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Faculté des Sciences – Aïn Chock Km 8 Route d’El Jadida B.P 5366 Mâarif Casablanca 20100 Maroc
Tel.: 022 23 06 80 Fax: 022 23 06 74
http://www.fsac.ac.ma
PROJET DE FIN D'ETUDES
LICENCE SMP6
Option : Énergétique
Réalisé par : Encadré par :
BENMOUSSA Youssef Pr. EL ALAMI MUSTAPHA
BOUTAKKA Zakaria
JAKKAM Oussama
KHOUIKHA Mohamed
Soutenu le 10 /07 /2020 devant le jury :
Pr. Khatyr Rabha ………………………………….…………………….Présidente
Pr. GounniAyoub ……………………………………………………….Examinateur
Pr. El Alami Mustapha…………………………………………….....Encadrant
Année universitaire : 2019-2020
UNIVERSITÉ HASSAN II DE
CASABLANCA
FACULTÉ DES SCIENCES AÏN CHOCK
DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE
i
Nous tenons tout d’abord à remercier Dieu le tout puissant et miséricordieux, qui nous a
donné la force et la patience d’accomplir ce modeste travail.
Nous profitons aussi de cette occasion pour remercier notre professeur et encadrant Mr. El
Alami Mustapha, pour sa disponibilité, ses précieux conseils et son aide durant toute la
période de la recherche. Son ouverture d’esprit son engagement et son soutien ainsi que la
pertinence de ses remarques nous ont permis d’aboutir notre travail aisément.
Nos vifs remerciements vont également aux membres du jury Pour l’intérêt qu’ils ont porté
à ce travail en acceptant de l’examiner, et de l’enrichir par leurs propositions, sans oublier
tous les membres et professeurs du département physique de l’université Hassan II.
Enfin, nous tenons également à remercier toutes les personnes qui ont participé de près ou
de loin à la réalisation de ce travail. Merci à tous.
Remerciements :
ii
Table des matières
Remerciements :..................................................................................................................................i
Table des matières..........................................................................................................................ii
Liste des figures ............................................................................................................................iv
Nomenclature................................................................................................................................v
Abstract.......................................................................................................................................vii
Résumé ........................................................................................................................................vii
Introduction générale.....................................................................................................................1
.........................................................2
INTRODUCTION :....................................................................................................................2
Ⅰ-1 GENERALITES :.....................................................................................................................2
Ⅰ-1-1 Contexte historique : .........................................................................................................2
Ⅰ-1-2 Interprétation physique des termes de l’équation de la chaleur :.......................................2
I-2 DESCRIPTION MATHEMATIQUE DE L’EQUATION DE LA CHALEUR :.....................3
I-2-1 Formule générale des équations aux dérivées partielles :..................................................3
I-2-2 Les variantes de l’équation de la chaleur :........................................................................3
I-2-3 Signification physique des classifications des EDP :.........................................................4
I-3 LES METHODES DE RESOLUTIONS ET LES DIFFÉRENTES : APPROCHES
UTILISÉES :.................................................................................................................................5
I-3-1 Approche analytique : .......................................................................................................5
I-3-2 Approches numériques :....................................................................................................5
I-3-2 Génération des maillages : ................................................................................................6
I-4 SCHÉMA DE RÉSOLUTION :................................................................................................7
I-4-1 Étapes à suivre :.................................................................................................................7
I-4-2 Algorithme de résolution :.................................................................................................7
CONCLUSION :............................................................................................................................8
...........................................................9
INTRODUCTION..........................................................................................................................9
II-1 L’EQUATION DE LA CHALEUR UNIDIMENSIONNELLE : ............................................9
II-1-1 Maillage monodimensionnel :..........................................................................................9
II-1-2 Discrétisation de l’équation : .........................................................................................10
II-2 RESOLUTION DE L’EQUATION EN 1D :.........................................................................12
II-2-1 Résolution de l’équation de Laplace :............................................................................12
II-2-2 Résolution de l’équation de la chaleur en Régime Transitoire : ....................................14
II-3 L’EQUATION DE LA CHALEUR BIDIMENSIONNELLE : .............................................15
II-3-1 Maillage bidimensionnel :..............................................................................................15
iii
II-3-2 Discrétisation de l’équation : .........................................................................................16
II-4 RESOLUTION DE L’EQUATION EN 2D :.........................................................................17
II-4-1 Résolution de l’équation de Laplace :............................................................................17
II-4-2 Résolution de l’équation de la chaleur en Régime Transitoire : ....................................19
II-5 VERIFICATION ET VALIDATION DES CODES (V&V): .................................................22
II-5-1 Validation du cas explicite :...........................................................................................22
II-5-2 Validation du cas implicite :...........................................................................................24
CONCLUSION :.........................................................................................................................26
.......................................................27
INTRODUCTION :......................................................................................................................27
III-1 MODELES PHYSIQUES EN 1D ET 2D :..........................................................................27
III-1-1 Modèle unidimensionnel : ............................................................................................27
III-1-2 Modèles bidimensionnels :............................................................................................27
III-2 RESULTATS DES PROGRAMMES EN 1D : ....................................................................28
III-2-1 Explicite : .....................................................................................................................28
III-2-2 Implicite : .....................................................................................................................30
III-3 RESULTATS DES PROGRAMMES EN 2D STATIONNAIRE : .......................................33
III-4 RESULTATS DES PROGRAMMES EN 2D TRANSITOIRE :..........................................35
III-4-1 Schéma explicite :.........................................................................................................35
III-4-2 Schéma implicite : ........................................................................................................36
III-4-3 Schéma ADI :...............................................................................................................38
III-5 CAS ÉTUDIÉ :....................................................................................................................39
III-5-1 Discrétisation de la condition aux limites convective par volume de contrôle : ............39
III-5-2 Discrétisation de la condition de Neumann :................................................................42
III-5-3 Résultats du programme :.............................................................................................43
CONCLUSION :..........................................................................................................................45
Conclusion générale et perspectives :.........................................................................................47
ANNEXES : ........................................................................................................................................48
Annexe A : Obtention de l’équation de la chaleur :...................................................................48
Annexe B : Solution Analytique en régime transitoire : ............................................................49
Annexe C : Algorithme de Thomas : ..........................................................................................50
Annexe D : Méthode de la relaxation (SOR) :............................................................................51
Annexe E : Liste des programmes :............................................................................................53
Programmes PYTHON :.........................................................................................................53
Programmes MATLAB : ........................................................................................................53
Références........................................................................................................................................54
iv
Liste des figures
Figure 1.1 Exemple d’un maillage........................................................................................................7
Figure 1.2 Organigramme de calcul.....................................................................................................8
Figure 2.1 Domaine d’étude en 1D......................................................................................................9
Figure 2.2 Maillage du domaine en 1D................................................................................................9
Figure 2.3 Maillage dépendant du temps............................................................................................10
Figure 2.4 Comparaison entre la solution analytique et numérique...................................................13
Figure 2.5 Molécules des différences finies explicites........................................................................14
Figure 2.6 Molécules des différences finies implicites .......................................................................15
Figure 2.7 Maillage bidimensionnel du domaine................................................................................15
Figure 2.8 Maillage des nœuds de différences finies ..........................................................................17
Figure 2.9 Maillage des molécules de différences finies en ADI ........................................................21
Figure 2.10 Comparaison qualitative entre la solution exacte et la méthode explicite. ........................23
Figure 2.11 comparaison entre la solution analytique et numérique en explicite.................................24
Figure 2.12 Comparaison qualitative entre la solution exacte et la méthode implicite.........................24
Figure 2.13 comparaison entre la solution analytique et numérique en implicite.................................25
Figure 3.1 Modèle unidimensionnel..................................................................................................27
Figure 3.2 Modèle bidimensionnel simple.........................................................................................27
Figure 3.3 Modèle bidimensionnel complexe....................................................................................28
Figure 3.4 Distribution de la température le long de la barre en différents instants par la méthode
explicite............................................................................................................................................28
Figure 3.5 Évolution de la température au nœud 6 en explicite ........................................................29
Figure 3.6 Évolution de la température au nœud 20 en explicite .. ...................................................... 29
Figure 3.7 Évolution de la température au nœud 43 en explicite.....................................................29
Figure 3.8 Instabilité du nœud 20 à dt=9s ..........................................................................................30
Figure 3.9 Distribution de la température le long de la barre en différents instants par la méthode
implicite ...........................................................................................................................................30
Figure 3.10 Comparaison entre les méthodes explicite (en haut) et implicite (en bas) aux premières
5min de l’expérience.........................................................................................................................31
Figure 3.11 Évolution de la température au nœud 6 en implicite ........................................................31
Figure 3.12: Évolution de la température au nœud 20 en implicite .....................................................31
Figure 3.13 Évolution de la température au nœud 43 en implicite ......................................................32
Figure 3.14 comparaison entre la méthode explicite et implicite au nœud 20......................................32
Figure 3.15 Stabilité du nœud 20 à dt=15s.........................................................................................33
Figure 3.16 Profil de température en utilisant Excel ..........................................................................33
Figure 3.17 Profil de température plus précis en 2D...........................................................................34
Figure 3.18 Profil de température tridimensionnel .............................................................................34
Figure 3.19 Paraboles isothermes au régime permanant .....................................................................35
Figure 3.20 Différents Profils de température pour différents instants en explicite .............................35
Figure 3.21: Évolution du nœud 45,41 au cours du temps en explicite................................................36
Figure 3.22 Différents Profils de température pour différents instants en implicite.............................37
Figure 3.23 Évolution du nœud 45,41 au cours du temps en implicite................................................37
Figure 3.24 Différents Profils de température pour différents instants en ADI....................................38
Figure 3.25: Évolution du nœud 45,41 au cours du temps en ADI......................................................39
Figure 3.26 Maillage des différences finies par la méthode du volume de contrôle.............................40
Figure 3.27 Différents profils de température pour différentes vitesses...........................................44
v
Figure 3.28 Evolution du nœud (15,17) au cours du temps avec différentes valeurs de vitesse..........45
Figure 3.29 Contour des isothermes pour différentes vitesses ..........................................................46
Nomenclature
Symboles latins :
𝑐𝑐𝑝𝑝 : Chaleur spécifique du solide à pression constante
𝑑𝑑𝑑𝑑 : Surface élémentaire (m²)
𝑑𝑑𝑑𝑑 : Volume élémentaire (m3
)
𝑔𝑔 : Source d’énergie par unité de volume (w/m3
)
ℎ : Coefficient d’échange convectif du fluide
𝐻𝐻 : Hauteur du domaine (m)
𝑘𝑘 : Conductivité thermique du solide
𝐿𝐿 : Longueur du domaine (m)
𝑀𝑀 : Nombre de nœuds suivant l’axe des abscisses
𝒏𝒏 : Vecteur normal
𝑁𝑁 : Nombre de nœuds suivant l’axe des ordonnées
𝑞𝑞
⃗𝑜𝑜𝑜𝑜 𝒒𝒒 : Vecteur densité de flux de chaleur (w.m-2
)
𝑡𝑡 : Temps (s)
𝑇𝑇 : Température (°C)
𝑇𝑇∞ : Température du milieu extérieur (°C)
𝑉𝑉
𝑤𝑤 : Vitesse du vent (m/s)
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) : Cordonnées spatiales
Symboles grecs :
𝛼𝛼 : Diffusivité thermique du solide (m²/s)
∆𝑥𝑥 : Pas de position x (m)
∆𝑦𝑦 : Pas de position y (m)
∆𝑡𝑡 : Pas de temps (s)
𝜗𝜗 : Nombre de diffusion adimensionnel
(w /m.K°)
(W /m2
.K°)
(J /Kg.K°)
vi
𝜌𝜌 : Masse volumique du solide
Nombres adimensionnels :
𝐹𝐹𝐹𝐹 =
𝛼𝛼∆𝑡𝑡
∆𝑥𝑥²
Le nombre de Fourier
𝐵𝐵𝐵𝐵 =
ℎ∆𝑥𝑥
𝑘𝑘
Le nombre de Biot
Indices :
𝑏𝑏 : Bas
𝑑𝑑 : Droit
𝑔𝑔 : Gauche
ℎ : Haut
𝑖𝑖 : Indice de position latitudinale
𝑗𝑗 : Indice de position longitudinale
𝑛𝑛 : Etape temporelle
Opérateurs mathématiques :
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔
����������⃗ : Gradient
∇² : Laplacien
∇ : Nabla
𝑑𝑑 : Dérivée totale
𝜕𝜕 : Dérivée partielle
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 : Divergence
(Kg /m3
)
vii
Abstract
The work presented in this manuscript shows the numerical simulation of heat transfer
around bodies with different geometries and compositions governed by the thermal diffusion
equation or simply the heat equation. Primarily, we used some numerical techniques for solving
partial differential equations (PDE), particularly the finite difference method where different
numerical schemes such as explicit, implicit and ADI were manipulated. Afterwards, we
modeled our main problem using a metallic plate with negligible thickness (thus the plate is
considered as a two-dimensional object) and non-homogenous boundary conditions prescribed
at the sides. Finally, we present and discuss the results of the simulation including their physical
interpretation. The results shows that isotherms are indeed perpendicular to adiabatic surfaces.
These simulations were performed using the MATLAB software and the PYTHON
programming language.
Résumé
Le travail présenté dans ce manuscrit expose la simulation numérique du transfert de
chaleur autour de corps de différentes géométries et compositions régies par l'équation de
diffusion thermique ou simplement l'équation de chaleur. Principalement, nous avons utilisé
quelques techniques numériques pour résoudre les équations aux dérivées partielles (EDP), en
particulier la méthode des différences finies où différents schémas numériques tels que
l'explicite, l’implicite et l’ADI ont été manipulés. Ensuite, nous avons modélisé notre problème
principal en utilisant une plaque métallique d'épaisseur négligeable (en conséquence la plaque
est considérée comme un objet bidimensionnel) et des conditions aux limites non homogènes
prescrites sur les côtés. Enfin, nous présentons et discutons les résultats de la simulation, y
compris leur interprétation physique. Les résultats montrent que les isothermes sont en effet
perpendiculaires aux surfaces adiabatiques.
Ces simulations ont été réalisées à l'aide du logiciel MATLAB et du langage de
programmation PYTHON.
1
Introduction générale
Le comportement dynamique des systèmes est un sujet majeur en physique. Un système
mécanique par exemple, se traduit par des déplacements, des vitesses et des accélérations. Un
système électrique ou électronique, se traduit par des tensions, des intensités et des dérivées
temporelles sur ces quantités. Un système thermique se traduit par des températures, des
gradients de température, de coefficients d’échanges thermiques, etc.
En général, les équations utilisées pour décrire de tels comportements dynamiques,
incluent des quantités inconnues représentant les fonctions recherchées et leurs dérivées. Ce
sont les équations différentielles. Les systèmes mécaniques et électriques sont modélisés par
des équations différentielles ordinaires. Un système thermique, par contre, est modélisées par
des équations aux dérivées partielles (EDP).
Les transferts thermiques est une science qui étudie la façon dont la chaleur se propage
d’une région à une autre, sous l’influence d’une différence de température. Elle a subi une
étude intensive pour satisfaire les exigences des autres technologies nucléaires, solaires…etc.
Avec le développement prodigieux des techniques modernes, il est devenu
indispensable à tout scientifique et ingénieur, quel que soit le domaine où il sera appelé, à
posséder de bonnes connaissances des lois fondamentales du transfert thermique. Ce
phénomène est très important dans les domaines des sciences technologiques, des conceptions
techniques et de l’industrie, il existe dans chaque aspect de la vie et a un grand champ
d’application. C’est un processus complexe qui est réalisé sur la base des différents modes
fondamentaux à savoir : la conduction, la convection et le rayonnement.
L’équation qui décrit adéquatement de tels transferts est l’équation de l’énergie qui
traduit l’un des trois principes fondamentaux qui est la conservation de l’énergie. Les deux
autres principes sont la conservation de la masse décrite par l’équation de continuité, et la
conservation de la quantité de mouvement décrite par les équations de Navier Stokes en
mécanique des milieux continus. Généralement, la conduction est le mode de transfert le plus
omniprésent dans la nature, et cela revient au fait que la conduction, dans plusieurs cas, peut
être couplée avec la convection et le rayonnement.
Si on s’intéresse à la conduction dans les solides, l’équation de l’énergie se simplifie et
se réduit à l’équation de la chaleur qui sera le centre d’attention de ce mémoire. Ce mémoire
est divisé en trois chapitres le premier concerne la synthèse bibliographique sur la résolution
numérique de l’équation de la chaleur, le deuxième chapitre porte sur la formulation
mathématique du problème et les schémas de résolution aussi bien que la validation des
programmes, le troisième chapitre examine les résultats des simulations numériques y compris
leur interprétation physique. Nous clôturons notre mémoire avec des conclusions générales et
perspectives. Enfin On a inclus une annexe qui comporte quelques informations de calcul
disponibles dans la littérature ainsi que la liste des programmes utilisés dans les simulations.
Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur
2
INTRODUCTION :
L’équation de la chaleur est une EDP qui est solvable grâce à sa linéarité en T (dans ce
mémoire). Malheureusement, une solution analytique n’est simple que si le régime stationnaire
et l’équation est unidimensionnelle. Pour des dimensions supérieures, la solution est très
compliquée et demande une bonne compréhension des séries et transformées de Fourier. On
reste avec un seul choix devant nous qui est la résolution numérique. Le présent chapitre expose
l’intérêt de l’équation de la chaleur ainsi que les travaux antécédents de quelques scientifiques
et ingénieurs qui ont déjà résolus cette équation par de diverses approches.
Ⅰ-1 GENERALITES :
Ⅰ-1-1 Contexte historique :
En physique, l'équation de la chaleur, est une équation aux dérivées partielles, qui sert à
décrire le phénomène physique de conduction thermique. Introduite initialement en 1807 par
Joseph Fourier, après des expériences sur la propagation de la chaleur, suivies par la
modélisation de l'évolution de la température avec des séries trigonométriques, appelés depuis
séries de Fourier et transformées de Fourier, permettant une grande amélioration à la
modélisation mathématique des phénomènes, en particulier pour les fondements de la
thermodynamique, et qui ont entrainé aussi des travaux mathématiques très importants pour les
rendre rigoureuses, véritable révolution à la fois physique et mathématique, sur plus d'un siècle.
• C’est une application directe de la loi fondamentale de la conduction de chaleur
connue sous le nom de « Loi de Fourier » :
𝑞𝑞
⃗ = −𝑘𝑘𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔
����������⃗𝑇𝑇
• 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔
����������⃗𝑇𝑇 Traduit que le gradient de température se dirige vers les milieux des 𝑇𝑇
croissants.
Il convient de mentionner que l'équation de la chaleur est un cas particulier de l'équation
de la diffusion qui décrit le comportement macroscopique de plusieurs microparticules en
mouvement Brownien.
Ⅰ-1-2 Interprétation physique des termes de l’équation de la chaleur :
La deuxième loi de la thermodynamique stipule que la chaleur circulera des corps plus
chauds vers des corps plus froids adjacents, car Les atomes du corps chaud ont une énergie
cinétique plus élevée que ceux du corps froid. Ainsi, les atomes du corps chaud se déplacent et
entrent en collision avec les atomes du corps froid et transfèrent la chaleur. Étant donné que les
Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur
3
atomes du corps froid sont à un niveau d'énergie cinétique inférieur, ils ne se déplacent pas et
ne se heurtent pas (relativement parlant).
• Le modèle mathématique de l’équation de la chaleur dans un milieu homogène
isotrope sans source est comme suit : 𝜌𝜌𝑐𝑐𝑝𝑝
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝑘𝑘 𝛻𝛻²𝑇𝑇 (1.1)
Ou bien :
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝛼𝛼𝛼𝛼²𝑇𝑇 (1.2) où 𝛼𝛼 =
𝑘𝑘
𝜌𝜌𝑐𝑐𝑝𝑝
• Mathématiquement, la diffusivité thermique 𝛼𝛼 est une constante de proportionnalité.
• La dérivée temporelle traduit le taux de variation de la température par rapport au temps
elle est positive si la température augmente avec le temps, et négative si elle diminue.
Alors La dérivée temporelle représente la vitesse de chauffage ou de refroidissement.
• Le Laplacien 𝛻𝛻² = ∆ l’opérateur des dérivées secondes, traduit la différence de
température entre un point et la moyenne de ses voisins.
• En résumé, L’étude de l’équation de la chaleur nous permet de savoir comment circule
la chaleur dans un milieu donné, et à bout de combien de temps le corps atteint un état
d’équilibre thermique.
I-2 DESCRIPTION MATHEMATIQUE DE L’EQUATION DE LA CHALEUR :
I-2-1 Formule générale des équations aux dérivées partielles :
On distingue plusieurs EDP en physique comme l’équation d’onde et l’équation
de Navier-Stokes, mais ils n’ont pas tous la même formulation mathématique, et donc ne
sont pas tous de la même classification c’est-à-dire parabolique, elliptique ou
hyperbolique.
La formule générale à laquelle obéit toutes les EDP, a été proposée pour la première fois
en 1967 par Forsythe et WasowI
:
𝐴𝐴
𝜕𝜕²𝜙𝜙
𝜕𝜕𝜕𝜕²
+ 𝐵𝐵
𝜕𝜕²𝜙𝜙
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝐶𝐶
𝜕𝜕²𝜙𝜙
𝜕𝜕𝜕𝜕²
+ 𝐷𝐷
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝐸𝐸
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝐺𝐺(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 (1.3)
C’est une formule valable pour des EDP du second ordre, à deux variables
indépendantes x et y.
Ici l’équation est linéaire en assument que les coefficients A, B, C, D, E et F, et le
terme de source G peuvent dépendre de x et y mais pas de la fonction ϕ.
On peut déduire que l’équation (1.3) est :
Elliptique, si B² - 4AC < 0
Parabolique, si B² - 4AC = 0
Hyperbolique, si B² - 4AC > 0
I-2-2 Les variantes de l’équation de la chaleur :
Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur
4
A partir des conditions précédentes, on peut déterminer les différents types que
prend de l’équation de la chaleur.
L’équation de conduction de la chaleur en régime permanant à propriétés thermo-
physiques constantes sans source d’énergie est :
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
+
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
= 0 (1.4)
Ci-dessus l’équation de Laplace bidimensionnelle, est elliptique en posant B=0 et
A=C=1.
L’équation de la chaleur en régime permanant à propriétés thermo-physiques
constantes avec une source d’énergie est :
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
+
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
+
1
𝑘𝑘
𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 (1.5)
Ci-dessus l’équation de Poisson bidimensionnelle, est aussi elliptique.
L’équation de la chaleur monodimensionnelle en régime transitoire est :
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝛼𝛼
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
(1.6)
C’est une équation parabolique en posant A=1 et B=C=0.
Afin de clarifier la notation, on a considéré l’équation (1.3) comme étant
bidimensionnelle. La transition de deux dimensions à trois est simple :
L’équation (1.5) en trois dimensions
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
+
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
+
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
+
1
𝑘𝑘
𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 (1.7)
est elliptique.
L’équation (1.5) en régime transitoire
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
+
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
+
1
𝑘𝑘
𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) =
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(1.8)
est parabolique.
I-2-3 Signification physique des classifications des EDP :
Ce qui compte pour nous le plus c’est la signification et l’interprétation physique de ces
classifications.
Prenons les équations (1.4) et (1.5). Les conditions à une position donnée sont
influencées par les changements de conditions des deux côtés de cette position qu’ils soient
dans la variable x ou dans la variable y. Ainsi, l'équation de conduction thermique en régime
permanent est elliptique dans les coordonnées spatiales x et y et donc l’équation est elliptique.
Maintenant on considère l’équation (1.6). Les conditions à une position donnée x sont
influencées par les changements de conditions des deux côtés de cette position; par conséquent,
l'équation est considérée comme elliptique dans la variable x. Cependant, si on prend en
Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur
5
considération la variable temporelle t, les conditions à tout instant ne sont influencées que par
des changements intervenant dans des conditions à des moments antérieurs à ce moment; Par
conséquent, l'équation est parabolique dans le temps et donc l’équation est dite parabolique.
I-3 LES METHODES DE RESOLUTIONS ET LES DIFFÉRENTES :
APPROCHES UTILISÉES :
I-3-1 Approche analytique :
C’était avec le mathématicien et physicien français Joseph Fourier que l’équation de la
chaleur a vu le jour en 1807. Et c’est lui aussi qui a été le premier à proposer une solution
analytique en utilisant ses fameuses séries trigonométriques appelés depuis série de Fourier et
transformées de Fourier qui sont connu comme étant l’outil mathématique le plus puissant pour
la physique.
Dans sa publication théorie analytique de la chaleurII
publiée en 1822, Fourier à
développer une solution délicate relative au problème de conduction de la chaleur dans les
solides en utilisant la méthode de séparation de variables dont le résultat à aboutit à une série
trigonométrique infinie.
Pour discuter brièvement de la solution analytique, considérons une barre de fer par
exemple.
L’équation de la chaleur est donnée par la relation (1.6). En utilisant des conditions
initiales et aux limites appropriés, on trouve que la solution générale est de la forme :
𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = � 𝐷𝐷𝑛𝑛sin �
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝐿𝐿
�
∞
𝑛𝑛=1
𝑒𝑒
−
𝑛𝑛²𝜋𝜋²𝛼𝛼𝛼𝛼
𝐿𝐿²
Cette fonction satisfait les conditions aux limites et initiales : �
𝑇𝑇(𝑥𝑥, 0) = 𝑇𝑇0(𝑥𝑥)
𝑇𝑇(0, 𝑡𝑡) = 𝑇𝑇(𝐿𝐿, 𝑡𝑡) = 0
Après un développement en série de Fourier, le coefficient 𝐷𝐷𝑛𝑛 est donné par :
𝐷𝐷𝑛𝑛 =
2
𝐿𝐿
� 𝑇𝑇0(𝑥𝑥)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝐿𝐿
�𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐿𝐿
0
Pour qu’on puisse évaluer la température obtenue, il faut d’abord évaluer coefficient 𝐷𝐷𝑛𝑛
. Dans certains cas, notamment lorsqu’on fait face à des problèmes de conduction-convection,
le coefficient 𝐷𝐷𝑛𝑛 devient très difficile à calculer car souvent il contient des paramètres qui sont
obtenu en résolvant une équation transcendante qui ne peut être résolue que numériquement.
On en déduit alors que la résolution analytique est limitée, on doit donc passer à des
méthodes qui rendent l’équation de la chaleur plus solvable et plus simple.
Il convient de mentionner que la solution analytique peut être obtenu aussi en faisant
des transformées de Laplace.
I-3-2 Approches numériques :
Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur
6
Pour pouvoir résoudre une EDP numériquement, il faut qu’on fasse une discrétisation
de l’équation par l’une des méthodes suivantes :
• La méthode des éléments finis (FEM) :
Dans cette méthode élaborée par Gilbert StrangIII
en 1972, on subdivise un grand
système en parties plus petites et plus simples appelées éléments finis. Ceci est réalisé par une
discrétisation spatiale particulière dans les dimensions de l'espace, qui est mise en œuvre par la
construction d'un maillage de l'objet, qui a un nombre fini de points. On aboutit finalement à
un système d'équations algébriques. Les équations simples qui modélisent ces éléments finis
sont ensuite assemblées dans un plus grand système d'équations qui modélise l'ensemble du
problème.
• La méthode des volumes finis (FVM):
La EDP est résolue de manière approchée à l’aide d’un maillage constitué de volumes
finis qui sont des petits volumes disjoints en 3D (des surfaces en 2D, des segments en 1D) dont
la réunion constitue le domaine d'étude. Les volumes finis peuvent être construits autour de
points d'un maillage initial, mais ce n’est pas une nécessité.
• La méthode des différences finies (FDM) :
La résolution du problème consiste à remplacer les termes différentiels par leurs
approximations algébriques appelés différences finies en faisant un développement de Taylor.
Cela nous donne ensuite un système d’équations linéaires qu’on peut résoudre par des méthodes
directes en schéma explicite, et par des méthodes itératives en schéma implicite.
Pour les problèmes impliquant des géométries irrégulières dans le domaine de la
solution, le FEM est connu pour avoir plus de flexibilité parce que la région proche de la
frontière peut facilement être divisé en sous-régions. Deux inconvénients majeurs de FDM était
sa difficulté pour gérer efficacement la solution des problèmes sur une forme géométrique
arbitraire en raison de l'interpolation entre les limites et les points intérieurs, afin de développer
des expressions de différence finie pour les nœuds à proximité des limites d’une part, et sa
difficulté de prise en compte des conditions aux limites de type Neumann d’autre part. Plus
récemment, avec l'avènement des approches de la génération de grilles numériques appelés
maillage, le FDM est devenu comparable au FEM dans le traitement avec des géométries
irrégulières, tout en conservant la simplicité du FDM standard.
Contrairement aux méthodes des volumes finis et des éléments finis qui exploitent des
approximations d'intégrales, la méthode des différences finies met en jeu des approximations
des dérivées.
On se contentera juste à la méthode des différences finies grâce à sa simplicité à mettre
en œuvre et à programmer.
Pour la FDM, Gerald W. RecktenwaldIV
et Ames W.FV
ont développé les différences
finies avancées dites explicite, retardées dite implicites, la méthode de Crank Nicholson qui est
une combinaison des deux méthodes et de la méthode ADI (Alternating Direction Implicit)
méthode implicite de direction alternative, qui a prouvé sa puissance qui compte à résoudre
l’équation de la chaleur en dimensions supérieurs.
I-3-2 Génération des maillages :
Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur
7
La discrétisation de l’équation de la chaleur par rapport aux variables d’espace est
généralement effectuée à l’aide de l’une des trois méthodes numériques décrites précédemment
le FEM, FVM et le FDM. Ces méthodes opèrent sur un maillage qui est, d’après la description
d’Alain FourmigueVI
, une discrétisation spatiale du domaine considéré en petits éléments de
forme régulière, appelés cellules. Les cellules du maillage peuvent prendre des formes diverses
(hexaèdre, tétraèdre, prisme, pyramide, etc.).
Considérons, par exemple, un problème différentiel à résoudre dans un domaine spatial
unidimensionnel de longueur L. Dans la méthode des différences finies, le domaine 0 ≤ x ≤
L est discrétisé en segments égaux de longueur Δx, où Δx = L / M, générant ainsi un maillage
de M + 1 nœuds dans le domaine spatial, comme schématisé ci-dessous. Par conséquent, les
équations algébriques M + 1 sont développées en discrétisant les équations différentielles et les
conditions aux limites du problème. Le problème de la résolution des équations différentielles
ordinaires ou partielles sur le domaine du problème est ensuite transformé en un développement
d'un ensemble d'équations algébriques, et de leur solution en utilisant un algorithme approprié.
I-4 SCHÉMA DE RÉSOLUTION :
I-4-1 Étapes à suivreVII
:
Les différentes étapes pour modéliser un système complexe :
• Recherche d'un modèle mathématique représentant la physique. Mise en équation.
• Elaboration d'un maillage. Discrétisation des équations de la physique.
• Résolution des équations discrètes (souvent systèmes linéaires à résoudre).
• Transcription informatique et programmation des relations discrètes.
• Simulation numérique et exploitation des résultats.
I-4-2 Algorithme de résolution :
On se propose d’utiliser l’algorithme suivant :
Figure 1.1 Exemple d’un maillage
Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur
8
CONCLUSION :
Nous avons présenté le modèle de l’équation des transferts thermiques par conduction,
en régime transitoire. Nous avons établi les différentes classifications des EDP et leur
signification physique, en particulier l’équation de la chaleur. On a discuté la solution
analytique qui nous a permis d’introduire les méthodes numériques puisque l’approche
analytique présente des grandes complexités dans certains cas. On a introduit les différentes
approches numériques principalement les différences finies FDM, et leur utilité. Nous avons
aussi défini la génération des maillages qui nous permettent d'approcher et simuler les
comportements du système. Finalement, on a proposé un algorithme et des étapes à suivre. La
suite de notre PFE va maintenant porter sur l'analyse numérique du problème en détaillant la
méthode des différences finies.
Figure 1.2 Organigramme de calcul
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
9
INTRODUCTION
Les méthodes analytiques peuvent être utilisées, dans certains cas, pour effectuer des
solutions mathématiques exactes à des problèmes de conduction mono/bidimensionnels. Ces
solutions ont été générées pour un assortiment de simples géométries et conditions aux limites.
Cependant, le plus souvent, les problèmes bidimensionnels impliquent des géométries et / ou
des conditions aux limites qui empêchent de telles solutions. Dans ces cas, la meilleure
alternative est souvent celle qui utilise une technique numérique telle que la méthode des
différences finies, des éléments finis ou des volumes finis. L’avantage des méthodes
numériques est qu'elles peuvent être facilement étendues à des problèmes à trois dimensions.
En raison de sa simplicité d'application, la méthode des différences finies est bien adaptée pour
un traitement d'introduction des techniques numériques. Dans ce chapitre, on négligera les
sources de chaleur interne qui sont souvent provoqués par des réactions chimiques
exothermiques ou endothermiques, ou bien un courant électrique qui traverse le solide et induit
un effet joule.
II-1 L’EQUATION DE LA CHALEUR UNIDIMENSIONNELLE :
II-1-1 Maillage monodimensionnel :
Contrairement à la solution analytique, qui permet de déterminer la température en tout
point dans un milieu, la solution numérique permet de déterminer la température en des points
discrets uniquement. La première étape de toute analyse numérique doit donc être de
sélectionner ces points. En se référant à la figure 2.1, cela peut être fait en subdivisant le milieu
en un certain nombre de petites régions et en attribuant à chacune un point de référence. Le
point de référence est souvent appelé un point nodal (ou simplement un nœud), et l'ensemble
des points est appelé un réseau nodal, une grille ou un maillage. Les points nodaux sont désignés
par un schéma de numérotation qui, pour un système à une dimension, peut prendre la forme
illustrée à la figure 2.2. L’emplacement x est désigné par l’indice i. Chaque nœud représente
une certaine région et sa température est une mesure de la température moyenne de la région.
Par exemple, la température du nœud i de la figure de droite peut être considérée comme la
température moyenne de la zone ombrée environnante. La sélection des points nodaux est
rarement arbitraire, en fonction souvent de questions telles que la commodité géométrique et la
précision souhaitée. La précision numérique des calculs dépend fortement du nombre de points
nodaux désignés. Si ce nombre est grand (un maillage fin), des solutions précises peuvent être
obtenues.
𝐿𝐿
∆𝑥𝑥
Figure 2.2 Maillage du domaine en 1D
Figure 2.1 Domaine d’étude en 1D
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
10
Si on désire d’ajouter le temps au maillage, on aura :
Maillage sur une bande semi-infinie utilisée
pour la résolution de l'équation de chaleur
unidimensionnelle. Les carrés noirs indiquent
l'emplacement des valeurs initiales (connues). Les
carrés blancs indiquent l’emplacement des valeurs des
conditions aux limites (connues). Les cercles indiquent
la position des points intérieurs où l'approximation des
différences finies est calculée.
II-1-2 Discrétisation de l’équation :
Comme on a discuté précédemment, la méthode des différences finies consiste à
remplacer les termes différentiels par leur approximations algébriques en faisant un
développement de Taylor. Dans la suite de ce chapitre, on distinguera deux méthodes l’explicite
et l’implicite. Leur différence sera discutée ultérieurement.
Pour une fonction 𝑓𝑓(𝑥𝑥) quelconque, on peut trouver une solution approchée à partir des
approximations des dérivées en utilisant une méthode itérative.
Pour un ∆𝑥𝑥 infinitésimal, l’approximation de la dérivée première de 𝑓𝑓 est par définition :
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ≈
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
∆𝑥𝑥
On effectue deux développements de Taylor d’ordre 2, un avancé c.à.d. en 𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥, et un autre
retardé c.à.d. en 𝑥𝑥 − ∆𝑥𝑥 :
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + ∆𝑥𝑥𝑓𝑓′(𝑥𝑥) +
∆𝑥𝑥²
2!
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥)
𝑓𝑓(𝑥𝑥 − ∆𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − ∆𝑥𝑥𝑓𝑓′(𝑥𝑥) +
∆𝑥𝑥²
2!
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥)
On additionne les deux expressions pour isoler 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) et on obtient :
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) ≈
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) − 2𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − ∆𝑥𝑥)
∆𝑥𝑥²
Considérons l’étude des transferts thermiques d’une barre métallique dont sa longueur 𝐿𝐿 est
très supérieure face à son rayon. L’équation de la chaleur est supposée unidimensionnelle :
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝛼𝛼
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
(2.1)
(2.a)
(2.c)
(2.b)
Figure 2.3 Maillage dépendant du temps
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
11
⎩
⎨
⎧
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
=
𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡 + ∆𝑡𝑡) − 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
∆𝑡𝑡
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
=
𝑇𝑇(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 2𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝑇𝑇(𝑥𝑥 − ∆𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
∆𝑥𝑥2
Avec les expressions précédentes, on peut alors discrétiser l’équation de la chaleur
unidimensionnelle dépendante du temps en explicite:
𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡 + ∆𝑡𝑡) − 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
∆𝑡𝑡
= 𝛼𝛼 �
𝑇𝑇(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 2𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝑇𝑇(𝑥𝑥 − ∆𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
∆𝑥𝑥2
�
On simplifie la notation en posant 𝜗𝜗 =
𝛼𝛼∆𝑡𝑡
∆𝑥𝑥²
, 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑖𝑖∆𝑥𝑥 et 𝑡𝑡𝑛𝑛 = 𝑛𝑛∆𝑡𝑡 et on obtient finalement :
𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛+1
− 𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛
= 𝜗𝜗(𝑇𝑇𝑖𝑖+1
𝑛𝑛
− 2𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1
𝑛𝑛
)
C’est l’équation de la chaleur unidimensionnelle, dépendante du temps, sans source,
discrétisée.
On peut résoudre pour 𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛+1
: 𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛+1
= (1 − 2𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗(𝑇𝑇𝑖𝑖+1
𝑛𝑛
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1
𝑛𝑛
)
VIII
Cette équation est explicite parce que les températures nodales inconnues pour le
nouveau temps sont déterminées seulement par les températures nodales connues au moment
précédent. Par conséquent le calcul des températures inconnues est simple. Puisque la
température de chaque nœud intérieur est connue à t = 0 (n = 0) à partir des conditions initiales,
les calculs commencent à t = Δt (n= 1), où l'équation est appliquée à chaque nœud intérieur
pour déterminer sa température. Avec des températures connues pour t = Δt, l'équation
discrétisée est ensuite appliquée à chaque nœud pour déterminer sa température à t = 2Δt (n
= 2). En suivant cette manière, la distribution de température transitoire est obtenue en marchant
dans le temps, en utilisant des intervalles de Δt. La précision de la solution de différence finie
peut être améliorée en diminuant les valeurs de Δx et Δt. Bien sûr, le nombre de points nodaux
intérieurs qui doivent être considérés augmente avec la diminution de Δx, et le nombre
d'intervalles de temps requis pour porter la solution à un temps final donné augmente avec la
diminution de Δt. Par conséquent, le temps de calcul augmente avec la diminution de Δx et Δt.
Le choix de Δx est généralement basé sur un arrangement entre la précision et les exigences de
calcul. Cependant, une fois cette sélection effectuée, la valeur de Δt ne peut pas être choisie
indépendamment. Il est plutôt déterminé par exigences de stabilité.
Une caractéristique indésirable de la méthode explicite est qu'elle n'est pas
inconditionnellement stable. En cas de problème transitoire, la solution des températures
nodales doit tendre continuellement vers les valeurs finales (état stationnaire) avec le temps.
Cependant, avec la méthode explicite, la solution peut être caractérisée par des oscillations
induites numériquement, qui sont physiquement impossibles. Les oscillations peuvent devenir
instables, provoquant les prédictions numériques de s'écarter de la solution réelle. Pour éviter
toute divergence, la valeur prescrite de Δt doit être maintenue en dessous d'une certaine limite,
qui dépend de Δx et d'autres paramètres du système. Cette dépendance est appelée critère de
stabilité, qui peut être obtenu Mathématiquement ou démontré à partir d'un argument
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
12
thermodynamique. Pour les problèmes intéressant ce texte, le critère est déterminé en exigeant
que le coefficient associé aux termes combinés impliquant 𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛
soit supérieur ou égal à zéro.
Avec l’équation déjà exprimées sous la forme souhaitée, il s'ensuit que le critère de
stabilité pour un nœud intérieur unidimensionnel est (1 − 2𝜗𝜗) ≥ 0, ou 𝜗𝜗 ≤
1
2
.
Une solution stable peut souvent être réalisée en utilisant un schéma de différences finies
implicite plutôt qu'explicite. La forme implicite d'une équation aux différences finies peut être
obtenue en utilisant à nouveau l'équation (2.2) pour approximer la dérivée temporelle, mais en
évaluant toutes les autres températures au nouveau temps (n + 1), au lieu du temps précédent
(n). L'équation (2.2) est alors considérée comme fournissant une approximation de la différence
en arrière à la dérivée temporelle. Contrairement à l'équation (2.4), la forme implicite de
l'équation de différence finie pour le nœud intérieur d'un système à une dimension est alors :
𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛+1
− 𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛
= 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1
𝑛𝑛+1
− 2𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛+1
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1
𝑛𝑛+1
�
On peut résoudre pour 𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛
: 𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛
= (1 + 2𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛+1
− 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1
𝑛𝑛+1
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1
𝑛𝑛+1
�
D'après l'équation (2.7), il est évident que la nouvelle température du nœud (i) dépend
des nouvelles températures de ses nœuds adjacents, qui sont, en général, inconnues. Par
conséquent, pour déterminer les températures nodales inconnues au temps n + 1, toutes les
équations nodales doivent être résolues simultanément. Une telle solution peut être effectuée
en utilisant l'inversion de matrice ou l'itération de Gauss-Seidel. La solution impliquerait alors
de résoudre simultanément les équations nodales à chaque instant t = Δt, 2Δt, . . . jusqu’à ce
que la durée finale souhaitée soit atteinte. Par rapport à la méthode explicite, la formulation
implicite a l'avantage important d'être inconditionnellement stable. C'est-à-dire que tous les
coefficients de 𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛+1
sont positifs et la solution reste stable pour tous les intervalles d'espace
et de temps, auquel cas il n'y a pas de restrictions sur Δx et Δt. Étant donné que des valeurs plus
élevées de Δt peuvent donc être utilisées avec une méthode implicite, les temps de calcul
peuvent souvent être réduits, avec peu de perte de précision. Néanmoins, pour maximiser la
précision, Δt doit être suffisamment petit pour garantir que les résultats sont indépendants de
toute nouvelle réduction de sa valeur.
Si on veut traiter le cas du régime stationnaire, c’est-à-dire l’équation de Laplace, la
démarche est plus simple car on fait face à une EDO (Equation Différentielle ordinaire) :
∇2
𝑇𝑇 =
𝑑𝑑²𝑇𝑇
𝑑𝑑𝑑𝑑²
= 0
Si on applique les différences finies, on obtient : 𝑇𝑇𝑖𝑖 =
𝑇𝑇𝑖𝑖+1+𝑇𝑇𝑖𝑖−1
2
II-2 RESOLUTION DE L’EQUATION EN 1D :
II-2-1 Résolution de l’équation de Laplace :
On passe maintenant à la résolution de l’équation de la chaleur particulièrement
l’équation de Laplace. La solution de cette équation va nous permettre de savoir si la méthode
des différences finies prédit avec précision la distribution de température.
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
13
Considérons une tige solide de longueur L=2m avec les conditions aux limites 𝑇𝑇(0) =
𝑇𝑇0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑇𝑇(𝐿𝐿) = 𝑇𝑇𝐿𝐿 .
• Solution analytique de l’équation:
𝑑𝑑²𝑇𝑇(𝑥𝑥)
𝑑𝑑𝑑𝑑²
= 0 ⇒ 𝑇𝑇(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 ; 𝐵𝐵 = 𝑇𝑇0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴 =
𝑇𝑇𝐿𝐿 − 𝑇𝑇0
𝐿𝐿
⇒ 𝑇𝑇(𝑥𝑥) =
𝑇𝑇𝐿𝐿 − 𝑇𝑇0
𝐿𝐿
𝑥𝑥 + 𝑇𝑇0
On donne maintenant 𝑇𝑇0 = 50°𝐶𝐶 et 𝑇𝑇𝐿𝐿 = 10°𝐶𝐶, le pas de position ∆𝑥𝑥 = 0.5𝑚𝑚 et donc
on doit calculer trois valeurs de températures pour savoir la distribution de température dans la
tige. Les valeurs de T en 0.5, 1 et 1.5 sont respectivement 40°C, 30°C et 20°C.
• Solution numérique de l’équation:
Prenons maintenant l’équation (2.8). Pour trouver la distribution de température, il faut
résoudre un système à 3 inconnues :
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝑇𝑇1 =
𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇0
2
𝑇𝑇2 =
𝑇𝑇3 + 𝑇𝑇1
2
𝑇𝑇3 =
𝑇𝑇4=𝐿𝐿 + 𝑇𝑇2
2
⇒ �
2𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇2 = 𝑇𝑇0
−𝑇𝑇1 + 2𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇3 = 0
−𝑇𝑇2 + 2𝑇𝑇3 = 𝑇𝑇4=𝐿𝐿
ou bien sous forme matricielle :
�
2𝑇𝑇1 −𝑇𝑇2 0
−𝑇𝑇1 2𝑇𝑇2 −𝑇𝑇3
0 −𝑇𝑇2 2𝑇𝑇3
� = �
𝑇𝑇0
0
𝑇𝑇4=𝐿𝐿
� ou bien �
2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 2
� �
𝑇𝑇1
𝑇𝑇2
𝑇𝑇3
� = �
𝑇𝑇0
0
𝑇𝑇4=𝐿𝐿
� ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑏𝑏
C’est une équation qui peut être résolue facilement par inversion de la matrice A.
En utilisant un simple programme MATLAB, on peut trouver directement la température :
>> a= [2 -1 0; -1 2 -1; 0 -1 2] ; >> syms T1 T2 T3>> x= [T1; T2; T3] ; >> b= [50; 0; 10] ;
>> x=inv(a)*b
x =
40.0000
30.0000
20.0000
On peut constater que
d’après le résultat des calculs
et de la figure 2.4, que les
valeurs numériques sont
identiques aux valeurs
analytiques et donc la
méthode des différences
finies est une méthode
numérique efficace.
Figure 2.4 Comparaison entre la solution analytique et numérique
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
14
Cependant les résultats obtenus par hypothèse du régime stationnaire ne sont vrais qu’après une très
longue durée dont on ne peut pas la calculer, ce qui rend impossible de suivre l’évolution par rapport
au temps de certaines régions du domaine.
II-2-2 Résolution de l’équation de la chaleur en Régime Transitoire :
• Schéma explicite :
La figure2.5 illustre schématiquement les
molécules de différence finie associées au
schéma explicite. Clairement, le système
(équation 2.5) fournit pour i = 1,2,…, M – 1,
M − 1 équations algébriques mais contient M
+ 1 valeurs de nœuds inconnus 𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛+1
(i =
0,1,2,… , M).
Deux relations supplémentaires, sont
nécessaires pour rendre le nombre
d'équations égal au nombre d'inconnues,
peuvent être obtenues à partir des deux
conditions aux limites à i = 0 et i = M. Si les valeurs aux limites sont prescrites, alors le nombre
d'équations est égal au nombre d’inconnues.
Le système d'équations (2.5) fournit alors M − 1 relations explicites pour la
détermination de M − 1 valeurs de nœuds internes inconnus 𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛+1
, i = 1,2,…, M − 1 car les
valeurs limites T0 et TM sont connus à tous les temps. L'algorithme de calcul est le suivant:
1. Début des calculs avec n = 0. On calcule 𝑇𝑇𝑖𝑖
1
, i= 1,2,…, M − 1 à la fin du premier pas
de temps à partir de l'équation (2.5) car le côté droit de cette équation est connu à partir
de la condition initiale.
2. On fixe n = 1 et on calcule 𝑇𝑇𝑖𝑖
2
, i = 1,2,…, M − 1 à la fin du deuxième pas de temps
de l'équation (2.5) car le côté droit de cette équation est connu d’après le pas du temps
précédent.
3. Répétition la procédure pour chaque pas de temps suivant et poursuite des calculs
jusqu'à ce qu'un temps spécifié ou une valeur spécifiée de la température soit atteinte.
Valeurs
connues
Valeurs
inconnues
Figure 2.5 :
Figure 2.5 Molécules des différences finies explicites.
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
15
• Schéma implicite :
La figure2.6 illustre le point d'expansion (i,
n + 1) et la molécule de différence finie
implicite. Si le problème implique M
températures de nœuds inconnus, la solution
simultanée de M équations à chaque niveau
de temps est plus impliquée que celle de la
méthode explicite; mais le procédé a
l'avantage qu'un pas de temps Δt plus grand
peut être utilisé contrairement au procédé
explicite.
Pour parvenir à une solution numérique du schéma implicite, prenons l’équation (2.7) :
𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛
= (1 + 2𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛+1
− 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1
𝑛𝑛+1
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1
𝑛𝑛+1
�
On peut bien évidemment rendre cette équation sous son équivalent matriciel :
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
1 + 2𝜗𝜗
−𝜗𝜗
0
⋮
0
−𝜗𝜗
1 + 2𝜗𝜗
⋱
⋱
⋯
0
−𝜗𝜗
⋱
−𝜗𝜗
0
⋯
⋯
⋱
1 + 2𝜗𝜗
−𝜗𝜗
0
⋮
0
−𝜗𝜗
1 + 2𝜗𝜗⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇1
𝑇𝑇2
⋮
𝑇𝑇𝑀𝑀−2
𝑇𝑇𝑀𝑀−1⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑛𝑛+1
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇1
𝑇𝑇2
⋮
𝑇𝑇𝑀𝑀−2
𝑇𝑇𝑀𝑀−1⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇0
0
⋮
0
𝑇𝑇𝐿𝐿⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑛𝑛+1
Dans le cas d'un système tridiagonal d'équations algébriques, tel que celui ci-dessus, la méthode
d'élimination de Gauss peut être encore simplifiée en profitant des zéros de la matrice
tridiagonale. Cette simplification est ce qu’on appelle l’algorithme de Thomas. Autrement dit,
cet algorithme est une factorisation LU des matrices tridiagonales. Pour plus de détail sur cet
algorithme, le lecteur est invité à consulter l’annexe C.
II-3 L’EQUATION DE LA CHALEUR BIDIMENSIONNELLE :
II-3-1 Maillage bidimensionnel :
Similaire au cas monodimensionnel, on peut effectuer un maillage en un domaine
bidimensionnel comme schématisé ci-
dessous :
Exemple d’un maillage à 2 dimensions.
Ici, les coordonnées x et y sont
désignés par i et j respectivement. De
même, chaque nœud représente une
certaine région et sa température est
une mesure de la température moyenne
de la région. Par exemple, la
température du nœud i,j de la figure 2.7
peut être considérée comme la
température moyenne de la zone
ombrée environnante. IX
Valeurs
connues
Valeurs
inconnues
Figure 2.6 :.
Figure 2.6 Molécules des différences finies implicites
Figure 2.7 Maillage bidimensionnel du
domaine
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
16
II-3-2 Discrétisation de l’équation :
La discrétisation bidimensionnelle de l’équation est obtenue en suivant la même
démarche que dans la section (1-2) on ajoute simplement la variable y.
Les deux discrétisations qu’on va démontrer seront l’équation de Laplace et l’équation
de conduction en régime transitoire.
Considérons une plaque rectangulaire qui sera l’objet de notre discrétisation.
• Équation de Laplace :
Dans le domaine bidimensionnel étudié, l’équation de Laplace s’écrit :
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
+
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
= 0
Les développements en série de Taylor par rapport à x et à y sont :
�
𝜕𝜕²𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
𝜕𝜕𝜕𝜕²
=
𝑇𝑇(𝑥𝑥+∆𝑥𝑥,𝑦𝑦)−2𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦)+𝑇𝑇(𝑥𝑥−∆𝑥𝑥,𝑦𝑦)
∆𝑥𝑥2
𝜕𝜕²𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
𝜕𝜕𝜕𝜕²
=
𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦+∆𝑦𝑦)−2𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦)+𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦−∆𝑦𝑦)
∆𝑦𝑦2
Si on assume que les pas de positions sont égaux ∆𝑥𝑥 = ∆𝑦𝑦 et on note que 𝑖𝑖∆𝑥𝑥 ≡ 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑗𝑗∆𝑦𝑦 ≡
𝑦𝑦𝑗𝑗, on obtient finalement :
∇2
𝑇𝑇 =
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
+
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
=
𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1−4𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1+𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
∆𝑥𝑥²
= 0
On peut alors résoudre pour 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 : 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 =
𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1+𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
4
• L’équation de conduction en régime transitoire :
Maintenant, on va prendre en considération la dérivée temporelle donc l’équation devient :
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝛼𝛼 �
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
+
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
�
En effectuant les approximations de différences finies qu’on a vu antérieurement, et en
gardant les mêmes notations qu’auparavant on obtient en schéma explicite, ceci :
𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
− 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛
= 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
𝑛𝑛
+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
𝑛𝑛
− 4𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1
𝑛𝑛
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
𝑛𝑛
� où 𝜗𝜗 =
𝛼𝛼∆𝑡𝑡
∆𝑥𝑥²
C’est l’équation de la chaleur bidimensionnelle discrétisée, dépendante du temps, sans
source.
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
17
On peut résoudre pour 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
:
𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
= (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
𝑛𝑛
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
𝑛𝑛
+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
𝑛𝑛
+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1
𝑛𝑛
�
Similaire au cas monodimensionnel, on peut déduire que le schéma implicite de cette équation
sera : 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
− 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛
= 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
𝑛𝑛+1
− 4𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1
𝑛𝑛+1
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
�
On peut résoudre pour 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛
:
𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛
= (1 + 4𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
− 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
𝑛𝑛+1
+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1
𝑛𝑛+1
�
Les remarques faites pour le cas monodimensionnel comme détaillé dans la section 1-2, restent
valable pour le cas bidimensionnel c.-à-d., la méthode explicite est conditionnellement stable
avec 𝜗𝜗 ≤
1
4
, tandis que la méthode implicite est inconditionnellement stable et donne des
résultats plutôt acceptables physiquement.
II-4 RESOLUTION DE L’EQUATION EN 2D :
II-4-1 Résolution de l’équation de Laplace :
Considérons le problème bidimensionnel stationnaire de la conduction de la chaleur
dans un domaine rectangulaire [0, 𝐿𝐿] × [0,𝐻𝐻]. Le champ de température T(x, y) vérifie
l'équation de Laplace :
∇²𝑇𝑇 =
𝜕𝜕2
𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕2
+
𝜕𝜕2
𝑇𝑇
𝜕𝜕𝑦𝑦2
= 0 , (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ [0, 𝐿𝐿] × [0,𝐻𝐻]
𝑇𝑇(0, 𝑦𝑦) = 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑇𝑇(𝐿𝐿, 𝑦𝑦) = 𝑇𝑇𝑑𝑑 0 < 𝑦𝑦 < 𝐻𝐻
𝑇𝑇(𝑥𝑥, 0) = 𝑇𝑇𝑏𝑏 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝐻𝐻) = 𝑇𝑇ℎ 0 < 𝑥𝑥 < 𝐿𝐿
Le domaine de calcul
est discrétisé en (M
+1)×( N +1) nœuds
(𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑦𝑦𝑗𝑗) (i variant de 0 à
M et j variant de 0 à
N). On supposera que
les pas d'espace dans
chaque direction Δx et
Δy sont constants. La
température discrète
au nœud (𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑦𝑦𝑗𝑗) sera
notée𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 = T(𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑦𝑦𝑗𝑗).
(2.13)
(2.14)
Figure 2.8 Maillage des nœuds de différences finies
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
18
Une fois le réseau nodal établi et une équation aux différences finies appropriée est écrite
pour chaque nœud, la distribution de température peut être déterminée. Le problème se résume
à résoudre un système d'équations algébriques linéaires. Après, nous formulons le système
d'équations algébriques linéaires comme une équation matricielle.
Si on discrétise le domaine rectangulaire en (M +1)×( N +1) nœuds on obtient un système
linéaire à (𝑀𝑀 − 1) × (𝑁𝑁 − 1) équations algébriques avec (M +1)×( N +1) inconnues. Et pour
que le nombre d’équations et le nombre d’inconnus soient équitables, les conditions aux limites
nous fournissent M×N valeurs de nœuds ce qui rend le système linéaire solvable. Par exemple,
si on discrétise le domaine rectangulaire en 25 nœuds on obtient un système linéaire à 9
équations algébriques avec 25 inconnues dont on peut retrancher 16 valeurs grâce aux
conditions aux limites.
Reprenons maintenant l’équation (2.11) :
4𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
Cette équation peut être mise sous sa forme matricielle :
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
−4
1
0
1
0
0
0
0
0
1
−4
1
0
1
0
0
0
0
0
1
−4
0
0
1
0
0
0
1
0
0
−4
1
0
1
0
0
0
1
0
1
−4
1
0
1
0
0
0
1
0
1
−4
0
0
1
0
0
0
1
0
0
−4
1
0
0
0
0
0
1
0
1
−4
1
0
0
0
0
0
1
0
1
−4⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇11
𝑇𝑇12
𝑇𝑇13
𝑇𝑇21
𝑇𝑇22
𝑇𝑇23
𝑇𝑇31
𝑇𝑇32
𝑇𝑇33⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
= −
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑇𝑇𝑏𝑏
𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑑𝑑
𝑇𝑇𝑔𝑔
0
𝑇𝑇𝑑𝑑
𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑇𝑇ℎ
𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑑𝑑⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
Notons 𝑰𝑰 la matrice identité d'ordre 3 et 𝑫𝑫 la matrice de dimension 3 définie par :
𝑫𝑫 = �
−4 1 0
1 −4 1
0 1 −4
�
Notons 𝑻𝑻𝟏𝟏, 𝑻𝑻𝟐𝟐, 𝑻𝑻𝟑𝟑, 𝑺𝑺𝟏𝟏, 𝑺𝑺𝟐𝟐 et 𝑺𝑺𝟑𝟑 les vecteurs à 3 composantes définis par :
𝑻𝑻𝟏𝟏 = �
𝑇𝑇11
𝑇𝑇12
𝑇𝑇13
� 𝑻𝑻𝟐𝟐 = �
𝑇𝑇21
𝑇𝑇22
𝑇𝑇23
� 𝑻𝑻𝟑𝟑 = �
𝑇𝑇31
𝑇𝑇32
𝑇𝑇33
�
𝑺𝑺𝟏𝟏 = �
𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑇𝑇𝑏𝑏
𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑑𝑑
� 𝑺𝑺𝟐𝟐 = �
𝑇𝑇𝑔𝑔
0
𝑇𝑇𝑑𝑑
� 𝑺𝑺𝟑𝟑 = �
𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑇𝑇ℎ
𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑑𝑑
�
Le système peut s'écrire sous la forme matricielle bloc suivante :
�
𝐷𝐷 𝐼𝐼 0
𝐼𝐼 𝐷𝐷 𝐼𝐼
0 𝐼𝐼 𝐷𝐷
� �
𝑇𝑇1
𝑇𝑇2
𝑇𝑇3
� = − �
𝑆𝑆1
𝑆𝑆2
𝑆𝑆3
�
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
19
La matrice obtenue est tri-diagonale et chacun de ses blocs est tri-diagonal. La résolution du
système peut s'effectuer par une méthode itérative matricielle (méthode de Gauss-Seidel), ou
une méthode de Thomas matriciel qui parait à la fois rapide et convergente.
II-4-2 Résolution de l’équation de la chaleur en Régime Transitoire :
A titre d'illustration, on considérera le même cas étudié dans la section précédente du
régime permanant, appliqué au régime transitoire.
• Schéma explicite :
On considère l’équation (2.13) discrétisée :
𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
= (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
𝑛𝑛
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
𝑛𝑛
+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
𝑛𝑛
+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1
𝑛𝑛
�
La résolution de cette équation repose sur la solution d’un système linéaire d’équations
algébriques sous la forme suivante :
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧
𝑇𝑇1,1
𝑛𝑛+1
= 𝜗𝜗𝑇𝑇2,1
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑛𝑛
+ (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇1,1
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇1,2
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑏𝑏
𝑛𝑛
𝑇𝑇2,1
𝑛𝑛+1
= 𝜗𝜗𝑇𝑇3,1
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇1,1
𝑛𝑛
+ (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇2,1
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇2,2
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑏𝑏
𝑛𝑛
𝑇𝑇3,1
𝑛𝑛+1
= 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑑𝑑
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇2,1
𝑛𝑛
+ (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇3,1
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇3,2
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑏𝑏
𝑛𝑛
𝑇𝑇1,2
𝑛𝑛+1
= 𝜗𝜗𝑇𝑇2,2
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑛𝑛
+ (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇1,2
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇1,3
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇1,1
𝑛𝑛
𝑇𝑇2,2
𝑛𝑛+1
= 𝜗𝜗𝑇𝑇3,2
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇1,2
𝑛𝑛
+ (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇2,2
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇2,3
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇2,1
𝑛𝑛
𝑇𝑇3,2
𝑛𝑛+1
= 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑑𝑑
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇2,2
𝑛𝑛
+ (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇3,2
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇3,3
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇3,1
𝑛𝑛
𝑇𝑇1,3
𝑛𝑛+1
= 𝜗𝜗𝑇𝑇2,3
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑛𝑛
+ (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇1,3
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇ℎ
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇1,2
𝑛𝑛
𝑇𝑇2,3
𝑛𝑛+1
= 𝜗𝜗𝑇𝑇3,3
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇1,3
𝑛𝑛
+ (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇2,3
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇ℎ
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇2,2
𝑛𝑛
𝑇𝑇3,3
𝑛𝑛+1
= 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑑𝑑
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇2,3
𝑛𝑛
+ (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇3,3
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇ℎ
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇3,2
𝑛𝑛
C’est-à-dire que matriciellement, on doit résoudre l’équation suivante :
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇11
𝑇𝑇21
𝑇𝑇31
𝑇𝑇12
𝑇𝑇22
𝑇𝑇32
𝑇𝑇13
𝑇𝑇23
𝑇𝑇33⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑛𝑛+1
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
1 − 4𝜗𝜗
𝜗𝜗
0
𝜗𝜗
0
0
0
0
0
𝜗𝜗
1 − 4𝜗𝜗
𝜗𝜗
0
𝜗𝜗
0
0
0
0
0
𝜗𝜗
1 − 4𝜗𝜗
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
1 − 4𝜗𝜗
𝜗𝜗
0
𝜗𝜗
0
0
0
𝜗𝜗
0
𝜗𝜗
1 − 4𝜗𝜗
𝜗𝜗
0
𝜗𝜗
0
0
0
𝜗𝜗
0
𝜗𝜗
1 − 4𝜗𝜗
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
1 − 4𝜗𝜗
𝜗𝜗
0
0
0
0
0
𝜗𝜗
0
𝜗𝜗
1 − 4𝜗𝜗
𝜗𝜗
0
0
0
0
0
𝜗𝜗
0
𝜗𝜗
1 − 4𝜗𝜗⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇11
𝑇𝑇21
𝑇𝑇31
𝑇𝑇12
𝑇𝑇22
𝑇𝑇32
𝑇𝑇13
𝑇𝑇23
𝑇𝑇33⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑇𝑇𝑏𝑏
𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑑𝑑
𝑇𝑇𝑔𝑔
0
𝑇𝑇𝑑𝑑
𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑇𝑇ℎ
𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑑𝑑⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑛𝑛
Une méthode de résolution matricielle appropriée est alors utilisée pour trouver la
solution.
• Schéma implicite :
On considère l’équation (2.14) discrétisée :
𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛
= (1 + 4𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
− 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
𝑛𝑛+1
+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1
𝑛𝑛+1
�
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
20
On obtient en suivant la même démarche qu’auparavant, la formulation matricielle est
la suivante :
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
1 + 4𝜗𝜗
−𝜗𝜗
0
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
1 + 4𝜗𝜗
𝜗𝜗
0
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
1 + 4𝜗𝜗
0
0
−𝜗𝜗
0
0
0
−𝜗𝜗
0
0
1 + 4𝜗𝜗
−
−𝜗𝜗
0
𝜗𝜗
0
0
0
−𝜗𝜗
0
−𝜗𝜗
1 + 4𝜗𝜗
−𝜗𝜗
−
0
𝜗𝜗
0
0
0
−𝜗𝜗
0
−𝜗𝜗
1 + 4𝜗𝜗
0
0
−𝜗𝜗
0
0
0
−𝜗𝜗
0
0
1 + 4𝜗𝜗
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
0
−𝜗𝜗
1 + 4𝜗𝜗
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
0
−𝜗𝜗
1 + 4𝜗𝜗⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇11
𝑇𝑇21
𝑇𝑇31
𝑇𝑇12
𝑇𝑇22
𝑇𝑇32
𝑇𝑇13
𝑇𝑇23
𝑇𝑇33⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑛𝑛+1
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇11
𝑇𝑇21
𝑇𝑇31
𝑇𝑇12
𝑇𝑇22
𝑇𝑇32
𝑇𝑇13
𝑇𝑇23
𝑇𝑇33⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑇𝑇𝑏𝑏
𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑑𝑑
𝑇𝑇𝑔𝑔
0
𝑇𝑇𝑑𝑑
𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑇𝑇ℎ
𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑑𝑑⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑛𝑛
La solution de ce système matriciel se fait en utilisant une méthode itérative comme
celles de Gauss Seidel. Néanmoins, cette dernière manque de vitesse de convergence. La
méthode SOR (Successive Over Relaxation) est un raffinement de la méthode de Gauss Seidel
qui peut accélérer la convergence. L’explication de la méthode SOR est détaillé dans l’annexe
D.
• Schéma ADI :
Pour le cas particulier de l'équation de conduction, de différentes techniques ont
donc été développées. L'une de ces techniques est la méthode implicite de direction alternée
(ADI) qui consiste essentiellement à résoudre les équations 2D à moitié explicites et à moitié
implicites le long de profils unidimensionnels.
L'approximation aux différences finies de l'équation différentielle (2.12) avec la
méthode ADI est basée sur les concepts suivants. Supposons que les calculs doivent être
avancés du (n)ème niveau temporel au (n + 1)ème niveau temporel. La méthode implicite est
utilisée pour la direction y, et la méthode explicite est utilisée pour l'autre direction x dans le
but de calculer la solution dans un temps intermédiaire (n + 1/2)Δt. Ensuite, le passage du (n +
1/2)ème niveau au (n + 1)ème niveau se fait en inversant les directions des méthodes implicites
et explicites. La procédure de calcul se poursuit donc en changeant alternativement les
directions des méthodes explicites et implicites. Nous illustrons maintenant l'application de la
méthode ADI pour la discrétisation de l'équation (2.12). Le schéma implicite est utilisé dans la
direction y et le schéma explicite dans la direction y pour passer du nième au (n + 1/2)ème
niveau temporel. Le schéma implicite est utilisé dans la direction x et l'explicite dans la direction
y pour passer du nième au (n + 1/2) ème niveau temporel. L'approximation aux différences
finies de l'équation (2.12) est donnée par :
𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+
1
2
− 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛
𝛼𝛼
∆𝑡𝑡
2
=
𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+
1
2
− 2𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+
1
2
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+
1
2
∆𝑥𝑥²
+
𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
𝑛𝑛
− 2𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1
𝑛𝑛
∆𝑦𝑦²
Une formulation explicite est maintenant utilisée pour la direction x et une formulation implicite
pour la direction y. Ensuite, l'approximation de différence finie pour l'équation (2.12) de
l'intermédiaire (n + 1/2)ème au (n + 1)ème pas de temps devient :
(2.15)
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
21
𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
− 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+
1
2
𝛼𝛼
∆𝑡𝑡
2
=
𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+
1
2
− 2𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+
1
2
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+
1
2
∆𝑥𝑥²
+
𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
𝑛𝑛+1
− 2𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
+ 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1
𝑛𝑛+1
∆𝑦𝑦²
Nous réorganisons les équations (2.15) et (2.16) respectivement comme suit :
−𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
2 + 2(1 + 𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
2 − 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
2 = 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1
𝑛𝑛
+ 2(1 − 𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
𝑛𝑛
−𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1
𝑛𝑛+1
+ 2(1 + 𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
− 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
𝑛𝑛+1
= 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
2 + 2(1 − 𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
2 + 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
2
L'avantage de cette approche par rapport aux méthodes entièrement implicites est que chaque
équation, bien qu'implicite, n'est que tridiagonale et peut être résolue efficacement avec le
fameux algorithme de Thomas. Autrement dit, l'équation (2.17) contient des inconnues
implicites 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+
1
2
, 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+
1
2
et 𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
𝑛𝑛+
1
2
, et l'équation (2.18) contient aussi des inconnues implicites
𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛+1
, 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1
𝑛𝑛+1
et 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
𝑛𝑛+1
.
Après application des conditions aux limites du problème en utilisant les procédures de
discrétisation décrites précédemment, les équations (2.17) et (2.18) donnent des systèmes
tridiagonaux de forme matricielle :
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝛽𝛽
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
𝛽𝛽
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
𝛽𝛽
0
0
0
0
0
0
0
0
0
𝛽𝛽
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
𝛽𝛽
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
𝛽𝛽
0
0
0
0
0
0
0
0
0
𝛽𝛽
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
𝛽𝛽
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
𝛽𝛽 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇11
𝑇𝑇21
𝑇𝑇31
𝑇𝑇12
𝑇𝑇22
𝑇𝑇32
𝑇𝑇13
𝑇𝑇23
𝑇𝑇33⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑛𝑛+
1
2
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝛾𝛾
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
𝛾𝛾
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
𝛾𝛾
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
𝛾𝛾
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
𝛾𝛾
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
𝛾𝛾
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
𝛾𝛾
0
0
0
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
𝛾𝛾
0
0
0
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
𝛾𝛾⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇11
𝑇𝑇21
𝑇𝑇31
𝑇𝑇12
𝑇𝑇22
𝑇𝑇32
𝑇𝑇13
𝑇𝑇23
𝑇𝑇33⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑛𝑛
+ 𝜗𝜗
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑇𝑇𝑏𝑏
𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑑𝑑
𝑇𝑇𝑔𝑔
0
𝑇𝑇𝑑𝑑
𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑇𝑇ℎ
𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑑𝑑⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
Figure 2.9 :.
Figure 2.9 Maillage des
molécules de différences finies
en ADI
(2.17)
(2.16)
(2.18)
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
22
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝛽𝛽
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
𝛽𝛽
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
𝛽𝛽
0
0
0
0
0
0
0
0
0
𝛽𝛽
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
𝛽𝛽
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
𝛽𝛽
0
0
0
0
0
0
0
0
0
𝛽𝛽
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
𝛽𝛽
−𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
0
−𝜗𝜗
𝛽𝛽 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇11
𝑇𝑇12
𝑇𝑇13
𝑇𝑇21
𝑇𝑇22
𝑇𝑇23
𝑇𝑇31
𝑇𝑇32
𝑇𝑇33⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑛𝑛+1
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝛾𝛾
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
𝛾𝛾
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
0
0
0
𝛾𝛾
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
𝛾𝛾
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
𝛾𝛾
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
𝛾𝛾
0
0
𝜗𝜗
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
𝛾𝛾
0
0
0
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
𝛾𝛾
0
0
0
0
0
0
𝜗𝜗
0
0
𝛾𝛾⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇11
𝑇𝑇12
𝑇𝑇13
𝑇𝑇21
𝑇𝑇22
𝑇𝑇23
𝑇𝑇31
𝑇𝑇32
𝑇𝑇33⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
𝑛𝑛+
1
2
+ 𝜗𝜗
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑇𝑇𝑏𝑏
𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑑𝑑
𝑇𝑇𝑔𝑔
0
𝑇𝑇𝑑𝑑
𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑔𝑔
𝑇𝑇ℎ
𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑑𝑑⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
Avec 𝛽𝛽 = 2(1 + 𝜗𝜗) et 𝛾𝛾 = 2(1 − 𝜗𝜗).
Par rapport aux autres méthodes, l'ADI est rapide. Cependant, les méthodes ADI ne
fonctionnent que si les équations gouvernantes ont des dérivées temporelles comme pour
l’explicite et l’implicite. Par contre, il est fortement recommandé d'utiliser la méthode ADI pour
traiter les problèmes tridimensionnels en raison de sa vitesse de calcul que ça soit en 2D ou bien
en 3D.
II-5 VERIFICATION ET VALIDATION DES CODES (V&V):
La vérification et la validation vise à évaluer la précision des simulations de calcul. Dans
cette section, nous allons reporter les différents résultats qu’on a obtenu à partir des calculs avec
des commentaires et des conclusions tirées de ces résultats. La liste des codes qu’on a travaillés
avec seront mis à disposition du lecteur dans l’annexe E.
II-5-1 Validation du cas explicite :
Le premier procédé qu’on doit traiter est sans doute la comparaison avec la solution
exacte du problème pour affirmer que le programme écrit fonctionne correctement.
X
Le résultat analytique qui sera l’objet de notre comparaison, est obtenue à partir des
paramètres suivants :
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝛼𝛼
𝜕𝜕²𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕²
, 𝛼𝛼 =
1
𝜋𝜋²
�
𝑇𝑇(0, 𝑡𝑡) = 𝑇𝑇(1, 𝑡𝑡) = 0
𝑇𝑇(𝑥𝑥, 0) = 𝑇𝑇0(𝑥𝑥)
𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) =
1
𝜋𝜋²
𝑒𝑒−𝑡𝑡
sin(𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑇𝑇0(𝑥𝑥) =
sin(𝜋𝜋𝜋𝜋)
𝜋𝜋²
Les conditions initiales et aux
limites sont :
La solution est de la forme :
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
23
La courbe obtenue par ces conditions est tridimensionnelle comme schématisé dans la figure
2.10. C’est l’évolution de la température dans une durée de 1sec. Il est clairement observable
que la solution numérique est bel et bien convergente. Toutefois, la méthode explicite n'est pas
inconditionnellement stable et donc la solution diverge si le critère de stabilité n’est pas satisfait
ce qui est remarquable dans le rectangle bleu. On va visualiser cette divergence plus nettement
plus tard.
Nœuds
de temps
Solution
numérique
Solution exacte Erreur absolue
0 0,10097512 0,10097512 0
1 0,095672737 0,095798074 0,000125336
2 0,090648792 0,090886456 0,000237665
3 0,085888663 0,086226661 0,000337998
4 0,081378496 0,081805775 0,000427279
5 0,077105167 0,07761155 0,000506383
6 0,073056237 0,073632366 0,000576128
7 0,069219925 0,069857196 0,000637271
8 0,065585063 0,066275581 0,000690518
9 0,062141075 0,062877598 0,000736523
10 0,058877937 0,059653831 0,000775894
11 0,055786153 0,056595348 0,000809195
12 0,052856714 0,053693675 0,000836961
13 0,050081171 0,050940772 0,000859601
14 0,047450953 0,048329012 0,000878059
15 0,044961549 0,045851159 0,00088961
16 0,042585863 0,043500346 0,000914483
17 0,040441312 0,041270061 0,000828748
18 0,03774894 0,039154123 0,001405183
19 0,039266803 0,037146671 0,002120132
Table 1 : Comparaison
quantitative entre la solution
exacte et la méthode
explicite.
Explicite
Exacte
Figure 2.10 Comparaison qualitative entre la solution exacte et la méthode explicite.
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
24
La table 1 donne les différentes valeurs du nœud de position 9, en chaque nœud de temps avec
un pas de temps 𝑑𝑑𝑑𝑑 ≈ 0.05263𝑠𝑠. L’erreur est de l’ordre de 10-4
. Les données de la table 1 sont
reportés dans la figure 2.11. Les deux courbes sont à peu près confondus le code est alors vérifié.
II-5-2 Validation du cas implicite :
Comme on a fait pour la méthode explicite, on peut bien évidement faire une
comparaison qualitative et quantitative de la méthode implicite avec la solution exacte comme
schématisé ci-dessous.
Figure 2.12 :.
Analytique
Numérique
Figure 2.11 comparaison entre la solution analytique et numérique en explicite
Figure 2.12 Comparaison qualitative entre la solution exacte et la méthode implicite
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
25
Nœuds
de temps
Solution
numérique
Solution exacte Erreur absolue
0 0,10097512 0,10097512 0
1 0,095937283 0,095798074 0,00013921
2 0,091150793 0,090886456 0,000264337
3 0,08660311 0,086226661 0,000376449
4 0,082282319 0,081805775 0,000476544
5 0,0781771 0,07761155 0,00056555
6 0,074276699 0,073632366 0,000644333
7 0,070570896 0,069857196 0,0007137
8 0,067049982 0,066275581 0,000774401
9 0,063704733 0,062877598 0,000827135
10 0,060526385 0,059653831 0,000872555
11 0,057506611 0,056595348 0,000911263
12 0,054637499 0,053693675 0,000943824
13 0,051911532 0,050940772 0,00097076
14 0,049321569 0,048329012 0,000992556
15 0,046860823 0,045851159 0,001009665
16 0,044522849 0,043500346 0,001022504
17 0,042301521 0,041270061 0,001031461
18 0,04019102 0,039154123 0,001036896
19 0,038185815 0,037146671 0,001039144
La figure 2.12 montre que nous pouvons à peine remarquer une différence entre les deux
courbes c.à.d. qu’ils sont confondus. On peut remarquer aussi que l’instabilité n’est plus un
problème grâce à la méthode implicite qui est réputée pour être inconditionnellement stable. La
table 2 donne les différentes valeurs du nœud de position 9, en chaque nœud de temps avec un
pas de temps 𝑑𝑑𝑑𝑑 ≈ 0.05263𝑠𝑠. L’erreur est de l’ordre de 10-4
. Les données de la table 2 sont
Table 2 : Comparaison
quantitative entre la solution
exacte et la méthode
implicite.
Analytique
Numérique
Figure 2.13 comparaison entre la solution analytique et numérique en implicite
Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée
26
reportés dans la figure 2.13. Les deux courbes sont presque confondus et présentent une absence
d’instabilité. Le code est alors vérifié.
CONCLUSION :
Dans ce chapitre, nous venons de donner en détail les principes de base de la discrétisation en
FDM, en régime stationnaire ainsi qu’en régime transitoire en 1D et 2D. Par la même occasion,
nous avons établi les maillages du problème et les molécules de différence finies pour les
différentes approches numériques. Nous avons aussi présenté les schémas de résolution de
chaque approche. Finalement on a vérifié nos programmes monodimensionnels avec la solution
analytique qui nous a permis de valider notre programme.
A présent, nous pouvons nous intéresser à la résolution numérique des équations en régime
stationnaire et transitoire pour certains cas d’études.
Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats
27
INTRODUCTION :
Dans ce chapitre, nous exposons les résultats de simulation obtenus à l’aide des codes
MATLAB et PYTHON. En premier lieu, nous exposons les résultats pour des cas simples
monodimensionnels et bidimensionnel avec des conditions aux limites de Dirichlet. Puis on
aborde notre cas d’étude qui comporte des conditions aux limites mixtes, avec des
commentaires sur les résultats de la simulation. Avant d’entamer ce chapitre, nous allons
présenter les modèles physiques des simulations.
III-1 MODELES PHYSIQUES EN 1D ET 2D :
III-1-1 Modèle unidimensionnel :
Considérons l’étude des transferts thermiques d’une barre d’aluminium de diffusivité
thermique 𝛼𝛼 = 97.1 × 10−6
𝑚𝑚2
. 𝑠𝑠−1XIdont sa longueur 𝐿𝐿 = 2𝑚𝑚 est très supérieure face à son
rayon.
III-1-2 Modèles bidimensionnels :
La simulation numérique de la conduction thermique en 2D, est effectuée dans une
plaque métallique composée cette fois ci d’argent de diffusivité thermique 𝛼𝛼 = 17.004 ×
10−5
𝑚𝑚2
. 𝑠𝑠−1XII 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘 = 419 𝑤𝑤. 𝑚𝑚−1
. °𝐶𝐶−1
. On travaillera sur deux cas d’étude :
• Cas d’étude bidimensionnel simple :
Ce cas simple, comporte
des conditions aux limites
de Dirichlet aux frontières.
Initialement, la plaque est
entièrement maintenue à
une température initiale
𝑇𝑇0 = 20 °𝐶𝐶.
• Cas d’étude bidimensionnel complexe :
𝑇𝑇𝐼𝐼 = 0℃
Figure 3.1 Modèle unidimensionnel
Figure 3.2 Modèle bidimensionnel simple
Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats
28
L’objet de notre cas
d’étude reposera sur les transferts
thermiques régissant d’un
domaine rectangulaire modélisé
par une plaque métallique avec
des conditions aux limites mixte :
des conditions de Dirichlet aux
extrémités est et ouest, une
condition de Neumann
adiabatique dans la paroi sud et
une condition de convection dans
la paroi nord avec 𝑇𝑇∞ = 8℃.
III-2 RESULTATS DES PROGRAMMES EN 1D :
Maintenant on passe à un cas d’étude monodimensionnel. On divise le domaine en 51
nœuds (si on compte de 0) le pas de position sera Δx=2/51-1 =0.04 m. Le pas de temps choisi
est Δt=5s.
III-2-1 Explicite :
Après compilation du programme on obtient les figures suivantes :
Les résultats de la figure 3.4 sont 4 barres aux instants 15min, 30min, 2h et 5h
respectivement. A chaque instant schématisé, la température pénètre progressivement à
travers la barre jusqu’à l’état d’équilibre thermique qui est approximativement 5 heures.
Au lieu de visualiser l’intégralité du domaine, on peut visualiser l’évolution de
certains points spécifiques de domaine.
Figure 3.4 Distribution de la température le long de la barre en différents instants par la méthode explicite
30 min
2 h
5 h
15 min
Figure 3.3 Modèle bidimensionnel complexe
Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats
29
Figure 3.6 Évolution de la température au nœud 20 en explicite
Figure 3.5 Évolution de la température au nœud 6 en explicite
Figure 3.7 Évolution de la température au nœud 43 en explicite
Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats
30
Les trois figures précédentes affirment que les solutions des températures nodales tendent
continuellement vers les valeurs finales (état stationnaire) avec le temps comme discuté dans la
section II-1-2.
Revenons au point 20 de la figure 3.6. Si on veut étudier la stabilité de la solution du point 20,
on accroit le pas de temps de 5s à 9s. le nombre de diffusion adimensionnel 𝜗𝜗 devient supérieur
à
1
2
et donc la solution n’est plus stable comme élaboré dans la figure 3.8.
La figure 3.8 signifie que si 𝜗𝜗 ≥
1
2
on aura des oscillations induites numériquement et
non acceptable physiquement comme discuté plus tôt dans ce chapitre.
Pour récapituler, la méthode explicite:
 Est facile à programmer et à mettre en œuvre
 N’a pas besoin d’une méthode matricielle pour la résoudre
 Diverge pour des valeurs de 𝜗𝜗 ≥
1
2
III-2-2 Implicite :
Après compilation du programme on obtient les figures suivantes :
Figure 3.5 :
Figure 3.8 Instabilité du nœud 20 à dt=9s
Figure 3.9 Distribution de la température le long de la barre en différents instants par la méthode implicite
5 h
2 h
30 min
15 min
Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats
31
Les résultats de la figure 3.9 sont 4 barres aux instants 15min, 30min, 2h et 5h respectivement.
A chaque instant schématisé, la température pénètre progressivement à travers la barre jusqu’à
l’état d’équilibre thermique qui est approximativement 5 heures.
Ces résultats semblent, à première vue, identique à ceux de la méthode explicites jusqu’à
présent.
On analyse des points spécifiques :
Figure 3.10 Comparaison entre les méthodes explicite (en haut) et implicite (en bas) aux premières 5min de l’expérience
Figure 3.12: Évolution de la température au nœud 20 en implicite
Figure 3.11 Évolution de la température au nœud 6 en implicite
Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats
32
Les trois figures précédentes confirment que les solutions des températures nodales tendent
continuellement vers les valeurs finales (état stationnaire) avec le temps. Les deux méthodes
paraissent semblables encore une fois.
Maintenant on examine la différence qualitative de la variation du nœud 20 au cours du temps
par les deux méthodes sur un graph représenté sur la figure 3.14. On remarque l’apparition d’un
faible chevauchement des deux courbes lorsqu’elles tendent vers la stagnation. L’interprétation
de ce chevauchement se résume par la rapidité de la méthode implicite qui atteint le régime
stationnaire avant que l’explicite, ces derniers étant distants d’un écart infinitésimal.
Néanmoins, les températures maximales restent les mêmes.
Cependant, la différence la plus considérable entre les deux méthodes est le critère de stabilité.
La méthode implicite est inconditionnellement stable et ne requiert pas que le Δt reste sous le
plafond d’une certaine valeur. Si on revient au nœud 20 et on augmente le Δt jusqu’une valeur
Explicite
Implicite
Figure 3.10:
Figure 3.13 Évolution de la température au nœud 43 en implicite
Figure 3.14 comparaison entre la méthode explicite et implicite au nœud 20
Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats
33
de 15s, l’allure de la courbe dans la figure 3.15 reste inchangeable et identique à la figure 3.9
et demeure tolérable physiquement.
Pour récapituler, la méthode implicite:
 Est légèrement difficile à programmer et à mettre en œuvre
 Nécessite une méthode matricielle pour la résoudre
 Toujours convergente pour n’importe quelle valeur de 𝜗𝜗
III-3 RESULTATS DES PROGRAMMES EN 2D STATIONNAIRE :
Notre objectif consiste à déterminer la distribution de température dans un domaine
rectangulaire à dimensions égales L. les conditions aux limites seront
𝑇𝑇0,𝑗𝑗 = 𝑇𝑇𝑀𝑀,𝑗𝑗 = 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑀𝑀 = 50°𝐶𝐶 et 𝑇𝑇𝑖𝑖,0 = 100°𝐶𝐶
Une solution simple et claire peut être obtenue en utilisant Excel
x→
y↓ 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
50 75 83.9 88.06 90 90.76 91 90 88.1 83.9 75 50
50 64 73.2 78.31 81.1 82.3 82 81.1 78.3 73.2 64 50
50 59 66.2 70.94 73.8 75.06 75 73.8 70.9 66.2 59 50
50 56 61.6 65.46 67.9 69.12 69 67.9 65.5 61.6 56 50
50 54 58.4 61.37 63.4 64.37 64 63.4 61.4 58.4 54 50
50 53 56 58.29 59.8 60.63 61 59.8 58.3 56 53 50
50 52 54.3 55.93 57.1 57.66 58 57.1 55.9 54.3 52 50
50 52 52.9 54.06 54.9 55.27 55 54.9 54.1 52.9 52 50
50 51 51.8 52.54 53 53.3 53 53 52.5 51.8 51 50
50 50 50.9 51.22 51.5 51.59 52 51.5 51.2 50.9 50 50
50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
Figure 3.15 Stabilité du nœud 20 à dt=15s
Figure 3.16 Profil de température en utilisant Excel
Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats
34
Cependant se résultat nous donne qu’un nombre limité de nœuds car le domaine peut être
divisé en 10×10 petites parties c.à.d. 100 nœuds au maximum.
Une solution plus précise du problème est obtenue ainsi en écrivant un programme adéquat.
Après compilation du programme on obtient le profil suivant :
Le profil obtenu dans la figure 3.17 est identique à celui de la figure 3.16. On remarque que le
profil est parabolique. On peut aussi visualiser ce profil en trois dimensions :
La figure 3.19 présente le contour des lignes isothermes. Chaque ligne possède une couleur
qui correspond à une valeur de température. Cette valeur reste constante le long de la ligne.
Les isothermes de la propagation de la température sont de forme parabolique. C’est un
comportement typique pour de tels conditions aux limites.
Figure 3.13 :
Figure 3.17 Profil de température plus précis en 2D
Figure 3.18 Profil de température tridimensionnel
Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats
35
III-4 RESULTATS DES PROGRAMMES EN 2D TRANSITOIRE :
On passe maintenant au cas bidimensionnel transitoire. La simulation dure 20000s soit
approximativement 5.5 heures. On a subdivisé le domaine en 50 × 50 nœuds pour toutes les
approches. Tous les résultats sont donnés avec une précision de 10−5
. Tous les détails de calculs
sont disponibles dans les programmes situés dans l’annexe E.
III-4-1 Schéma explicite :
30 min
2 h 5.5h
Figure 3.20 Différents Profils de température pour différents instants en explicite
15 min
Figure 3.19 Paraboles isothermes au régime permanant
Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats
36
Les résultats de la figure 3.20 sont 4 plaques aux instants 15min, 30min, 2h et 5.5h. A
chaque instant schématisé, la température provenante des quatre parois, pénètre
progressivement à travers la plaque de manière parabolique, avec la contribution maximale
appartenant à la paroi 100°C. L’état d’équilibre thermique est approximativement 5 heures et
demi.
On peut bien évidemment analyser un point spécifique du domaine :
La figure 3.21 montre qu’effectivement, la solution nodale de température du nœud
(45,41) tend vers le régime stationnaire (comme pour le cas monodimensionnel) au bout de
20000 s.
III-4-2 Schéma implicite :
Les résultats de la figure 3.22 sont 4 plaques aux instants 15min, 30min, 2h et 5h. A
chaque instant schématisé, la température provenante des quatre parois, pénètre
progressivement à travers la plaque de manière parabolique, avec la contribution maximale
appartenant à la paroi 100°C. L’état d’équilibre thermique est approximativement 2 heures.
Si on compare les résultats de la figure 3.22 à ceux obtenus dans la figure 3.20, on remarque la
distribution est différente dans les trois premiers instants schématisés et cela revient au fait que
la simulation explicite a été réalisée avec des dimensions de 3𝑚𝑚 × 3𝑚𝑚 qui est un peu grande
pour une expérience de ce calibre, du coup le régime stationnaire n’est atteint qu’au bout de 5h.
En revanche, la simulation explicite a été réalisée avec des dimensions de 1𝑚𝑚 × 1𝑚𝑚 qui est une
taille optimale pour cette expérience. Cependant le profil du régime stationnaire reste le même.
Figure 3.21: Évolution du nœud 45,41 au cours du temps en explicite
temps (s)
Température
(°C)
Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats
37
La différence la plus remarquable entre les deux méthodes est certainement l’évolution
du nœud (45,41) au cours du temps. Ce nœud atteint rapidement le régime permanant car les
dimensions de la plaque ne sont pas larges et donc tous les nœuds du domaine tendront
rapidement vers la stationnarité contrairement à l’explicite.
15 min 30 min
2 h 5.5h
Figure 3.22 Différents Profils de température pour différents instants
temps (s)
Température
(°C)
Figure 3.23 Évolution du nœud 45,41 au cours du temps en implicite
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  • 2. i Nous tenons tout d’abord à remercier Dieu le tout puissant et miséricordieux, qui nous a donné la force et la patience d’accomplir ce modeste travail. Nous profitons aussi de cette occasion pour remercier notre professeur et encadrant Mr. El Alami Mustapha, pour sa disponibilité, ses précieux conseils et son aide durant toute la période de la recherche. Son ouverture d’esprit son engagement et son soutien ainsi que la pertinence de ses remarques nous ont permis d’aboutir notre travail aisément. Nos vifs remerciements vont également aux membres du jury Pour l’intérêt qu’ils ont porté à ce travail en acceptant de l’examiner, et de l’enrichir par leurs propositions, sans oublier tous les membres et professeurs du département physique de l’université Hassan II. Enfin, nous tenons également à remercier toutes les personnes qui ont participé de près ou de loin à la réalisation de ce travail. Merci à tous. Remerciements :
  • 3. ii Table des matières Remerciements :..................................................................................................................................i Table des matières..........................................................................................................................ii Liste des figures ............................................................................................................................iv Nomenclature................................................................................................................................v Abstract.......................................................................................................................................vii Résumé ........................................................................................................................................vii Introduction générale.....................................................................................................................1 .........................................................2 INTRODUCTION :....................................................................................................................2 Ⅰ-1 GENERALITES :.....................................................................................................................2 Ⅰ-1-1 Contexte historique : .........................................................................................................2 Ⅰ-1-2 Interprétation physique des termes de l’équation de la chaleur :.......................................2 I-2 DESCRIPTION MATHEMATIQUE DE L’EQUATION DE LA CHALEUR :.....................3 I-2-1 Formule générale des équations aux dérivées partielles :..................................................3 I-2-2 Les variantes de l’équation de la chaleur :........................................................................3 I-2-3 Signification physique des classifications des EDP :.........................................................4 I-3 LES METHODES DE RESOLUTIONS ET LES DIFFÉRENTES : APPROCHES UTILISÉES :.................................................................................................................................5 I-3-1 Approche analytique : .......................................................................................................5 I-3-2 Approches numériques :....................................................................................................5 I-3-2 Génération des maillages : ................................................................................................6 I-4 SCHÉMA DE RÉSOLUTION :................................................................................................7 I-4-1 Étapes à suivre :.................................................................................................................7 I-4-2 Algorithme de résolution :.................................................................................................7 CONCLUSION :............................................................................................................................8 ...........................................................9 INTRODUCTION..........................................................................................................................9 II-1 L’EQUATION DE LA CHALEUR UNIDIMENSIONNELLE : ............................................9 II-1-1 Maillage monodimensionnel :..........................................................................................9 II-1-2 Discrétisation de l’équation : .........................................................................................10 II-2 RESOLUTION DE L’EQUATION EN 1D :.........................................................................12 II-2-1 Résolution de l’équation de Laplace :............................................................................12 II-2-2 Résolution de l’équation de la chaleur en Régime Transitoire : ....................................14 II-3 L’EQUATION DE LA CHALEUR BIDIMENSIONNELLE : .............................................15 II-3-1 Maillage bidimensionnel :..............................................................................................15
  • 4. iii II-3-2 Discrétisation de l’équation : .........................................................................................16 II-4 RESOLUTION DE L’EQUATION EN 2D :.........................................................................17 II-4-1 Résolution de l’équation de Laplace :............................................................................17 II-4-2 Résolution de l’équation de la chaleur en Régime Transitoire : ....................................19 II-5 VERIFICATION ET VALIDATION DES CODES (V&V): .................................................22 II-5-1 Validation du cas explicite :...........................................................................................22 II-5-2 Validation du cas implicite :...........................................................................................24 CONCLUSION :.........................................................................................................................26 .......................................................27 INTRODUCTION :......................................................................................................................27 III-1 MODELES PHYSIQUES EN 1D ET 2D :..........................................................................27 III-1-1 Modèle unidimensionnel : ............................................................................................27 III-1-2 Modèles bidimensionnels :............................................................................................27 III-2 RESULTATS DES PROGRAMMES EN 1D : ....................................................................28 III-2-1 Explicite : .....................................................................................................................28 III-2-2 Implicite : .....................................................................................................................30 III-3 RESULTATS DES PROGRAMMES EN 2D STATIONNAIRE : .......................................33 III-4 RESULTATS DES PROGRAMMES EN 2D TRANSITOIRE :..........................................35 III-4-1 Schéma explicite :.........................................................................................................35 III-4-2 Schéma implicite : ........................................................................................................36 III-4-3 Schéma ADI :...............................................................................................................38 III-5 CAS ÉTUDIÉ :....................................................................................................................39 III-5-1 Discrétisation de la condition aux limites convective par volume de contrôle : ............39 III-5-2 Discrétisation de la condition de Neumann :................................................................42 III-5-3 Résultats du programme :.............................................................................................43 CONCLUSION :..........................................................................................................................45 Conclusion générale et perspectives :.........................................................................................47 ANNEXES : ........................................................................................................................................48 Annexe A : Obtention de l’équation de la chaleur :...................................................................48 Annexe B : Solution Analytique en régime transitoire : ............................................................49 Annexe C : Algorithme de Thomas : ..........................................................................................50 Annexe D : Méthode de la relaxation (SOR) :............................................................................51 Annexe E : Liste des programmes :............................................................................................53 Programmes PYTHON :.........................................................................................................53 Programmes MATLAB : ........................................................................................................53 Références........................................................................................................................................54
  • 5. iv Liste des figures Figure 1.1 Exemple d’un maillage........................................................................................................7 Figure 1.2 Organigramme de calcul.....................................................................................................8 Figure 2.1 Domaine d’étude en 1D......................................................................................................9 Figure 2.2 Maillage du domaine en 1D................................................................................................9 Figure 2.3 Maillage dépendant du temps............................................................................................10 Figure 2.4 Comparaison entre la solution analytique et numérique...................................................13 Figure 2.5 Molécules des différences finies explicites........................................................................14 Figure 2.6 Molécules des différences finies implicites .......................................................................15 Figure 2.7 Maillage bidimensionnel du domaine................................................................................15 Figure 2.8 Maillage des nœuds de différences finies ..........................................................................17 Figure 2.9 Maillage des molécules de différences finies en ADI ........................................................21 Figure 2.10 Comparaison qualitative entre la solution exacte et la méthode explicite. ........................23 Figure 2.11 comparaison entre la solution analytique et numérique en explicite.................................24 Figure 2.12 Comparaison qualitative entre la solution exacte et la méthode implicite.........................24 Figure 2.13 comparaison entre la solution analytique et numérique en implicite.................................25 Figure 3.1 Modèle unidimensionnel..................................................................................................27 Figure 3.2 Modèle bidimensionnel simple.........................................................................................27 Figure 3.3 Modèle bidimensionnel complexe....................................................................................28 Figure 3.4 Distribution de la température le long de la barre en différents instants par la méthode explicite............................................................................................................................................28 Figure 3.5 Évolution de la température au nœud 6 en explicite ........................................................29 Figure 3.6 Évolution de la température au nœud 20 en explicite .. ...................................................... 29 Figure 3.7 Évolution de la température au nœud 43 en explicite.....................................................29 Figure 3.8 Instabilité du nœud 20 à dt=9s ..........................................................................................30 Figure 3.9 Distribution de la température le long de la barre en différents instants par la méthode implicite ...........................................................................................................................................30 Figure 3.10 Comparaison entre les méthodes explicite (en haut) et implicite (en bas) aux premières 5min de l’expérience.........................................................................................................................31 Figure 3.11 Évolution de la température au nœud 6 en implicite ........................................................31 Figure 3.12: Évolution de la température au nœud 20 en implicite .....................................................31 Figure 3.13 Évolution de la température au nœud 43 en implicite ......................................................32 Figure 3.14 comparaison entre la méthode explicite et implicite au nœud 20......................................32 Figure 3.15 Stabilité du nœud 20 à dt=15s.........................................................................................33 Figure 3.16 Profil de température en utilisant Excel ..........................................................................33 Figure 3.17 Profil de température plus précis en 2D...........................................................................34 Figure 3.18 Profil de température tridimensionnel .............................................................................34 Figure 3.19 Paraboles isothermes au régime permanant .....................................................................35 Figure 3.20 Différents Profils de température pour différents instants en explicite .............................35 Figure 3.21: Évolution du nœud 45,41 au cours du temps en explicite................................................36 Figure 3.22 Différents Profils de température pour différents instants en implicite.............................37 Figure 3.23 Évolution du nœud 45,41 au cours du temps en implicite................................................37 Figure 3.24 Différents Profils de température pour différents instants en ADI....................................38 Figure 3.25: Évolution du nœud 45,41 au cours du temps en ADI......................................................39 Figure 3.26 Maillage des différences finies par la méthode du volume de contrôle.............................40 Figure 3.27 Différents profils de température pour différentes vitesses...........................................44
  • 6. v Figure 3.28 Evolution du nœud (15,17) au cours du temps avec différentes valeurs de vitesse..........45 Figure 3.29 Contour des isothermes pour différentes vitesses ..........................................................46 Nomenclature Symboles latins : 𝑐𝑐𝑝𝑝 : Chaleur spécifique du solide à pression constante 𝑑𝑑𝑑𝑑 : Surface élémentaire (m²) 𝑑𝑑𝑑𝑑 : Volume élémentaire (m3 ) 𝑔𝑔 : Source d’énergie par unité de volume (w/m3 ) ℎ : Coefficient d’échange convectif du fluide 𝐻𝐻 : Hauteur du domaine (m) 𝑘𝑘 : Conductivité thermique du solide 𝐿𝐿 : Longueur du domaine (m) 𝑀𝑀 : Nombre de nœuds suivant l’axe des abscisses 𝒏𝒏 : Vecteur normal 𝑁𝑁 : Nombre de nœuds suivant l’axe des ordonnées 𝑞𝑞 ⃗𝑜𝑜𝑜𝑜 𝒒𝒒 : Vecteur densité de flux de chaleur (w.m-2 ) 𝑡𝑡 : Temps (s) 𝑇𝑇 : Température (°C) 𝑇𝑇∞ : Température du milieu extérieur (°C) 𝑉𝑉 𝑤𝑤 : Vitesse du vent (m/s) (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) : Cordonnées spatiales Symboles grecs : 𝛼𝛼 : Diffusivité thermique du solide (m²/s) ∆𝑥𝑥 : Pas de position x (m) ∆𝑦𝑦 : Pas de position y (m) ∆𝑡𝑡 : Pas de temps (s) 𝜗𝜗 : Nombre de diffusion adimensionnel (w /m.K°) (W /m2 .K°) (J /Kg.K°)
  • 7. vi 𝜌𝜌 : Masse volumique du solide Nombres adimensionnels : 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝛼𝛼∆𝑡𝑡 ∆𝑥𝑥² Le nombre de Fourier 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ℎ∆𝑥𝑥 𝑘𝑘 Le nombre de Biot Indices : 𝑏𝑏 : Bas 𝑑𝑑 : Droit 𝑔𝑔 : Gauche ℎ : Haut 𝑖𝑖 : Indice de position latitudinale 𝑗𝑗 : Indice de position longitudinale 𝑛𝑛 : Etape temporelle Opérateurs mathématiques : 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 ����������⃗ : Gradient ∇² : Laplacien ∇ : Nabla 𝑑𝑑 : Dérivée totale 𝜕𝜕 : Dérivée partielle 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 : Divergence (Kg /m3 )
  • 8. vii Abstract The work presented in this manuscript shows the numerical simulation of heat transfer around bodies with different geometries and compositions governed by the thermal diffusion equation or simply the heat equation. Primarily, we used some numerical techniques for solving partial differential equations (PDE), particularly the finite difference method where different numerical schemes such as explicit, implicit and ADI were manipulated. Afterwards, we modeled our main problem using a metallic plate with negligible thickness (thus the plate is considered as a two-dimensional object) and non-homogenous boundary conditions prescribed at the sides. Finally, we present and discuss the results of the simulation including their physical interpretation. The results shows that isotherms are indeed perpendicular to adiabatic surfaces. These simulations were performed using the MATLAB software and the PYTHON programming language. Résumé Le travail présenté dans ce manuscrit expose la simulation numérique du transfert de chaleur autour de corps de différentes géométries et compositions régies par l'équation de diffusion thermique ou simplement l'équation de chaleur. Principalement, nous avons utilisé quelques techniques numériques pour résoudre les équations aux dérivées partielles (EDP), en particulier la méthode des différences finies où différents schémas numériques tels que l'explicite, l’implicite et l’ADI ont été manipulés. Ensuite, nous avons modélisé notre problème principal en utilisant une plaque métallique d'épaisseur négligeable (en conséquence la plaque est considérée comme un objet bidimensionnel) et des conditions aux limites non homogènes prescrites sur les côtés. Enfin, nous présentons et discutons les résultats de la simulation, y compris leur interprétation physique. Les résultats montrent que les isothermes sont en effet perpendiculaires aux surfaces adiabatiques. Ces simulations ont été réalisées à l'aide du logiciel MATLAB et du langage de programmation PYTHON.
  • 9. 1 Introduction générale Le comportement dynamique des systèmes est un sujet majeur en physique. Un système mécanique par exemple, se traduit par des déplacements, des vitesses et des accélérations. Un système électrique ou électronique, se traduit par des tensions, des intensités et des dérivées temporelles sur ces quantités. Un système thermique se traduit par des températures, des gradients de température, de coefficients d’échanges thermiques, etc. En général, les équations utilisées pour décrire de tels comportements dynamiques, incluent des quantités inconnues représentant les fonctions recherchées et leurs dérivées. Ce sont les équations différentielles. Les systèmes mécaniques et électriques sont modélisés par des équations différentielles ordinaires. Un système thermique, par contre, est modélisées par des équations aux dérivées partielles (EDP). Les transferts thermiques est une science qui étudie la façon dont la chaleur se propage d’une région à une autre, sous l’influence d’une différence de température. Elle a subi une étude intensive pour satisfaire les exigences des autres technologies nucléaires, solaires…etc. Avec le développement prodigieux des techniques modernes, il est devenu indispensable à tout scientifique et ingénieur, quel que soit le domaine où il sera appelé, à posséder de bonnes connaissances des lois fondamentales du transfert thermique. Ce phénomène est très important dans les domaines des sciences technologiques, des conceptions techniques et de l’industrie, il existe dans chaque aspect de la vie et a un grand champ d’application. C’est un processus complexe qui est réalisé sur la base des différents modes fondamentaux à savoir : la conduction, la convection et le rayonnement. L’équation qui décrit adéquatement de tels transferts est l’équation de l’énergie qui traduit l’un des trois principes fondamentaux qui est la conservation de l’énergie. Les deux autres principes sont la conservation de la masse décrite par l’équation de continuité, et la conservation de la quantité de mouvement décrite par les équations de Navier Stokes en mécanique des milieux continus. Généralement, la conduction est le mode de transfert le plus omniprésent dans la nature, et cela revient au fait que la conduction, dans plusieurs cas, peut être couplée avec la convection et le rayonnement. Si on s’intéresse à la conduction dans les solides, l’équation de l’énergie se simplifie et se réduit à l’équation de la chaleur qui sera le centre d’attention de ce mémoire. Ce mémoire est divisé en trois chapitres le premier concerne la synthèse bibliographique sur la résolution numérique de l’équation de la chaleur, le deuxième chapitre porte sur la formulation mathématique du problème et les schémas de résolution aussi bien que la validation des programmes, le troisième chapitre examine les résultats des simulations numériques y compris leur interprétation physique. Nous clôturons notre mémoire avec des conclusions générales et perspectives. Enfin On a inclus une annexe qui comporte quelques informations de calcul disponibles dans la littérature ainsi que la liste des programmes utilisés dans les simulations.
  • 10. Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur 2 INTRODUCTION : L’équation de la chaleur est une EDP qui est solvable grâce à sa linéarité en T (dans ce mémoire). Malheureusement, une solution analytique n’est simple que si le régime stationnaire et l’équation est unidimensionnelle. Pour des dimensions supérieures, la solution est très compliquée et demande une bonne compréhension des séries et transformées de Fourier. On reste avec un seul choix devant nous qui est la résolution numérique. Le présent chapitre expose l’intérêt de l’équation de la chaleur ainsi que les travaux antécédents de quelques scientifiques et ingénieurs qui ont déjà résolus cette équation par de diverses approches. Ⅰ-1 GENERALITES : Ⅰ-1-1 Contexte historique : En physique, l'équation de la chaleur, est une équation aux dérivées partielles, qui sert à décrire le phénomène physique de conduction thermique. Introduite initialement en 1807 par Joseph Fourier, après des expériences sur la propagation de la chaleur, suivies par la modélisation de l'évolution de la température avec des séries trigonométriques, appelés depuis séries de Fourier et transformées de Fourier, permettant une grande amélioration à la modélisation mathématique des phénomènes, en particulier pour les fondements de la thermodynamique, et qui ont entrainé aussi des travaux mathématiques très importants pour les rendre rigoureuses, véritable révolution à la fois physique et mathématique, sur plus d'un siècle. • C’est une application directe de la loi fondamentale de la conduction de chaleur connue sous le nom de « Loi de Fourier » : 𝑞𝑞 ⃗ = −𝑘𝑘𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 ����������⃗𝑇𝑇 • 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 ����������⃗𝑇𝑇 Traduit que le gradient de température se dirige vers les milieux des 𝑇𝑇 croissants. Il convient de mentionner que l'équation de la chaleur est un cas particulier de l'équation de la diffusion qui décrit le comportement macroscopique de plusieurs microparticules en mouvement Brownien. Ⅰ-1-2 Interprétation physique des termes de l’équation de la chaleur : La deuxième loi de la thermodynamique stipule que la chaleur circulera des corps plus chauds vers des corps plus froids adjacents, car Les atomes du corps chaud ont une énergie cinétique plus élevée que ceux du corps froid. Ainsi, les atomes du corps chaud se déplacent et entrent en collision avec les atomes du corps froid et transfèrent la chaleur. Étant donné que les
  • 11. Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur 3 atomes du corps froid sont à un niveau d'énergie cinétique inférieur, ils ne se déplacent pas et ne se heurtent pas (relativement parlant). • Le modèle mathématique de l’équation de la chaleur dans un milieu homogène isotrope sans source est comme suit : 𝜌𝜌𝑐𝑐𝑝𝑝 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝑘𝑘 𝛻𝛻²𝑇𝑇 (1.1) Ou bien : 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝛼𝛼𝛼𝛼²𝑇𝑇 (1.2) où 𝛼𝛼 = 𝑘𝑘 𝜌𝜌𝑐𝑐𝑝𝑝 • Mathématiquement, la diffusivité thermique 𝛼𝛼 est une constante de proportionnalité. • La dérivée temporelle traduit le taux de variation de la température par rapport au temps elle est positive si la température augmente avec le temps, et négative si elle diminue. Alors La dérivée temporelle représente la vitesse de chauffage ou de refroidissement. • Le Laplacien 𝛻𝛻² = ∆ l’opérateur des dérivées secondes, traduit la différence de température entre un point et la moyenne de ses voisins. • En résumé, L’étude de l’équation de la chaleur nous permet de savoir comment circule la chaleur dans un milieu donné, et à bout de combien de temps le corps atteint un état d’équilibre thermique. I-2 DESCRIPTION MATHEMATIQUE DE L’EQUATION DE LA CHALEUR : I-2-1 Formule générale des équations aux dérivées partielles : On distingue plusieurs EDP en physique comme l’équation d’onde et l’équation de Navier-Stokes, mais ils n’ont pas tous la même formulation mathématique, et donc ne sont pas tous de la même classification c’est-à-dire parabolique, elliptique ou hyperbolique. La formule générale à laquelle obéit toutes les EDP, a été proposée pour la première fois en 1967 par Forsythe et WasowI : 𝐴𝐴 𝜕𝜕²𝜙𝜙 𝜕𝜕𝜕𝜕² + 𝐵𝐵 𝜕𝜕²𝜙𝜙 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝐶𝐶 𝜕𝜕²𝜙𝜙 𝜕𝜕𝜕𝜕² + 𝐷𝐷 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝐸𝐸 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝐺𝐺(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 (1.3) C’est une formule valable pour des EDP du second ordre, à deux variables indépendantes x et y. Ici l’équation est linéaire en assument que les coefficients A, B, C, D, E et F, et le terme de source G peuvent dépendre de x et y mais pas de la fonction ϕ. On peut déduire que l’équation (1.3) est : Elliptique, si B² - 4AC < 0 Parabolique, si B² - 4AC = 0 Hyperbolique, si B² - 4AC > 0 I-2-2 Les variantes de l’équation de la chaleur :
  • 12. Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur 4 A partir des conditions précédentes, on peut déterminer les différents types que prend de l’équation de la chaleur. L’équation de conduction de la chaleur en régime permanant à propriétés thermo- physiques constantes sans source d’énergie est : 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² + 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² = 0 (1.4) Ci-dessus l’équation de Laplace bidimensionnelle, est elliptique en posant B=0 et A=C=1. L’équation de la chaleur en régime permanant à propriétés thermo-physiques constantes avec une source d’énergie est : 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² + 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² + 1 𝑘𝑘 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 (1.5) Ci-dessus l’équation de Poisson bidimensionnelle, est aussi elliptique. L’équation de la chaleur monodimensionnelle en régime transitoire est : 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝛼𝛼 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² (1.6) C’est une équation parabolique en posant A=1 et B=C=0. Afin de clarifier la notation, on a considéré l’équation (1.3) comme étant bidimensionnelle. La transition de deux dimensions à trois est simple : L’équation (1.5) en trois dimensions 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² + 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² + 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² + 1 𝑘𝑘 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0 (1.7) est elliptique. L’équation (1.5) en régime transitoire 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² + 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² + 1 𝑘𝑘 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 (1.8) est parabolique. I-2-3 Signification physique des classifications des EDP : Ce qui compte pour nous le plus c’est la signification et l’interprétation physique de ces classifications. Prenons les équations (1.4) et (1.5). Les conditions à une position donnée sont influencées par les changements de conditions des deux côtés de cette position qu’ils soient dans la variable x ou dans la variable y. Ainsi, l'équation de conduction thermique en régime permanent est elliptique dans les coordonnées spatiales x et y et donc l’équation est elliptique. Maintenant on considère l’équation (1.6). Les conditions à une position donnée x sont influencées par les changements de conditions des deux côtés de cette position; par conséquent, l'équation est considérée comme elliptique dans la variable x. Cependant, si on prend en
  • 13. Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur 5 considération la variable temporelle t, les conditions à tout instant ne sont influencées que par des changements intervenant dans des conditions à des moments antérieurs à ce moment; Par conséquent, l'équation est parabolique dans le temps et donc l’équation est dite parabolique. I-3 LES METHODES DE RESOLUTIONS ET LES DIFFÉRENTES : APPROCHES UTILISÉES : I-3-1 Approche analytique : C’était avec le mathématicien et physicien français Joseph Fourier que l’équation de la chaleur a vu le jour en 1807. Et c’est lui aussi qui a été le premier à proposer une solution analytique en utilisant ses fameuses séries trigonométriques appelés depuis série de Fourier et transformées de Fourier qui sont connu comme étant l’outil mathématique le plus puissant pour la physique. Dans sa publication théorie analytique de la chaleurII publiée en 1822, Fourier à développer une solution délicate relative au problème de conduction de la chaleur dans les solides en utilisant la méthode de séparation de variables dont le résultat à aboutit à une série trigonométrique infinie. Pour discuter brièvement de la solution analytique, considérons une barre de fer par exemple. L’équation de la chaleur est donnée par la relation (1.6). En utilisant des conditions initiales et aux limites appropriés, on trouve que la solution générale est de la forme : 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = � 𝐷𝐷𝑛𝑛sin � 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐿𝐿 � ∞ 𝑛𝑛=1 𝑒𝑒 − 𝑛𝑛²𝜋𝜋²𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐿𝐿² Cette fonction satisfait les conditions aux limites et initiales : � 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 0) = 𝑇𝑇0(𝑥𝑥) 𝑇𝑇(0, 𝑡𝑡) = 𝑇𝑇(𝐿𝐿, 𝑡𝑡) = 0 Après un développement en série de Fourier, le coefficient 𝐷𝐷𝑛𝑛 est donné par : 𝐷𝐷𝑛𝑛 = 2 𝐿𝐿 � 𝑇𝑇0(𝑥𝑥)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐿𝐿 �𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐿𝐿 0 Pour qu’on puisse évaluer la température obtenue, il faut d’abord évaluer coefficient 𝐷𝐷𝑛𝑛 . Dans certains cas, notamment lorsqu’on fait face à des problèmes de conduction-convection, le coefficient 𝐷𝐷𝑛𝑛 devient très difficile à calculer car souvent il contient des paramètres qui sont obtenu en résolvant une équation transcendante qui ne peut être résolue que numériquement. On en déduit alors que la résolution analytique est limitée, on doit donc passer à des méthodes qui rendent l’équation de la chaleur plus solvable et plus simple. Il convient de mentionner que la solution analytique peut être obtenu aussi en faisant des transformées de Laplace. I-3-2 Approches numériques :
  • 14. Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur 6 Pour pouvoir résoudre une EDP numériquement, il faut qu’on fasse une discrétisation de l’équation par l’une des méthodes suivantes : • La méthode des éléments finis (FEM) : Dans cette méthode élaborée par Gilbert StrangIII en 1972, on subdivise un grand système en parties plus petites et plus simples appelées éléments finis. Ceci est réalisé par une discrétisation spatiale particulière dans les dimensions de l'espace, qui est mise en œuvre par la construction d'un maillage de l'objet, qui a un nombre fini de points. On aboutit finalement à un système d'équations algébriques. Les équations simples qui modélisent ces éléments finis sont ensuite assemblées dans un plus grand système d'équations qui modélise l'ensemble du problème. • La méthode des volumes finis (FVM): La EDP est résolue de manière approchée à l’aide d’un maillage constitué de volumes finis qui sont des petits volumes disjoints en 3D (des surfaces en 2D, des segments en 1D) dont la réunion constitue le domaine d'étude. Les volumes finis peuvent être construits autour de points d'un maillage initial, mais ce n’est pas une nécessité. • La méthode des différences finies (FDM) : La résolution du problème consiste à remplacer les termes différentiels par leurs approximations algébriques appelés différences finies en faisant un développement de Taylor. Cela nous donne ensuite un système d’équations linéaires qu’on peut résoudre par des méthodes directes en schéma explicite, et par des méthodes itératives en schéma implicite. Pour les problèmes impliquant des géométries irrégulières dans le domaine de la solution, le FEM est connu pour avoir plus de flexibilité parce que la région proche de la frontière peut facilement être divisé en sous-régions. Deux inconvénients majeurs de FDM était sa difficulté pour gérer efficacement la solution des problèmes sur une forme géométrique arbitraire en raison de l'interpolation entre les limites et les points intérieurs, afin de développer des expressions de différence finie pour les nœuds à proximité des limites d’une part, et sa difficulté de prise en compte des conditions aux limites de type Neumann d’autre part. Plus récemment, avec l'avènement des approches de la génération de grilles numériques appelés maillage, le FDM est devenu comparable au FEM dans le traitement avec des géométries irrégulières, tout en conservant la simplicité du FDM standard. Contrairement aux méthodes des volumes finis et des éléments finis qui exploitent des approximations d'intégrales, la méthode des différences finies met en jeu des approximations des dérivées. On se contentera juste à la méthode des différences finies grâce à sa simplicité à mettre en œuvre et à programmer. Pour la FDM, Gerald W. RecktenwaldIV et Ames W.FV ont développé les différences finies avancées dites explicite, retardées dite implicites, la méthode de Crank Nicholson qui est une combinaison des deux méthodes et de la méthode ADI (Alternating Direction Implicit) méthode implicite de direction alternative, qui a prouvé sa puissance qui compte à résoudre l’équation de la chaleur en dimensions supérieurs. I-3-2 Génération des maillages :
  • 15. Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur 7 La discrétisation de l’équation de la chaleur par rapport aux variables d’espace est généralement effectuée à l’aide de l’une des trois méthodes numériques décrites précédemment le FEM, FVM et le FDM. Ces méthodes opèrent sur un maillage qui est, d’après la description d’Alain FourmigueVI , une discrétisation spatiale du domaine considéré en petits éléments de forme régulière, appelés cellules. Les cellules du maillage peuvent prendre des formes diverses (hexaèdre, tétraèdre, prisme, pyramide, etc.). Considérons, par exemple, un problème différentiel à résoudre dans un domaine spatial unidimensionnel de longueur L. Dans la méthode des différences finies, le domaine 0 ≤ x ≤ L est discrétisé en segments égaux de longueur Δx, où Δx = L / M, générant ainsi un maillage de M + 1 nœuds dans le domaine spatial, comme schématisé ci-dessous. Par conséquent, les équations algébriques M + 1 sont développées en discrétisant les équations différentielles et les conditions aux limites du problème. Le problème de la résolution des équations différentielles ordinaires ou partielles sur le domaine du problème est ensuite transformé en un développement d'un ensemble d'équations algébriques, et de leur solution en utilisant un algorithme approprié. I-4 SCHÉMA DE RÉSOLUTION : I-4-1 Étapes à suivreVII : Les différentes étapes pour modéliser un système complexe : • Recherche d'un modèle mathématique représentant la physique. Mise en équation. • Elaboration d'un maillage. Discrétisation des équations de la physique. • Résolution des équations discrètes (souvent systèmes linéaires à résoudre). • Transcription informatique et programmation des relations discrètes. • Simulation numérique et exploitation des résultats. I-4-2 Algorithme de résolution : On se propose d’utiliser l’algorithme suivant : Figure 1.1 Exemple d’un maillage
  • 16. Chapitre 1 Etude bibliographique sur l’équation de la chaleur 8 CONCLUSION : Nous avons présenté le modèle de l’équation des transferts thermiques par conduction, en régime transitoire. Nous avons établi les différentes classifications des EDP et leur signification physique, en particulier l’équation de la chaleur. On a discuté la solution analytique qui nous a permis d’introduire les méthodes numériques puisque l’approche analytique présente des grandes complexités dans certains cas. On a introduit les différentes approches numériques principalement les différences finies FDM, et leur utilité. Nous avons aussi défini la génération des maillages qui nous permettent d'approcher et simuler les comportements du système. Finalement, on a proposé un algorithme et des étapes à suivre. La suite de notre PFE va maintenant porter sur l'analyse numérique du problème en détaillant la méthode des différences finies. Figure 1.2 Organigramme de calcul
  • 17. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 9 INTRODUCTION Les méthodes analytiques peuvent être utilisées, dans certains cas, pour effectuer des solutions mathématiques exactes à des problèmes de conduction mono/bidimensionnels. Ces solutions ont été générées pour un assortiment de simples géométries et conditions aux limites. Cependant, le plus souvent, les problèmes bidimensionnels impliquent des géométries et / ou des conditions aux limites qui empêchent de telles solutions. Dans ces cas, la meilleure alternative est souvent celle qui utilise une technique numérique telle que la méthode des différences finies, des éléments finis ou des volumes finis. L’avantage des méthodes numériques est qu'elles peuvent être facilement étendues à des problèmes à trois dimensions. En raison de sa simplicité d'application, la méthode des différences finies est bien adaptée pour un traitement d'introduction des techniques numériques. Dans ce chapitre, on négligera les sources de chaleur interne qui sont souvent provoqués par des réactions chimiques exothermiques ou endothermiques, ou bien un courant électrique qui traverse le solide et induit un effet joule. II-1 L’EQUATION DE LA CHALEUR UNIDIMENSIONNELLE : II-1-1 Maillage monodimensionnel : Contrairement à la solution analytique, qui permet de déterminer la température en tout point dans un milieu, la solution numérique permet de déterminer la température en des points discrets uniquement. La première étape de toute analyse numérique doit donc être de sélectionner ces points. En se référant à la figure 2.1, cela peut être fait en subdivisant le milieu en un certain nombre de petites régions et en attribuant à chacune un point de référence. Le point de référence est souvent appelé un point nodal (ou simplement un nœud), et l'ensemble des points est appelé un réseau nodal, une grille ou un maillage. Les points nodaux sont désignés par un schéma de numérotation qui, pour un système à une dimension, peut prendre la forme illustrée à la figure 2.2. L’emplacement x est désigné par l’indice i. Chaque nœud représente une certaine région et sa température est une mesure de la température moyenne de la région. Par exemple, la température du nœud i de la figure de droite peut être considérée comme la température moyenne de la zone ombrée environnante. La sélection des points nodaux est rarement arbitraire, en fonction souvent de questions telles que la commodité géométrique et la précision souhaitée. La précision numérique des calculs dépend fortement du nombre de points nodaux désignés. Si ce nombre est grand (un maillage fin), des solutions précises peuvent être obtenues. 𝐿𝐿 ∆𝑥𝑥 Figure 2.2 Maillage du domaine en 1D Figure 2.1 Domaine d’étude en 1D
  • 18. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 10 Si on désire d’ajouter le temps au maillage, on aura : Maillage sur une bande semi-infinie utilisée pour la résolution de l'équation de chaleur unidimensionnelle. Les carrés noirs indiquent l'emplacement des valeurs initiales (connues). Les carrés blancs indiquent l’emplacement des valeurs des conditions aux limites (connues). Les cercles indiquent la position des points intérieurs où l'approximation des différences finies est calculée. II-1-2 Discrétisation de l’équation : Comme on a discuté précédemment, la méthode des différences finies consiste à remplacer les termes différentiels par leur approximations algébriques en faisant un développement de Taylor. Dans la suite de ce chapitre, on distinguera deux méthodes l’explicite et l’implicite. Leur différence sera discutée ultérieurement. Pour une fonction 𝑓𝑓(𝑥𝑥) quelconque, on peut trouver une solution approchée à partir des approximations des dérivées en utilisant une méthode itérative. Pour un ∆𝑥𝑥 infinitésimal, l’approximation de la dérivée première de 𝑓𝑓 est par définition : 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∆𝑥𝑥 On effectue deux développements de Taylor d’ordre 2, un avancé c.à.d. en 𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥, et un autre retardé c.à.d. en 𝑥𝑥 − ∆𝑥𝑥 : 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + ∆𝑥𝑥𝑓𝑓′(𝑥𝑥) + ∆𝑥𝑥² 2! 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − ∆𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − ∆𝑥𝑥𝑓𝑓′(𝑥𝑥) + ∆𝑥𝑥² 2! 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) On additionne les deux expressions pour isoler 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) et on obtient : 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) − 2𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − ∆𝑥𝑥) ∆𝑥𝑥² Considérons l’étude des transferts thermiques d’une barre métallique dont sa longueur 𝐿𝐿 est très supérieure face à son rayon. L’équation de la chaleur est supposée unidimensionnelle : 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝛼𝛼 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² (2.1) (2.a) (2.c) (2.b) Figure 2.3 Maillage dépendant du temps
  • 19. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 11 ⎩ ⎨ ⎧ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡 + ∆𝑡𝑡) − 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) ∆𝑡𝑡 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² = 𝑇𝑇(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 2𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝑇𝑇(𝑥𝑥 − ∆𝑥𝑥, 𝑡𝑡) ∆𝑥𝑥2 Avec les expressions précédentes, on peut alors discrétiser l’équation de la chaleur unidimensionnelle dépendante du temps en explicite: 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡 + ∆𝑡𝑡) − 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) ∆𝑡𝑡 = 𝛼𝛼 � 𝑇𝑇(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 2𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝑇𝑇(𝑥𝑥 − ∆𝑥𝑥, 𝑡𝑡) ∆𝑥𝑥2 � On simplifie la notation en posant 𝜗𝜗 = 𝛼𝛼∆𝑡𝑡 ∆𝑥𝑥² , 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑖𝑖∆𝑥𝑥 et 𝑡𝑡𝑛𝑛 = 𝑛𝑛∆𝑡𝑡 et on obtient finalement : 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛+1 − 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛 = 𝜗𝜗(𝑇𝑇𝑖𝑖+1 𝑛𝑛 − 2𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1 𝑛𝑛 ) C’est l’équation de la chaleur unidimensionnelle, dépendante du temps, sans source, discrétisée. On peut résoudre pour 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛+1 : 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛+1 = (1 − 2𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗(𝑇𝑇𝑖𝑖+1 𝑛𝑛 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1 𝑛𝑛 ) VIII Cette équation est explicite parce que les températures nodales inconnues pour le nouveau temps sont déterminées seulement par les températures nodales connues au moment précédent. Par conséquent le calcul des températures inconnues est simple. Puisque la température de chaque nœud intérieur est connue à t = 0 (n = 0) à partir des conditions initiales, les calculs commencent à t = Δt (n= 1), où l'équation est appliquée à chaque nœud intérieur pour déterminer sa température. Avec des températures connues pour t = Δt, l'équation discrétisée est ensuite appliquée à chaque nœud pour déterminer sa température à t = 2Δt (n = 2). En suivant cette manière, la distribution de température transitoire est obtenue en marchant dans le temps, en utilisant des intervalles de Δt. La précision de la solution de différence finie peut être améliorée en diminuant les valeurs de Δx et Δt. Bien sûr, le nombre de points nodaux intérieurs qui doivent être considérés augmente avec la diminution de Δx, et le nombre d'intervalles de temps requis pour porter la solution à un temps final donné augmente avec la diminution de Δt. Par conséquent, le temps de calcul augmente avec la diminution de Δx et Δt. Le choix de Δx est généralement basé sur un arrangement entre la précision et les exigences de calcul. Cependant, une fois cette sélection effectuée, la valeur de Δt ne peut pas être choisie indépendamment. Il est plutôt déterminé par exigences de stabilité. Une caractéristique indésirable de la méthode explicite est qu'elle n'est pas inconditionnellement stable. En cas de problème transitoire, la solution des températures nodales doit tendre continuellement vers les valeurs finales (état stationnaire) avec le temps. Cependant, avec la méthode explicite, la solution peut être caractérisée par des oscillations induites numériquement, qui sont physiquement impossibles. Les oscillations peuvent devenir instables, provoquant les prédictions numériques de s'écarter de la solution réelle. Pour éviter toute divergence, la valeur prescrite de Δt doit être maintenue en dessous d'une certaine limite, qui dépend de Δx et d'autres paramètres du système. Cette dépendance est appelée critère de stabilité, qui peut être obtenu Mathématiquement ou démontré à partir d'un argument (2.2) (2.3) (2.4) (2.5)
  • 20. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 12 thermodynamique. Pour les problèmes intéressant ce texte, le critère est déterminé en exigeant que le coefficient associé aux termes combinés impliquant 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛 soit supérieur ou égal à zéro. Avec l’équation déjà exprimées sous la forme souhaitée, il s'ensuit que le critère de stabilité pour un nœud intérieur unidimensionnel est (1 − 2𝜗𝜗) ≥ 0, ou 𝜗𝜗 ≤ 1 2 . Une solution stable peut souvent être réalisée en utilisant un schéma de différences finies implicite plutôt qu'explicite. La forme implicite d'une équation aux différences finies peut être obtenue en utilisant à nouveau l'équation (2.2) pour approximer la dérivée temporelle, mais en évaluant toutes les autres températures au nouveau temps (n + 1), au lieu du temps précédent (n). L'équation (2.2) est alors considérée comme fournissant une approximation de la différence en arrière à la dérivée temporelle. Contrairement à l'équation (2.4), la forme implicite de l'équation de différence finie pour le nœud intérieur d'un système à une dimension est alors : 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛+1 − 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛 = 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1 𝑛𝑛+1 − 2𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1 𝑛𝑛+1 � On peut résoudre pour 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛 : 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛 = (1 + 2𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛+1 − 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1 𝑛𝑛+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1 𝑛𝑛+1 � D'après l'équation (2.7), il est évident que la nouvelle température du nœud (i) dépend des nouvelles températures de ses nœuds adjacents, qui sont, en général, inconnues. Par conséquent, pour déterminer les températures nodales inconnues au temps n + 1, toutes les équations nodales doivent être résolues simultanément. Une telle solution peut être effectuée en utilisant l'inversion de matrice ou l'itération de Gauss-Seidel. La solution impliquerait alors de résoudre simultanément les équations nodales à chaque instant t = Δt, 2Δt, . . . jusqu’à ce que la durée finale souhaitée soit atteinte. Par rapport à la méthode explicite, la formulation implicite a l'avantage important d'être inconditionnellement stable. C'est-à-dire que tous les coefficients de 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛+1 sont positifs et la solution reste stable pour tous les intervalles d'espace et de temps, auquel cas il n'y a pas de restrictions sur Δx et Δt. Étant donné que des valeurs plus élevées de Δt peuvent donc être utilisées avec une méthode implicite, les temps de calcul peuvent souvent être réduits, avec peu de perte de précision. Néanmoins, pour maximiser la précision, Δt doit être suffisamment petit pour garantir que les résultats sont indépendants de toute nouvelle réduction de sa valeur. Si on veut traiter le cas du régime stationnaire, c’est-à-dire l’équation de Laplace, la démarche est plus simple car on fait face à une EDO (Equation Différentielle ordinaire) : ∇2 𝑇𝑇 = 𝑑𝑑²𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑² = 0 Si on applique les différences finies, on obtient : 𝑇𝑇𝑖𝑖 = 𝑇𝑇𝑖𝑖+1+𝑇𝑇𝑖𝑖−1 2 II-2 RESOLUTION DE L’EQUATION EN 1D : II-2-1 Résolution de l’équation de Laplace : On passe maintenant à la résolution de l’équation de la chaleur particulièrement l’équation de Laplace. La solution de cette équation va nous permettre de savoir si la méthode des différences finies prédit avec précision la distribution de température. (2.6) (2.7) (2.8)
  • 21. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 13 Considérons une tige solide de longueur L=2m avec les conditions aux limites 𝑇𝑇(0) = 𝑇𝑇0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑇𝑇(𝐿𝐿) = 𝑇𝑇𝐿𝐿 . • Solution analytique de l’équation: 𝑑𝑑²𝑇𝑇(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑² = 0 ⇒ 𝑇𝑇(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 ; 𝐵𝐵 = 𝑇𝑇0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴 = 𝑇𝑇𝐿𝐿 − 𝑇𝑇0 𝐿𝐿 ⇒ 𝑇𝑇(𝑥𝑥) = 𝑇𝑇𝐿𝐿 − 𝑇𝑇0 𝐿𝐿 𝑥𝑥 + 𝑇𝑇0 On donne maintenant 𝑇𝑇0 = 50°𝐶𝐶 et 𝑇𝑇𝐿𝐿 = 10°𝐶𝐶, le pas de position ∆𝑥𝑥 = 0.5𝑚𝑚 et donc on doit calculer trois valeurs de températures pour savoir la distribution de température dans la tige. Les valeurs de T en 0.5, 1 et 1.5 sont respectivement 40°C, 30°C et 20°C. • Solution numérique de l’équation: Prenons maintenant l’équation (2.8). Pour trouver la distribution de température, il faut résoudre un système à 3 inconnues : ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝑇𝑇1 = 𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇0 2 𝑇𝑇2 = 𝑇𝑇3 + 𝑇𝑇1 2 𝑇𝑇3 = 𝑇𝑇4=𝐿𝐿 + 𝑇𝑇2 2 ⇒ � 2𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇2 = 𝑇𝑇0 −𝑇𝑇1 + 2𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇3 = 0 −𝑇𝑇2 + 2𝑇𝑇3 = 𝑇𝑇4=𝐿𝐿 ou bien sous forme matricielle : � 2𝑇𝑇1 −𝑇𝑇2 0 −𝑇𝑇1 2𝑇𝑇2 −𝑇𝑇3 0 −𝑇𝑇2 2𝑇𝑇3 � = � 𝑇𝑇0 0 𝑇𝑇4=𝐿𝐿 � ou bien � 2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2 � � 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 𝑇𝑇3 � = � 𝑇𝑇0 0 𝑇𝑇4=𝐿𝐿 � ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 C’est une équation qui peut être résolue facilement par inversion de la matrice A. En utilisant un simple programme MATLAB, on peut trouver directement la température : >> a= [2 -1 0; -1 2 -1; 0 -1 2] ; >> syms T1 T2 T3>> x= [T1; T2; T3] ; >> b= [50; 0; 10] ; >> x=inv(a)*b x = 40.0000 30.0000 20.0000 On peut constater que d’après le résultat des calculs et de la figure 2.4, que les valeurs numériques sont identiques aux valeurs analytiques et donc la méthode des différences finies est une méthode numérique efficace. Figure 2.4 Comparaison entre la solution analytique et numérique
  • 22. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 14 Cependant les résultats obtenus par hypothèse du régime stationnaire ne sont vrais qu’après une très longue durée dont on ne peut pas la calculer, ce qui rend impossible de suivre l’évolution par rapport au temps de certaines régions du domaine. II-2-2 Résolution de l’équation de la chaleur en Régime Transitoire : • Schéma explicite : La figure2.5 illustre schématiquement les molécules de différence finie associées au schéma explicite. Clairement, le système (équation 2.5) fournit pour i = 1,2,…, M – 1, M − 1 équations algébriques mais contient M + 1 valeurs de nœuds inconnus 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛+1 (i = 0,1,2,… , M). Deux relations supplémentaires, sont nécessaires pour rendre le nombre d'équations égal au nombre d'inconnues, peuvent être obtenues à partir des deux conditions aux limites à i = 0 et i = M. Si les valeurs aux limites sont prescrites, alors le nombre d'équations est égal au nombre d’inconnues. Le système d'équations (2.5) fournit alors M − 1 relations explicites pour la détermination de M − 1 valeurs de nœuds internes inconnus 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛+1 , i = 1,2,…, M − 1 car les valeurs limites T0 et TM sont connus à tous les temps. L'algorithme de calcul est le suivant: 1. Début des calculs avec n = 0. On calcule 𝑇𝑇𝑖𝑖 1 , i= 1,2,…, M − 1 à la fin du premier pas de temps à partir de l'équation (2.5) car le côté droit de cette équation est connu à partir de la condition initiale. 2. On fixe n = 1 et on calcule 𝑇𝑇𝑖𝑖 2 , i = 1,2,…, M − 1 à la fin du deuxième pas de temps de l'équation (2.5) car le côté droit de cette équation est connu d’après le pas du temps précédent. 3. Répétition la procédure pour chaque pas de temps suivant et poursuite des calculs jusqu'à ce qu'un temps spécifié ou une valeur spécifiée de la température soit atteinte. Valeurs connues Valeurs inconnues Figure 2.5 : Figure 2.5 Molécules des différences finies explicites.
  • 23. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 15 • Schéma implicite : La figure2.6 illustre le point d'expansion (i, n + 1) et la molécule de différence finie implicite. Si le problème implique M températures de nœuds inconnus, la solution simultanée de M équations à chaque niveau de temps est plus impliquée que celle de la méthode explicite; mais le procédé a l'avantage qu'un pas de temps Δt plus grand peut être utilisé contrairement au procédé explicite. Pour parvenir à une solution numérique du schéma implicite, prenons l’équation (2.7) : 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛 = (1 + 2𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑛𝑛+1 − 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1 𝑛𝑛+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1 𝑛𝑛+1 � On peut bien évidemment rendre cette équation sous son équivalent matriciel : ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 + 2𝜗𝜗 −𝜗𝜗 0 ⋮ 0 −𝜗𝜗 1 + 2𝜗𝜗 ⋱ ⋱ ⋯ 0 −𝜗𝜗 ⋱ −𝜗𝜗 0 ⋯ ⋯ ⋱ 1 + 2𝜗𝜗 −𝜗𝜗 0 ⋮ 0 −𝜗𝜗 1 + 2𝜗𝜗⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 ⋮ 𝑇𝑇𝑀𝑀−2 𝑇𝑇𝑀𝑀−1⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛+1 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 ⋮ 𝑇𝑇𝑀𝑀−2 𝑇𝑇𝑀𝑀−1⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇0 0 ⋮ 0 𝑇𝑇𝐿𝐿⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛+1 Dans le cas d'un système tridiagonal d'équations algébriques, tel que celui ci-dessus, la méthode d'élimination de Gauss peut être encore simplifiée en profitant des zéros de la matrice tridiagonale. Cette simplification est ce qu’on appelle l’algorithme de Thomas. Autrement dit, cet algorithme est une factorisation LU des matrices tridiagonales. Pour plus de détail sur cet algorithme, le lecteur est invité à consulter l’annexe C. II-3 L’EQUATION DE LA CHALEUR BIDIMENSIONNELLE : II-3-1 Maillage bidimensionnel : Similaire au cas monodimensionnel, on peut effectuer un maillage en un domaine bidimensionnel comme schématisé ci- dessous : Exemple d’un maillage à 2 dimensions. Ici, les coordonnées x et y sont désignés par i et j respectivement. De même, chaque nœud représente une certaine région et sa température est une mesure de la température moyenne de la région. Par exemple, la température du nœud i,j de la figure 2.7 peut être considérée comme la température moyenne de la zone ombrée environnante. IX Valeurs connues Valeurs inconnues Figure 2.6 :. Figure 2.6 Molécules des différences finies implicites Figure 2.7 Maillage bidimensionnel du domaine
  • 24. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 16 II-3-2 Discrétisation de l’équation : La discrétisation bidimensionnelle de l’équation est obtenue en suivant la même démarche que dans la section (1-2) on ajoute simplement la variable y. Les deux discrétisations qu’on va démontrer seront l’équation de Laplace et l’équation de conduction en régime transitoire. Considérons une plaque rectangulaire qui sera l’objet de notre discrétisation. • Équation de Laplace : Dans le domaine bidimensionnel étudié, l’équation de Laplace s’écrit : 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² + 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² = 0 Les développements en série de Taylor par rapport à x et à y sont : � 𝜕𝜕²𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝜕𝜕² = 𝑇𝑇(𝑥𝑥+∆𝑥𝑥,𝑦𝑦)−2𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦)+𝑇𝑇(𝑥𝑥−∆𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∆𝑥𝑥2 𝜕𝜕²𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝜕𝜕² = 𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦+∆𝑦𝑦)−2𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦)+𝑇𝑇(𝑥𝑥,𝑦𝑦−∆𝑦𝑦) ∆𝑦𝑦2 Si on assume que les pas de positions sont égaux ∆𝑥𝑥 = ∆𝑦𝑦 et on note que 𝑖𝑖∆𝑥𝑥 ≡ 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑗𝑗∆𝑦𝑦 ≡ 𝑦𝑦𝑗𝑗, on obtient finalement : ∇2 𝑇𝑇 = 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² + 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² = 𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1−4𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1+𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 ∆𝑥𝑥² = 0 On peut alors résoudre pour 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 : 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1+𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1+𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 4 • L’équation de conduction en régime transitoire : Maintenant, on va prendre en considération la dérivée temporelle donc l’équation devient : 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝛼𝛼 � 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² + 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² � En effectuant les approximations de différences finies qu’on a vu antérieurement, et en gardant les mêmes notations qu’auparavant on obtient en schéma explicite, ceci : 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 − 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛 = 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 𝑛𝑛 +𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 𝑛𝑛 − 4𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1 𝑛𝑛 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 𝑛𝑛 � où 𝜗𝜗 = 𝛼𝛼∆𝑡𝑡 ∆𝑥𝑥² C’est l’équation de la chaleur bidimensionnelle discrétisée, dépendante du temps, sans source. (2.9) (2.10) (2.11) (2.12)
  • 25. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 17 On peut résoudre pour 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 : 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 = (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 𝑛𝑛 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 𝑛𝑛 +𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 𝑛𝑛 +𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1 𝑛𝑛 � Similaire au cas monodimensionnel, on peut déduire que le schéma implicite de cette équation sera : 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 − 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛 = 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 +𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 𝑛𝑛+1 − 4𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1 𝑛𝑛+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 � On peut résoudre pour 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛 : 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛 = (1 + 4𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 − 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 +𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 𝑛𝑛+1 +𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1 𝑛𝑛+1 � Les remarques faites pour le cas monodimensionnel comme détaillé dans la section 1-2, restent valable pour le cas bidimensionnel c.-à-d., la méthode explicite est conditionnellement stable avec 𝜗𝜗 ≤ 1 4 , tandis que la méthode implicite est inconditionnellement stable et donne des résultats plutôt acceptables physiquement. II-4 RESOLUTION DE L’EQUATION EN 2D : II-4-1 Résolution de l’équation de Laplace : Considérons le problème bidimensionnel stationnaire de la conduction de la chaleur dans un domaine rectangulaire [0, 𝐿𝐿] × [0,𝐻𝐻]. Le champ de température T(x, y) vérifie l'équation de Laplace : ∇²𝑇𝑇 = 𝜕𝜕2 𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕2 + 𝜕𝜕2 𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑦𝑦2 = 0 , (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ [0, 𝐿𝐿] × [0,𝐻𝐻] 𝑇𝑇(0, 𝑦𝑦) = 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑇𝑇(𝐿𝐿, 𝑦𝑦) = 𝑇𝑇𝑑𝑑 0 < 𝑦𝑦 < 𝐻𝐻 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 0) = 𝑇𝑇𝑏𝑏 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝐻𝐻) = 𝑇𝑇ℎ 0 < 𝑥𝑥 < 𝐿𝐿 Le domaine de calcul est discrétisé en (M +1)×( N +1) nœuds (𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑦𝑦𝑗𝑗) (i variant de 0 à M et j variant de 0 à N). On supposera que les pas d'espace dans chaque direction Δx et Δy sont constants. La température discrète au nœud (𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑦𝑦𝑗𝑗) sera notée𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 = T(𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑦𝑦𝑗𝑗). (2.13) (2.14) Figure 2.8 Maillage des nœuds de différences finies
  • 26. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 18 Une fois le réseau nodal établi et une équation aux différences finies appropriée est écrite pour chaque nœud, la distribution de température peut être déterminée. Le problème se résume à résoudre un système d'équations algébriques linéaires. Après, nous formulons le système d'équations algébriques linéaires comme une équation matricielle. Si on discrétise le domaine rectangulaire en (M +1)×( N +1) nœuds on obtient un système linéaire à (𝑀𝑀 − 1) × (𝑁𝑁 − 1) équations algébriques avec (M +1)×( N +1) inconnues. Et pour que le nombre d’équations et le nombre d’inconnus soient équitables, les conditions aux limites nous fournissent M×N valeurs de nœuds ce qui rend le système linéaire solvable. Par exemple, si on discrétise le domaine rectangulaire en 25 nœuds on obtient un système linéaire à 9 équations algébriques avec 25 inconnues dont on peut retrancher 16 valeurs grâce aux conditions aux limites. Reprenons maintenant l’équation (2.11) : 4𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 Cette équation peut être mise sous sa forme matricielle : ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ −4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 −4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 −4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 −4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 −4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 −4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 −4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 −4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 −4⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇11 𝑇𝑇12 𝑇𝑇13 𝑇𝑇21 𝑇𝑇22 𝑇𝑇23 𝑇𝑇31 𝑇𝑇32 𝑇𝑇33⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = − ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑇𝑇𝑏𝑏 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑇𝑇𝑔𝑔 0 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑇𝑇ℎ 𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑑𝑑⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Notons 𝑰𝑰 la matrice identité d'ordre 3 et 𝑫𝑫 la matrice de dimension 3 définie par : 𝑫𝑫 = � −4 1 0 1 −4 1 0 1 −4 � Notons 𝑻𝑻𝟏𝟏, 𝑻𝑻𝟐𝟐, 𝑻𝑻𝟑𝟑, 𝑺𝑺𝟏𝟏, 𝑺𝑺𝟐𝟐 et 𝑺𝑺𝟑𝟑 les vecteurs à 3 composantes définis par : 𝑻𝑻𝟏𝟏 = � 𝑇𝑇11 𝑇𝑇12 𝑇𝑇13 � 𝑻𝑻𝟐𝟐 = � 𝑇𝑇21 𝑇𝑇22 𝑇𝑇23 � 𝑻𝑻𝟑𝟑 = � 𝑇𝑇31 𝑇𝑇32 𝑇𝑇33 � 𝑺𝑺𝟏𝟏 = � 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑇𝑇𝑏𝑏 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑑𝑑 � 𝑺𝑺𝟐𝟐 = � 𝑇𝑇𝑔𝑔 0 𝑇𝑇𝑑𝑑 � 𝑺𝑺𝟑𝟑 = � 𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑇𝑇ℎ 𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑑𝑑 � Le système peut s'écrire sous la forme matricielle bloc suivante : � 𝐷𝐷 𝐼𝐼 0 𝐼𝐼 𝐷𝐷 𝐼𝐼 0 𝐼𝐼 𝐷𝐷 � � 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 𝑇𝑇3 � = − � 𝑆𝑆1 𝑆𝑆2 𝑆𝑆3 �
  • 27. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 19 La matrice obtenue est tri-diagonale et chacun de ses blocs est tri-diagonal. La résolution du système peut s'effectuer par une méthode itérative matricielle (méthode de Gauss-Seidel), ou une méthode de Thomas matriciel qui parait à la fois rapide et convergente. II-4-2 Résolution de l’équation de la chaleur en Régime Transitoire : A titre d'illustration, on considérera le même cas étudié dans la section précédente du régime permanant, appliqué au régime transitoire. • Schéma explicite : On considère l’équation (2.13) discrétisée : 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 = (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 𝑛𝑛 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 𝑛𝑛 +𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 𝑛𝑛 +𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1 𝑛𝑛 � La résolution de cette équation repose sur la solution d’un système linéaire d’équations algébriques sous la forme suivante : ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 𝑇𝑇1,1 𝑛𝑛+1 = 𝜗𝜗𝑇𝑇2,1 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑛𝑛 + (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇1,1 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇1,2 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑏𝑏 𝑛𝑛 𝑇𝑇2,1 𝑛𝑛+1 = 𝜗𝜗𝑇𝑇3,1 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇1,1 𝑛𝑛 + (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇2,1 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇2,2 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑏𝑏 𝑛𝑛 𝑇𝑇3,1 𝑛𝑛+1 = 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇2,1 𝑛𝑛 + (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇3,1 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇3,2 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑏𝑏 𝑛𝑛 𝑇𝑇1,2 𝑛𝑛+1 = 𝜗𝜗𝑇𝑇2,2 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑛𝑛 + (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇1,2 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇1,3 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇1,1 𝑛𝑛 𝑇𝑇2,2 𝑛𝑛+1 = 𝜗𝜗𝑇𝑇3,2 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇1,2 𝑛𝑛 + (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇2,2 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇2,3 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇2,1 𝑛𝑛 𝑇𝑇3,2 𝑛𝑛+1 = 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇2,2 𝑛𝑛 + (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇3,2 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇3,3 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇3,1 𝑛𝑛 𝑇𝑇1,3 𝑛𝑛+1 = 𝜗𝜗𝑇𝑇2,3 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑛𝑛 + (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇1,3 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇ℎ 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇1,2 𝑛𝑛 𝑇𝑇2,3 𝑛𝑛+1 = 𝜗𝜗𝑇𝑇3,3 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇1,3 𝑛𝑛 + (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇2,3 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇ℎ 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇2,2 𝑛𝑛 𝑇𝑇3,3 𝑛𝑛+1 = 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇2,3 𝑛𝑛 + (1 − 4𝜗𝜗)𝑇𝑇3,3 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇ℎ 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇3,2 𝑛𝑛 C’est-à-dire que matriciellement, on doit résoudre l’équation suivante : ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇11 𝑇𝑇21 𝑇𝑇31 𝑇𝑇12 𝑇𝑇22 𝑇𝑇32 𝑇𝑇13 𝑇𝑇23 𝑇𝑇33⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛+1 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 − 4𝜗𝜗 𝜗𝜗 0 𝜗𝜗 0 0 0 0 0 𝜗𝜗 1 − 4𝜗𝜗 𝜗𝜗 0 𝜗𝜗 0 0 0 0 0 𝜗𝜗 1 − 4𝜗𝜗 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 1 − 4𝜗𝜗 𝜗𝜗 0 𝜗𝜗 0 0 0 𝜗𝜗 0 𝜗𝜗 1 − 4𝜗𝜗 𝜗𝜗 0 𝜗𝜗 0 0 0 𝜗𝜗 0 𝜗𝜗 1 − 4𝜗𝜗 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 1 − 4𝜗𝜗 𝜗𝜗 0 0 0 0 0 𝜗𝜗 0 𝜗𝜗 1 − 4𝜗𝜗 𝜗𝜗 0 0 0 0 0 𝜗𝜗 0 𝜗𝜗 1 − 4𝜗𝜗⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇11 𝑇𝑇21 𝑇𝑇31 𝑇𝑇12 𝑇𝑇22 𝑇𝑇32 𝑇𝑇13 𝑇𝑇23 𝑇𝑇33⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑇𝑇𝑏𝑏 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑇𝑇𝑔𝑔 0 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑇𝑇ℎ 𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑑𝑑⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛 Une méthode de résolution matricielle appropriée est alors utilisée pour trouver la solution. • Schéma implicite : On considère l’équation (2.14) discrétisée : 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛 = (1 + 4𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 − 𝜗𝜗�𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 +𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 𝑛𝑛+1 +𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1 𝑛𝑛+1 �
  • 28. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 20 On obtient en suivant la même démarche qu’auparavant, la formulation matricielle est la suivante : ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 + 4𝜗𝜗 −𝜗𝜗 0 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 1 + 4𝜗𝜗 𝜗𝜗 0 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 1 + 4𝜗𝜗 0 0 −𝜗𝜗 0 0 0 −𝜗𝜗 0 0 1 + 4𝜗𝜗 − −𝜗𝜗 0 𝜗𝜗 0 0 0 −𝜗𝜗 0 −𝜗𝜗 1 + 4𝜗𝜗 −𝜗𝜗 − 0 𝜗𝜗 0 0 0 −𝜗𝜗 0 −𝜗𝜗 1 + 4𝜗𝜗 0 0 −𝜗𝜗 0 0 0 −𝜗𝜗 0 0 1 + 4𝜗𝜗 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 0 −𝜗𝜗 1 + 4𝜗𝜗 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 0 −𝜗𝜗 1 + 4𝜗𝜗⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇11 𝑇𝑇21 𝑇𝑇31 𝑇𝑇12 𝑇𝑇22 𝑇𝑇32 𝑇𝑇13 𝑇𝑇23 𝑇𝑇33⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛+1 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇11 𝑇𝑇21 𝑇𝑇31 𝑇𝑇12 𝑇𝑇22 𝑇𝑇32 𝑇𝑇13 𝑇𝑇23 𝑇𝑇33⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑇𝑇𝑏𝑏 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑇𝑇𝑔𝑔 0 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑇𝑇ℎ 𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑑𝑑⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛 La solution de ce système matriciel se fait en utilisant une méthode itérative comme celles de Gauss Seidel. Néanmoins, cette dernière manque de vitesse de convergence. La méthode SOR (Successive Over Relaxation) est un raffinement de la méthode de Gauss Seidel qui peut accélérer la convergence. L’explication de la méthode SOR est détaillé dans l’annexe D. • Schéma ADI : Pour le cas particulier de l'équation de conduction, de différentes techniques ont donc été développées. L'une de ces techniques est la méthode implicite de direction alternée (ADI) qui consiste essentiellement à résoudre les équations 2D à moitié explicites et à moitié implicites le long de profils unidimensionnels. L'approximation aux différences finies de l'équation différentielle (2.12) avec la méthode ADI est basée sur les concepts suivants. Supposons que les calculs doivent être avancés du (n)ème niveau temporel au (n + 1)ème niveau temporel. La méthode implicite est utilisée pour la direction y, et la méthode explicite est utilisée pour l'autre direction x dans le but de calculer la solution dans un temps intermédiaire (n + 1/2)Δt. Ensuite, le passage du (n + 1/2)ème niveau au (n + 1)ème niveau se fait en inversant les directions des méthodes implicites et explicites. La procédure de calcul se poursuit donc en changeant alternativement les directions des méthodes explicites et implicites. Nous illustrons maintenant l'application de la méthode ADI pour la discrétisation de l'équation (2.12). Le schéma implicite est utilisé dans la direction y et le schéma explicite dans la direction y pour passer du nième au (n + 1/2)ème niveau temporel. Le schéma implicite est utilisé dans la direction x et l'explicite dans la direction y pour passer du nième au (n + 1/2) ème niveau temporel. L'approximation aux différences finies de l'équation (2.12) est donnée par : 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+ 1 2 − 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝛼𝛼 ∆𝑡𝑡 2 = 𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+ 1 2 − 2𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+ 1 2 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+ 1 2 ∆𝑥𝑥² + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 𝑛𝑛 − 2𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1 𝑛𝑛 ∆𝑦𝑦² Une formulation explicite est maintenant utilisée pour la direction x et une formulation implicite pour la direction y. Ensuite, l'approximation de différence finie pour l'équation (2.12) de l'intermédiaire (n + 1/2)ème au (n + 1)ème pas de temps devient : (2.15)
  • 29. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 21 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 − 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+ 1 2 𝛼𝛼 ∆𝑡𝑡 2 = 𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+ 1 2 − 2𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+ 1 2 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+ 1 2 ∆𝑥𝑥² + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 𝑛𝑛+1 − 2𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1 𝑛𝑛+1 ∆𝑦𝑦² Nous réorganisons les équations (2.15) et (2.16) respectivement comme suit : −𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 2 + 2(1 + 𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 2 − 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 2 = 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1 𝑛𝑛 + 2(1 − 𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 𝑛𝑛 −𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1 𝑛𝑛+1 + 2(1 + 𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 − 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 𝑛𝑛+1 = 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 2 + 2(1 − 𝜗𝜗)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 2 + 𝜗𝜗𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 2 L'avantage de cette approche par rapport aux méthodes entièrement implicites est que chaque équation, bien qu'implicite, n'est que tridiagonale et peut être résolue efficacement avec le fameux algorithme de Thomas. Autrement dit, l'équation (2.17) contient des inconnues implicites 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+ 1 2 , 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+ 1 2 et 𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 𝑛𝑛+ 1 2 , et l'équation (2.18) contient aussi des inconnues implicites 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑛𝑛+1 , 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1 𝑛𝑛+1 et 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 𝑛𝑛+1 . Après application des conditions aux limites du problème en utilisant les procédures de discrétisation décrites précédemment, les équations (2.17) et (2.18) donnent des systèmes tridiagonaux de forme matricielle : ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝛽𝛽 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 𝛽𝛽 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 𝛽𝛽 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝛽𝛽 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 𝛽𝛽 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 𝛽𝛽 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝛽𝛽 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 𝛽𝛽 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 𝛽𝛽 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇11 𝑇𝑇21 𝑇𝑇31 𝑇𝑇12 𝑇𝑇22 𝑇𝑇32 𝑇𝑇13 𝑇𝑇23 𝑇𝑇33⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛+ 1 2 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝛾𝛾 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 𝛾𝛾 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 𝛾𝛾 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 𝛾𝛾 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 𝛾𝛾 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 𝛾𝛾 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 𝛾𝛾 0 0 0 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 𝛾𝛾 0 0 0 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 𝛾𝛾⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇11 𝑇𝑇21 𝑇𝑇31 𝑇𝑇12 𝑇𝑇22 𝑇𝑇32 𝑇𝑇13 𝑇𝑇23 𝑇𝑇33⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛 + 𝜗𝜗 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑇𝑇𝑏𝑏 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑇𝑇𝑔𝑔 0 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑇𝑇ℎ 𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑑𝑑⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Figure 2.9 :. Figure 2.9 Maillage des molécules de différences finies en ADI (2.17) (2.16) (2.18)
  • 30. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 22 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝛽𝛽 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 𝛽𝛽 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 𝛽𝛽 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝛽𝛽 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 𝛽𝛽 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 𝛽𝛽 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝛽𝛽 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 𝛽𝛽 −𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 0 −𝜗𝜗 𝛽𝛽 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇11 𝑇𝑇12 𝑇𝑇13 𝑇𝑇21 𝑇𝑇22 𝑇𝑇23 𝑇𝑇31 𝑇𝑇32 𝑇𝑇33⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛+1 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝛾𝛾 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 𝛾𝛾 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 0 0 0 𝛾𝛾 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 𝛾𝛾 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 𝛾𝛾 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 𝛾𝛾 0 0 𝜗𝜗 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 𝛾𝛾 0 0 0 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 𝛾𝛾 0 0 0 0 0 0 𝜗𝜗 0 0 𝛾𝛾⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇11 𝑇𝑇12 𝑇𝑇13 𝑇𝑇21 𝑇𝑇22 𝑇𝑇23 𝑇𝑇31 𝑇𝑇32 𝑇𝑇33⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛+ 1 2 + 𝜗𝜗 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑇𝑇𝑏𝑏 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑇𝑇𝑔𝑔 0 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑔𝑔 𝑇𝑇ℎ 𝑇𝑇ℎ + 𝑇𝑇𝑑𝑑⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Avec 𝛽𝛽 = 2(1 + 𝜗𝜗) et 𝛾𝛾 = 2(1 − 𝜗𝜗). Par rapport aux autres méthodes, l'ADI est rapide. Cependant, les méthodes ADI ne fonctionnent que si les équations gouvernantes ont des dérivées temporelles comme pour l’explicite et l’implicite. Par contre, il est fortement recommandé d'utiliser la méthode ADI pour traiter les problèmes tridimensionnels en raison de sa vitesse de calcul que ça soit en 2D ou bien en 3D. II-5 VERIFICATION ET VALIDATION DES CODES (V&V): La vérification et la validation vise à évaluer la précision des simulations de calcul. Dans cette section, nous allons reporter les différents résultats qu’on a obtenu à partir des calculs avec des commentaires et des conclusions tirées de ces résultats. La liste des codes qu’on a travaillés avec seront mis à disposition du lecteur dans l’annexe E. II-5-1 Validation du cas explicite : Le premier procédé qu’on doit traiter est sans doute la comparaison avec la solution exacte du problème pour affirmer que le programme écrit fonctionne correctement. X Le résultat analytique qui sera l’objet de notre comparaison, est obtenue à partir des paramètres suivants : 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝛼𝛼 𝜕𝜕²𝑇𝑇 𝜕𝜕𝜕𝜕² , 𝛼𝛼 = 1 𝜋𝜋² � 𝑇𝑇(0, 𝑡𝑡) = 𝑇𝑇(1, 𝑡𝑡) = 0 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 0) = 𝑇𝑇0(𝑥𝑥) 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 1 𝜋𝜋² 𝑒𝑒−𝑡𝑡 sin(𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑇𝑇0(𝑥𝑥) = sin(𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝜋𝜋² Les conditions initiales et aux limites sont : La solution est de la forme :
  • 31. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 23 La courbe obtenue par ces conditions est tridimensionnelle comme schématisé dans la figure 2.10. C’est l’évolution de la température dans une durée de 1sec. Il est clairement observable que la solution numérique est bel et bien convergente. Toutefois, la méthode explicite n'est pas inconditionnellement stable et donc la solution diverge si le critère de stabilité n’est pas satisfait ce qui est remarquable dans le rectangle bleu. On va visualiser cette divergence plus nettement plus tard. Nœuds de temps Solution numérique Solution exacte Erreur absolue 0 0,10097512 0,10097512 0 1 0,095672737 0,095798074 0,000125336 2 0,090648792 0,090886456 0,000237665 3 0,085888663 0,086226661 0,000337998 4 0,081378496 0,081805775 0,000427279 5 0,077105167 0,07761155 0,000506383 6 0,073056237 0,073632366 0,000576128 7 0,069219925 0,069857196 0,000637271 8 0,065585063 0,066275581 0,000690518 9 0,062141075 0,062877598 0,000736523 10 0,058877937 0,059653831 0,000775894 11 0,055786153 0,056595348 0,000809195 12 0,052856714 0,053693675 0,000836961 13 0,050081171 0,050940772 0,000859601 14 0,047450953 0,048329012 0,000878059 15 0,044961549 0,045851159 0,00088961 16 0,042585863 0,043500346 0,000914483 17 0,040441312 0,041270061 0,000828748 18 0,03774894 0,039154123 0,001405183 19 0,039266803 0,037146671 0,002120132 Table 1 : Comparaison quantitative entre la solution exacte et la méthode explicite. Explicite Exacte Figure 2.10 Comparaison qualitative entre la solution exacte et la méthode explicite.
  • 32. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 24 La table 1 donne les différentes valeurs du nœud de position 9, en chaque nœud de temps avec un pas de temps 𝑑𝑑𝑑𝑑 ≈ 0.05263𝑠𝑠. L’erreur est de l’ordre de 10-4 . Les données de la table 1 sont reportés dans la figure 2.11. Les deux courbes sont à peu près confondus le code est alors vérifié. II-5-2 Validation du cas implicite : Comme on a fait pour la méthode explicite, on peut bien évidement faire une comparaison qualitative et quantitative de la méthode implicite avec la solution exacte comme schématisé ci-dessous. Figure 2.12 :. Analytique Numérique Figure 2.11 comparaison entre la solution analytique et numérique en explicite Figure 2.12 Comparaison qualitative entre la solution exacte et la méthode implicite
  • 33. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 25 Nœuds de temps Solution numérique Solution exacte Erreur absolue 0 0,10097512 0,10097512 0 1 0,095937283 0,095798074 0,00013921 2 0,091150793 0,090886456 0,000264337 3 0,08660311 0,086226661 0,000376449 4 0,082282319 0,081805775 0,000476544 5 0,0781771 0,07761155 0,00056555 6 0,074276699 0,073632366 0,000644333 7 0,070570896 0,069857196 0,0007137 8 0,067049982 0,066275581 0,000774401 9 0,063704733 0,062877598 0,000827135 10 0,060526385 0,059653831 0,000872555 11 0,057506611 0,056595348 0,000911263 12 0,054637499 0,053693675 0,000943824 13 0,051911532 0,050940772 0,00097076 14 0,049321569 0,048329012 0,000992556 15 0,046860823 0,045851159 0,001009665 16 0,044522849 0,043500346 0,001022504 17 0,042301521 0,041270061 0,001031461 18 0,04019102 0,039154123 0,001036896 19 0,038185815 0,037146671 0,001039144 La figure 2.12 montre que nous pouvons à peine remarquer une différence entre les deux courbes c.à.d. qu’ils sont confondus. On peut remarquer aussi que l’instabilité n’est plus un problème grâce à la méthode implicite qui est réputée pour être inconditionnellement stable. La table 2 donne les différentes valeurs du nœud de position 9, en chaque nœud de temps avec un pas de temps 𝑑𝑑𝑑𝑑 ≈ 0.05263𝑠𝑠. L’erreur est de l’ordre de 10-4 . Les données de la table 2 sont Table 2 : Comparaison quantitative entre la solution exacte et la méthode implicite. Analytique Numérique Figure 2.13 comparaison entre la solution analytique et numérique en implicite
  • 34. Chapitre 2 Modélisation mathématique et méthode utilisée 26 reportés dans la figure 2.13. Les deux courbes sont presque confondus et présentent une absence d’instabilité. Le code est alors vérifié. CONCLUSION : Dans ce chapitre, nous venons de donner en détail les principes de base de la discrétisation en FDM, en régime stationnaire ainsi qu’en régime transitoire en 1D et 2D. Par la même occasion, nous avons établi les maillages du problème et les molécules de différence finies pour les différentes approches numériques. Nous avons aussi présenté les schémas de résolution de chaque approche. Finalement on a vérifié nos programmes monodimensionnels avec la solution analytique qui nous a permis de valider notre programme. A présent, nous pouvons nous intéresser à la résolution numérique des équations en régime stationnaire et transitoire pour certains cas d’études.
  • 35. Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats 27 INTRODUCTION : Dans ce chapitre, nous exposons les résultats de simulation obtenus à l’aide des codes MATLAB et PYTHON. En premier lieu, nous exposons les résultats pour des cas simples monodimensionnels et bidimensionnel avec des conditions aux limites de Dirichlet. Puis on aborde notre cas d’étude qui comporte des conditions aux limites mixtes, avec des commentaires sur les résultats de la simulation. Avant d’entamer ce chapitre, nous allons présenter les modèles physiques des simulations. III-1 MODELES PHYSIQUES EN 1D ET 2D : III-1-1 Modèle unidimensionnel : Considérons l’étude des transferts thermiques d’une barre d’aluminium de diffusivité thermique 𝛼𝛼 = 97.1 × 10−6 𝑚𝑚2 . 𝑠𝑠−1XIdont sa longueur 𝐿𝐿 = 2𝑚𝑚 est très supérieure face à son rayon. III-1-2 Modèles bidimensionnels : La simulation numérique de la conduction thermique en 2D, est effectuée dans une plaque métallique composée cette fois ci d’argent de diffusivité thermique 𝛼𝛼 = 17.004 × 10−5 𝑚𝑚2 . 𝑠𝑠−1XII 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘 = 419 𝑤𝑤. 𝑚𝑚−1 . °𝐶𝐶−1 . On travaillera sur deux cas d’étude : • Cas d’étude bidimensionnel simple : Ce cas simple, comporte des conditions aux limites de Dirichlet aux frontières. Initialement, la plaque est entièrement maintenue à une température initiale 𝑇𝑇0 = 20 °𝐶𝐶. • Cas d’étude bidimensionnel complexe : 𝑇𝑇𝐼𝐼 = 0℃ Figure 3.1 Modèle unidimensionnel Figure 3.2 Modèle bidimensionnel simple
  • 36. Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats 28 L’objet de notre cas d’étude reposera sur les transferts thermiques régissant d’un domaine rectangulaire modélisé par une plaque métallique avec des conditions aux limites mixte : des conditions de Dirichlet aux extrémités est et ouest, une condition de Neumann adiabatique dans la paroi sud et une condition de convection dans la paroi nord avec 𝑇𝑇∞ = 8℃. III-2 RESULTATS DES PROGRAMMES EN 1D : Maintenant on passe à un cas d’étude monodimensionnel. On divise le domaine en 51 nœuds (si on compte de 0) le pas de position sera Δx=2/51-1 =0.04 m. Le pas de temps choisi est Δt=5s. III-2-1 Explicite : Après compilation du programme on obtient les figures suivantes : Les résultats de la figure 3.4 sont 4 barres aux instants 15min, 30min, 2h et 5h respectivement. A chaque instant schématisé, la température pénètre progressivement à travers la barre jusqu’à l’état d’équilibre thermique qui est approximativement 5 heures. Au lieu de visualiser l’intégralité du domaine, on peut visualiser l’évolution de certains points spécifiques de domaine. Figure 3.4 Distribution de la température le long de la barre en différents instants par la méthode explicite 30 min 2 h 5 h 15 min Figure 3.3 Modèle bidimensionnel complexe
  • 37. Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats 29 Figure 3.6 Évolution de la température au nœud 20 en explicite Figure 3.5 Évolution de la température au nœud 6 en explicite Figure 3.7 Évolution de la température au nœud 43 en explicite
  • 38. Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats 30 Les trois figures précédentes affirment que les solutions des températures nodales tendent continuellement vers les valeurs finales (état stationnaire) avec le temps comme discuté dans la section II-1-2. Revenons au point 20 de la figure 3.6. Si on veut étudier la stabilité de la solution du point 20, on accroit le pas de temps de 5s à 9s. le nombre de diffusion adimensionnel 𝜗𝜗 devient supérieur à 1 2 et donc la solution n’est plus stable comme élaboré dans la figure 3.8. La figure 3.8 signifie que si 𝜗𝜗 ≥ 1 2 on aura des oscillations induites numériquement et non acceptable physiquement comme discuté plus tôt dans ce chapitre. Pour récapituler, la méthode explicite:  Est facile à programmer et à mettre en œuvre  N’a pas besoin d’une méthode matricielle pour la résoudre  Diverge pour des valeurs de 𝜗𝜗 ≥ 1 2 III-2-2 Implicite : Après compilation du programme on obtient les figures suivantes : Figure 3.5 : Figure 3.8 Instabilité du nœud 20 à dt=9s Figure 3.9 Distribution de la température le long de la barre en différents instants par la méthode implicite 5 h 2 h 30 min 15 min
  • 39. Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats 31 Les résultats de la figure 3.9 sont 4 barres aux instants 15min, 30min, 2h et 5h respectivement. A chaque instant schématisé, la température pénètre progressivement à travers la barre jusqu’à l’état d’équilibre thermique qui est approximativement 5 heures. Ces résultats semblent, à première vue, identique à ceux de la méthode explicites jusqu’à présent. On analyse des points spécifiques : Figure 3.10 Comparaison entre les méthodes explicite (en haut) et implicite (en bas) aux premières 5min de l’expérience Figure 3.12: Évolution de la température au nœud 20 en implicite Figure 3.11 Évolution de la température au nœud 6 en implicite
  • 40. Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats 32 Les trois figures précédentes confirment que les solutions des températures nodales tendent continuellement vers les valeurs finales (état stationnaire) avec le temps. Les deux méthodes paraissent semblables encore une fois. Maintenant on examine la différence qualitative de la variation du nœud 20 au cours du temps par les deux méthodes sur un graph représenté sur la figure 3.14. On remarque l’apparition d’un faible chevauchement des deux courbes lorsqu’elles tendent vers la stagnation. L’interprétation de ce chevauchement se résume par la rapidité de la méthode implicite qui atteint le régime stationnaire avant que l’explicite, ces derniers étant distants d’un écart infinitésimal. Néanmoins, les températures maximales restent les mêmes. Cependant, la différence la plus considérable entre les deux méthodes est le critère de stabilité. La méthode implicite est inconditionnellement stable et ne requiert pas que le Δt reste sous le plafond d’une certaine valeur. Si on revient au nœud 20 et on augmente le Δt jusqu’une valeur Explicite Implicite Figure 3.10: Figure 3.13 Évolution de la température au nœud 43 en implicite Figure 3.14 comparaison entre la méthode explicite et implicite au nœud 20
  • 41. Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats 33 de 15s, l’allure de la courbe dans la figure 3.15 reste inchangeable et identique à la figure 3.9 et demeure tolérable physiquement. Pour récapituler, la méthode implicite:  Est légèrement difficile à programmer et à mettre en œuvre  Nécessite une méthode matricielle pour la résoudre  Toujours convergente pour n’importe quelle valeur de 𝜗𝜗 III-3 RESULTATS DES PROGRAMMES EN 2D STATIONNAIRE : Notre objectif consiste à déterminer la distribution de température dans un domaine rectangulaire à dimensions égales L. les conditions aux limites seront 𝑇𝑇0,𝑗𝑗 = 𝑇𝑇𝑀𝑀,𝑗𝑗 = 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑀𝑀 = 50°𝐶𝐶 et 𝑇𝑇𝑖𝑖,0 = 100°𝐶𝐶 Une solution simple et claire peut être obtenue en utilisant Excel x→ y↓ 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 50 75 83.9 88.06 90 90.76 91 90 88.1 83.9 75 50 50 64 73.2 78.31 81.1 82.3 82 81.1 78.3 73.2 64 50 50 59 66.2 70.94 73.8 75.06 75 73.8 70.9 66.2 59 50 50 56 61.6 65.46 67.9 69.12 69 67.9 65.5 61.6 56 50 50 54 58.4 61.37 63.4 64.37 64 63.4 61.4 58.4 54 50 50 53 56 58.29 59.8 60.63 61 59.8 58.3 56 53 50 50 52 54.3 55.93 57.1 57.66 58 57.1 55.9 54.3 52 50 50 52 52.9 54.06 54.9 55.27 55 54.9 54.1 52.9 52 50 50 51 51.8 52.54 53 53.3 53 53 52.5 51.8 51 50 50 50 50.9 51.22 51.5 51.59 52 51.5 51.2 50.9 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 Figure 3.15 Stabilité du nœud 20 à dt=15s Figure 3.16 Profil de température en utilisant Excel
  • 42. Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats 34 Cependant se résultat nous donne qu’un nombre limité de nœuds car le domaine peut être divisé en 10×10 petites parties c.à.d. 100 nœuds au maximum. Une solution plus précise du problème est obtenue ainsi en écrivant un programme adéquat. Après compilation du programme on obtient le profil suivant : Le profil obtenu dans la figure 3.17 est identique à celui de la figure 3.16. On remarque que le profil est parabolique. On peut aussi visualiser ce profil en trois dimensions : La figure 3.19 présente le contour des lignes isothermes. Chaque ligne possède une couleur qui correspond à une valeur de température. Cette valeur reste constante le long de la ligne. Les isothermes de la propagation de la température sont de forme parabolique. C’est un comportement typique pour de tels conditions aux limites. Figure 3.13 : Figure 3.17 Profil de température plus précis en 2D Figure 3.18 Profil de température tridimensionnel
  • 43. Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats 35 III-4 RESULTATS DES PROGRAMMES EN 2D TRANSITOIRE : On passe maintenant au cas bidimensionnel transitoire. La simulation dure 20000s soit approximativement 5.5 heures. On a subdivisé le domaine en 50 × 50 nœuds pour toutes les approches. Tous les résultats sont donnés avec une précision de 10−5 . Tous les détails de calculs sont disponibles dans les programmes situés dans l’annexe E. III-4-1 Schéma explicite : 30 min 2 h 5.5h Figure 3.20 Différents Profils de température pour différents instants en explicite 15 min Figure 3.19 Paraboles isothermes au régime permanant
  • 44. Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats 36 Les résultats de la figure 3.20 sont 4 plaques aux instants 15min, 30min, 2h et 5.5h. A chaque instant schématisé, la température provenante des quatre parois, pénètre progressivement à travers la plaque de manière parabolique, avec la contribution maximale appartenant à la paroi 100°C. L’état d’équilibre thermique est approximativement 5 heures et demi. On peut bien évidemment analyser un point spécifique du domaine : La figure 3.21 montre qu’effectivement, la solution nodale de température du nœud (45,41) tend vers le régime stationnaire (comme pour le cas monodimensionnel) au bout de 20000 s. III-4-2 Schéma implicite : Les résultats de la figure 3.22 sont 4 plaques aux instants 15min, 30min, 2h et 5h. A chaque instant schématisé, la température provenante des quatre parois, pénètre progressivement à travers la plaque de manière parabolique, avec la contribution maximale appartenant à la paroi 100°C. L’état d’équilibre thermique est approximativement 2 heures. Si on compare les résultats de la figure 3.22 à ceux obtenus dans la figure 3.20, on remarque la distribution est différente dans les trois premiers instants schématisés et cela revient au fait que la simulation explicite a été réalisée avec des dimensions de 3𝑚𝑚 × 3𝑚𝑚 qui est un peu grande pour une expérience de ce calibre, du coup le régime stationnaire n’est atteint qu’au bout de 5h. En revanche, la simulation explicite a été réalisée avec des dimensions de 1𝑚𝑚 × 1𝑚𝑚 qui est une taille optimale pour cette expérience. Cependant le profil du régime stationnaire reste le même. Figure 3.21: Évolution du nœud 45,41 au cours du temps en explicite temps (s) Température (°C)
  • 45. Chapitre 3 Présentation des cas d’études et de leurs résultats 37 La différence la plus remarquable entre les deux méthodes est certainement l’évolution du nœud (45,41) au cours du temps. Ce nœud atteint rapidement le régime permanant car les dimensions de la plaque ne sont pas larges et donc tous les nœuds du domaine tendront rapidement vers la stationnarité contrairement à l’explicite. 15 min 30 min 2 h 5.5h Figure 3.22 Différents Profils de température pour différents instants temps (s) Température (°C) Figure 3.23 Évolution du nœud 45,41 au cours du temps en implicite