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L3 - Statistique (1) : Estimation
Examen de rattrapage de Juin 2016 - Dur´ee 2h00 - Documents non
autoris´es
On rappelle que
— la loi normale N(µ, σ2
) a pour densit´e fµ,σ2 (x) = e−(x−µ)2
/(2σ2
)
√
2πσ
— la loi de Poisson P(λ) a pour densit´e fλ(n) = λn
n!
e−λ
1N(n
— la loi Exponentielle E(λ) a pour densit´e fλ(x) = λe−λx
1x>0
— la loi Beta(α, β) a pour densit´e fa,b(x) = xa−1
(1 − x)b−1
1x∈(0,1)Γ(a + b) Γ(a)Γ(b)
— la loi Gamma Γ(α, β) a pour densit´e fα,β(x) =
βα
Γ(α)
xα−1
exp{−βx}1x>0
Exercice 1 (5 pts)
Dans cet exercice il vous est demand´e de donner la bonne r´eponse, seules les r´eponses
justifi´ees seront valid´ees. Il n’y a pas de points n´egatifs.
1 Un mod`ele statistique est associ´e au vecteur (X1, . . . , Xn) en supposant que les Xi sont
iid de densit´e f(x; β) = xβI]0,1](x)/(β + 1). Un estimateur sans biais de β est donn´e par
(a) 1 − n−1 ( n
i=1 log(Xi)) (b) 1 − (n − 1) ( n
i=1 log(Xi))−1
(c) 1 − n ( n
i=1 log(Xi))−1
(d)
1 − (n + 1) ( n
i=1 log(Xi))−1
2 Si X1, . . . , Xn et Y1, . . . , Yn sont des ´echantillons iid al´eatoires de lois P(λ) et P(1/λ),
respectivement, l’estimateur du maximum de vraisemblance de λ associ´e `a l’ensemble des
observations (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) est donn´e par
(a) ˆλ = log{¯y/¯x} (b) ˆλ = {¯x + ¯y + (¯x + ¯y)2 + 4}/2 (c) ˆλ =
√
¯x¯y (d) ˆλ = {¯x − ¯y +
(¯x − ¯y)2 + 4}/2 (e) ˆλ = {¯y − ¯x + (¯y − ¯x)2 + 4}/2
3 Si X1, . . . , Xn est un ´echantillon iid de loi Beta(1, 1/λ), l’estimateur du maximum de
vraisemblance de λ associ´e `a l’´echantillon (x1, . . . , xn) est donn´e par
(a) ˆλ = −n n
i=1 log{1 − xi} (b) ˆλ = 1 1 − ¯x (c) ˆλ = − n
i=1 log{1 − xi}/n (d)
ˆλ = −n log { n
i=1(1/xi)} .
4 ´Etant donn´e X1, . . . , Xn un ´echantillon iid de loi E(λ), on observe (Z1, . . . , Zn) = (I(X1 ≤
δ), . . . , I(Xn ≤ δ)), avec δ connu. Si z1 = 1 et (z2, . . . , zn) = (0, . . . , 0), l’estimateur du
maximum de vraisemblance de λ est donn´e par :
(a) ˆλ = − log{n−1
n }/δ (b) ˆλ = (n−1)δ
n (c) ˆλ = log{δ}
n−1 (d) ˆλ = n+1
δ (e) ˆλ = 0 .
5 ´Etant donn´e X1, . . . , Xn un ´echantillon iid de loi de densit´e f(x; λ) = exp{−(log{x} −
λ)2}/
√
2πx sur R∗
+, on observe un ´echantillon iid (X1, . . . , Xn) issu de f. L’estimateur du
maximum de vraisemblance de λ est donn´e par :
(a) ˆλ = − log{ n
i=1 xi/n} (b) ˆλ = 1
n
n
i=1 xi − 1
2 (c) ˆλ = 1
n−1
n
i=1 log{xi} (d)
ˆλ = 1
n
n
i=1 log{xi}
1
Exercice 2 (2 pts)
Disposant uniquement d’un g´en´erateur al´eatoire de loi de Bernoulli B(p) avec 0 < p < 1,
construire un g´en´erateur al´eatoire de loi de Bernoulli B(q) avec 0 < q < 1. 1
Exercice 3 (8 pts)
Soit θ ∈ R+ et Z ∼ N(0, θ), o`u V(Z) = θ.
1. Montrer que, si fθ la densit´e de X = eZ,
fθ(x) = e−
(log(x))2
2θ x
√
2πθ I(0,∞)(x) .
On dira que X suit une loi log-normale de param`etre d’´echelle θ.
2. Soient θ > 0, n ∈ N∗ et X1, . . . , Xn un n−´echantillon de mˆeme loi log-normale de
param`etre d’´echelle θ et donc de densit´e fθ.
(a) Ce mod`ele est-il un mod`ele exponentiel ?
(b) Calculer l’information de Fisher I1(θ) pour ce mod`ele, apport´ee par une seule obser-
vation. En d´eduire l’information de Fisher apport´ee par l’´echantillon X1, . . . , Xn. 2
(c) Trouver l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆθn de θ.
(d) ˆθn est-il sans biais ?
(e) ˆθn est-il un estimateur efficace de θ ? 3
3. On consid`ere maintenant que Z ∼ N(µ, θ), o`u V(Z) = θ. On note fµ,θ la densit´e de
X = eZ. On admet que
fµ,θ = e−
(log(x)−µ)2
2θ x
√
2πθ I(0,∞)(x) .
Soient X1, . . . , Xn un n−´echantillon de mˆeme loi que X (donc de densit´e fµ,θ).
(a) Trouver les estimateurs du maximum de vraisemblance ˜µn de µ et ˜θn de θ. On
admettra que les conditions du second ordre sont v´erifi´ees.
(b) L’estimateur ˜θn est-il sans biais ?
(c) L’estimateur ˜µn est-il sans biais ?
4. On consid`ere `a nouveau X1, . . . , Xn un n−´echantillon de mˆeme loi log-normale de
param`etre d’´echelle θ.
(a) Montrer que E[Xi] = eθ/2 et en d´eduire un estimateur sans biais de eθ/2.
(b) Montrer que P(Xi ≥ E[Xi]) = 1 − Φ(
√
θ/2) o`u Φ est la fdr de la loi N(0, 1) et en
d´eduire une cons´equence pratique de l’utilisation de l’estimateur sans biais ci-dessus
quand θ est grand.
(c) Montrer que la m´ediane de la loi fθ ne d´epend pas de θ.
1. On pourra commencer par construire un g´en´erateur al´eatoire de loi de Bernoulli B(1/2).
2. Indication : Regarder la loi de log(X).
3. Rappel : Pour Z ∼ N(0, θ) on a E(Z4
) = 3θ2
2
Exercice 4 (6 pts)
Soient X1, . . . , Xn un n−´echantillon de variables al´eatoires de loi exponentielles d´ecal´ees,
de densit´e
fθ,λ(x) = λe−λ(x−θ)
1[θ,+∞[(x)
1. On suppose θ connu. On choisi comme loi a priori pour λ une loi Gamma Γ(a, b).
(a) Donner la distribution a posteriori de λ sachant l’´echantillon X1, . . . , Xn.
(b) Calculer la moyenne a posteriori ˆλn pour cet a priori.
(c) ˆλn converge-t-il en probabilit´e vers λ ?
2. On suppose maintenant que λ est connu mais θ est inconnu. On choisi comme loi a
priori pour θ une loi exponentielle E(β).
(a) Donner la distribution a posteriori de θ sachant l’´echantillon X1, . . . , Xn.
(b) Calculer la moyenne a posteriori ˆθn pour cet a priori.
(c) ˆθn converge-t-il en probabilit´e vers θ ?
French – English Lexicon
bay´esien(ne) – Bayesian
´echantillon – sample
famille exponentielle – exponential family
fdr — pdf
loi a posteriori – posterior distribution
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3

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Exam of June 2016, Mathematical Statistics 3rd year

  • 1. Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee 2015-2016 L3 - Statistique (1) : Estimation Examen de rattrapage de Juin 2016 - Dur´ee 2h00 - Documents non autoris´es On rappelle que — la loi normale N(µ, σ2 ) a pour densit´e fµ,σ2 (x) = e−(x−µ)2 /(2σ2 ) √ 2πσ — la loi de Poisson P(λ) a pour densit´e fλ(n) = λn n! e−λ 1N(n — la loi Exponentielle E(λ) a pour densit´e fλ(x) = λe−λx 1x>0 — la loi Beta(α, β) a pour densit´e fa,b(x) = xa−1 (1 − x)b−1 1x∈(0,1)Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) — la loi Gamma Γ(α, β) a pour densit´e fα,β(x) = βα Γ(α) xα−1 exp{−βx}1x>0 Exercice 1 (5 pts) Dans cet exercice il vous est demand´e de donner la bonne r´eponse, seules les r´eponses justifi´ees seront valid´ees. Il n’y a pas de points n´egatifs. 1 Un mod`ele statistique est associ´e au vecteur (X1, . . . , Xn) en supposant que les Xi sont iid de densit´e f(x; β) = xβI]0,1](x)/(β + 1). Un estimateur sans biais de β est donn´e par (a) 1 − n−1 ( n i=1 log(Xi)) (b) 1 − (n − 1) ( n i=1 log(Xi))−1 (c) 1 − n ( n i=1 log(Xi))−1 (d) 1 − (n + 1) ( n i=1 log(Xi))−1 2 Si X1, . . . , Xn et Y1, . . . , Yn sont des ´echantillons iid al´eatoires de lois P(λ) et P(1/λ), respectivement, l’estimateur du maximum de vraisemblance de λ associ´e `a l’ensemble des observations (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) est donn´e par (a) ˆλ = log{¯y/¯x} (b) ˆλ = {¯x + ¯y + (¯x + ¯y)2 + 4}/2 (c) ˆλ = √ ¯x¯y (d) ˆλ = {¯x − ¯y + (¯x − ¯y)2 + 4}/2 (e) ˆλ = {¯y − ¯x + (¯y − ¯x)2 + 4}/2 3 Si X1, . . . , Xn est un ´echantillon iid de loi Beta(1, 1/λ), l’estimateur du maximum de vraisemblance de λ associ´e `a l’´echantillon (x1, . . . , xn) est donn´e par (a) ˆλ = −n n i=1 log{1 − xi} (b) ˆλ = 1 1 − ¯x (c) ˆλ = − n i=1 log{1 − xi}/n (d) ˆλ = −n log { n i=1(1/xi)} . 4 ´Etant donn´e X1, . . . , Xn un ´echantillon iid de loi E(λ), on observe (Z1, . . . , Zn) = (I(X1 ≤ δ), . . . , I(Xn ≤ δ)), avec δ connu. Si z1 = 1 et (z2, . . . , zn) = (0, . . . , 0), l’estimateur du maximum de vraisemblance de λ est donn´e par : (a) ˆλ = − log{n−1 n }/δ (b) ˆλ = (n−1)δ n (c) ˆλ = log{δ} n−1 (d) ˆλ = n+1 δ (e) ˆλ = 0 . 5 ´Etant donn´e X1, . . . , Xn un ´echantillon iid de loi de densit´e f(x; λ) = exp{−(log{x} − λ)2}/ √ 2πx sur R∗ +, on observe un ´echantillon iid (X1, . . . , Xn) issu de f. L’estimateur du maximum de vraisemblance de λ est donn´e par : (a) ˆλ = − log{ n i=1 xi/n} (b) ˆλ = 1 n n i=1 xi − 1 2 (c) ˆλ = 1 n−1 n i=1 log{xi} (d) ˆλ = 1 n n i=1 log{xi} 1
  • 2. Exercice 2 (2 pts) Disposant uniquement d’un g´en´erateur al´eatoire de loi de Bernoulli B(p) avec 0 < p < 1, construire un g´en´erateur al´eatoire de loi de Bernoulli B(q) avec 0 < q < 1. 1 Exercice 3 (8 pts) Soit θ ∈ R+ et Z ∼ N(0, θ), o`u V(Z) = θ. 1. Montrer que, si fθ la densit´e de X = eZ, fθ(x) = e− (log(x))2 2θ x √ 2πθ I(0,∞)(x) . On dira que X suit une loi log-normale de param`etre d’´echelle θ. 2. Soient θ > 0, n ∈ N∗ et X1, . . . , Xn un n−´echantillon de mˆeme loi log-normale de param`etre d’´echelle θ et donc de densit´e fθ. (a) Ce mod`ele est-il un mod`ele exponentiel ? (b) Calculer l’information de Fisher I1(θ) pour ce mod`ele, apport´ee par une seule obser- vation. En d´eduire l’information de Fisher apport´ee par l’´echantillon X1, . . . , Xn. 2 (c) Trouver l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆθn de θ. (d) ˆθn est-il sans biais ? (e) ˆθn est-il un estimateur efficace de θ ? 3 3. On consid`ere maintenant que Z ∼ N(µ, θ), o`u V(Z) = θ. On note fµ,θ la densit´e de X = eZ. On admet que fµ,θ = e− (log(x)−µ)2 2θ x √ 2πθ I(0,∞)(x) . Soient X1, . . . , Xn un n−´echantillon de mˆeme loi que X (donc de densit´e fµ,θ). (a) Trouver les estimateurs du maximum de vraisemblance ˜µn de µ et ˜θn de θ. On admettra que les conditions du second ordre sont v´erifi´ees. (b) L’estimateur ˜θn est-il sans biais ? (c) L’estimateur ˜µn est-il sans biais ? 4. On consid`ere `a nouveau X1, . . . , Xn un n−´echantillon de mˆeme loi log-normale de param`etre d’´echelle θ. (a) Montrer que E[Xi] = eθ/2 et en d´eduire un estimateur sans biais de eθ/2. (b) Montrer que P(Xi ≥ E[Xi]) = 1 − Φ( √ θ/2) o`u Φ est la fdr de la loi N(0, 1) et en d´eduire une cons´equence pratique de l’utilisation de l’estimateur sans biais ci-dessus quand θ est grand. (c) Montrer que la m´ediane de la loi fθ ne d´epend pas de θ. 1. On pourra commencer par construire un g´en´erateur al´eatoire de loi de Bernoulli B(1/2). 2. Indication : Regarder la loi de log(X). 3. Rappel : Pour Z ∼ N(0, θ) on a E(Z4 ) = 3θ2 2
  • 3. Exercice 4 (6 pts) Soient X1, . . . , Xn un n−´echantillon de variables al´eatoires de loi exponentielles d´ecal´ees, de densit´e fθ,λ(x) = λe−λ(x−θ) 1[θ,+∞[(x) 1. On suppose θ connu. On choisi comme loi a priori pour λ une loi Gamma Γ(a, b). (a) Donner la distribution a posteriori de λ sachant l’´echantillon X1, . . . , Xn. (b) Calculer la moyenne a posteriori ˆλn pour cet a priori. (c) ˆλn converge-t-il en probabilit´e vers λ ? 2. On suppose maintenant que λ est connu mais θ est inconnu. On choisi comme loi a priori pour θ une loi exponentielle E(β). (a) Donner la distribution a posteriori de θ sachant l’´echantillon X1, . . . , Xn. (b) Calculer la moyenne a posteriori ˆθn pour cet a priori. (c) ˆθn converge-t-il en probabilit´e vers θ ? French – English Lexicon bay´esien(ne) – Bayesian ´echantillon – sample famille exponentielle – exponential family fdr — pdf loi a posteriori – posterior distribution loi a priori – prior distribution statistique exhaustive – sufficient statistic vraisemblance – likelihood efficace – efficient 3