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Les équations différentielles
Les équations linéaires du second ordre


         Christophe Palermo

            IUT de Montpellier
      Département Mesures Physiques
                     &
       Institut d’Electronique du Sud
          Université Montpellier 2
   Web : http://palermo.wordpress.com
         e-mail : cpalermo@um2.fr

      Cours du 7 décembre 2010




     MONTPELLIER
Plan


 1    Méthode et définitions
       Schéma de résolution
       Définitions
       Linéarité et conséquences

 2    Outils de résolution au second ordre
        Solution générale d’une EDL2 homogène
        Recherche d’une solution particulière

 3    Exemples de problèmes

 4    Conclusion



IUT de Montpellier (Mesures Physiques)   Les équations différentielles   Dec. 2010   2
Méthode et définitions


 Plan


 1    Méthode et définitions
       Schéma de résolution
       Définitions
       Linéarité et conséquences

 2    Outils de résolution au second ordre
        Solution générale d’une EDL2 homogène
        Recherche d’une solution particulière

 3    Exemples de problèmes

 4    Conclusion



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Méthode et définitions     Schéma de résolution


 À retenir : schéma de résolution d’un problème physique

     1 Faire la mise en équation

     2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle
         Si elle est inhomogène (I) :




  2.5 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :
      solution du problème

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Méthode et définitions     Schéma de résolution


 À retenir : schéma de résolution d’un problème physique

     1 Faire la mise en équation

     2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle
         Si elle est inhomogène (I) :
          2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
          2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
          2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)




          2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP

  2.5 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :
      solution du problème

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Méthode et définitions     Schéma de résolution


 À retenir : schéma de résolution d’un problème physique

     1 Faire la mise en équation

     2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle
         Si elle est inhomogène (I) :
          2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
          2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
          2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
                2.3.1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues
                2.3.2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I)
                2.3.3 fixer les inconnues
          2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP

  2.5 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :
      solution du problème

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Méthode et définitions     Schéma de résolution


 Au premier et au second ordre !

         Pourquoi retenir un tel schéma ?
                Parce qu’il est toujours vrai
                        si l’équation est linéaire
                        quel que soit l’ordre de l’équation
                Parce qu’il structure la recherche
                        les bonnes choses au bon moment
                        évite les erreurs

            ♥ Parce qu’il sera demandé de le reproduire en devoir !

         Différences 1er et 2ème ordre ?
                Recherche de yH
                Recherche de yP
                Uniquement des techniques


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Méthode et définitions     Définitions


 Équation différentielle du second ordre

 Equation différentielle...
 Une équation différentielle de y en t du second ordre est de la forme :

                                                 dy d 2 y
                                F        t,y ,     ,             = F (t,y ,y ,¨ ) = 0
                                                                           ˙ y
                                                 dt dt 2

         y et y présentes : équation complète
              ˙
         Sinon : équation incomplète

 Solution générale
 La solution générale d’une équation différentielle du second ordre contient
 ... constante(s) d’intégration


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Méthode et définitions     Définitions


 Équation différentielle du second ordre

 Equation différentielle...
 Une équation différentielle de y en t du second ordre est de la forme :

                                                 dy d 2 y
                                F        t,y ,     ,             = F (t,y ,y ,¨ ) = 0
                                                                           ˙ y
                                                 dt dt 2

         y et y présentes : équation complète
              ˙
         Sinon : équation incomplète

 Solution générale
 La solution générale d’une équation différentielle du second ordre contient
 2 constantes d’intégration

 Vrai même si elle est non-linéaire
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Méthode et définitions     Définitions


 Équation linéaire (EDL2)


 Équation Linéaire
 Une équation différentielle de y en t du second ordre est linéaire si elle
 peut s’écrire sous la forme :

                                 a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t)
                                        ¨          ˙

 où a, b et c sont des fonctions de t et où p(t) est un terme perturbateur

 Même vocabulaire qu’au 1er ordre :
         ∀t, p(t) = 0 =⇒ équation homogène ;
         a, b et c constantes =⇒ équation à coefficients constants ;
         b = 0 ou c = 0 =⇒ équation incomplète


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Méthode et définitions     Définitions


 Equation homogène associée
 Soit une EDL2 inhomogène

                            a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t)
                                   ¨          ˙                                    (I)


 Équation homogène associée
 On associe à l’équation inhomogène (I) l’équation homogène suivante

                              a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = 0
                                     ¨          ˙                                 (H)

 appelée équation homogène associée à (I).




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Méthode et définitions     Définitions


 Equation homogène associée
 Soit une EDL2 inhomogène

                            a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t)
                                   ¨          ˙                                    (I)


 Équation homogène associée
 On associe à l’équation inhomogène (I) l’équation homogène suivante

                              a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = 0
                                     ¨          ˙                                 (H)

 appelée équation homogène associée à (I).

 Comme au 1er ordre
 La seule raison d’être de (H) est la recherche d’une solution particulière de
 (I)

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Méthode et définitions      Linéarité et conséquences


 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité
                                                                         a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t)
                                                                                ¨           ˙
                     ons de (I)
                  uti                                                    a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t)
                                                                                ¨           ˙
                ol
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                                                                         avec yI solution générale de (I)
          ctions                   linéaire
       fon
    es
                                                        autre fonction
   r
aut




                          de (H)
                       ns
                  io
             solut




   infinité de fonctions ⊂ chaque bulle !




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Méthode et définitions      Linéarité et conséquences


 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité
                                                                         a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t)
                                                                                ¨           ˙
                     ons de (I)
                  uti                                                    a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t)
                                                                                ¨           ˙
                ol
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                                                                         avec yI solution générale de (I)
          ctions                   linéaire
       fon
    es
                                                        autre fonction
   r
aut




                                                                         a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0
                                                                                ¨           ˙
                          de (H)                                         a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0
                                                                                ¨           ˙
                       ns
                  io




                                                                         a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0
                                                                                ¨           ˙
             solut




                                                                         .
                                                                         .         .
                                                                                   .          .
                                                                                              .        .
                                                                                                       .
                                                                         .         .          .        .
                                                                         a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0
                                                                                ¨           ˙
   infinité de fonctions ⊂ chaque bulle !
                                                                         avec yH solution générale de (H)




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Méthode et définitions      Linéarité et conséquences


 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité
                                                                           a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t)
                                                                                  ¨           ˙
                     ons de (I)
                  uti                                                      a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t)
                                                                                  ¨           ˙
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                                                                           avec yI solution générale de (I)
          ctions                     linéaire
       fon
    es
                                                          autre fonction
   r
aut




                                                                           a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0
                                                                                  ¨           ˙
                          de (H)                                           a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0
                                                                                  ¨           ˙
                       ns
                  io




                                                                           a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0
                                                                                  ¨           ˙
             solut




                                                                           .
                                                                           .         .
                                                                                     .          .
                                                                                                .        .
                                                                                                         .
                                                                           .         .          .        .
                                                                           a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0
                                                                                  ¨           ˙
   infinité de fonctions ⊂ chaque bulle !
                                                                           avec yH solution générale de (H)
                          a(t) · (¨3 + yH ) + b(t) · (y3 + yH ) + c(t) · (y3 + yH ) =
                                  y    ¨              ˙    ˙




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Méthode et définitions      Linéarité et conséquences


 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité
                                                                         a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t)
                                                                                ¨           ˙
                     ons de (I)
                  uti                                                    a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t)
                                                                                ¨           ˙
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                                                                         avec yI solution générale de (I)
          ctions                   linéaire
       fon
    es
                                                        autre fonction
   r
aut




                                                                         a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0
                                                                                ¨           ˙
                          de (H)                                         a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0
                                                                                ¨           ˙
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                                                                         a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0
                                                                                ¨           ˙
             solut




                                                                         .
                                                                         .         .
                                                                                   .          .
                                                                                              .        .
                                                                                                       .
                                                                         .         .          .        .
                                                                         a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0
                                                                                ¨           ˙
   infinité de fonctions ⊂ chaque bulle !
                                                                         avec yH solution générale de (H)
                a(t) · (¨3 + yH ) + b(t) · (y3 + yH ) + c(t) · (y3 + yH ) =
                        y     ¨             ˙    ˙
         a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 + a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH =
                ¨           ˙                       ¨            ˙




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Méthode et définitions      Linéarité et conséquences


 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité
                                                                                a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t)
                                                                                       ¨           ˙
                     ons de (I)
                  uti                                                           a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t)
                                                                                       ¨           ˙
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                                                                                avec yI solution générale de (I)
          ctions                          linéaire
       fon
    es
                                                               autre fonction
   r
aut




                                                                                a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0
                                                                                       ¨           ˙
                          de (H)                                                a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0
                                                                                       ¨           ˙
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                                                                                a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0
                                                                                       ¨           ˙
             solut




                                                                                .
                                                                                .         .
                                                                                          .          .
                                                                                                     .        .
                                                                                                              .
                                                                                .         .          .        .
                                                                                a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0
                                                                                       ¨           ˙
   infinité de fonctions ⊂ chaque bulle !
                                                                                avec yH solution générale de (H)
                 a(t) · (¨3 + yH ) + b(t) · (y3 + yH ) + c(t) · (y3 + yH ) =
                         y    ¨              ˙    ˙
       a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 + a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = p(t)
              ¨            ˙                      ¨            ˙
                                   p(t)                                                      0




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Méthode et définitions      Linéarité et conséquences


 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité
                                                                                a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t)
                                                                                       ¨           ˙
                     ons de (I)
                  uti                                                           a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t)
                                                                                       ¨           ˙
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                                                                                avec yI solution générale de (I)
          ctions                          linéaire
       fon
    es
                                                               autre fonction
   r
aut




                                                                                a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0
                                                                                       ¨           ˙
                          de (H)                                                a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0
                                                                                       ¨           ˙
                       ns
                  io




                                                                                a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0
                                                                                       ¨           ˙
             solut




                                                                                .
                                                                                .         .
                                                                                          .          .
                                                                                                     .        .
                                                                                                              .
                                                                                .         .          .        .
                                                                                a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0
                                                                                       ¨           ˙
   infinité de fonctions ⊂ chaque bulle !
                                                                                avec yH solution générale de (H)
                 a(t) · (¨3 + yH ) + b(t) · (y3 + yH ) + c(t) · (y3 + yH ) =
                         y    ¨              ˙    ˙
       a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 + a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = p(t)
              ¨            ˙                      ¨            ˙
                                   p(t)                                                      0


                                                            yI = yH + yP
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Méthode et définitions     Linéarité et conséquences


 Retour au schéma de résolution d’un problème physique

                                                 Surlignons ce qui va changer techniquement

     1 Faire la mise en équation

     2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle
         Si elle est inhomogène (I) :
          2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
          2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
          2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
          2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP

     3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :
       solution du problème

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Méthode et définitions     Linéarité et conséquences


 Retour au schéma de résolution d’un problème physique

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     1 Faire la mise en équation

     2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle
         Si elle est inhomogène (I) :
          2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
          2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
          2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
          2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP

     3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :
       solution du problème

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Méthode et définitions     Linéarité et conséquences


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     1 Faire la mise en équation

     2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle
         Si elle est inhomogène (I) :
          2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
          2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)

          2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
          2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP

     3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :
       solution du problème

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Outils de résolution au second ordre


 Plan


 1    Méthode et définitions
       Schéma de résolution
       Définitions
       Linéarité et conséquences

 2    Outils de résolution au second ordre
        Solution générale d’une EDL2 homogène
        Recherche d’une solution particulière

 3    Exemples de problèmes

 4    Conclusion



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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Solution générale d’une EDL2 homogène


         Au 1er ordre :
                EDL1 homogènes à variables séparées
                Il suffit de déterminer une primitive
                exemple :
                dy
                     + 2y = 0
                 dt

         Au 2ème ordre : plus compliqué
                exemple d’une équation complète simple :
                 d 2y   dy
                    2
                      +    +y =0
                 dt     dt




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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Solution générale d’une EDL2 homogène


         Au 1er ordre :
                EDL1 homogènes à variables séparées
                Il suffit de déterminer une primitive
                exemple :
                dy               dy
                     + 2y = 0 ⇒     = −2y
                 dt              dt

         Au 2ème ordre : plus compliqué
                exemple d’une équation complète simple :
                 d 2y   dy
                    2
                      +    +y =0
                 dt     dt




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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Solution générale d’une EDL2 homogène


         Au 1er ordre :
                EDL1 homogènes à variables séparées
                Il suffit de déterminer une primitive
                exemple :
                dy               dy            dy
                     + 2y = 0 ⇒     = −2y ⇒        = −2 · dt
                 dt              dt             y

         Au 2ème ordre : plus compliqué
                exemple d’une équation complète simple :
                 d 2y   dy
                    2
                      +    +y =0
                 dt     dt




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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Solution générale d’une EDL2 homogène


         Au 1er ordre :
                EDL1 homogènes à variables séparées
                Il suffit de déterminer une primitive
                exemple :
                dy               dy            dy
                     + 2y = 0 ⇒     = −2y ⇒        = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R
                 dt              dt             y

         Au 2ème ordre : plus compliqué
                exemple d’une équation complète simple :
                 d 2y   dy
                    2
                      +    +y =0
                 dt     dt




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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Solution générale d’une EDL2 homogène


         Au 1er ordre :
                EDL1 homogènes à variables séparées
                Il suffit de déterminer une primitive
                exemple :
                dy               dy            dy
                     + 2y = 0 ⇒     = −2y ⇒        = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R
                 dt              dt             y

         Au 2ème ordre : plus compliqué
                exemple d’une équation complète simple :
                 d 2y   dy       d 2y dy
                    2
                      +    +y =0⇒ 2 +    = −y
                 dt     dt       dt   dt




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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Solution générale d’une EDL2 homogène


         Au 1er ordre :
                EDL1 homogènes à variables séparées
                Il suffit de déterminer une primitive
                exemple :
                dy               dy            dy
                     + 2y = 0 ⇒     = −2y ⇒        = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R
                 dt              dt             y

         Au 2ème ordre : plus compliqué
                exemple d’une équation complète simple :
                 d 2y   dy       d 2y dy        d                                       dy         dy
                    2
                      +    +y =0⇒ 2 +    = −y ⇒                                                +      = −dt
                 dt     dt       dt   dt        y                                       dt          y




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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Solution générale d’une EDL2 homogène


         Au 1er ordre :
                EDL1 homogènes à variables séparées
                Il suffit de déterminer une primitive
                exemple :
                dy               dy            dy
                     + 2y = 0 ⇒     = −2y ⇒        = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R
                 dt              dt             y

         Au 2ème ordre : plus compliqué
                exemple d’une équation complète simple :
                 d 2y   dy       d 2y dy        d                                       dy         dy
                    2
                      +    +y =0⇒ 2 +    = −y ⇒                                                +      = −dt
                 dt     dt       dt   dt        y                                       dt          y




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 Solution générale d’une EDL2 homogène


         Au 1er ordre :
                EDL1 homogènes à variables séparées
                Il suffit de déterminer une primitive
                exemple :
                dy               dy            dy
                     + 2y = 0 ⇒     = −2y ⇒        = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R
                 dt              dt             y

         Au 2ème ordre : plus compliqué
                exemple d’une équation complète simple :
                 d 2y   dy       d 2y dy        d                                       dy         dy
                    2
                      +    +y =0⇒ 2 +    = −y ⇒                                                +      = −dt
                 dt     dt       dt   dt        y                                       dt          y

         Il existe un outil de résolution simple



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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Recherche d’une solution exponentielle

         Technique qui fonctionne avec :
                les équations du second ordre
                linéaires
                à coefficients constants


                                         a¨ + b y + cy = 0
                                          y     ˙                               (H)


 Principe
         Nous allons chercher la solution de (H) sous la forme d’une
         exponentielle y (t) = e rt
         Nous allons regarder à quelles conditions cette fonction est solution
         de (H)


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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Mise en équation (caractéristique)

                                         a¨ + b y + cy = 0
                                          y     ˙                               (H)


         y = e rt ⇒ y = re rt ⇒ y = r 2 e rt
                    ˙           ¨

         (H) se ré-écrit comme :

                                     a · r 2 · e rt + b · r · e rt + c · e rt = 0




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 Mise en équation (caractéristique)

                                         a¨ + b y + cy = 0
                                          y     ˙                               (H)


         y = e rt ⇒ y = re rt ⇒ y = r 2 e rt
                    ˙           ¨

         (H) se ré-écrit comme :

                                     a · r 2 · e rt + b · r · e rt + c · e rt = 0
                                      a · r 2 + b · r + c · e rt = 0 (H )




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 Mise en équation (caractéristique)

                                         a¨ + b y + cy = 0
                                          y     ˙                               (H)


         y = e rt ⇒ y = re rt ⇒ y = r 2 e rt
                    ˙           ¨

         (H) se ré-écrit comme :

                                     a · r 2 · e rt + b · r · e rt + c · e rt = 0
                                      a · r 2 + b · r + c · e rt = 0 (H )


         Remarque : e rt = 0 ∀t

         Condition pour que y (t) soit solution ?



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 Mise en équation (caractéristique)

                                         a¨ + b y + cy = 0
                                          y     ˙                               (H)


         y = e rt ⇒ y = re rt ⇒ y = r 2 e rt
                    ˙           ¨

         (H) se ré-écrit comme :

                                     a · r 2 · e rt + b · r · e rt + c · e rt = 0
                                      a · r 2 + b · r + c · e rt = 0 (H )


         Remarque : e rt = 0 ∀t

         Condition pour que y (t) soit solution ?

 Il faut que a · r 2 + b · r + c = 0
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 L’équation caractéristique

 Définition
 On associe à l’équation homogène a¨ + b y + cy = 0 (H) l’équation
                                   y     ˙
 polynôme du second degré

                                         a · r2 + b · r + c = 0                 (C )

 (C ) est appelée équation caractéristique de (H).
 C (r ) = ar 2 + br + c est le polynôme caractéristique de (H).

         Recherche de la solution générale de (H) ⇔ trinôme du second degré
         Pour (H) → (C ), on remplace :
             les y par des r
             les ordres par des degrés
           ⇒ y → r 0 = 1, y → r 1 = r , y → r 2
                           ˙            ¨

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 Exemples

         y + 5y = y
         ¨    ˙

         3¨ + 2y + 5y = 7
          y    ˙

         y + 2y = y + cos(t)
         ¨    ˙

         y 2 + 2y + y = 0
         ¨      ˙

         y + 2y + y cos(t) = 0
         ¨    ˙

         y + 5y = 0
         ¨    ˙

         y +y =0
         ¨

         y =2
         ¨


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 Exemples

         y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0
         ¨    ˙

         3¨ + 2y + 5y = 7
          y    ˙

         y + 2y = y + cos(t)
         ¨    ˙

         y 2 + 2y + y = 0
         ¨      ˙

         y + 2y + y cos(t) = 0
         ¨    ˙

         y + 5y = 0
         ¨    ˙

         y +y =0
         ¨

         y =2
         ¨


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 Exemples

         y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0
         ¨    ˙

         3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C )
          y    ˙

         y + 2y = y + cos(t)
         ¨    ˙

         y 2 + 2y + y = 0
         ¨      ˙

         y + 2y + y cos(t) = 0
         ¨    ˙

         y + 5y = 0
         ¨    ˙

         y +y =0
         ¨

         y =2
         ¨


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 Exemples

         y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0
         ¨    ˙

         3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C )
          y    ˙

         y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C )
         ¨    ˙

         y 2 + 2y + y = 0
         ¨      ˙

         y + 2y + y cos(t) = 0
         ¨    ˙

         y + 5y = 0
         ¨    ˙

         y +y =0
         ¨

         y =2
         ¨


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 Exemples

         y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0
         ¨    ˙

         3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C )
          y    ˙

         y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C )
         ¨    ˙

         y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire !
         ¨      ˙

         y + 2y + y cos(t) = 0
         ¨    ˙

         y + 5y = 0
         ¨    ˙

         y +y =0
         ¨

         y =2
         ¨


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 Exemples

         y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0
         ¨    ˙

         3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C )
          y    ˙

         y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C )
         ¨    ˙

         y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire !
         ¨      ˙

         y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables !
         ¨    ˙

         y + 5y = 0
         ¨    ˙

         y +y =0
         ¨

         y =2
         ¨


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 Exemples

         y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0
         ¨    ˙

         3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C )
          y    ˙

         y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C )
         ¨    ˙

         y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire !
         ¨      ˙

         y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables !
         ¨    ˙

         y + 5y = 0 → r 2 + 5r = 0
         ¨    ˙

         y +y =0
         ¨

         y =2
         ¨


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 Exemples

         y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0
         ¨    ˙

         3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C )
          y    ˙

         y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C )
         ¨    ˙

         y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire !
         ¨      ˙

         y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables !
         ¨    ˙

         y + 5y = 0 → r 2 + 5r = 0
         ¨    ˙

         y + y = 0 → r2 + 1 = 0
         ¨

         y =2
         ¨


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 Exemples

         y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0
         ¨    ˙

         3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C )
          y    ˙

         y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C )
         ¨    ˙

         y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire !
         ¨      ˙

         y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables !
         ¨    ˙

         y + 5y = 0 → r 2 + 5r = 0
         ¨    ˙

         y + y = 0 → r2 + 1 = 0
         ¨

         y = 2 → r 2 = 0 mais pas très utile
         ¨


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 Solutions réelles de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0
                                                   √              √
                                              −b − ∆         −b + ∆
         2 solutions réelles pour (C ) : r1 =        et r2 =
                                                 2a             2a




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 Solutions réelles de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0
                                                   √              √
                                              −b − ∆         −b + ∆
         2 solutions réelles pour (C ) : r1 =        et r2 =
                                                 2a             2a
         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e r1 t
                y (t) = e r2 t
                ou toute combinaison des deux




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 Solutions réelles de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0
                                                   √              √
                                              −b − ∆         −b + ∆
         2 solutions réelles pour (C ) : r1 =        et r2 =
                                                 2a             2a
         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e r1 t
                y (t) = e r2 t
                ou toute combinaison des deux

         Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors :
                y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t
                ˙
                y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t
                ¨             2                  2

                                    2                     2
         =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0
             y     ˙
                                                0(r1 solution de (C))            0(r2 solution de (C))




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 Solutions réelles de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0
                                                   √              √
                                              −b − ∆         −b + ∆
         2 solutions réelles pour (C ) : r1 =        et r2 =
                                                 2a             2a
         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e r1 t
                y (t) = e r2 t
                ou toute combinaison des deux

         Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors :
                y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t
                ˙
                y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t
                ¨             2                  2

                                    2                     2
         =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0
             y     ˙
                                                0(r1 solution de (C))            0(r2 solution de (C))




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 Solutions réelles de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0
                                                   √              √
                                              −b − ∆         −b + ∆
         2 solutions réelles pour (C ) : r1 =        et r2 =
                                                 2a             2a
         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e r1 t
                y (t) = e r2 t
                ou toute combinaison des deux

         Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors :
                y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t
                ˙
                y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t
                ¨             2                  2

                                    2                     2
         =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0
             y     ˙
                                                0(r1 solution de (C))            0(r2 solution de (C))




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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Solutions réelles de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0
                                                   √              √
                                              −b − ∆         −b + ∆
         2 solutions réelles pour (C ) : r1 =        et r2 =
                                                 2a             2a
         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e r1 t
                y (t) = e r2 t
                ou toute combinaison des deux

         Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors :
                y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t
                ˙
                y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t
                ¨             2                  2

                                    2                     2
         =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0
             y     ˙
                                                0(r1 solution de (C))            0(r2 solution de (C))




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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Solutions réelles de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0
                                                   √              √
                                              −b − ∆         −b + ∆
         2 solutions réelles pour (C ) : r1 =        et r2 =
                                                 2a             2a
         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e r1 t
                y (t) = e r2 t
                ou toute combinaison des deux

         Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors :
                y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t
                ˙
                y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t
                ¨             2                  2

                                    2                     2
         =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0
             y     ˙
                                                0(r1 solution de (C))            0(r2 solution de (C))


         y (t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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 Solution générale quand ∆ > 0


 Solution générale
 Si ∆ > 0 alors la solution générale de (H) est

                                           y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t

 avec K1 et K2 ∈ C

         r1 et r2 sont les solutions réelles de (C )

         Remarque : 2ème ordre, deux paramètres libres (constantes
         d’intégration)




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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Solutions complexes de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac < 0

         r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
   ⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C ) :
                            √                    √
                     −b − j −∆             −b + j −∆
                r1 =               et r2 =
                           2a                  2a                                                        √
                                                               b                                         −∆
                ou bien r1 = α + jω et r2 = α − jω (avec α = − 2a et ω =                                 2a )




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 Solutions complexes de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac < 0

         r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
   ⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C ) :
                            √                    √
                     −b − j −∆             −b + j −∆
                r1 =               et r2 =
                           2a                  2a                                                        √
                                                               b                                         −∆
                ou bien r1 = α + jω et r2 = α − jω (avec α = − 2a et ω =                                 2a )

         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e α+jω
                y (t) = e α−jω
                ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent)




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 Solutions complexes de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac < 0

         r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
   ⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C ) :
                            √                    √
                     −b − j −∆             −b + j −∆
                r1 =               et r2 =
                           2a                  2a                                                        √
                                                               b                                         −∆
                ou bien r1 = α + jω et r2 = α − jω (avec α = − 2a et ω =                                 2a )

         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e α+jω
                y (t) = e α−jω
                ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent)

         Finalement : y (t) = K1 e α+jω + K2 e α−jω


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 Solutions complexes de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac < 0

         r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
   ⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C ) :
                            √                    √
                     −b − j −∆             −b + j −∆
                r1 =               et r2 =
                           2a                  2a                                                        √
                                                               b                                         −∆
                ou bien r1 = α + jω et r2 = α − jω (avec α = − 2a et ω =                                 2a )

         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e α+jω
                y (t) = e α−jω
                ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent)

         Finalement : y (t) = K1 e α+jω + K2 e α−jω

         y (t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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 Solution générale quand ∆ < 0
         On peut factoriser par e α

 Solution générale
                      Si ∆ < 0 alors la solution générale de (H) est
                y (t) = e αt · K1 · e jωt + K2 · e −jωt avec K1 et K2 ∈ C

         Remarques :
                α > 0 =⇒ amplification de y dans le temps (cas le plus rare)
                α < 0 =⇒ amortissement de y dans le temps (cas le plus courant)
                e αt : terme d’amortissment

         K1 e jωt + K2 e −jωr2 t est un terme d’oscillation (conditions aux limites)
                si K1 = K2 =⇒ cos(ωt)
                si K1 = −K2 =⇒ sin(ωt)

         Physiquement : solutions les plus intéressantes
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 Solution double de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0
                                                                                 −b
         1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 =
                                                                                 2a




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 Solution double de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0
                                                                                 −b
         1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 =
                                                                                 2a
         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e rt
                mais il en manque une !




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 Solution double de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0
                                                                                 −b
         1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 =
                                                                                 2a
         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e rt
                mais il en manque une !

         r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt
                y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt
                ˙
                y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt
                ¨




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 Solution double de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0
                                                                                 −b
         1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 =
                                                                                 2a
         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e rt
                mais il en manque une !

         r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt
                y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt
                ˙
                y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt
                ¨

         Injection dans l’application y → a¨ + b y + cy
                                           y     ˙
                a¨ + b y + cy = e rt [a(r 2 t + 2r ) + b(rt + 1) + ct]
                 y     ˙



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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Solution double de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0
                                                                                 −b
         1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 =
                                                                                 2a
         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e rt
                mais il en manque une !

         r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt
                y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt
                ˙
                y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt
                ¨

         Injection dans l’application y → a¨ + b y + cy
                                           y     ˙
                a¨ + b y + cy = e rt [a(r 2 t + 2r ) + b(rt + 1) + ct]
                 y        ˙
                = e rt [t · (ar 2 + br + c) + (2ar + b)]



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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Solution double de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0
                                                                                 −b
         1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 =
                                                                                 2a
         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e rt
                mais il en manque une !

         r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt
                y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt
                ˙
                y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt
                ¨

         Injection dans l’application y → a¨ + b y + cy
                                           y     ˙
                a¨ + b y + cy = e rt [a(r 2 t + 2r ) + b(rt + 1) + ct]
                 y        ˙
                = e rt [t · (ar 2 + br + c ) + (2ar + b) ]= 0
                                   r racine            r racine double



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 Solution double de l’équation caractéristique
 Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0
                                                                                 −b
         1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 =
                                                                                 2a
         y (t) peut alors prendre la forme :
                y (t) = e rt
                mais il en manque une !

         r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt
                y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt
                ˙
                y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt
                ¨

         Injection dans l’application y → a¨ + b y + cy
                                           y     ˙
                a¨ + b y + cy = e rt [a(r 2 t + 2r ) + b(rt + 1) + ct]
                 y        ˙
                = e rt [t · (ar 2 + br + c ) + (2ar + b) ]= 0
                                   r racine            r racine double

         y (t) peut aussi prendre la forme y (t) = t · e rt
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 Solution générale pour ∆ = 0




         Les combinaisons de ces deux solutions sont aussi solutions (linéarité)

 Solution générale
    Si ∆ = 0 alors la solution générale de (H) est y (t) = (K1 · t + K2 ) · e rt
                               avec K1 et K2 ∈ C

         Second ordre : deux paramètres




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 À retenir : Récapitulatif


                  Pour le polynôme caractéristique C (r ) = ar 2 + br + c
                      de l’équation homogène a¨ + b y + cy = 0 (H)
                                              y     ˙

     Discriminant                      Racines                                   Solution générale
     ∆ = b 2 − 4ac                      de C                                          de (H)
         >0                        réelles simples
                                                √
                                                                           yH (t) = K1 · e r1 t + K2 · e r2 t
                                          b       ∆
                                  r = − 2a ± 2a
             <0                complexes conjuguées                                   yH (t) =
                                simples r = α ±√   jω                     e αt · K1 · e −jωt + K2 · e jωt
                                      b             −∆
                               α = − 2a et ω = 2a
             =0                     réelle double                           yH (t) = (K1 · t + K2 ) · e rt
                                              b
                                      r = − 2a


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 À retenir : schéma de résolution d’un problème physique

                                                                Surlignons ce que nous savons faire


     1 Faire la mise en équation → depuis le premier cours

     2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle
         Si elle est inhomogène (I) :
          2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) → depuis le troisième cours

          2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
          2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
          2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP

     3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :
       solution du problème
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 Exemple de physique (homogène)

                 m           k
                                                  Wanted : Solution générale de (H)

                                   x
                 0

     1 : Pendule élastique sans
         frottements
              k
         x + x = 0 (H)
         ¨
              m




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 Exemple de physique (homogène)

                 m           k
                                                  Wanted : Solution générale de (H)
                                                               Équation homogène !
                                   x
                 0                                                   k
                                                      C (r ) : r 2 +   = 0 (C )
                                                                     m
     1 : Pendule élastique sans
         frottements
              k
         x + x = 0 (H)
         ¨
              m




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 Exemple de physique (homogène)

                 m           k
                                                  Wanted : Solution générale de (H)
                                                               Équation homogène !
                                   x
                 0                                                   k
                                                      C (r ) : r 2 +   = 0 (C )
                                                                     m
     1 : Pendule élastique sans                                    k
                                                         ∆ = −4 m < 0 ou bien
         frottements
                                                                                  k                      k
              k                                                        x −j       m       x +j           m       =0
         x + x = 0 (H)
         ¨
              m
                                                                                 k                           k
                                                  racines : r1 = j               m    ou r2 = −j             m   ∈C




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 Exemple de physique (homogène)

                 m           k
                                                  Wanted : Solution générale de (H)
                                                               Équation homogène !
                                   x
                 0                                                   k
                                                      C (r ) : r 2 +   = 0 (C )
                                                                     m
     1 : Pendule élastique sans                                    k
                                                         ∆ = −4 m < 0 ou bien
         frottements
                                                                                  k                      k
              k                                                        x −j       m       x +j           m       =0
         x + x = 0 (H)
         ¨
              m
                                                                                 k                           k
                                                  racines : r1 = j               m    ou r2 = −j             m   ∈C
         Solution générale :
                                                                    k                    k
                                       x (t) = K1 · e −j            m
                                                                      t
                                                                          + K2 · e j     m
                                                                                           t


         Deux constantes K1 ∈ C et K2 ∈ C ⇒ 2 :

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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Exemple de physique (inhomogène)


     x                                 Wanted : Solution générale de (I)
               1 : Pendule élastique sans
         k
                   frottements
                        k
                   x + x = −g (I)
                   ¨
0        m              m
x0




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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Exemple de physique (inhomogène)


     x                                 Wanted : Solution générale de (I)
               1 : Pendule élastique sans
         k                                2:    Équation inhomogène !
                   frottements
                        k
                   x + x = −g (I)
                   ¨
0        m              m
x0




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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Exemple de physique (inhomogène)


     x                                 Wanted : Solution générale de (I)
               1 : Pendule élastique sans
         k                                2:    Équation inhomogène !
                   frottements
                        k                            k
                   x + x = −g (I)
                   ¨                      2.1 : x + x = 0 (H)
                                                ¨
0        m              m                           m
x0




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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Exemple de physique (inhomogène)


     x                                 Wanted :                            Solution générale de (I)
               1 : Pendule élastique sans
         k                                2:                               Équation inhomogène !
                   frottements
                        k                                                      k
                   x + x = −g (I)
                   ¨                      2.1 :                            x + x = 0 (H)
                                                                           ¨
0        m              m                                                      m
x0                                        2.2 :                            xH déjà fait précédemment

         Solution générale de (H) :
                                                                     k                    k
                                    xH (t) = K1 · e −j               m
                                                                       t
                                                                           + K2 · e j     m
                                                                                            t


         Que faut-il faire maintenant ?




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 Exemple de physique (inhomogène)


     x                                 Wanted :                            Solution générale de (I)
               1 : Pendule élastique sans
         k                                2:                               Équation inhomogène !
                   frottements
                        k                                                      k
                   x + x = −g (I)
                   ¨                      2.1 :                            x + x = 0 (H)
                                                                           ¨
0        m              m                                                      m
x0                                        2.2 :                            xH déjà fait précédemment

         Solution générale de (H) :
                                                                     k                    k
                                    xH (t) = K1 · e −j               m
                                                                       t
                                                                           + K2 · e j     m
                                                                                            t


         Que faut-il faire maintenant ?
         → Rechercher une solution particulière xP ...
         → ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !


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 Exemple de physique (inhomogène, forcé)


                     1 : Pendule élastique sans Wanted : Solution générale de (I)
            x
                         frottements
                k             k
                         x+ x=
                         ¨
                              m
       0        m
                                A
                         −g + cos(ωt + ϕ) (I)
       x0                       m




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 Exemple de physique (inhomogène, forcé)


                     1 : Pendule élastique sans Wanted : Solution générale de (I)
            x
                         frottements              2:     Équation inhomogène !
                k             k
                         x+ x=
                         ¨
                              m
       0        m
                                A
                         −g + cos(ωt + ϕ) (I)
       x0                       m




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 Exemple de physique (inhomogène, forcé)


                     1 : Pendule élastique sans Wanted : Solution générale de (I)
            x
                         frottements              2:     Équation inhomogène !
                k             k                               k
                         x+ x=
                         ¨                        2.1 : x + x = 0 (H)
                                                         ¨
                              m                              m
       0        m
                                A
                         −g + cos(ωt + ϕ) (I)
       x0                       m




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 Exemple de physique (inhomogène, forcé)


                     1 : Pendule élastique sans Wanted :                            Solution générale de (I)
            x
                         frottements              2:                                Équation inhomogène !
                k             k                                                          k
                         x+ x=
                         ¨                        2.1 :                             x + x = 0 (H)
                                                                                    ¨
                              m                                                         m
       0        m
                                A
                         −g + cos(ωt + ϕ) (I) 2.2 :                                 xH déjà fait
       x0                       m                                                   précédemment
            Solution générale de (H) :
                                                                     k                    k
                                    xH (t) = K1 · e −j               m
                                                                       t
                                                                           + K2 · e j     m
                                                                                            t


            Que faut-il faire maintenant ?




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 Exemple de physique (inhomogène, forcé)


                     1 : Pendule élastique sans Wanted :                            Solution générale de (I)
            x
                         frottements              2:                                Équation inhomogène !
                k             k                                                          k
                         x+ x=
                         ¨                        2.1 :                             x + x = 0 (H)
                                                                                    ¨
                              m                                                         m
       0        m
                                A
                         −g + cos(ωt + ϕ) (I) 2.2 :                                 xH déjà fait
       x0                       m                                                   précédemment
            Solution générale de (H) :
                                                                     k                    k
                                    xH (t) = K1 · e −j               m
                                                                       t
                                                                           + K2 · e j     m
                                                                                            t


            Que faut-il faire maintenant ?
            → Rechercher une solution particulière xP ...
            → ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !

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Outils de résolution au second ordre    Solution générale d’une EDL2 homogène


 Retour au schéma de résolution d’un problème physique

    Surlignons en jaune ce qu’il reste à faire et en vert ce que l’on a traité

     1 Faire la mise en équation

     2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle
         Si elle est inhomogène (I) :
          2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
          2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)

          2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
          2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP

     3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :
       solution du problème

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Outils de résolution au second ordre    Recherche d’une solution particulière


 Recherche d’une solution particulière de (I)


         Au premier ordre :
                Méthode du tableau
                Méthode de Lagrange (variation de la constante)

         Au deuxième ordre
                Théoriquement : les mêmes méthodes
                Méthode de Lagrange : difficile à résoudre (outils mathématiques)
                Nous utiliserons le tableau

         Tableau :
                assez simple
                mais solutions dépendent des constantes a, b et c
                mais solutions dépendent des racines de C r1 , et r2



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Outils de résolution au second ordre    Recherche d’une solution particulière


 Le tableau
      Forme de p(t)                        Forme yP                                Remarques
                                         recommandée
          k∈R                                K ∈R
      polynôme P(t)                      polynôme Q(t)                    • deg(Q) = deg(P) si c = 0
                                                                          • deg(Q) = 1+deg(P)
                                                                            si c = 0 et b = 0
                                                                          • deg(Q) = 2+deg(P)
                                                                            si c = b = 0
           e kt · P(t)                       e kt · Q(t)                  • deg(Q) = deg(P)
                                                                            si k = r1 et k = r2
                                                                          • deg(Q) = 1+deg(P)
                                                                            si k = r1 et k = r2
                                                                          • deg(Q) = 2+deg(P)
                                                                            si k = r1 = r2
         k1 cos(mt)                      t n · [K1 cos(mt)                • n = 0, 1, 2 selon relations
         +k2 sin(mt)                       +K2 sin(mt)]                     entre m, r1 et r2
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Exemples de problèmes


 Plan


 1    Méthode et définitions
       Schéma de résolution
       Définitions
       Linéarité et conséquences

 2    Outils de résolution au second ordre
        Solution générale d’une EDL2 homogène
        Recherche d’une solution particulière

 3    Exemples de problèmes

 4    Conclusion



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Exemples de problèmes


 Exemple du pendule élastique pesant # 1


     x
                   Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème
         k         frottements
                         k
               1 : x + x = −g (I)
                   ¨
                        m
0        m
                   x (0) = 0 et x (0) = 0
                                ˙
x0




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Exemples de problèmes


 Exemple du pendule élastique pesant # 1


     x
                   Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème
         k         frottements
                         k                    2 : ! Équation inhomogène !
               1 : x + x = −g (I)
                   ¨
                        m
0        m
                   x (0) = 0 et x (0) = 0
                                ˙
x0




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Exemples de problèmes


 Exemple du pendule élastique pesant # 1


     x
                   Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème
         k         frottements
                         k                    2 : ! Équation inhomogène !
               1 : x + x = −g (I)
                   ¨                                    k
                        m                   2.1 : x + x = 0 (H)
                                                    ¨
0        m
                   x (0) = 0 et x (0) = 0
                                ˙                       m
x0




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Exemples de problèmes


 Exemple du pendule élastique pesant # 1


     x
                   Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème
         k         frottements
                         k                    2 : ! Équation inhomogène !
               1 : x + x = −g (I)
                   ¨                                    k
                        m                   2.1 : x + x = 0 (H)
                                                    ¨
0        m
                   x (0) = 0 et x (0) = 0
                                ˙                       m
x0

                                         k                      k
2.2 : xH (t) = K1 · e −j                 m
                                           t
                                               + K2 · e j       m
                                                                  t
                                                                      déjà fait précédemment




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Exemples de problèmes


 Exemple du pendule élastique pesant # 1


     x
                   Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème
         k         frottements
                         k                    2 : ! Équation inhomogène !
               1 : x + x = −g (I)
                   ¨                                    k
                        m                   2.1 : x + x = 0 (H)
                                                    ¨
0        m
                   x (0) = 0 et x (0) = 0
                                ˙                       m
x0

                                         k                      k
2.2 : xH (t) = K1 · e −j                 m
                                           t
                                               + K2 · e j       m
                                                                  t
                                                                      déjà fait précédemment
2.3 : xP (t) = K avec K ∈ C d’après le tableau
                On injecte dans (I) :             k
                                                  mK    = −g =⇒ K = − gm
                                                                       k
                xP = − gm
                        k




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Exemples de problèmes


 Exemple du pendule élastique pesant # 1


     x
                   Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème
         k         frottements
                         k                    2 : ! Équation inhomogène !
               1 : x + x = −g (I)
                   ¨                                    k
                        m                   2.1 : x + x = 0 (H)
                                                    ¨
0        m
                   x (0) = 0 et x (0) = 0
                                ˙                       m
x0

                                         k                      k
2.2 : xH (t) = K1 · e −j                 m
                                           t
                                               + K2 · e j       m
                                                                  t
                                                                      déjà fait précédemment
2.3 : xP (t) = K avec K ∈ C d’après le tableau
                On injecte dans (I) :             k
                                                  mK    = −g =⇒ K = − gm
                                                                       k
                xP = − gm
                        k

                                                                                 k                  k
2.4 : Solution générale de (I) : xI (t) = K1 · e −j                              m
                                                                                   t
                                                                                       + K2 · e j   m
                                                                                                      t
                                                                                                          −   gm
                                                                                                               k


IUT de Montpellier (Mesures Physiques)            Les équations différentielles                       Dec. 2010     32
Exemples de problèmes


 Exemple du pendule élastique pesant # 2

         Conditions initiales :
                                                     gm
                x (0) = 0 =⇒ K1 + K2 =
                                                      k
                                          k
                x (0) = 0 =⇒ j
                ˙                           · (K2 − K1 ) = 0 =⇒ K1 = K2
                                          m
                                              gm
         On trouve : K1 = K2 =                2k

         Solution du problème :
                                                                                       
                                                                 k                k
                                                         −j        t          j     t
                                           gm  e                m     +e         m             gm
                               x (t) =        ·                                         −
                                            k                          2                         k
                                                                                         
                                                 gm                         k 
                                         x (t) =    · cos                       t − 1
                                                  k                           m

IUT de Montpellier (Mesures Physiques)         Les équations différentielles                          Dec. 2010   33
Equations différentielles, DUT MP, CM 4
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  • 1. Les équations différentielles Les équations linéaires du second ordre Christophe Palermo IUT de Montpellier Département Mesures Physiques & Institut d’Electronique du Sud Université Montpellier 2 Web : http://palermo.wordpress.com e-mail : cpalermo@um2.fr Cours du 7 décembre 2010 MONTPELLIER
  • 2. Plan 1 Méthode et définitions Schéma de résolution Définitions Linéarité et conséquences 2 Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Recherche d’une solution particulière 3 Exemples de problèmes 4 Conclusion IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 2
  • 3. Méthode et définitions Plan 1 Méthode et définitions Schéma de résolution Définitions Linéarité et conséquences 2 Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Recherche d’une solution particulière 3 Exemples de problèmes 4 Conclusion IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 3
  • 4. Méthode et définitions Schéma de résolution À retenir : schéma de résolution d’un problème physique 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.5 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problème IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 4
  • 5. Méthode et définitions Schéma de résolution À retenir : schéma de résolution d’un problème physique 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 2.5 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problème IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 4
  • 6. Méthode et définitions Schéma de résolution À retenir : schéma de résolution d’un problème physique 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.3.1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues 2.3.2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I) 2.3.3 fixer les inconnues 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 2.5 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problème IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 4
  • 7. Méthode et définitions Schéma de résolution Au premier et au second ordre ! Pourquoi retenir un tel schéma ? Parce qu’il est toujours vrai si l’équation est linéaire quel que soit l’ordre de l’équation Parce qu’il structure la recherche les bonnes choses au bon moment évite les erreurs ♥ Parce qu’il sera demandé de le reproduire en devoir ! Différences 1er et 2ème ordre ? Recherche de yH Recherche de yP Uniquement des techniques IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 5
  • 8. Méthode et définitions Définitions Équation différentielle du second ordre Equation différentielle... Une équation différentielle de y en t du second ordre est de la forme : dy d 2 y F t,y , , = F (t,y ,y ,¨ ) = 0 ˙ y dt dt 2 y et y présentes : équation complète ˙ Sinon : équation incomplète Solution générale La solution générale d’une équation différentielle du second ordre contient ... constante(s) d’intégration IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 6
  • 9. Méthode et définitions Définitions Équation différentielle du second ordre Equation différentielle... Une équation différentielle de y en t du second ordre est de la forme : dy d 2 y F t,y , , = F (t,y ,y ,¨ ) = 0 ˙ y dt dt 2 y et y présentes : équation complète ˙ Sinon : équation incomplète Solution générale La solution générale d’une équation différentielle du second ordre contient 2 constantes d’intégration Vrai même si elle est non-linéaire IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 6
  • 10. Méthode et définitions Définitions Équation linéaire (EDL2) Équation Linéaire Une équation différentielle de y en t du second ordre est linéaire si elle peut s’écrire sous la forme : a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t) ¨ ˙ où a, b et c sont des fonctions de t et où p(t) est un terme perturbateur Même vocabulaire qu’au 1er ordre : ∀t, p(t) = 0 =⇒ équation homogène ; a, b et c constantes =⇒ équation à coefficients constants ; b = 0 ou c = 0 =⇒ équation incomplète IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 7
  • 11. Méthode et définitions Définitions Equation homogène associée Soit une EDL2 inhomogène a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t) ¨ ˙ (I) Équation homogène associée On associe à l’équation inhomogène (I) l’équation homogène suivante a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = 0 ¨ ˙ (H) appelée équation homogène associée à (I). IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 8
  • 12. Méthode et définitions Définitions Equation homogène associée Soit une EDL2 inhomogène a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t) ¨ ˙ (I) Équation homogène associée On associe à l’équation inhomogène (I) l’équation homogène suivante a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = 0 ¨ ˙ (H) appelée équation homogène associée à (I). Comme au 1er ordre La seule raison d’être de (H) est la recherche d’une solution particulière de (I) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 8
  • 13. Méthode et définitions Linéarité et conséquences 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t) ¨ ˙ ons de (I) uti a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t) ¨ ˙ ol s avec yI solution générale de (I) ctions linéaire fon es autre fonction r aut de (H) ns io solut infinité de fonctions ⊂ chaque bulle ! IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  • 14. Méthode et définitions Linéarité et conséquences 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t) ¨ ˙ ons de (I) uti a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t) ¨ ˙ ol s avec yI solution générale de (I) ctions linéaire fon es autre fonction r aut a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0 ¨ ˙ de (H) a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0 ¨ ˙ ns io a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0 ¨ ˙ solut . . . . . . . . . . . . a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0 ¨ ˙ infinité de fonctions ⊂ chaque bulle ! avec yH solution générale de (H) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  • 15. Méthode et définitions Linéarité et conséquences 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t) ¨ ˙ ons de (I) uti a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t) ¨ ˙ ol s avec yI solution générale de (I) ctions linéaire fon es autre fonction r aut a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0 ¨ ˙ de (H) a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0 ¨ ˙ ns io a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0 ¨ ˙ solut . . . . . . . . . . . . a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0 ¨ ˙ infinité de fonctions ⊂ chaque bulle ! avec yH solution générale de (H) a(t) · (¨3 + yH ) + b(t) · (y3 + yH ) + c(t) · (y3 + yH ) = y ¨ ˙ ˙ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  • 16. Méthode et définitions Linéarité et conséquences 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t) ¨ ˙ ons de (I) uti a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t) ¨ ˙ ol s avec yI solution générale de (I) ctions linéaire fon es autre fonction r aut a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0 ¨ ˙ de (H) a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0 ¨ ˙ ns io a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0 ¨ ˙ solut . . . . . . . . . . . . a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0 ¨ ˙ infinité de fonctions ⊂ chaque bulle ! avec yH solution générale de (H) a(t) · (¨3 + yH ) + b(t) · (y3 + yH ) + c(t) · (y3 + yH ) = y ¨ ˙ ˙ a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 + a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = ¨ ˙ ¨ ˙ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  • 17. Méthode et définitions Linéarité et conséquences 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t) ¨ ˙ ons de (I) uti a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t) ¨ ˙ ol s avec yI solution générale de (I) ctions linéaire fon es autre fonction r aut a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0 ¨ ˙ de (H) a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0 ¨ ˙ ns io a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0 ¨ ˙ solut . . . . . . . . . . . . a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0 ¨ ˙ infinité de fonctions ⊂ chaque bulle ! avec yH solution générale de (H) a(t) · (¨3 + yH ) + b(t) · (y3 + yH ) + c(t) · (y3 + yH ) = y ¨ ˙ ˙ a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 + a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = p(t) ¨ ˙ ¨ ˙ p(t) 0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  • 18. Méthode et définitions Linéarité et conséquences 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t) ¨ ˙ ons de (I) uti a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t) ¨ ˙ ol s avec yI solution générale de (I) ctions linéaire fon es autre fonction r aut a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0 ¨ ˙ de (H) a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0 ¨ ˙ ns io a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0 ¨ ˙ solut . . . . . . . . . . . . a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0 ¨ ˙ infinité de fonctions ⊂ chaque bulle ! avec yH solution générale de (H) a(t) · (¨3 + yH ) + b(t) · (y3 + yH ) + c(t) · (y3 + yH ) = y ¨ ˙ ˙ a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 + a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = p(t) ¨ ˙ ¨ ˙ p(t) 0 yI = yH + yP IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  • 19. Méthode et définitions Linéarité et conséquences Retour au schéma de résolution d’un problème physique Surlignons ce qui va changer techniquement 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problème IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 10
  • 20. Méthode et définitions Linéarité et conséquences Retour au schéma de résolution d’un problème physique Surlignons ce qui va changer techniquement 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problème IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 10
  • 21. Méthode et définitions Linéarité et conséquences Retour au schéma de résolution d’un problème physique Surlignons ce qui va changer techniquement 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problème IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 10
  • 22. Outils de résolution au second ordre Plan 1 Méthode et définitions Schéma de résolution Définitions Linéarité et conséquences 2 Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Recherche d’une solution particulière 3 Exemples de problèmes 4 Conclusion IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 11
  • 23. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy + 2y = 0 dt Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy 2 + +y =0 dt dt IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  • 24. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y dt dt Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy 2 + +y =0 dt dt IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  • 25. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y ⇒ = −2 · dt dt dt y Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy 2 + +y =0 dt dt IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  • 26. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y ⇒ = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R dt dt y Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy 2 + +y =0 dt dt IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  • 27. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y ⇒ = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R dt dt y Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy d 2y dy 2 + +y =0⇒ 2 + = −y dt dt dt dt IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  • 28. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y ⇒ = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R dt dt y Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy d 2y dy d dy dy 2 + +y =0⇒ 2 + = −y ⇒ + = −dt dt dt dt dt y dt y IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  • 29. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y ⇒ = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R dt dt y Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy d 2y dy d dy dy 2 + +y =0⇒ 2 + = −y ⇒ + = −dt dt dt dt dt y dt y IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  • 30. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y ⇒ = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R dt dt y Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy d 2y dy d dy dy 2 + +y =0⇒ 2 + = −y ⇒ + = −dt dt dt dt dt y dt y Il existe un outil de résolution simple IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  • 31. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Recherche d’une solution exponentielle Technique qui fonctionne avec : les équations du second ordre linéaires à coefficients constants a¨ + b y + cy = 0 y ˙ (H) Principe Nous allons chercher la solution de (H) sous la forme d’une exponentielle y (t) = e rt Nous allons regarder à quelles conditions cette fonction est solution de (H) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 13
  • 32. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Mise en équation (caractéristique) a¨ + b y + cy = 0 y ˙ (H) y = e rt ⇒ y = re rt ⇒ y = r 2 e rt ˙ ¨ (H) se ré-écrit comme : a · r 2 · e rt + b · r · e rt + c · e rt = 0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 14
  • 33. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Mise en équation (caractéristique) a¨ + b y + cy = 0 y ˙ (H) y = e rt ⇒ y = re rt ⇒ y = r 2 e rt ˙ ¨ (H) se ré-écrit comme : a · r 2 · e rt + b · r · e rt + c · e rt = 0 a · r 2 + b · r + c · e rt = 0 (H ) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 14
  • 34. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Mise en équation (caractéristique) a¨ + b y + cy = 0 y ˙ (H) y = e rt ⇒ y = re rt ⇒ y = r 2 e rt ˙ ¨ (H) se ré-écrit comme : a · r 2 · e rt + b · r · e rt + c · e rt = 0 a · r 2 + b · r + c · e rt = 0 (H ) Remarque : e rt = 0 ∀t Condition pour que y (t) soit solution ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 14
  • 35. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Mise en équation (caractéristique) a¨ + b y + cy = 0 y ˙ (H) y = e rt ⇒ y = re rt ⇒ y = r 2 e rt ˙ ¨ (H) se ré-écrit comme : a · r 2 · e rt + b · r · e rt + c · e rt = 0 a · r 2 + b · r + c · e rt = 0 (H ) Remarque : e rt = 0 ∀t Condition pour que y (t) soit solution ? Il faut que a · r 2 + b · r + c = 0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 14
  • 36. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène L’équation caractéristique Définition On associe à l’équation homogène a¨ + b y + cy = 0 (H) l’équation y ˙ polynôme du second degré a · r2 + b · r + c = 0 (C ) (C ) est appelée équation caractéristique de (H). C (r ) = ar 2 + br + c est le polynôme caractéristique de (H). Recherche de la solution générale de (H) ⇔ trinôme du second degré Pour (H) → (C ), on remplace : les y par des r les ordres par des degrés ⇒ y → r 0 = 1, y → r 1 = r , y → r 2 ˙ ¨ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 15
  • 37. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 y ˙ y + 2y = y + cos(t) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ¨ ˙ y + 5y = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  • 38. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 y ˙ y + 2y = y + cos(t) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ¨ ˙ y + 5y = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  • 39. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ¨ ˙ y + 5y = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  • 40. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C ) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ¨ ˙ y + 5y = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  • 41. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C ) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire ! ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ¨ ˙ y + 5y = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  • 42. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C ) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire ! ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables ! ¨ ˙ y + 5y = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  • 43. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C ) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire ! ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables ! ¨ ˙ y + 5y = 0 → r 2 + 5r = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  • 44. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C ) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire ! ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables ! ¨ ˙ y + 5y = 0 → r 2 + 5r = 0 ¨ ˙ y + y = 0 → r2 + 1 = 0 ¨ y =2 ¨ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  • 45. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C ) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire ! ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables ! ¨ ˙ y + 5y = 0 → r 2 + 5r = 0 ¨ ˙ y + y = 0 → r2 + 1 = 0 ¨ y = 2 → r 2 = 0 mais pas très utile ¨ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  • 46. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2a IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  • 47. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e r1 t y (t) = e r2 t ou toute combinaison des deux IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  • 48. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e r1 t y (t) = e r2 t ou toute combinaison des deux Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors : y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ˙ y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ¨ 2 2 2 2 =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0 y ˙ 0(r1 solution de (C)) 0(r2 solution de (C)) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  • 49. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e r1 t y (t) = e r2 t ou toute combinaison des deux Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors : y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ˙ y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ¨ 2 2 2 2 =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0 y ˙ 0(r1 solution de (C)) 0(r2 solution de (C)) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  • 50. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e r1 t y (t) = e r2 t ou toute combinaison des deux Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors : y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ˙ y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ¨ 2 2 2 2 =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0 y ˙ 0(r1 solution de (C)) 0(r2 solution de (C)) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  • 51. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e r1 t y (t) = e r2 t ou toute combinaison des deux Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors : y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ˙ y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ¨ 2 2 2 2 =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0 y ˙ 0(r1 solution de (C)) 0(r2 solution de (C)) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  • 52. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e r1 t y (t) = e r2 t ou toute combinaison des deux Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors : y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ˙ y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ¨ 2 2 2 2 =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0 y ˙ 0(r1 solution de (C)) 0(r2 solution de (C)) y (t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  • 53. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale quand ∆ > 0 Solution générale Si ∆ > 0 alors la solution générale de (H) est y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t avec K1 et K2 ∈ C r1 et r2 sont les solutions réelles de (C ) Remarque : 2ème ordre, deux paramètres libres (constantes d’intégration) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 18
  • 54. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions complexes de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac < 0 r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels ⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C ) : √ √ −b − j −∆ −b + j −∆ r1 = et r2 = 2a 2a √ b −∆ ou bien r1 = α + jω et r2 = α − jω (avec α = − 2a et ω = 2a ) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
  • 55. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions complexes de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac < 0 r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels ⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C ) : √ √ −b − j −∆ −b + j −∆ r1 = et r2 = 2a 2a √ b −∆ ou bien r1 = α + jω et r2 = α − jω (avec α = − 2a et ω = 2a ) y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e α+jω y (t) = e α−jω ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
  • 56. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions complexes de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac < 0 r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels ⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C ) : √ √ −b − j −∆ −b + j −∆ r1 = et r2 = 2a 2a √ b −∆ ou bien r1 = α + jω et r2 = α − jω (avec α = − 2a et ω = 2a ) y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e α+jω y (t) = e α−jω ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent) Finalement : y (t) = K1 e α+jω + K2 e α−jω IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
  • 57. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions complexes de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac < 0 r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels ⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C ) : √ √ −b − j −∆ −b + j −∆ r1 = et r2 = 2a 2a √ b −∆ ou bien r1 = α + jω et r2 = α − jω (avec α = − 2a et ω = 2a ) y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e α+jω y (t) = e α−jω ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent) Finalement : y (t) = K1 e α+jω + K2 e α−jω y (t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
  • 58. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale quand ∆ < 0 On peut factoriser par e α Solution générale Si ∆ < 0 alors la solution générale de (H) est y (t) = e αt · K1 · e jωt + K2 · e −jωt avec K1 et K2 ∈ C Remarques : α > 0 =⇒ amplification de y dans le temps (cas le plus rare) α < 0 =⇒ amortissement de y dans le temps (cas le plus courant) e αt : terme d’amortissment K1 e jωt + K2 e −jωr2 t est un terme d’oscillation (conditions aux limites) si K1 = K2 =⇒ cos(ωt) si K1 = −K2 =⇒ sin(ωt) Physiquement : solutions les plus intéressantes IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 20
  • 59. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2a IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  • 60. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e rt mais il en manque une ! IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  • 61. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e rt mais il en manque une ! r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt ˙ y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt ¨ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  • 62. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e rt mais il en manque une ! r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt ˙ y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt ¨ Injection dans l’application y → a¨ + b y + cy y ˙ a¨ + b y + cy = e rt [a(r 2 t + 2r ) + b(rt + 1) + ct] y ˙ IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  • 63. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e rt mais il en manque une ! r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt ˙ y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt ¨ Injection dans l’application y → a¨ + b y + cy y ˙ a¨ + b y + cy = e rt [a(r 2 t + 2r ) + b(rt + 1) + ct] y ˙ = e rt [t · (ar 2 + br + c) + (2ar + b)] IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  • 64. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e rt mais il en manque une ! r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt ˙ y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt ¨ Injection dans l’application y → a¨ + b y + cy y ˙ a¨ + b y + cy = e rt [a(r 2 t + 2r ) + b(rt + 1) + ct] y ˙ = e rt [t · (ar 2 + br + c ) + (2ar + b) ]= 0 r racine r racine double IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  • 65. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e rt mais il en manque une ! r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt ˙ y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt ¨ Injection dans l’application y → a¨ + b y + cy y ˙ a¨ + b y + cy = e rt [a(r 2 t + 2r ) + b(rt + 1) + ct] y ˙ = e rt [t · (ar 2 + br + c ) + (2ar + b) ]= 0 r racine r racine double y (t) peut aussi prendre la forme y (t) = t · e rt IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  • 66. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale pour ∆ = 0 Les combinaisons de ces deux solutions sont aussi solutions (linéarité) Solution générale Si ∆ = 0 alors la solution générale de (H) est y (t) = (K1 · t + K2 ) · e rt avec K1 et K2 ∈ C Second ordre : deux paramètres IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 22
  • 67. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène À retenir : Récapitulatif Pour le polynôme caractéristique C (r ) = ar 2 + br + c de l’équation homogène a¨ + b y + cy = 0 (H) y ˙ Discriminant Racines Solution générale ∆ = b 2 − 4ac de C de (H) >0 réelles simples √ yH (t) = K1 · e r1 t + K2 · e r2 t b ∆ r = − 2a ± 2a <0 complexes conjuguées yH (t) = simples r = α ±√ jω e αt · K1 · e −jωt + K2 · e jωt b −∆ α = − 2a et ω = 2a =0 réelle double yH (t) = (K1 · t + K2 ) · e rt b r = − 2a IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 23
  • 68. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène À retenir : schéma de résolution d’un problème physique Surlignons ce que nous savons faire 1 Faire la mise en équation → depuis le premier cours 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) → depuis le troisième cours 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problème IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 24
  • 69. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (homogène) m k Wanted : Solution générale de (H) x 0 1 : Pendule élastique sans frottements k x + x = 0 (H) ¨ m IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 25
  • 70. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (homogène) m k Wanted : Solution générale de (H) Équation homogène ! x 0 k C (r ) : r 2 + = 0 (C ) m 1 : Pendule élastique sans frottements k x + x = 0 (H) ¨ m IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 25
  • 71. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (homogène) m k Wanted : Solution générale de (H) Équation homogène ! x 0 k C (r ) : r 2 + = 0 (C ) m 1 : Pendule élastique sans k ∆ = −4 m < 0 ou bien frottements k k k x −j m x +j m =0 x + x = 0 (H) ¨ m k k racines : r1 = j m ou r2 = −j m ∈C IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 25
  • 72. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (homogène) m k Wanted : Solution générale de (H) Équation homogène ! x 0 k C (r ) : r 2 + = 0 (C ) m 1 : Pendule élastique sans k ∆ = −4 m < 0 ou bien frottements k k k x −j m x +j m =0 x + x = 0 (H) ¨ m k k racines : r1 = j m ou r2 = −j m ∈C Solution générale : k k x (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t Deux constantes K1 ∈ C et K2 ∈ C ⇒ 2 : IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 25
  • 73. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène) x Wanted : Solution générale de (I) 1 : Pendule élastique sans k frottements k x + x = −g (I) ¨ 0 m m x0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 26
  • 74. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène) x Wanted : Solution générale de (I) 1 : Pendule élastique sans k 2: Équation inhomogène ! frottements k x + x = −g (I) ¨ 0 m m x0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 26
  • 75. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène) x Wanted : Solution générale de (I) 1 : Pendule élastique sans k 2: Équation inhomogène ! frottements k k x + x = −g (I) ¨ 2.1 : x + x = 0 (H) ¨ 0 m m m x0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 26
  • 76. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène) x Wanted : Solution générale de (I) 1 : Pendule élastique sans k 2: Équation inhomogène ! frottements k k x + x = −g (I) ¨ 2.1 : x + x = 0 (H) ¨ 0 m m m x0 2.2 : xH déjà fait précédemment Solution générale de (H) : k k xH (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t Que faut-il faire maintenant ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 26
  • 77. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène) x Wanted : Solution générale de (I) 1 : Pendule élastique sans k 2: Équation inhomogène ! frottements k k x + x = −g (I) ¨ 2.1 : x + x = 0 (H) ¨ 0 m m m x0 2.2 : xH déjà fait précédemment Solution générale de (H) : k k xH (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t Que faut-il faire maintenant ? → Rechercher une solution particulière xP ... → ...pour arriver à la solution générale xI de (I) ! IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 26
  • 78. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène, forcé) 1 : Pendule élastique sans Wanted : Solution générale de (I) x frottements k k x+ x= ¨ m 0 m A −g + cos(ωt + ϕ) (I) x0 m IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 27
  • 79. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène, forcé) 1 : Pendule élastique sans Wanted : Solution générale de (I) x frottements 2: Équation inhomogène ! k k x+ x= ¨ m 0 m A −g + cos(ωt + ϕ) (I) x0 m IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 27
  • 80. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène, forcé) 1 : Pendule élastique sans Wanted : Solution générale de (I) x frottements 2: Équation inhomogène ! k k k x+ x= ¨ 2.1 : x + x = 0 (H) ¨ m m 0 m A −g + cos(ωt + ϕ) (I) x0 m IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 27
  • 81. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène, forcé) 1 : Pendule élastique sans Wanted : Solution générale de (I) x frottements 2: Équation inhomogène ! k k k x+ x= ¨ 2.1 : x + x = 0 (H) ¨ m m 0 m A −g + cos(ωt + ϕ) (I) 2.2 : xH déjà fait x0 m précédemment Solution générale de (H) : k k xH (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t Que faut-il faire maintenant ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 27
  • 82. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène, forcé) 1 : Pendule élastique sans Wanted : Solution générale de (I) x frottements 2: Équation inhomogène ! k k k x+ x= ¨ 2.1 : x + x = 0 (H) ¨ m m 0 m A −g + cos(ωt + ϕ) (I) 2.2 : xH déjà fait x0 m précédemment Solution générale de (H) : k k xH (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t Que faut-il faire maintenant ? → Rechercher une solution particulière xP ... → ...pour arriver à la solution générale xI de (I) ! IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 27
  • 83. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Retour au schéma de résolution d’un problème physique Surlignons en jaune ce qu’il reste à faire et en vert ce que l’on a traité 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problème IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 28
  • 84. Outils de résolution au second ordre Recherche d’une solution particulière Recherche d’une solution particulière de (I) Au premier ordre : Méthode du tableau Méthode de Lagrange (variation de la constante) Au deuxième ordre Théoriquement : les mêmes méthodes Méthode de Lagrange : difficile à résoudre (outils mathématiques) Nous utiliserons le tableau Tableau : assez simple mais solutions dépendent des constantes a, b et c mais solutions dépendent des racines de C r1 , et r2 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 29
  • 85. Outils de résolution au second ordre Recherche d’une solution particulière Le tableau Forme de p(t) Forme yP Remarques recommandée k∈R K ∈R polynôme P(t) polynôme Q(t) • deg(Q) = deg(P) si c = 0 • deg(Q) = 1+deg(P) si c = 0 et b = 0 • deg(Q) = 2+deg(P) si c = b = 0 e kt · P(t) e kt · Q(t) • deg(Q) = deg(P) si k = r1 et k = r2 • deg(Q) = 1+deg(P) si k = r1 et k = r2 • deg(Q) = 2+deg(P) si k = r1 = r2 k1 cos(mt) t n · [K1 cos(mt) • n = 0, 1, 2 selon relations +k2 sin(mt) +K2 sin(mt)] entre m, r1 et r2 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 30
  • 86. Exemples de problèmes Plan 1 Méthode et définitions Schéma de résolution Définitions Linéarité et conséquences 2 Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Recherche d’une solution particulière 3 Exemples de problèmes 4 Conclusion IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 31
  • 87. Exemples de problèmes Exemple du pendule élastique pesant # 1 x Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème k frottements k 1 : x + x = −g (I) ¨ m 0 m x (0) = 0 et x (0) = 0 ˙ x0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
  • 88. Exemples de problèmes Exemple du pendule élastique pesant # 1 x Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème k frottements k 2 : ! Équation inhomogène ! 1 : x + x = −g (I) ¨ m 0 m x (0) = 0 et x (0) = 0 ˙ x0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
  • 89. Exemples de problèmes Exemple du pendule élastique pesant # 1 x Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème k frottements k 2 : ! Équation inhomogène ! 1 : x + x = −g (I) ¨ k m 2.1 : x + x = 0 (H) ¨ 0 m x (0) = 0 et x (0) = 0 ˙ m x0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
  • 90. Exemples de problèmes Exemple du pendule élastique pesant # 1 x Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème k frottements k 2 : ! Équation inhomogène ! 1 : x + x = −g (I) ¨ k m 2.1 : x + x = 0 (H) ¨ 0 m x (0) = 0 et x (0) = 0 ˙ m x0 k k 2.2 : xH (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t déjà fait précédemment IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
  • 91. Exemples de problèmes Exemple du pendule élastique pesant # 1 x Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème k frottements k 2 : ! Équation inhomogène ! 1 : x + x = −g (I) ¨ k m 2.1 : x + x = 0 (H) ¨ 0 m x (0) = 0 et x (0) = 0 ˙ m x0 k k 2.2 : xH (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t déjà fait précédemment 2.3 : xP (t) = K avec K ∈ C d’après le tableau On injecte dans (I) : k mK = −g =⇒ K = − gm k xP = − gm k IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
  • 92. Exemples de problèmes Exemple du pendule élastique pesant # 1 x Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème k frottements k 2 : ! Équation inhomogène ! 1 : x + x = −g (I) ¨ k m 2.1 : x + x = 0 (H) ¨ 0 m x (0) = 0 et x (0) = 0 ˙ m x0 k k 2.2 : xH (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t déjà fait précédemment 2.3 : xP (t) = K avec K ∈ C d’après le tableau On injecte dans (I) : k mK = −g =⇒ K = − gm k xP = − gm k k k 2.4 : Solution générale de (I) : xI (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t − gm k IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
  • 93. Exemples de problèmes Exemple du pendule élastique pesant # 2 Conditions initiales : gm x (0) = 0 =⇒ K1 + K2 = k k x (0) = 0 =⇒ j ˙ · (K2 − K1 ) = 0 =⇒ K1 = K2 m gm On trouve : K1 = K2 = 2k Solution du problème :   k k −j t j t gm  e m +e m gm x (t) = · − k 2 k     gm   k  x (t) = · cos t − 1 k m IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 33