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Universit´e Hassane II
Facult´e des Scineces
Ain Chock
Alg`ebre 3 (Devoirs)
Professeur ABDELALIM SEDDIK
Ann´ee Universitaire 2016-2017
1
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Facult´e des Scineces
Ain Chock Fili`ere SMIA
Devoir 1
Exercice 1
Soit E un IR espace vectoriel de dimension 4, f ∈ L(E) et
A =





−1/2 0 0 0
2 1/3 0 0
0 0 2 −10
0 0 −1 5





la matrice associ´e `a f dans la base B = (e1, e2, e3, e4)
1) D´eterminer les valeurs propres de f
2) On pose v1 = 5e3 + e4, v2 = e2, v3 = e1 + 12e2, v4 = −2e3 + e4.
a) Montrer que B = (v1, v2, v3, v4) est une base de E
b) Donner la matrice de passage de B `a B
c) Montrer que la matrice de D de f dans B est diagonal
d) Donner la relation reliant A et D
3) Calculer S = I4 + D + D2
+ · · · + Dn
en fonction de n
4) En d´eduire que S = I4 + A + A2
+ · · · + An
en fonction de n
Exercice 2
On consid`ere l’espace vectoriel IR3
muni de sa base canonique B = (e1, e2, e3) et
u = (−2, 1, 1), g1, g2, g3, ρ ∈ L(IR3
) tels que
g1(x, y, z) = (−2x, x, x), g2(x, y, z) = (−2y, y, y), g3(x, y, z) = (−2z, z, z), ρ(x, y, z) =
(2x + 3y + z, 3x + 5y + z, x + y + z),.
On consid`ere l’ensemble G = {g ∈ L(IR )/ ρ(g) = 0}
1) Montrer que G est un sous espace vectoriel de L(IR )
2) D´eterminer Ker(ρ) et Im(ρ)
3) Pour α, γ, β dans IR Calculer (αg1 + γg2 + βg3)(ei) = ∀1 ≤ i ≤ 3
4) En d´eduire que g1, g2, g3 est une famille libre de G
5) Montrer que si g ∈ G alors Img est inclus dans ker(ρ)
6) En d´eduire que si g ∈ G alors ils existent α1, α2, α3 ∈ IR tels que
g(e1) = α1u, g(e2) = α2u, g(e3) = α3u,
7) Montrer que g = α1g1 + α2g2 + α3g3
8) En d´eduire que g1, g2, g3 est une base de G
2
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Devoir 2
Exercice 1
Soit A, B ∈ Mn(K) v´erifiant AB = A + B
1) Montrer que In − A est inversible
2) En d´eduire que AB = BA
Exercice 2
Soit E un K espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B = (e1, e2, e3)
Soit f ∈ E dont la matrice dans la base B est A =



0 2 1
−1 2 1
0 1 1



On pose v1 = e1 + e3, v2 = e1 + e2, v3 = e1 + e2 + e3
1) Montrer que B = (v1, v2, v3) est une base de E
2) D´eterminer la matrice de passage de B `a B
3) Montrer que la matrice T associ´ee `a f dans B est de la forme suivante T = I3 + J
avec J3
= 0
4) Calculer Tn
5) En d´eduire An
Exercice 3
On note Ω l’ensemble des matrices de la forme M =



a −c −b
b a −c
c b a


 avec a, b, c ∈ IC.
Soient les matrices A =



0 0 −1
1 0 0
0 1 0


 et I3 =



1 0 0
0 1 0
0 0 1



1) Calculer A2
et A3
2) Montrer que Ω est un sous espace vectoriel de M3(IC)
3) D´eterminer la base de Ω
4) Montrer que Ω est un anneau
5) D´eterminer les nombres complexes α tels que la matrice (A−αI3) ne soit pas inversible
3
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Devoir 3
Exercice 1
On consid`ere la matrice B =



1 −1 2
−1 2 −1
2 −1 0



1) Calculer le d´eterminant de la matrice B
2) Calculer l’inverse de la matrice B
Exercice 2
Soit E l’espace vectoriel r´eel des polynˆomes `a coefficients r´eel de degr´e inf´erieur ou ´egale
`deux muni de sa base B = (1, X, X2
)
E
f
−→ E
P = a + bX + cX2
−→ a − b + (b − a)X + (a + b − 2c)X2
1) D´eterminer la matrice de f dans B
2) Calculer Imf et ker(f)
3) D´eterminer des bases respectivement de Imf et ker(f)
4) Montrer que E = Imf ⊕ ker(f)
Exercice 3
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3, h ∈ L(E) tel que h2
= 0 et h3
= 0
1) Montrer que h2
(E) = h(E)
2) Soit y ∈ h2
(E)0 tel que y = h2
(t)
Montrer que B = (t, h(t), h2
(t)) est une base de E
3) D´eterminer la matrice M de h dans la base B
4) Soit F = {f ∈ L(E)/hof = foh}
a) Montrer que F est un sous espace vectoriel de L(E)
b) Supposons que f = aid + bh + ch2
avec a, b, c ∈ K
i) Montrer que f ∈ F
ii) D´eterminer la matrice M de f dans la base B
4
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Devoir 4
Exercice 1 On consid`ere la matrice B =



1 −1 2
−1 0 −1
2 −1 1



1) Calculer le d´eterminant de la matrice B
2) Calculer l’inverse de la matrice B
Exercice 2 Soit {v1, v2, v3} une base de IR3
, On consid`ere l’application lineaire f
d´efinie par:
IR3 f
−→ IR3
x1v1 + x2v2 + x3v3 −→ (x1 − x3)v1 + x2v2 + x2v3
1) Donner la matrice M de f dans la base B = (v1, v2, v3)
2) Calculer Imf et ker(f)
3) D´eterminer des bases B1, B2 respectivement de Imf et ker(f)
4) Completer respectivement les bases B1 et B2
5) Calculer M2
, M3
6) En d´eduire l’expression de Mn
7)Montrer que les deux sous espaces vectoriels V ect(M, M2
, M3
, · · · , Mn
) et
V ect(M, M2
− M) de M3(IR) sont ´egaux
Exercice 3 Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de IR3
et u l’endomorphisme de IR3
repr´esent´e sur cette base par la matrice B =



0 1 0
−4 4 0
−2 1 2


. On pose v = u − 2idIR3
1) D´eterminer Imv et ker(v)
2) D´eterminer des bases B1, B2 respectivement de Imv et ker(v)
3) Montrer que v2
= 0 et en d´eduire que (v(e1), e3) est une base de ker(v)
4) Montrer que B1 = (e1, v(e1), e3) est une base de IR3
5) Supposons que A1, C1 deux matrices associ´e respectivement de u et v sur la base B1
i) D´eterminer A1 et C1
ii) Calculer Cn
1 et An
1
iv) D´eterminer matrice de passage P de B vers B1
v) Calculer An
5
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Devoir 5
Exercice 1
Soit E = {P ∈ IR[X]/deg(P) ≤ 2} 1) Montrer que E est un sous espace vectoriel de
(IR[X], +, .) sur IR
2) Donner une base de E
3) Soit f une application d´efinie sur E par f(P) = P − (X + 1)P
i) Montrer que f est un endomorphisme de E
ii) Calculer f(1), f(X), f(X2
)
iii) D´eterminer la matrice de f dans la base (1, X, X2
)
iv) f est elle injective ?
Exercice 2
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 4 et B = (e1, e2, e3, e4) une base de E. On
Consid`ere l’endomorphisme u de E d´efini par:
u(e1) = −2e2 + 2e3 − 5e4, u(e2) = −3e1 + 2e3 − 6e4, u(e3) = −e1 + 3e3 − e4, u(e4) =
e1 + 2e2 − e3 + 6e4
1) D´eterminer la matrice de u dans la base B
2) Soient b1 = e1 − e2, b2 = e1 + e4, b3 = e3, f = 2id − u et F = vect(b1, b2, b3)
a) Montrer que f(F) ⊂ F
b) Montrer que (b1, b2, b3) est une base F
c) On pose v la restriction de f sur F
i) Donner la matrice A1 de v dans la base v
ii) Montrer que v3
= 0
iii) On pose c1 = 2e1 − e2 − e3 + e4 Montre que (c1, v(c1), v2
(c1)) est une
base de F
6
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Devoir 6
Exercice 1
On consid`ere la matrice B =





1 1 1 1
1 −1 −1 1
−1 −1 1 1
−3 1 −3 −7





1) Calculer le rang de B
Exercice 2
Soit E l’espace vectoriel r´eel des polynˆomes `a coefficients r´eel de degr´e inf´erieur ou ´egale
`cinq muni de sa base B = (1, X, X2
, X3
, X4
, X5
)
1) Soit F l’ensemble des polynˆomes de E divisible par X3
a) Montrer que F est un sous espace vectoriel de E
b) D´eterminer une base de F
2) On d´efinit l’application f du E vers E
E
f
−→ E
P −→ X[P (X) + P (0)] − 2[P(X) − P(0)]
a) Montrer que f est lin´eaire
b) D´eterminer la matrice de f dans B
c) Calculer Imf et ker(f)
d) Montrer E = Imf ⊕ ker(f)
Exercice 3
On munit de IR3
de sa base canonique B = (e1, e2, e3), et
IR3 f
−→ IR3
(x, y, z) −→ (4x + y + z, x + 4y + z, x + y + 4z)
1) Montrer que f est lin´eaire
2) D´eterminer une base B1 de ker(f − 3id)
3) D´eterminer une base B2 de ker(f − 6id)
4) Montrer B3 = B1 B2 est une base de IR3
5) D´eterminer la matrice de f dans la base B3
7
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Exercice 1
Soit E un K-espace vectoriel et B = (e1, e2, e3, e4) une base de E, f ∈ L(E) tel que
f(e1) = −e3 − e4, f(e2) = e1 + e2 + e3 + e4, f(e3) = e2 − e4, f(e4) = e3 + e4,
1) Montrer que f est lin´eaire
2) D´eterminer une base B1 de ker(f)
3) D´eterminer une base B2 de Imf
4) Est ce que ker(f) et Imf sont suppl´ementaires
Exercice 2
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E,
pour tout λ ∈ K on pose Eλ = {x ∈ E/u(x) = λx}
1) Montrer que Eλ = ker(u − λid)
2) Montrer que Eλ est un sous espace vectoriel de E
3) Soit α1, α2, · · · , αp des valeurs propres deux `a deux distincts de u associ´es aux vecteurs
propres x1, x2, · · · , xp (u(xi) = αixi ∀ 1 ≤ i ≤ p )
Montrer que (x1, x2, · · · , xp) est une famille libre
4) Soient α1, α2, · · · , αp des valeurs propres deux `a deux distincts de u
On suppose qu’il existe une base B = (e1, e2, · · · , en) form´e de vecteurs propres de u
i) Montrer que (u − α1id)o(u − α2id)o(u − α3id)o · · · o(u − αpid) = 0
ii) Montrer que ker(u − α1id) ⊕ ker(u − α2id) ⊕ ker(u − α3id) ⊕ · · · ⊕ ker(u −
αpid) = 0
5) Supposons que α1, α2, · · · , αn des valeurs propres deux `a deux distincts de u associ´es
aux vecteurs propres x1, x2, · · · , xn et b = x1 + x2 + · · · + xn
i) Montrer que (b, u(b), u2
(b), u3
(b), · · · , un
(b)) est une base de E
ii) D´eterminer la matrice de u dans la base B en fonction de a0, a1, a2, · · · , an−1
((X − α1)(X − α2)(X − α3) = Xn
+ an−1Xn−1
· · · + a1X1
+ a0)
8
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Exercice 1
D(X) =
f(e1) f(e2) f(e3) · · · f(en)
r1 − X a − X a − X · · · a − X
b − X r2 − X a − X · · · a − X
b − X b − X r3 − X · · · a − X
...
...
...
...
...
b − X b − X b − X · · · rn − X
|
avec a, b, r1, r2, · · · , rn ∈ IR et f(X) = (r1 − X)(r2 − X)(r3 − X) · · · (rn − X)
1) Calculer D(a), D(b) en fonction de a, b, r1, r2, · · · , rn
2)Montrer qu’il existent A, B ∈ IR tel que D(X) = A + BX
3) Montrer que D(0) = af(a)−bf(b)
a−b
Exercice 2
Soit E un IR-espace vectoriel avec E = M2(IR) o`u M2(IR) enemble des matrices carr´es
d’ordre 2 et A =
1 1
1 1
, et E
f
−→ E
M −→ AM − MA
On pose M1 =
1 0
0 0
, M2 =
0 1
0 0
, M3 =
0 0
1 0
, M4 =
0 0
0 1
,
1) Montrer que B = (M1, M2, M3, M4) est une base de E
2) Montrer que f est un endomorphisme de E
3) D´eterminer la matrice de f dans la base de B
4) D´eterminer respectivement les bases de ker(f) et Imf
5) Montrer que Imf2
= Imf
6) En d´eduire que ker(f) = ker(f2
)
9
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Exercice 1
Soit fm : IR3
−→ IR3
l’endomorphisme de IR3
d´efini par
fm(e1) = me1 +e2 +e3, fm(e2) = e1 +me2 +e3, fm(e3) = e1 +e2 +me3 avec B = (e1, e2, e3)
une base de IR3
1) D´eterminer la matrice de f dans la base de B
2) Montrer que fm est automorphisme de IR3
si et seulement si m = 1 et m = −2
3) Montrer que (M(f1, B))n
= 3n−1
M(f1, B)
4) Montrer que (M(f−2, B))n
= 3n−1
M(f−2, B)
Exercice 2
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et u un endomorphisme de E non nul
1) On suppose que u2
= 0
i) Montrer que Imu ⊂ ker(U) et en d´eduire que dim(Imu) = 1
ii) Montrer qu’il existe x0 ∈ E et y0 ∈ ker(u) tels que (u(x0), y0) est libre
(indication Imu sous espace vectoriel de ker(u))
iii) Montrer que B = (u(x0), y0, x0) est une base de E
iv) D´eterminer la matrice de u dans la base B
2) On suppose que u3
= 0 et u2
= 0
i) Soit X0 ∈ Imu2
0 avec X0 = u(z0) Montrer qu’il existe B = (u2
(z0), u(z0), z0)
est une base de E
ii) D´eterminer la matrice de u dans la base B
iii) D´eterminer ker(u) et ker(u2
)
10
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Devoir 10
Exercice 1
On consid`ere la matrice M =



p q r
r p q
q r p


 avecp + q + r = 1
1) Calculer M2
2) Calculer Mn
=



pn qn rn
rn pn qn
qn rn pn


 avec pn + qn + rn = 1 pour tout n ∈ IN∗
3) Soient α1, α2, α3 les racines de X3
− 1 = 0. On pose



u = x +α0y +α2
0z
v = x +α1y +α2
1z
w = x +α2y +α2
2z



i) Montrer que α1 + α2 + α3 = 0 et α2
1 + α2
2 + α2
3 = 0
ii)



3x = u +v +w
3y = α2
0u +α2
1v +α2
2w
3z = α0u +α1v +α2w



iii) D´eterminer l’inverse de



1 α0 α2
0
1 α1 α2
1
1 α2 α2
2



iv) En d´eduire l’inverse de D´eterminer l’inverse de A =



1 1 1
α0 α1 α2
α2
0 α2
1 α2
2



3) On suppose que L =



β0 0 0
α0 β1 0
0 0 β2


 avec βi = p + αiq + α2
i r i)
Montrer que MA = AL
ii) Montrer que M = ALA−1
et en d´eduire que Mn
= ALn
A−1
ii) Montrer que M−n
= AL−n
A−1
Exercice 2
Soient A, B, C, D ∈ M3(IR) tels que
A =



a b c
d e f
g h i


 B =



b c a
e f d
h i g



C =



αa αb αc
βd βe βf
−αg −αh −αi


 D =



αa + d αb + e αc + f
d e f
g h i



Montrer que det(B) = det(A), det(C) = −(α2
β)det(A), det(D) = αdetA
11
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Devoir 11
Exercice 1
Soit E un IR-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B = (e1, e2, e3)
Soit f un endomorphisme de E et A sa matrice de f dans la base B A =



3 1 −1
−4 −1 2
4 2 −1



1) Calculer A2
et en d´eduire A−1
2) Soient F = {x ∈ E/f(x) = x} et G = {x ∈ E/f(x) = −x}
a) Montrer que F et G sont deux sous espace vectoriels de E
b) D´eterminer des bases de respectivement F et G
c) Montrer que E = F ⊕ G
2) On suppose que f1 = e1 + 2e3, f2 = e2 + e3, f3 = e1 − 2e2 + 2e3 et B1 = (f1, f2, f3)
a) D´eterminer la matrice de passage de B `a B1
b) Ecrire la matrice de f dans la base de B1
Exercice 2
Soit E un IR-espace vectoriel de dimension n, et f ∈ L(E) tel que f2
= fof = 0
1) Montrer que Imf ⊂ ker(f) et en d´eduire que rang(f) ≤ n/2
2) On suppose que n = 4 et la matrice de f dans la base B = (e1, e2, e3, e4) c’est
A =






c 0 b a
0 c −a b
b −a −c 0
a b 0 −c






a) Calculer A2
et le d´eterminant de A2
b) D´eterminer l’expression du d´eterminat A
c) En d´eduire que A est inversible si et seulement si c2
+ aa + bb = 0
c) Etudier le rang de A dans les cas suivants 1er
cas c2
+ aa + bb = 0, 2eme
cas c2
+ aa + bb = 0 et c = 0; 3eme
cas c2
+ aa + bb = 0 c = 0 et a = 0
2) On suppose que f1 = e1 + 2e3, f2 = e2 + e3, f3 = e1 − 2e2 + 2e3 et B1 = (f1, f2, f3)
3)a) R´esoudre le syst`eme suivant


cx +0 +bz +at = 0
0 +cy −a z b = 0
b x −ay −cz +0t = 0
a x +by +0z −ct = 0



avec x, y, z, t sont des inconnues et a, a , b, b , c sont des nombres r´eels et aa + bb = 0
b) Ecrire la matrice de f dans la base de B1
12
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Exercice 1
On consid`ere IR[X] un IR-espace vectoriel (IR[X] ensemble des polynˆomes r´eels)
E = {pIR[X]/deg(p) ≤ 2 ∈}
1) Montrer que E est un sous espace vectoriel de IR[X] et donner sa base
2) Soit f une application d´efinie sur E par f(P) = (X − 3)(X − 1)P − (2X − 5)P
a) V´erifier que si P ∈ E alors f(P) ∈ E
b) Montrer que f est lin´eaire
c) Montrer que f est un automorphisme
d) D´eterminer la matrice de f dans la base B = (1, X, X2
)
e) Supposons que P0 = 1 − 2X + X2
, P1 = 1 − 4
3
2X + 1
3
X2
, P2 = 1 − 2
3
X + 1
9
X2
i) Montrer que B1 = (P0, P1, P2) est une base de E
ii) D´eterminer la matrice de passage de B `a B de f dans la base B1
iii) D´eterminer la matrice M de f dans la base B1
Exercice 2
Soit E un IR-espace vectoriel de dimension 3, et sa base B = (e1, e2, e3) u ∈ L(E) d´efini
par
u(e1) = 2e1 − 4e2 + 4e3; u(e2) = −4e1 + 3e2 − 5e3; u(e3) = −4e1 + 5e2 − 7e3.
et les polynˆomes P = (−2 + X) ∈ IR[X], Q = (2 + X) ∈ IR[X]. On pose v = P(u),
w = Q(u)
a) Donner la matrice de v et celle de w2
dans la base B
b) D´eterminer ker(v) et ker(w2
)
c) Montrer que E = ker(v) ⊕ ker(w2
)
d) En d´eduire que PQ2
(u) = 0
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Devoir 13
Exercice 1
Soit E un IR-espace vectoriel, B = (e1, e2, e3) base de E.
Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est A =



1 1 1
1 1 1
1 1 1



1) D´eterminer une base de ker(f)
2) D´eterminer une base de Imf
3) Soit c1 = e1 + e2 + e3, c2 = e1 − e3, c3 = e2 − e3,
Montrer que B1 = (c1, c2, c3) est une base de E
4) Ecrire la matrice de passage P de B `a B1
5)Calculer P−1
puis P−1
AP
6) Exprimer f(c1), f(c2), f(c3) en fonction de c1, c2, c3
Exercice 2
Soit E un IR-espace vectoriel, B = (e1, e2, e3) base de E,
Soit u l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est M =



1 5 −3
0 −2 1
0 −3 2



1) D´eterminer une base de ker(u)
2) D´eterminer une base de Imu
3) D´eterminer les valeurs de α tels que uαid est un automorphismes
4) Montrer que E = ker((u − id)2
) ⊕ ker(u + id)
14
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Devoir 14
Exercice 1
Soient B = (e1, e2) une base de IR2
, f ∈ IR∈
tel que
f(e1) = 2e1 − 6e2, f(e2) = e1 + 7e2
1) D´eterminer la matrice M de f dans la base B
2) Supposons que Y = f(X) avec X = x1e1 + x2e2, et Y = y1e1 + y2e2
Experimer y1 et y2 en fonction de x1 et x2
3) Montrer que f est bijective, et calculer M−1
4) D´eterminer une B1 dans laquelle la matrice M1 de f dans B1 est diagonal
5) Calculer Mn
1 puis Mn
Exercice 2
R´esoudre en fonction du paramtre m



x +y +(1 − m)z = m + 2
(1 + m)x −y +2z = 0
2x −my +3z = m + 2



Exercice 3
Soit Pn une matrice carr´ee d’ordre n tel que
Pn =









x 1 1 · · · 1
1 x 1 · · ·
...
...
... ... ... 1
1 · · · 1 x 1
1 · · · 1 x









1) Ecrire det(Pn+2) en fonction de det(Pn+1), det(Pn), x et n
2) Montrer que det(Pn+1) = (x − 1)n
(x + n)
3) En d´eduire det(A) Pn =









b a a · · · a
a b b · · ·
...
...
...
...
... a
a · · · 1 b a
a · · · a b









15
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Devoir 15
Exercice 1
Soient B = (e1, e2) une base de IR2
, f ∈ L(IR2
) tel que
f(e1) = 2e1 − 6e2, f(e2) = e1 + 7e2
1) D´eterminer la matrice M de f dans la base B
2) SUpposons que Y = f(X) avec X = x1e1 + x2e2, et Y = y1e1 + y2e2
Exprimer y1 et y2 en fonction de x1 et x2
3) Montrer que f est bijective, et calculer M−1
4) D´eterminer une B1 dans laquelle la matrice M1 de f dans B1 est diagonal
5) Calculer Mn
1 puis Mn
Exercice 2
Soit S le systeme suivant
S =



(2 − m)x −2y +z = 0
2x −(3 + m)y +2z = 0
−x +2y −mz = 0



avec m est un param`etre r´eel et B = (e1, e2, e3) une base canonique de IR3
1) Pour m = 1. Montrer que E1 l’ensemble des solution de systeme S est un sous espace
vectoriel de base (e1, e , ) avec e1 = e1 − e3, e2 = e2 + 2e3
2) pour m = −3 montrer que E2 l’ensemble des solution de systeme S est un sous espace
vectoriel de base (e3) avec e1 = e1 + 2e2 − e3
3) Montrer que IR3
= E1 E2
4) Soit u l’endomorphisme de IR3
dont la matrice par rapport B est M =



2 −2 1
2 −3 2
−1 2 0



D´eterminer la matrice M1 de u dans la base B1 = (e1, e2, e3)
5) Calculer Mn
1
16
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Devoir 16
Exercice 1
Soit E un IR-espace vectoriel de dimension 3, B = (e1, e2, e3) une base de E et u
l’endomorphisme de E d´efini par
u(e1) = −2e1 − 2
3
e2 + 8
3
e3, u(e2) = e1 + 4
3
e2 − 7
3
e3, u(e3) = e1 − 2
3
e2 − 1
3
e3.
1) D´eterminer la matrice M de u dans la base B
2) Montrer que ker(u) est le sous espace vectoriel de E engendr´e par le vecteur e1 =
e1 + e2 + e3
3) Montrer que l’ensemble {x ∈ E/u(x) = 2x} est le sous espace vectoriel de E engendr´e
par le vecteur e2 = e2 − e3
4) Montrer que l’ensemble {x ∈ E/u(x) = −3x} est le sous espace vectoriel de E en-
gendr´e par le vecteur e3 = e1 − e3
5) Montrer que B1 = (e1, e2, e3) est une base de E
6) Montrer que (e2, e3) est une base de Imu
7) Montrer que Imu et ker(u) sont suppl´ementaires dans E
8) D´eterminer de deux facons diff´erentes la matrice de u dans la base B1
Exercice 2
On consid`ere M2(Q) l’esemble des matrices carr´ees d’ordre 2 `a coefficients dans Q, Ln
c’est l’ensemble des matrices de la forme
a nb
b a
avec a, b ∈ Q
1) Montrer que Ln est un sous espace vectoriel de M2(Q)
2) Montrer que Ln est sous anneau de M2(Q)
3) Soit A ∈ Ln. Montrer que si A est inversible sur M2(Q) alors A est inversible dans Ln
4) Montrer que Ln est un corps si et seulement si X2
− n n’a pas de solution dans Q
17
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Devoir 17
Exercice 1
D(X) =
3 − X 1 1
1 3 − X 1
1 1 3 − X
1) Calculer D(X)
2) Soit f ∈ L(IR3
) et A sa matrice dans la base canonique B = (e1, e2, e3) de IR3
tel que
A =



3 1 1
1 3 1
1 1 3



Montrer que 2 et 5 sont les seuls valeurs propres de A
3) D´eterminer les vecteurs propres associ´es aux 2
4) D´eterminer les vecteurs propres associ´es aux 5
5) D´eterminer la matrice A1 de f dans la base B = (e1, e2, e3) tel que e1 = e1 + e2 + e3,
e2 = e1 − e3, e1 = e2 − e3,
Exercice 2
Soit E l’espace vectoriel des polynomes r´eels de degr´e inf´erieur `a 2,
Soit f une application du E vers E tel que pour tout P ∈ E P = a0 + a1X + a2X2
,
f(P) = q(P) + r(P) o`u
r(P) c’est le rest de la division euclidien de P par X2
q(P) c’est le quotient de la division euclidien de P par X
1) Calculer f(P) en fonction des a0, a1, a2
2) Montrer que f est un endomorphisme de E
3) D´eterminer la matrice M de f dans la base B = (1, X, X2
)
4) Calculer M2
, M3
et en d´eduire Mn
5) D´eterminer ker(f)
18
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Devoir 18
Exercice 1
Soit f l’endomorphisme de IR3
dont la matrice dans la base canonique de IR3
est
A =



−4 2 0
−2 1 0
0 0 2



1) Calculer le d´eterminant de la matrice A
2) D´eterminer une base de ker(f)
3) D´eterminer une base de Imf
4) D´eterminer les valeurs propres de f
5) D´eterminer la matrice A1 def dans la base B1 = (e1, e2, e3) avec e1 = (1, 2, 0), e1 =
(2, 1, 0), e1 = (0, 0, 1)
6) Calculer An
1
7) En d´eduire An
Exercice 2
R´esoudre dans IR le syst`eme lin´eaire suivant



(2 − m)x −2y +z = 0
2x −(3 + m)y +2z = 0
−x +y −mz = 0



o`u m est un param´etre r´eel
Exercice 3
Soit f l’endomorphisme de IR3
dont la matrice dans la base canonique de IR3
est
A =



2 −2 1
2 −3 2
−1 2 0



1) D´eterminer les valeurs propres α1, α2 de f
2) D´eterminer une base B1 de IR3
pour laquelle la matrice M1 de f est diagona
3) Calculer Mn
1 puis Mn
19
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Devoir 19
Exercice 1
Soit A ∈ M4(IR) telle que
A =





1 x1 x2
1 x3
1
1 x2 x2
2 x3
2
1 x3 x2
3 x3
3
1 x4 x2
4 x3
4





1) montrer que det(A) = (x1 − x2)(x1 − x3)(x1 − x3)(x2 − x3)(x2 − x4)(x3 − x4)
2) Soit f ∈ L(E) et B =





1 α α2
α3
1 1 1 1
1 −1 1 −1
1 0 0 0





la matrice de f dans la base canonique
de IR4
a) Calculer det(B)
b) D´eterminer α pour lesquelles la matrice B est inversible
c) Calculer B−1
d) Si α = 0.
i) D´eterminer un vecteur propre v1 associ´e `a 1
ii) D´eterminer un vecteur propre v2 associ´e `a 0
iii) D´eterminer des vecteurs propres v3, v4 tels que (v1, v2, v3, v4) est une base de
IR4
iv) la matrice de f dans la base (v1, v2, v3, v4)
Exercice 2
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 5 et soit B = (e1, e2, e3, e4, e5) une base de E,
f ∈ L(E) tel que
f(e1) = e1 + e3 − e4 + e5, f(e1) = −e1 + e2 + e4, f(e3) = e2 − e3e5,
f(e4) = e1 − e4 + e5, f(e5) = e3,
1) Montrer que (f(e1), f(e2), f(e3)) est libre
2) Montrer que V ect(f(e4), f(e5)) est inclus dans V ect(f(e1), f(e2), f(e3))
3) D´eterminer la base de Imf
4) D´eterminer MB(f)
5) D´eterminer ker(f)
6) Montrer que E = ker(f) Imf
7) En d´eduire que Imf = Imf2
et ker(f2
) = ker(f)
20
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Devoir 20
Exercice 1
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et soit B = (e1, e2, e3) une base de E,
f ∈ L(E) tel que
f(e1) = −e1 − sin(θ)e3, f(e1) = e1 + cos(θ)e3, f(e3) = −sin(θ)e1 − cos(θ)e2
1) D´eterminer f(x, y, z) en fonction de x, y et z
2) D´eterminer ker(f)
3) Montrer que Imf = V ect((1, 0cos(θ)); (0, 1, sin(θ), ))
4) Montrer que Imf2
est inclus dans ker(f)
5) En d´eduire que f3
= 0
6) D´eterminer une base B1 de E tel que MB1 (f) =



0 1 0
0 0 1
0 0 0



Exercice 2
Soit E un K espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B = (e1, e2, e3)
Soit f ∈ E dont la matrice dans la base B est A =



0 2 1
−1 2 1
0 1 1



1) D´eterminer ker(f)
2) D´eterminer a, b tel que f est bijective
3) D´eterminer a, b tel que rg(f) = 2
4) D´eterminer a, b tel que rg(f) = 1
Exercice 3
On note Ω l’ensemble des matrices de la forme M =



a −c −b
b a −c
c b a


 avec a, b, c ∈ IC.
Soient les matrices A =



0 0 −1
1 0 0
0 1 0


 et I3 =



1 0 0
0 1 0
0 0 1



1) Calculer A2
et A3
2) Montrer que Ω est un sous espace vectoriel de M3(IC)
3) D´eterminer la base de Ω
4) Montrer que Ω est un anneau
5) D´eterminer les nombres complexes α tels que la matrice (A−αI3) ne soit pas inversible
21
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Devoir 21
Exercice 1
Soient p ∈ IN et a ∈ IR{0, 1}, On note Sp l’ensemble des suites (un) v´erifiant
∃Q ∈ IRp [X] tel que un+1 = aun + Q(n)
1) Montrer que si u ∈ Sp. Q est unique, on le notera Qu
2) Montrer que Sp est un IR espace vectoriel
3) Supposons que ϕSp −→ IRp[X] tel que ϕ(u) = Qu
a)Montrer que ϕ est une application lin´eaire
b)D´terminer ker(ϕ)
c)Montrer que ϕ est surjective
d)Si 0 ≤ k ≤ p et (vk(n))n∈IN u(n)n∈INavec vk,n = nk
un = an
i) Montrer que ϕ(u) = 0 et ϕ(vk) = Xk+1
− aXk
ii) Montrer que la suite (Xk+1
− aXk
)k∈IN) est une base de IRp[X]
iii) Si r0 = 1 rn+1 = 2rn + 4Rk(n) avec Rk(n) = nn+1
− 2nk
.
Calculer rnen fonction de n
iv) Si t0 = 2 tn+1 = 2rn + 4n + 2. Calculer tnen fonction de n
Exercice 2
Soit f un endomorphisme non nul d’un IR-espace vectoriel E de dimension 3 vrifiant
f3
+ f = 0.
1) Soit x ∈ E. D´emontrer que si x = y + z avec y ∈ kerf et z ∈ ker(f2
+ Id) alors
y = x + f2
(x) et z = f2
(x).
2) Montrer que E = kerf ker(f2 + Id)
3) Prouver dimker(f2
+ Id) ≥ 1.
4) Si x ∈ ker(f2
+ Id){0}. Montrer que (x, f(x)) est une famille libre .
5) Calculer det(−IdE)
6) En dduire dim ker(f2
+ Id) = 2.
7) D´eterminer une base de E dans laquelle la matrice de f est



0 0 0
0 0 −1
0 1 0



22
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Devoir 22
Exercice 1
Soit



2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 2



On note B = (e1; e2; e3) la base canonique de IR3
.
Soit f l’endomorphisme de R3
dont la matrice dans B est A.
(a) D´eterminer kerf et Imf.
(b) Montrer que IR3
= ker(f) Imf
(c) Si B∗
= B1 B2 avec B1, B2 sont des bases respectivement de ker(f) et Imf
D´eterminer la matrice de f associ´ee `a la base B∗
Exercice 2 Soit f ∈ L(M3(IR), IR) tel que tel que f(AB) = f(BA)
1) Si Ai0,j0 =



a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3


 ai,j = 0 si (i, j) = (i0; j0) et ai0,j0 = 1
1) Supposons que i0 = jO Montrer que Ai0,j0 Aj0,j0 = Ai0,j0 et Aj0,j0 Ai0,j0 = 0
2) Montrer que f(P−1
AP) = f(A)
3) Montrer que f(A1,1) = f(Ai,i) pour tout 1 ≤ i ≤ 3
4) En d´eduire qu’il existe α ∈ IR tel que f(A) = αtr(A)
5) Soit g un endomorphisme de l’espace vectoriel M3(IR) v´erifiant
g(AB) = g(BA) pour toutes A; B ∈ M3(IR) et g(In) = In.
Montrer que tr(g(A)) = tr(A) pour tout A ∈ M3(IR)
23
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Devoir23
Exercice 1 Soit E un IR-espace vectoriel de dimension n. On sait que L(E, IR) est
un IR-espace vectoriel
1) Supposons que B = (e1, e2, · · · , en) est une base de E, on d´esign par e∗
i l’´el´ement de
L(E, IR)
E
e∗
i
→ IR
x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen −→ xi
i) Calculer e∗
i (ej)
ii) Si f ∈ L(E, IR) tel que f(ei) =
n
i=1
aie∗
i
iii) En d´eduire que B∗
= (e∗
1, e∗
2, · · · , e∗
n) est une base de L(E, IR)
2)Soit H un sous espace vectoriel de E tel que BH = (e1, · · · , ep) et B = (e1, · · · , en) sont
des bases respectivement de H et E. On pose H = {l ∈ L(E, IR)/f(x) = 0∀x ∈ H}
i) Montrer que H est sous espace de L(E, IR)
ii) Montrer que (e∗
p+1, e∗
p+2, · · · , e∗
n) est une base de H
iii) En d´eduire que dim(E) = dim(H ) + dim(H)
Exercice 2 Soit f l’endomorphisme de IR4
d´efini par sa matrice
A =





0 0 0 0
1 0 0 0
1 1 1 0
0 1 −1 1





dans la base canonique (e1, e2, e3, e4) de IR4
1) Calculer det(A − XI4)
2) D´eterminer ker(f2
) et ker(f − idIR4 )
3) Supposons que N1 = ker(f2
) et N2 = ker(f − idIR4 )
a) Montrer que N1 et N2 sont stable par f
b) Montrer que N1 N2 = IR4
4) D´eterminer une base B tel que MB(f) =





1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0





5) Calculer (MB(f))n
24
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Devoir24
Exercice 1
Soit u l’endomorphisme de IR3
d´efini par sa matrice
A =



α 0 β
−β α −β2
/2
0 0 α



dans la base canonique (e1, e2, e3) de IR3
1) D´eterminer les valeurs propres de u
2) Supposons que β = 0
i) D´eterminer les vecteurs propres de u
ii) Calculer les vecteurs propres de u
iii) D´eterminer dim(ker(u − αidIR3 )), dim(ker(u − αidIR3 )2
),
dim(ker(u − αidIR3 )3
).
iii) En d´eduire que (u − αidIR3 )3
= 0 et (u − αidIR3 )2
= 0
iv) D´eterminer une base B1 de IR3
tel que
MB1 (u − αidIR3 ) =



0 1 0
0 0 1
0 0 0


 MB1 (u) =



α 1 0
0 α 1
0 0 α



Exercice 2
Soit u l’endomorphisme de IR4
d´efini par sa matrice
A =



7/4 −1/4 −3/4 3/4
−1/4 7/4 −3/4 3/4
−3/4 −3/4 7/4 1/4



dans la base canonique (e1, e2, e3, e4) de IR3
1) D´eterminer les valeurs propres de u
2) D´eterminer les vecteurs propres de u
i) D´eterminer une matrice P tel que B = P−1
AP soit diagonale
ii) Calculer Exp(B) =
∞
k=0
Bk
k!
iii) En d´eduire Exp(B)
25
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Devoir 25
Exercice 1
Soit M(a, b, c) une matrice de M3(IC) un IC-espace vectoriel tel que
M(a, b, c) =



a c b
b a c
c b a



Supposons que C le IC-espace vectoriel avec C = {M(a, b, c)/a, b, c ∈ IC} U =



0 0 1
1 0 0
0 1 0



1) Montrer que (I3, U, U2
) est une base de C
2) Montrer que det(M(a, b, c)) = (a + b + c)(a + jb + j2
c)(a + j2
b + jc) est une base de C
(1, j, j2
) sont des racines de X3
− 1
3) Montrer que det(M(a, b, c)) = (a + b + c − X)(a + jb + j2
c − X)(a + j2
b + jc − X)
4) D´eterminer les valeurs propres de M(a, b, c)
5) En d´eduire les valeurs propres de U
6) Montrer que UM(a, b, c) = M(a, b, c)U
7) Montrer que tout vecteur propre de U est un vecteur propre de M(a, b, c)
8) Montrer qu’il existe une matrice inversible de M3(IC) telle que P−1
MP soit diagonal
pour tout M ∈ C
Exercice 2
On consid`ere les matrices suivantes:
A =





−1 1 1 1
1 −1 1 1
1 1 −1 1
1 1 1 −1





B =





−1 1 0 0
1 −1 0 0
0 0 −1 1
0 0 1 −1





et C = A − B
1) Montrer que A2
= I et B2
= −2B
2) Calculer det(A − XI4), et det(B − XI4)
3) V´erifier que BC = CB = 0. En d´eduire que B2
+ C2
= 4I4 et C3
= 4C
4) Calculer le rang de la matrice C.
5) en d´eduire qu’il existe deux vecteurs libre associ´es au valeur propre 0
6) Ecrire Cn
en fonction de C2
,C et n
7) Calculer Bn
et An
8) D´eterminer une matrice P inversible de M4(IR) telle que P−1
AP, P−1
BP, P−1
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soient diagonales
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  • 1. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Alg`ebre 3 (Devoirs) Professeur ABDELALIM SEDDIK Ann´ee Universitaire 2016-2017 1
  • 2. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 1 Exercice 1 Soit E un IR espace vectoriel de dimension 4, f ∈ L(E) et A =      −1/2 0 0 0 2 1/3 0 0 0 0 2 −10 0 0 −1 5      la matrice associ´e `a f dans la base B = (e1, e2, e3, e4) 1) D´eterminer les valeurs propres de f 2) On pose v1 = 5e3 + e4, v2 = e2, v3 = e1 + 12e2, v4 = −2e3 + e4. a) Montrer que B = (v1, v2, v3, v4) est une base de E b) Donner la matrice de passage de B `a B c) Montrer que la matrice de D de f dans B est diagonal d) Donner la relation reliant A et D 3) Calculer S = I4 + D + D2 + · · · + Dn en fonction de n 4) En d´eduire que S = I4 + A + A2 + · · · + An en fonction de n Exercice 2 On consid`ere l’espace vectoriel IR3 muni de sa base canonique B = (e1, e2, e3) et u = (−2, 1, 1), g1, g2, g3, ρ ∈ L(IR3 ) tels que g1(x, y, z) = (−2x, x, x), g2(x, y, z) = (−2y, y, y), g3(x, y, z) = (−2z, z, z), ρ(x, y, z) = (2x + 3y + z, 3x + 5y + z, x + y + z),. On consid`ere l’ensemble G = {g ∈ L(IR )/ ρ(g) = 0} 1) Montrer que G est un sous espace vectoriel de L(IR ) 2) D´eterminer Ker(ρ) et Im(ρ) 3) Pour α, γ, β dans IR Calculer (αg1 + γg2 + βg3)(ei) = ∀1 ≤ i ≤ 3 4) En d´eduire que g1, g2, g3 est une famille libre de G 5) Montrer que si g ∈ G alors Img est inclus dans ker(ρ) 6) En d´eduire que si g ∈ G alors ils existent α1, α2, α3 ∈ IR tels que g(e1) = α1u, g(e2) = α2u, g(e3) = α3u, 7) Montrer que g = α1g1 + α2g2 + α3g3 8) En d´eduire que g1, g2, g3 est une base de G 2
  • 3. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 2 Exercice 1 Soit A, B ∈ Mn(K) v´erifiant AB = A + B 1) Montrer que In − A est inversible 2) En d´eduire que AB = BA Exercice 2 Soit E un K espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B = (e1, e2, e3) Soit f ∈ E dont la matrice dans la base B est A =    0 2 1 −1 2 1 0 1 1    On pose v1 = e1 + e3, v2 = e1 + e2, v3 = e1 + e2 + e3 1) Montrer que B = (v1, v2, v3) est une base de E 2) D´eterminer la matrice de passage de B `a B 3) Montrer que la matrice T associ´ee `a f dans B est de la forme suivante T = I3 + J avec J3 = 0 4) Calculer Tn 5) En d´eduire An Exercice 3 On note Ω l’ensemble des matrices de la forme M =    a −c −b b a −c c b a    avec a, b, c ∈ IC. Soient les matrices A =    0 0 −1 1 0 0 0 1 0    et I3 =    1 0 0 0 1 0 0 0 1    1) Calculer A2 et A3 2) Montrer que Ω est un sous espace vectoriel de M3(IC) 3) D´eterminer la base de Ω 4) Montrer que Ω est un anneau 5) D´eterminer les nombres complexes α tels que la matrice (A−αI3) ne soit pas inversible 3
  • 4. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 3 Exercice 1 On consid`ere la matrice B =    1 −1 2 −1 2 −1 2 −1 0    1) Calculer le d´eterminant de la matrice B 2) Calculer l’inverse de la matrice B Exercice 2 Soit E l’espace vectoriel r´eel des polynˆomes `a coefficients r´eel de degr´e inf´erieur ou ´egale `deux muni de sa base B = (1, X, X2 ) E f −→ E P = a + bX + cX2 −→ a − b + (b − a)X + (a + b − 2c)X2 1) D´eterminer la matrice de f dans B 2) Calculer Imf et ker(f) 3) D´eterminer des bases respectivement de Imf et ker(f) 4) Montrer que E = Imf ⊕ ker(f) Exercice 3 Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3, h ∈ L(E) tel que h2 = 0 et h3 = 0 1) Montrer que h2 (E) = h(E) 2) Soit y ∈ h2 (E)0 tel que y = h2 (t) Montrer que B = (t, h(t), h2 (t)) est une base de E 3) D´eterminer la matrice M de h dans la base B 4) Soit F = {f ∈ L(E)/hof = foh} a) Montrer que F est un sous espace vectoriel de L(E) b) Supposons que f = aid + bh + ch2 avec a, b, c ∈ K i) Montrer que f ∈ F ii) D´eterminer la matrice M de f dans la base B 4
  • 5. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 4 Exercice 1 On consid`ere la matrice B =    1 −1 2 −1 0 −1 2 −1 1    1) Calculer le d´eterminant de la matrice B 2) Calculer l’inverse de la matrice B Exercice 2 Soit {v1, v2, v3} une base de IR3 , On consid`ere l’application lineaire f d´efinie par: IR3 f −→ IR3 x1v1 + x2v2 + x3v3 −→ (x1 − x3)v1 + x2v2 + x2v3 1) Donner la matrice M de f dans la base B = (v1, v2, v3) 2) Calculer Imf et ker(f) 3) D´eterminer des bases B1, B2 respectivement de Imf et ker(f) 4) Completer respectivement les bases B1 et B2 5) Calculer M2 , M3 6) En d´eduire l’expression de Mn 7)Montrer que les deux sous espaces vectoriels V ect(M, M2 , M3 , · · · , Mn ) et V ect(M, M2 − M) de M3(IR) sont ´egaux Exercice 3 Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de IR3 et u l’endomorphisme de IR3 repr´esent´e sur cette base par la matrice B =    0 1 0 −4 4 0 −2 1 2   . On pose v = u − 2idIR3 1) D´eterminer Imv et ker(v) 2) D´eterminer des bases B1, B2 respectivement de Imv et ker(v) 3) Montrer que v2 = 0 et en d´eduire que (v(e1), e3) est une base de ker(v) 4) Montrer que B1 = (e1, v(e1), e3) est une base de IR3 5) Supposons que A1, C1 deux matrices associ´e respectivement de u et v sur la base B1 i) D´eterminer A1 et C1 ii) Calculer Cn 1 et An 1 iv) D´eterminer matrice de passage P de B vers B1 v) Calculer An 5
  • 6. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 5 Exercice 1 Soit E = {P ∈ IR[X]/deg(P) ≤ 2} 1) Montrer que E est un sous espace vectoriel de (IR[X], +, .) sur IR 2) Donner une base de E 3) Soit f une application d´efinie sur E par f(P) = P − (X + 1)P i) Montrer que f est un endomorphisme de E ii) Calculer f(1), f(X), f(X2 ) iii) D´eterminer la matrice de f dans la base (1, X, X2 ) iv) f est elle injective ? Exercice 2 Soit E un K-espace vectoriel de dimension 4 et B = (e1, e2, e3, e4) une base de E. On Consid`ere l’endomorphisme u de E d´efini par: u(e1) = −2e2 + 2e3 − 5e4, u(e2) = −3e1 + 2e3 − 6e4, u(e3) = −e1 + 3e3 − e4, u(e4) = e1 + 2e2 − e3 + 6e4 1) D´eterminer la matrice de u dans la base B 2) Soient b1 = e1 − e2, b2 = e1 + e4, b3 = e3, f = 2id − u et F = vect(b1, b2, b3) a) Montrer que f(F) ⊂ F b) Montrer que (b1, b2, b3) est une base F c) On pose v la restriction de f sur F i) Donner la matrice A1 de v dans la base v ii) Montrer que v3 = 0 iii) On pose c1 = 2e1 − e2 − e3 + e4 Montre que (c1, v(c1), v2 (c1)) est une base de F 6
  • 7. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 6 Exercice 1 On consid`ere la matrice B =      1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 −3 1 −3 −7      1) Calculer le rang de B Exercice 2 Soit E l’espace vectoriel r´eel des polynˆomes `a coefficients r´eel de degr´e inf´erieur ou ´egale `cinq muni de sa base B = (1, X, X2 , X3 , X4 , X5 ) 1) Soit F l’ensemble des polynˆomes de E divisible par X3 a) Montrer que F est un sous espace vectoriel de E b) D´eterminer une base de F 2) On d´efinit l’application f du E vers E E f −→ E P −→ X[P (X) + P (0)] − 2[P(X) − P(0)] a) Montrer que f est lin´eaire b) D´eterminer la matrice de f dans B c) Calculer Imf et ker(f) d) Montrer E = Imf ⊕ ker(f) Exercice 3 On munit de IR3 de sa base canonique B = (e1, e2, e3), et IR3 f −→ IR3 (x, y, z) −→ (4x + y + z, x + 4y + z, x + y + 4z) 1) Montrer que f est lin´eaire 2) D´eterminer une base B1 de ker(f − 3id) 3) D´eterminer une base B2 de ker(f − 6id) 4) Montrer B3 = B1 B2 est une base de IR3 5) D´eterminer la matrice de f dans la base B3 7
  • 8. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 7 Exercice 1 Soit E un K-espace vectoriel et B = (e1, e2, e3, e4) une base de E, f ∈ L(E) tel que f(e1) = −e3 − e4, f(e2) = e1 + e2 + e3 + e4, f(e3) = e2 − e4, f(e4) = e3 + e4, 1) Montrer que f est lin´eaire 2) D´eterminer une base B1 de ker(f) 3) D´eterminer une base B2 de Imf 4) Est ce que ker(f) et Imf sont suppl´ementaires Exercice 2 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E, pour tout λ ∈ K on pose Eλ = {x ∈ E/u(x) = λx} 1) Montrer que Eλ = ker(u − λid) 2) Montrer que Eλ est un sous espace vectoriel de E 3) Soit α1, α2, · · · , αp des valeurs propres deux `a deux distincts de u associ´es aux vecteurs propres x1, x2, · · · , xp (u(xi) = αixi ∀ 1 ≤ i ≤ p ) Montrer que (x1, x2, · · · , xp) est une famille libre 4) Soient α1, α2, · · · , αp des valeurs propres deux `a deux distincts de u On suppose qu’il existe une base B = (e1, e2, · · · , en) form´e de vecteurs propres de u i) Montrer que (u − α1id)o(u − α2id)o(u − α3id)o · · · o(u − αpid) = 0 ii) Montrer que ker(u − α1id) ⊕ ker(u − α2id) ⊕ ker(u − α3id) ⊕ · · · ⊕ ker(u − αpid) = 0 5) Supposons que α1, α2, · · · , αn des valeurs propres deux `a deux distincts de u associ´es aux vecteurs propres x1, x2, · · · , xn et b = x1 + x2 + · · · + xn i) Montrer que (b, u(b), u2 (b), u3 (b), · · · , un (b)) est une base de E ii) D´eterminer la matrice de u dans la base B en fonction de a0, a1, a2, · · · , an−1 ((X − α1)(X − α2)(X − α3) = Xn + an−1Xn−1 · · · + a1X1 + a0) 8
  • 9. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 8 Exercice 1 D(X) = f(e1) f(e2) f(e3) · · · f(en) r1 − X a − X a − X · · · a − X b − X r2 − X a − X · · · a − X b − X b − X r3 − X · · · a − X ... ... ... ... ... b − X b − X b − X · · · rn − X | avec a, b, r1, r2, · · · , rn ∈ IR et f(X) = (r1 − X)(r2 − X)(r3 − X) · · · (rn − X) 1) Calculer D(a), D(b) en fonction de a, b, r1, r2, · · · , rn 2)Montrer qu’il existent A, B ∈ IR tel que D(X) = A + BX 3) Montrer que D(0) = af(a)−bf(b) a−b Exercice 2 Soit E un IR-espace vectoriel avec E = M2(IR) o`u M2(IR) enemble des matrices carr´es d’ordre 2 et A = 1 1 1 1 , et E f −→ E M −→ AM − MA On pose M1 = 1 0 0 0 , M2 = 0 1 0 0 , M3 = 0 0 1 0 , M4 = 0 0 0 1 , 1) Montrer que B = (M1, M2, M3, M4) est une base de E 2) Montrer que f est un endomorphisme de E 3) D´eterminer la matrice de f dans la base de B 4) D´eterminer respectivement les bases de ker(f) et Imf 5) Montrer que Imf2 = Imf 6) En d´eduire que ker(f) = ker(f2 ) 9
  • 10. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 9 Exercice 1 Soit fm : IR3 −→ IR3 l’endomorphisme de IR3 d´efini par fm(e1) = me1 +e2 +e3, fm(e2) = e1 +me2 +e3, fm(e3) = e1 +e2 +me3 avec B = (e1, e2, e3) une base de IR3 1) D´eterminer la matrice de f dans la base de B 2) Montrer que fm est automorphisme de IR3 si et seulement si m = 1 et m = −2 3) Montrer que (M(f1, B))n = 3n−1 M(f1, B) 4) Montrer que (M(f−2, B))n = 3n−1 M(f−2, B) Exercice 2 Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et u un endomorphisme de E non nul 1) On suppose que u2 = 0 i) Montrer que Imu ⊂ ker(U) et en d´eduire que dim(Imu) = 1 ii) Montrer qu’il existe x0 ∈ E et y0 ∈ ker(u) tels que (u(x0), y0) est libre (indication Imu sous espace vectoriel de ker(u)) iii) Montrer que B = (u(x0), y0, x0) est une base de E iv) D´eterminer la matrice de u dans la base B 2) On suppose que u3 = 0 et u2 = 0 i) Soit X0 ∈ Imu2 0 avec X0 = u(z0) Montrer qu’il existe B = (u2 (z0), u(z0), z0) est une base de E ii) D´eterminer la matrice de u dans la base B iii) D´eterminer ker(u) et ker(u2 ) 10
  • 11. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 10 Exercice 1 On consid`ere la matrice M =    p q r r p q q r p    avecp + q + r = 1 1) Calculer M2 2) Calculer Mn =    pn qn rn rn pn qn qn rn pn    avec pn + qn + rn = 1 pour tout n ∈ IN∗ 3) Soient α1, α2, α3 les racines de X3 − 1 = 0. On pose    u = x +α0y +α2 0z v = x +α1y +α2 1z w = x +α2y +α2 2z    i) Montrer que α1 + α2 + α3 = 0 et α2 1 + α2 2 + α2 3 = 0 ii)    3x = u +v +w 3y = α2 0u +α2 1v +α2 2w 3z = α0u +α1v +α2w    iii) D´eterminer l’inverse de    1 α0 α2 0 1 α1 α2 1 1 α2 α2 2    iv) En d´eduire l’inverse de D´eterminer l’inverse de A =    1 1 1 α0 α1 α2 α2 0 α2 1 α2 2    3) On suppose que L =    β0 0 0 α0 β1 0 0 0 β2    avec βi = p + αiq + α2 i r i) Montrer que MA = AL ii) Montrer que M = ALA−1 et en d´eduire que Mn = ALn A−1 ii) Montrer que M−n = AL−n A−1 Exercice 2 Soient A, B, C, D ∈ M3(IR) tels que A =    a b c d e f g h i    B =    b c a e f d h i g    C =    αa αb αc βd βe βf −αg −αh −αi    D =    αa + d αb + e αc + f d e f g h i    Montrer que det(B) = det(A), det(C) = −(α2 β)det(A), det(D) = αdetA 11
  • 12. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 11 Exercice 1 Soit E un IR-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B = (e1, e2, e3) Soit f un endomorphisme de E et A sa matrice de f dans la base B A =    3 1 −1 −4 −1 2 4 2 −1    1) Calculer A2 et en d´eduire A−1 2) Soient F = {x ∈ E/f(x) = x} et G = {x ∈ E/f(x) = −x} a) Montrer que F et G sont deux sous espace vectoriels de E b) D´eterminer des bases de respectivement F et G c) Montrer que E = F ⊕ G 2) On suppose que f1 = e1 + 2e3, f2 = e2 + e3, f3 = e1 − 2e2 + 2e3 et B1 = (f1, f2, f3) a) D´eterminer la matrice de passage de B `a B1 b) Ecrire la matrice de f dans la base de B1 Exercice 2 Soit E un IR-espace vectoriel de dimension n, et f ∈ L(E) tel que f2 = fof = 0 1) Montrer que Imf ⊂ ker(f) et en d´eduire que rang(f) ≤ n/2 2) On suppose que n = 4 et la matrice de f dans la base B = (e1, e2, e3, e4) c’est A =       c 0 b a 0 c −a b b −a −c 0 a b 0 −c       a) Calculer A2 et le d´eterminant de A2 b) D´eterminer l’expression du d´eterminat A c) En d´eduire que A est inversible si et seulement si c2 + aa + bb = 0 c) Etudier le rang de A dans les cas suivants 1er cas c2 + aa + bb = 0, 2eme cas c2 + aa + bb = 0 et c = 0; 3eme cas c2 + aa + bb = 0 c = 0 et a = 0 2) On suppose que f1 = e1 + 2e3, f2 = e2 + e3, f3 = e1 − 2e2 + 2e3 et B1 = (f1, f2, f3) 3)a) R´esoudre le syst`eme suivant   cx +0 +bz +at = 0 0 +cy −a z b = 0 b x −ay −cz +0t = 0 a x +by +0z −ct = 0    avec x, y, z, t sont des inconnues et a, a , b, b , c sont des nombres r´eels et aa + bb = 0 b) Ecrire la matrice de f dans la base de B1 12
  • 13. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 12 Exercice 1 On consid`ere IR[X] un IR-espace vectoriel (IR[X] ensemble des polynˆomes r´eels) E = {pIR[X]/deg(p) ≤ 2 ∈} 1) Montrer que E est un sous espace vectoriel de IR[X] et donner sa base 2) Soit f une application d´efinie sur E par f(P) = (X − 3)(X − 1)P − (2X − 5)P a) V´erifier que si P ∈ E alors f(P) ∈ E b) Montrer que f est lin´eaire c) Montrer que f est un automorphisme d) D´eterminer la matrice de f dans la base B = (1, X, X2 ) e) Supposons que P0 = 1 − 2X + X2 , P1 = 1 − 4 3 2X + 1 3 X2 , P2 = 1 − 2 3 X + 1 9 X2 i) Montrer que B1 = (P0, P1, P2) est une base de E ii) D´eterminer la matrice de passage de B `a B de f dans la base B1 iii) D´eterminer la matrice M de f dans la base B1 Exercice 2 Soit E un IR-espace vectoriel de dimension 3, et sa base B = (e1, e2, e3) u ∈ L(E) d´efini par u(e1) = 2e1 − 4e2 + 4e3; u(e2) = −4e1 + 3e2 − 5e3; u(e3) = −4e1 + 5e2 − 7e3. et les polynˆomes P = (−2 + X) ∈ IR[X], Q = (2 + X) ∈ IR[X]. On pose v = P(u), w = Q(u) a) Donner la matrice de v et celle de w2 dans la base B b) D´eterminer ker(v) et ker(w2 ) c) Montrer que E = ker(v) ⊕ ker(w2 ) d) En d´eduire que PQ2 (u) = 0 13
  • 14. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 13 Exercice 1 Soit E un IR-espace vectoriel, B = (e1, e2, e3) base de E. Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est A =    1 1 1 1 1 1 1 1 1    1) D´eterminer une base de ker(f) 2) D´eterminer une base de Imf 3) Soit c1 = e1 + e2 + e3, c2 = e1 − e3, c3 = e2 − e3, Montrer que B1 = (c1, c2, c3) est une base de E 4) Ecrire la matrice de passage P de B `a B1 5)Calculer P−1 puis P−1 AP 6) Exprimer f(c1), f(c2), f(c3) en fonction de c1, c2, c3 Exercice 2 Soit E un IR-espace vectoriel, B = (e1, e2, e3) base de E, Soit u l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est M =    1 5 −3 0 −2 1 0 −3 2    1) D´eterminer une base de ker(u) 2) D´eterminer une base de Imu 3) D´eterminer les valeurs de α tels que uαid est un automorphismes 4) Montrer que E = ker((u − id)2 ) ⊕ ker(u + id) 14
  • 15. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 14 Exercice 1 Soient B = (e1, e2) une base de IR2 , f ∈ IR∈ tel que f(e1) = 2e1 − 6e2, f(e2) = e1 + 7e2 1) D´eterminer la matrice M de f dans la base B 2) Supposons que Y = f(X) avec X = x1e1 + x2e2, et Y = y1e1 + y2e2 Experimer y1 et y2 en fonction de x1 et x2 3) Montrer que f est bijective, et calculer M−1 4) D´eterminer une B1 dans laquelle la matrice M1 de f dans B1 est diagonal 5) Calculer Mn 1 puis Mn Exercice 2 R´esoudre en fonction du paramtre m    x +y +(1 − m)z = m + 2 (1 + m)x −y +2z = 0 2x −my +3z = m + 2    Exercice 3 Soit Pn une matrice carr´ee d’ordre n tel que Pn =          x 1 1 · · · 1 1 x 1 · · · ... ... ... ... ... 1 1 · · · 1 x 1 1 · · · 1 x          1) Ecrire det(Pn+2) en fonction de det(Pn+1), det(Pn), x et n 2) Montrer que det(Pn+1) = (x − 1)n (x + n) 3) En d´eduire det(A) Pn =          b a a · · · a a b b · · · ... ... ... ... ... a a · · · 1 b a a · · · a b          15
  • 16. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 15 Exercice 1 Soient B = (e1, e2) une base de IR2 , f ∈ L(IR2 ) tel que f(e1) = 2e1 − 6e2, f(e2) = e1 + 7e2 1) D´eterminer la matrice M de f dans la base B 2) SUpposons que Y = f(X) avec X = x1e1 + x2e2, et Y = y1e1 + y2e2 Exprimer y1 et y2 en fonction de x1 et x2 3) Montrer que f est bijective, et calculer M−1 4) D´eterminer une B1 dans laquelle la matrice M1 de f dans B1 est diagonal 5) Calculer Mn 1 puis Mn Exercice 2 Soit S le systeme suivant S =    (2 − m)x −2y +z = 0 2x −(3 + m)y +2z = 0 −x +2y −mz = 0    avec m est un param`etre r´eel et B = (e1, e2, e3) une base canonique de IR3 1) Pour m = 1. Montrer que E1 l’ensemble des solution de systeme S est un sous espace vectoriel de base (e1, e , ) avec e1 = e1 − e3, e2 = e2 + 2e3 2) pour m = −3 montrer que E2 l’ensemble des solution de systeme S est un sous espace vectoriel de base (e3) avec e1 = e1 + 2e2 − e3 3) Montrer que IR3 = E1 E2 4) Soit u l’endomorphisme de IR3 dont la matrice par rapport B est M =    2 −2 1 2 −3 2 −1 2 0    D´eterminer la matrice M1 de u dans la base B1 = (e1, e2, e3) 5) Calculer Mn 1 16
  • 17. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 16 Exercice 1 Soit E un IR-espace vectoriel de dimension 3, B = (e1, e2, e3) une base de E et u l’endomorphisme de E d´efini par u(e1) = −2e1 − 2 3 e2 + 8 3 e3, u(e2) = e1 + 4 3 e2 − 7 3 e3, u(e3) = e1 − 2 3 e2 − 1 3 e3. 1) D´eterminer la matrice M de u dans la base B 2) Montrer que ker(u) est le sous espace vectoriel de E engendr´e par le vecteur e1 = e1 + e2 + e3 3) Montrer que l’ensemble {x ∈ E/u(x) = 2x} est le sous espace vectoriel de E engendr´e par le vecteur e2 = e2 − e3 4) Montrer que l’ensemble {x ∈ E/u(x) = −3x} est le sous espace vectoriel de E en- gendr´e par le vecteur e3 = e1 − e3 5) Montrer que B1 = (e1, e2, e3) est une base de E 6) Montrer que (e2, e3) est une base de Imu 7) Montrer que Imu et ker(u) sont suppl´ementaires dans E 8) D´eterminer de deux facons diff´erentes la matrice de u dans la base B1 Exercice 2 On consid`ere M2(Q) l’esemble des matrices carr´ees d’ordre 2 `a coefficients dans Q, Ln c’est l’ensemble des matrices de la forme a nb b a avec a, b ∈ Q 1) Montrer que Ln est un sous espace vectoriel de M2(Q) 2) Montrer que Ln est sous anneau de M2(Q) 3) Soit A ∈ Ln. Montrer que si A est inversible sur M2(Q) alors A est inversible dans Ln 4) Montrer que Ln est un corps si et seulement si X2 − n n’a pas de solution dans Q 17
  • 18. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 17 Exercice 1 D(X) = 3 − X 1 1 1 3 − X 1 1 1 3 − X 1) Calculer D(X) 2) Soit f ∈ L(IR3 ) et A sa matrice dans la base canonique B = (e1, e2, e3) de IR3 tel que A =    3 1 1 1 3 1 1 1 3    Montrer que 2 et 5 sont les seuls valeurs propres de A 3) D´eterminer les vecteurs propres associ´es aux 2 4) D´eterminer les vecteurs propres associ´es aux 5 5) D´eterminer la matrice A1 de f dans la base B = (e1, e2, e3) tel que e1 = e1 + e2 + e3, e2 = e1 − e3, e1 = e2 − e3, Exercice 2 Soit E l’espace vectoriel des polynomes r´eels de degr´e inf´erieur `a 2, Soit f une application du E vers E tel que pour tout P ∈ E P = a0 + a1X + a2X2 , f(P) = q(P) + r(P) o`u r(P) c’est le rest de la division euclidien de P par X2 q(P) c’est le quotient de la division euclidien de P par X 1) Calculer f(P) en fonction des a0, a1, a2 2) Montrer que f est un endomorphisme de E 3) D´eterminer la matrice M de f dans la base B = (1, X, X2 ) 4) Calculer M2 , M3 et en d´eduire Mn 5) D´eterminer ker(f) 18
  • 19. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 18 Exercice 1 Soit f l’endomorphisme de IR3 dont la matrice dans la base canonique de IR3 est A =    −4 2 0 −2 1 0 0 0 2    1) Calculer le d´eterminant de la matrice A 2) D´eterminer une base de ker(f) 3) D´eterminer une base de Imf 4) D´eterminer les valeurs propres de f 5) D´eterminer la matrice A1 def dans la base B1 = (e1, e2, e3) avec e1 = (1, 2, 0), e1 = (2, 1, 0), e1 = (0, 0, 1) 6) Calculer An 1 7) En d´eduire An Exercice 2 R´esoudre dans IR le syst`eme lin´eaire suivant    (2 − m)x −2y +z = 0 2x −(3 + m)y +2z = 0 −x +y −mz = 0    o`u m est un param´etre r´eel Exercice 3 Soit f l’endomorphisme de IR3 dont la matrice dans la base canonique de IR3 est A =    2 −2 1 2 −3 2 −1 2 0    1) D´eterminer les valeurs propres α1, α2 de f 2) D´eterminer une base B1 de IR3 pour laquelle la matrice M1 de f est diagona 3) Calculer Mn 1 puis Mn 19
  • 20. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 19 Exercice 1 Soit A ∈ M4(IR) telle que A =      1 x1 x2 1 x3 1 1 x2 x2 2 x3 2 1 x3 x2 3 x3 3 1 x4 x2 4 x3 4      1) montrer que det(A) = (x1 − x2)(x1 − x3)(x1 − x3)(x2 − x3)(x2 − x4)(x3 − x4) 2) Soit f ∈ L(E) et B =      1 α α2 α3 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 0 0 0      la matrice de f dans la base canonique de IR4 a) Calculer det(B) b) D´eterminer α pour lesquelles la matrice B est inversible c) Calculer B−1 d) Si α = 0. i) D´eterminer un vecteur propre v1 associ´e `a 1 ii) D´eterminer un vecteur propre v2 associ´e `a 0 iii) D´eterminer des vecteurs propres v3, v4 tels que (v1, v2, v3, v4) est une base de IR4 iv) la matrice de f dans la base (v1, v2, v3, v4) Exercice 2 Soit E un K-espace vectoriel de dimension 5 et soit B = (e1, e2, e3, e4, e5) une base de E, f ∈ L(E) tel que f(e1) = e1 + e3 − e4 + e5, f(e1) = −e1 + e2 + e4, f(e3) = e2 − e3e5, f(e4) = e1 − e4 + e5, f(e5) = e3, 1) Montrer que (f(e1), f(e2), f(e3)) est libre 2) Montrer que V ect(f(e4), f(e5)) est inclus dans V ect(f(e1), f(e2), f(e3)) 3) D´eterminer la base de Imf 4) D´eterminer MB(f) 5) D´eterminer ker(f) 6) Montrer que E = ker(f) Imf 7) En d´eduire que Imf = Imf2 et ker(f2 ) = ker(f) 20
  • 21. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 20 Exercice 1 Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et soit B = (e1, e2, e3) une base de E, f ∈ L(E) tel que f(e1) = −e1 − sin(θ)e3, f(e1) = e1 + cos(θ)e3, f(e3) = −sin(θ)e1 − cos(θ)e2 1) D´eterminer f(x, y, z) en fonction de x, y et z 2) D´eterminer ker(f) 3) Montrer que Imf = V ect((1, 0cos(θ)); (0, 1, sin(θ), )) 4) Montrer que Imf2 est inclus dans ker(f) 5) En d´eduire que f3 = 0 6) D´eterminer une base B1 de E tel que MB1 (f) =    0 1 0 0 0 1 0 0 0    Exercice 2 Soit E un K espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B = (e1, e2, e3) Soit f ∈ E dont la matrice dans la base B est A =    0 2 1 −1 2 1 0 1 1    1) D´eterminer ker(f) 2) D´eterminer a, b tel que f est bijective 3) D´eterminer a, b tel que rg(f) = 2 4) D´eterminer a, b tel que rg(f) = 1 Exercice 3 On note Ω l’ensemble des matrices de la forme M =    a −c −b b a −c c b a    avec a, b, c ∈ IC. Soient les matrices A =    0 0 −1 1 0 0 0 1 0    et I3 =    1 0 0 0 1 0 0 0 1    1) Calculer A2 et A3 2) Montrer que Ω est un sous espace vectoriel de M3(IC) 3) D´eterminer la base de Ω 4) Montrer que Ω est un anneau 5) D´eterminer les nombres complexes α tels que la matrice (A−αI3) ne soit pas inversible 21
  • 22. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 21 Exercice 1 Soient p ∈ IN et a ∈ IR{0, 1}, On note Sp l’ensemble des suites (un) v´erifiant ∃Q ∈ IRp [X] tel que un+1 = aun + Q(n) 1) Montrer que si u ∈ Sp. Q est unique, on le notera Qu 2) Montrer que Sp est un IR espace vectoriel 3) Supposons que ϕSp −→ IRp[X] tel que ϕ(u) = Qu a)Montrer que ϕ est une application lin´eaire b)D´terminer ker(ϕ) c)Montrer que ϕ est surjective d)Si 0 ≤ k ≤ p et (vk(n))n∈IN u(n)n∈INavec vk,n = nk un = an i) Montrer que ϕ(u) = 0 et ϕ(vk) = Xk+1 − aXk ii) Montrer que la suite (Xk+1 − aXk )k∈IN) est une base de IRp[X] iii) Si r0 = 1 rn+1 = 2rn + 4Rk(n) avec Rk(n) = nn+1 − 2nk . Calculer rnen fonction de n iv) Si t0 = 2 tn+1 = 2rn + 4n + 2. Calculer tnen fonction de n Exercice 2 Soit f un endomorphisme non nul d’un IR-espace vectoriel E de dimension 3 vrifiant f3 + f = 0. 1) Soit x ∈ E. D´emontrer que si x = y + z avec y ∈ kerf et z ∈ ker(f2 + Id) alors y = x + f2 (x) et z = f2 (x). 2) Montrer que E = kerf ker(f2 + Id) 3) Prouver dimker(f2 + Id) ≥ 1. 4) Si x ∈ ker(f2 + Id){0}. Montrer que (x, f(x)) est une famille libre . 5) Calculer det(−IdE) 6) En dduire dim ker(f2 + Id) = 2. 7) D´eterminer une base de E dans laquelle la matrice de f est    0 0 0 0 0 −1 0 1 0    22
  • 23. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 22 Exercice 1 Soit    2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2    On note B = (e1; e2; e3) la base canonique de IR3 . Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans B est A. (a) D´eterminer kerf et Imf. (b) Montrer que IR3 = ker(f) Imf (c) Si B∗ = B1 B2 avec B1, B2 sont des bases respectivement de ker(f) et Imf D´eterminer la matrice de f associ´ee `a la base B∗ Exercice 2 Soit f ∈ L(M3(IR), IR) tel que tel que f(AB) = f(BA) 1) Si Ai0,j0 =    a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3    ai,j = 0 si (i, j) = (i0; j0) et ai0,j0 = 1 1) Supposons que i0 = jO Montrer que Ai0,j0 Aj0,j0 = Ai0,j0 et Aj0,j0 Ai0,j0 = 0 2) Montrer que f(P−1 AP) = f(A) 3) Montrer que f(A1,1) = f(Ai,i) pour tout 1 ≤ i ≤ 3 4) En d´eduire qu’il existe α ∈ IR tel que f(A) = αtr(A) 5) Soit g un endomorphisme de l’espace vectoriel M3(IR) v´erifiant g(AB) = g(BA) pour toutes A; B ∈ M3(IR) et g(In) = In. Montrer que tr(g(A)) = tr(A) pour tout A ∈ M3(IR) 23
  • 24. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir23 Exercice 1 Soit E un IR-espace vectoriel de dimension n. On sait que L(E, IR) est un IR-espace vectoriel 1) Supposons que B = (e1, e2, · · · , en) est une base de E, on d´esign par e∗ i l’´el´ement de L(E, IR) E e∗ i → IR x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen −→ xi i) Calculer e∗ i (ej) ii) Si f ∈ L(E, IR) tel que f(ei) = n i=1 aie∗ i iii) En d´eduire que B∗ = (e∗ 1, e∗ 2, · · · , e∗ n) est une base de L(E, IR) 2)Soit H un sous espace vectoriel de E tel que BH = (e1, · · · , ep) et B = (e1, · · · , en) sont des bases respectivement de H et E. On pose H = {l ∈ L(E, IR)/f(x) = 0∀x ∈ H} i) Montrer que H est sous espace de L(E, IR) ii) Montrer que (e∗ p+1, e∗ p+2, · · · , e∗ n) est une base de H iii) En d´eduire que dim(E) = dim(H ) + dim(H) Exercice 2 Soit f l’endomorphisme de IR4 d´efini par sa matrice A =      0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 −1 1      dans la base canonique (e1, e2, e3, e4) de IR4 1) Calculer det(A − XI4) 2) D´eterminer ker(f2 ) et ker(f − idIR4 ) 3) Supposons que N1 = ker(f2 ) et N2 = ker(f − idIR4 ) a) Montrer que N1 et N2 sont stable par f b) Montrer que N1 N2 = IR4 4) D´eterminer une base B tel que MB(f) =      1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0      5) Calculer (MB(f))n 24
  • 25. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir24 Exercice 1 Soit u l’endomorphisme de IR3 d´efini par sa matrice A =    α 0 β −β α −β2 /2 0 0 α    dans la base canonique (e1, e2, e3) de IR3 1) D´eterminer les valeurs propres de u 2) Supposons que β = 0 i) D´eterminer les vecteurs propres de u ii) Calculer les vecteurs propres de u iii) D´eterminer dim(ker(u − αidIR3 )), dim(ker(u − αidIR3 )2 ), dim(ker(u − αidIR3 )3 ). iii) En d´eduire que (u − αidIR3 )3 = 0 et (u − αidIR3 )2 = 0 iv) D´eterminer une base B1 de IR3 tel que MB1 (u − αidIR3 ) =    0 1 0 0 0 1 0 0 0    MB1 (u) =    α 1 0 0 α 1 0 0 α    Exercice 2 Soit u l’endomorphisme de IR4 d´efini par sa matrice A =    7/4 −1/4 −3/4 3/4 −1/4 7/4 −3/4 3/4 −3/4 −3/4 7/4 1/4    dans la base canonique (e1, e2, e3, e4) de IR3 1) D´eterminer les valeurs propres de u 2) D´eterminer les vecteurs propres de u i) D´eterminer une matrice P tel que B = P−1 AP soit diagonale ii) Calculer Exp(B) = ∞ k=0 Bk k! iii) En d´eduire Exp(B) 25
  • 26. Universit´e Hassane II Facult´e des Scineces Ain Chock Fili`ere SMIA Devoir 25 Exercice 1 Soit M(a, b, c) une matrice de M3(IC) un IC-espace vectoriel tel que M(a, b, c) =    a c b b a c c b a    Supposons que C le IC-espace vectoriel avec C = {M(a, b, c)/a, b, c ∈ IC} U =    0 0 1 1 0 0 0 1 0    1) Montrer que (I3, U, U2 ) est une base de C 2) Montrer que det(M(a, b, c)) = (a + b + c)(a + jb + j2 c)(a + j2 b + jc) est une base de C (1, j, j2 ) sont des racines de X3 − 1 3) Montrer que det(M(a, b, c)) = (a + b + c − X)(a + jb + j2 c − X)(a + j2 b + jc − X) 4) D´eterminer les valeurs propres de M(a, b, c) 5) En d´eduire les valeurs propres de U 6) Montrer que UM(a, b, c) = M(a, b, c)U 7) Montrer que tout vecteur propre de U est un vecteur propre de M(a, b, c) 8) Montrer qu’il existe une matrice inversible de M3(IC) telle que P−1 MP soit diagonal pour tout M ∈ C Exercice 2 On consid`ere les matrices suivantes: A =      −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1      B =      −1 1 0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 1 0 0 1 −1      et C = A − B 1) Montrer que A2 = I et B2 = −2B 2) Calculer det(A − XI4), et det(B − XI4) 3) V´erifier que BC = CB = 0. En d´eduire que B2 + C2 = 4I4 et C3 = 4C 4) Calculer le rang de la matrice C. 5) en d´eduire qu’il existe deux vecteurs libre associ´es au valeur propre 0 6) Ecrire Cn en fonction de C2 ,C et n 7) Calculer Bn et An 8) D´eterminer une matrice P inversible de M4(IR) telle que P−1 AP, P−1 BP, P−1 CP soient diagonales 26