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Licence 1ère année Math-Informatique 1
Chapitre IV
Représentation logique des
données
Définition
Un système de numération est une représentation de
variables.
Ces variables codées sont basées sur un ensemble de
symboles appelés «chiffres», (digits), et de règles de
composition représentant les opérations entre ces
variables.
Les opérations de base sont l’addition, la multiplication
et les autres opérations arithmétiques.
Base d’un système (1/2)
La base d’un système numérique est le nombre de
chiffre de l’ensemble.
Base d’un système (2/2)
( N ) r = [ (partie entière) , (fraction) ] r
r  base
N  nombre
Ex. = [ 124 , 659 ]10
Représentation des nombres
 Notation juxtaposé :
( N )r = ( an-1 an-2 … a1 a0 , a-1 a-2 … a-m )r
0  ai ou a-f  r - 1
Ex. : ( 741,10)8
 Notation polynomiale et poids de chiffres :
 
N a r
r j
j
j m
n 1




[N]r= an-1• rn-1+an-2 • rn-2+…+
a0 • r0 +
a-m+1 • r-m+1+a-m • r-m
 
N a r
r j
j
j m
n 1




Polynomiale
Ex.: [191.27]10
1X102 + 9X101 + 1X100 + 2X10-1 + 7X10-2
Ex.:[ 4021.2]5
4X53 + 0X52 + 2X51 + 1X50 + 2x5-1
Quelques bases
Type Base Chiffres Exemple
Décimal 10 0-9 121.9
Hexadécimal 16 0-9,A,B,C,D,E,F 1A7.F2
Octal 8 0-7 121,6
Binaire 2 0-1 1011.1101
Polynomiale
Ex.: 191.27
1X102 + 9X101 + 1X100 + 2X10-1 + 7X10-2
Ex.: 4021.25
4X53 + 0X52 + 2X51 + 1X50 + 2x5-1
Le système binaire
Le système binaire
Toute l’information en électronique digital est binaire.
Alors…
Equivalent décimal:
1x8 + 0x4 +1x2 + 1x1 +
1x0.5 + 1x0.25 + 0x0.125 +1x0.0625
1011.1101 = 11.8125
Décimal - Binaire
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
Licence 1ère année Math-Informatique 14
Opérations arithmétiques
Opérations
On se souvient que:
0 + 0 = 0
1 + 0 = 0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 [ 1]
0 * 0 = 0
1 * 0 = 0 * 1 = 0
1 * 1 = 1
Addition
Opération sur les nombres, en
base 2
Multiplication
Compléments
 Fonction :
Utilisées pour simplifier les opérations de
soustraction en base r
Complément à r
rn – N Si N  0
0 Si N = 0
 n = Nombre de chiffres
Exemples r
Complément à 10 de [ 52520 ]10
n =5
Alors = 105 – 52520 = 47480
Complément à 10 de [ 0,3267 ]10
n =0
Alors = 1 – 0,3267 = 0,6733
Complément à r-1
rn – 1 - N Si N  0
0 Si N = 0
Exemples r-1
Complément à 9 de [ 52520 ]10
n =5
Alors = 105 - 1 - 52520 = 99999- 5250
= 47479
Complément à 9 de [ 0,3267 ]10
n =0
Alors = 100 - 10-4 – 0,3267
= 0,9999 – 0,3267 = 0,6732
Complément à 2 en binaire
Changer les 0  1
Additionner 1
Exemple
N = 1 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 1
+ 1
Cà2(N) = 0 1 0 1 0 0
Complément à 1 en binaire
Changer les 0  1
N = 1 0 1 1 0 0
Cà1 (N) = 0 1 0 0 1 1
Codes décimal / octal / hexadécimal :
Décimal Octal Hexadécimal
0 0 0
1 1 1
… … …
6 6 6
7 7 7
8 10 8
9 11 9
10 12 A
11 13 B
12 14 C
13 15 D
14 16 E
15 17 F
16 20 10
A quoi ça sert?…
Soient: M = 72532 Trouver M - N
N = 03250
Cà9(N) = 105 – 1 - 3250 = 96749
M + 96749 = 72532
+ 96749
--------------
1 69281
Soustractions
69281 +1 = 69282
Soient: M = 03250 Trouver M - N
N = 72532
Cà9(N) = 99999 - 72532 = 27467
03250
+ 27467
--------------
0 30717
Soustractions
Autre exemple
Complément à 9 de 30717:
99999 – 30717 = 69282
- 69282
M – N =
Complément à 2 ex.1
Soient: M = 1010100 Trouver M - N
N = 1000100
Cà2(N) = 0111011 + 1 = 0 1 1 1 1 0 0
M + Cà2(N) = 1010100
+ 0111100
--------------
1 0010000
Complément à 2 ex.2
Soient: M = 1000100 Trouver M - N
N = 1010100
Cà2(N) = 0101011 + 1 = 0 1 0 1 1 0 0
M + Cà2(N) = 1000100
+ 0101100
--------------
0 1110000
Ex.2 cont…
Complement à 2 du résultat anterieur :
X = 1110000
Cà2(X) = 0001111 + 1 = 0 0 1 0 0 0 0
M – N = - 10000
Changement de base
Base N en base 10 :
Méthode de substitution
Ex. : (101.11)2  ( ?)10
1X22 + 0X21 + 1X20 + 1X2-1 + 1X2-2
4 + 0 + 1 + ½ + ¼ = 5.75
Base 10 en base M :
Méthode par division et multiplication
Ex. : (19.75)10 ( ?)2
Partie entière Partie fractionnaire
19  2 = 9 + 1 .75 X 2 = 1.50
9  2 = 4 + 1 .50 X 2 = 1.00
4  2 = 2 + 0 .00 X 2 = 0.00
2  2 = 1 + 0
1  2 = 0 + 1
= 1 0 0 1 1 . 1 1 0
Base N en base M :
N en 10 : Substitution
10 en M : Multiplication

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  • 1. Licence 1ère année Math-Informatique 1 Chapitre IV Représentation logique des données
  • 2. Définition Un système de numération est une représentation de variables. Ces variables codées sont basées sur un ensemble de symboles appelés «chiffres», (digits), et de règles de composition représentant les opérations entre ces variables. Les opérations de base sont l’addition, la multiplication et les autres opérations arithmétiques.
  • 3. Base d’un système (1/2) La base d’un système numérique est le nombre de chiffre de l’ensemble.
  • 4. Base d’un système (2/2) ( N ) r = [ (partie entière) , (fraction) ] r r  base N  nombre Ex. = [ 124 , 659 ]10
  • 5. Représentation des nombres  Notation juxtaposé : ( N )r = ( an-1 an-2 … a1 a0 , a-1 a-2 … a-m )r 0  ai ou a-f  r - 1 Ex. : ( 741,10)8
  • 6.  Notation polynomiale et poids de chiffres :   N a r r j j j m n 1     [N]r= an-1• rn-1+an-2 • rn-2+…+ a0 • r0 + a-m+1 • r-m+1+a-m • r-m   N a r r j j j m n 1    
  • 7. Polynomiale Ex.: [191.27]10 1X102 + 9X101 + 1X100 + 2X10-1 + 7X10-2 Ex.:[ 4021.2]5 4X53 + 0X52 + 2X51 + 1X50 + 2x5-1
  • 8. Quelques bases Type Base Chiffres Exemple Décimal 10 0-9 121.9 Hexadécimal 16 0-9,A,B,C,D,E,F 1A7.F2 Octal 8 0-7 121,6 Binaire 2 0-1 1011.1101
  • 9. Polynomiale Ex.: 191.27 1X102 + 9X101 + 1X100 + 2X10-1 + 7X10-2 Ex.: 4021.25 4X53 + 0X52 + 2X51 + 1X50 + 2x5-1
  • 11. Le système binaire Toute l’information en électronique digital est binaire.
  • 12. Alors… Equivalent décimal: 1x8 + 0x4 +1x2 + 1x1 + 1x0.5 + 1x0.25 + 0x0.125 +1x0.0625 1011.1101 = 11.8125
  • 13. Décimal - Binaire 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000
  • 14. Licence 1ère année Math-Informatique 14 Opérations arithmétiques
  • 15. Opérations On se souvient que: 0 + 0 = 0 1 + 0 = 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0 [ 1] 0 * 0 = 0 1 * 0 = 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1
  • 16. Addition Opération sur les nombres, en base 2
  • 18. Compléments  Fonction : Utilisées pour simplifier les opérations de soustraction en base r
  • 19. Complément à r rn – N Si N  0 0 Si N = 0  n = Nombre de chiffres
  • 20. Exemples r Complément à 10 de [ 52520 ]10 n =5 Alors = 105 – 52520 = 47480 Complément à 10 de [ 0,3267 ]10 n =0 Alors = 1 – 0,3267 = 0,6733
  • 21. Complément à r-1 rn – 1 - N Si N  0 0 Si N = 0
  • 22. Exemples r-1 Complément à 9 de [ 52520 ]10 n =5 Alors = 105 - 1 - 52520 = 99999- 5250 = 47479 Complément à 9 de [ 0,3267 ]10 n =0 Alors = 100 - 10-4 – 0,3267 = 0,9999 – 0,3267 = 0,6732
  • 23. Complément à 2 en binaire Changer les 0  1 Additionner 1
  • 24. Exemple N = 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 + 1 Cà2(N) = 0 1 0 1 0 0
  • 25. Complément à 1 en binaire Changer les 0  1 N = 1 0 1 1 0 0 Cà1 (N) = 0 1 0 0 1 1
  • 26. Codes décimal / octal / hexadécimal : Décimal Octal Hexadécimal 0 0 0 1 1 1 … … … 6 6 6 7 7 7 8 10 8 9 11 9 10 12 A 11 13 B 12 14 C 13 15 D 14 16 E 15 17 F 16 20 10
  • 27. A quoi ça sert?…
  • 28. Soient: M = 72532 Trouver M - N N = 03250 Cà9(N) = 105 – 1 - 3250 = 96749 M + 96749 = 72532 + 96749 -------------- 1 69281 Soustractions 69281 +1 = 69282
  • 29. Soient: M = 03250 Trouver M - N N = 72532 Cà9(N) = 99999 - 72532 = 27467 03250 + 27467 -------------- 0 30717 Soustractions
  • 30. Autre exemple Complément à 9 de 30717: 99999 – 30717 = 69282 - 69282 M – N =
  • 31. Complément à 2 ex.1 Soient: M = 1010100 Trouver M - N N = 1000100 Cà2(N) = 0111011 + 1 = 0 1 1 1 1 0 0 M + Cà2(N) = 1010100 + 0111100 -------------- 1 0010000
  • 32. Complément à 2 ex.2 Soient: M = 1000100 Trouver M - N N = 1010100 Cà2(N) = 0101011 + 1 = 0 1 0 1 1 0 0 M + Cà2(N) = 1000100 + 0101100 -------------- 0 1110000
  • 33. Ex.2 cont… Complement à 2 du résultat anterieur : X = 1110000 Cà2(X) = 0001111 + 1 = 0 0 1 0 0 0 0 M – N = - 10000
  • 35. Base N en base 10 : Méthode de substitution Ex. : (101.11)2  ( ?)10 1X22 + 0X21 + 1X20 + 1X2-1 + 1X2-2 4 + 0 + 1 + ½ + ¼ = 5.75
  • 36. Base 10 en base M : Méthode par division et multiplication Ex. : (19.75)10 ( ?)2 Partie entière Partie fractionnaire 19  2 = 9 + 1 .75 X 2 = 1.50 9  2 = 4 + 1 .50 X 2 = 1.00 4  2 = 2 + 0 .00 X 2 = 0.00 2  2 = 1 + 0 1  2 = 0 + 1 = 1 0 0 1 1 . 1 1 0
  • 37. Base N en base M : N en 10 : Substitution 10 en M : Multiplication