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Introduction
Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Probabilités pour ingénieurs
Chapitre 1 : Espace de Probabilté
I. MEDARHRI
ENSMR, École Nationale Supérieure des Mines de Rabat
2019-2020
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
Introduction
Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Le paradoxe des anniversaires
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
Introduction
Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Le paradoxe des anniversaires est une estimation probabiliste du
nombre de personnes que l’on doit réunir pour avoir une chance
sur deux que deux personnes de ce groupe aient leur anniversaire le
même jour. Il se trouve que ce nombre est 231, ce qui choque un
peu l’intuition. À partir d’un groupe de 57 personnes, la probabilité
est supérieure à 99 %.
Cependant, il ne s’agit pas d’un paradoxe dans le sens de
contradiction logique ; c’est un paradoxe, dans le sens où c’est une
vérité mathématique qui contredit l’intuition : la plupart des gens
estiment que cette probabilité est très inférieure à 50 %.
p(n) =
365!
(365 − n)!
·
1
365n
p(n) = 1 − p(n)
Cette étude est due à Richard von Mises.
Problème de Monty-Hall : Wikipedia, Jeu interactif
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Introduction
Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Plan
1 Introduction
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
2 Quelques concepts de base
Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
3 Probabilités
La probabilité d’un événement
Propriétés de la probabilité d’un événement
Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
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Introduction
Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Comment les probabilités interviennent-elles dans la vie de tous les
jours ?
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Probabilités
Analyse combinatoire
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Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
les probabilités
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
les probabilités
Économie
Introduction
Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
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Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
les probabilités
Économie
Biologie
Introduction
Quelques concepts de base
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Analyse combinatoire
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Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
les probabilités
Économie
Biologie
Psychologie
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Analyse combinatoire
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les probabilités
Économie
Biologie
Psychologie
Les sciences
de l’ingénieur
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Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Domaines d’application des probabilités
Probabilité en Science de l’Ingénierie
La théorie des systèmes et le traitement du signal
L’ingénierie des procédés chimiques
La production mécanique
L’aéronautique et le domaine des transports
L’informatique
La géologie et la construction
Les télécommunications
L’ingénierie biomédicale,....
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Introduction
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Probabilités
Analyse combinatoire
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
La théorie des probabilités a mis beaucoup de temps à
émerger
Très certainement d’origine arabe: az-zahr: le dé.
En Inde, 4ème siècle,existence d’une science du dé et
connaissance de ses rapports étroits avec une évaluation de
type sondage. (Le Mahabharata)
En Europe, aux 16-17èmes siècles, émergence d’une science
du jeu de dé.Cardan, Kepler, Galilée.
Théorie rigoureuse: Pascal.
Résolution de controverses juridiques (Fermat, Leibniz).
Autre impulsion motivée par des problèmes d’assurance
(tables de mortalité et rentes viagères).
Développement des Statistiques: outil puissant pour les
organismes de décision...
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Analyse combinatoire
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Les développements mathématiques
Les probabilités sont un outil privilégié de modélisation des
comportements humains, mais deviennent aussi un grand champ
de développement des Mathématiques.
19ème siècle et début 20ème siècle: Essor des probabilités
grâce aux méthodes d’analyse.
Calcul intégral et différentiel (Laplace, Gauss)
Théorie de la mesure (Borel, Lebesgue).
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Probabilités
Analyse combinatoire
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Les développements mathématiques
Les probabilités sont un outil privilégié de modélisation des
comportements humains, mais deviennent aussi un grand champ
de développement des Mathématiques.
19ème siècle et début 20ème siècle: Essor des probabilités
grâce aux méthodes d’analyse.
Calcul intégral et différentiel (Laplace, Gauss)
Théorie de la mesure (Borel, Lebesgue).
A partir du 20ème siècle: Etude de phénomènes aléatoires qui
évoluent au cours du temps.Processus de Markov
Problèmes de Physique statistique, Mouvement Brownien.
Problèmes de démographie. Processus de branchement,
Processus de Poisson.
Théorie statistique, biométrie
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Analyse combinatoire
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Aujourd’hui
Le modèle probabiliste actuel: Kolmogorov - 1933.
Calcul stochastique: Itô, à partir de 1945. Calcul intégral lié
au mouvement brownien.
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Domaines d’application des probabilités
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Les Problèmes de Raisonnement
Aujourd’hui
Le modèle probabiliste actuel: Kolmogorov - 1933.
Calcul stochastique: Itô, à partir de 1945. Calcul intégral lié
au mouvement brownien.
Très grand essor dans la deuxième moitié du 20ème siècle.
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Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Aujourd’hui
Le modèle probabiliste actuel: Kolmogorov - 1933.
Calcul stochastique: Itô, à partir de 1945. Calcul intégral lié
au mouvement brownien.
Très grand essor dans la deuxième moitié du 20ème siècle.
Les probabilités interviennent dans de nombreux
développements mathématiques récents
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Probabilités
Analyse combinatoire
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Probabilité vs Statistique
Probabilités :
Modèle est complètement spécifié
But est d’exploiter le modèle pour prendre des décisions
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Probabilités
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Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Probabilité vs Statistique
Probabilités :
Modèle est complètement spécifié
But est d’exploiter le modèle pour prendre des décisions
Raisonnement déductif
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Probabilités
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Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Probabilité vs Statistique
Probabilités :
Modèle est complètement spécifié
But est d’exploiter le modèle pour prendre des décisions
Raisonnement déductif
Statistique :
Modèle est inconnu, mais on dispose d’observations
But est de compléter le modèle à l’aide des observations
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Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Probabilité vs Statistique
Probabilités :
Modèle est complètement spécifié
But est d’exploiter le modèle pour prendre des décisions
Raisonnement déductif
Statistique :
Modèle est inconnu, mais on dispose d’observations
But est de compléter le modèle à l’aide des observations
Raisonnement inductif
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Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Probabilité vs Statistique
Probabilités :
Modèle est complètement spécifié
But est d’exploiter le modèle pour prendre des décisions
Raisonnement déductif
Statistique :
Modèle est inconnu, mais on dispose d’observations
But est de compléter le modèle à l’aide des observations
Raisonnement inductif
Dans de nombreuses applications, on peut très bien
utiliser le calcul des probabilités sans faire appel à la
statistique.
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Probabilités
Analyse combinatoire
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Probabilité vs Statistique
Probabilités :
Modèle est complètement spécifié
But est d’exploiter le modèle pour prendre des décisions
Raisonnement déductif
Statistique :
Modèle est inconnu, mais on dispose d’observations
But est de compléter le modèle à l’aide des observations
Raisonnement inductif
Dans de nombreuses applications, on peut très bien
utiliser le calcul des probabilités sans faire appel à la
statistique.
Il est presque impossible de faire de la statistique sans
faire appel au calcul des probabilités.
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Problème de prédiction:
On cherche à établir les conséquences probables d’un certain
nombre de choix, sachant que les conséquences peuvent aussi
être influencées par des facteurs aléatoires exogènes.
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Problème de prédiction:
On cherche à établir les conséquences probables d’un certain
nombre de choix, sachant que les conséquences peuvent aussi
être influencées par des facteurs aléatoires exogènes.
Problème de diagnostic :
On veut inférer les causes probables d’un phénomène observé
à partir de l’observation de ses conséquences.
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Probabilités
Analyse combinatoire
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Problème de prédiction:
On cherche à établir les conséquences probables d’un certain
nombre de choix, sachant que les conséquences peuvent aussi
être influencées par des facteurs aléatoires exogènes.
Problème de diagnostic :
On veut inférer les causes probables d’un phénomène observé
à partir de l’observation de ses conséquences.
Problème de décision séquentielle :
On cherche à établir une stratégie permettant d’adapter son
comportement à des informations qui seront collectées
ultérieurement.
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Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Exemple de problème de prédiction
Il faut décider s’il est intéressant d’investir dans la construction
d’une ligne électrique pour relier deux villes (ou deux pays, ou deux
ı̂les, ou deux continents...).
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Analyse combinatoire
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Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Exemple de problème de prédiction
Il faut décider s’il est intéressant d’investir dans la construction
d’une ligne électrique pour relier deux villes (ou deux pays, ou deux
ı̂les, ou deux continents...).
Il faut prédire la probabilité de défaillance, et la quantité moyenne
d’énergie non desservie, dans deux hypothèses : sans la ligne, et
avec la ( les) ligne(s) en place, puis arbitrer en fonction du coût de
construction d’une ligne.
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Probabilités
Analyse combinatoire
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Exemple de problème de diagnostic
Ayant l’information que la voiture ne démarre pas, et sachant
qu’on a fait récemment le plein et que la radio fonctionne encore,
on cherche l’explication la plus probable de la panne (noeuds
entourés en rouge).
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Domaines d’application des probabilités
Les développements de la théorie de Probabilité
Les Problèmes de Raisonnement
Exemple de problème de décision séquentielle
Malgré l’incertitude sur les conditions du marché de l’électricité du
lendemain, il faut planifier la veille quelles centrales électriques
seront en service le lendemain, sachant qu’il est possible d’ajuster
le lendemain le niveau de production de ces centrales. On souhaite
maximiser le bénéfice économique.
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Motivation
Pour formaliser un problème dans lequel le hasard intervient, on
doit construire un modèle probabiliste, choisi en fonction du but
que l’on poursuit. Ce modèle est constitué d’un
ensemble fondamental, d’une tribu d’événements et d’une
probabilité. Le choix de l’ensemble fondamental est très important
pour le calcul ultérieur des probabilités des événements. Nous
introduirons aussi les notions de probabilité conditionnelle et
d’indépendance. La formule de Bayes est souvent très utile pour le
calcul de probabilités conditionnelles.
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Construire l’espace de probabilité consiste à :
Définir:
• Expérience aléatoire, espace échantillonnal, événement.
Comprendre:
• Ensemble vide, réunion, intersection, complémentaire.
Présenter:
• Diagramme de Venn.
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Probabilités
Analyse combinatoire
Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Definition
On appelle expérience aléatoire une expérience E qui, reproduite
dans des conditions identiques, peut conduire à plusieurs résultats
possibles, et dont on ne peut prévoir le résultat par avance. et
dans des conditions fixées:
1 Connaı̂t l’ensemble des résultats possibles;
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Analyse combinatoire
Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Definition
On appelle expérience aléatoire une expérience E qui, reproduite
dans des conditions identiques, peut conduire à plusieurs résultats
possibles, et dont on ne peut prévoir le résultat par avance. et
dans des conditions fixées:
1 Connaı̂t l’ensemble des résultats possibles;
2 On ne peut prédire avec certitude le résultat que l’on
obtiendra.
Les éléments ou sous-ensembles de cet ensemble doivent vérifier les
conditions suivantes :
• Mutuellement exclusif.
• Collectivement exhaustif.
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Definition
L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience
aléatoire constitue l’espace échantillonnal (ou l’Univers) de
l’expérience; noté traditionnellement par Ω ou S.
Un espace échantillonnal peut être fini, infini dénombrable, infini
(non dénombrable), ou un mélange de plusieurs types.
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Probabilités
Analyse combinatoire
Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Definition
L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience
aléatoire constitue l’espace échantillonnal (ou l’Univers) de
l’expérience; noté traditionnellement par Ω ou S.
Un espace échantillonnal peut être fini, infini dénombrable, infini
(non dénombrable), ou un mélange de plusieurs types.
exemple 1
l’expérience (E) consistant à ”Lancer un dé et noter le résultat
obtenu” est une expérience aléatoire comportant 6 résultats;
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Probabilités
Analyse combinatoire
Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
exemple
1 On lance une pièce:
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Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
exemple
1 On lance une pièce: Ω = {P, F}, assimilé à Ω = {0, 1},
2 On lance un dé n fois :
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Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
exemple
1 On lance une pièce: Ω = {P, F}, assimilé à Ω = {0, 1},
2 On lance un dé n fois : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n
3 Romeo attend Juliette qui lui a promis d’arriver entre minuit
et une heure:
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Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
exemple
1 On lance une pièce: Ω = {P, F}, assimilé à Ω = {0, 1},
2 On lance un dé n fois : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n
3 Romeo attend Juliette qui lui a promis d’arriver entre minuit
et une heure: Ω = [0; 1]
4 On étudie la durée de vie d’une bactérie:
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Probabilités
Analyse combinatoire
Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
exemple
1 On lance une pièce: Ω = {P, F}, assimilé à Ω = {0, 1},
2 On lance un dé n fois : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n
3 Romeo attend Juliette qui lui a promis d’arriver entre minuit
et une heure: Ω = [0; 1]
4 On étudie la durée de vie d’une bactérie: Ω = [0; +∞]
5 On étudie la durée d’une communication téléphonique:
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Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
exemple
1 On lance une pièce: Ω = {P, F}, assimilé à Ω = {0, 1},
2 On lance un dé n fois : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n
3 Romeo attend Juliette qui lui a promis d’arriver entre minuit
et une heure: Ω = [0; 1]
4 On étudie la durée de vie d’une bactérie: Ω = [0; +∞]
5 On étudie la durée d’une communication téléphonique:
Ω = [0; +∞]
6 On envoie une fléchette sur une cible circulaire de 30 cm de
diamètre:
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Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
exemple
1 On lance une pièce: Ω = {P, F}, assimilé à Ω = {0, 1},
2 On lance un dé n fois : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n
3 Romeo attend Juliette qui lui a promis d’arriver entre minuit
et une heure: Ω = [0; 1]
4 On étudie la durée de vie d’une bactérie: Ω = [0; +∞]
5 On étudie la durée d’une communication téléphonique:
Ω = [0; +∞]
6 On envoie une fléchette sur une cible circulaire de 30 cm de
diamètre: Ω = {(x, y),
p
x2 + y2 6 15}
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Analyse combinatoire
Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Quelle information pouvons-nous tirer de
l’expérience?
Exemple : Le jeu de fléchettes
1 On s’intéresse à la chance de tomber dans une des couronnes
ou un des secteurs de la cible.
2 Les résultats du jeu peuvent se décrire à l’aide de parties du
disque.
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Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Definition
On appelle événement aléatoire (associé à l’expérience E) un
sous-ensemble de Ω dont on peut dire au vu de l’expérience s’il est
réalisé ou non.
Un événement aléatoire A est donc une partie de Ω
exemple
Pour l’expérience (E) consistant à lancer un dé une fois à six faces
on a S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
1 L’événement A : ”Le résultat du lancer est un nombre impair”
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Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Definition
On appelle événement aléatoire (associé à l’expérience E) un
sous-ensemble de Ω dont on peut dire au vu de l’expérience s’il est
réalisé ou non.
Un événement aléatoire A est donc une partie de Ω
exemple
Pour l’expérience (E) consistant à lancer un dé une fois à six faces
on a S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
1 L’événement A : ”Le résultat du lancer est un nombre impair”
2 L’événement B : ”Le résultat est un nombre plus grand que 2
mais différent de 5” .
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Algèbre et tribu d’événements
exemple
1 Jet d’un dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A = {2, 4, 6} :
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exemple
1 Jet d’un dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A = {2, 4, 6} : ”obtenir un nombre paire”
2 Le jet successif de n pièces de monaie, S={P, F}n ( pour
n = 2, on a S = {PP, PF, FP, FF} = {P, F}2),
A = {P} × {P, F}n−1 :
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Algèbre et tribu d’événements
exemple
1 Jet d’un dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A = {2, 4, 6} : ”obtenir un nombre paire”
2 Le jet successif de n pièces de monaie, S={P, F}n ( pour
n = 2, on a S = {PP, PF, FP, FF} = {P, F}2),
A = {P} × {P, F}n−1 : ”Le premier lancer est pile”.
3 La durée de vie d’une ampoule. S = R+
A = [100, +∞[:
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Algèbre et tribu d’événements
exemple
1 Jet d’un dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A = {2, 4, 6} : ”obtenir un nombre paire”
2 Le jet successif de n pièces de monaie, S={P, F}n ( pour
n = 2, on a S = {PP, PF, FP, FF} = {P, F}2),
A = {P} × {P, F}n−1 : ”Le premier lancer est pile”.
3 La durée de vie d’une ampoule. S = R+
A = [100, +∞[: ”l’ampoule fonctionne plus de cent
heures”
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Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Ensemble vide
Un événement d’un espace échantillonnal S qui ne contient aucun
résultat, est un ensemble vide, noté ∅. L’ensemble vide est
(l’événement impossible).
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Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
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Ensemble vide
Un événement d’un espace échantillonnal S qui ne contient aucun
résultat, est un ensemble vide, noté ∅. L’ensemble vide est
(l’événement impossible).
Union
Si (Ai )16i6n sont des événements, alors ∪n
i=1Ai est l’événement qui
représente la réalisation d’au moins un des Ai , i = 1, 2, ..., n.
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Ensemble vide
Un événement d’un espace échantillonnal S qui ne contient aucun
résultat, est un ensemble vide, noté ∅. L’ensemble vide est
(l’événement impossible).
Union
Si (Ai )16i6n sont des événements, alors ∪n
i=1Ai est l’événement qui
représente la réalisation d’au moins un des Ai , i = 1, 2, ..., n.
Intersection
Si (Ai )16i6n sont des événements, alors ∩n
i=1Ai est l’événement qui
représente la réalisation de tous les Ai , i = 1, 2, ..., n.
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Analyse combinatoire
Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Ensemble vide
Un événement d’un espace échantillonnal S qui ne contient aucun
résultat, est un ensemble vide, noté ∅. L’ensemble vide est
(l’événement impossible).
Union
Si (Ai )16i6n sont des événements, alors ∪n
i=1Ai est l’événement qui
représente la réalisation d’au moins un des Ai , i = 1, 2, ..., n.
Intersection
Si (Ai )16i6n sont des événements, alors ∩n
i=1Ai est l’événement qui
représente la réalisation de tous les Ai , i = 1, 2, ..., n.
Complémentaire
Si A est un événement, alors A (A complément) est l’événement
qui représente la non réalisation de A. Autres notations : Ac.
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Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Règle de Morgan
Si A1, A2, ..., An sont des événements, alors
1 A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An.
2 A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An.
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Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Une manière de représenter l’information reliée à un problème de
probabilité est d’illustrer par un schéma : l’espace échantillonnal,
tous les événements impliqués et tous les sous-ensembles qui sont
formés quand des événements se recoupent. L’un des schémas les
plus utilisés pour représenter l’espace échantillonnal et les
événements est le diagramme de Venn.
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Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Figure: Diagramme de Venn.
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Objectifs visés
Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Le couple (Ω, P(Ω)) s’appelle un espace probabilisable. Même si Ω
est fini, le cardinal de P(Ω) peut être un nombre très grand et
dans ce cas on est amené alors à ne considerer qu’une famille
restreinte A de parties de Ω , A ⊂ P(Ω). Pour que le résultat des
opération ensemblistes (union, intersection, complémentaire) soit
encore un événement, il est nécessaire que la famille d’événements
qui a été retenue soit fermée, ou stable, vis-a-vis de ces opérations,
c’est-à-dire qu’il soit bien un élément de la famille. De plus, les
événements ”certain” Ω ”impossible” ∅ doivent également
appartenir à cet ensemble. Ainsi, on associera à une épreuve
aléatoire un ensemble non vide de parties de Ω , note A, qui
verifiera :
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Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement
Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
C1 Pour tout A ∈ A, alors A ∈ A;
C2 Pour tout A ∈ A et tout B ∈ A, alors A ∪ B ∈ A.
Il y a fermeture pour le complémentaire et l’union. Cet
ensemble A s’appelle une algèbre de parties de Ω . Grâce aux
régles de Morgan, on a une définition équivalente en
remplaçant la condition C2 par :
C0
2 Pour tout A ∈ A et tout B ∈ A, alors A ∩ B ∈ A
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Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Propriété d’une Algèbre
P1 La famille étant non vide, on en conclut que: ∅ ∈ A et ;
Ω ∈ A
P2 Si Ak ∈ A pour 1 ≤ k ≤ n, on démontre par récurrence que :
Sn
k=1 Ak ∈ A.
P3 Si Ak ∈ A pour 1 ≤ k ≤ n, on démontre par récurrence que :
Tn
k=1 Ak ∈ A.
Cependant, certaines expériences peuvent se dérouler indéfiniment
et on a donc besoin de renforcer la propriété P2 de fermeture pour
l’union finie par une condtion de fermeture pour l’union
dénombrable, soit:
C3 Si An ∈ A pour tout n ∈ N, alors
S∞
n=0 An ∈ A.
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Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire
Diagramme de Venn
Algèbre et tribu d’événements
Cette condition exprime que toute union dénombrable
d’événements est encore un événement. L’ensemble A auquel on
impose les conditions C1 et C3 s’appelle alors une σ-algèbre
ou Tribu d’événements.
Le couple formé de l’ensemble fondamental S et de la Tribu
d’événement associée A s’appelle unespace probabilisable.
exemple : Algèbre grossière d’événements
1 {∅, Ω} est une algèbre d’événements, appelée l’algèbre
grossière des événement.
2 Soit A une partie de Ω . Montrer que A = {∅, A, Ac, Ω} est
une tribu sur Ω (Algèbre de Bernoulli d’événements).
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La probabilité d’un événement
Propriétés de la probabilité d’un événement
Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
Se familiariser avec la définition rigoureuse de la probabilité d’un
événement, les propriétés de cette probabilité et quelques
théorèmes utiles. Plus précisément:
• Définition et Propriétés de la probabilité d’un événement.
• Quelques théorèmes utiles.
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La probabilité d’un événement
Propriétés de la probabilité d’un événement
Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
Fréquence empirique:
Figure: Comment savoir si la pièce est truquée?.
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Propriétés de la probabilité d’un événement
Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
1 Un lancé : 1 Pile - on ne peut rien dire.
2 3 lancés: 2 Pile, un face - on peut rien dire.
3 300 lancés: 200 Pile, 100 face - on commence à se poser des
questions.
4 3000 lancés: 2000 Pile et 1000 Face - il est presque certain
que la pièce est truquée.
C’est la répétition de l’expérience qui nous apporte l’information.
Fréquence empirique de l’événement ”Pile”: 2000
3000 = 2
3.
Cette fréquence nous donne un idée de la chance de réalisation de
”Pile” car le nombre de lancés est grand.
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Propriétés de la probabilité d’un événement
Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
1 Considérons une expérience aléatoire donnée E et un
événement A pour cette expérience.
2 Supposons que l’on répète n fois l’expérience E.
3 Notons nA le nombre de fois où A est réalisé.
La fréquence empirique de A est la fréquence de réalisation de
A sur ces n coups:
fn(A) =
nA
n
4 Nous avons les propriétés suivantes:
fn(A) ∈ [0, 1]; fn(Ω) = 1
Si A ∩ B = ∅, on a fn(A
S
B) = fn(A) + fn(AB)
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La probabilité d’un événement
Propriétés de la probabilité d’un événement
Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
Approche intuitive d’une probabilité: associer à chaque événement
aléatoire A un nombre P(A) compris entre 0 et 1, qui représente la
chance (a priori) que cet événement soit réalisé.
Intuitivement,
P(A)= limite de fn(A) quand n tend vers +∞
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Propriétés de la probabilité d’un événement
Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
Definition
Soit S un espace échantillon. On appelle probabilité P sur (Ω, A)
une application,P : A → [0, 1], P(.) qui à tout événement A de S
associe un nombre réel P(A) vérifiant:
1 0 ≤ P(A) ≤ 1 pour tout A ∈ Ω
2 P(S) = 1.
3 Si A1, A2, ..., sont des événement deux à deux disjoints
(Ai
T
Aj = ∅ si i 6= j), alors :
P(
[
i
Ai ) =
X
i
p(Ai ).
Le triplet (Ω, A, P) s’appelle un espace probabilisé
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Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
Soit S un espace échantillon et A, B, C, ... des événements de S,
alors :
Propriétés
1) P(S) = 1, P(Ac) = 1 − P(A) et P(∅) = 0;
2) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B);
3) si A ⊆ B alors P(A) ≤ P(B);
3) P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩
C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C);
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Propriétés de la probabilité d’un événement
Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
On peut généraliser la règle précédente par le théorème de
Poincaré :
Theorem
P(
k
[
i=1
Ai ) =
k
X
i=1
P(Ai ) −
k
X
i<j=2
P(Ai ∩ Aj ) +
k
X
i<j<r=3
P(Ai ∩ Aj ∩ Ar )
+ . . . + (−1)r+1
X
i1<i2<...<ir
P(Ai1
∩ Ai2
∩ . . . ∩ Air
)
+ . . . + (−1)k+1
P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak ).
Autrement,
P(
n
[
i=1
Ai ) =
n
X
i=1
(−1)k+1
X
16i1<i2<...<ik 6n
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik
)

.
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Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
exemple
Dans une école 75% des élevés travaillent bien en Info (I), 20% en
A. Numérique (A) et 40% en Proba (P), 15% en (I) et en (A),
30% en (I) et en (P), 10% en (A) et (P) et 5% travaille dans les
trois matières. On prend un élève au hasard.
1) Quelle est la probabilité qu’il travaille au moins dans une des
trois matières?
2) Quelle est la probabilité que l’élève choisi travaille uniquement
dans une des trois matières?
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Probabilité conditionnelle
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Indépendance
exemple introductif
On jette deux dés parfaitement équilibrés et on désigne par
A :” la somme des résultats est supérieure ou égale à 10 ”.
Supposons que le point amené par le premier dé soit connu mais le
second dé soit encore à lancer.
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Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
exemple introductif
On jette deux dés parfaitement équilibrés et on désigne par
A :” la somme des résultats est supérieure ou égale à 10 ”.
Supposons que le point amené par le premier dé soit connu mais le
second dé soit encore à lancer.
Pour cette expérience l’espace échantionnal S = {(1, 1), ..., (6, 6)}
et A = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}.
D’où P(A) = 1/6.
En présence de l’information concernant le premier dé, il n’est plus
possible d’attribuer la probabilité 1/6 à l’événement A.
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exemple introductif
I En effet, si le premier dé a amené le point 2,
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exemple introductif
I En effet, si le premier dé a amené le point 2,
A est devenu irréalisable.
I Si par contre le premier dé a amené le point 6,
A sera réalisé si le point amené par le second est au moins
égal à 4. Il y a donc 3 cas favorables à la réalisation de A et 6
cas possibles.
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exemple introductif
I En effet, si le premier dé a amené le point 2,
A est devenu irréalisable.
I Si par contre le premier dé a amené le point 6,
A sera réalisé si le point amené par le second est au moins
égal à 4. Il y a donc 3 cas favorables à la réalisation de A et 6
cas possibles.
On dit que 3/6 est la probabilité conditionnelle de A sachant que
le premier dé a amené le point 6.
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Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
Une probabilité conditionnelle est la probabilité d’un
événement, étant donné qu’un autre événement a déjà lieu.
Au lieu de noter P(A), la probabilité d’un événement A donné,
on aurait pu écrire P(A|S) qui se lit : ”probabilité de A par
rapport à l’espace échantillonnal S”.
La probabilité conditionnelle de l’événement A, étant donné la
réalisation de l’événement B, se note P(A|B) ou (PB(A))
La probabilité conditionnelle de PB(.) est la restriction de
l’ensemble des résultats possibles S à B.
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Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
Definition
Soient A et B deux événements d’un espace échantillon S. On
définit la probabilité conditionnelle de A sachant(où étant donné)
B par :
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
, si P(B)  0
Figure: Probabilité conditionnelle P(A|B)
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Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
exemple d’application 2
Madame X a deux enfants, on considère les deux événements
suivants :
I Événement B : ”l’aı̂née est une fille”.
Quelle est la probabilité que l’événement A :” les deux enfants
sont des filles” se réalise?
I Événement C : ”Mme X a au moins une fille”.
Quelle est la probabilité que l’événement A se réalise?
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Diagramme en arbre
Figure: Arbre de probabilité.
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Indépendance
Les règles de calculs dans un arbre de probabilités :
Pour calculer la probabilité
d’un événement figurant au
bout d’une branche, on fait
le produit des probabilités
figurant sur les branches
conduisant à cet événement
(on parlera de la probabilité
du chemin). Cette règle
n’est autre que la propriété
des probabilités composées.
Par exemple ici
P(A ∩ E) = P(A) ∗ P(E|A)
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Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
La probabilité d’un
événement est la somme des
probabilités des chemins
conduisant à cet événement.
Cette règle est la formule
des probabilités totales. Par
exemple ici P(E) =
P(A) ∗ P(E|A) + P(B) ∗
P(E|B) + P(C) ∗ P(E|C)
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Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
La somme des probabilités
des branches ayant même
origine vaut 1. Ceci provient
du fait que sur les branches
figurent des probabilités et
que l’on a un système
complet d’événements. Par
exemple ici
P(E|A) + P(Ec|A) = 1
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Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
Règle de multiplication
P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B)
= P(A) × P(B|A).
On peut généraliser cette règle à un nombre fini d’événements :
Régle de Multiplication : cas génèral
Soit (Ai )1≤i≤n une famille d’événement de S, on a
P(
n

i=1
Ai ) =
n
Y
i=1
P(Ai |
i−1

j=1
Aj ).
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Propriétés de la probabilité d’un événement
Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
Historique
En statistiques, on sait calculer la
probabilité qu’une cause ait tel
ou tel effet. Thomas Bayes (1702
- 1761), mathématicien
britannique et pasteur de l’Église
presbytérienne, s’est attaqué au
problème inverse, celui du
raisonnement par induction ou
inférence: connaissant les effets,
quelles en sont les causes
probables?. D’où l’utilité de la
formule de Bayes.
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Probabilité conditionnelle
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Indépendance
Definition
Des événements B1, B2, ..., Bn forment une partition d’un espace
échantillon S si
a) Bi ∩ Bj = ∅ pour i 6= j;
b) B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bn = S.
Théorème des probabilités totales
Si B1, B2, ..., Bn forment une partition de S, alors, pour tout
événement A de S on a:
P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + . . . + P(A ∩ Bn)
=
n
X
i=1
P(Bi ) × P(A|Bi ).
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Théorème de Bayes
Si B1, B2, ..., Bn forment une partition de S, alors, pour tout
événement A de S on a:
P(Bk|A) =
P(BK ) × P(A|Bk)
Pn
i=1 P(Bi ) × P(A|Bi )
, k = 1, 2, . . . , n.
Figure: Le diagramme de Venn pour le théorème de Bayes.
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Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
Exemple d’application
Soit l’événement A : ”Avoir un cancer des poumons”
et l’événement B : ”Être fumeur régulier”.
I La probabilité d’avoir un cancer des poumons est de 0, 2.
I La probabilité pour une personne atteinte d’un cancer des
poumons d’être un fumeur régulier est de 0, 8.
I La probabilité pour une personne non atteinte d’un cancer des
poumons d’être un fumeur régulier est de 0, 1
1- Quelle est la probabilité d’être un fumeur régulier et de
développer un cancer des poumons ?
2- Quelle est la probabilité d’être un fumeur régulier ?
3- Quelle est la probabilité chez les fumeurs régulier de
développer un cancer des poumons ?
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exemple 2
Trois machines produisent des pièces de voitures. La machine M1
produit 40% du total des pièces, M2 produit 25% etM3 produit
35%. En moyenne, les pièces non conformes aux critères imposés
sont 10% pour M1, de 5% pour M2 et de 1% pour M3.
Une pièce défectueuse est choisie au hasard dans la production
totale des trois machines.
Quelle est la probabilité qu’elle ait été produite par M1?
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exemple introductif
Une expérience aléatoire consiste à lancer trois fois de suite une
pièce de monaie biaisé, tel que P(P) = p et P(F) = 1 − p.
I Construisez un arbre pondéré en précisant les probabilités.
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Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
Definition
On dit que deux événements sont indépendants si P(A|B) = P(A)
La réalisation de A est indépendante de la réalisation ou non de B.
Autrement dit, sachant que B est réalisé ou pas l’événement A a la
même probabilité qu’il soit réalisé.
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Indépendance
Definition
On dit que deux événements sont indépendants si
P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Remarque
Si deux événements A et B sont indépendants alors :
- A et Bc sont indépendants;
- Ac et B sont indépendants;
- Ac et Bc sont indépendants.
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Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
Remarque
Généralement, des événements A1, ...., An sont dits indépendants
si :
P(
n

i=1
Ai ) =
n
Y
i=1
P(Ai ).
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Propriétés de la probabilité d’un événement
Probabilité conditionnelle
Théorème de Bayes
Indépendance
exemple
On jette deux dés non pipés et on considère les évènements
suivants :
A1 : ”le premier dé donne un nombre pair”
A2 : ”le deuxième dé donne un nombre pair”
A3 : ”la somme des deux lancers est paire”
I Est que les évènements A1, A2 et A3 sont indépendants dans
leur ensemble?
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solution
Le nombre d’événements élémentaires est :
card(Ω) = 36 (arrangements avec répétitions avec p = 2 et n = 6)
Les 3 évènements A1, A2 et A3 sont 2 à 2 indépendants mais ne
sont pas indépendants dans leur ensemble.
En effet: Les probabilités associées aux 3 évènements sont
I P(A1) = 1
2; P(A2) = 1
2; P(A3) = 1
2
I P(A1 ∩ A2) = 9
36 = P(A1)P(A2)
I P(A1 ∩ A3) = 9
36 = P(A1)P(A3)
I P(A2 ∩ A3) = 9
36 = P(A2)P(A3)
I (P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 1
4) 6=
(P(A1)P(A2)P(A3) = 1
8)
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Introduction
Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Analyse combinatoire
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Introduction
Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui
étudie comment compter les objets. Elle fournit des méthodes de
dénombrements particulièrement utiles en théorie des
probabilités. Un exemple des applications intéressantes de cette
dernière est la démonstration du développement du binôme de
Newton utilisé dans le calcul des probabilités d’une loi binomiale.
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui
étudie comment compter les objets. Elle fournit des méthodes de
dénombrements particulièrement utiles en théorie des
probabilités. Un exemple des applications intéressantes de cette
dernière est la démonstration du développement du binôme de
Newton utilisé dans le calcul des probabilités d’une loi binomiale.
Notation
La cardinalité d’un ensemble Ω, notée card(Ω) = |Ω| = ]Ω, est le
nombre d’éléments contenus dans l’ensemble Ω.
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Principe de multiplication
Permet de compter le nombre de résultats d’expériences qui
peuvent se décomposer en une succession de sous-expériences.
Principe : suppose qu’une expérience est la succession de m
sous-expériences. Si la ième expérience a ni résultats possibles
pour i = 1, · · · , m, alors le nombre total de résultats possibles de
l’expérience globale est:
n =
m
Y
i=1
ni = n1n2 · · · nm
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permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Exemple
Vous achetez une valise à code 4 chiffres. On s’intéresse aux codes
composés des chiffres 0 et 1. Dans un premier temps, pour
visualiser et dénombrer tous ces codes, nous allons utiliser l’arbre
suivant :
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permutation
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Combinaisons et coefficients binomiaux
Figure: arbre des possibilités.
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Figure: arbre des possibilités.
Nombre de codes possible = nombre de chemins de cet arbre
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Figure: arbre des possibilités.
Nombre de codes possible = nombre de chemins de cet arbre
Solution
Le nombre total de code possible est 2.2.2.2 = 24.
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permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Exemple
Vous achetez une valise à code 4 chiffres. Combien de possibilités
avez-vous de choisir un code ?.
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Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Exemple
Vous achetez une valise à code 4 chiffres. Combien de possibilités
avez-vous de choisir un code ?.
Solution
m = 4 avec n1 = 10, n2 = 10, n3 = 10, n4 = 10, donc le nombre
total de code possible est 10.10.10.10 = 104.
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Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Permutation
Definition
Une permutation de n éléments distincts e1, · · · , en est un
réarrangement ordonné, sans répétition de ces n éléments.
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permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Permutation
Definition
Une permutation de n éléments distincts e1, · · · , en est un
réarrangement ordonné, sans répétition de ces n éléments.
Notation
La fonction ’factorielle’ est la fonction de domaine N = 0, 1, 2, · · ·
qui a tout n ∈ N associe n! = nx(n − 1)x · · · x3x2x1.
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Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Exemple
Quatre Américains, cinq Suisses et sept japonais doivent s’asseoir
sur un même banc, et doivent rester groupés par nationalité.
Combien y a-t-il de dispositions possibles ?
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permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Exemple
Quatre Américains, cinq Suisses et sept japonais doivent s’asseoir
sur un même banc, et doivent rester groupés par nationalité.
Combien y a-t-il de dispositions possibles ?
Solution
3!4!5!7!.
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permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Permutations d’objets partiellement
indistinguables
Théorème
Il y a
n!
n1!n2! · · · nr !
permutations différentes de n objets parmi lesquels n1 sont
indistinguables entre eux, n2 autres entre eux également, ...,nr
entre eux.
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
exemple
Parmi les 10 participants à un tournoi d’échec, on compte 4 russes,
3 américains et 2 anglais et un brésilien. Si dans le classement du
tournoi on ne peut lire que la liste des nationalités des joueurs mais
pas leur identité, à combien de classements individuels différents
une telle liste correspond-elle ?
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
exemple
Parmi les 10 participants à un tournoi d’échec, on compte 4 russes,
3 américains et 2 anglais et un brésilien. Si dans le classement du
tournoi on ne peut lire que la liste des nationalités des joueurs mais
pas leur identité, à combien de classements individuels différents
une telle liste correspond-elle ?
Solution
Il y a
10!
4!3!2!1!
classements possibles
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Definition
Un arrangement est une permutation de p éléments pris parmi n
éléments distincts. Les éléments sont pris sans répétition et sont
ordonnés, on a alors :
Ap
n = n!
(n−p)! avec 1 ≤ p ≤ n
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Exemple
Combien de mots de 3 lettres peuvent être formés dans un
alphabet de 26 lettres ?
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Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Exemple
Combien de mots de 3 lettres peuvent être formés dans un
alphabet de 26 lettres ?
Solution
263
= 17576
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Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Exemple
Combien de mots de 3 lettres peuvent être formés dans un
alphabet de 26 lettres ?
Solution
263
= 17576
exemple
Combien de mots de 3 lettres distinctes peuvent être formés dans
un alphabet de 26 lettres ?
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Exemple
Combien de mots de 3 lettres peuvent être formés dans un
alphabet de 26 lettres ?
Solution
263
= 17576
exemple
Combien de mots de 3 lettres distinctes peuvent être formés dans
un alphabet de 26 lettres ?
Solution
(A26,3 =)A3
26 = (26)(25)(24) = 15600.
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Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
exemple
Un drapeau est constitué de trois bandes verticales de couleurs.
I De combien de façons peut-on peindre les trois bandes de
couleurs différentes, en utilisant trois des 6 couleurs
fondamentales : bleu, jaune, rouge vert, violet, orange ?
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Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
exemple
Un drapeau est constitué de trois bandes verticales de couleurs.
I De combien de façons peut-on peindre les trois bandes de
couleurs différentes, en utilisant trois des 6 couleurs
fondamentales : bleu, jaune, rouge vert, violet, orange ?
Solution
(A6,3 =)A3
6 = (6)(5)(4) = 120.
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Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Definition
Une combinaison de p éléments pris dans un ensemble à n éléments
distincts est un sous-ensemble à p éléments de cet ensemble. Les
éléments sont pris sans répétition et ne sont pas ordonnés.
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Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Definition
Une combinaison de p éléments pris dans un ensemble à n éléments
distincts est un sous-ensemble à p éléments de cet ensemble. Les
éléments sont pris sans répétition et ne sont pas ordonnés.
Notation
Le nombre de combinaisons de p parmi n est noté Cn,p(Cp
n ) ou

n
p

Cp
n = n!
(n−p)!p! avec 1 ≤ p ≤ n
qui est appelé coefficient binomial.
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permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
exemple
on a 15 médicaments et on veut tester leur compatibilité en groupe
de 4. Combien y a-t-il de groupes possibles ?
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
exemple
on a 15 médicaments et on veut tester leur compatibilité en groupe
de 4. Combien y a-t-il de groupes possibles ?
Solution
(C15,4 =)C4
15 = 15!
4!11! = 1365.
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Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
exemple
On veut former un comité comprenant 3 des 20 personnes d’un
groupe.
I Combien y a t-il de ces comités?
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
exemple
On veut former un comité comprenant 3 des 20 personnes d’un
groupe.
I Combien y a t-il de ces comités?
Solution
(C20,3 =)C3
20 = 20!
3!17! = 1140
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Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Formule de Pascal
si 0 ≤ p ≤ n − 1 alors Cp−1
n−1 + Cp
n−1 = Cp
n
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Introduction
Quelques concepts de base
Probabilités
Analyse combinatoire
permutation
Arrangement
Combinaisons et coefficients binomiaux
Formule de Pascal
si 0 ≤ p ≤ n − 1 alors Cp−1
n−1 + Cp
n−1 = Cp
n
Formule de Newton
La formule du binôme de Newton correspond à la décomposition
des différents termes de la puissances neme du binôme (a + b)
∀(a, b) ∈ R, n ∈ N, (a + b)n =
Pn
p=0 Cp
n an−pbp
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permutation
Arrangement
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Figure: Résumé de type de tirage.
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  • 2. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Le paradoxe des anniversaires I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 3. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Le paradoxe des anniversaires est une estimation probabiliste du nombre de personnes que l’on doit réunir pour avoir une chance sur deux que deux personnes de ce groupe aient leur anniversaire le même jour. Il se trouve que ce nombre est 231, ce qui choque un peu l’intuition. À partir d’un groupe de 57 personnes, la probabilité est supérieure à 99 %. Cependant, il ne s’agit pas d’un paradoxe dans le sens de contradiction logique ; c’est un paradoxe, dans le sens où c’est une vérité mathématique qui contredit l’intuition : la plupart des gens estiment que cette probabilité est très inférieure à 50 %. p(n) = 365! (365 − n)! · 1 365n p(n) = 1 − p(n) Cette étude est due à Richard von Mises. Problème de Monty-Hall : Wikipedia, Jeu interactif I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 4. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Plan 1 Introduction Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement 2 Quelques concepts de base Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements 3 Probabilités La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
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  • 9. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement les probabilités Économie Biologie Psychologie
  • 10. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement les probabilités Économie Biologie Psychologie Les sciences de l’ingénieur I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
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  • 12. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement La théorie des probabilités a mis beaucoup de temps à émerger Très certainement d’origine arabe: az-zahr: le dé. En Inde, 4ème siècle,existence d’une science du dé et connaissance de ses rapports étroits avec une évaluation de type sondage. (Le Mahabharata) En Europe, aux 16-17èmes siècles, émergence d’une science du jeu de dé.Cardan, Kepler, Galilée. Théorie rigoureuse: Pascal. Résolution de controverses juridiques (Fermat, Leibniz). Autre impulsion motivée par des problèmes d’assurance (tables de mortalité et rentes viagères). Développement des Statistiques: outil puissant pour les organismes de décision... I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 13. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Les développements mathématiques Les probabilités sont un outil privilégié de modélisation des comportements humains, mais deviennent aussi un grand champ de développement des Mathématiques. 19ème siècle et début 20ème siècle: Essor des probabilités grâce aux méthodes d’analyse. Calcul intégral et différentiel (Laplace, Gauss) Théorie de la mesure (Borel, Lebesgue). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 14. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Les développements mathématiques Les probabilités sont un outil privilégié de modélisation des comportements humains, mais deviennent aussi un grand champ de développement des Mathématiques. 19ème siècle et début 20ème siècle: Essor des probabilités grâce aux méthodes d’analyse. Calcul intégral et différentiel (Laplace, Gauss) Théorie de la mesure (Borel, Lebesgue). A partir du 20ème siècle: Etude de phénomènes aléatoires qui évoluent au cours du temps.Processus de Markov Problèmes de Physique statistique, Mouvement Brownien. Problèmes de démographie. Processus de branchement, Processus de Poisson. Théorie statistique, biométrie I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 15. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Aujourd’hui Le modèle probabiliste actuel: Kolmogorov - 1933. Calcul stochastique: Itô, à partir de 1945. Calcul intégral lié au mouvement brownien. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 16. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Aujourd’hui Le modèle probabiliste actuel: Kolmogorov - 1933. Calcul stochastique: Itô, à partir de 1945. Calcul intégral lié au mouvement brownien. Très grand essor dans la deuxième moitié du 20ème siècle. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 17. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Aujourd’hui Le modèle probabiliste actuel: Kolmogorov - 1933. Calcul stochastique: Itô, à partir de 1945. Calcul intégral lié au mouvement brownien. Très grand essor dans la deuxième moitié du 20ème siècle. Les probabilités interviennent dans de nombreux développements mathématiques récents I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 18. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Probabilité vs Statistique Probabilités : Modèle est complètement spécifié But est d’exploiter le modèle pour prendre des décisions I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 19. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Probabilité vs Statistique Probabilités : Modèle est complètement spécifié But est d’exploiter le modèle pour prendre des décisions Raisonnement déductif I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 20. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Probabilité vs Statistique Probabilités : Modèle est complètement spécifié But est d’exploiter le modèle pour prendre des décisions Raisonnement déductif Statistique : Modèle est inconnu, mais on dispose d’observations But est de compléter le modèle à l’aide des observations I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 21. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Probabilité vs Statistique Probabilités : Modèle est complètement spécifié But est d’exploiter le modèle pour prendre des décisions Raisonnement déductif Statistique : Modèle est inconnu, mais on dispose d’observations But est de compléter le modèle à l’aide des observations Raisonnement inductif I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 22. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Probabilité vs Statistique Probabilités : Modèle est complètement spécifié But est d’exploiter le modèle pour prendre des décisions Raisonnement déductif Statistique : Modèle est inconnu, mais on dispose d’observations But est de compléter le modèle à l’aide des observations Raisonnement inductif Dans de nombreuses applications, on peut très bien utiliser le calcul des probabilités sans faire appel à la statistique. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 23. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Probabilité vs Statistique Probabilités : Modèle est complètement spécifié But est d’exploiter le modèle pour prendre des décisions Raisonnement déductif Statistique : Modèle est inconnu, mais on dispose d’observations But est de compléter le modèle à l’aide des observations Raisonnement inductif Dans de nombreuses applications, on peut très bien utiliser le calcul des probabilités sans faire appel à la statistique. Il est presque impossible de faire de la statistique sans faire appel au calcul des probabilités. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 24. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Problème de prédiction: On cherche à établir les conséquences probables d’un certain nombre de choix, sachant que les conséquences peuvent aussi être influencées par des facteurs aléatoires exogènes. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 25. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Problème de prédiction: On cherche à établir les conséquences probables d’un certain nombre de choix, sachant que les conséquences peuvent aussi être influencées par des facteurs aléatoires exogènes. Problème de diagnostic : On veut inférer les causes probables d’un phénomène observé à partir de l’observation de ses conséquences. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 26. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Problème de prédiction: On cherche à établir les conséquences probables d’un certain nombre de choix, sachant que les conséquences peuvent aussi être influencées par des facteurs aléatoires exogènes. Problème de diagnostic : On veut inférer les causes probables d’un phénomène observé à partir de l’observation de ses conséquences. Problème de décision séquentielle : On cherche à établir une stratégie permettant d’adapter son comportement à des informations qui seront collectées ultérieurement. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 27. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Exemple de problème de prédiction Il faut décider s’il est intéressant d’investir dans la construction d’une ligne électrique pour relier deux villes (ou deux pays, ou deux ı̂les, ou deux continents...). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 28. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Exemple de problème de prédiction Il faut décider s’il est intéressant d’investir dans la construction d’une ligne électrique pour relier deux villes (ou deux pays, ou deux ı̂les, ou deux continents...). Il faut prédire la probabilité de défaillance, et la quantité moyenne d’énergie non desservie, dans deux hypothèses : sans la ligne, et avec la ( les) ligne(s) en place, puis arbitrer en fonction du coût de construction d’une ligne. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 29. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Exemple de problème de diagnostic Ayant l’information que la voiture ne démarre pas, et sachant qu’on a fait récemment le plein et que la radio fonctionne encore, on cherche l’explication la plus probable de la panne (noeuds entourés en rouge). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 30. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Domaines d’application des probabilités Les développements de la théorie de Probabilité Les Problèmes de Raisonnement Exemple de problème de décision séquentielle Malgré l’incertitude sur les conditions du marché de l’électricité du lendemain, il faut planifier la veille quelles centrales électriques seront en service le lendemain, sachant qu’il est possible d’ajuster le lendemain le niveau de production de ces centrales. On souhaite maximiser le bénéfice économique. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 31. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Motivation Pour formaliser un problème dans lequel le hasard intervient, on doit construire un modèle probabiliste, choisi en fonction du but que l’on poursuit. Ce modèle est constitué d’un ensemble fondamental, d’une tribu d’événements et d’une probabilité. Le choix de l’ensemble fondamental est très important pour le calcul ultérieur des probabilités des événements. Nous introduirons aussi les notions de probabilité conditionnelle et d’indépendance. La formule de Bayes est souvent très utile pour le calcul de probabilités conditionnelles. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 32. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Construire l’espace de probabilité consiste à : Définir: • Expérience aléatoire, espace échantillonnal, événement. Comprendre: • Ensemble vide, réunion, intersection, complémentaire. Présenter: • Diagramme de Venn. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 33. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Definition On appelle expérience aléatoire une expérience E qui, reproduite dans des conditions identiques, peut conduire à plusieurs résultats possibles, et dont on ne peut prévoir le résultat par avance. et dans des conditions fixées: 1 Connaı̂t l’ensemble des résultats possibles; I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 34. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Definition On appelle expérience aléatoire une expérience E qui, reproduite dans des conditions identiques, peut conduire à plusieurs résultats possibles, et dont on ne peut prévoir le résultat par avance. et dans des conditions fixées: 1 Connaı̂t l’ensemble des résultats possibles; 2 On ne peut prédire avec certitude le résultat que l’on obtiendra. Les éléments ou sous-ensembles de cet ensemble doivent vérifier les conditions suivantes : • Mutuellement exclusif. • Collectivement exhaustif. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 35. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Definition L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire constitue l’espace échantillonnal (ou l’Univers) de l’expérience; noté traditionnellement par Ω ou S. Un espace échantillonnal peut être fini, infini dénombrable, infini (non dénombrable), ou un mélange de plusieurs types. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 36. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Definition L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire constitue l’espace échantillonnal (ou l’Univers) de l’expérience; noté traditionnellement par Ω ou S. Un espace échantillonnal peut être fini, infini dénombrable, infini (non dénombrable), ou un mélange de plusieurs types. exemple 1 l’expérience (E) consistant à ”Lancer un dé et noter le résultat obtenu” est une expérience aléatoire comportant 6 résultats; I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 37. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements exemple 1 On lance une pièce: I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 38. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements exemple 1 On lance une pièce: Ω = {P, F}, assimilé à Ω = {0, 1}, 2 On lance un dé n fois : I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 39. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements exemple 1 On lance une pièce: Ω = {P, F}, assimilé à Ω = {0, 1}, 2 On lance un dé n fois : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n 3 Romeo attend Juliette qui lui a promis d’arriver entre minuit et une heure: I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 40. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements exemple 1 On lance une pièce: Ω = {P, F}, assimilé à Ω = {0, 1}, 2 On lance un dé n fois : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n 3 Romeo attend Juliette qui lui a promis d’arriver entre minuit et une heure: Ω = [0; 1] 4 On étudie la durée de vie d’une bactérie: I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 41. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements exemple 1 On lance une pièce: Ω = {P, F}, assimilé à Ω = {0, 1}, 2 On lance un dé n fois : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n 3 Romeo attend Juliette qui lui a promis d’arriver entre minuit et une heure: Ω = [0; 1] 4 On étudie la durée de vie d’une bactérie: Ω = [0; +∞] 5 On étudie la durée d’une communication téléphonique: I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 42. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements exemple 1 On lance une pièce: Ω = {P, F}, assimilé à Ω = {0, 1}, 2 On lance un dé n fois : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n 3 Romeo attend Juliette qui lui a promis d’arriver entre minuit et une heure: Ω = [0; 1] 4 On étudie la durée de vie d’une bactérie: Ω = [0; +∞] 5 On étudie la durée d’une communication téléphonique: Ω = [0; +∞] 6 On envoie une fléchette sur une cible circulaire de 30 cm de diamètre: I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 43. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements exemple 1 On lance une pièce: Ω = {P, F}, assimilé à Ω = {0, 1}, 2 On lance un dé n fois : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n 3 Romeo attend Juliette qui lui a promis d’arriver entre minuit et une heure: Ω = [0; 1] 4 On étudie la durée de vie d’une bactérie: Ω = [0; +∞] 5 On étudie la durée d’une communication téléphonique: Ω = [0; +∞] 6 On envoie une fléchette sur une cible circulaire de 30 cm de diamètre: Ω = {(x, y), p x2 + y2 6 15} I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 44. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Quelle information pouvons-nous tirer de l’expérience? Exemple : Le jeu de fléchettes 1 On s’intéresse à la chance de tomber dans une des couronnes ou un des secteurs de la cible. 2 Les résultats du jeu peuvent se décrire à l’aide de parties du disque. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 45. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Definition On appelle événement aléatoire (associé à l’expérience E) un sous-ensemble de Ω dont on peut dire au vu de l’expérience s’il est réalisé ou non. Un événement aléatoire A est donc une partie de Ω exemple Pour l’expérience (E) consistant à lancer un dé une fois à six faces on a S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 1 L’événement A : ”Le résultat du lancer est un nombre impair” I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 46. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Definition On appelle événement aléatoire (associé à l’expérience E) un sous-ensemble de Ω dont on peut dire au vu de l’expérience s’il est réalisé ou non. Un événement aléatoire A est donc une partie de Ω exemple Pour l’expérience (E) consistant à lancer un dé une fois à six faces on a S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 1 L’événement A : ”Le résultat du lancer est un nombre impair” 2 L’événement B : ”Le résultat est un nombre plus grand que 2 mais différent de 5” . I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 47. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements exemple 1 Jet d’un dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {2, 4, 6} : I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 48. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements exemple 1 Jet d’un dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {2, 4, 6} : ”obtenir un nombre paire” 2 Le jet successif de n pièces de monaie, S={P, F}n ( pour n = 2, on a S = {PP, PF, FP, FF} = {P, F}2), A = {P} × {P, F}n−1 : I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 49. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements exemple 1 Jet d’un dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {2, 4, 6} : ”obtenir un nombre paire” 2 Le jet successif de n pièces de monaie, S={P, F}n ( pour n = 2, on a S = {PP, PF, FP, FF} = {P, F}2), A = {P} × {P, F}n−1 : ”Le premier lancer est pile”. 3 La durée de vie d’une ampoule. S = R+ A = [100, +∞[: I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 50. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements exemple 1 Jet d’un dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {2, 4, 6} : ”obtenir un nombre paire” 2 Le jet successif de n pièces de monaie, S={P, F}n ( pour n = 2, on a S = {PP, PF, FP, FF} = {P, F}2), A = {P} × {P, F}n−1 : ”Le premier lancer est pile”. 3 La durée de vie d’une ampoule. S = R+ A = [100, +∞[: ”l’ampoule fonctionne plus de cent heures” I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 51. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Ensemble vide Un événement d’un espace échantillonnal S qui ne contient aucun résultat, est un ensemble vide, noté ∅. L’ensemble vide est (l’événement impossible). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 52. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Ensemble vide Un événement d’un espace échantillonnal S qui ne contient aucun résultat, est un ensemble vide, noté ∅. L’ensemble vide est (l’événement impossible). Union Si (Ai )16i6n sont des événements, alors ∪n i=1Ai est l’événement qui représente la réalisation d’au moins un des Ai , i = 1, 2, ..., n. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 53. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Ensemble vide Un événement d’un espace échantillonnal S qui ne contient aucun résultat, est un ensemble vide, noté ∅. L’ensemble vide est (l’événement impossible). Union Si (Ai )16i6n sont des événements, alors ∪n i=1Ai est l’événement qui représente la réalisation d’au moins un des Ai , i = 1, 2, ..., n. Intersection Si (Ai )16i6n sont des événements, alors ∩n i=1Ai est l’événement qui représente la réalisation de tous les Ai , i = 1, 2, ..., n. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 54. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Ensemble vide Un événement d’un espace échantillonnal S qui ne contient aucun résultat, est un ensemble vide, noté ∅. L’ensemble vide est (l’événement impossible). Union Si (Ai )16i6n sont des événements, alors ∪n i=1Ai est l’événement qui représente la réalisation d’au moins un des Ai , i = 1, 2, ..., n. Intersection Si (Ai )16i6n sont des événements, alors ∩n i=1Ai est l’événement qui représente la réalisation de tous les Ai , i = 1, 2, ..., n. Complémentaire Si A est un événement, alors A (A complément) est l’événement qui représente la non réalisation de A. Autres notations : Ac. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 55. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Règle de Morgan Si A1, A2, ..., An sont des événements, alors 1 A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An. 2 A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 56. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Une manière de représenter l’information reliée à un problème de probabilité est d’illustrer par un schéma : l’espace échantillonnal, tous les événements impliqués et tous les sous-ensembles qui sont formés quand des événements se recoupent. L’un des schémas les plus utilisés pour représenter l’espace échantillonnal et les événements est le diagramme de Venn. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 57. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Figure: Diagramme de Venn. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 58. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Le couple (Ω, P(Ω)) s’appelle un espace probabilisable. Même si Ω est fini, le cardinal de P(Ω) peut être un nombre très grand et dans ce cas on est amené alors à ne considerer qu’une famille restreinte A de parties de Ω , A ⊂ P(Ω). Pour que le résultat des opération ensemblistes (union, intersection, complémentaire) soit encore un événement, il est nécessaire que la famille d’événements qui a été retenue soit fermée, ou stable, vis-a-vis de ces opérations, c’est-à-dire qu’il soit bien un élément de la famille. De plus, les événements ”certain” Ω ”impossible” ∅ doivent également appartenir à cet ensemble. Ainsi, on associera à une épreuve aléatoire un ensemble non vide de parties de Ω , note A, qui verifiera : I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 59. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements C1 Pour tout A ∈ A, alors A ∈ A; C2 Pour tout A ∈ A et tout B ∈ A, alors A ∪ B ∈ A. Il y a fermeture pour le complémentaire et l’union. Cet ensemble A s’appelle une algèbre de parties de Ω . Grâce aux régles de Morgan, on a une définition équivalente en remplaçant la condition C2 par : C0 2 Pour tout A ∈ A et tout B ∈ A, alors A ∩ B ∈ A I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 60. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Propriété d’une Algèbre P1 La famille étant non vide, on en conclut que: ∅ ∈ A et ; Ω ∈ A P2 Si Ak ∈ A pour 1 ≤ k ≤ n, on démontre par récurrence que : Sn k=1 Ak ∈ A. P3 Si Ak ∈ A pour 1 ≤ k ≤ n, on démontre par récurrence que : Tn k=1 Ak ∈ A. Cependant, certaines expériences peuvent se dérouler indéfiniment et on a donc besoin de renforcer la propriété P2 de fermeture pour l’union finie par une condtion de fermeture pour l’union dénombrable, soit: C3 Si An ∈ A pour tout n ∈ N, alors S∞ n=0 An ∈ A. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 61. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire Objectifs visés Expérience aléatoire, espace échantillonnal et événement Ensemble vide, Union, Intersection et Complémentaire Diagramme de Venn Algèbre et tribu d’événements Cette condition exprime que toute union dénombrable d’événements est encore un événement. L’ensemble A auquel on impose les conditions C1 et C3 s’appelle alors une σ-algèbre ou Tribu d’événements. Le couple formé de l’ensemble fondamental S et de la Tribu d’événement associée A s’appelle unespace probabilisable. exemple : Algèbre grossière d’événements 1 {∅, Ω} est une algèbre d’événements, appelée l’algèbre grossière des événement. 2 Soit A une partie de Ω . Montrer que A = {∅, A, Ac, Ω} est une tribu sur Ω (Algèbre de Bernoulli d’événements). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 62. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Se familiariser avec la définition rigoureuse de la probabilité d’un événement, les propriétés de cette probabilité et quelques théorèmes utiles. Plus précisément: • Définition et Propriétés de la probabilité d’un événement. • Quelques théorèmes utiles. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 63. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Fréquence empirique: Figure: Comment savoir si la pièce est truquée?. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 64. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance 1 Un lancé : 1 Pile - on ne peut rien dire. 2 3 lancés: 2 Pile, un face - on peut rien dire. 3 300 lancés: 200 Pile, 100 face - on commence à se poser des questions. 4 3000 lancés: 2000 Pile et 1000 Face - il est presque certain que la pièce est truquée. C’est la répétition de l’expérience qui nous apporte l’information. Fréquence empirique de l’événement ”Pile”: 2000 3000 = 2 3. Cette fréquence nous donne un idée de la chance de réalisation de ”Pile” car le nombre de lancés est grand. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 65. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance 1 Considérons une expérience aléatoire donnée E et un événement A pour cette expérience. 2 Supposons que l’on répète n fois l’expérience E. 3 Notons nA le nombre de fois où A est réalisé. La fréquence empirique de A est la fréquence de réalisation de A sur ces n coups: fn(A) = nA n 4 Nous avons les propriétés suivantes: fn(A) ∈ [0, 1]; fn(Ω) = 1 Si A ∩ B = ∅, on a fn(A S B) = fn(A) + fn(AB) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 66. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Approche intuitive d’une probabilité: associer à chaque événement aléatoire A un nombre P(A) compris entre 0 et 1, qui représente la chance (a priori) que cet événement soit réalisé. Intuitivement, P(A)= limite de fn(A) quand n tend vers +∞ I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 67. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Definition Soit S un espace échantillon. On appelle probabilité P sur (Ω, A) une application,P : A → [0, 1], P(.) qui à tout événement A de S associe un nombre réel P(A) vérifiant: 1 0 ≤ P(A) ≤ 1 pour tout A ∈ Ω 2 P(S) = 1. 3 Si A1, A2, ..., sont des événement deux à deux disjoints (Ai T Aj = ∅ si i 6= j), alors : P( [ i Ai ) = X i p(Ai ). Le triplet (Ω, A, P) s’appelle un espace probabilisé I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 68. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Soit S un espace échantillon et A, B, C, ... des événements de S, alors : Propriétés 1) P(S) = 1, P(Ac) = 1 − P(A) et P(∅) = 0; 2) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); 3) si A ⊆ B alors P(A) ≤ P(B); 3) P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C); I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 69. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance On peut généraliser la règle précédente par le théorème de Poincaré : Theorem P( k [ i=1 Ai ) = k X i=1 P(Ai ) − k X i<j=2 P(Ai ∩ Aj ) + k X i<j<r=3 P(Ai ∩ Aj ∩ Ar ) + . . . + (−1)r+1 X i1<i2<...<ir P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Air ) + . . . + (−1)k+1 P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak ). Autrement, P( n [ i=1 Ai ) = n X i=1 (−1)k+1 X 16i1<i2<...<ik 6n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) . I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 70. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance exemple Dans une école 75% des élevés travaillent bien en Info (I), 20% en A. Numérique (A) et 40% en Proba (P), 15% en (I) et en (A), 30% en (I) et en (P), 10% en (A) et (P) et 5% travaille dans les trois matières. On prend un élève au hasard. 1) Quelle est la probabilité qu’il travaille au moins dans une des trois matières? 2) Quelle est la probabilité que l’élève choisi travaille uniquement dans une des trois matières? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 71. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance exemple introductif On jette deux dés parfaitement équilibrés et on désigne par A :” la somme des résultats est supérieure ou égale à 10 ”. Supposons que le point amené par le premier dé soit connu mais le second dé soit encore à lancer. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 72. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance exemple introductif On jette deux dés parfaitement équilibrés et on désigne par A :” la somme des résultats est supérieure ou égale à 10 ”. Supposons que le point amené par le premier dé soit connu mais le second dé soit encore à lancer. Pour cette expérience l’espace échantionnal S = {(1, 1), ..., (6, 6)} et A = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. D’où P(A) = 1/6. En présence de l’information concernant le premier dé, il n’est plus possible d’attribuer la probabilité 1/6 à l’événement A. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 73. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance exemple introductif I En effet, si le premier dé a amené le point 2, I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 74. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance exemple introductif I En effet, si le premier dé a amené le point 2, A est devenu irréalisable. I Si par contre le premier dé a amené le point 6, A sera réalisé si le point amené par le second est au moins égal à 4. Il y a donc 3 cas favorables à la réalisation de A et 6 cas possibles. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 75. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance exemple introductif I En effet, si le premier dé a amené le point 2, A est devenu irréalisable. I Si par contre le premier dé a amené le point 6, A sera réalisé si le point amené par le second est au moins égal à 4. Il y a donc 3 cas favorables à la réalisation de A et 6 cas possibles. On dit que 3/6 est la probabilité conditionnelle de A sachant que le premier dé a amené le point 6. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 76. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Une probabilité conditionnelle est la probabilité d’un événement, étant donné qu’un autre événement a déjà lieu. Au lieu de noter P(A), la probabilité d’un événement A donné, on aurait pu écrire P(A|S) qui se lit : ”probabilité de A par rapport à l’espace échantillonnal S”. La probabilité conditionnelle de l’événement A, étant donné la réalisation de l’événement B, se note P(A|B) ou (PB(A)) La probabilité conditionnelle de PB(.) est la restriction de l’ensemble des résultats possibles S à B. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 77. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Definition Soient A et B deux événements d’un espace échantillon S. On définit la probabilité conditionnelle de A sachant(où étant donné) B par : P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) , si P(B) 0 Figure: Probabilité conditionnelle P(A|B) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 78. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance exemple d’application 2 Madame X a deux enfants, on considère les deux événements suivants : I Événement B : ”l’aı̂née est une fille”. Quelle est la probabilité que l’événement A :” les deux enfants sont des filles” se réalise? I Événement C : ”Mme X a au moins une fille”. Quelle est la probabilité que l’événement A se réalise? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 79. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Diagramme en arbre Figure: Arbre de probabilité. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 80. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Les règles de calculs dans un arbre de probabilités : Pour calculer la probabilité d’un événement figurant au bout d’une branche, on fait le produit des probabilités figurant sur les branches conduisant à cet événement (on parlera de la probabilité du chemin). Cette règle n’est autre que la propriété des probabilités composées. Par exemple ici P(A ∩ E) = P(A) ∗ P(E|A) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 81. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement. Cette règle est la formule des probabilités totales. Par exemple ici P(E) = P(A) ∗ P(E|A) + P(B) ∗ P(E|B) + P(C) ∗ P(E|C) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 82. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance La somme des probabilités des branches ayant même origine vaut 1. Ceci provient du fait que sur les branches figurent des probabilités et que l’on a un système complet d’événements. Par exemple ici P(E|A) + P(Ec|A) = 1 I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 83. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Règle de multiplication P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A). On peut généraliser cette règle à un nombre fini d’événements : Régle de Multiplication : cas génèral Soit (Ai )1≤i≤n une famille d’événement de S, on a P( n i=1 Ai ) = n Y i=1 P(Ai | i−1 j=1 Aj ). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 84. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Historique En statistiques, on sait calculer la probabilité qu’une cause ait tel ou tel effet. Thomas Bayes (1702 - 1761), mathématicien britannique et pasteur de l’Église presbytérienne, s’est attaqué au problème inverse, celui du raisonnement par induction ou inférence: connaissant les effets, quelles en sont les causes probables?. D’où l’utilité de la formule de Bayes. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 85. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Definition Des événements B1, B2, ..., Bn forment une partition d’un espace échantillon S si a) Bi ∩ Bj = ∅ pour i 6= j; b) B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bn = S. Théorème des probabilités totales Si B1, B2, ..., Bn forment une partition de S, alors, pour tout événement A de S on a: P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + . . . + P(A ∩ Bn) = n X i=1 P(Bi ) × P(A|Bi ). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 86. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Théorème de Bayes Si B1, B2, ..., Bn forment une partition de S, alors, pour tout événement A de S on a: P(Bk|A) = P(BK ) × P(A|Bk) Pn i=1 P(Bi ) × P(A|Bi ) , k = 1, 2, . . . , n. Figure: Le diagramme de Venn pour le théorème de Bayes. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 87. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Exemple d’application Soit l’événement A : ”Avoir un cancer des poumons” et l’événement B : ”Être fumeur régulier”. I La probabilité d’avoir un cancer des poumons est de 0, 2. I La probabilité pour une personne atteinte d’un cancer des poumons d’être un fumeur régulier est de 0, 8. I La probabilité pour une personne non atteinte d’un cancer des poumons d’être un fumeur régulier est de 0, 1 1- Quelle est la probabilité d’être un fumeur régulier et de développer un cancer des poumons ? 2- Quelle est la probabilité d’être un fumeur régulier ? 3- Quelle est la probabilité chez les fumeurs régulier de développer un cancer des poumons ? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 88. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance exemple 2 Trois machines produisent des pièces de voitures. La machine M1 produit 40% du total des pièces, M2 produit 25% etM3 produit 35%. En moyenne, les pièces non conformes aux critères imposés sont 10% pour M1, de 5% pour M2 et de 1% pour M3. Une pièce défectueuse est choisie au hasard dans la production totale des trois machines. Quelle est la probabilité qu’elle ait été produite par M1? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 89. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance exemple introductif Une expérience aléatoire consiste à lancer trois fois de suite une pièce de monaie biaisé, tel que P(P) = p et P(F) = 1 − p. I Construisez un arbre pondéré en précisant les probabilités. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 90. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 91. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Definition On dit que deux événements sont indépendants si P(A|B) = P(A) La réalisation de A est indépendante de la réalisation ou non de B. Autrement dit, sachant que B est réalisé ou pas l’événement A a la même probabilité qu’il soit réalisé. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 92. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Definition On dit que deux événements sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Remarque Si deux événements A et B sont indépendants alors : - A et Bc sont indépendants; - Ac et B sont indépendants; - Ac et Bc sont indépendants. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 93. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance Remarque Généralement, des événements A1, ...., An sont dits indépendants si : P( n i=1 Ai ) = n Y i=1 P(Ai ). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 94. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance exemple On jette deux dés non pipés et on considère les évènements suivants : A1 : ”le premier dé donne un nombre pair” A2 : ”le deuxième dé donne un nombre pair” A3 : ”la somme des deux lancers est paire” I Est que les évènements A1, A2 et A3 sont indépendants dans leur ensemble? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 95. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire La probabilité d’un événement Propriétés de la probabilité d’un événement Probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Indépendance solution Le nombre d’événements élémentaires est : card(Ω) = 36 (arrangements avec répétitions avec p = 2 et n = 6) Les 3 évènements A1, A2 et A3 sont 2 à 2 indépendants mais ne sont pas indépendants dans leur ensemble. En effet: Les probabilités associées aux 3 évènements sont I P(A1) = 1 2; P(A2) = 1 2; P(A3) = 1 2 I P(A1 ∩ A2) = 9 36 = P(A1)P(A2) I P(A1 ∩ A3) = 9 36 = P(A1)P(A3) I P(A2 ∩ A3) = 9 36 = P(A2)P(A3) I (P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 1 4) 6= (P(A1)P(A2)P(A3) = 1 8) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 96. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Analyse combinatoire I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 97. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie comment compter les objets. Elle fournit des méthodes de dénombrements particulièrement utiles en théorie des probabilités. Un exemple des applications intéressantes de cette dernière est la démonstration du développement du binôme de Newton utilisé dans le calcul des probabilités d’une loi binomiale. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 98. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie comment compter les objets. Elle fournit des méthodes de dénombrements particulièrement utiles en théorie des probabilités. Un exemple des applications intéressantes de cette dernière est la démonstration du développement du binôme de Newton utilisé dans le calcul des probabilités d’une loi binomiale. Notation La cardinalité d’un ensemble Ω, notée card(Ω) = |Ω| = ]Ω, est le nombre d’éléments contenus dans l’ensemble Ω. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 99. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Principe de multiplication Permet de compter le nombre de résultats d’expériences qui peuvent se décomposer en une succession de sous-expériences. Principe : suppose qu’une expérience est la succession de m sous-expériences. Si la ième expérience a ni résultats possibles pour i = 1, · · · , m, alors le nombre total de résultats possibles de l’expérience globale est: n = m Y i=1 ni = n1n2 · · · nm I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 100. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Exemple Vous achetez une valise à code 4 chiffres. On s’intéresse aux codes composés des chiffres 0 et 1. Dans un premier temps, pour visualiser et dénombrer tous ces codes, nous allons utiliser l’arbre suivant : I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 101. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Figure: arbre des possibilités. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 102. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Figure: arbre des possibilités. Nombre de codes possible = nombre de chemins de cet arbre I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 103. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Figure: arbre des possibilités. Nombre de codes possible = nombre de chemins de cet arbre Solution Le nombre total de code possible est 2.2.2.2 = 24. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 104. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Exemple Vous achetez une valise à code 4 chiffres. Combien de possibilités avez-vous de choisir un code ?. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 105. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Exemple Vous achetez une valise à code 4 chiffres. Combien de possibilités avez-vous de choisir un code ?. Solution m = 4 avec n1 = 10, n2 = 10, n3 = 10, n4 = 10, donc le nombre total de code possible est 10.10.10.10 = 104. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 106. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Permutation Definition Une permutation de n éléments distincts e1, · · · , en est un réarrangement ordonné, sans répétition de ces n éléments. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 107. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Permutation Definition Une permutation de n éléments distincts e1, · · · , en est un réarrangement ordonné, sans répétition de ces n éléments. Notation La fonction ’factorielle’ est la fonction de domaine N = 0, 1, 2, · · · qui a tout n ∈ N associe n! = nx(n − 1)x · · · x3x2x1. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 108. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Exemple Quatre Américains, cinq Suisses et sept japonais doivent s’asseoir sur un même banc, et doivent rester groupés par nationalité. Combien y a-t-il de dispositions possibles ? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 109. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Exemple Quatre Américains, cinq Suisses et sept japonais doivent s’asseoir sur un même banc, et doivent rester groupés par nationalité. Combien y a-t-il de dispositions possibles ? Solution 3!4!5!7!. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 110. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Permutations d’objets partiellement indistinguables Théorème Il y a n! n1!n2! · · · nr ! permutations différentes de n objets parmi lesquels n1 sont indistinguables entre eux, n2 autres entre eux également, ...,nr entre eux. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 111. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux exemple Parmi les 10 participants à un tournoi d’échec, on compte 4 russes, 3 américains et 2 anglais et un brésilien. Si dans le classement du tournoi on ne peut lire que la liste des nationalités des joueurs mais pas leur identité, à combien de classements individuels différents une telle liste correspond-elle ? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 112. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux exemple Parmi les 10 participants à un tournoi d’échec, on compte 4 russes, 3 américains et 2 anglais et un brésilien. Si dans le classement du tournoi on ne peut lire que la liste des nationalités des joueurs mais pas leur identité, à combien de classements individuels différents une telle liste correspond-elle ? Solution Il y a 10! 4!3!2!1! classements possibles I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 113. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Definition Un arrangement est une permutation de p éléments pris parmi n éléments distincts. Les éléments sont pris sans répétition et sont ordonnés, on a alors : Ap n = n! (n−p)! avec 1 ≤ p ≤ n I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 114. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Exemple Combien de mots de 3 lettres peuvent être formés dans un alphabet de 26 lettres ? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 115. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Exemple Combien de mots de 3 lettres peuvent être formés dans un alphabet de 26 lettres ? Solution 263 = 17576 I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 116. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Exemple Combien de mots de 3 lettres peuvent être formés dans un alphabet de 26 lettres ? Solution 263 = 17576 exemple Combien de mots de 3 lettres distinctes peuvent être formés dans un alphabet de 26 lettres ? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 117. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Exemple Combien de mots de 3 lettres peuvent être formés dans un alphabet de 26 lettres ? Solution 263 = 17576 exemple Combien de mots de 3 lettres distinctes peuvent être formés dans un alphabet de 26 lettres ? Solution (A26,3 =)A3 26 = (26)(25)(24) = 15600. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 118. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux exemple Un drapeau est constitué de trois bandes verticales de couleurs. I De combien de façons peut-on peindre les trois bandes de couleurs différentes, en utilisant trois des 6 couleurs fondamentales : bleu, jaune, rouge vert, violet, orange ? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 119. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux exemple Un drapeau est constitué de trois bandes verticales de couleurs. I De combien de façons peut-on peindre les trois bandes de couleurs différentes, en utilisant trois des 6 couleurs fondamentales : bleu, jaune, rouge vert, violet, orange ? Solution (A6,3 =)A3 6 = (6)(5)(4) = 120. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 120. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Definition Une combinaison de p éléments pris dans un ensemble à n éléments distincts est un sous-ensemble à p éléments de cet ensemble. Les éléments sont pris sans répétition et ne sont pas ordonnés. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 121. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Definition Une combinaison de p éléments pris dans un ensemble à n éléments distincts est un sous-ensemble à p éléments de cet ensemble. Les éléments sont pris sans répétition et ne sont pas ordonnés. Notation Le nombre de combinaisons de p parmi n est noté Cn,p(Cp n ) ou n p Cp n = n! (n−p)!p! avec 1 ≤ p ≤ n qui est appelé coefficient binomial. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 122. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux exemple on a 15 médicaments et on veut tester leur compatibilité en groupe de 4. Combien y a-t-il de groupes possibles ? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 123. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux exemple on a 15 médicaments et on veut tester leur compatibilité en groupe de 4. Combien y a-t-il de groupes possibles ? Solution (C15,4 =)C4 15 = 15! 4!11! = 1365. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 124. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux exemple On veut former un comité comprenant 3 des 20 personnes d’un groupe. I Combien y a t-il de ces comités? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 125. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux exemple On veut former un comité comprenant 3 des 20 personnes d’un groupe. I Combien y a t-il de ces comités? Solution (C20,3 =)C3 20 = 20! 3!17! = 1140 I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 126. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Formule de Pascal si 0 ≤ p ≤ n − 1 alors Cp−1 n−1 + Cp n−1 = Cp n I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 127. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Formule de Pascal si 0 ≤ p ≤ n − 1 alors Cp−1 n−1 + Cp n−1 = Cp n Formule de Newton La formule du binôme de Newton correspond à la décomposition des différents termes de la puissances neme du binôme (a + b) ∀(a, b) ∈ R, n ∈ N, (a + b)n = Pn p=0 Cp n an−pbp I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 128. Introduction Quelques concepts de base Probabilités Analyse combinatoire permutation Arrangement Combinaisons et coefficients binomiaux Figure: Résumé de type de tirage. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR