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A - 0717
MATHÉMATIQUES
Modélisation mathématique et informatique
Durée : 3 heures 30 minutes
Chaque candidat est responsable de la vérification de son sujet d’épreuve : pagination et
impression de chaque page. Ce contrôle doit être fait en début d’épreuve : en cas de doute, il
doit alerter au plus tôt le chef de centre qui contrôlera et éventuellement remplacera le sujet.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il
a été amené à prendre.
L’usage d’une calculatrice est autorisé pour cette épreuve. Les questions d’informatique
devront être rédigées en langage Python exclusivement.
Le sujet est composé de quatre parties indépendantes.
La question 5. de la partie 1 et les questions 3 et 5.c) de la partie 4 sont des questions
d’informatique. Elles peuvent être traitées indépendamment des questions mathématiques qui
les précèdent.
1
Dans le domaine de l’écophysiologie végétale on s’intéresse aux différentes phases du dévelop-
pement des plantes afin de mieux contrôler les rendements de culture. Plus précisément, on
s’intéresse à l’évolution du nombre de feuilles d’une plante en fonction du “temps thermique”.
Ce dernier correspond à la somme cumulée des températures au cours des différents jours de
l’expérience. De telles mesures permettent de mettre en évidence trois phases de développe-
ment appelées phases de rosette, d’élongation et de floraison. La modélisation la plus souvent
utilisée consiste à supposer que l’évolution du nombre de feuilles en fonction du temps ther-
mique se comporte comme une fonction affine au cours de chacune des trois phases précédentes
(cf. Figure 1).
q
q
q q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q q
q
q
q
q
q
q
q
020406080100
temps thermique
nombredefeuilles
T1 T2
Rosette
Elongation
Floraison
Figure 1 – Schéma illustrant l’évolution du nombre de feuilles d’une plante en fonction du
temps thermique ; y sont représentés les valeurs expérimentales (’•’) et les ajustements affines
dans chacune des trois phases.
L’objectif est alors de mettre en place des méthodes automatiques permettant de détecter
les instants séparant d’une part les phases de rosette et d’élongation (T1) et d’autre part les
phases d’élongation et de floraison (T2). Il est, en effet, intéressant de voir si ces instants ont
tendance à changer en fonction de certaines conditions expérimentales auxquelles les plantes
pourraient être soumises.
PARTIE 1
Dans cette partie, on se focalise sur l’une des trois phases précédentes et on s’intéresse à
l’ajustement affine que l’on obtient à partir du nuage de points ((x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)),
n étant un entier naturel strictement plus grand que 1, en utilisant le critère des moindres
carrés où l’on supposera que les xi sont distincts. Dans la notation (xi, yi), xi correspond au
temps thermique de la ième observation et yi correspond au nombre de feuilles de la ième
observation (cf. Figure 2).
1. On note x = ( n
i=1 xi)/n. Montrer que
n
i=1
x2
i − x
n
i=1
xi =
n
i=1
(xi − x)2
.
2
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
temps thermique
nombredefeuilles
x1 x2 xi xn
y1
y2
yi
yn
Figure 2 – Schéma illustrant l’évolution du nombre de feuilles en fonction du temps thermique
durant l’une des trois phases.
2. On définit la fonction F : R2 −→ R par :
∀(a, b) ∈ R2
, F(a, b) =
n
i=1
(yi − a − bxi)2
.
Montrer que le système suivant



∂F
∂a (a, b) = 0,
∂F
∂b (a, b) = 0.
admet une unique solution (a, b) ∈ R2 où
a = y − bx,
avec y = ( n
i=1 yi)/n et
b =
n
i=1 yi(xi − x)
n
i=1 (xi − x)2 .
3. On admet que le couple (a, b) obtenu réalise un minimum global. Interpréter le résultat
obtenu.
4. À partir des valeurs de (xi, yi) données dans le tableau ci-dessous, calculer à l’aide de la
calculatrice les valeurs correspondantes de a et de b pour cet exemple.
xi 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
yi 8 13 20 27 32 38 44 50 56 62
3
5. On souhaite automatiser les calculs de ˆa et ˆb lorsqu’un grand nombre de valeurs (xi, yi)
sont à disposition. On utilise Python, en considérant que les valeurs x1, . . . , xn sont
stockées dans une liste x et que les valeurs y1, . . . , yn sont stockées dans une liste y.
Consigne. Chaque algorithme, à écrire en Python, doit être précédé d’une phrase ex-
pliquant le raisonnement suivi pour l’écrire.
(a) Écrire une fonction moy qui prend en entrée L, une liste de nombres (non vide), et
qui renvoie la moyenne des valeurs de L.
(b) Soit L une liste de longueur n ≥ 1. Indiquer, sans justification, la ou les réponse(s)
correcte(s) :
i. Les éléments de L sont numérotés de 0 à n − 1 (inclus) ;
ii. Les éléments de L sont numérotés de 1 à n (inclus) ;
iii. Les éléments de L sont numérotés de 0 à n + 1 (inclus) ;
iv. Il y a n éléments dans L.
v. Il y a n + 1 éléments dans L
(c) Écrire une fonction Bchap qui prend en entrée x et y, deux listes de nombres de
même longueur n ≥ 2, et qui renvoie la valeur de ˆb associée.
(d) Écrire une fonction Achap qui prend en entrée x et y, deux listes de nombres de
même longueur n ≥ 2, et qui renvoie la valeur de ˆa associée.
PARTIE 2
Dans cette partie, pour tenir compte de la variabilité des expérimentations, nous allons mo-
déliser les yi comme des réalisations de variables aléatoires Yi définies par les n équations
suivantes, n étant un entier naturel strictement plus grand que 1 :
Yi = a + bxi + εi , 1 ≤ i ≤ n,
où a et b sont des paramètres réels inconnus, xi est le temps thermique associé à la ième
observation (il sera considéré comme déterministe ici c’est-à-dire non aléatoire) et les εi sont
des variables aléatoires indépendantes d’espérance nulle et de variance σ2. Ceci correspond à
un modèle de régression linéaire simple.
En utilisant la même démarche que celle proposée dans la partie 1, nous définissons :
a = Y − bx,
où Y = ( n
i=1 Yi)/n, x = ( n
i=1 xi)/n et
b =
n
i=1 Yi(xi − x)
n
i=1 (xi − x)2 .
Le but de cette partie est d’étudier les propriétés des variables aléatoires a et b. Ces variables
aléatoires sont appelées des estimateurs de a et b.
1. On note E(X) l’espérance d’une variable aléatoire X. Calculer E(Yi) où i ∈ {1, . . . , n}.
2. Calculer E ( n
i=1 Yi(xi − x)).
4
3. En déduire que b est un estimateur sans biais de b où on dira qu’un estimateur est sans
biais lorsque E(b − b) = 0. On pourra utiliser le résultat de la question 1 de la partie 1
ici admis :
n
i=1
x2
i − x
n
i=1
xi =
n
i=1
(xi − x)2
.
4. Calculer E(Y ). En déduire que a est un estimateur sans biais de a.
5. Montrer que
b − b =
n
i=1 εi(xi − x)
n
i=1 (xi − x)2 .
6. On note Var(X) la variance de la variable aléatoire X. Montrer que :
Var(b) = Var(b − b).
7. En déduire que :
Var(b) =
σ2
n
i=1(xi − x)2
.
8. Dans cette question, nous nous intéressons au comportement de l’estimateur b en fonction
du nombre d’observations n et nous le notons bn. On dit que bn converge en probabilité
vers b lorsque :
∀ε > 0, P |bn − b| ≥ ε → 0, quand n tend vers l’infini.
(a) Calculer n
i=1(xi − x)2 lorsque xi = i, où i ∈ {1, . . . , n}.
(b) Déduire en utilisant la question 7, que lorsque xi = i, bn converge en probabilité
vers b.
9. Soit b une variable aléatoire définie comme une combinaison linéaire des Yi par b =
n
i=1 µiYi où n
i=1 µi = 0 et n
i=1 µixi = 1.
(a) Montrer que :
Var(b) = Var(b − b) + Var(b).
(b) En déduire que :
Var(b) ≥ Var(b).
10. Parmi les estimateurs sans biais et définis comme une combinaison linéaire des Yi, b est
de variance minimale. Justifier.
PARTIE 3
On se place dans cette partie dans le même cadre que celui de la partie 2 mais on suppose
de plus que les variables aléatoires εi sont indépendantes et identiquement distribuées de loi
gaussienne d’espérance nulle et de variance σ2 notée N(0, σ2).
1. Donner la loi de probabilité de b défini par
b =
n
i=1 Yi(xi − x)
n
i=1 (xi − x)2
en utilisant les résultats des questions 3 et 7 de la partie 2 ici admis.
5
2. Dans la phase de floraison et uniquement dans celle-ci, une façon usuelle d’estimer
σ2 est de considérer l’estimateur suivant :
σ2
=
1
n − 1
n
i=1
(Yi − Y )2
.
(a) Montrer que σ2 peut se réécrire comme suit :
σ2
=
1
n − 1
n
i=1
(εi − ε)2
,
où ε = ( n
i=1 εi)/n, les εi étant des variables aléatoires gaussiennes centrées de va-
riance σ2.
Dans les questions suivantes on supposera que n = 4.
(b) Soient
E =




ε1
ε2
ε3
ε4



 , E =




ε1 − ε
ε2 − ε
ε3 − ε
ε4 − ε



 , et Γ =




(1 − 1/4) −1/4 −1/4 −1/4
−1/4 (1 − 1/4) −1/4 −1/4
−1/4 −1/4 (1 − 1/4) −1/4
−1/4 −1/4 −1/4 (1 − 1/4)



 .
Montrer que :
E = ΓE. (1)
(c) Soit J la matrice de taille 4 × 4 ne contenant que des 1. Quel est le rang de J ?
(d) Montrer que le vecteur de taille 4 ne contenant que des 1 est vecteur propre de J.
Quelle est la valeur propre associée ?
(e) En déduire les valeurs propres de J.
(f) En écrivant Γ sous la forme :
Γ = I4 − J/4,
où I4 désigne la matrice identité de R4, trouver les valeurs propres de la matrice Γ.
(g) Montrer que
Γ = P D t
P,
où tP désigne la transposée de P, D est une matrice diagonale. Préciser la matrice
D et les propriétés de P.
(h) Soit z un vecteur colonne de R4 :
z =




z1
z2
z3
z4



 .
En observant que :
4
i=1
z2
i = t
zz,
6
et en utilisant l’équation (1), montrer que :
4
i=1
(εi − ε)2
=
4
i=1
λ2
i V 2
i ,
où Vi désigne la ième composante du vecteur V = tPE et les λi désignent les valeurs
propres de Γ.
(i) On dit que la variable aléatoire Z suit une loi du χ2(p) lorsque Z = p
i=1 W2
i où les
Wi sont des variables aléatoires indépendantes, de loi normale d’espérance nulle et
de variance 1. En admettant que les Vi sont des variables aléatoires indépendantes,
gaussiennes d’espérance nulle et de variance σ2, déduire la loi de probabilité de
3σ2/σ2.
3. Supposons maintenant que l’on ait à notre disposition les observations des deux premières
phases : “rosette” et “élongation”. En s’inspirant du critère des moindres carrés, proposer
un critère pour estimer T1 correspondant au temps thermique séparant les phases de
rosette et d’élongation, défini dans la Figure 1.
4. Supposons plus généralement que l’on ait à notre disposition l’ensemble des observations
c’est-à-dire celles correspondant aux trois phases. Proposer un critère pour estimer T1
et T2 correspondant aux temps thermiques séparant les différentes phases de dévelop-
pement définis dans la Figure 1.
PARTIE 4
1. Soit u une fonction connue dans C4(R) que l’on observe aux n temps thermiques : x1,
x2,..., xn que l’on supposera deux à deux distincts. On notera ui la valeur de u en xi :
ui = u(xi) , 1 ≤ i ≤ n.
On supposera de plus que les données sont récoltées à des intervalles de temps réguliers
h > 0 avec h = xi+1 − xi , 1 ≤ i ≤ n − 1.
(a) Écrire un développement de Taylor-Young de u à l’ordre 4 en xi de la forme
u(x) = u(xi) + · · ·
(b) En appliquant le développement précédent à x = xi+1 et x = xi−1 déduire que pour
2 ≤ i ≤ n − 1,
u (xi) =
ui−1 − 2ui + ui+1
h2
+ e(h),
et expliciter le terme e(h).
2. À partir de maintenant on va travailler sur un modèle simplifié où les valeurs expéri-
mentales yi , 1 ≤ i ≤ n, sont portées par la fonction linéaire par morceaux de la Figure
1 et récoltées à des intervalles de temps réguliers h (h = xi+1 − xi , 1 ≤ i ≤ n − 1). On
aura donc : 


yi = a1 + b1xi si xi ≤ T1,
yi = a2 + b2xi si T1 ≤ xi ≤ T2,
yi = a3 + b3xi si T2 ≤ xi.
7
Les valeurs des paramètres aj et bj, 1 ≤ j ≤ 3 sont supposées inconnues.
On notera
Di =
yi−1 − 2yi + yi+1
h2
, pour 2 ≤ i ≤ n − 1.
(a) Trouver la valeur de Di lorsque xi+1 ≤ T1 en utilisant la question 1b de la partie 4
sans faire de calcul.
(b) Proposer une méthode pour détecter les deux instants séparant les différentes
phases.
3. Cette question ne nécessite pas d’avoir obtenu les résultats qui précèdent pour y ré-
pondre.
(a) Que renvoie l’algorithme suivant, appliqué sur une liste L non vide :
def Mystere(L):
""" ... (L: liste non vide)."""
n = len(L)
p = 0
m = L[0]
for k in range(1, n):
if m < L[k]:
m = L[k]
p = k
return(p)
(b) Si L est vide, indiquer avec justification la ou le(s) réponse(s) correcte(s) :
i. Mystere(L) renvoie une erreur.
ii. Mystere(L) renvoie le booléen False.
iii. Mystere(L) renvoie le nombre 0.
iv. Mystere(L) ne renvoie rien.
(c) Dans la fonction Mystere, on peut éviter l’utilisation de la variable m (sans changer
le résultat renvoyé lorsque L est non vide) : proposer, en expliquant le raisonnement
suivi, une version modifiée de Mystere en ce sens. Que renvoie la fonction modifiée
lorsque la liste entrée est vide ?
(d) On dispose dorénavant d’une liste L de nombres, de longueur supérieure ou égale
à deux, dont les éléments sont distincts deux à deux. On souhaite renvoyer les
positions des deux plus grands éléments de L.
i. On suppose que l’on dispose d’un algorithme de tri. Proposer une démarche
pour répondre à la question.
ii. On souhaite désormais répondre sans utiliser d’algorithme de tri mais en utili-
sant la fonction Mystere. On commence par calculer p1=Mystere(L) et ensuite,
on cherche le plus grand élément L[p2] de L tel que p2 est différent de p1. Com-
pléter les trois lignes manquantes de la fonction suivante, afin qu’elle renvoie
la liste [p1,p2] des positions des deux plus grands éléments de L.
8
def DeuxMax(L):
"""...""" #à compléter
n = len(L)
p1 = Mystere(L)
p2 = 0
for k in range(1, n):
... #à compléter
... #à compléter
return([p1, p2])
4. Dans la pratique les valeurs expérimentales sont bruitées et on a :



yi = a1 + b1xi + i si xi ≤ T1,
yi = a2 + b2xi + i si T1 ≤ xi ≤ T2,
yi = a3 + b3xi + i si T2 ≤ xi.
où i désigne un terme d’erreur ayant la forme particulière suivante i = (−1)i , où
> 0.
(a) Calculer Di dans le cas où xi+1 ≤ T1.
(b) En supposant que est “suffisamment petit”, proposer une méthode pour détecter
les deux instants séparant les différentes phases.
5. Pour éliminer le bruit on peut faire appel à une méthode dite de lissage. Elle consiste à
modifier les données initiales qui seront notées y0
i 1≤i≤n
en répétant un certain nombre
de fois la récurrence suivante pour k ≥ 0 :



yk+1
i = yk
i + α
yk
i−1−2yk
i +yk
i+1
h2 , 2 ≤ i ≤ n − 1,
yk+1
1 = yk
1 ,
yk+1
n = yk
n,
où α ∈ R.
On se limite ici au premier intervalle de temps (avant T1), cf. Figure 2. Plus précisément,
y0
i = a1 + b1xi + i , 1 ≤ i ≤ n,
où i = (−1)i , avec > 0.
(a) Montrer qu’une itération de lissage appliquée au vecteur y0
i 1<i<n
donne un résultat
de la forme :
a1 + b1xi + C(α, h) i,
où C(α, h) dépend de α et de h.
(b) En déduire un intervalle pour α tel que cette méthode permette de réduire le bruit.
Existe-t-il une valeur de α permettant de supprimer ce bruit ?
9
(c) Écrire en Python une fonction Lisse qui applique une itération de lissage. Lisse
prend en entrée Y, a et h où Y est une liste de nombres contenant les valeurs (yk
i )1≤i≤n
(pour un certain k), a est la valeur de α et h est la valeur de h ; elle renvoie les valeurs
(yk+1
i )1≤i≤n dans une liste.
(d) Dans la pratique, sur le problème complet de la Figure 1 i.e. lorsque l’on ne se limite
pas au premier intervalle de temps, on applique plusieurs itérations de lissage. On
obtient alors le graphe de la Figure 3.
T1 T2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
temps thermique
nombredefeuilles
Figure 3 – Nombre de feuilles d’une plante en fonction du temps thermique ; y sont repré-
sentées les valeurs expérimentales initiales (’•’) et les valeurs obtenues après 10 itérations de
lissage (’♦’).
En s’inspirant des questions précédentes, proposer une méthode pour estimer T1 et
T2.
(e) Cette méthode est-elle satisfaisante pour estimer T1 et T2 ?
10

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Epreuve de mathématiques informatique (modélisation) Agro/Véto BCPST 2017

  • 1. Banque "Agro-Véto" A - 0717 MATHÉMATIQUES Modélisation mathématique et informatique Durée : 3 heures 30 minutes Chaque candidat est responsable de la vérification de son sujet d’épreuve : pagination et impression de chaque page. Ce contrôle doit être fait en début d’épreuve : en cas de doute, il doit alerter au plus tôt le chef de centre qui contrôlera et éventuellement remplacera le sujet. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. L’usage d’une calculatrice est autorisé pour cette épreuve. Les questions d’informatique devront être rédigées en langage Python exclusivement. Le sujet est composé de quatre parties indépendantes. La question 5. de la partie 1 et les questions 3 et 5.c) de la partie 4 sont des questions d’informatique. Elles peuvent être traitées indépendamment des questions mathématiques qui les précèdent. 1
  • 2. Dans le domaine de l’écophysiologie végétale on s’intéresse aux différentes phases du dévelop- pement des plantes afin de mieux contrôler les rendements de culture. Plus précisément, on s’intéresse à l’évolution du nombre de feuilles d’une plante en fonction du “temps thermique”. Ce dernier correspond à la somme cumulée des températures au cours des différents jours de l’expérience. De telles mesures permettent de mettre en évidence trois phases de développe- ment appelées phases de rosette, d’élongation et de floraison. La modélisation la plus souvent utilisée consiste à supposer que l’évolution du nombre de feuilles en fonction du temps ther- mique se comporte comme une fonction affine au cours de chacune des trois phases précédentes (cf. Figure 1). q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q 020406080100 temps thermique nombredefeuilles T1 T2 Rosette Elongation Floraison Figure 1 – Schéma illustrant l’évolution du nombre de feuilles d’une plante en fonction du temps thermique ; y sont représentés les valeurs expérimentales (’•’) et les ajustements affines dans chacune des trois phases. L’objectif est alors de mettre en place des méthodes automatiques permettant de détecter les instants séparant d’une part les phases de rosette et d’élongation (T1) et d’autre part les phases d’élongation et de floraison (T2). Il est, en effet, intéressant de voir si ces instants ont tendance à changer en fonction de certaines conditions expérimentales auxquelles les plantes pourraient être soumises. PARTIE 1 Dans cette partie, on se focalise sur l’une des trois phases précédentes et on s’intéresse à l’ajustement affine que l’on obtient à partir du nuage de points ((x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)), n étant un entier naturel strictement plus grand que 1, en utilisant le critère des moindres carrés où l’on supposera que les xi sont distincts. Dans la notation (xi, yi), xi correspond au temps thermique de la ième observation et yi correspond au nombre de feuilles de la ième observation (cf. Figure 2). 1. On note x = ( n i=1 xi)/n. Montrer que n i=1 x2 i − x n i=1 xi = n i=1 (xi − x)2 . 2
  • 3. q q q q q q q q q q temps thermique nombredefeuilles x1 x2 xi xn y1 y2 yi yn Figure 2 – Schéma illustrant l’évolution du nombre de feuilles en fonction du temps thermique durant l’une des trois phases. 2. On définit la fonction F : R2 −→ R par : ∀(a, b) ∈ R2 , F(a, b) = n i=1 (yi − a − bxi)2 . Montrer que le système suivant    ∂F ∂a (a, b) = 0, ∂F ∂b (a, b) = 0. admet une unique solution (a, b) ∈ R2 où a = y − bx, avec y = ( n i=1 yi)/n et b = n i=1 yi(xi − x) n i=1 (xi − x)2 . 3. On admet que le couple (a, b) obtenu réalise un minimum global. Interpréter le résultat obtenu. 4. À partir des valeurs de (xi, yi) données dans le tableau ci-dessous, calculer à l’aide de la calculatrice les valeurs correspondantes de a et de b pour cet exemple. xi 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 yi 8 13 20 27 32 38 44 50 56 62 3
  • 4. 5. On souhaite automatiser les calculs de ˆa et ˆb lorsqu’un grand nombre de valeurs (xi, yi) sont à disposition. On utilise Python, en considérant que les valeurs x1, . . . , xn sont stockées dans une liste x et que les valeurs y1, . . . , yn sont stockées dans une liste y. Consigne. Chaque algorithme, à écrire en Python, doit être précédé d’une phrase ex- pliquant le raisonnement suivi pour l’écrire. (a) Écrire une fonction moy qui prend en entrée L, une liste de nombres (non vide), et qui renvoie la moyenne des valeurs de L. (b) Soit L une liste de longueur n ≥ 1. Indiquer, sans justification, la ou les réponse(s) correcte(s) : i. Les éléments de L sont numérotés de 0 à n − 1 (inclus) ; ii. Les éléments de L sont numérotés de 1 à n (inclus) ; iii. Les éléments de L sont numérotés de 0 à n + 1 (inclus) ; iv. Il y a n éléments dans L. v. Il y a n + 1 éléments dans L (c) Écrire une fonction Bchap qui prend en entrée x et y, deux listes de nombres de même longueur n ≥ 2, et qui renvoie la valeur de ˆb associée. (d) Écrire une fonction Achap qui prend en entrée x et y, deux listes de nombres de même longueur n ≥ 2, et qui renvoie la valeur de ˆa associée. PARTIE 2 Dans cette partie, pour tenir compte de la variabilité des expérimentations, nous allons mo- déliser les yi comme des réalisations de variables aléatoires Yi définies par les n équations suivantes, n étant un entier naturel strictement plus grand que 1 : Yi = a + bxi + εi , 1 ≤ i ≤ n, où a et b sont des paramètres réels inconnus, xi est le temps thermique associé à la ième observation (il sera considéré comme déterministe ici c’est-à-dire non aléatoire) et les εi sont des variables aléatoires indépendantes d’espérance nulle et de variance σ2. Ceci correspond à un modèle de régression linéaire simple. En utilisant la même démarche que celle proposée dans la partie 1, nous définissons : a = Y − bx, où Y = ( n i=1 Yi)/n, x = ( n i=1 xi)/n et b = n i=1 Yi(xi − x) n i=1 (xi − x)2 . Le but de cette partie est d’étudier les propriétés des variables aléatoires a et b. Ces variables aléatoires sont appelées des estimateurs de a et b. 1. On note E(X) l’espérance d’une variable aléatoire X. Calculer E(Yi) où i ∈ {1, . . . , n}. 2. Calculer E ( n i=1 Yi(xi − x)). 4
  • 5. 3. En déduire que b est un estimateur sans biais de b où on dira qu’un estimateur est sans biais lorsque E(b − b) = 0. On pourra utiliser le résultat de la question 1 de la partie 1 ici admis : n i=1 x2 i − x n i=1 xi = n i=1 (xi − x)2 . 4. Calculer E(Y ). En déduire que a est un estimateur sans biais de a. 5. Montrer que b − b = n i=1 εi(xi − x) n i=1 (xi − x)2 . 6. On note Var(X) la variance de la variable aléatoire X. Montrer que : Var(b) = Var(b − b). 7. En déduire que : Var(b) = σ2 n i=1(xi − x)2 . 8. Dans cette question, nous nous intéressons au comportement de l’estimateur b en fonction du nombre d’observations n et nous le notons bn. On dit que bn converge en probabilité vers b lorsque : ∀ε > 0, P |bn − b| ≥ ε → 0, quand n tend vers l’infini. (a) Calculer n i=1(xi − x)2 lorsque xi = i, où i ∈ {1, . . . , n}. (b) Déduire en utilisant la question 7, que lorsque xi = i, bn converge en probabilité vers b. 9. Soit b une variable aléatoire définie comme une combinaison linéaire des Yi par b = n i=1 µiYi où n i=1 µi = 0 et n i=1 µixi = 1. (a) Montrer que : Var(b) = Var(b − b) + Var(b). (b) En déduire que : Var(b) ≥ Var(b). 10. Parmi les estimateurs sans biais et définis comme une combinaison linéaire des Yi, b est de variance minimale. Justifier. PARTIE 3 On se place dans cette partie dans le même cadre que celui de la partie 2 mais on suppose de plus que les variables aléatoires εi sont indépendantes et identiquement distribuées de loi gaussienne d’espérance nulle et de variance σ2 notée N(0, σ2). 1. Donner la loi de probabilité de b défini par b = n i=1 Yi(xi − x) n i=1 (xi − x)2 en utilisant les résultats des questions 3 et 7 de la partie 2 ici admis. 5
  • 6. 2. Dans la phase de floraison et uniquement dans celle-ci, une façon usuelle d’estimer σ2 est de considérer l’estimateur suivant : σ2 = 1 n − 1 n i=1 (Yi − Y )2 . (a) Montrer que σ2 peut se réécrire comme suit : σ2 = 1 n − 1 n i=1 (εi − ε)2 , où ε = ( n i=1 εi)/n, les εi étant des variables aléatoires gaussiennes centrées de va- riance σ2. Dans les questions suivantes on supposera que n = 4. (b) Soient E =     ε1 ε2 ε3 ε4     , E =     ε1 − ε ε2 − ε ε3 − ε ε4 − ε     , et Γ =     (1 − 1/4) −1/4 −1/4 −1/4 −1/4 (1 − 1/4) −1/4 −1/4 −1/4 −1/4 (1 − 1/4) −1/4 −1/4 −1/4 −1/4 (1 − 1/4)     . Montrer que : E = ΓE. (1) (c) Soit J la matrice de taille 4 × 4 ne contenant que des 1. Quel est le rang de J ? (d) Montrer que le vecteur de taille 4 ne contenant que des 1 est vecteur propre de J. Quelle est la valeur propre associée ? (e) En déduire les valeurs propres de J. (f) En écrivant Γ sous la forme : Γ = I4 − J/4, où I4 désigne la matrice identité de R4, trouver les valeurs propres de la matrice Γ. (g) Montrer que Γ = P D t P, où tP désigne la transposée de P, D est une matrice diagonale. Préciser la matrice D et les propriétés de P. (h) Soit z un vecteur colonne de R4 : z =     z1 z2 z3 z4     . En observant que : 4 i=1 z2 i = t zz, 6
  • 7. et en utilisant l’équation (1), montrer que : 4 i=1 (εi − ε)2 = 4 i=1 λ2 i V 2 i , où Vi désigne la ième composante du vecteur V = tPE et les λi désignent les valeurs propres de Γ. (i) On dit que la variable aléatoire Z suit une loi du χ2(p) lorsque Z = p i=1 W2 i où les Wi sont des variables aléatoires indépendantes, de loi normale d’espérance nulle et de variance 1. En admettant que les Vi sont des variables aléatoires indépendantes, gaussiennes d’espérance nulle et de variance σ2, déduire la loi de probabilité de 3σ2/σ2. 3. Supposons maintenant que l’on ait à notre disposition les observations des deux premières phases : “rosette” et “élongation”. En s’inspirant du critère des moindres carrés, proposer un critère pour estimer T1 correspondant au temps thermique séparant les phases de rosette et d’élongation, défini dans la Figure 1. 4. Supposons plus généralement que l’on ait à notre disposition l’ensemble des observations c’est-à-dire celles correspondant aux trois phases. Proposer un critère pour estimer T1 et T2 correspondant aux temps thermiques séparant les différentes phases de dévelop- pement définis dans la Figure 1. PARTIE 4 1. Soit u une fonction connue dans C4(R) que l’on observe aux n temps thermiques : x1, x2,..., xn que l’on supposera deux à deux distincts. On notera ui la valeur de u en xi : ui = u(xi) , 1 ≤ i ≤ n. On supposera de plus que les données sont récoltées à des intervalles de temps réguliers h > 0 avec h = xi+1 − xi , 1 ≤ i ≤ n − 1. (a) Écrire un développement de Taylor-Young de u à l’ordre 4 en xi de la forme u(x) = u(xi) + · · · (b) En appliquant le développement précédent à x = xi+1 et x = xi−1 déduire que pour 2 ≤ i ≤ n − 1, u (xi) = ui−1 − 2ui + ui+1 h2 + e(h), et expliciter le terme e(h). 2. À partir de maintenant on va travailler sur un modèle simplifié où les valeurs expéri- mentales yi , 1 ≤ i ≤ n, sont portées par la fonction linéaire par morceaux de la Figure 1 et récoltées à des intervalles de temps réguliers h (h = xi+1 − xi , 1 ≤ i ≤ n − 1). On aura donc :    yi = a1 + b1xi si xi ≤ T1, yi = a2 + b2xi si T1 ≤ xi ≤ T2, yi = a3 + b3xi si T2 ≤ xi. 7
  • 8. Les valeurs des paramètres aj et bj, 1 ≤ j ≤ 3 sont supposées inconnues. On notera Di = yi−1 − 2yi + yi+1 h2 , pour 2 ≤ i ≤ n − 1. (a) Trouver la valeur de Di lorsque xi+1 ≤ T1 en utilisant la question 1b de la partie 4 sans faire de calcul. (b) Proposer une méthode pour détecter les deux instants séparant les différentes phases. 3. Cette question ne nécessite pas d’avoir obtenu les résultats qui précèdent pour y ré- pondre. (a) Que renvoie l’algorithme suivant, appliqué sur une liste L non vide : def Mystere(L): """ ... (L: liste non vide).""" n = len(L) p = 0 m = L[0] for k in range(1, n): if m < L[k]: m = L[k] p = k return(p) (b) Si L est vide, indiquer avec justification la ou le(s) réponse(s) correcte(s) : i. Mystere(L) renvoie une erreur. ii. Mystere(L) renvoie le booléen False. iii. Mystere(L) renvoie le nombre 0. iv. Mystere(L) ne renvoie rien. (c) Dans la fonction Mystere, on peut éviter l’utilisation de la variable m (sans changer le résultat renvoyé lorsque L est non vide) : proposer, en expliquant le raisonnement suivi, une version modifiée de Mystere en ce sens. Que renvoie la fonction modifiée lorsque la liste entrée est vide ? (d) On dispose dorénavant d’une liste L de nombres, de longueur supérieure ou égale à deux, dont les éléments sont distincts deux à deux. On souhaite renvoyer les positions des deux plus grands éléments de L. i. On suppose que l’on dispose d’un algorithme de tri. Proposer une démarche pour répondre à la question. ii. On souhaite désormais répondre sans utiliser d’algorithme de tri mais en utili- sant la fonction Mystere. On commence par calculer p1=Mystere(L) et ensuite, on cherche le plus grand élément L[p2] de L tel que p2 est différent de p1. Com- pléter les trois lignes manquantes de la fonction suivante, afin qu’elle renvoie la liste [p1,p2] des positions des deux plus grands éléments de L. 8
  • 9. def DeuxMax(L): """...""" #à compléter n = len(L) p1 = Mystere(L) p2 = 0 for k in range(1, n): ... #à compléter ... #à compléter return([p1, p2]) 4. Dans la pratique les valeurs expérimentales sont bruitées et on a :    yi = a1 + b1xi + i si xi ≤ T1, yi = a2 + b2xi + i si T1 ≤ xi ≤ T2, yi = a3 + b3xi + i si T2 ≤ xi. où i désigne un terme d’erreur ayant la forme particulière suivante i = (−1)i , où > 0. (a) Calculer Di dans le cas où xi+1 ≤ T1. (b) En supposant que est “suffisamment petit”, proposer une méthode pour détecter les deux instants séparant les différentes phases. 5. Pour éliminer le bruit on peut faire appel à une méthode dite de lissage. Elle consiste à modifier les données initiales qui seront notées y0 i 1≤i≤n en répétant un certain nombre de fois la récurrence suivante pour k ≥ 0 :    yk+1 i = yk i + α yk i−1−2yk i +yk i+1 h2 , 2 ≤ i ≤ n − 1, yk+1 1 = yk 1 , yk+1 n = yk n, où α ∈ R. On se limite ici au premier intervalle de temps (avant T1), cf. Figure 2. Plus précisément, y0 i = a1 + b1xi + i , 1 ≤ i ≤ n, où i = (−1)i , avec > 0. (a) Montrer qu’une itération de lissage appliquée au vecteur y0 i 1<i<n donne un résultat de la forme : a1 + b1xi + C(α, h) i, où C(α, h) dépend de α et de h. (b) En déduire un intervalle pour α tel que cette méthode permette de réduire le bruit. Existe-t-il une valeur de α permettant de supprimer ce bruit ? 9
  • 10. (c) Écrire en Python une fonction Lisse qui applique une itération de lissage. Lisse prend en entrée Y, a et h où Y est une liste de nombres contenant les valeurs (yk i )1≤i≤n (pour un certain k), a est la valeur de α et h est la valeur de h ; elle renvoie les valeurs (yk+1 i )1≤i≤n dans une liste. (d) Dans la pratique, sur le problème complet de la Figure 1 i.e. lorsque l’on ne se limite pas au premier intervalle de temps, on applique plusieurs itérations de lissage. On obtient alors le graphe de la Figure 3. T1 T2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 temps thermique nombredefeuilles Figure 3 – Nombre de feuilles d’une plante en fonction du temps thermique ; y sont repré- sentées les valeurs expérimentales initiales (’•’) et les valeurs obtenues après 10 itérations de lissage (’♦’). En s’inspirant des questions précédentes, proposer une méthode pour estimer T1 et T2. (e) Cette méthode est-elle satisfaisante pour estimer T1 et T2 ? 10