1 traitement du signal electronic.pdfcours1-1 traitement du signal electronic.pdf
cours1-1 traitement du signal electronic.pdf
 
Système de transition étiquété
Système de transition étiquétéSystème de transition étiquété
Système de transition étiquété
 
Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI
Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI
Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI
 
Msr05 Control
Msr05 ControlMsr05 Control
Msr05 Control
 

Plus de SongSonfack

corr_exos.pdf
corr_exos.pdfcorr_exos.pdf
corr_exos.pdf
SongSonfack
 
10.5923.j.eee.20180801.01.pdf
10.5923.j.eee.20180801.01.pdf10.5923.j.eee.20180801.01.pdf
10.5923.j.eee.20180801.01.pdf
SongSonfack
 
UEF-2.2.1TELECOMMUNICATIONSFONDAMENTALESCoursetTD2018.pdf
UEF-2.2.1TELECOMMUNICATIONSFONDAMENTALESCoursetTD2018.pdfUEF-2.2.1TELECOMMUNICATIONSFONDAMENTALESCoursetTD2018.pdf
UEF-2.2.1TELECOMMUNICATIONSFONDAMENTALESCoursetTD2018.pdf
SongSonfack
 
SS47.pdf
SS47.pdfSS47.pdf
SS47.pdf
SongSonfack
 
boli2.pdf
boli2.pdfboli2.pdf
boli2.pdf
SongSonfack
 
cartes de Kohonen.pdf
cartes de Kohonen.pdfcartes de Kohonen.pdf
cartes de Kohonen.pdf
SongSonfack
 

Plus de SongSonfack (6)

corr_exos.pdf
corr_exos.pdfcorr_exos.pdf
corr_exos.pdf
 
10.5923.j.eee.20180801.01.pdf
10.5923.j.eee.20180801.01.pdf10.5923.j.eee.20180801.01.pdf
10.5923.j.eee.20180801.01.pdf
 
UEF-2.2.1TELECOMMUNICATIONSFONDAMENTALESCoursetTD2018.pdf
UEF-2.2.1TELECOMMUNICATIONSFONDAMENTALESCoursetTD2018.pdfUEF-2.2.1TELECOMMUNICATIONSFONDAMENTALESCoursetTD2018.pdf
UEF-2.2.1TELECOMMUNICATIONSFONDAMENTALESCoursetTD2018.pdf
 
SS47.pdf
SS47.pdfSS47.pdf
SS47.pdf
 
boli2.pdf
boli2.pdfboli2.pdf
boli2.pdf
 
cartes de Kohonen.pdf
cartes de Kohonen.pdfcartes de Kohonen.pdf
cartes de Kohonen.pdf
 

Cours_3_0910_2.pdf

  • 1. Analyse et Commande des systèmes linéaires Frédéric Gouaisbaut LAAS-CNRS Tel : 05 61 33 63 07 email : fgouaisb@laas.fr webpage: www.laas.fr/ ∼ fgouaisb September 24, 2009
  • 2. Présentation du Cours Volume Horaire: 9h Cours, 9h de Tds, 12h de TPs, Matériel sur le site http://www.laas.fr/∼ fgouaisb Polycopié sur la résolution des EDOs, Transparents de Cours, Polycopié de TPs, Polycopié de Cours. Evaluation: 1 note de contrôle intermédiaire (Partiel), 1 note de contrôle terminal, 1 note de travaux pratiques (comprenant 1 note de contrôle QCMs type moodle, 1 note terminale de travaux pratiques). Contact ⋆ Responsable du Cours : Frédéric Gouaisbaut, fgouaisb@laas.fr ⋆ Responsable des TPs : Yann Labit, labit@laas.fr
  • 3. Sommaire 1 Introduction à l’automatique et à la notion de systèmes. 2 Une première modélisation temporelle des systèmes linéaires. 3 Analyse temporelle des systèmes linéaires. 4 Une seconde modélisation des systèmes linéaires. 5 Analyse structurelle des systèmes linéaires. 6 Exemples de commande de systèmes bouclées. 7 Conclusion
  • 4. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Part I Analyse temporelle des systèmes linéaires
  • 5. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Sommaire 1 Introduction 2 Régime transitoire 3 Les systèmes du 1er ordre 4 Les systèmes du 2nd ordre 5 Exemples de systèmes régulés
  • 6. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Analyse temporelle Les systèmes que nous allons étudier sont définis par un modèle liant l’entrée et la sortie. Analyse d’ un système comprendre l’évolution du signal de sortie en fonction des sollicitations de l’entrée. Comparer les évolutions des sorties de différents systèmes. Comparer des systèmes : 1 en terme de stabilité (le système explose t-il ?). 2 en terme de rapidité de convergence vers l’objectif. 3 en terme de qualité de convergence (oscillations de la sortie ...) → Définir des indices de performances communs.
  • 7. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Les réponses temporelles idée : Comparer les réponses des systèmes à une série d’entrées tests. Impulsion de dirac E(p) = 1 e(t) t Echelon unitaire e(t) = 1∀t > 0, 0 sinon E(p) = 1/p e(t) t Rampe e(t) = t∀t > 0, 0 sinon E(p) = 1/p2 e(t) t Parabole e(t) = t2∀t > 0, 0 sinon E(p) = 2/p3
  • 8. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Indices de performances pour la réponse indicielle 8 y( ) D1 D1 y(t) t } 2, 5% de y( ) 8 0.1 0.9 Tm Tp Tm : temps de montée Tp : temps de pic Tr : temps de réponse : premier dépassement Tr ou Te
  • 9. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Définitions d’indices de performance Réponse temporelle composée de : 1 régime transitoire. 2 régime permanent. Nous définissons plusieurs points de référence aisément calculables ou mesurables : La valeur finale : Le temps de montée : Le temps de premier pic : La valeur du premier pic ou premier dépassement : Le temps de réponse :
  • 10. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Régime transitoire et Régime permanent 1 La réponse transitoire du système yt(t). Celle ci correspond à la solution de l’équation homogène où les n inconnues (provenant des polynômes qi ) sont déterminés grâce aux conditions initiales. 2 La réponse permanente du système qui correspond à la solution particulière de l’équation différentielle. Elle correspond en général à la partie de la courbe lorsque t −→ ∞. Example Soit l’équation ẏ(t) + y(t) = 2 × u(t) = 2 × 1 avec comme condition initiale y(0) = 0. L’équation homogène s’écrit yl (t) = Ae−t. L’équation particulière s’écrit y(t) = 2. La constante A est calculé telle que yl (0) + yp(0) = 0 i.e. A = −2. Le régime permanent est donc yp(t) = 2 et le régime transitoire est yt(t) = −2e−t. Analyser la réponse indicielle c’est donc analyser les caractéristiques du régime permanent (yp(t) = 2) et analyser les caractéristiques du régime transitoire (yt(t) = −e−t ou au signe près y⋆(t) = e−t)
  • 11. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Indices de performances pour le régime permanent Valeur finale La valeur finale de la courbe est définie par y(+∞) = lim t→+∞ y(t) Reponse indicielle Temps (sec) Amplitude 0 5 10 15 20 25 30 35 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Valeur finale
  • 12. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Indices de performances pour le régime transitoire Temps de montée Le temps de montée d’un système est le temps mis par sa sortie pour passer de 10% de sa valeur finale à 90% de sa valeur finale. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Reponse indicielle Temps (sec) Amplitude Temps de montee
  • 13. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Indices de performances pour le régime transitoire Temps de réponse Le temps de réponse d’un système est le temps mis par la sortie du système pour entrer dans la bande compris entre ±5% de sa valeur finale. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Reponse indicielle Temps (sec) Amplitude Temps de reponse 0 5 10 15 20 25 0 0.5 1 1.5 Reponse indicielle Temps (sec) Amplitude Temps de reponse
  • 14. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Indices de performances pour le régime transitoire Temps du premier pic Le temps de premier pic est le temps mis par le système pour atteindre le premier pic du dépassement (si celui ci a lieu ...) la valeur du premier pic La valeur du premier pic a plusieurs définitions reflétant différentes manières de mesurer la valeur du dépassement maximale par rapport à la valeur finale de y(t). Il est en général utilisé en pourcentage : Dr = y(Tp) − y(∞) y(∞) ∗ 100%
  • 15. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Indices de performances pour le régime transitoire 0 5 10 15 20 25 0 0.5 1 1.5 Reponse indicielle Temps (sec) Amplitude Temps du premier pic Valeur du premier pic
  • 16. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Modèle et Réponse d’un système du 1er ordre Equation différentielle a0y + a1ẏ = b0u ⇔ y + Tẏ = Ku T est la constante de temps et K est le gain statique. Réponse indicielle, échelon e0 y(t) = e− t T x0 + R t 0 e− t−τ T K T e0dτ = e− t T x0 + K(1 − e− t T )e0 = e− t T (x0 − Ke0) + Ke0 régime transitoire + régime permanent Pente à l’origine ẋ(0) = Ke0 − x0 T
  • 17. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Tracé de la réponse indicielle 8 y( ) y(t) t 5% de y( ) 8 T 2T 3T 63% Temps de montée de 10 à 90% = 2.2T Temps de réponse à 5% = 2.86T La valeur finale : Ke0. Le temps de montée : 2, 2T. Le temps de premier pic :∅. La valeur du premier pic ou premier dépassement :∅. Le temps de réponse : tr = 3T.
  • 18. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Identification de la réponse choix d’un modèle mathématique. Détermination des paramètres du modèle (par exemple le gain statique K et la constante de temps T) ⇒ Identification de ces paramètres 1 Ces paramètres sont calculés par l’intermédiaire de la connaissance du processus physique. 2 Ces paramètres sont difficilement calculables ou avec un grande imprecision ... ⇒ Utiliser la méthode de la réponse indicielle pour calculer les paramètres inconnues...
  • 19. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Identification de la réponse Example Soit un système de capteur d’entrée e(t), la donnée que le capteur mesure et de sortie y(t) la mesure du capteur. La réponse indicielle (pour une entrée e(t) = 1) donne la courbe suivante. 0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 tm=7.2 sec yfinale=4.1 Calcul du temps de montée tm = 7.2sec Calcul de la valeur finale y(∞) = 4.1sec Modèle du système 3.27ẏ(t) + y(t) = 4.1e(t)
  • 20. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Identification de la réponse Example Soit un système de capteur d’entrée e(t), la donnée que le capteur mesure et de sortie y(t) la mesure du capteur. La réponse indicielle (pour une entrée e(t) = 1) donne la courbe suivante. Nous pouvons aisément calculer son temps de réponse tr = 4.36sec, son temps de montée tm = 3.65sec et sa valeur finale y(∞) = 2. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Step Response Time (sec) Amplitude temps de montee temps de reponse reponse indicielle du systeme physique valeur finale
  • 21. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Calcul du modèle mathématique Reflet du comportement physique, même valeur finale. même temps de réponse. Nous choisissons un modèle simple du premier ordre. y(∞) = Ke0 = 2 ⇒ K = 2 tr = 3T = 4.36 et donc T = 1.463. Le modèle mathématique du capteur sera donc : 1.463ẏ(t) + y(t) = 2e(t)
  • 22. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Comparaisons entre la réponse du modèle et du procédé Nous obtenons par ailleurs les réponses suivantes : reponse indicielle Temps (sec) Amplitude 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 temps de montee temps de reponse procede reel modele mathematique premier ordre
  • 23. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Modèle du second ordre Equation différentielle : ÿ + a1ẏ + a0y = b0u ⇔ ÿ + 2ζωnẏ + ω2 ny = Kω2 nu Fonction de transfert : G(p) = Kω2 n p2+2ζωnp+ω2 n ωn est la pulsation naturelle (pulsation propre non amortie), ζ est le coefficient d’amortissement, K est le gain statique. Le comportement dépend des racines de l’équation caractéristique (pôles du système) : Si ζ > 1, alors pôles réels : p1,2 = −ζωn ± ωn p ζ2 − 1 = − 1 τ1 et − 1 τ2 si ζ = 1, alors pôle double : p = −ζωn si ζ < 1, alors pôles complexes conjugués : p1,2 = −ζωn ± jωn p 1 − ζ2
  • 24. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Réponse indicielle apériodique ζ > 1 y(t) = K 1 − p2etp1 −p1etp2 p1−p2 u(t) = K 1 − τ1 τ1−τ2 e − t τ1 + τ2 τ1−τ2 e − t τ2 u(t) 8 y( ) y(t) t grand petit ζ ζ
  • 25. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Réponse indicielle critique ζ = 1 y(t) = K 1 − e−ωnt − ωnte−ωnt u(t)
  • 26. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Réponse indicielle oscillante amortie |ζ 1| Réponse oscillante amortie y(t) = K 1 − e−ωnζt p 1 − ζ2 sin(ωn p 1 − ζ2t + ϕ) # u(t) avec ϕ = arctg √ 1−ζ2 ζ . Pulsation propre : ωp = ωn p 1 − ζ2 Période des oscillation : T = 2π ωp Enveloppe d’amortissement donnée par e−ωnt Temps de réponse à 5% : Te ≃ 3 ζωn Temps de montée : Tm = π 2ωp = T 4 Premier dépassement : D1 = 100.e − ζπ √ 1−ζ2 (en %) intervient à T 2 Coefficient de surtension lorsque ζ 1 √ 2 Pulsation de résonance : ωr = p 1 − 2ζ2ωn Coefficient de surtention : Q = 1 2ζ √ 1−ζ2
  • 27. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Réponse indicielle d’un modèle d’ordre 2 8 y( ) 8 } 5% de y( ) D1 n - e t ζω t Tp T Te Tm y(t)
  • 28. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Evolution Réponse indicielle amortissement ζ Plus ζ diminue, plus les dépassements augmentent 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 zeta=0.2 zeta=0.5 zeta=1 zeta=0.7 zeta=1.5 gain statique : 1 pulsation naturelle : 1 réponse indicielle temps amplitude
  • 29. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Evolution Réponse indicielle pulsation ωn 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Step Response Amplitude ω = 0.1 n ω = 0.2 ω = 0.3 ω = 0.4 ω = 0.5 n n n n
  • 30. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Asservissement proportionnel et intégral Example (asservissement de position) On désire asservir la position d’un petit robot. Nous commandons la vitesse des roues et nous désirons que celui-ci progresse de yr mètres. Le modèle liant la vitesse des roues Ω(t) et la position du robot y(t) est donné par : ẏ(t) + 30y(t) = Ω(t) Choix d’une commande en boucle fermée: Ω(t) = k(yr (t) − y(t)) où k est un paramètre de la commande.
  • 31. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples La relation entre yr et y(t) devient alors : ẏ(t) + 30y(t) = Ω(t) = k(yr − y(t)) ẏ(t) + (30 + k)y = kyr 1 Pour une consigne de yr , le robot progresse de k 30+k yr 2 Nous pouvons également utiliser k pour jouer sur la vitesse de convergence car tr = 3 30+k .
  • 32. Introduction Régime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples Example (asservissement de position) On choisit une commande de la forme Ω(t) = k t R 0 (yr − y(t)dt) où k est un paramètre de la commande. L’équation liant la consigne et la sortie devient donc : ẏ(t) + 30y(t) = Ω(t) = k t Z 0 (yr − y(t)dt) En dérivant nous obtenons : ÿ(t) + 30ẏ(t) + ky(t) = kyr C’est une équation du second ordre, ces paramètres canoniques sont Kstatique = 1, ωn = k,ζ = 15 k . 1 Pour une consigne de yr , le robot progresse de yr 2 Nous pouvons également utiliser k pour faire respecter d’autre spécifications...